(正比例的意义)
六年级下册数学讲义-第四单元——比例：正比例和反比例人教版(含答案)
第四章 比例2.正比例和反比例【知识梳理】1.正比例的意义。
（1）意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
（2）正比例关系的字母表达式：xy =k （一定）。
要点提示：成比例的两种量必须是相关联的量，而两种相关联的量却不一定都成比例。
如两种量的和或差一定时，这两种量虽然是相关联的量，但不成比例。
2.正比例关系的图像。
正比例图像是一条从（0,0）出发的无限延伸的射线，线上所有点所对应的两个数的比值都相等。
3.反比例的意义。
（1）意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
（2）反比例关系的字母表达式：x×y =k （一定）。
4.判断两种量成正比例还是成反比例的方法。
关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。
如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例。
【诊断自测】1.填空。
（1）用字母表示的正比例关系式是（ ），反比例式是（ ）。
（2）已知6x=4y ，x 和y 成（ ）比例，已知3x =y6，x 和y 成（ ）比例。
（3）单价一定，数量与总价成（ ）比例；数量一定，单价与总价成（ ）比例；总价一定，数量与单价成（ ）比例。
（4）当两个变量成反比例关系时，所绘成的图是一条（ ）。
2.选择。
（1）在汽车每次运货吨数，运货次数和运货的总吨数这三种量中，成正比例关系是（ ），成反比例关系是（ ）。
A.汽车每次运货吨数一定，运货次数和运货总吨数。
B.汽车运货次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数。
C.汽车运货总吨数一定，每次运货的吨数和运货的次数。
（2）乐乐从1楼爬到3楼共用了3分钟，那么从1楼爬到5楼要用（ ）分钟。
A.8B.6C.4（3）a÷b=c ，当c 一定时，a 和b （ ）；当a 一定时，b 和c （ ）；当b 一定时，a 和c （ ）。
正比例的意义
正比例的意义正比例是数学中一种重要的关系形式，如果两个量之间的关系可以用一个恒定的比例系数来表示，那么我们可以称之为正比例关系。
在现实生活中，正比例关系存在于许多方面，并且具有重要的意义。
1. 数学上的意义正比例关系在数学中经常被用来描述两个变量的相互关系。
如果两个变量X和Y呈现正比例关系，可以表示为Y = kX，其中k是一个常数。
这种关系具有以下几个重要的意义：简洁性与可预测性正比例关系的数学表示形式非常简洁明了。
通过X的变化我们可以准确地预测Y的变化，反之亦然。
这为研究和分析提供了很大的便利性。
比例系数的意义比例系数k反映了两个变量之间的比例关系。
该常数通常具有一定的实际意义，可以通过它来解释变量之间的关系。
例如，在物理学中，质量与体积之间的关系可以表示为质量=密度×体积，其中密度就是比例系数。
解决问题的实用性正比例关系在解决实际问题时具有很强的实用性。
通过观察并建立合适的数学模型，我们可以利用正比例关系来解决一些实际问题。
例如，在经济学中，可以使用工时和产量之间的正比例关系来确定最佳的生产计划。
2. 实际应用正比例关系在现实生活中有许多实际应用，下面列举了几个例子：距离与时间在物理学中，速度与时间之间的关系通常可以表示为速度 = 距离/时间。
在匀速直线运动中，速度恒定，所以距离与时间呈现正比例关系。
温度与体积在热力学中，根据查理定律，对于固定量的气体，在恒定的压力下，温度和体积呈现正比例关系。
这一关系在工程设计和实验室条件下的计量中非常重要。
成本与产量在经济学中，成本（如原材料费用或人工成本）与产量之间通常存在正比例关系。
例如，在生产线上，随着产量的增加，原材料费用也会相应增加。
电压与电流在电学中，根据欧姆定律，电压和电流呈现正比例关系。
这一关系在电路分析和计算中起着核心作用。
3. 经验规律的验证与发现正比例关系也为验证和发现经验规律提供了一个重要的工具。
通过观察和分析现象，我们可以建立正比例关系模型，通过比例系数来验证实际规律的合理性。
正比例和反比例的意义
正比例和反比例的意义一、正比例的意义正比例关系是指两个变量之间的关系，当一个变量增大时，另一个变量也随之增大，并且两个变量之间的比值保持不变。
正比例关系在许多领域具有重要意义。
1. 实际应用正比例关系在实际应用中得到广泛应用。
例如，速度与时间的关系通常是正比例关系。
在物理学中，我们可以根据物体的速度和时间来计算物体所走的距离。
又如，成员数量与总费用之间的关系通常也是正比例关系。
在经济学中，企业的成本和产量之间的关系通常被描述为正比例关系。
2. 权衡和计划正比例关系的存在使得我们能够在做出决策时进行权衡和计划。
通过观察两个变量之间的正比例关系，我们可以预测其中一个变量的变化对另一个变量的影响。
这对于制定有效的计划和做出明智的决策至关重要。
3. 图表和图形正比例关系可以通过制作图表和图形来可视化。
例如，我们可以用散点图来表示两个变量之间的正比例关系。
通过观察散点图，我们可以更直观地理解和分析两个变量之间的关系，并且可以预测和推断未来的变化。
二、反比例的意义反比例关系是指两个变量之间的关系，当一个变量增大时，另一个变量相应地减小，并且两个变量之间的乘积保持不变。
反比例关系也在许多领域中具有重要意义。
1. 逆向依赖关系反比例关系在一些情况下可以表示逆向依赖关系。
例如，时间和速度之间的关系通常是反比例关系。
在运动学中，我们知道物体的速度等于它所走过的距离除以所花费的时间。
当时间增加时，速度减小；而当时间减小时，速度增加。
这种反比例关系为我们理解和研究物体的运动提供了重要的数学工具。
2. 优化和最佳化反比例关系也在优化和最佳化问题中发挥重要作用。
在一些情况下，我们需要通过调整一个变量来最大化或最小化另一个变量。
反比例关系使得我们可以通过增加一个变量来减少另一个变量，或者通过减少一个变量来增加另一个变量。
这种关系对于优化问题的求解非常有用。
3. 比例转换反比例关系可以通过比例转换来应用到实际问题中。
例如，一个过程中的速度和所需时间之间的反比例关系可以通过比例转换为速度和所走距离之间的正比例关系。
正比例的意义
如果两个量x和y满足关系xy=k（k为常数），则x和y成正比。这是因为无论x和y各 自如何变化，它们的乘积始终等于k，这是正比例关系的另一种表达方式。
观察它们是否满足正比例的定义和性质
总结词
如果两个量满足正比例的定义和性质， 则它们成正比。
详细描述
正比例是指两个量之间的特定关系， 其中一个量是另一个量的常数倍。它 具有方向性、对称性和传递性。如果 两个量满足这些性质，则它们成正比。
体重与饮食
摄入的食物量与体重之间存在正比例关系，摄入的食物越多 ，体重增加的可能性越大。
时间与速度
在匀速运动中，时间与速度之间存在正比例关系，时间越长 ，速度越快。
科学中的正比例例子
电流与电阻
在欧姆定律中，电流与电压成正比，而与电阻成反比，但电压保持不变时，电流与电阻之间存在 正比例关系。
密度与质量
$number {01}
正比例的意义
目 录
• 正比例的定义 • 正比例的应用 • 正比例的性质 • 正比例与其他数学概念的关系 • 如何判断两个量是否成正比 • 正比例的意义和重要性
01
正比例的定义
什么是正比例
正比例是指两个量之间的比值保 持恒定，即当一个量增加或减少 时，另一个量也按照相同的比例
客户数量与销售额
客户数量越多，购买商品 的可能性越大，从而促进 销售额的增加，两者之间 存在正比例关系。
03
正比例的性质
当两个量成正比例时，它们的比值是常数
描述
当两个量x和y成正比例时，它们 的比值x/y是一个常数，这个常数 被称为比例常数。
数学表达
如果x和y成正比例，则存在一个常 数k，使得x/y=k。
增加或减少。
正、反比例的意义
正、反比例的意义引言正、反比例是数学中常见且重要的概念。
它们在实际生活、自然科学、工程技术等领域中具有广泛的应用。
本文将探讨正比例和反比例的意义及其在不同领域中的应用。
正比例的意义正比例是指两个变量之间的关系满足：当一个变量增加时，另一个变量也相应地增加，并且它们的比值保持不变。
在数学中，正比例可以用以下形式表示：y = kx其中，y和x分别表示两个变量，k为常数，表示比例系数或比例常数。
正比例的意义在于，它描述了一种直接的、线性的关系。
当x增加时，y会按照一定的比例增加，这种关系可以帮助我们理解现象和问题，方便进行计算和预测。
在实际生活中，正比例的意义体现在许多方面。
例如，当我们购买商品时，价格和数量往往是正比例关系。
当我们购买的商品数量增加时，总价格也会相应地增加，这样可以帮助我们合理规划预算。
另外，正比例也可以用于计算物体的速度、功率、电流等各种物理量，从而更好地了解和控制物理现象。
反比例的意义反比例是指两个变量之间的关系满足：当一个变量增加时，另一个变量相应地减小，并且它们的乘积保持不变。
在数学中，反比例可以用以下形式表示：y = k / x其中，y和x分别表示两个变量，k为常数，表示比例系数或比例常数。
反比例的意义在于，它描述了一种相互制约的关系。
当一个变量增加时，另一个变量必然会减小，这种关系在许多情况下能够揭示事物之间的内在规律。
反比例在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
例如，当我们在做实验时，有些现象可能遵循反比例关系。
例如，当我们测量一个物体的质量和体积时，其密度通常是一个常数，即质量与体积成反比。
另外，反比例还可以用于计算电阻和电容等电路中的物理量，从而更好地设计和优化电子设备。
正、反比例在不同领域中的应用正、反比例在各个领域中都有着重要的应用。
下面将分别介绍它们在实际生活、自然科学和工程技术中的应用。
实际生活中的应用在实际生活中，我们经常会遇到正比例和反比例的关系。
比如，当我们在超市购买商品时，价格与数量之间往往是正比例关系。
正比例、反比例的比较
1、正比例的意义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
2、用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用关系式表示：x÷y=k （一定）还可表示为：x=ky以上各种商都是一定的，那么被除数和除数．所表示的两种相关联的量，成正比例关系．注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时,应注意已知的两种量必须是两种相关联的量（也就是有关系的两种量），有些量，虽然也是一种量随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例．例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系．行驶的路程和时间是成比例的量。
“正反比例”归纳：相同点：①正比例和反比例都含有三个数量，在这三个数量中，均有一个定量、两个变量。
②在正、反比例的两个变量中，均是一个量变化，另一个量也随之变化。
正比例中相关联的两种量的变化方向是一致的，即：同时扩大或同时缩小，关键是：相对应的两个数的“比值一定，也就是商一定”；反比例中两种量的变化方向是相反的，即：一个量扩大，则另一个量缩小，一个缩小，另一个量则扩大，关键是：相对应的两个数的“积一定”。
不同点：正比例的定量（即不变的量）是两个变量中相对应的两个数的比值。
反比例的定量（即不变的量）是两个变量中相对应的两个数的积。
②正比例的图像时上升直线；反比例是曲线。
③公式不同：正比例是（x y=k（一定）），反比例是（xy=k（一定））。
④规律不同：正比例是一个数缩小，另一个数也缩小，一个数扩大，另一个数也扩大；反比例是一个数缩小，另一个数就扩大，一个数扩大另一个数就缩小。
门诊医院：举例：当路程一定时，已行路程与未行路程成比例吗?为什么？分析：虽然这里的已行路程和未行路程也是相关联的两个量，但是它们的变化规律是增加或减少的数，换句话说已行路程与未行路程不是一个量随另一个量的扩大而扩大或缩小而缩小，也就是它们之间不能相乘，也不能相除，得不到一个积或一个商，所以它们不成比例。
(完整版)正比例和反比例的意义知识点(可编辑修改word版)
正比例和反比例的意义知识点一：正比例和反比例的意义（1）正比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量变叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么正比例关系可以写成：y=k (一定)x例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我们就说，总价和数量是成正比例的量。
工总＝工效（一定）工总和工时是成正比例的量工时路程＝速度（一定）所以路程与时间成正比例。
时间（2）反比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么反比例关系可以写成：x × y = k （一定）例如，长×宽＝面积（一定）长和宽是成反比例的量每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（一定）每本的页数和装订的本数是成反比例的量知识点二：正比例和反比例有什么相同点和不同点？（1）相同点：正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（2）不同点：正比例是两种相关联的量中相对应的两个数的比值（商）一定；反比例是两种相关联的量中相对应的两个数的积一定。
不同点知识点三：正比例和反比例的图像是一条什么线？（1）正比例关系的图象是一条过原点的直线。
（2）反比例关系的量是一条不过原点的曲线。
知识点四：正比例和反比例的判断（1）先判断两种量x 和y 是不是相关联的量，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（2）若符合y=k (一定)，则x 和y 成正比例；若符合x ×y =k （一定），则x 和y 成反x比例；否则，这两种量就不成比例关系。
【典型例题】题型一：根据图标填写信息例 1 ：购买面粉的重量和钱数如下表，根据表填空。
正比例和反比例的意义知识点教学内容
正比例和反比例的意义知识点一：正比例和反比例的意义 （1）正比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量变叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么正比例关系可以写成：()一定k xy= 例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我们就说，总价和数量是成正比例的量。
工总工时 ＝工效（一定） 工总和工时是成正比例的量路程时间 ＝速度（一定） 所以路程与时间成正比例。
（2）反比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么反比例关系可以写成：x ×y =k （一定）例如，长×宽＝面积（一定） 长和宽是成反比例的量每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（一定） 每本的页数和装订的本数是成反比例的量知识点二：正比例和反比例有什么相同点和不同点？（1）相同点：正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（2）不同点：正比例是两种相关联的量中相对应的两个数的比值（商）一定；反比例是两种相关联的量中相对应的两个数的积一定。
不同点知识点三：正比例和反比例的图像是一条什么线？（1）正比例关系的图象是一条过原点的直线。
（2）反比例关系的量是一条不过原点的曲线。
知识点四：正比例和反比例的判断（1）先判断两种量x 和y 是不是相关联的量，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（2）若符合()一定k xy=，则x 和y 成正比例；若符合x ×y =k （一定），则x 和y 成反比例；否则，这两种量就不成比例关系。
【典型例题】题型一：根据图标填写信息例1 ：购买面粉的重量和钱数如下表，根据表填空。
《正比例的意义》教案
《正比例的意义》教案篇一：正比例的意义正比例的意义【重点】正比例的意义【难点】能根据正比例的意义判断两种量是否成正比例一【知识回顾】圆柱的体积=底面积______高，底面积=圆柱的体积_______高板书课题师：同学们，今天我们来学习“正比例的意义”（板书课题）二【学习目标】1、理解正比例的意义。
2、能根据正比例的意义判断两种量是否成正比例，并能找出生活中成正比例的量。
三、自学指导认真看课本第39页到第40页的内容，看图、看文字并将例题补充完整。
思考： 1、什么叫做正比例关系？成正比例的量？ 2、正比例关系可以用什么式子来表示？ 3、正比例关系的判断方法是什么？5分钟后，比谁能做对检测题！四、先学（一）看书学生认真看书，教师巡视，督促人人都在认真地看书。
（二）检测（课本第41页的“做一做”）1、找两名学生板演，其余生做在练习本上2、教师认真巡视，发现错例，板书于黑板上对应位置。
五、后教（一）更正师：写完的同学请举手。
下面，请大家一起看黑板上这些题，发现问题的同学请举手。
（二）讨论1、看第一问，认为对的举手。
为什么？路程÷时间=速度。
2、看第二问，认为对的举手。
为什么？因为速度一定，路程的变化是随着时间的变化而变化的，时间变大，路程也相应变大；时间变少，路程也相应变小，而且路程和时间的比值一定，我们就说路程和时间成正比例关系，路程和时间叫做成正比例的量。
3、正比例的意义是什么？板书：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
4、追问：正比例关系用什么式子来表示？板书： y︰x=k（一定）5、正比例关系的判断方法是什么？板书：1这两种量是相关联的量。
2这两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定。
6、谁能举出生活中有哪些正比例关系？如：（1）商一定，被除数和除数。
（2）单价一定，总价和数量。
六年级数学下册 第06讲 正比例和反比例-单元知识盘点+易错题专训(苏教版)
第06讲正比例和反比例知识盘点一、正比例的意义1.两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就是成正比例的量，它们的关系就叫作成正比例关系。
2.如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，则正比例关系可=k(一定)。
以表示为yy3.有些相关联的量，虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化，但是它们相对应的数的比值不一定，它们就不成正比例。
4.正比例关系的判断方法。
(1)首先判断这两种量是不是相关联的量。
(2)再看这两种量相对应的两个数的比值是否一定。
比值一定，这两种量成正比例;反之，不成正比例。
5.正比例图像。
(1)表示成正比例的两种量中相对应的各点在同一条直线上，即正比例的图像是一条经过原点的直线。
(2)从图像中可以直观地看出两种量的变化情况。
(3)借助图像，可以由一个量的值找到对应的另一个量的值。
二、认识成反比例的量1.反比例的意义。
(1)两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就是成反比例的量，它们的关系就叫作成反比例关系。
(2)如果用x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积，则反比例关系可以表示为x×y=k(一定)。
2.反比例关系的判断方法。
(1)看这两种量是不是相关联的量。
(2)再看这两种量中相对应的两个数的积是否一定。
积一定，这两种量就成反比例，否则就不成反比例。
三、成反比例的两种量，也可以在方格纸上画图来表示例:速度/(千米/150 100 75 60 50时)时间/时 2 3 4 5 6(1)纵轴表示速度，单位是“千米/时”，每1小格表示25千米/时。
横轴表示时间，单位是“时”，每1小格表示1小时。
表格中的每一组数据都可以用一个点表示。
(2)画反比例图像时，先根据每一组数据描点，然后顺次连接，画的线要流畅。
典型精讲知识点一认识正比例的量1．下面说法中，不正确的有（）句。
《正比例的意义》教案_1
《正比例的意义》教案《正比例的意义》教案1教学内容教科书第52页例1，第55页课堂活动第1题及练习十二1，2，3题。
教学目标1.使学生通过具体问题情境认识成正比例的量，理解其意义，并能判断两种量是否成正比例关系，能找到生活中成正比例的实例，并进行交流。
2.通过探索正比例意义的教学活动，使学生感受事物中充满着运动、变化的思想，并且特定的事物发展、变化是有规律的。
3.通过观察、交流、归纳、推断等教学活动，感受数学思维过程的合理性，培养学生的观察能力、推理能力、归纳能力和灵活应用知识的能力。
教学重点认识成正比例的量，理解其意义，并能判断两种量是否成正比例关系。
教学难点理解正比例的意义，感受事物中充满着运动、变化的思想，并且特定的事物发展、变化是有规律的。
教学准备教具：多媒体课件。
学具：作业本，数学书。
教学过程一、联系生活，复习引入（1）下面是居委会张阿姨负责的小区水费收缴情况，用这个表中的数能写成多少个有意义的比？哪些比能组成比例？把能组成的比例都写出来。
（2）揭示课题。
教师：在上面的表中，有哪两种量？（水费和用水量、总价和数量）在我们平时的生活中，除了这两种量，我们还要遇到哪些数量呢？教师：这些数量之间藏着不少的知识，今天这节课我们就来研究这些数量间的一些规律和特征。
二、自主探索，学习新知1．教学例1用课件在刚才准备题的表格中增加几列数据，变成表。
教师：请同学们观察这张表，先独立思考后再讨论、交流：从这张表中你发现了什么规律？并根据这种规律帮助张阿姨把表格填写完整。
教师根据学生的回答将表格完善，并作必要的板书。
教师：同学们发现表格中的水费随着用水量的增加也在不断增加，像这样水费随着用水量的变化而变化，我们就说水费和用水量是相互关联的。
板书：相关联教师：你们还发现哪些规律？学生在这里主要体会水费除以用水量得到的每吨水单价始终是不变的，教师可根据学生的回答板书出来，便于其他学生观察：教师：水费除以用水量得到的单价相等也可以说是水费与用水量的比值相等，也就是一个固定的数。
什么是正比例有哪些意义
什么是正⽐例有哪些意义 在⾏程问题中，若速度⼀定时，则路程与时间成正⽐例，那么你对正⽐例了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是正⽐例的内容，希望⼤家喜欢! 正⽐例的概念 两种相关联的变量，⼀种量变化，另⼀种量也随着变化，如果这两种相对应的⽐值⼀定，那么这两个变量之间的关系就叫做正⽐例关系。
⽤字母表⽰是 y/x =k(⼀定)(k≠ 0)。
正⽐例的意义 y/x 满⾜关系式y=k*x(k为⼀定量)的两个变量，我们称这两个变量的关系成正⽐例。
显然，若y与x成正⽐例，则y/x=k(k为常量);反之亦然。
例如：在⾏程问题中，若速度⼀定时，则路程与时间成正⽐例;在⼯程问题中，若⼯作效率⼀定时，则⼯作总量与⼯作时间成正⽐例。
注意:k不能等于0。
正⽐例的相关联系 相同之处 1. 事物关系中都有两个变量，⼀个定量。
2.在两个变量中，当⼀个变量发⽣变化时，则另⼀个变量也随之发⽣变化。
3.相对应的两个变数的积或商都是⼀定的。
相互转化 当反⽐例中的x值(⾃变量的值)也转化为它的倒数时，由反⽐例转化为正⽐例;当正⽐例中的x值(⾃变量的值)转化为它的倒数时，由正⽐例转化为反⽐例。
正⽐例的例⼦ 正⽅形的周长与边长 (⽐值4)。
同圆的周长与直径 (⽐值π)。
购买的总价与购买的数量(⽐值单价)。
路程的例⼦： 1.速度⼀定，路程和时间成正⽐例。
2.时间⼀定，路程和速度成正⽐例。
都是定⼀个，变⼀个。
例如aX=Y中，a不变，则 X与Y成正⽐例。
⼀个变量随着另⼀个变量的变化⽽变化。
圆的周长和半径成正⽐例吗?为什么? 答：∵圆的周长÷圆的半径=2π，∴圆的周长和半径成正⽐例。
易错的⽐例： 圆的⾯积(S)：半径(R)=πR 上⾯这个⽐例是错误的。
它不属于正⽐例。
因为(S:R=πR)因为根据上⾯所说，⽐值须是⼀个不变的量，⽽⽐的前项和后项必须是可以变化的量，如果R变化，那⽐值也会变化，所以圆的⾯积与半径不成正⽐例。
正比例和反比例的意义知识点.doc
正比例和反比例的意义知识点正比例和反比例的意义知识点一：正比例和反比例的意义（1）正比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量变叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
用字母 x 和y表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么正比例关系可以写成：y k一定x例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我们就说，总价和数量是成正比例的量。
工总＝工效（一定）工总和工时是成正比工时例的量路程＝速度（一定）所以路程与时间成时间正比例。
（2）反比例2两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
用字母 x 和y表示两种相关联的量，用k表示一定的量，那么反比例关系可以写成：x× y =k （一定）例如，长×宽＝面积（一定）长和宽是成反比例的量每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（一定）每本的页数和装订的本数是成反比例的量知识点二：正比例和反比例有什么相同点和不同点？（1）相同点：正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（2）不同点：正比例是两种相关联的量中相对应的两个数的比值（商）一定；反比例是两种相关联的量中相对应的两个数的积一定。
3正比例反比例相同点不同点知识点三：正比例和反比例的图像是一条什么线？（1）正比例关系的图象是一条过原点的直线。
（2）反比例关系的量是一条不过原点的曲线。
4知识点四：正比例和反比例的判断（1）先判断两种量x和y是不是相关联的量，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（2）若符合y k 一定，则 x 和y成正比例；若符合 xx×y =k（一定），则x和 y 成反比例；否则，这两种量就不成比例关系。
【典型例题】题型一：根据图标填写信息例 1 ：购买面粉的重量和钱数如下表，根据表填空。
六年级下册数学试题-正比例和反比例的意义知识点总结加典型例题(不含答案)人教版
正比例和反比例的意义知识点一：正比例和反比例的意义 （1）正比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量变叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么正比例关系可以写成：()一定k xy= 例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我们就说，总价和数量是成正比例的量。
工总工时 ＝工效（一定） 工总和工时是成正比例的量 路程时间＝速度（一定） 所以路程与时间成正比例。
（2）反比例 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么反比例关系可以写成：x ×y =k （一定）例如，长×宽＝面积（一定） 长和宽是成反比例的量每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（一定） 每本的页数和装订的本数是成反比例的量知识点二：正比例和反比例有什么相同点和不同点？（1）相同点：正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（2）不同点：正比例是两种相关联的量中相对应的两个数的比值（商）一定；反比例是两种相关联的量中相对应的两个数的积一定。
知识点三：正比例和反比例的图像是一条什么线？ （1）正比例关系的图象是一条过原点的直线。
（2）反比例关系的量是一条不过原点的曲线。
知识点四：正比例和反比例的判断（1）先判断两种量x 和y 是不是相关联的量，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（2）若符合()一定k xy=，则x 和y 成正比例；若符合x ×y =k （一定），则x 和y 成反比例；否则，这两种量就不成比例关系。
【典型例题】题型一：根据图标填写信息例1 ：购买面粉的重量和钱数如下表，根据表填空。
六年级数学下册《正比例》知识点
六年级数学下册《正比例》知识点知识点1. 正比例的意义:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化, 如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。
如果用字母x 和y 表示两种相关联的量, 用字母k 表示它们的比值(一定) , 正比例关系可以表示为:y/x=k (一定)。
2. 应用正比例的意义判断两种量是否成正比例:有些相关联的量,虽然也是一种量随着另一种量的变化而变化,但它们相对应的数的比值不一定,就不成正比例,如被减数与差,正方形的面积与边长等。
练习题1、工程队修一条水渠，原计划每天修360米，30天修完。
修10天后，每天多修40米，再修多少天就能完成任务?2、农场挖一条水渠，头5天挖了180米，照这样速度，又用了16天挖完这条水渠。
这条水渠全长多少米?3、40千克小麦能磨面粉32千克，照这样计算，7吨小麦能磨面粉多少千克?4、机床厂4天能生产小机床32台，照这样计算，要生产120台小机床需几天?5、测量小组把一米长的竹竿直立在地面上，测得它的影子长度是1.6米，同时测得电线杆的影子长度是4米，求电线杆高多少米?6、要测量一棵树的高度，量得树的影子长度是8.4米，同时用一根2米长的标杆直立在地面上，量得影子长度是1.2米，这棵树高是多少米?7、一辆汽车从甲地开往乙地，甲乙两地相距405千米，头4小时行驶了180千米，剩下的路程还要行多少小时?8、某印刷厂计划三月份印刷课本20000本，结果上旬就印刷7000本，照这样速度，三月份可以多印刷多少本?9、用5辆同样汽车运粮食一次能运22.5吨，照这样计算，要把36吨粮食一次运完，需要增加多少辆这样的汽车? 10、服装厂生产制服，前3个月生产0.48万套，照这样计算，今年可以生产制服多少万套?。
正比例的意义和图象
金融问题
总结词
在金融领域，投资与回报、成本与售价等也存在正比关系。
详细描述
在正常情况下，投入的资金越多，获得的回报也越高；成本 越高，商品的售价也往往越高。
05 总结与回顾
重点回顾
01
02
03
正比例的定义
正比例是指两个量之间的 比值保持不变，即y/x=k （k为常数）。
正比例的特性
当两个量成正比例时，它 们的图像是一条直线，并 且该直线经过原点。
03 正比例的图象表示
正比例函数图象的画法
01
02
03
04
确定坐标系
首先确定x轴和y轴，并选择 适当的单位长度。
确定函数表达式
根据正比例函数的定义，函数 表达式为y=kx（k为常数）。
描点
在坐标系中选取一些x值，代 入函数表达式计算y值，并描
出对应的点。
连线
用平滑的曲线将这些点连接起 来，形成正比例函数的图象。
不断练习
通过大量的练习题和实际应用 ，加深对正比例的理解和掌握
。
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正比例的应用
在现实生活中，许多现象 都可以用正比例关系来描 述，例如速度、时间和距 离之间的关系。
学习建议
深入理解概念
对于正比例的概念，需要深入 理解其定义和特性，并能够熟
练运用。
掌握图像表示
正比例的图像是一条直线，需 要掌握如何绘制和解释这种图 像。
实际应用
尝试将正比例的概念应用到现 实生活中，例如计算速度、时 间和距离等。
正比例的性质
总结词
正比例的性质包括对称性、等距性和比例性。
详细描述
正比例的图像是过原点的直线，因此具有对称性；在图像上，任意两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)之间的线段的中点 M的坐标为((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，这个中点M必然在图像上，这体现了等距性；任意两点P1(x1,y1)和 P2(x2,y2)之间的线段与x轴的夹角θ的正切值等于y1/x1与y2/x2的平均值，这体现了比例性。
比例尺、正比例和反比例的意义及应用(含知识点、练习与答案)
4.4比例尺、正比例和反比例的意义及应用（小考复习精编专项练习）六年级数学小升初复习系列：第四章比和比例（含知识点、练习与答案）一、比例尺比例尺是测量距离或者测量制作零件部件数据的一种实用工具。
比例尺分为缩小比例尺、扩大比例尺两种。
其公式为：比例尺＝图上距离÷实际距离注意：计算比例尺时单位要统一，然后代入数据即可解决问题。
二、正比例的意义1、正比例的意义：两种相关联的量，如果一种量变化，另一种量也跟随着变化，且这两种量中的数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，这种关系叫做正比例关系。
2、通常用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示比值，则正比＝k（一定）。
例关系可以用式子表示为：yx三、反比例的意义1、反比例的意义：两种相关联的量，如果一种量变化，另一种量也跟随着变化，这两种量中的数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，这种关系叫做反比例关系。
2、通常用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示乘积，反比例的关系可以表示为：xy＝k（一定）。
四、如何辨别成正比例的量或成反比例的量1、成正比例的量：（1）x与y变化的方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也跟着扩大或缩小。
（2）相对应的两个数的比值k不变（一定）。
2、成反比例的量：（1）x与y 变化的方向相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大。
（2）相对应的两个数xy的乘积k不变（一定）。
3、判断方法：主要是观察两种相关量中的两个数：（1）如果两个数是商一定，就成正比例；（2）如果两个数是积一定，就成反比例。
例如：xy＝4就是反比例； y÷x＝5就是正比例1、A地和B地之间的路程是120千米，一辆小汽车行驶的时间与速度成（）比例。
【解题分析】由题意可以知道A地和B地之间的路程是120千米是一定的，根据公式：路程＝速度×时间，可得出小汽车行驶的时间与速度成反比例。
【解答】反2、在一幅地图上，用3厘米代表90千米。
正比例和反比例的意义知识点
正比例和反比例的意义知识点一：正比例和反比例的意义 （1）正比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量变叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么正比例关系可以写成：()一定k xy= 例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我们就说，总价和数量是成正比例的量。
工总工时 ＝工效（一定） 工总和工时是成正比例的量路程时间 ＝速度（一定） 所以路程与时间成正比例。
（2）反比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
用字母x 和y 表示两种相关联的量，用k 表示一定的量，那么反比例关系可以写成：x ×y =k （一定）例如，长×宽＝面积（一定） 长和宽是成反比例的量每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（一定） 每本的页数和装订的本数是成反比例的量知识点二：正比例和反比例有什么相同点和不同点？（1）相同点：正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（2）不同点：正比例是两种相关联的量中相对应的两个数的比值（商）一定；反比例是两种相关联的量中相对应的两个数的积一定。
不同点知识点三：正比例和反比例的图像是一条什么线？（1）正比例关系的图象是一条过原点的直线。
（2）反比例关系的量是一条不过原点的曲线。
知识点四：正比例和反比例的判断（1）先判断两种量x 和y 是不是相关联的量，即一种量变化，另一种量也随着变化。
（2）若符合()一定k xy=，则x 和y 成正比例；若符合x ×y =k （一定），则x 和y 成反比例；否则，这两种量就不成比例关系。
【典型例题】题型一：根据图标填写信息例1 ：购买面粉的重量和钱数如下表，根据表填空。
正比例和反比例的意义
正比例和反比例的意义正比例和反比例是数学中的两个重要概念，用来描述两个量之间的关系，它们的意义在于帮助我们理解和分析现实世界中的各种问题和现象。
在这篇文章中，我将详细阐述正比例和反比例的意义，并结合例子进行解释，希望能对读者有所启发。
一、正比例的意义正比例是指两个量之间存在直接关系，即当一个量的值增加时，另一个量的值也随之增加，或者当一个量的值减少时，另一个量的值也随之减少。
正比例的意义在于揭示了事物之间的相关性和变化规律。
1. 实际问题中的应用正比例在实际问题中的应用非常广泛，例如：（1）速度和时间的关系：当一个物体以恒定的速度行驶时，它所用的时间和所走的距离是成正比的。
这一原理在交通规划、物流运输等领域中有着重要的应用。
（2）工作时间和产量的关系：在生产过程中，工作时间和产量通常是成正比的。
增加工作时间可以提高产量，而减少工作时间则会导致产量下降。
这个规律在企业管理、生产计划等方面有着重要意义。
2. 数学模型的建立正比例关系可以用数学模型进行描述，这有助于我们对现实问题进行分析和预测。
（1）一次函数：在平面直角坐标系中，正比例关系可以用一次函数的形式进行表示，即y=kx（其中k为常数）。
通过求解方程的根、导数的零点等方法，我们可以确定两个量之间的正比例关系。
（2）线性回归分析：在统计学中，我们可以利用线性回归分析来检测两个变量之间是否存在正比例关系。
通过求解最小二乘法的问题，我们可以得到一个最佳拟合直线，从而估计两个变量之间的正比例关系。
二、反比例的意义反比例是指两个量之间存在间接关系，即一个量的值增加时，另一个量的值会相应地减少，或者一个量的值减少时，另一个量的值会相应地增加。
反比例的意义在于揭示了相互依赖的关系和相互制约的规律。
1. 实际问题中的应用反比例在实际问题中的应用也非常广泛，例如：（1）速度和时间的关系：在物理学中，我们知道速度和时间是存在反比例关系的。
当一个物体的速度增加时，所花费的时间会相应减少，反之亦然。
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正比例的意义［教学内容］《义务教育教科书•数学（六年级下册）》41〜42页［教学目标］1.在具体情境中认识成正比例的量，理解正比例的意义，能正确判断成正比例的量, 初步认识正比例的图像是一条直线。
2.通过观察、比较、分析、归纳等数学活动中，感知数量之间“变”与“不变”的关系，感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，提高学生分析比较、归纳概括和判断推理的能力，同时渗透初步的函数思想。
3.通过学习活动，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性，增强从生活现象中探索数学知识和规律的意识，养成主动参与学习的习惯。
［教学重点］正确理解正比例的意义。
［教学难点］能准确判断成正比例的量。
［教学准备］多媒体课件。
［教学过程］一、创设情境，提供素材师：今天，老师要和大家一起到啤酒生产车间去看看。
请看屏幕，（课件出示情境图）自动化的生产设备极大地提高了生产效率。
工人师傅还对啤酒生产情况进行了记录。
（课件出示啤酒生产情况记录表）师：仔细观察，你发现了哪些数学信息？预设1;记录的是工作时间和工作总量。
预设2; 工作时间1小时，工作总量是15吨；工作时间2小时，工作总量30吨…预设3:每小时生产15吨。
学生观察表格，初步感知记录表中两种常见的量一一工作时间和工作总量【设计意图】从啤酒生产情况这一话题导入新课，把抽象的数量关系融入熟悉的现 实背景，为学生的数学学习提供具体可感的环境与材料。
对表格内容的初步感知，为后 面分析数据、理解数量关系奠定基础二、分析素材，理解概念（一）分析比较，初步感知变化规律 1. 分析数据，初步感知变化规律师：仔细观察分析表格中的数据，工作总量和工作时间的变化有怎样的规律？ 学生独立完成作业纸，在小组内交流自己的发现，然后组织全班交流。
预设1： 工作时间扩大（缩小），工作总量也随着扩大（缩小）。
预设2： 工作时间越长，工作总量就越多。
预设3:工作效率不变，每小时生产15吨。
教师引导学生借助数据分析感知工作总量和工作时间的“变化”特点：工作总量随 着工作时间的变化而变化，进而认识它们是“两种相关联的量”。
在此基础上引导学生通过计算让学生感受两种量“不变”的特点：比值不变。
并引 导学生用关系式表示他们三者之间的关系。
2•借助图像，直观感受变化规律师：工作总量和工作时间的关系除了用这样的关系式来表示，其实，还可以用图来师：横轴表示工作时间，纵轴表示工作总量。
图上的哪个点可以表示1小时生产15 吨啤酒？ 学生指图介绍，课件动态演示。
追问：那2小时生产30吨呢？（学生指图）这个点又表示什么呢？（课件动态闪 烁）板书:工作总量 工作时间=工作效率（ 定）表示。
数形结合下面我们借助电脑来看一看（见图1）。
预设：3小时生产45吨啤酒。
教师小结：看来表格中每一组对应的数据都能在图中找到一个对应的点。
师：如果将这些点依次连接起来会是什么样子？想象一下， 能不能用手势比划一下学生手势比划，课件动态演示连点成线的过程。
追问：如果继续画下去，整个变化趋势是怎样的？为什么会呈这样的上升趋势？ 预设1:因为工作时间扩大，工作总量也会随着扩大。
预设2： 工作效率不变。
起点（0,0 ）强调一下引导学生明确正比例的图像是一条直线，进一步理解工作总量和工作时间的变化 规律。
（二）补充素材，进一步理解变化规律1. 分析啤酒运输车行驶的路程和时间情况，理解变化规律师：刚才我们在啤酒生产当中研究了工作总量和工作时间的关系，下面我们去看看 啤酒运输情况。
（课件出示啤酒运输情况记录表）啤酒运输车行驶的时间和路程情况记录表师：仔细观察，这个表格中记录的两种量又有怎样的关系呢？把你的发现跟你的同 桌说一说。
预设1:路程是随着时间的变化而变化的。
预设2:路程除以时间等于速度，速度都是 80千米。
预设3:路程和时间的比值一定。
小结：时间变化，路程也随着变化；路程与时间的比值一定。
师：如果把路程和时间的关系也画在方格图中，想一想，会是什么样呢?引导学生用一个关系式来表示:路程=速度定）（见图2）。
2.分析啤酒销售中的总价和数量情况，进一步理解变化规律师：课前老师还对啤酒的销售情况进行了调查。
这是啤酒销售中数量和总价情况记录。
（课件出示）观察这个记录表，你又有什么发现?啤酒销售中数量和总价情况记录表数量/升012345…总价/元0510152025…着变化；总价与数量的比值一定。
可以用这样的关系式表示:=单价（一定）【设计意图】从教材的一组常见量，补充素材扩展到三组常见量，把常见的数量关系融入现实的“啤酒”主题情境串，不但能丰富学生的研究体验，而且加深对概念的理解。
通过分析数据、用关系式表达、图像直观表征层层剖析、由表及里，使学生深入理解成正比例的两个量“变”与“不变”的规律。
多媒体课件的动态演示，能让学生初步体会到了点与数、数与形之间的对应关系。
学生不但经历数形结合，直观感受正比例图像的直线特点，而且能自然地渗透函数思想，加深对成正比例的两个量的变化规律的理解与掌握，进一步提升学生分析比较、归纳概括的能力。
三、借助素材，总结概念总价数量引导学生先想象画在方格图中的样子，再课件演示（见图3）（一）联系对比，归纳概括正比例的意义师：刚才我们一起研究了三组不同的数量（见图4），它们的关系有什么相同的地方预设1： 一种量变化，另一种量也随着变化，它们的比值不变 预设2:把它们画在方格纸上都得到一条直线。
教师揭示：这样的两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
这就是 今天我们要学习的新知识一一“正比例的意义”。
（板书课题：正比例的意义）像工作 总量与工作时间、路程与时间、总价与数量都是成正比例的量。
想一想：生活中有哪些成正比例的量呢？ （二）抽象概括正比例关系式师：在数学上为了交流的方便，统一用x 和y 分别表示两种相关联的变量，用 k 表 示它们的比值，你能用一个字母式子表示成正比例的两种量之间的关系吗？教师小结：正比例关系式是X =k （一定）（板书关系式） 回想一下这节课我们对正比例的学习经历了怎样的学习过程? （三）试一试，深化理解小军每天读书20页，他读书总页数和读书天数如下表。
吗？0 1 2 3 4 6? …… ]4^1lb 30 4b 6Q90—123 4 50 K0 160 2-10S20 400 ……0 1231 5……总价/元|]5 10 152025 ........bUl/ hV*r-"t ? 1 4 S图 4曲二单价（-定）工帶忌垃而荷二工作糾路松=速度（-定〉 时间1.先将上表补充完整，再说说总页数和天数是怎样变化的？2.写出几组对应的总页数和天数的比，再比较比值的大小。
3.这个比值表示什么？请用一个关系式表示它与总页数和天数的关系。
4.读书天数和总页数成正比例吗？为什么？【设计意图】联系对比寻找三组数量关系的相同点，使成正比例的两个量的变化规律进一步凸显，正比例的概念水到渠成。
寻找生活中成正比例的量，将数学与生活紧密相连，感受数学的价值。
引导学生用字母关系式表示正比例关系让学生进一步体会到字母表达数量关系的简约性和优越性。
四、巩固拓展，应用概念1.播音员播音的时间和字数如下表播音的时间和播音字数成正比例吗？为什么?2.播音员的已播字数和未播字数如下表已播字数和未播字数成正比例吗？为什么？先让学生独立判断并说明理由，引导学生既关注“变化”又关注“不变”。
3.判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并说明理由（1）天数一定，生产零件的总个数与每天生产零件的个数。
（2）—个人的年龄和体重。
重点引导学生利用列举数据、写出数量关系式等方式准确判断两个量是否成正比例。
4.弓I导学生根据成正比例的量比值一定的规律解决问题。
【设计意图】练习是掌握知识、形成技能、发展思维的重要手段。
针对本课的教学重点、难点，从有数据到没有数据，再到利用成正比例的量比值一定的规律解决问题，层层递进，目的是让学生能灵活的运用新知分析问题、解决问题，进一步巩固和加深对正比例意义的理解，提高学生的数学思考力。
五、回顾梳理，提升认识引导学生谈谈收获。
学生可能谈到：知识：知道了什么是成正比例的量，正比例关系的图像是一条直线。
方法：会判断两个量是否成正比例，会用正比例的知识解决问题。
感受：数学与生活有着密切的联系。
教师小结：同学们不仅学会了新知识，还掌握了新方法；不仅会思考，还能与同学合作解决问题，相信大家的收获也会随着时间的推移越来越丰硕！【设计意图】通过全面的回顾梳理，形成对正比例意义的完整认识，进一步明确判断两个量是否成正比例的方法，培养了学生的自我反思和全面梳理概括的能力。
并通过教师的评价、学生自评、互评真正实现不仅关注学习结果，更要关注学习过程。
［板书设计］。