复变函数第三章习题课&答案
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一、重点与难点
重点：1. 复积分的基本定理；
2. 柯西积分公式与高阶导数公式
难点：复合闭路定理与复积分的计算
2
二、内容提要
有向曲线
积分的性质 柯西积分 公 式 高阶导数公式
复积分
积分存在的 条件及计算
柯西积分定理 复合闭路 定 理 原函数 的定义 调和函数和 共轭调和函数
3
1.有向曲线
设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑 )曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向(或正向), 那末我们就把C理解为带 有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A到B作为曲线C的正向,
y
C
i
C2 C1
O
i
x
23
1 1 1 C z( z 2 1)dz C1 zdz C2 2( z i ) dz
1 2i 2i 2
i .
24
解法二
利用柯西积分公式
1 1 在C 2内解析, f1 ( z ) 2 在C1内解析, f 2 ( z ) z( z i ) z 1
C k 1 Ck
n
( 2) f ( z )dz 0.
其中C 及 Ck 均取正方向 ;
这里 为由 C , C1 , C 2 , , C n 组成的复合闭路 (其方向是 : C 按逆时针进行, C1 , C 2 , , C n按 顺时针进行).
13
8.柯西积分公式
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处解析, C 为 D 内的任何一条正向简单 闭曲线, 它的内部完全含 于 D, z0 为 C 内任一点, 那末 1 f (z) f ( z0 ) dz . C 2i z z0
设 f ( z ), g( z )沿曲线C连续.
(1) f ( z )dz
C C C C
f ( z )dz;
( 3) [ f ( z ) g( z )]dz f ( z )dz g( z )dz;
C C C
( 2) kf ( z )dz k f ( z )dz; ( k为常数)
记 max{sk }, 当 n 无限增加且 0 时,
1 k n
如果不论对C 的分法及 k 的取法如何, Sn 有唯 一极限, 那么称这极限值为 函数 f ( z ) 沿曲线 C 的积分, 记为
f ( k ) zk . C f ( z )dz lim n k 1
定理 如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析, G ( z ) 为 f ( z ) 的一个原函数, 那末
z0
z
z1
0
f ( z )dz G ( z1 ) G ( z0 )
这里 z0 , z1 为域 B 内的两点.(牛顿-莱布尼兹公式)
11
7. 闭路变形原理
一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲 线在区域内作连续变形而改变它的值. 复合闭路定理 设 C 为 多连通域 D 内的一条简单闭曲线 ,
10
6.原函数的定义
如果函数 ( z ) 在区域 B 内的导数为f ( z ), 即 ( z ) f ( z ), 那末称 ( z ) 为 f ( z ) 在区域 B 内 的原函数.
因此 F ( z ) f ( )d 是 f ( z ) 的一个原函数.
z
f ( z ) 的任何两个原函数相差一个常数.
z 1 z 1 c z 1 dz c z 1 dz
2 2 2 8.
20
例3 解
计算
cos(z 100 z 1) dz . z 1 2 z 2z 4
当 z 1 时,
z 2 z 4 4 2 z z 4 2 1 1,
C1 , C 2 , , C n 是在 C 内部的简单闭曲线 , 它们 互不包含也互不相交 , 并且以 C , C1 , C 2 , , C n 为边界的区域全含于D, 如果 f ( z ) 在 D 内解析,
那末
D
C
C1
C2
C3
12
(1) f ( z )dz f ( z )dz ,
8
5. 柯西－古萨基本定理 (柯西积分定理)
如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析, 那末函数 f ( z ) 沿 B 内的任何一条封闭曲线C 的积分为零 :
c f ( z )dz 0.
定理1 如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解 析, 那末积分 f ( z )dz 与连结起点及终点的路
1 1 1 C z( z 2 1) dz C1 z( z 2 1) dz C2 z( z 2 1) dz
22
解法一
利用柯西-古萨基本定理及重要公式 1 1 1 1 1 1 2 z( z 1) z 2 z i 2 z i
由柯西-古萨基本定理有 1 1 C1 2 z i dz 0, 1 1 C1 2 z i dz 0, 1 1 1 C2 zdz 0, C2 2 z i dz 0,
1 1 1 C z( z 2 1) dz C1 z( z 2 1) dz C2 z( z 2 1) dz 1 ( z 1) 1 [ z( z i )] dz dz C1 C2 z zi
2
2i f1 (0) 2if 2 ( i ) 1 2i 2i i . 2
(4) 设C由C1 , C2连结而成, 则
C f ( z )dz C
1
f ( z )dz f ( z )dz;
C2
(5) 设曲线 C 的长度为 L, 函数 f ( z ) 在 C 上满足 f ( z ) M , 那末
C f ( z )dz C
f ( z ) ds ML.
y
B
那么B到A就是曲线C的负向, 记为 C .
o
A
x
4
2.积分的定义
设函数 w f ( z ) 定义在区域 D 内, C 为区域 D 内起点为 A 终点为 B的一条光滑的有向曲线 , 把曲线 C 任意分成 n 个弧段, 设分点为 A z0 , z1 , , zk 1 , zk ,, zn B ,
在每个弧段 zk 1 zk ( k 1,2,, n) 上任意取一点 k ,
y
A
1 2
z1 z2
k z k zk 1
C z n 1
B
o
x
5
作和式 Sn f ( k ) ( zk zk 1 ) f ( k ) zk ,
k 1 k 1
n
n
这里 zk zk zk 1 , sk zk 1 zk的长度,
n
y
A
1 2
z1 z2
k z k zk 1
Baidu Nhomakorabea
C z n 1
B
o
x
6
3.积分存在的条件及计算
（1）化成线积分 设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 沿逐段光滑的曲线 C
C f ( z )dz C u( x, y)dx v( x, y)dy i C v( x, y)dx u( x, y)dy.
(n)
n! f (z) ( z0 ) ( n 1,2,) n 1 dz 2i C ( z z0 )
其中 C 为在函数 f ( z ) 的解析区域 D 内围绕 z0 的 任何一条正向简单闭曲 线, 而且它的内部全含于D.
15
10.调和函数和共轭调和函数
如果二元实变函数 ( x , y ) 在区域 D内具 有二阶连续偏导数 , 并且满足拉普拉斯方程 2 2 2 2 0, x y 那末称 ( x , y ) 为区域 D 内的调和函数.
如果 C 是圆周 z z0 R e i , 则有 1 2π i f ( z0 ) f ( z R e )d . 0 0 2π 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 平均值.
14
9. 高阶导数公式
解析函数 f ( z ) 的导数仍为解析函数 , 它的 n 阶 导数为 : f
C
线 C 无关.
9
由定理得
f ( z )dz f ( z )dz z C C
1 2
z1
0
f ( z )dz
B
B
z0
C1 C2
z1
C1
z0
C2
z1
定理2
如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解
z z0
析, 那末函数 F ( z ) f ( )d 必为 B 内的一个 解析函数, 并且 F ( z ) f ( z ).
定理 区域D内的解析函数的虚部为实部的共 轭调和函数.
17
三、典型例题
例1 计算 czdz 的值，其中C为 x t , y t ,0 t 1; 1）沿从 (0,0) 到(1,1) 的线段： C1 : x t , y 0,0 t 1, 2）沿从 (0,0) 到 (1,0) 的线段： 与从 (1,0) 到 (1,1) 的线段 C 2 : x 1, y t ,0 t 1 所接成的折线. y 解
0 0
1
1
1 1 i 1 i. 2 2
说明 同一函数沿不同路径所得积分值不同.
19
例2 设C为圆周 z 1 2 证明下列不等式.
z 1 c z 1 dz 8.
证
因为 z 1 2，
所以
因此
z 1 2 z 1 z 1 2 2, 2 z 1 2
25
( 2)
ez 在C内有两个奇点z 0及z i分别 2 z ( z 1)
以z 0及z i 为圆心,以1 4 为半径作圆C1及C 2 , 则 由复合闭路定理有
ez ez ez C z( z 2 1) dz C1 z( z 2 1) dz C2 z( z 2 1) dz
zdz (t it )d(t it )
c
1
(1,1)
( t it )(1 i )dt
0
0 1
C
O
C2
2tdt 1;
0
1
C 1 (1,0)
x
18
2) zdz zdz zdz
c c1 c2
tdt (1 it )idt
任何在 D 内解析的函数,它的实部和虚部 都是 D 内的调和函数.
16
共轭调和函数
设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数 ,我 们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和 函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的共轭调和函数.
u v u v 即 在 D 内满足方程 , 的两个调 x y y x 和函数中, v 称为 u 的共轭调和函数.
z e e 在C 2内解析, f1 ( z ) 2 在C1内解析, f 2 ( z ) z( z i ) z 1
z
因此由柯西积分公式得
26
ez ez ez C z( z 2 1) dz C1 z( z 2 1) dz C2 z( z 2 1) dz
e z ( z 2 1) e z z( z i ) dz dz C1 C 2 z zi
（2）用参数方程将积分化成定积分 设简单光滑曲线C 的参数方程是
z z( t ) x( t ) iy( t ) (a t b)
连续, 则积分 f ( z )dz 存在, 且
C
则
C f ( z )dz a f [ z(t )] z(t )dt .
7
b
4. 积分的性质
2
2
故由柯西积分定理得
cos(z z 1) dz 0. z 1 2 z 2z 4
100
21
3 例4 沿指定路径C : z i 计算以下积分 2 1 ez (1) dz; ( 2) dz . 2 2 C z ( z 1) C z ( z 1)
1 在C内有两个奇点z 0及z i分别 解 (1) 2 z( z 1) 以z 0及z i 为圆心,以1 4 为半径作圆C1及C 2 , 则 由复合闭路定理有
重点：1. 复积分的基本定理；
2. 柯西积分公式与高阶导数公式
难点：复合闭路定理与复积分的计算
2
二、内容提要
有向曲线
积分的性质 柯西积分 公 式 高阶导数公式
复积分
积分存在的 条件及计算
柯西积分定理 复合闭路 定 理 原函数 的定义 调和函数和 共轭调和函数
3
1.有向曲线
设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑 )曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作 为正方向(或正向), 那末我们就把C理解为带 有方向的曲线, 称为有向曲线. 如果A到B作为曲线C的正向,
y
C
i
C2 C1
O
i
x
23
1 1 1 C z( z 2 1)dz C1 zdz C2 2( z i ) dz
1 2i 2i 2
i .
24
解法二
利用柯西积分公式
1 1 在C 2内解析, f1 ( z ) 2 在C1内解析, f 2 ( z ) z( z i ) z 1
C k 1 Ck
n
( 2) f ( z )dz 0.
其中C 及 Ck 均取正方向 ;
这里 为由 C , C1 , C 2 , , C n 组成的复合闭路 (其方向是 : C 按逆时针进行, C1 , C 2 , , C n按 顺时针进行).
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8.柯西积分公式
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处解析, C 为 D 内的任何一条正向简单 闭曲线, 它的内部完全含 于 D, z0 为 C 内任一点, 那末 1 f (z) f ( z0 ) dz . C 2i z z0
设 f ( z ), g( z )沿曲线C连续.
(1) f ( z )dz
C C C C
f ( z )dz;
( 3) [ f ( z ) g( z )]dz f ( z )dz g( z )dz;
C C C
( 2) kf ( z )dz k f ( z )dz; ( k为常数)
记 max{sk }, 当 n 无限增加且 0 时,
1 k n
如果不论对C 的分法及 k 的取法如何, Sn 有唯 一极限, 那么称这极限值为 函数 f ( z ) 沿曲线 C 的积分, 记为
f ( k ) zk . C f ( z )dz lim n k 1
定理 如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析, G ( z ) 为 f ( z ) 的一个原函数, 那末
z0
z
z1
0
f ( z )dz G ( z1 ) G ( z0 )
这里 z0 , z1 为域 B 内的两点.(牛顿-莱布尼兹公式)
11
7. 闭路变形原理
一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲 线在区域内作连续变形而改变它的值. 复合闭路定理 设 C 为 多连通域 D 内的一条简单闭曲线 ,
10
6.原函数的定义
如果函数 ( z ) 在区域 B 内的导数为f ( z ), 即 ( z ) f ( z ), 那末称 ( z ) 为 f ( z ) 在区域 B 内 的原函数.
因此 F ( z ) f ( )d 是 f ( z ) 的一个原函数.
z
f ( z ) 的任何两个原函数相差一个常数.
z 1 z 1 c z 1 dz c z 1 dz
2 2 2 8.
20
例3 解
计算
cos(z 100 z 1) dz . z 1 2 z 2z 4
当 z 1 时,
z 2 z 4 4 2 z z 4 2 1 1,
C1 , C 2 , , C n 是在 C 内部的简单闭曲线 , 它们 互不包含也互不相交 , 并且以 C , C1 , C 2 , , C n 为边界的区域全含于D, 如果 f ( z ) 在 D 内解析,
那末
D
C
C1
C2
C3
12
(1) f ( z )dz f ( z )dz ,
8
5. 柯西－古萨基本定理 (柯西积分定理)
如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析, 那末函数 f ( z ) 沿 B 内的任何一条封闭曲线C 的积分为零 :
c f ( z )dz 0.
定理1 如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解 析, 那末积分 f ( z )dz 与连结起点及终点的路
1 1 1 C z( z 2 1) dz C1 z( z 2 1) dz C2 z( z 2 1) dz
22
解法一
利用柯西-古萨基本定理及重要公式 1 1 1 1 1 1 2 z( z 1) z 2 z i 2 z i
由柯西-古萨基本定理有 1 1 C1 2 z i dz 0, 1 1 C1 2 z i dz 0, 1 1 1 C2 zdz 0, C2 2 z i dz 0,
1 1 1 C z( z 2 1) dz C1 z( z 2 1) dz C2 z( z 2 1) dz 1 ( z 1) 1 [ z( z i )] dz dz C1 C2 z zi
2
2i f1 (0) 2if 2 ( i ) 1 2i 2i i . 2
(4) 设C由C1 , C2连结而成, 则
C f ( z )dz C
1
f ( z )dz f ( z )dz;
C2
(5) 设曲线 C 的长度为 L, 函数 f ( z ) 在 C 上满足 f ( z ) M , 那末
C f ( z )dz C
f ( z ) ds ML.
y
B
那么B到A就是曲线C的负向, 记为 C .
o
A
x
4
2.积分的定义
设函数 w f ( z ) 定义在区域 D 内, C 为区域 D 内起点为 A 终点为 B的一条光滑的有向曲线 , 把曲线 C 任意分成 n 个弧段, 设分点为 A z0 , z1 , , zk 1 , zk ,, zn B ,
在每个弧段 zk 1 zk ( k 1,2,, n) 上任意取一点 k ,
y
A
1 2
z1 z2
k z k zk 1
C z n 1
B
o
x
5
作和式 Sn f ( k ) ( zk zk 1 ) f ( k ) zk ,
k 1 k 1
n
n
这里 zk zk zk 1 , sk zk 1 zk的长度,
n
y
A
1 2
z1 z2
k z k zk 1
Baidu Nhomakorabea
C z n 1
B
o
x
6
3.积分存在的条件及计算
（1）化成线积分 设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 沿逐段光滑的曲线 C
C f ( z )dz C u( x, y)dx v( x, y)dy i C v( x, y)dx u( x, y)dy.
(n)
n! f (z) ( z0 ) ( n 1,2,) n 1 dz 2i C ( z z0 )
其中 C 为在函数 f ( z ) 的解析区域 D 内围绕 z0 的 任何一条正向简单闭曲 线, 而且它的内部全含于D.
15
10.调和函数和共轭调和函数
如果二元实变函数 ( x , y ) 在区域 D内具 有二阶连续偏导数 , 并且满足拉普拉斯方程 2 2 2 2 0, x y 那末称 ( x , y ) 为区域 D 内的调和函数.
如果 C 是圆周 z z0 R e i , 则有 1 2π i f ( z0 ) f ( z R e )d . 0 0 2π 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 平均值.
14
9. 高阶导数公式
解析函数 f ( z ) 的导数仍为解析函数 , 它的 n 阶 导数为 : f
C
线 C 无关.
9
由定理得
f ( z )dz f ( z )dz z C C
1 2
z1
0
f ( z )dz
B
B
z0
C1 C2
z1
C1
z0
C2
z1
定理2
如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解
z z0
析, 那末函数 F ( z ) f ( )d 必为 B 内的一个 解析函数, 并且 F ( z ) f ( z ).
定理 区域D内的解析函数的虚部为实部的共 轭调和函数.
17
三、典型例题
例1 计算 czdz 的值，其中C为 x t , y t ,0 t 1; 1）沿从 (0,0) 到(1,1) 的线段： C1 : x t , y 0,0 t 1, 2）沿从 (0,0) 到 (1,0) 的线段： 与从 (1,0) 到 (1,1) 的线段 C 2 : x 1, y t ,0 t 1 所接成的折线. y 解
0 0
1
1
1 1 i 1 i. 2 2
说明 同一函数沿不同路径所得积分值不同.
19
例2 设C为圆周 z 1 2 证明下列不等式.
z 1 c z 1 dz 8.
证
因为 z 1 2，
所以
因此
z 1 2 z 1 z 1 2 2, 2 z 1 2
25
( 2)
ez 在C内有两个奇点z 0及z i分别 2 z ( z 1)
以z 0及z i 为圆心,以1 4 为半径作圆C1及C 2 , 则 由复合闭路定理有
ez ez ez C z( z 2 1) dz C1 z( z 2 1) dz C2 z( z 2 1) dz
zdz (t it )d(t it )
c
1
(1,1)
( t it )(1 i )dt
0
0 1
C
O
C2
2tdt 1;
0
1
C 1 (1,0)
x
18
2) zdz zdz zdz
c c1 c2
tdt (1 it )idt
任何在 D 内解析的函数,它的实部和虚部 都是 D 内的调和函数.
16
共轭调和函数
设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数 ,我 们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和 函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的共轭调和函数.
u v u v 即 在 D 内满足方程 , 的两个调 x y y x 和函数中, v 称为 u 的共轭调和函数.
z e e 在C 2内解析, f1 ( z ) 2 在C1内解析, f 2 ( z ) z( z i ) z 1
z
因此由柯西积分公式得
26
ez ez ez C z( z 2 1) dz C1 z( z 2 1) dz C2 z( z 2 1) dz
e z ( z 2 1) e z z( z i ) dz dz C1 C 2 z zi
（2）用参数方程将积分化成定积分 设简单光滑曲线C 的参数方程是
z z( t ) x( t ) iy( t ) (a t b)
连续, 则积分 f ( z )dz 存在, 且
C
则
C f ( z )dz a f [ z(t )] z(t )dt .
7
b
4. 积分的性质
2
2
故由柯西积分定理得
cos(z z 1) dz 0. z 1 2 z 2z 4
100
21
3 例4 沿指定路径C : z i 计算以下积分 2 1 ez (1) dz; ( 2) dz . 2 2 C z ( z 1) C z ( z 1)
1 在C内有两个奇点z 0及z i分别 解 (1) 2 z( z 1) 以z 0及z i 为圆心,以1 4 为半径作圆C1及C 2 , 则 由复合闭路定理有