微分几何第四版答案

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微分几何第四版习题答案梅向明知识分享

第一章曲统论§2向虽函敎缶向试曲数只/)具冇固定方向的充雯条件衆产⑺X ?'(/)= 0・分析：一个向量函数只刀•般可以写成尺/)二久⑺2(/)的尬式’其中乳0为单位向量函数‘ 粗刀为数量函数.那么尺”具有因宦方向的充要条件是只"具有固宦方向*即罠/)为常向量, (例为秋/)的长度固定人证对F向虽函数？(/),设机/)为梵单位向負则尺f)二几⑺&⑺，若疋具有園定方向1 如巩“对常向殳’那么?(/) = A r(/) e ,所以rX7 = ^ ｝：<^X ) =o・反 Z,若?x?=0 ★对 ^(/) = A(/) e(/)求 A 1i+A 0・rft?XF=A1〔3><了)”6・则有Z 7 或e\e'=Q时* ?(^) = 0可与任意方向平杜hZ * 0 时，有&x 0—6.血(Ex 0 ~(e e* )2-e,2t (因为$ 貝冇固运匕t所以?=O.即P为常向第。

所以，r(/)A有固运方向.6.向绘歯数半行于固立屮面的充摆杀件是(F尹产)司卩分析:向呈诵数？W平If于固定平面的充要余件是存在•牛定向向蚩50*使？(心 = 0 ,所以我们蹩耳求这个向旅亓及万与尹.严的尢系"证若尺刀半苻于個址羊面—设乔足¥面斗的•个单位迖向嵐则习为常向議H?(/) 7t-0 -两次求微商色尸7 =0・?y 7i=0 ,即问最孑，戸‘唾直于同•非零向輦无因而典而*即(F戶尹')刃.反之，若(? r1 F M) =0i则有r x ?=6戒产x戸工6 .若产x? = 0i由匕题柯产(/) 具冇■的崔方向、白然半fr于一固宦半面，若rx? H 0(则存圧数母焰数入(“、H&n使戸'= 乔*尹①令聞*厂桁丰6,且;V)丄讯/)* 4^7 X?求微商井将①式代入得用=Fx P*—/I t r X r1)—p f是x ^' —6 .市上题划另4fhM眾方向，而F(f)丄苑即巩f) 平存于固進半而S3曲线的概念1-求圆柱螺^T=cosr- ,F=sinr, f *在(1Q 0)的切线和注平面。

微分几何_课后习题答案_第四版_梅向明_黄敬之编[1]

§1曲面的概念1.求正螺面r={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r=｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr=}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

4．求椭圆柱面22221x y ab+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。

(整理)微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)

第一章曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。

分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

证对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。

当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0），所以 'e =0 ，即e为常向量。

所以，)(t r 具有固定方向。

6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。

微分几何第四版习题答案解析梅向明

§1曲面的概念1、求正螺面r r={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线、解 u-曲线为r r={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0,bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0},为曲线的直母线;v-曲线为r r={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线.２.证明双曲抛物面r r＝｛a(u+v), b(u-v),2uv ｝的坐标曲线就就是它的直母线。

证 u-曲线为r r={ a(u+0v ), b(u-0v ),2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r r=｛a(0u +v), b(0u -v),20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3.求球面r r=}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面与法线方程。

解 ϑr ρ=}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ,ϕr ρ=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ; 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

4.求椭圆柱面22221x y a b+=在任意点的切平面方程,并证明沿每一条直母线,此曲面只有一个切平面。

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【最新整理，下载后即可编辑】§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=-。

第四版微分几何第二章.课后答案解析

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微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)

第一章曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。

证对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。

当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0），所以 'e =0 ，即e 为常向量。

所以，)(t r 具有固定方向。

6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。

微分几何第四版答案（三）曲面的第二基本形式

微分几何第四版答案（三）曲面的第二基本形式§3曲面的第二基本形式1. 计算悬链面r r={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.解 u r ={sinhucosv,sinhusinv,1},v r={-coshusinv,coshucosv,0} uu r ={coshucosv,coshusinv,0},uv r ={-sinhusinv,sinhucosv,0},vv r ={-coshucosv,-coshusinv,0},2u r E = cosh 2u,v u r r F=0,2v r G =cosh 2u.所以错误!未找到引用源。

= cosh 2u 2du + cosh 2u 2dv .n =2F EG r r v u =}sin sinh ,sin cosh ,cos cosh {cosh 12v u v u v u u, L=11sinh cosh 2u , M=0, N=1sinh cosh 2u =1 .所以错误!未找到引用源。

= -2du +2dv 。

2. 计算抛物面在原点的22212132452x x x x x 第一基本形式,第二基本形式.解曲面的向量表示为}225,,{22212121x x x x x x r ,}0,0,1{}25,0,1{)0,0(211 x x r x ,}0,1,0{}22,1,0{)0,0(212 x x rx ,}5,0,0{11 x x r, }2,0,0{21 x x r ,}2,0,0{22 x x r, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,错误!未找到引用源。

=2221dx dx , 错误!未找到引用源。

=222121245dx dx dx dx .3. 证明对于正螺面r r={u v cos ,u v sin ,bv},-∞<u,v< bdsfid="97" p=""></u,v<>解 },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u，uu r ={0,0,0},uv r ={-uucosv,cosv,0},vv r ={-ucosv,-usinv,0},12 u r E ，0 v u r r F，222b u r G v， L= 0, M =22bu b , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 .4. 求出抛物面)(2122by ax z在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率. 解}0,0,1{},0,1{)0,0( ax r x ,}0,1,0{},1,0{)0,0( by r y ,},0,0{a r xx,}0,0,0{ xy r },0,0{b r yy ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy 的法曲率2222dydx bdy adx k n . 5. 已知平面到单位球面(S)的中心距离为d(0<d<=""></d解设平面与(S) 的交线为(C), 则(C)的半径为21d ,即(C)的曲率为211d k,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于 21d ,所以(C)的法曲率为n k k 21d = 1 .6. 利用法曲率公式IIIk n ,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比例。

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第一章曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。

分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。

当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e=0，而（e ×'e 2)=22'e e -(e·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0），所以 'e =0 ，即e为常向量。

所以，)(t r 具有固定方向。

6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。

微分几何第四版习题答案梅向明2

§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

4．求椭圆柱面22221x y a b+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。

微分几何第四习题答案

微分几何第四习题答案问题1：曲线的曲率和挠率给定平面曲线 $ r(t) = (x(t), y(t)) $，其中 $ x(t) $ 和$ y(t) $ 是 $ t $ 的可微函数。

求曲线在 $ t_0 $ 处的曲率$ k(t_0) $。

解答：首先，计算曲线的导数：\[ r'(t) = (x'(t), y'(t)) \]\[ r''(t) = (x''(t), y''(t)) \]曲率 $ k(t) $ 定义为：\[ k(t) = \frac{||r'(t) \times r''(t)||}{||r'(t)||^3} \]在 $ t_0 $ 处代入上述公式，计算得到 $ k(t_0) $。

问题2：曲面的第一基本形式考虑曲面 $ S $ 在点 $ p $ 的局部参数化 $ X(u, v) $。

求$ S $ 在 $ p $ 处的第一基本形式。

解答：第一基本形式由度量张量给出，定义为：\[ g_{ij} = \langle X_u, X_v \rangle \]其中，$ X_u = \frac{\partial X}{\partial u} $ 和 $ X_v = \frac{\partial X}{\partial v} $ 是 $ X $ 相对于 $ u $ 和$ v $ 的偏导数。

计算 $ g_{ij} $ 的矩阵 $ [g_{ij}] $，即为曲面 $ S $ 在点 $ p $ 处的第一基本形式。

问题3：高斯曲率的计算已知曲面 $ S $ 在点 $ p $ 的第一基本形式为 $ [g_{ij}] $ 和第二基本形式为 $ [h_{ij}] $。

求 $ S $ 在 $ p $ 处的高斯曲率 $ K $。

微积分第四版答案曲面的概念+曲面的第一基本形式

§ 1曲面的概念1.求正螺面'=｛ u m ,u •匸.，bv ｝的坐标曲线.解u-曲线为'={u - '二，u '1 1 ,bv J }= {0,0 , bv：} + u {八宀，：n- 1- ,0｝，为曲线的直母线;v-曲线为'=｛心：；八，Y •匚，bv ｝为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物面"=｛a （u+v）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证u-曲线为，=｛ a （u+" ）, b （u-门），2u^｝=｛a , b、,0｝+ u｛a,b,2 J｝表示过点｛a小,b厂,0｝以｛a,b,2「｝为方向向量的直线;v-曲线为'=｛a （"：+v）, b C ' -v ）,2 一〕v｝= ｛a ：l, b‘），0 ｝+v｛a,- b,2 1 ｝表示过点（a^ , b "」,0）以｛a,-b,2 ‘‘ - ｝为方向向量的直线。

3. 求球面・；' 一上任意点的切平面和法线方程。

解心= （一乩乞尬0亡。

2卩厂订呂如朴羽口旦召｝心｛一匸cos sin p,a co; & cos（p F0）任意点的切平面方程为x-a cos^?cy - a cos 5 sin 炉-jcin ^sin 妒Q cos^i ctos (p 即xcos 「cos'" + ycos - si n 山 + zsin - a = 0法线方程为z - ju_ JZ7COS 呑z- a ccs^oas q? y- acos T9SITL込一肚sm®4•求椭圆柱面/ ■在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线,解椭圆柱面1 的参数方程为x = cos= asiz = tr e = (-Ljsin Ebe 恥 $0}。

所以切平面方程为:5•证明曲面是常数。

的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积E =〔叫羊｝* x y uv斥二｛0 丄- + -^—^3。

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微分几何第四版答案
第一部分曲线与曲面的局部微分几何
第一章欧氏空间
1.1 向量空间
1.2 欧氏空间
第二章曲线的局部理论
2.1 曲线的概念
2.2 平面曲线
2.3 E的曲线
2.4 曲线论基本定理
第三章曲面的局部理论
3.1 曲面的概念
3.2 曲面的第一基本形式
3.3 曲面的第二基本形式
3.4 法曲率与weingarten变换
3.5 主曲率与Gauss曲率
3.6 曲面的一些例子
第四章标架与曲面论基本定理
4.1 活动标架
4.2 自然标架的运动方程
4.3 曲面的结构方程
4.4 曲面的存在惟一性定理
4.5 正交活动标架
4.6 曲面的结构方程（外微分法）
第五章曲面的内蕴几何学
5.1 曲面的等距变换
5.2 曲面的协变微分
5.3 测地曲率与测地线
5.4 测地坐标系
5.5 Gauss-Bonnet公式
5.6 曲面的Laplace算子
5.7 Riemann度量
第二部分整体微分几何选讲
第六章平面曲线的整体性质
6.1 平面的闭曲线
6.2 平面的凸曲线
第七章曲面的若干整体性质
7.1 曲面的整体描述
7.2 整体的Gauss-Bonnet公式
7.3 紧致曲面的Gauss映射
7.4 凸曲面
7.5 曲面的完备性
第八章常Gauss曲率曲面
8.1 常正Gauss曲率曲面
8.2 常负Gauss曲率曲面与sine-Gordon方程8.3 Hilbert定理
8.4 Backlund变换
第九章常平均曲率曲面
9.1 Hopf微分与Hopf定理
9.2 Alexsandrov惟一性定理
9.3 附录：常平均曲率环面
第十章极小曲面
10.1 极小图
10.2 极小曲面的weierstrass表示
10.3 极小曲面的Gauss映射
10.4 面积的变分与稳定极小曲面
索引。

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微分几何第四版习题答案解析梅向明

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第四版微分几何第二章.课后答案解析

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