材料结构习题纯晶体凝固答案

《材料结构》习题：纯晶体的凝固

1. 设均匀形核时其晶核为球形，试证明临界形核功ΔG c 与临界晶核体积V c 的关系为：

12

c c V G V G ∆=-∆ 2. 设非均匀形核时其晶核为球冠形，试证明临界形核功*c G ∆与临界晶核体积*

c V 也存在上列关系式。

3. 当临界晶核为球形和小立方体形时，试分别求出各临界晶核中的原子数n 的表达式：

n =f (ΔG V , σ,V)

式中V 为每个原子的体积。

4. 试说明金属结晶时粗糙型液－固界面的微观结构特点，指出该界面在结晶过程中的作用。

5. 综述金属结晶的热力学条件、动力学条件、能量条件和结构条件。

6. 已知金的熔点Tm 为1063℃，熔化潜热Lm 为12.8kJ/mol ，密度为19.3g/cm3，摩尔质量为197g/mol 。若液态金在1000℃均匀形核时的临界晶核半径r ＝43.3×10-10m ，试计算金的液固界面能σ和临界形核功。

7. 根据克拉珀龙方程可以推导出液－固或固－固相变温度与压力的关系式： T V T H P m

m m ∆∆∆=∆ 式中，ΔH m 为相变潜热；T m 为相变温度；ΔV m 为摩尔体积变化。试分别计算：

(1) 已知α-F e →γ-Fe 在1大气压下T m ＝912℃，若外加压力增加到1000大气压时，转变温度应是多少（已知ΔH m ＝920.5J/mol ，α-F e 的密度为7.57g/cm 3，γ-Fe 的密度为7.63g/cm 3，Fe 的摩尔质量为55.85g/mol ）。

(2) 已知纯铁熔化时体积变化为膨胀3％，求10个大气压下的熔点（已知L m ＝15.2kJ/mol ，T m =1803K ，密度为7.6g/cm 3，摩尔质量为55.85g/mol ）。

习题答案

1. 证明：设均匀形核时其球形晶核半径为r ，则

322323443

048022

42143232

V V V c V

c V c V c c V c c V c V G V G A r G r G r G r

r G r G r G G r G r r G V G σππσππσσσπππ∆=∆+=∆+∂∆=⇒∆+∂∆∴=-=-∆∆∴∆=∆-=-∆=-∆令 ＝ 即

2．证明：设非均匀形核时其球冠状晶核的曲率半径为r ，高为h ，则系统总表面自由能的

增量ΔG S 为

S L L W W LW LW G A A A A αααασσσσ∆==+-∑

因为晶核周边表面张力应彼此平衡，则

cos LW W L αασσσθ=+ 即cos W LW L αασσσθ-=-

222(1cos )L A rh r αππθ==-

222(sin )(1cos )W A r r απθπθ==-

222S 232(1cos )(1cos )cos (23cos cos )L L L G r r r αααπθσπθσθ

πσθθ∆=---=-+ 球冠的体积 23311(3)(23cos cos )33

V r h h r ππθθ=-=-+ 令31()(23cos cos )4

f θθθ=-+ **3*24()4()3

V S V L G V G G r G f r f απθπσθ∆=∆+∆=∆+则 *

*2**04()8()0c V c L G r G f r f r

απθπσθ∂∆=⇒∆+∂令 ＝ ***

*22L c c c

L V r G r G αασσ∆∴=-=-∆ 即 ****3**2*3*424()()323c V c

c V c c V r G G r G r f r G f ππθπθ⎛⎫∆∴∆=∆-=-∆ ⎪⎝⎭ **3***41()32

c c c c V V r f G V G πθ=∴∆=-∆

3．解: (1)当临界晶核为球形时，设其半径为r c ，则

3

3333243233323c c c V V

c V r V r G G V n V G V σπσππσ=-∴==-∆∆∴==-∆

(2)当晶核为正方形时，设其边长为a ，则

326V V G V G A a G a σσ∆=∆+=∆+

2403120c V c c V

G a G a a r G σσ∂∆=⇒∆+=-∂∆令 ＝，即 333

336464c c c V V V V a n V G V G σσ=∴==-=-∆∆

4．答：金属结晶时粗糙型液－固界面的微观结构为粗糙界面。其中组成液、固两相的原子分布较为混杂而无明显的边界，即在约为几个原子厚度的过渡层界面上，原子位置的一半左右被固态原子分散地占据着，而难以构成完整的晶面，故微观上呈高低不平的粗糙界面。

具有粗糙型液－固界面的晶体以垂直生长机制生长。因为界面上存在一半空虚位置对接纳液态单原子具有等效性。所以处于激活态的单原子经扩散可随机地添加在界面的虚位上，并与其固态原子稳定结合。于是，界面随之连续地沿其法线推移，这种生长方式被称为垂直生长机制。同时，由于粗糙界面结构特点决定了液态原子扩散到界面虚位的几率较大，而且具有粗糙界面的物质一般其结晶潜热较小，所以生长速率很高。

5．答：必须同时满足以下四个条件，结晶才能进行。

（1）热力学条件为∆G<0。

只有过冷（热过冷）才能使∆G<0。因为∆G v ＝－L m ∆T/T m （∆T 为过冷度），即金属结晶时，实际开始结晶的温度必须低于理论结晶已度（即∆T ＞0）。

（2）动力学条件为液固界面前沿液体Ti

（3）能量条件为具有能量起伏。

一个临界晶核形成时，三分之一的表面能要靠能量起伏来提供。

（4）结构条件为具有结构起伏。

液态金属中规则排列的原子集团时聚时散的现象。它是结晶核心形成的基础。

6. 解：m V m L T G T ∆∆=- 22m c V m T r G L T

σσ∴=-=∆∆