高考数学-平面向量专题复习

平面向量

【考点例题解析】

考点 1. 共线定理应用

例一：平面向量a,b 共线的充要条件是（）

A. a,b 方向相同

B. a,b 两向量中至少有一个为零向量

C.存在R, b a

D.存在不全为零的实数1, 2, 1 a 2 b 0

变式一：对于非零向量a,b， a b 0 ”是“ a//b ”的（）

A. 充分不必要条件

B.必要不充分条件

C. 充分必要条件

D.既不充分也不必要条

件

变式二：设a,b 是两个非零向量（）

A.若a b a_b 则a b

B. 若a b，则a b a_b

C. 若a b a_b ，则存在实数b a D 若存在实数，使得b a ，则a b a _ b

例二：

设两个非零向

量

e1与

e

，不共线，

（1）如果AB e1e2 ,BC3e12e2 , CD8e12e2,求证：A,C,D三点共线；

，使得

（2

如果AB e1e2 ,BC2e13e2 , CD2e1ke2,且A,C,D三点共线，求实数k 的）

变式一： 设 e 1 与 e 2 两个不共线向量， AB 2e 1 ke 2 ,CB e 1 3e 2 , CD 2e 1 e 2, 若三点 A,B,D 共线，求实数 k 的值。

A.A,B,D

B.A,B,C

C.B,C,D

D.A,C,D

考点 2. 线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用 例一： 设 P 是三角形 ABC 所在平面内的一点，

2BP

C. 0

BC PB BA, 则（ PC D.

）

0 PC PA

PB

A. 0 PA PB

B. 0 PC PA

变式一：

已知 O 是三角形 ABC 所在平面内一点，

D 为 BC 边的中点， 且

2OA OB

OC ,那么（ ）A. A0 OD

B. A0 2OD

C. A0 3OD

D. 2A0

OD

例二： 在三角形

ABC 中，

AB c ， AC b ,若点 D 满足 BD 2DC ,则 AD （ ） 2 1

5 2 2 1 12 A. b c, B. c b, C. b c, D. b c, 3 3

3 3 3 3 33

变式二： 已知向量 a,b ，且 AB a 2b,BC

5a 2b,CD 7a 2b, 则一定共线的三点是(

变式二： 在平行四边形 ABCD 中 AB a ，AD b ， AN 3NC ,M 为 BC 的中点，则 MN （ 用 a,b 表示 ）

变式二：设 D,E,F 分别 是三角 形 ABC 的边 BC,CA,AB 上的 点，且 DC 2BD, CE 2EA, AF 2FB,则

AD BE, CF 与 BC ( )

A. 反向平行

B. 同向平行

C.互相垂直

D.既不平行也不垂直

变式四： 在平行四边形 ABCD 中，

AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点 F ，若

1 1

2 1 1 1

1 2 AC a, BD b, 则 AF (

)A. a b, B.

a b, C. a b, D. a

b, 4 2

3 3 2

4 3 3

考点 3 ：三点共线定理及其应用

例一： 点 P 在 AB 上，求证： OP OA OB 且

=1 ( , R,)

AB mAM, AC nAN,则 m+n=

变式一 : 在三角形 ABC 中，点 D 在边 AB 上， CD 平分角 ACB, CB

a ， CA

b ,a 1,

2,则 CD (

1 2

2 1

3

4 A. a b, B. a b, C. a b 3 3 3 3

5 5

43

D.

a b, 55

变式三： 在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点， 若 AC

AE AF ,其 R,则

变式： 在三角形 ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点

O 的直线分别交直线 AB 、 AC 于不同的两点 M 和 N, 若

例二：在平行四边形 ABCD 中， E,F 分别是 BC,CD 的中点， DE 与AF 交于点 H,设 AB a, BC b,则 AH

2 4 2

4

2 4 2 4

A. a b,

B. a b,

C. a b,

D.

a b, 5 5 5 5 5 5

5 5

变式：在三角形 ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 是边 AC 上一点且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,若 AP PM,

求 的值。

考点 4 ： 向量与三角形四心 一、 内 心

、重心

例一： O 是 ABC 所在平面内一定点， 动点 P 满足

OP OA

( AB AC )

AB AC

0，

）

，则点 P

的轨迹一定通过 ABC 的（ ）A. 外心 B.内心

C.重心

D.垂心

AB AC

变式一： 已知非零向量 AB 与 AC 满足 （

） BC

AB AC

AB AC 1

，且 AB AC 2 ，则 ABC 为( )

A. 等边三角形

B. 直角三角形

C. 等腰非等边三角形

D.三边均不相等的三角形

变式二： AB PC BC PA CA PB 0

P 为 ABC 的内心

例一： O 是 ABC 内一点， OC OA OB

0 ，则为 ABC 的（ ）A.外心 B. 内心 C.重心 D.垂心

变式一： 在 ABC 中， G 为平面上任意一点，证明：

GO 13(GA GB GC )

O 为 ABC 的重心