弧长公式、扇形面积公式及其应用(含经典习题)

弧长公式、扇形面积公式及其应用(含经典习题)

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

弧长及扇形的面积

圆锥的侧面积

二. 教学要求

1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。

2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。

三. 重点及难点

重点：

1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。

2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。

难点：

1、弧长公式、扇形面积公式的推导。

2、圆锥的侧面积、全面积的计算。

［知识要点］

知识点1、弧长公式

因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C

＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的

弧长l的计算公式：，

说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧

长l时，不要错写成。

（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。

知识点2、扇形的面积

如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1°的扇形

面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计

算公式是。

又因为扇形的弧长，扇形面积

，所以又得到扇形面积的另一个计

算公式：。

知识点3、弓形的面积

（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。

（2）弓形的周长＝弦长＋弧长

（3）弓形的面积

知识点4、圆锥的侧面积

圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全面积

说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。

（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。

知识点5、圆柱的侧面积

圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积，圆柱的全面积

知识小结：

圆锥与圆柱的比较

【典型例题】

例 1. （2003.辽宁）如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为2，1，∠AOB＝120°，则阴影部分的面积是（）

A. B. C. D.

例2. （2003.福州）如图所示，已知扇形AOB 的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形AOB，点C，E，D分别在OA，OB及AB弧上，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F，垂足为F，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为（）

例3. 如图所示，直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AB＝2，BC＝7，AD＝3，以BC为轴把直角梯形ABCD旋转一周，求所得几何体的表面积。

例4. （2003.宁波）已知扇形的圆心角为120°，面积为300平方厘米

（1）求扇形的弧长。

（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？

。

模拟练习题

一、选择题

1. 若一个扇形的圆心角是45°，面积为2л，则这个扇形的半径是（）

A. 4

B. 2

C. 47л

D. 2л

2. 扇形的圆心角是60°，则扇形的面积是所在图面积的（）

A. B. C. D.

3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆

心角是（）

A. 90°

B.

C.

D.180°

4. 两同心圆的圆心是O，大圆的半径是以OA，OB分别交小圆于点M，N．已知大圆半径是小圆半径的3倍，则扇形OAB的面积是扇形OMN 的面积的（）

A. 2倍

B. 3倍

C. 6倍

D. 9倍

5. 半圆O的直径为6cm，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积是（）

A. B.

C. D.

6 用一个半径长为6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（）

A. 2cm

B. 3cm

C. 4cm

D. 6cm

7. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 ：2，这个圆锥的轴截面的顶角是（）

A. 30°

B. 60°

C. 90°

D. 120°

8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1∶2，则它们的高之比为（）

A. 2：1

B. 3：2

C. 2：

D. 5：

9. 如图，在△ABC中，∠C ＝Rt∠，AC > BC，若以AC为底面圆半径，BC为高的圆锥的侧面积为S1，以BC为底面圆半径，AC为高的圆锥的侧面积为S2，则（）

A. S1＝S2

B. S1 > S2

C. S1 < S2

D. S1、S2的大小关系不确定

二、填空题

1. 扇形的弧长是12лcm，其圆心角是90°，则扇形的半径是cm ，扇形的面积是cm

2.

2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是.

3. 已知扇形面积是12cm2，半径为8cm，则扇形周长为.

4 在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝90°，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△ABC绕AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2，则S1：S2＝。

5. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm，要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有cm。

6. 如图，扇形AOB的圆心角为60°，半径为6cm，C，D分别是的三等分点，则阴影部分的面积是。

7. 如图正方形的边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2为半径画弧，则阴影部分面积为。