复变函数课后习题答案(全)
复变函数课后部分答案
3 5 z i, 2 2
.
5 Argz arctan 2k , k 0, 1, 3
2.当x, y等于什么实数时，等式 x 1 i( y 3) 1 i 5 3i 成立。
解： 原式等价于x 1 i( y 3) 2 8i,
由这四个偏导数连续，可知u,v在整个复平面可微；
柯西 黎曼方程在x 0, y 1时成立，
所以f ( z)只在z i点可导，在整个复平面上处处不解析。
知识点7.
课堂练习：
5.若e2z-1 = 1,求z的值。
解：
2 z 1 Ln1 ln1 2k i 2k i,
5.指出下列各题中点z的轨迹，并作图： 1 ） z 2 3i 5;
解： 1 ）设z = x+iy,
x iy 2 3) 5,
( x 2) 2 ( y 3) 2 5,
为一圆周： ( x 2)2 ( y 3)2 25;
知识点3.
课堂练习：
2.若(1 i)n (1 i)n , 试求n的值。
解：由已知可得，
n n n n n 2 2 (cos i sin ) 2 (cos i sin ), 4 4 4 4 即 n n n n sin sin 2 k . 4 4 4 4 n 2
解： 1 ）函数的奇点是 z 0, z i.
2）函数的奇点是z 1, z i.
exp[exp( i)] exp[cos 1 i sin 1]
ecos1[cos(sin1) i sin(sin1)]
Im{exp[exp(i)]} ecos1 sin(sin1);
复变函数课后习题答案(全)
创作编号：BG7531400019813488897SX创作者：别如克*习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+（2）(1)(2)ii i--（3）131ii i--（4）8214i i i-+-解：（1）1323213i zi-==+，因此：32 Re, Im1313 z z==-，232arg arctan,31313z z z i==-=+（2）3(1)(2)1310i i izi i i-+===---，因此，31Re, Im1010z z=-=，131arg arctan,31010 z z z iπ==-=--（3）133335122i i iz ii i--=-=-+=-，因此，35Re, Im32z z==-，535,arg arctan,232iz z z+ ==-=（4）82141413z i i i i i i=-+-=-+-=-+因此，Re1,Im3z z=-=，arg arctan3,13z z z iπ==-=--2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ-（5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3． 求下列各式的值：（1）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin()))66i i ππ=-+-=-+（2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin)33)sin()][cos()sin()]44i ii iππθθππθθ-+-+=-+--+-)sin()](cos2sin2)1212i iππθθ=-+-+(2)12)sin(2)]1212iiπθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin5)(cos3sin3)iiϕϕϕϕ+-cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)iiiϕϕϕϕϕϕ+==+-+-（5=11cos(2)sin(2)3232k i kππππ=+++1,0221,122,2i ki ki k+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6=11(2)sin(2)]2424k i kππππ=+++88,0,1iie ke kππ==⎪=⎩4．设12,z z i==-试用三角形式表示12z z与12zz解：12cos sin, 2[cos()sin()]4466 z i z iππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5． 解下列方程： （1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=>解：（1）z i += 由此25k i z i ei π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）z==11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：(1), 1), 1), )i i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,zx iy =+z x y≤≤+证明：首先，显然有z x y =≤+；创作编号：BG7531400019813488897SX创作者： 别如克*其次，因222,x y x y +≥ 固此有2222()(),x y x y +≥+从而z =≥。
复变函数论第三版课后习题答案[1]
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第一章习题解答（一）1．设z ，求z 及Arcz 。
解：由于3i z e π-==所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=± 。
2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。
解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。
3．解二项方程440,(0)z a a +=>。
解：12444(),0,1,2,3k ii z a e aek πππ+====。
4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
复变函数课后部分答案
1 u v . 4
2 2
7.已知映射 z , 求：
3
2）区域0 arg z
解： 2）设z = re ,
3
3
在平面上的像。
i 3 3 3i
i
w (re ) r e ,
3 映成0 arg z .
映射 z 将区域0 arg z
8.下列函数何处可导？何处解析？ 1 ）f ( z) x2 yi; 3) f ( z) xy 2 ix 2 y;
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重， 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
复变函数课后部分习题解答
1.2求下列各式的值。
〔1<3-i>5 解：3-i=2[cos< -30°>+isin<-30°>]=2[cos30°- isin30°] <3-i>5=25[cos<30°⨯5>-isin<30°⨯5>]=25<-3/2-i/2> =-163-16i1.2求下列式子的值〔2〔1+i 6解：令z=1+i 则x=Re 〔z=1,y=Im 〔z=1 r=z =22y x +=2tan θ=x y =1x>0,y>0∴θ属于第一象限角∴θ=4π ∴1+i=2〔cos4π+isin 4π ∴〔1+i 6=〔26〔cos 46π+isin 46π =8〔0-i=-8i1.2求下式的值 <3>61-因为-1=〔cos π+sin π所以61-=[cos<ππk 2+/6>+sin<ππk 2+/6>] <k=0,1,2,3,4,5,6>. 习题一1.2〔4求<1-i>31的值。
解：<1-i>31 =[2<cos-4∏+isin-4∏>]31 =62[cos<12)18(-k ∏>+isin<12)18(-k ∏>] <k=0,1,2> 1.3求方程3z +8=0的所有根。
解：所求方程的根就是w=38-因为-8=8〔cos π+isin π 所以38-= ρ [cos<π+2k π>/3+isin<π+2k π>/3] k=0,1,2 其中ρ=3r =38=2即1w =2[cos π/3+isin π/3]=1—3i2w =2[cos<π+2π>/3+isin<π+2π>/3]=-23w =2[cos<π+4π>/3+isin<π+4π>/3]= 1—3i习题二1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域,并指明它是有界还是无界的,单连通还是多连通的。
复变函数论第三版课后习题答案
第一章习题解答（一）1．设z ，求z 及Arcz 。
解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±。
2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。
解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。
3．解二项方程440,(0)z a a +=>。
解：12444(),0,1,2,3k ii za e aek πππ+====。
4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
复变函数论习题及答案
第一章习题1．设12z -=，求||z 及Arg z .2．设12z z i ==，试用指数形式表 z 1 z 2及12z z .3．解二项方程440(0).z a a +=> 4．证明2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
5．设z 1、z 2、z 3三点适合条件： 1231230 |z ||||| 1.z z z z z ++=++=及试证明z 1、z 2、z 3是一个内接于单位圆周||1z =的正三角形的顶点。
6．下列关系表示的点z 的轨迹的图形是什么？它是不是区域？ （1）1|212|||,()z z z z z z -=-≠；（2）|||4|z z ≤-；（3）111z z -<+；（4）0arg(1) 2Re 34z z π<-<≤≤且；（5）|| 2 z >且|3|1z ->； （6）Im 1 ||2z z ><且；（7）||2 0arg 4z z π<<<且；（8）131 2222i i z z ->->且.7．证明：z 平面上的直线方程可以写成 .az az c += （a 是非零复常数，c 是实常数）8．证明：z 平面上的圆周可以写成0Azz z z C ββ+++=.其中A 、C 为实数，0,A β≠为复数，且2||.AC β> 9．试证：复平面上的三点1,0,a bi a bi +-+共直线。
10．求下列方程（t 是实参数）给出的曲线： （1）(1)z i t =+； （2）cos sin z a t ib t =+；（3）i z t t =+； （4）22i z t t =+.11．函数1w z =将z 平面上的下列曲线变成w 平面上的什么曲线（,z x iy w u iv =+=+）？（1）224;x y +=（2）y x =；（3）x = 1； （4）( x -1)2+y 2=1. 12．试证：（1）多项式1010()(0)n n n p z a z a z a a -=+++≠在z 平面上连续；（2）有理分式函数101101()n n nm m m a z a z a f z b z b z b --+++=+++（000,0a b ≠≠）在z 平面上除分母为的点外都连续。
复变函数课后部分答案
1 u v . 4
2 2
7.已知映射 z , 求：
3
2）区域0 arg z
解： 2）设z = re ,
3
3
在平面上的像。
i 3 3 3i
i
w (re ) r e ,
3 映成0 arg z .
映射 z 将区域0 arg z
8.下列函数何处可导？何处解析？ 1 ）f ( z) x2 yi; 3) f ( z) xy 2 ix 2 y;
3)u xy2 , v x 2 y,
u u v v y2, 2 xy, 2 xy, x 2 , u, v在复平面上可微； x y x y
y 2 x,2 xy 2 xy,
f ( z)在原点(0,0)上满足C R条件；
f ( z)仅在(0,0)上可导，在复平面上处处不解析。
9.指出下列函数的解析性区域，并求其导数。 1 3 1 ）z 2iz; 3) 2 ; z 1
解： 1 ）在整个复平面上解析 ，f ' ( z ) 3z 2i; 2z 3)除z 1点外处处解析， f ' ( z ) 2 ; 2 ( z 1)
2
11.求下列函数的奇点： z 1 z 3 1 ） 2 ; 2) . 2 2 z ( z 1) ( z 1) ( z 1)
x 1 2 有 , y 3 8
x 1 即 . y 11
3.将下列复数化为三角式和指数式： 1 ） 5i; 3)1 i 3;
解： 1 ）z
i 2
;
3) z 2[cos( ) i sin( )] 2e ; 3 3
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习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+（2）(1)(2)ii i--（3）131ii i--（4）8214i i i-+-解：（1）1323213i zi-==+，因此：32 Re, Im1313 z z==-，232arg arctan,31313z z z i==-=+（2）3(1)(2)1310i i izi i i-+===---，因此，31Re, Im1010z z=-=，131arg arctan,31010z z z iπ==-=--（3）133335122i i iz ii i--=-=-+=-，因此，35Re, Im32z z==-，535,arg arctan,232iz z z+==-=（4）82141413z i i i i i i=-+-=-+-=-+因此，Re1,Im3z z=-=，arg arctan3,13z z z iπ==-=--2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i（2）1-+（3）(sin cos)r iθθ+（4）(cos sin)r iθθ-（5）1cos sin (02)iθθθπ-+≤≤解：（1）2cos sin22ii i eπππ=+=（2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3． 求下列各式的值：（1）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin()))66i i ππ=-+-=-+（2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )33)sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-)sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)12)sin(2)]1212ii πθππθθ-=-+-=（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- （5=11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++1, 0221, 122, 2i k i k i k +=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩（6=11(2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++88, 0, 1i i e k e k ππ==⎪=⎩4．设12 ,z z i ==-试用三角形式表示12z z 与12z z解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5． 解下列方程： （1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=>解：（1）z i += 由此25k iz i e iπ=-=-，(0,1,2,3,4)k=（2）z==11[cos(2)sin(2)]44a k i kππππ=+++，当0,1,2,3k=时，对应的4(1),1),1),)i i i i+-+---6．证明下列各题：（1）设,z x iy=+z x y≤≤+证明：首先，显然有z x y=≤+；其次，因222,x y x y+≥固此有2222()(),x y x y+≥+从而z=≥。
（2）对任意复数12,,z z有2221212122Re()z z z z z z+=++证明：验证即可，首先左端221212()()x x y y=+++，而右端2222112211222Re[()()]x y x y x iy x iy=+++++-2222112212122()x y x y x x y y=+++++221212()()x x y y=+++，由此，左端=右端，即原式成立。
（3）若a bi+是实系数代数方程10110n nna z a z a z a--++++=的一个根，那么a bi-也是它的一个根。
证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，()n nz z=，由此得到：10110()()0n nna z a z a z a--++++=由此说明：若z为实系数代数方程的一个根，则z也是。
结论得证。
（4）若1,a=则,b a∀≠皆有1a baab-=-证明：根据已知条件，有1aa =，因此：11()a b a b a b a ab aa ab a a b a ---====---，证毕。
（5）若1, 1a b <<，则有11a bab-<- 证明：222()()a b a b a b a b ab ab -=--=+--，2221(1)(1)1ab ab ab a b ab ab -=--=+--，因为1, 1a b <<，所以，2222221(1)(1)0a b a b a b +--=--< ，因而221a b ab -<-，即11a bab-<-，结论得证。
7．设1,z ≤试写出使n z a +达到最大的z 的表达式，其中n 为正整数，a 为复数。
解：首先，由复数的三角不等式有1n n z a z a a +≤+≤+，在上面两个不等式都取等号时n z a +达到最大，为此，需要取nz与a 同向且1nz =，即nz 应为a 的单位化向量，由此，naz a=，z =8．试用123,,z z z 来表述使这三个点共线的条件。
解：要使三点共线，那么用向量表示时，21z z -与31z z -应平行，因而二者应同向或反向，即幅角应相差0或π的整数倍，再由复数的除法运算规则知2131z z Argz z --应为0或π的整数倍，至此得到：123,,z z z 三个点共线的条件是2131z z z z --为实数。
9．写出过1212, ()z z z z ≠两点的直线的复参数方程。
解：过两点的直线的实参数方程为： 121121()()x x t x x y y t y y =+-⎧⎨=+-⎩， 因而，复参数方程为：112121121()()z x iy x iy t x x iy iy z t z z =+=++-+-=+-其中t 为实参数。
10．下列参数方程表示什么曲线？（其中t 为实参数）（1）(1)z i t =+ （2）cos sin z a t ib t =+ （3）iz t t=+解：只需化为实参数方程即可。
（1）,x t yt ==，因而表示直线y x =（2）cos ,sin x a t y b t ==，因而表示椭圆22221x y a b+=（3）1,x t y t==，因而表示双曲线1xy =11．证明复平面上的圆周方程可表示为 0zz az az c +++=，其中a 为复常数，c 为实常数 证明：圆周的实方程可表示为：220xy Ax By c ++++=，代入, 22z z z z x y i +-==，并注意到222x y z zz +==，由此 022z z z zzz A B c i+-+++=， 整理，得022A Bi A Bizz z z c -++++=记2A Bia +=，则2A Bi a -=，由此得到0zz az az c +++=，结论得证。
12．证明：幅角主值函数arg z 在原点及负实轴上不连续。
证明：首先，arg z 在原点无定义，因而不连续。
对于00x <，由arg z 的定义不难看出，当z 由实轴上方趋于0x 时，arg zπ→，而当z 由实轴下方趋于0x 时，arg z π→-，由此说明0lim arg z x z →不存在，因而arg z 在0x 点不连续，即在负实轴上不连续，结论得证。
13．函数1w z=把z 平面上的曲线1x =和224x y +=分别映成w 平面中的什么曲线？解：对于1x =，其方程可表示为1zyi =+，代入映射函数中，得211111iyw u iv z iy y-=+===++， 因而映成的像曲线的方程为 221, 11yu v y y-==++，消去参数y ，得 2221,1u v u y +==+即22211()(),22u v -+=表示一个圆周。
对于224x y +=，其方程可表示为2cos 2sin z x iy i θθ=+=+代入映射函数中，得11cos sin 2cos 2sin 2i w u iv z i θθθθ-=+===+因而映成的像曲线的方程为 11cos , sin 22u v θθ==-，消去参数θ，得2214uv +=，表示一半径为12的圆周。
14．指出下列各题中点z 的轨迹或所表示的点集，并做图：解：（1）0 (0)z z r r -=>，说明动点到0z 的距离为一常数，因而表示圆心为0z ，半径为r 的圆周。
（2）0,z z r -≥是由到0z 的距离大于或等于r 的点构成的集合，即圆心为0z 半径为r 的圆周及圆周外部的点集。
（3）138,z z -+-=说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常数，因而表示一个椭圆。
代入,zx iy ==化为实方程得22(2)11615x y -+=（4）,z i z i +=-说明动点到i 和i -的距离相等，因而是i 和i -连线的垂直平分线，即x 轴。
（5）arg()4z i π-=，幅角为一常数，因而表示以i 为顶点的与x 轴正向夹角为4π的射线。
15．做出下列不等式所确定的区域的图形，并指出是有界还是无界，单连通还是多连通。