2020年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷(3月份)
2020届浙江省杭州市学军中学高三下学期高考模拟数学试题
2020届浙江省杭州市学军中学高三下学期高考模拟数学试题考生注意：1.全卷满分150分.考试用时120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上的答案一律无效.4.考试结束后，只需上交答题卷. 参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B =若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()() 1 0,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=台体的体积公式：()1213V S S h =+，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底而积，h 表示台体的高柱体的体积公式： VSh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式：24S R π=，球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}1,2,4A =，{}0,2,4B =，则A B =（ ）A. {}2,4B. {}0,1,2,4C. {}0,1,2,2,4D. {}04x x ≤≤【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义计算,【详解】∵{}1,2,4A =，{}0,2,4B =，∴{0,1,2,4}A B ⋃=．故选：B ．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于简单题．2. 双曲线22149x y -=的实轴长为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程知实轴长为2a ，可知双曲线22149x y -=的实轴长【详解】由双曲线标准方程22221x y a b-=中，实轴长为2a 可知：在双曲线22149x y -=中，实轴长为4故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，利用标准方程及实轴定义求实轴长.3. 已知圆()22:11C x y -+=，直线l 过点()0,1且倾斜角为θ，则“0θ=”是“直线l 与圆C 相切”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】求出直线与圆相切时的θ值，然后判断．【详解】圆C 是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，因此过点(0,1)的切线有两条，方程是1y =和0x =，倾斜角为0θ=或2πθ=．∴“0θ=”是“直线l 与圆C 相切”的充分不必要条件． 故选：A ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，充分必要条件的判断方法有两种,一种是根据充分必要条件的定义判断，另一种是根据充分必要条件与集合包含之间的关系判断．4. 若复数312a ii++（a R∈，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A. -6B. 6C. 4D. 3【答案】A【解析】【分析】把已知复数利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0且虚部不等于0求得a的值．【详解】∵()()()()()()31263231212125a i i a a ia ii i i+-++-+==++-为纯虚数，∴a+6=0且3−2a≠0，解得：a=−6.故选：A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算及复数概念的应用，纯虚数为实部等于0且虚部不等于0，得出结果后一定要做验证，属于基础题.5. 已知函数1()ln1f xx x=--，则()y f x=的图象大致为（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据特殊值的函数值排除,,A C D，从而选B.【详解】因为1111ln1f eee e⎛⎫==>⎪⎝⎭--，所以选项A错；因为11()0ln12f ee e e==>---，所以选项C错；因为()222211()ln 13f ef e ee e ==<---，所以选项D 错， 故选：B ．【点睛】本题考查了由函数解析式选择函数图象，考查了特值排除法，属于基础题. 6. 设l ，m 是条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（ ） A. 若//l α，//m α，则//l m B. 若//l α，m l ⊥，则m α⊥ C. 若l α⊥，m l ⊥，则//m α D. 若l α⊥，m α⊥，则//l m【答案】D 【解析】 【分析】逐项进行分析，在选项A 中，l 与m 相交、平行或异面；在选项B 中，m 与α相交、平行或m ⊂α；在选项C 中，m∥α或m ⊂α；在选项D 中，由线面垂直的性质定理得l∥m． 【详解】由l ，m 是条不同的直线，α是一个平面，知：在选项A 中，若l∥α，m∥α，则l 与m 相交、平行或异面，故A 错误； 在选项B 中，若l∥α，m⊥l，则m 与α相交、平行或m ⊂α，故B 错误； 在选项C 中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或m ⊂α，故C 错误；在选项D 中，若l⊥α，m⊥α，则由线面垂直的性质定理得l∥m，故D 正确． 故选D ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是基础题．7. 《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A. 一尺五寸 B. 二尺五寸C. 三尺五寸D. 四尺五寸【答案】B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解.【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===，所以59.5a =，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=，故芒种日影长为二尺五寸. 故选:B .【点睛】本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n 项和与通项公式的基本量运算，属于中档题. 8. 设a ，b ，c 为平面向量，2a b a b ==⋅=，若()()20c a c b ⋅--=，则c b ⋅的最大值是（ ）A.B.52+ C.174D.94【答案】B 【解析】 【分析】先求出a 与b 的夹角，在直角坐标系中用坐标表示a 、b 且设(,)c OC x y ==，有c b ⋅= 2x ，结合()()20c a c b ⋅--=用坐标表示数量积，可得到方程，根据方程有解求x 范围即可求得c b ⋅的最大值.【详解】∵2a b a b ==⋅=，若a 与b 的夹角为θ知1cos 2θ=, ∴3πθ=，建立直角坐标系， 令(2,0),(1,3)b OB a OA ====，设(,)c OC x y == ,而c b ⋅= 2x ，故求它的最大值即是求x 的最大值,故2(21,2c a x y -=--，(2,)c b x y -=-，又()()20c a c b ⋅--=即(2)()c a c b -⊥-∴(21)(2)(20x x y y --+=，即22(21)(2)0y x x -+--= , 方程有解：38(21)(2)0x x ∆=---≥,解得：5544x -+≤≤.∴c b ⋅的最大值为52. 故选：B【点睛】本题考查了应用坐标表示向量的数量积求最值，根据数量积的坐标公式，结合一元二次方程有解求参数范围，进而求最大值9. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos xf x x =-，则下列结论正确的是（ ） A. ()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果.【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f （x ）的周期为4；∴f （2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C.【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.10. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，并满足：对任意*n ∈N ，都有2020n n S S +≥，则下列命题不一定．．．成立的是（ ） A. 20202021S S ≤ B. 20212022S S ≤ C. 10101011a a ≤ D. 10111012a a ≤【答案】C 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，对d 分为0d =、0d >、0d <三种情况讨论，在0d =时验证即可；在0d >时，取2d =，可设()2n S n tn t R =+∈，根据2020n n S S +≥恒成立求得实数t 的取值范围，逐一验证各选项即可；同理可判断出0d <时各选项的正误.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ①当0d =时，则1n a a =，1n S na =，则2020n n S S +≥对任意的*n ∈N 恒成立， A 、B 、C 、D 四个选项都成立； ②当0d >时，不妨取2d =，记12d t a =-，则2n S n tn =+， 由2020n n S S +≥可得2220200n n S S +-≥，即()()202020200n n n n S S S S ++-+≥，则()()222404020202020240402020220200n tnn tn t ++++++≥，令24040202020200n t ++=，可得22020t n =--；令22240402020220200n n tn t ++++=，可得2101010101010t n n ⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭.()()2222101010101010101010102202010100101010101010n n n n n n n +-⎛⎫-++---=+-=> ⎪+++⎝⎭， 则210101010220201010n n n ⎛⎫-++>-- ⎪+⎝⎭，解关于t 的不等式()()222404020202020240402020220200n tnn tn t ++++++≥，可得22020t n ≤--或2101010101010t n n ⎛⎫≥-++ ⎪+⎝⎭，所以()min 22020t n ≤--或2max 101010101010t n n ⎡⎤⎛⎫≥-++⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦.由于数列{}22020n --单调递减，该数列没有最小项；由双勾函数单调性可知，函数21010y x x=+在区间[1010,+∞)上单调递增，所以，数列2101010101010n n ⎧⎫⎛⎫⎪⎪-++⎨⎬ ⎪+⎪⎪⎝⎭⎩⎭单调递减，该数列的最大项为2101010111011--，2101010111011t ≥--. 对于A 选项，2202020202020S t =+，2202120212021S t =+，则()()()()22222021202020212020202120204041404120202021S S S S S S t t -=-+=+++，22101010104041404110113030010111011t +≥--=->，2222240411010404120202021202020214041101101011t ⨯++≥+-⨯->，则()()()()222220212020202120202021202040414041202020210S S S S S S t t -=-+=+++>，所以，20212020S S >，A 选项成立； 对于B 选项，2202220222022S t =+，则()()()()22222022202120222021202220214043404320212022S S S S S S t t -=-+=+++，22101010104043404310113032010111011t +≥--=->，2222240431010404320212022202120224043101101011t ⨯++≥+-⨯->，则()()()()222220222021202220212022202140434043202120220S S S S S S t t -=-+=+++>，所以，20222021S S >，B 选项成立； 当1n =时，111a S t ==+；当2n ≥时，()()()2211121n n n a S S n tn n t n n t -⎡⎤=-=+--+-=+-⎣⎦. 11a t =+满足21n a n t =+-，()21n a n t n N *∴=+-∈.对于C 选项，10102019a t =+，10112021a t =+，()()()2222101110102021201942020a a t t t -=+-+=+，222101010101010100910112020101110090101110111011⎛⎫-⨯----=-=> ⎪⎝⎭， 当21010101120201011t --<<-时，()2210111010420200a a t -=+<，所以，C 选项不一定成立； 对于D 选项，10122023a t =+，()()()2222210121011101020232021420224202210111011aat t t ⎛⎫-=+-+=+≥-- ⎪⎝⎭()222410111010101041011010111011-⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭， 所以，10121011a a >， D 选项成立；③当0d <时，由②同理可知，C 选项不一定成立. 故选：C.【点睛】本题考查数列不等式的验证，考查等差数列前n 项和的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若E(X)=3，()2D X =，则p =________，()1P X ==________.【答案】 (1). 13 (2). 2562187【解析】 【分析】首先根据已知条件得到()312np np p =⎧⎨-=⎩，解不等式组即可得到13p =，再计算()1P X =即可.【详解】因为随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若E(X)=3，()2D X =，所以()312np np p =⎧⎨-=⎩，解得139p n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即随机变量X 服从二项分布19,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()819122561332187⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭P X C .故答案为：1 3，2562187【点睛】本题主要考查二项分布的均值和方差，同时考查n次独立重复试验，属于简单题.12. 已知实数x，y满足约束条件2020220x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y=+的最小值为________；1yx+的取值范围是________.【答案】(1). 2(2).1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】首先根据题意画出可行域，再根据目标函数的几何意义结合图形即可得到答案.【详解】不等式组表示的可行域如图所示,由目标函数2z x y=+得到122zy x=-+，z的几何意义表示直线122zy x=-+的y轴截距的2倍.所以当直线122zy x=-+过()2,0A时，z取得最小值，min2z=.令()111--+==-yyzx x，1z的几何意义表示：可行域内的点(),x y与()0,1B-构成的斜率.由图知：()1min 12==BA z k ，12<z ，故11,22⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭z . 故答案为：(1)2；(2)1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查线性规划问题，同时考查了数形结合的思想，属于中档题. 13. 若将函数()7=f x x 表示为()()()()201277111f x a a x a x a x =+-+-++-，其中0a ，1a ，2a ，，7a 为实数，则3a =________，0246a a a a +++=________. 【答案】 (1). 35 (2). 64 【解析】 【分析】首先将()f x 转化为()()711=+-⎡⎤⎣⎦f x x ，再利用二项式定理得展开式即可得到3a 的值；分别令2x =和0x =，再把两个式子相加除以2即可得到答案.【详解】因为()()()()()7207717211111==+-=⎡⎤⎣-+-+-⎦++a a f x a x a x x x x ，所以33735==a C .令2x =得：()7012722++==++a a a a f ①， 令0x =得：()012700-+=--=a a a a f ②，①+②得到()7024622+++=a a a a ，所以024664+++=a a a a .故答案为：35；64【点睛】本题主要考查二项式定理，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.14. 己知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos 3sin a C a C b c =+，则A =________；又若2b =，a x =，△ABC 有两解，则实数x 的取值范围是________.【答案】 (1). 3π(2). 32x <<【解析】 【分析】由cos 3sin a C a C b c +=+结合正弦定理化简得到1sin()62A π-=，由(0,)A π∈即可得到A 的大小；同样由正弦定理及2b =，a x =，(1)的结论可得3sin B =，2(0,)3B π∈且△ABC 有两解，即可知3sin (,1)B ∈，可求x 的范围. 【详解】cos 3sin a C a C b c +=+知,sin cos 3sin sin sin sin A C A C B C +=+，而()B A C π=-+,∴sin cos 3sin sin sin()sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++, 即13sin cos 1sin()62A A A π=+⇒-=，又(0,)A π∈, ∴3A π=,由2b =，a x =sin sin 3x c c A C =⇒=, 而cos 3sin a C a C b c +=+有：23333cos sin sin()3x C C C π===++，即3sin B =, 2(0,)3B π∈且△ABC 有两解，知：3sin (,1)B ∈, ∴(3,2)x ∈, 故答案：(1)3π；(2)32x <<. 【点睛】本题考查了正弦定理，运用了两角和差的正弦公式，三角形内角和为π，化简求值和参数范围.15. 已知抛物线24y x =，过点()1,2A 作直线l 交抛物线于另一点B ，点Q 是线段AB 的中点，过点Q 作与y 轴垂直的直线1l ，交抛物线于点C ，若点P 满足QC CP =，则OP 的最小值是__________．【答案】2【解析】 【分析】由24y x =，可设2,4b B b ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意逐步表示出点,,Q C P 的坐标，于是可以表示出||OP 并求得其最小值.【详解】由24y x =，可设2,4b B b ⎛⎫⎪⎝⎭.因为()1,2A ，Q 是AB 的中点，所以242,82b b Q ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 所以直线1l 的方程为22b y +=.代入24y x =，可得()222,162b b C ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭. 因为QC CP =，所以点C 为PQ 的中点，可得2,22b b P +⎛⎫⎪⎝⎭. 所以()()2222211||14422b b OP b +=+=++.所以当1b =-时，2||OP 取得最小值12，即||OP 的最小值为2.故答案为2. 【点睛】本题考查抛物线的基本问题，设出坐标表示出目标函数，利用函数求最值.16. 将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法. 【答案】535 【解析】 【分析】根据每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，将每个盒子能放入的球个数列举出来，由总球数为5，以可能的球数组合列举分组，结合组合数求出它们所有不同放法. 【详解】四个盒子放球的个数如下 1号盒子：{0，1} 2号盒子：{0，1，2}3号盒子：{0，1，2，3} 4号盒子：{0，1，2，3，4}结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法 5 = 1 + 4：153C 种 5 = 2 + 3：254C 种 5 = 1 + 1 + 3：31526C C 种 5 = 1 + 2 + 2：22536C C 种 5 = 1 + 1 + 1 + 2：2115323C C C 种∴5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种. 故答案为：535.【点睛】本题考查了组合数，对问题分类、分组，应用组合数的计算17. 已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AD =，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A BCD -的侧面积的最大值为__________．【答案】254【解析】 【分析】根据球的性质可知球心O 必在过BC 中点E 且平行于AD 的直线上，根据勾股定理可确定112AF DF OE AD ====；根据球的表面积公式可确定半径2R =，勾股定理可得到222225AB AC x y +=+=；将三棱锥侧面积表示为12S x y xy =++，利用基本不等式可求得最大值.【详解】取BC 中点E ,90BAC ∠= E ∴为ABC ∆的外接圆圆心,过E 作AD 的平行线，由球的性质可知，球心O 必在此平行线上, 作//OF AE ，交AD 于F ，如图所示：OA OE =2222OD OF DF AD DF =+=+OA OD = 112AF DF OE AD ∴==== 球O 的表面积为29π ∴球O 的半径29294R ==设AB x =，AC y =由222229142x y R OC CE OE +==+=+=得2225x y += 又12ABD S AB AD x ∆=⋅=，12ACD S AC AD y ∆=⋅=，1122ABC S AB AC xy ∆=⋅= ∴三棱锥A BCD -侧面积12S x y xy =++由222x y xy +≥得：252xy ≤（当且仅当522x y ==时取等号） 又()2222222550x y x y xy x y +=++≤++=（当且仅当522x y ==时取等号） 25524S ∴≤（当且仅当52x y == 故答案为:25524【点睛】本题考查空间多面体的外接球的相关问题的求解，涉及到利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够根据球的性质确定球心位置，从而利用勾股定理得到变量所满足的等量关系，从而结合基本不等式求得结果.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18. 设函数()3cos 2cos 262x x x a f ππ⎛⎫=+--+ ⎛⎫⎪⎝⎪⎭⎭⎝的最小值是1-. （1）求a 的值及()f x 的对称中心;（2）将函数()f x 图象的横坐标压缩为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移12π个单位，得到()g x 的图象，若()12g x ≥-，求x 的取值范围. 【答案】（1）0a =，对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()k Z ∈；（2）7,224224ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k k ()k Z ∈. 【解析】 【分析】（1）首先利用三角函数恒等变换化简得到()sin 23π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭f x x a ，根据()f x 的最小值得到0a =，再求()f x 的对称中心即可.（2）首先根据三角函数的平移变换得到()sin 4g x x =，再解不等式1sin 42≥-x 即可. 【详解】（1）()3cos 2cos 262x x x a f ππ⎛⎫=+--+ ⎛⎫⎪⎝⎪⎭⎭⎝.112sin 2sin 22sin 2sin 2223x x x a x x a x a π⎛⎫=-++=++=++ ⎪⎝⎭ 因为()min 11=-+=-f x a ，所以0a =，即()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令23x k ππ+=，解得62πk πx =-+()k Z ∈.所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心是,026k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭()k Z ∈； （2）()sin 4sin 4123ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦g x x x ， 因为()12g x ≥-，即1sin 42≥-x ， 所以724266k x k ππππ-≤≤+()k Z ∈，解得：7224224ππππ-≤≤+k k x ()k Z ∈, ∴x 的取值范围是7,224224ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k k ()k Z ∈. 【点睛】第一问考查三角函数的恒等变换，同时考查正弦函数的对称性，第二问考查正弦函数图象变换，同时考查三角不等式，属于中档题.19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11112A B A C ==，123CC =， 120BAC ∠=︒，点O 为线段11B C 的中点，点P 为线段1CC 上一动点（异于点1C C 、），点Q 为线段BC 上一动点，且QP OP ⊥.（Ⅰ）求证：平面1A PQ ⊥平面1A OP ；（Ⅱ）若//BO PQ ，求直线OP 与平面1A PQ 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；219. 【解析】 【分析】（Ⅰ）要证平面1A PQ ⊥平面1A OP ，转证QP ⊥平面1A OP ，即证1QP AO QP OP ⊥⊥，； （Ⅱ）建立如图空间直角坐标系O xyz -，求出平面1A PQ 的法向量，代入公式可得结果. 【详解】（I ）证明：因为11112A B A C ==，O 为线段11B C 的中点，所以111AO B C ⊥， 在直三棱柱111ABC A B C -中，易知1CC ⊥平面111A B C ，11AO CC ∴⊥，而1111CC B C C ⋂=； 1A O ∴⊥平面11CBB C ，1QP A O ∴⊥；又因为QP OP ⊥，A 1O ∩OP=O ； 所以QP ⊥平面1A OP ，又QP ⊂平面1A OP ；所以平面1A PQ ⊥平面1A OP ； （II ）由（I ）可建立如图空间直角坐标系O xyz -，因为120BAC ︒∠=所以113OB OC =，则()()()110,0,0,3,0,0,3,0O C B -，(()10,3,23,1,0,0B A --， 设()(3,,0,,23P a Q b ，所以()(0,3,23,0,3,23QP b a OB =--=-，因为QP OP ⊥，//BO PQ ， 所以0,//QP OP OB QP ⋅=，()(()(33230233323b a a b a ⎧-=⎪∴⎨-=--⎪⎩， 解得：3324a b ==（P 异于点1,C C ） ,13333331,3,,0,,,0,3,A P QP OP ⎛⎫⎛⎫⎛∴==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭设平面1A QP 的法向量为(),,n x y z = ，则100n A P n QP ⎧⋅=⎨⋅=⎩即33033330x z y z ⎧++=⎪⎪= ，可取 ()53,4,2n =- ， 设直线OP 与平面1A QP 所成角为θ ，则433219sin 15954n OP n OPθ⋅+===⋅ ,直线OP 与平面1A QP. 【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量的应用，线面角的计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．20. 已知数列{}n a 满足12a =,210a =,212n n n a a a ++=+,n *∈N . (1)证明:数列{}1n n a a ++是等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式; (3)证明:1211134n a a a +++<. 【答案】(1)证明见解析;(2)()1221nn n a +=+⋅-;(3)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）由212n n n a a a ++=+，得2112n n n na a a a ++++=+，即可得到本题答案；（2）由1132n n n a a +++=⋅，得11122222n n n na a ++⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，即可得到本题答案；（3）当1n =时，满足题意；若n 是偶数，由12123111111111n nn a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫+++<+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得1211134n a a a ++⋯+<；当n 是奇数,且3n ≥时，由1211231111111111n n n n a a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫++++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得1211134n a a a ++⋯+<，综上，即可得到本题答案.【详解】(1)因为212n n n a a a ++=+，所以()2112n n n n a a a a ++++=+， 因为12120a a +=≠，所以2112n n n na a a a ++++=+，所以数列{}1n n a a ++是等比数列；(2)因为1132n n n a a +++=⋅，所以1113222n nn na a +++⋅=， 所以11122222n n n n a a ++⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭，又因为12a =，所以1212a -=-，所以22n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1-为首项， 12-为公比的等比数列，所以11222n n n a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以()1221nn n a +=+⋅-；(3)①当1n =时，11324n a =<； ②若n 是偶数，则1213211113122222242142n n n n n nn n a a +++⋅+=+=<⋅+-⋅+-， 所以当n 是偶数时，121211111111n n n a a a a a a a ++++<++++ 123111111nn a a a a a +⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 241311124222n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+⋅+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11334124414<+⋅=-； ③当n 是奇数，且3n ≥时，121211111111n n na a a a a a a -+++=++++ 123111111n n a a a a a -⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2411311124222n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+⋅+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11334124414<+⋅=-；综上所述，当n *∈N 时，1211134n a a a +++<. 【点睛】本题主要考查利用构造法证明等比数列并求通项公式，以及数列与不等式的综合问题.21. 椭圆M ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为23，点(0,2)P 关于直线y x =-的对称点在椭圆M 上．（1）求椭圆M 的方程；（2）如图，椭圆M 的上、下顶点分别为A ，B ，过点P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点C ，D ． ①求OC OD ⋅的取值范围；②当AD 与BC 相交于点Q 时，试问：点Q 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1）2214x y +=（2）①13[1,)4OC OD ⋅∈-②12【解析】 【详解】 【分析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，联立方程组求解：因为点(0,2)P 关于直线y x =-的对称点为(2,0)-，所以2a =．又223c =3c =，21b =（2）①直线与椭圆位置关系问题，一般联立方程组，借助于韦达定理进行求解：设直线l 的方程为2,y kx =+代入222,{1,4y kx x y =++=消去y 整理得22(14)16120k x kx +++=，因为1212OC OD x x y y ⋅=+，由1212221612,1414k x x x x k k +=-=++得217114OC OD k ⋅=-++再由>0∆，可得243k >，13[1,)4OC OD ⋅∈-②求定值问题，一般以算代证：先分别表示直线AD ：2211y y x x -=+，BC ：1111y y x x +=-，解得121221233kx x x x y x x ++=-，再将1212221612,1414k x x x x k k +=-=++代入化简得12y = 试题解析：（1）因为点(0,2)P 关于直线y x=-的对称点为(2,0)-，且(2,0)-在椭圆M 上，所以2a =．又2c =c =222431b a c =-=-=．所以椭圆M 的方程为2214x y +=． （2）①当直线l 的斜率不存在时，(0,1),(0,1)C D -，所以OC OD ⋅＝－1．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为11222,(,),(,)y kx C x y D x y =+，222,{1,4y kx x y =++=消去y 整理得22(14)16120k x kx +++=，由>0∆，可得243k >，且1212221612,1414k x x x x k k +=-=++，所以1212OC OD x x y y ⋅=+ 21212217(1)2()4114k x x k x x k =++++=-++，所以1314OC OD -<⋅<，综上13[1,)4OC OD ⋅∈-．②由题意得，直线AD ：2211y y x x -=+，直线BC ：1111y y x x +=-，联立方程组，消去x 得121221233kx x x x y x x ++=-，又121243()kx x x x =-+，解得12y =，故点Q 的纵坐标为定值12.考点：直线与椭圆位置关系.22. 已知实数1a ≥-，设()()ln ,0f x x a x x =+>.（1）若1a =-，有两个不同实数1x ，2x 满足()()12f x f x ''=，求证：122x x +>；（2）若存在实数214c e e<<，使得()f x c =有四个不同的实数根，求a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）210a e<<.【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得121212ln 20x x x x x x +-+=，先证121x x ≥.再利用基本不等式即可得证；（2）原题即()f x c =±共有四个不同的实数根，对a 分类讨论，分别利用导数研究函数的单调性与最值，即可求出参数的取值范围；【详解】解：（1）()1ln 1f x x x'=+-. 因为()f x '在0x >上单调递增，故()()120f x f x ''+=，即121212ln 20x x x x x x +-+= 先证明：121x x ≥.因为()10f '=，故不妨11x >，201x <<. 设2211x x '=>. 由基本不等式知：()()222212220f x f x x x ⎛⎫'''+=-+<-= ⎪⎝⎭.因为()f x '在0x >上单调递增且()()120f x f x ''+=， 所以12x x '>即121x x ≥.因为12x x ≠，由基本不等式得：122x x +>>.（2）原题即()f x c =±共有四个不同的实数根. 因为()ln 1af x x x'=++. ①10a -≤≤，因为()f x '在0x >上单调递增， 且当0x →时()f x '→-∞，当x →+∞时()f x '→+∞，故存在唯一实数00x >， 使得()00f x '=，即()00ln 1a x x =-+.因此()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增. 由10a -≤≤可知011x e≤≤. 把()00ln 1a x x =-+代入得：()f x 的极小值()()2000ln f x x x =-.令()()2ln h x x x =-，()ln (ln 2)h x x x '=-+.当210,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当21,1x e ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x '>. 因此()h x 在210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 故()01,0f x e⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x c =上至多有两个不同的实数根，()f x c =-上至多有一个的实数根，故不合题意. ②0a >，当0x →时()f x '→+∞， 当x →+∞时()f x '→+∞，()2x af x x-''=. 当()0,x a ∈时，()0f x ''<；当(),x a ∈+∞时，()0f x ''>，()2ln f a a '=+. 因此()f x '在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增. （i ）若21a e ≥，则()0f x '≥（当且仅当21a x e==时取等）， 故()f x 在0x >上单调递增.因此()f x c =±上至多有两个不同的实数根，故不合题意. （ii ）若210a e<<，则()0f a '<， 故存在()10,x a ∈和21,x a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()120f x f x ''==. 因此()f x 在()10,x 和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减. 因为当0x →时()f x →-∞，当x →+∞时()f x '→+∞，且()()2111ln 0f x x x =-≤，故()f x c =上有且仅有一个实数根.由①的()h x 可知：()124,0f x e ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()2241,f x ee ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 故存在()()()21,c f x f x -∈， 使得214c e e<<.此时()f x c =-上恰有三个不同的实数根. 此时()f x c =±共有四个不同的实数根. 综上：210a e <<满足条件. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，以及函数的零点问题，考查分类讨论思想，属于难题.。
浙江省杭州高级中学2020年3月高考模拟测试高三数学试卷(附答案解析)
2020年高考数学（3月份）模拟测试试卷一、选择题1．若集合A＝{x|x2﹣1≥0}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣1）B．[0，4）C．[1，4）D．（4，+∞）2．已知i为虚数单位，，则z的虚部为（）A．1B．﹣2C．2D．﹣2i3．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．4．函数函数f（x）＝|x|﹣的大致图象为（）A．B．C．D．5．已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝x，P（ξ＝1）＝1﹣x，若，则（）A．E（ξ）随着x的增大而增大，D（ξ）随着x的增大而增大B．E（ξ）随着x的增大而减小，D（ξ）随着x的增大而增大C．E（ξ）随着x的增大而减小，D（ξ）随着x的增大而减小D．E（ξ）随着x的增大而增大，D（ξ）随着x的增大而减小6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．7．“ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．如图，圆O是半径为1的圆，，设B，C为圆上的任意2个点，则的取值范围是（）A．B．[﹣1，3]C．[﹣1，1]D．9．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB＝BC＝a，PA＝AC＝b（a＜b），设二面角P﹣AB﹣C 的平面角为α，则（）A．α+∠PCA+∠PCB＞π，2α＜∠PAC+∠PBCB．α+∠PCA+∠PCB＜π，2α＜∠PAC+∠PBCC．α+∠PCA+∠PCB＞π，2α＞∠PAC+∠PBCD．α+∠PCA+∠PCB＜π，2α＞∠PAC+∠PBC10．设a，b∈R+，数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a•a n2+b，n∈N*，则（）A．对于任意a，都存在实数M，使得a n＜M恒成立B．对于任意b，都存在实数M，使得a n＜M恒成立C．对于任意b∈（2﹣4a，+∞），都存在实数M，使得a n＜M恒成立D．对于任意b∈（0，2﹣4a），都存在实数M，使得a n＜M恒成立二、填空题（共7小题）11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，AD＝1，则该“阳马”的最长棱长等于；外接球表面积等于．12．设x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为；满足条件的x，y构成的平面区域的面积是．13．已知（x+2）5（2x﹣5）＝a0+a1x+…+a6x6，则a0＝；a5＝．14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且b＝1，则B＝；△ABC的面积为．15．从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数，则满足条件“a＜b＜c＞d＞e”的五位数的个数有．16．设F1，F2是椭圆C：＝1（0＜m＜2）的两个焦点，P（x0，y0）是C上一点，且满足△PF1F2的面积为，则|x0|的取值范围是．17．设函数f（x）＝|lnx+a|+|x+b|（a，b∈R），当x∈[1，e]时，记f（x）最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为．三、解答题（共5小题）18．已知函数（ω＞0）的图象上相邻两对称轴之间的距离为4．（Ⅰ）求ω的值及f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若且，求f（x0+1）的值．19．如图，已知四棱锥A﹣BCDE中，AB＝BC＝2，，CD∥BE，BE＝2CD＝4，∠EBC＝60°．（Ⅰ）求证：EC⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．20．已知等差数列{a n}的公差不为零，且a3＝3，a l，a2，a4成等比数列，数列{b n}满足b1+2b2+……+nb n＝2a n（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：++……+＞a n+1﹣（n∈N*）．21．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）过点Q（1，2），F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O．（1）求抛物线E的方程；（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值．22．已知f（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2，g（x）＝k（x+1）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k＝2时，求证：对于∀x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；（Ⅲ）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．参考答案一、选择题（共10小题）1．若集合A＝{x|x2﹣1≥0}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣1）B．[0，4）C．[1，4）D．（4，+∞）解：A＝{x|x≤﹣1，或x≥1}；∴A∩B＝[1，4）．故选：C．2．已知i为虚数单位，，则z的虚部为（）A．1B．﹣2C．2D．﹣2i解：∵＝，∴z的虚部为﹣2．故选：B．3．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得其焦点在x轴上，进而可得渐近线方程，结合题意可得有＝，即a＝2b，由双曲线的几何性质分析可得c＝＝a，由离心率的计算公式可得答案．解：根据题意，双曲线的方程为﹣＝1，其焦点在y轴上，其渐近线方程为y＝±x，又由其渐近线方程为y＝±x，则有＝，即b＝2a，c＝＝a，则其离心率e＝＝；故选：B．4．函数函数f（x）＝|x|﹣的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】利用x＞0时，函数的单调性，以及x＜0时，函数值的符号进行排除即可．解：当x＞0时，f（x）＝x﹣为增函数，排除A，B，当x＜0时，f（x）＝|x|﹣＞0恒成立，排除C，故选：D．5．已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝x，P（ξ＝1）＝1﹣x，若，则（）A．E（ξ）随着x的增大而增大，D（ξ）随着x的增大而增大B．E（ξ）随着x的增大而减小，D（ξ）随着x的增大而增大C．E（ξ）随着x的增大而减小，D（ξ）随着x的增大而减小D．E（ξ）随着x的增大而增大，D（ξ）随着x的增大而减小【分析】ξ服从成功概率为1﹣x的两点分布，故Eξ＝1﹣x，Dξ＝（1﹣x）x＝x﹣x2，进而，得到Eξ和Dξ在x∈（0，），上的单调性．解：根据题意，ξ服从成功概率为1﹣x的两点分布，所以Eξ＝1﹣x，当x∈（0，）时，Eξ单调递减，即E（ξ）随着x的增大而减小，Dξ＝（1﹣x）x＝﹣x2+x，因为Dξ的对称轴为x＝，开口向下，故当x∈（0，）时，Dξ随着x的增大而增大．故选：B．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，通过三棱柱的体积减去三棱锥的体积，求解几何体的体积即可．解：由题意可知几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥P﹣ABCD，正方体的棱长为2，三棱柱的体积减去三棱锥的体积，求解几何体是体积，所求体积为：＝．故选：C．7．“ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由对数的运算性质与不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案．解：由ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0，得，即a＞2＞b＞1，∴；反之，由，不一定有ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0，如a＝﹣2，b＝﹣1．∴“ln（a﹣2）﹣ln（b﹣1）＞0”是“”成立的充分不必要条件．故选：A．8．如图，圆O是半径为1的圆，，设B，C为圆上的任意2个点，则的取值范围是（）A．B．[﹣1，3]C．[﹣1，1]D．【分析】根据平面向量的数量积和二次函数的性质，结合余弦函数的性质即可求出结果．解：如图所示，由•＝（﹣）•＝•﹣•＝||×||cos∠BCO﹣||×||cosθ＝﹣||•||•cosθ＝﹣||•cosθ，且﹣||•cosθ≥﹣||＝（||﹣）2﹣，由||∈[0，2]，当||＝时，•有最小值为﹣，又当||＝2，且cosθ＝﹣1时，﹣||•cosθ，此时•＝3，为最大值．所以•的取值范围是[﹣，3]．故选：A．9．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PB＝BC＝a，PA＝AC＝b（a＜b），设二面角P﹣AB﹣C 的平面角为α，则（）A．α+∠PCA+∠PCB＞π，2α＜∠PAC+∠PBCB．α+∠PCA+∠PCB＜π，2α＜∠PAC+∠PBCC．α+∠PCA+∠PCB＞π，2α＞∠PAC+∠PBCD．α+∠PCA+∠PCB＜π，2α＞∠PAC+∠PBC【分析】解题的关键是通过构造垂面得出∠PMC＝α，然后转化到平面中解决即可．解：如图，取PC中点D，连接AD，BD，由PB＝BC＝a，PA＝AC易知BD⊥PC，AD⊥PC，故可得PC⊥平面ABFD，作PM⊥AB于M，由△ABP≌△ABC，可得CM⊥AB，∴∠PMC＝α，又PM＝CM＝h＜a＜b，∴，∴2α＞∠PAC+∠PBC，，故选：C．10．设a，b∈R+，数列{a n}满足a1＝2，a n+1＝a•a n2+b，n∈N*，则（）A．对于任意a，都存在实数M，使得a n＜M恒成立B．对于任意b，都存在实数M，使得a n＜M恒成立C．对于任意b∈（2﹣4a，+∞），都存在实数M，使得a n＜M恒成立D．对于任意b∈（0，2﹣4a），都存在实数M，使得a n＜M恒成立【分析】取a＝1，b＝1，可排除AB；由蛛网图可得数列{a n}的单调情况，进而得到要使a n＜M，只需，由此得出答案．解：取a＝1，b＝1，该数列{a n}恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB选项；由蛛网图可知，ax2+b＝x存在两个不动点，且，因为当0＜a1＜x1时，数列{a n}单调递增，则a n＜x1，；当x1＜a1＜x2时，数列{a n}单调递减，则x1＜a n≤a1；所以要使a n＜M，只需要0＜a1＜x2，故，化简得b＜2﹣4a且b＞0，故选：D．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，AD＝1，则该“阳马”的最长棱长等于3；外接球表面积等于9π．【分析】由题意画出图形，利用勾股定理求得几何体最长棱长，再由分割补形法得到多面体外接球的半径，则球的表面积可求．解：如图，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为长方形，且PA＝AB＝2，AD＝1，∴最长棱PC＝＝；其外接球的半径为．则其外接球的表面积为．故答案为：3；9π．12．设x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为11；满足条件的x，y构成的平面区域的面积是．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解：作出x，y满足约束条件，对应的平面区域（阴影部分），由z＝2x+3y，得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+经过点C时，直线y＝﹣x+的截距最大，此时z最大．由，解得A（，）．解得B（1，）；解得C（1，3）．此时z的最大值为z＝2×1+3×3＝11，可行域的面积为：＝故答案为：11；．13．已知（x+2）5（2x﹣5）＝a0+a1x+…+a6x6，则a0＝﹣160；a5＝15．【分析】在所给的等式中，令x等于0，求得a0的值；再利用通项公式求得a5即x5的系数．解：∵（x+2）5（2x﹣5）＝a0+a1x+…+a6x6，令x＝0，可得a0＝﹣160．a5即x5的系数为﹣5+•2•2＝15，14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且b＝1，则B＝；△ABC的面积为．【分析】，，利用正弦定理可得：sin B＝（4+2）sin cos B，tan B＝2+，可得B，C．再利用三角形的面积计算公式即可得出．解：，，∴sin B＝（4+2）sin cos B，∴tan B＝2+，∵tan（）＝＝＝2+，B∈（0，π）．∴B＝．∴C＝＝＝B．∴c＝b＝1．∴S＝bc sin A＝＝．故答案为：，．15．从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数，则满足条件“a＜b＜c＞d＞e”的五位数的个数有21．【分析】由题意可得c最大，a不能为0，分两类，当c＝5时，当c＝4时，根据分类计数原理可得．解：由题意可得c最大，a不能为0，当c取5时，则从剩下4个数（不包含0）取两个，放在c的左边，再从剩下3个数（包含0）取两个，放在右边，有C42C32＝18个，当c取4时，则从剩下3个数（不包含0）取两个，放在c的左边，再从剩下2个数（包含0）取两个，放在右边，有C32C22＝3个，故满足条件的五位数的个数有18+3＝21个，故答案为：21．16．设F1，F2是椭圆C：＝1（0＜m＜2）的两个焦点，P（x0，y0）是C上一点，且满足△PF1F2的面积为，则|x0|的取值范围是[0，1]．【分析】利用三角形的面积的表达式，结合椭圆方程，求通过二次函数，转化即可得到|x0|的取值范围．解：设F1，F2是椭圆C：＝1（0＜m＜2）的两个焦点，P（x0，y0）是C上一点，且满足△PF1F2的面积为，当P是短轴端点时，三角形的面积取得最大值，所以|y0|＝，，可得：x02＝4﹣，0＜m＜2，可得4m2﹣m4∈（0，4]，所以﹣3，可得x02≤1所以|x0|的取值范围是：[0，1]．故答案为：[0，1]．17．设函数f（x）＝|lnx+a|+|x+b|（a，b∈R），当x∈[1，e]时，记f（x）最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为．【分析】易知f（x）＝max{|lnx+a+x+b|，|lnx+a﹣x﹣b|}，设G（x）＝|lnx﹣x+a﹣b|，F （x）＝|lnx+x+a+b|，利用绝对值不等式的性质即可得解．解：f（x）＝max{|lnx+a+x+b|，|lnx+a﹣x﹣b|}，设G（x）＝|lnx﹣x+a﹣b|，F（x）＝|lnx+x+a+b|，由单调性可知，当x∈[1，e]时，G（x）＝max{|1+a﹣b|，|1﹣e+a﹣b|}，F（x）＝max{|1+a+b|，|1+e+a+b|}，∴4M（a，b）≥|1+a﹣b|+|1﹣e+a﹣b|+|1+a+b|+|1+e+a+b|≥|2+e+2a|+|2﹣e+2a|≥2e，∴，当且仅当或时取等号．故答案为：．三、解答题（共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）18．已知函数（ω＞0）的图象上相邻两对称轴之间的距离为4．（Ⅰ）求ω的值及f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若且，求f（x0+1）的值．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得函数解析式为f（x）＝，由已知可求T，利用周期公式可求ω的值，令，可求函数的增区间．（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）可求，由范围，可求，利用同角三角函数基本关系式可求，根据两角和的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）因为：（ω＞0），所以：＝，…………………由条件T＝8，所以：，…………………所以：，令，得：．所以增区间为：．…………………（Ⅱ）因为：，由（1）知：，即：，…………………因为：，所以：，所以：，…………………所以：＝＝．…………………19．如图，已知四棱锥A﹣BCDE中，AB＝BC＝2，，CD∥BE，BE＝2CD＝4，∠EBC＝60°．（Ⅰ）求证：EC⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）通过求解三角形证明EC⊥CA，EC⊥CB，推出EC⊥面CAB．（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系C﹣xyz，求出面ABE的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解直线AD与平面ABE所成角的正弦函数值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，由余弦定理得，在△EBC中，由余弦定理得由CE2+CA2＝EA2，CE2+CB2＝EB2得，EC⊥CA，EC⊥CB，所以EC⊥面CAB……………………（Ⅱ）解：如图，建立空间直角坐标系C﹣xyz，则所以，所以，……………………所以是面ABE的一个法向量，则取……………………记直线AD与平面ABE所成角为α，则……………………20．已知等差数列{a n}的公差不为零，且a3＝3，a l，a2，a4成等比数列，数列{b n}满足b1+2b2+……+nb n＝2a n（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：++……+＞a n+1﹣（n∈N*）．【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，d≠0，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到a n；可令n＝1，求得b1，再将n换为n﹣1，相减可得b n；（Ⅱ）原不等式转化为++…+＞n+1﹣，应用数学归纳法证明，注意检验n＝1不等式成立，再假设n＝k时不等式成立，证明n＝k+1时，不等式也成立，注意运用分析法证明．解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d不为零，a3＝3，可得a1+2d＝3，a l，a2，a4成等比数列，可得a1a4＝a22，即a1（a1+3d）＝（a1+d）2，解方程可得a1＝d＝1，则a n＝n；数列{b n}满足b1+2b2+……+nb n＝2a n，可得b1＝2a1＝2，将n换为n﹣1可得b1+2b2+……+（n﹣1）b n﹣1＝2a n﹣1，联立b1+2b2+……+nb n＝2a n，相减可得nb n＝2a n﹣2a n﹣1＝2，则b n＝，对n＝1也成立，则b n＝，n∈N*；（Ⅱ）证明：不等式++……+＞a n+1﹣（n∈N*）即为++…+＞n+1﹣，下面应用数学归纳法证明．（1）当n＝1时，不等式的左边为＝，右边为2﹣，左边＞右边，不等式成立；（2）假设n＝k时不等式++…+＞k+1﹣，当n＝k+1时，++…++＞k+1﹣+，要证++…++＞k+2﹣，只要证k+1﹣+＞k+2﹣，即证﹣＞1﹣，即证（﹣）（1﹣）＞0，由k∈N*，可得上式成立，可得n＝k+1时，不等式也成立．综上可得，对一切n∈N*，++…+＞n+1﹣，故++……+＞a n+1﹣（n∈N*）．21．已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）过点Q（1，2），F为其焦点，过F且不垂直于x轴的直线l交抛物线E于A，B两点，动点P满足△PAB的垂心为原点O．（1）求抛物线E的方程；（2）求证：动点P在定直线m上，并求的最小值．【分析】（1）代入Q（1，2）可得p，进而得到所求抛物线方程；（2）方法一、设l：ty＝x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝4x，运用韦达定理和直线方程的交点可得P在定直线m上，由三角形的面积公式和基本不等式可得所求最小值；方法二、设l：ty＝x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝4x，运用韦达定理和向量共线定理、以及向量垂直的条件可得P在定直线m上，由三角形的面积公式和基本不等式可得所求最小值．解：（1）Q（1，2）代入y2＝2px解得p＝1，可得抛物线的方程为y2＝4x；（2）证法1：（巧设直线）证明：设l：ty＝x﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝4x，可得，则有，可设AP：，即，同理BP：，解得P（﹣3，3t），即动点P在定直线m：x＝﹣3上，＝，当且仅当时取等号．其中d1，d2分别为点P和点Q到直线AB的距离．证法2：（利用向量以及同构式）证明：设l：x＝my+1（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，则有，，，又O为△PAB的垂心，从而，代入化简得：，同理：，从而可知，y1，y2是方程的两根，所以，所以动点P在定直线m：x＝﹣3上，＝，当且仅当时取等号．其中d1，d2分别为点P和点Q到直线AB的距离．22．已知f（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2，g（x）＝k（x+1）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k＝2时，求证：对于∀x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；（Ⅲ）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出定义域和导数f′（x），令f′（x）＞0，解出增区间，令f′（x）＜0，解出减区间；（Ⅱ）令H（x）＝f（x）﹣g（x），利用导数判断出H（x）的单调性和单调区间，得出H（x）的最大值，证明H max（x）＜0即可．解：（Ⅰ），当f′（x）＞0 时，∴x2+3x+1＜0，∴，又x＞﹣2，∴；当f′（x）＜0时，解得，∴f（x）单调增区间为，递减区间是（，+∞）；（Ⅱ）当k＝2时，g（x）＝2（x+1）．令H（x）＝f（x）﹣g（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣2（x+1）．H′（x）＝，令H′（x）＝0，即﹣2x2﹣8x﹣6＝0，解得x＝﹣1或x＝﹣3（舍）．∴当x＞﹣1时，H′（x）＜0，H（x）在（﹣1，+∞）上单调递减．∴H max（x）＝H（﹣1）＝0，∴对于∀x＞﹣1，H（x）＜0，即f（x）＜g（x）．（Ⅲ）由（II）知，当k＝2时，f（x）＜g（x）恒成立，即对于“x＞﹣1，2 ln（x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1），不存在满足条件的x0；当k＞2时，对于“x＞﹣1，x+1＞0，此时2 （x+1）＜k（x+1）．∴2 ln（x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1）＜k（x+1），即f（x）＜g（x）恒成立，不存在满足条件的x0；令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣k（x+1），h′（x）＝，当k＜2时，令t（x）＝﹣2x2﹣（k+6）x﹣（2k+2），可知t（x）与h′（x）符号相同，当x∈（x0，+∞）时，t（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（﹣1，x0）时，h（x）＞h（﹣1）＝0，即f（x）﹣g（x）＞0恒成立，综上，k的取值范围为（﹣∞，2）．。
2020学年浙江省杭州学军中学高三第二次月考数学试卷
2020学年浙江省杭州学军中学高三第二次月考数学试卷（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．复数)31(2i i--⋅的虚部是( ) A.23-B. 23C. 21- D.21 2．若352lim 222=--++→x x a x x x ，则=a （ ） A ．2 B ．2- C ．61D ．6-3．设随机变量ξ的分布列由,3,2,1,)31()(===k a k p kξ则a 的值为 （ ）A ．1B ．139C ．1311D ．13274．已知1}|32||{:p >-x x ， 0}6|{:q 2>-+x x x 则p ⌝是q ⌝的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件5．一个关于自然数n 的命题,如果1=n 时命题正确,且假设)1(≥=k k n 时命题正确,可以推出2+=k n 时命题也正确,则( )A.命题对一切自然数n 都正确B.命题对一切正偶数都正确C.命题对一切正奇数都正确D.以上说法都不正确6.已知{}{}φ≠-<<+=≤≤-=121|,72|m x m x B x x A ,若A B A =Y ,则( ) A.43≤≤-m B.43<<-m C. 42<<m D. 42≤<m7．=+++∞→)211()211)(211(lim 22n n Λ（ ）A ．3B ．2C ．23D ．8158．已知函数)(x f 在区间),1[+∞-上连续，当0≠x 时，1111)(3-+-+=x x x f ，则=)0(f （ ）A ．23 B ．1 C ．32D ．0 9．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为0)0(),(>'f x f ,对于任意的实数x ，有0)(≥x f 恒成立，则)0()1(f f '的最小值为( ) A. 3 B.25 C.2 D. 2310．设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S L ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈L 、，，，，），都有⎭⎬⎫⎩⎨⎧i i i i a b b a ,min ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠j j j j a b b a ,min （min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13二．填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，请把答案填在题中横线上）11．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的产品有16件，则=n12．以()x ∅表示标准正态总体在区间()x -∞，内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布2()N μσ，，则概率()P ξμσ-<等于 13．若12332lim 21112=⋅+⋅-++-∞→nn n n n a a ，则=a14．设函数()x e x f x22-=，则1)('lim 0-→x x e x f =15．某公司有5万元资金用于投资项目，如果成功，一年后可获利%22，一旦失败，一年后将丧失全部资金的%50，右表是过去200例类似项目开发的实施结果：则该公司一年后估计可获得的收益的期望是（元）16．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤=n x n x N m x m x M 32|,43|，且N M ,都是集合{}10|≤≤x x 的子集，如果把a b -叫做集合{}b x a x ≤≤|的“长度”，那么集合N M I 的长度的最小值是 17．设d cx bx x x f +++=23)(，又k 是一个常数，已知当0<k 或4>k 时，0)(=-k x f 只有一个实根；当40<<k 时，0)(=-k x f 有三个相异实根，现给下列命题： （1）04)(=-x f 与0)(='x f 有一个相同的实根； （2）0)(=x f 与0)(='x f 有一个相同的实根；（3）03)(=+x f 的任一实根大于01)(=-x f 的任一实根；（4）05)(=+x f 的任一实根小于02)(=-x f 的任一实根。
2020年浙江省杭州高中高考数学模拟试卷(3月份)
已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，且 ＝ ，则 ＝________； 的面积为________．
从 ， ， ， ， ， 这 个数中随机抽取 个数构成一个五位数 ，则满足条件“ ”的五位数的个数有________．
设 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上一点，且满足 的面积为 ，则 的取值范围是________．
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A. B. C. D.
7. “ ”是“ ”成立的
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.既不充分也不必要条件D.充分必要条件
8.如图，圆 是半径为 的圆， ，设 ， 为圆上的任意 个点，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
9.如图，在三棱锥 中， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，设二面角 的平面角为 ，则（）
【解析】
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5.
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【考点】
离散来随机兴苯的期钱与方差
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【考点】
由三都问求体积
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【考点】
必要条水表综分条近与充要条件的判断
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三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）
【答案】
2020年高考模拟试卷浙江省高考数学全真模拟试卷(3月) 含解析
2020年高考模拟高考数学全真模拟试卷（3月份）一、选择题1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．124．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．76．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣28．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0] 10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．12．设函数，，则函数的最小值为；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是，含x2项的系数是．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}【分析】根据全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，∴∁U A＝{3，4}，则（∁U A）∪B＝{2，3，4}，故选：C．2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，作出二面角B﹣PA﹣C的平面角，设PE＝a，求解直角三角形得到EG、EF、FG的长度，再由余弦定理得答案．解：如图，在PA上任取一点E，在平面APB内过E作EF⊥PA交PB于F，在平面APC内过E 作EG⊥PA交PC于G，连接GF，设PE＝a，在Rt△PEG中，∵∠EPG＝60°，∴PG＝2a，GE＝a，同理求得PF＝2a，EF＝a，则GF＝2a，在△FGE中，由余弦定理得：cos∠FEG＝＝．故选：C．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．12【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S＝×（2+4）×2＝6，棱柱的高为1，故棱柱的体积V＝6．故选：C．4．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）【分析】根据分段函数的表达式，先得到x＝0是f（x）与y＝ax的一个根，利用参数分离法构造函数h（x），得到h（x）与y＝a有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．解：当x＞0时，由f（x）＝ax得2x2lnx＝ax，得a＝2xlnx，当x≤0时，由f（x）＝ax得﹣x3﹣4x2＝ax，此时x＝0是方程的一个根，当x≠0时，a＝﹣x﹣4x，设h（x）＝，当x＞0时，h′（x）＝2lnx+2x＝2lnx+2＝2（1+lnx），由h′（x）＞0得1+lnx＞0得lnx＞﹣1，得x＞此时函数为增函数，由h′（x）＜0得1+lnx＜0得lnx＜﹣1，得0＜x＜，此时函数为减函数，即当x＝时，h（x）取得极小值h（）＝2×ln＝﹣，当x＜0时，h（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，作出h（x）的图象如图：要使f（x）与直线y＝ax有四个不同的公共点，等价为h（x）与y＝a有3个不同的交点，则a满足﹣＜a＜0或0＜a＜4，即实数a的取值范围是（﹣，0）∪（0，4），故选：D．5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．7【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝3x﹣y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．解：不等式组表示的平面区域如图所示，由解得A（2，1）当直线z＝3x﹣y过点A（2，1）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值5．故选：C．6．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．【分析】先求得x的值，然后计算出EX，再利用方差公式求解即可．解：根据随机变量分布列的性质，知0.4+0.1+x＝1，所以x＝0.5，EX＝0.4+0.3+2.5＝3.2，DX＝2.22×0.4+0.22×0.1+1.82×0.5＝3.56，故选：A．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣2【分析】P（a，b）点在双曲线上，则有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．根据点到直线的距离公式能够求出a﹣b的值，注意a＞b，从而得到a+b的值．解：∵P（a，b）点在双曲线上，∴有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．∵A（a，b）到直线y＝x的距离为，∴d＝＝，∴|a﹣b|＝2．又P点在右支上，则有a＞b，∴a﹣b＝2．∴a+b＝，故选：B．8．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．【分析】首先利用关系式的两边取对数求出数列的通项公式，进一步得到数列为等差数列，最后求出结果．解：数列{a n}满足，两边取对数得到，整理得a n+1﹣a n＝2（常数），所以数列{a n}是以2为公差的等差数列．则a2+a4+a6＝3a4＝9，整理得a4＝3，所以a7＝a4+2（7﹣4）＝3+6＝9，故a5+a7+a9＝3a7＝27，所以．故选：C．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0]【分析】可设n≤x＜n+1，从而得出[x]＝n，先可得出﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n，从而可求出[x]﹣x的范围，即得出f（x）的值域．解：设n≤x＜n+1，则[x]＝n；∴﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n；∴﹣1＜[x]﹣x≤0；∴f（x）的值域为（﹣1，0]．故选：D．10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．【分析】利用余弦定理可得AC，cos B，再利用三角形面积计算公式即可得出．解：AC2＝32+42﹣2×3×4cos D＝52+62﹣2×5×6cos B，cos B+cos D＝0．∴AC2＝，∴cos B＝，可得sin B＝＝．∴△ABC的面积S＝×＝．故答案为：．12．设函数，，则函数的最小值为2；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【分析】由已知结合基本不等式可求函数的最小值；由，使得a2﹣a≥f （x）成立，可得a2﹣a≥f（x）min，然后解不等式可求．解：∵，由基本不等式可得，＝2，当且仅当x＝即x＝1时取得最小值2，∵，使得a2﹣a≥f（x）成立，∴a2﹣a≥f（x）min，∴a2﹣a≥2，解不等式可得，a≥2或a≤﹣1，故a的范围为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．故答案为：2；（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是64，含x2项的系数是240．【分析】先利用二项式系数的性质求得n＝6，再利用二项展开式的通项公式求得含x2项的系数．解：在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是2n＝26＝64，而通项公式为T r+1＝•（﹣1）r 26﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2，求得r＝2，可得含x2项的系数是•24＝240，故答案为：64；240．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是[1，2]；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是﹣2．【分析】①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，结合图象可得y的取值范围．②当x≥0时，设抛物线的方程为y＝ax2+bx+c，求解解析式，根据f（x）是定义域为R的偶函数，可得x＜0的解析式，令y＝1，可得x对应的值，结合图象可得b的最大值．解：①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，当x∈[﹣1，1]时，值域为x∈[0，1]时相同，可得y的取值范围是[1，2]．②当x≥0时，设抛物线的方程为f（x）＝ax2+bx+c，图象过（0，1），（1，2），（3，﹣2），带入计算可得：a＝﹣1，b＝2，c＝1，∴f（x）＝﹣x2+2x+1，当x＜0时，﹣x＞0．∴f（﹣x）＝﹣x2﹣2x+1即f（x）＝﹣x2﹣2x+1．令y＝1，可得1＝﹣x2﹣2x+1．解得：x＝﹣2．结合图象可得b的最大值为﹣2．故答案为：[1，2]；﹣2．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．【分析】建立坐标系，设A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则||+2||＝CD+2BC，构造相似三角形，设E（1，），可得△AEC∽△ACD，所以||+2||＝CD+2BC＝2（BC+CE）≥2BE＝．解：如图，A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则向量满足||＝，设＝，所以点C为以A为圆心，以为半径的圆上的一点，所以||＝|﹣|＝|CD|，同理2||＝2|BC|，取点E（1，），则，又因∠CAE＝∠DAC，所以△AEC∽△ACD，所以，即CD＝2CE，所以||+2||＝CD+2BC＝2CE+2BC＝2（BC+CE），由三角形的三边关系知2（BC+CE）≥2BE＝2＝2×＝．故填：．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是[﹣1，+∞）【分析】先根据导数和函数的最值得关系，以及f（x）≥1恒成立，可得当a＞0时，b ≥alna﹣a+1，代入≥＝lna+﹣2，构造函数g（a）＝lna+﹣2，a＞0，利用导数求出函数的最值即可解：∵f（x）＝e x﹣ax+b，∴f′（x）＝e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）单调递增，f（x）≥1不恒成立，当a＞0时，令f′（x）＝e x﹣a＝0，解得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna+b，∵f（x）≥1恒成立，∵a﹣alna+b≥1∴b≥alna﹣a+1，∴≥＝lna+﹣2，设g（a）＝lna+﹣2，a＞0∴g′（a）＝﹣＝，令g′（a）＝0，解得a＝1，当a∈（0，1）时，g′（a）＜0，函数g（a）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（a）＞0，函数g（a）单调递增，∴g（a）min＝0+1﹣2＝﹣1，∴≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为6π；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．【分析】设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，然后求解球O的表面积推出最值；四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），利用函数的导数，求解PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．求解即可．解：设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，所以AB⊥PD，又PD⊥AC，所以PD⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，从而球心O的表面积为：＝3π[（x﹣1）2+2]≥6π．四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），则V′＝﹣x2+2x，当0＜x＜2时，V′＞0，当2＜x＜3时，V′＜0，所以V max＝V（2）此时AD＝CD＝2，PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．∵DH＝＝，∴tan∠AHD＝＝．故答案为：6π；．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．【分析】（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），不等式化为m≥﹣2sin2x+sin x；求出g（x）＝﹣2sin2x+sin x，在x∈[0，]的最大值即可；（2）根据三角函数的图象与性质，结合题意列方程和不等式，即可求出ω的最大值．解：（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），则y＝f（x﹣）+f（2x+）＝sin[（x﹣）+]+sin[（2x+）+]＝sin x+cos2x ＝1﹣2sin2x+sin x；不等式f（x﹣）+f（2x+）﹣m≤1，可化为m≥﹣2sin2x+sin x；设g（x）＝﹣2sin2x+sin x，x∈[0，]，则g（x）＝﹣2+，且x∈[0，]时，sin x∈[0，]，所以sin x＝时，g（x）取得最大值是，所以实数m的取值范围是m≥；（2）若，则x＝是f（x）的对称轴，即ω•+φ＝kπ+，k∈Z；又，则﹣ω+φ＝kπ，k∈Z；所以φ＝，ω＝6k+，k∈Z；又f（x）在单调递增，则，解得ω≤2；综上知，ω的最大值是．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．【分析】（I）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，由三角形的中位线定理，易得AE ∥FB1，DE∥B1C，进而由面面平行的判定定理得到平面B1FC∥平面EAD；（II）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，我们可判断出△ABC是正三角形，进而得到AD⊥BC1，DE⊥BC1，结合线面垂直的判定定理即可得到BC1⊥平面EAD．【解答】证明：（Ⅰ）由已知可得AF∥B1E，AF＝B1E，∴四边形AFB1E是平行四边形，∴AE∥FB1，…（1分）∵AE⊄平面B1FC，FB1⊂平面B1FC，∴AE∥平面B1FC；…又D，E分别是BC，BB1的中点，∴DE∥B1C，…∵ED⊄平面B1FC，B1C⊂平面B1FC，∴ED∥平面B1FC；…∵AE∩DE＝E，AE⊂平面EAD，ED⊂平面EAD，…∴平面B1FC∥平面EAD．…（Ⅱ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴C1C⊥面ABC，又∵AD⊂面ABC，∴C1C⊥AD．…又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是BC边中点，∴△ABC是正三角形，∴BC⊥AD，…而C1C∩BC＝C，CC1⊂面BCC1B1，BC⊂面BCC1B1，∴AD⊥面BCC1B1，…故AD⊥BC1．…∵四边形BCC1B1是菱形，∴BC1⊥B1C，…而DE∥B1C，故DE⊥BC1，…由AD∩DE＝D，AD⊂面EAD，ED⊂面EAD，得BC1⊥面EAD．…20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．【分析】（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，由于a1+a2+…+a2013＝0，可得a1007＝0，a1008＝d，对d分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k ＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，再利用绝对值不等式的性质即可得出．解：（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，∵a1+a2+…+a2013＝0，∴＝0，∴a1+a2013＝0，即a1007＝0，∴a1008＝d，当d＝0时，与期待数列的条件①②矛盾，当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a1008+a1009+…+a2013＝，∴1006d+d＝，即d＝，∴a n＝a1007+（n﹣1007）d＝（n∈N*，n≤2013），当d＜0时，同理可得a n＝，（n∈N*，n≤2013）．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，∴2|S k|＝|a1+a2+…+a k|+|a k+1+a k+2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a k|+|a k+1|+…+|a n|＝1，∴|S k|（k＝1，2，…，n）．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．【分析】（1）当|PF|＝2时，利用抛物线的定义，即可求点P的坐标；（2）先求出|AB|，再计算抛物线上点到直线的最大距离，即可求出△PAB的面积的最大值．解：（1）设P（x，y），则y+1＝2，∴y＝1，∴x＝±2，∴P（±2，1）；（2）过F的直线方程为y＝x+1，代入抛物线方程，可得y2﹣6y+1＝0，可得A（2﹣2，3﹣2），B（2+2，3+2），∴|AB|＝•|2+2﹣2+2|＝8．平行于直线l：x﹣y+1＝0的直线设为x﹣y+c＝0，与抛物线C：x2＝4y联立，可得x2﹣4x﹣4c＝0，∴△＝16+16c＝0，∴c＝﹣1，两条平行线间的距离为＝，∴△PAB的面积的最大值为＝4．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）利用导数来求出函数的单调区间．（2）利用导数来求出函数的极值，利用（1）的结论．（3）不等式g（x）≥f（x）恒成立转化为不等式a≥x2+x恒成立，h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，利用导数，求出h（x）的最大值，问题得以解决．解：（1）f（x）＝﹣x3+x2+x+a，f'（x）＝﹣3x2+2x+1，．．．（2）由（1）可知，当时，函数f（x）取得极小值，函数的极小值为当x＝1时，函数f（x）取得极大值，函数的极大值为f（1）＝a+1，（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，即对于任意x∈[0，1]，不等式a≥x2+x恒成立，设h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，则h'（x）＝2x+1，∵x∈[0，1]，∴h'（x）＝2x+1＞0恒成立，∴h（x）＝x2+x在区间[0，1]上单调递增，∴[h（x）]max＝h（1）＝2∴a≥2，∴a的取值范围是[2，+∞）。
(精选3份合集)2020届浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷
B．元素Y在自然界中只以化合态形式存在
C．元素W、Y位于周期表中金属与非金属分界线附近
D．元素Z的含氧酸具有强氧化性
【答案】D
【解析】
【分析】
W、X、Y和Z为原子序数依次增大的四种短周期元素。常温常压下，Y的单质和氧化物均能与X的氢化物的水溶液反应生成一种相同的气体，该气体分子与CH4具有相同的空间结构，X的单质与氢气混合后在冷暗处会发生爆炸，X是F，X的氢化物为HF，Y为Si，Y的氢化物为SiF4；Z原子最外层的电子数是W原子的最外层电子数的2倍，Z的最外层电子数一定为偶数，且大于Si元素，则Z为S元素；W最外层电子数为3，其原子序数小于F，则W为B元素，据此解答。
A．AB．BC．CD．D
【答案】B
【解析】
【详解】
A选项，锌锰电池，锌为负极，二氧化锰为正极，故A错误；
B选项，氢燃料电池，氢气为负极，氧气为正极，故B正确；
C选项，铅蓄电池，铅为负极，二氧化铅为正极，故C错误；
D选项，镍镉电池，镉为负极，氢氧化氧镍为正极，故D错误；
综上所述，答案为B。
4．在25℃时,将1.0Lc mol·L-1CH3COOH溶液与0.1mol NaOH固体混合,使之充分反应。然后向该混合溶液中通入HCl气体或加入NaOH固体(忽略体积和温度变化),溶液pH随通入(或加入)物质的物质的量的变化如图所示。下列叙述错误的是（）
【详解】
根据分析可知：W为B，X为F，Y为Si，Z为S元素。
A.F为非金属性最强的元素，则HF比其它三种元素的氢化物的稳定性都强，A正确；
B.Si在自然界中只以化合态形式存在，B正确；
C.B、Si元素都位于周期表中金属与非金属分界线附近，C正确；
2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模数学试卷-学生用卷
2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第1题4分已知集合A={1,2,4}，B={0,2,4}，则A∪B=（）．A. {2,4}B. {0,1,2,4}C. {0,1,2,2,4}D. {x|0⩽x⩽4}2、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第2题4分双曲线x 24−y29=1的实轴长为（）．A. 2B. 3C. 4D. 63、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第3题4分已知圆C:(x−1)2+y2=1，直线l过点(0,1)且倾斜角为θ，则“θ=0”是“直线l与圆C相切”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第4题4分若复数a+3i1+2i（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数．则实数a的值为（）．A. 4B. 3C. 6D. −65、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第5题4分2020~2021学年10月陕西咸阳武功县高三上学期月考理科第10题5分2019~2020学年陕西西安未央区西安中学高二下学期期末理科第8题5分2019~2020学年9月安徽合肥包河区合肥市第一中学高三上学期月考文科第9题5分2019~2020学年5月重庆沙坪坝区重庆市第一中学高三下学期月考文科第9题5分，则y=f(x)的图象大致为（）．已知函数f(x)=1x−lnx−1A.B.C.D.6、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第6题4分设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（）．A. 若l//α，m//α，则l//mB. 若l//α，m ⊥l ，则m ⊥αC. 若l ⊥α，m ⊥l ，则m//αD. 若l ⊥α，m ⊥α，则l//m7、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第7题4分2019年湖南长沙开福区长沙市第一中学高三一模理科第8题5分2019~2020学年广东深圳南山区深圳市第二高级中学高二上学期段考（三）第9题5分 2020~2021学年辽宁沈阳高二下学期期末（五校协作体）第4题5分2018~2019学年黑龙江哈尔滨南岗区哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中理科第5题5分 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（ ）．A. 1.5尺B. 2.5尺C. 3.5尺D. 4.5尺8、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第8题4分设a →， b →，c →为平面向量．|a →|=|b →|=a →⋅b →=2，若(2c →−a →)⋅(c →−b →)=0，则c →⋅b →的最大值是（ ）．A. √7+√3B. 52+√3C. 174D. 949、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第9题4分定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(−x)，且当x∈[0,1]时，f(x)=2x−cosx，则下列结论正确的是（）．A. f(20192)<f(20203)<f(2018)B. f(2018)<f(20203)<f(20192)C. f(2018)<f(20192)<f(20203)D. f(20203)<f(20192)<f(2018)10、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第10题4分设等差数列{a n}的前n项和为S n，且对任意n∈N∗，都有|S n+2020|⩾|S n|．则下列命题不一定成立的是（）．A. |S2020|⩽|S2021|B. |S2021|⩽|S2022|C. |a1010|⩽|a1011|D. |a1011|⩽|a1012|二、填空题（本大题共7小题，共36分）11、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第11题6分已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=3，D(X)=2，则p=，P(X=1)=．12、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第12题6分2020~2021学年浙江杭州西湖区杭州师范大学附属中学高二上学期期中第14题6分已知实数x，y满足约束条件{x+y−2⩾0 x−y−2⩽02x−y−2⩾0，则z=x+2y的最小值为；y+1x的取值范围是．13、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第13题6分若将函数f(x)=x7表示为f(x)=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+a7(x−1)7，其中a0，a1，a2，⋯，a7为实数，则a3=．a0+a2+a4+a6=．14、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第14题6分已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+√3asinC=b+c，则A=，又若b=2，a=x，△ABC有两解，则实数x的取值范围是．15、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第15题4分已知抛物线y2=4x，过点A(1,2)作直线l交抛物线于另一点B，Q是线段AB的中点，过Q作与y轴垂直的直线l1．交抛物线于点C，若点P满足QC→=CP→，则|OP|的最小值是．16、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第16题4分2020~2021学年广东深圳南山区深圳实验学校高二下学期段考（一）第16题5分将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有种不同的放法．17、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第17题4分已知三棱锥A−BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，AD=2，∠BAC=90°，若球O的表面积为29π，则三棱锥A−BCD的侧面积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第18题14分设函数f(x)=cos(2x+π6)−cos(2x−3π2)+a的最小值是−1．(1) 求a的值及f(x)的对称中心．(2) 将函数f(x)图象的横坐标压缩为原来的一半（纵坐标不变），再向右平移π12个单位，得到g(x)的图象．若g(x)⩾−12，求x的取值范围．19、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第19题15分如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1=A1C1=2，CC1=2√3，∠BAC=120°．O为线段B1C1的中点，P为线段CC1上一动点（异于点C、C1)．Q为线段BC上一动点，且QP⊥OP：(1) 求证：平面A1PQ⊥平面A1OP．(2) 若BO//PQ，求直线OP与平面A1PQ所成角的正弦值．20、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第20题15分已知数列{a n}满足a1=2，a2=10，a n+2=a n+1+2a n，n∈N∗．(1) 证明：数列{a n+a n+1}是等比数列．(2) 求数列{a n}的通项公式．(3) 证明：1a1+1a2+⋯+1a n<34．21、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第21题15分已知M:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2√3，点P(0,2)关于直线y=−x的对称点在椭圆M上．(1) 求椭圆M的方程．(2) 如图，椭圆M的上、下顶点分别为A，B，过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D．①求△COD面积的取值范围．②当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．22、【来源】 2020年浙江杭州西湖区杭州学军中学高三一模第22题15分已知实数a⩾−1，设f(x)=(x+a)lnx，x>0．(1) 若a=−1，有两个不同实数x1，x2满足|f′(x1)|=|f′(x2)|，求证：x1+x2>2．(2) 若存在实数1e <c<4e2，使得|f(x)|=c有四个不同的实数根，求a的取值范围．1 、【答案】 B;2 、【答案】 C;3 、【答案】 A;4 、【答案】 D;5 、【答案】 A;6 、【答案】 D;7 、【答案】 B;8 、【答案】 B;9 、【答案】 C;10 、【答案】 C;11 、【答案】13;256 2187;12 、【答案】2;[12,2);13 、【答案】35;64;14 、【答案】π3;(√3,2);15 、【答案】√22;16 、【答案】535;17 、【答案】5√2+254;18 、【答案】 (1) 0，(−π6+kπ2,0)，k∈Z．;(2) x∈[kπ2−π24,7π24+kπ2]，k∈Z．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 2√1919．;20 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) a n=2n+1+2⋅(−1)n．;(3) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) x24+y2=1．;(2)①4√1t −4t2∈(0,1]．②是，12．;22 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 0<a<1e2．;。
2020年高考模拟试卷浙江杭州二中高考数学模拟测试卷(3月份) 含解析
2020年高考模拟试卷高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题1．已知集合M＝{x|1≤x≤3}，N＝{x|x＞2}，则集合M∩（∁R N）＝（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|x≥1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|2＜x≤3} 2．设双曲线的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，若a＞b＞1，则一定有（）A．log a x＞log b y B．sin a x＞sin b yC．ay＞bx D．a x＞b y4．将函数y＝cos（2x+φ）的图象向右平移个单位，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值（）A．B．C．D．5．函数f（x）＝e|x﹣1|﹣2cos（x﹣1）的部分图象可能是（）A．B．C．D．6．随机变量ξ的分布列如下：ξ﹣101P a b c 其中a，b，c成等差数列，则Dξ的最大值为（）A．B．C．D．7．已知单位向量，且，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．8．在等腰梯形ABCD中，已知AB＝AD＝CD＝1，BC＝2，将△ABD沿直线BD翻折成△A′BD，如图，则直线BA′与CD所成角的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[0，]9．已知函数f（x）＝，g（x）＝kx+2，若函数F（x）＝f（x）﹣g （x）在[0，+∞）上只有两个零点，则实数k的值不可能为（）A．B．C．D．﹣110．已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝，且[3+（﹣1）n]a n+2﹣2a n+2[（﹣1）n﹣1]＝0，n∈N*，记T2n为数列{a n}的前2n项和，数列{b n}是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式（T2n+）•＜1成立的最小整数n为（）A．7B．6C．5D．4二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．若的展开式中所有项的系数的绝对值之和为64，则n＝；该展开式中的常数项是．12．已知实数x，y满足，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则m的取值范围为，如果目标函数z＝2x﹣y的最小值为﹣1，则实数m＝．13．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a＝，该几何体的表面积为．14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若a＝，c＝3，A＝60°，则b＝，△ABC的面积S＝．15．如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有个．16．若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．17．设点P是△ABC所在平面内动点，P不在BC上，满足＝λ+μ，3λ+4μ＝2（λ，μ∈R），||＝||＝||，若|AB|＝3，则△ABC的面积最大值是．三、解答题（共5小题，共74分．）18．已知函数的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若且，求cos2x0的值．19．如图，已知四边形ABCD是正方形，AE⊥平面ABCD，PD∥AE，PD＝AD＝2EA＝2，G，F，H分别为BE，BP，PC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面GHF；（2）求直线GH与平面PBC所成的角θ的正弦值．20．已知数列{a n}满足：a1＝，（n∈N*）．（其中e为自然对数的底数，e ＝2.71828…）（Ⅰ）证明：a n+1＞a n（n∈N*）；（Ⅱ）设b n＝1﹣a n，是否存在实数M＞0，使得b1+b2+…+b n≤M对任意n∈N*成立？若存在，求出M的一个值；若不存在，请说明理由．21．如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：x2＝2py（p＞0）的焦点，且抛物线C1上点P 处的切线与圆C2：x2+y2＝1相切于点Q．（Ⅰ）当直线PQ的方程为x﹣y﹣＝0时，求抛物线C1的方程；（Ⅱ）当正数p变化时，记S1，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．22．已知函数（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的值域；（2）若不等式f（x）≥k（x﹣1）（1﹣sin x）对任意恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：．参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．已知集合M＝{x|1≤x≤3}，N＝{x|x＞2}，则集合M∩（∁R N）＝（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|x≥1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|2＜x≤3}【分析】根据集合补集交集的定义进行计算即可．解：∵M＝{x|1≤x≤3}，N＝{x|x＞2}，∴∁R N＝{x|x≤2}，则集合M∩（∁R N）＝{x|1≤x≤2}．故选：A．2．设双曲线的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线的定义与性质，转化求解离心率即可．解：因为双曲线的两焦点之间的距离为10，所以2c＝10，c＝5，所以a2＝c2﹣9＝16，所以a＝4．所以离心率．故选：C．3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，若a＞b＞1，则一定有（）A．log a x＞log b y B．sin a x＞sin b yC．ay＞bx D．a x＞b y【分析】根据条件及指数函数和幂函数的单调性即可得出a x＞a y＞b y，从而选D．解：∵x＞y＞0，a＞b＞1，∴a x＞a y＞b y．故选：D．4．将函数y＝cos（2x+φ）的图象向右平移个单位，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的图象平移关系，结合函数奇偶性的性质建立条件进行求解即可．解：函数y＝cos（2x+φ）的图象向右平移个单位后得y＝cos2[（x﹣）+φ]＝cos （2x﹣+φ），若此时函数为奇函数，则﹣+φ＝+kπ，即φ＝kπ+，k∈Z，∴当k＝﹣1时，|φ|取得最小值．故选：B．5．函数f（x）＝e|x﹣1|﹣2cos（x﹣1）的部分图象可能是（）A．B．C．D．【分析】利用f（0）的值进行判断，求函数的导数，研究当x≥2时的单调性，利用排除法进行求解即可．解：f（0）＝e﹣2cos1＞0，排除B，D，当x≥1时，f（x）＝e x﹣1﹣2cos（x﹣1），f′（x）＝e x﹣1+2sin（x﹣1），则当x≥2时，f′（x）＞0，即此时f（x）为增函数，排除C，故选：A．6．随机变量ξ的分布列如下：ξ﹣101P a b c 其中a，b，c成等差数列，则Dξ的最大值为（）A．B．C．D．【分析】a，b，c成等差数列，由随机变量ξ的分布列得b＝，a＝，b＝，求出E（ξ）＝2d，从而D（ξ）＝（﹣1﹣2d）2×（）+（0﹣2d）2×+（1﹣2d）2×（）＝．由此能求出当d＝0时，Dξ取最大值为．解：∵a，b，c成等差数列，∴由随机变量ξ的分布列，得：，解得b＝，a＝，b＝，E（ξ）＝＝2d，D（ξ）＝（﹣1﹣2d）2×（）+（0﹣2d）2×+（1﹣2d）2×（）＝．∴当d＝0时，Dξ取最大值为．故选：A．7．已知单位向量，且，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】根据题意求出|+|，把化为﹣||﹣≤0，解不等式求出||的取值范围．解：单位向量，且，c＜，＞＝120°，∴|+|＝＝1；若向量满足，则﹣•（+）+•＝，∴||2﹣﹣•（+）＝∴||2﹣||•cos＜+＞＝解得﹣≤||≤+；∴的取值范围是（﹣，+]．故选：B．8．在等腰梯形ABCD中，已知AB＝AD＝CD＝1，BC＝2，将△ABD沿直线BD翻折成△A′BD，如图，则直线BA′与CD所成角的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[0，]【分析】由题意画出图形，可得BA′的轨迹可看作是以BD为轴，B为顶点，母线与轴的夹角为的圆锥的侧面，过点B作CD的平行线，过点C作BD的平行线，两平行线交于点E，则直线BA′与BE所成的角即直线BA′与CD所成的角．再由异面直线所成角的概念得答案．解：在等腰梯形ABCD中，由题意求得∠ABC＝，∠ABD＝∠CBD＝，则∠A′BD＝为定值，∴BA′的轨迹可看作是以BD为轴，B为顶点，母线与轴的夹角为的圆锥的侧面，故点A′的轨迹如图中所示，其中F为BC的中点．过点B作CD的平行线，过点C作BD的平行线，两平行线交于点E，则直线BA′与BE所成的角即直线BA′与CD所成的角．又易知CD⊥BD，∴直线A′B与CD所成角的取值范围为[，]，故选：A．9．已知函数f（x）＝，g（x）＝kx+2，若函数F（x）＝f（x）﹣g （x）在[0，+∞）上只有两个零点，则实数k的值不可能为（）A．B．C．D．﹣1【分析】画出图象，结合图象判断即可．解：显然直线g（x）＝kx+2过（0，2）点，是红色直线时，k＝﹣1，两个交点，符合题意，是绿色直线时，k＝﹣，两个交点，符合题意，由得：（k2+1）x2+（4k﹣2）x+4＝0，由△＝（4k﹣2）2﹣16（k2+1）＝0，解得：k＝﹣，此时直线g（x）＝kx+2和半圆y＝相切，与y＝2f（x﹣2）相交，共2个交点，故k＝﹣符合题意，当是黄色直线时，k＝﹣，直线和半圆相离，与y＝2f（x﹣2）相交，1个交点，不合题意，故选：A．10．已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝，且[3+（﹣1）n]a n+2﹣2a n+2[（﹣1）n﹣1]＝0，n∈N*，记T2n为数列{a n}的前2n项和，数列{b n}是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式（T2n+）•＜1成立的最小整数n为（）A．7B．6C．5D．4【分析】根据数列的递推关系求出T2n以及数列{b n}的通项公式，然后根据不等式的性质进行求解即可．解：∵[3+（﹣1）n]a n+2﹣2a n+2[（﹣1）n﹣1]＝0，∴当n为偶数时，可得（3+1）a n+2﹣2a n+2（1﹣1）＝0，即，∴a2，a4，a6，…是以为首项，以为公比的等比数列；当n为奇数时，可得（3﹣1）a n+2﹣2a n+2（﹣1﹣1）＝0，即a n+2﹣a n＝2，∴a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以2为公差的等差数列，∴T2n＝（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）＝＝，∵数列{b n}是首项和公比都是2的等比数列，∴b n＝2•2n﹣1＝2n，则（T2n+）•＜1等价为（+）•＜1，即（n2+1）•＜1，即n2+1＜2n，作出函数y＝n2+1与y＝2n，的图象如图：则当n＝1时，2＝2，当n＝2时，5＜4不成立，当n＝3时，10＜8不成立，当n＝4时，17＜16不成立，当n＝5时，26＜32成立，当n≥5时，n2+1＜2n恒成立，故使不等式（T2n+）•＜1成立的最小整数n为5，故选：C．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．若的展开式中所有项的系数的绝对值之和为64，则n＝3；该展开式中的常数项是﹣27．【分析】根据题意得（3+1）n＝64，求出n的值；利用展开式的通项公式求出常数项．解：的展开式中所有项的系数的绝对值之和为64，∴（3+1）n＝64，解得n＝3；展开式的通项公式为T r+1＝••＝•33﹣r•（﹣1）r•，令＝0，解得r＝1；∴展开式的常数项为T2＝•32•（﹣1）＝﹣27．故答案为：3，﹣27．12．已知实数x，y满足，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则m的取值范围为（2，+∞），如果目标函数z＝2x﹣y的最小值为﹣1，则实数m＝4．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数z＝2x﹣y的最小值．利用数形结合即可得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域，要使所表示的平面区域为三角形，则点A必须在直线x+y＝m的下方，即A的坐标满足不等式x+y＜m，由，解得，即A（1，1），此时满足x+y＜m，即m＞2．由z＝2x﹣y，得y＝2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y＝2x﹣z，由平移可知当直线y＝2x﹣z，经过点B时，直线y＝2x﹣z的截距最大，此时z取得最小值，由，解得，即B（3，1）．此时B也在x+y＝m上，则m＝3+1＝4，故答案为：（2，+∞），4．13．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a＝1，该几何体的表面积为．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，根据它的体积是，求出a值，再计算各个面的面积，相加可得答案．解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，其直观图如图所示：其底面面积S＝a2，高SA＝2，故它的体积V＝＝＝，解得：a＝1，则底面面积S＝1，侧面S△SAD＝S△SAB＝，侧面S△SCD＝S△SCB＝＝，故几何体的表面积为：1+2×1+2×＝，故答案为：1；14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若a＝，c＝3，A＝60°，则b＝1或2，△ABC的面积S＝或．【分析】利用余弦定理即可求出b的值，利用三角形面积公式求出即可．解：在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴7＝b2+9﹣2×3b×，即b2﹣3b+2＝0解得b＝1或b＝2，∴S△ABC＝bc sin A＝×1×3×＝，或S△ABC＝bc sin A＝×2×3×＝故答案为：1或2，或15．如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有312个．【分析】根据题意，按圆内取出的点的数目分3种情况讨论：①、取出的3个点都在圆内，②、在圆内取2点，圆外12点中取1点，③、在圆内取1点，圆外12点中取2点，分别求出每一种情况的取法数目，由分类计数原理计算可得答案．解：根据题意，分3种情况讨论：①、取出的3个点都在圆内，有C43＝4种取法，即有4种取法，②、在圆内取2点，圆外12点中取1点，有C42C101＝60种，即有60种取法，③、在圆内取1点，圆外12点中取2点，有C41（C122﹣4）＝248种，即有248种取法，则至少有一个顶点在圆内的三角形有4+60+248＝312个，故答案为：312．16．若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是3．【分析】根据所给x，y的范围，可得|6﹣x﹣3y|＝6﹣x﹣3y，再讨论直线2x+y﹣2＝0将圆x2+y2＝1分成两部分，分别去绝对值，运用平移即可得到最小值．解：由x2+y2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|6﹣x﹣3y|＝6﹣x﹣3y，如图直线2x+y﹣2＝0将圆x2+y2＝1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y﹣2≥0，即|2x+y﹣2|＝2x+y﹣2，此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|＝（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）＝x﹣2y+4，利用平移可得在A（，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y﹣2≤0，即|2x+y﹣2|＝﹣（2x+y﹣2），此时|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|＝﹣（2x+y﹣2）+（6﹣x﹣3y）＝8﹣3x﹣4y，利用平移可得在A（，）处取得最小值3．综上可得，当x＝，y＝时，|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．17．设点P是△ABC所在平面内动点，P不在BC上，满足＝λ+μ，3λ+4μ＝2（λ，μ∈R），||＝||＝||，若|AB|＝3，则△ABC的面积最大值是9．【分析】以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立直角坐标系，则A（﹣1.5，0），B（1.5，0），外心P（0，p），C（x，y），运用两点的距离公式和向量的坐标运算，求得C的轨迹方程，可得C的纵坐标的最值，由三角形的面积公式，即可得到所求最大值．解：以AB所在直线为x轴，AB的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则A（﹣1.5，0），B（1.5，0），外心P（0，p），C（x，y），由||＝||＝||，可得1.52+p2＝x2+（y﹣p）2，化为x2+y2﹣2py＝2.25，＝λ+μ，可得（﹣x，p﹣y）＝λ（﹣1.5﹣x，﹣y）+μ（1.5﹣x，﹣y），即为﹣x＝λ（﹣1.5﹣x）+μ（1.5﹣x），p﹣y＝﹣λy﹣μy，可得3λ＝1.5﹣+，4μ＝2﹣﹣，由3λ+4μ＝2，可得4.5y﹣10.5p﹣px＝0，即p＝，代入x2+y2﹣2py＝2.25，可得y2＝，可令t＝3+2x，则y2＝≤＝36，可得y的最大值为6，则C到AB的距离的最大值为6，则△ABC的面积的最大值为×3×6＝9．故答案为：9．三、解答题（共5小题，共74分．）18．已知函数的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若且，求cos2x0的值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性，求ω的值．（Ⅱ）先求出，再利用两角和的余弦求出cos2x0的值．解：（Ⅰ）＝，因为T＝＝π，所以ω＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，且，∴，因为，所以．因为，所以，．．19．如图，已知四边形ABCD是正方形，AE⊥平面ABCD，PD∥AE，PD＝AD＝2EA＝2，G，F，H分别为BE，BP，PC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面GHF；（2）求直线GH与平面PBC所成的角θ的正弦值．【分析】（1）由已知可得AE⊥BC，AB⊥BC，再由线面垂直的判定可得BC⊥平面AEB，利用三角形中位线定理得到FH∥BC，得FH⊥平面ABE，从而证明平面ABE⊥平面GHF；（2）由AE⊥平面ABCD，PD∥AE，得PD⊥平面ABCD，得到PD⊥BC，又CD⊥BC，可得BC⊥平面PCD，则平面PBC⊥平面PCD．连接DH，则DH⊥PC，得到DH⊥平面PBC，可得θ＝﹣∠DHG．然后求解三角形得答案．【解答】（1）证明：∵AE⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴AE⊥BC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥BC，又BA∩AE＝A，BA，AE⊂平面ABE，∴BC⊥平面AEB，∵F，H分别为BP，PC的中点，∴FH为△PBC的中位线，∴FH∥BC，得FH⊥平面ABE，又FH⊂平面GHF，∴平面ABE⊥平面GHF；（2）解：∵AE⊥平面ABCD，PD∥AE，∴PD⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥BC，又PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，∴BC⊥平面PCD，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．连接DH，则DH⊥PC，∵平面PBC∩平面PCD＝PC，∴DH⊥平面PBC，∴∠DHG为直线GH与平面PBC所成角的余角，即θ＝﹣∠DHG．在等腰直角三角形PDC中，∵PD＝DC＝2，∴PC＝2，得DH＝＝．连接DG，得DG═，GH＝，在△DHG中，cos∠DHG＝＝，∴sinθ＝cos∠DHG＝，即直线GH与平面PBC所成的角θ的正弦值为．20．已知数列{a n}满足：a1＝，（n∈N*）．（其中e为自然对数的底数，e ＝2.71828…）（Ⅰ）证明：a n+1＞a n（n∈N*）；（Ⅱ）设b n＝1﹣a n，是否存在实数M＞0，使得b1+b2+…+b n≤M对任意n∈N*成立？若存在，求出M的一个值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设f（x）＝e x﹣x﹣1，令f'（x）＝e x﹣1＝0，得到x＝0．利用导数性质推导出e x≥x+1，由此能证明a n+1＞a n．（Ⅱ）先用数学归纳法证明，对n∈N*都有，．取n＝2t﹣1（t∈N*），得b1+b2+…+b n．从而b1+b2+…+b n＞M．由此得到不存在满足条件的实数M．【解答】证明：（Ⅰ）设f（x）＝e x﹣x﹣1，令f'（x）＝e x﹣1＝0，得到x＝0．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．故f（x）≥f（0）＝0，即e x≥x+1（当且仅当x＝0时取等号）．故，所以a n+1＞a n．解：（Ⅱ）先用数学归纳法证明．①当n＝1时，．②假设当n＝k时，不等式成立，那么当n＝k+1时，＝，也成立．故对n∈N*都有．所以．取n＝2t﹣1（t∈N*），b1+b2+…+b n＝．即b1+b2+…+b n．所以，对任意实数M＞0，取t＞2M，且t∈N*，n＝2t﹣1，则b1+b2+…+b n＞M．故不存在满足条件的实数M．21．如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1：x2＝2py（p＞0）的焦点，且抛物线C1上点P 处的切线与圆C2：x2+y2＝1相切于点Q．（Ⅰ）当直线PQ的方程为x﹣y﹣＝0时，求抛物线C1的方程；（Ⅱ）当正数p变化时，记S1，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．【分析】（Ⅰ）设点P（x0，），代入直线PQ的方程得一方程，再根据抛物线在P 处切线斜率为1列一方程，解方程组即可求得p值；（Ⅱ）易表示出点p处切线方程，据线圆相切得一方程，再与圆联立方程组可表示出Q 坐标，据弦长公式可表示出|PQ|，利用点到直线的距离公式可表示出点F到切线PQ的距离d，则S1可表示，又＝，所以可表示为关于x0的函数，据函数结构特点利用基本不等式即可求得其最小值．解：（Ⅰ）设点P（x0，），由x2＝2py（p＞0）得，y＝，求导y′＝，因为直线PQ的斜率为1，所以＝1且x0﹣﹣＝0，解得p＝2，所以抛物线C1的方程为．（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：y﹣＝（x﹣x0），即2x0x﹣2py﹣＝0，根据切线与圆切，得d＝r，即＝1，化简得，由方程组，解得Q（，），所以|PQ|＝|x P﹣x Q|＝＝，点F（0，）到切线PQ的距离是d＝＝，所以＝××＝，＝，而由知，4p2＝，得|x0|＞2，所以＝＝＝＝＝+3≥2+3，当且仅当时取“＝”号，即，此时，p＝．所以的最小值为2+3．22．已知函数（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的值域；（2）若不等式f（x）≥k（x﹣1）（1﹣sin x）对任意恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：．【分析】（1）利用导数求函数的值域即可；（2）恒成立问题转化为最值即可；（3）构造函数可解决此问题．解：（1）f'（x）＝e x﹣e x（sin x+cos x）＝e x（1﹣sin x﹣cos x）＝＝，∵，∴，∴，所以f'（x）≤0，故函数f（x）在上单调递减，函数f（x）的最大值为f（0）＝e0﹣e0sin0＝1；f（x）的最小值为，所以函数f（x）的值域为[0，1]．（2）原不等式可化为e x（1﹣sin x）≥k（x﹣1）（1﹣sin x）…（*），因为1﹣sin x≥0恒成立，故（*）式可化为e x≥k（x﹣1）．令g（x）＝e x﹣kx+k，则g'（x）＝e x﹣k当k≤0时，g'（x）＝e x﹣k＞0，所以函数g（x）在上单调递增，故g（x）≥g（0）＝1+k≥0，所以﹣1≤k≤0；当k＞0时，令g'（x）＝e x﹣k＝0，得x＝lnk，且当x∈（0，lnk）时，g'（x）＝e x﹣k ＜0；当x∈（lnk，+∞）时，g'（x）＝e x﹣k＞0．所以当，即时，函数g（x）min＝g（lnk）＝2k﹣klnk＝k（2﹣lnk）＞0，成立；当，即时，函数g（x）在上单调递减，，解得综上，．（3）令，则．由，故存在，使得h'（x0）＝0即．且当x∈（﹣∞，x0）时，h'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0．故当x＝x0时，函数h（x）有极小值，且是唯一的极小值，故函数＝，因为，所以，故，．。
2020届浙江省杭州市高三下学期3月月考数学试题
2020届浙江省杭州市第二中学高三下学期3月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}=13M x x ，{}2N x x =>，则集合()RM N ⋂=（ ）A ．{}12x x B ．{}1x x C ．{}12x x < D ．{}23x x <【答案】A 【解析】先求出RN ，根据集合的交集运算进行求解即可．【详解】∵{}{}RN x x 2N x x 2=>∴=≤, 则集合(){}R M N x 1x 2⋂=故选:A 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，熟练计算是关键，比较基础．2．设双曲线222109x y a a =>-（）的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为 （） A ．35B ．45C ．54D ．53【答案】C【解析】根据题意得出5c =,再利用a,b,c 的关系，离心率公式得解. 【详解】因为双曲线222109x y a a =>-（）的两焦点之间的距离为10，所以210c =，5c =，所以22916a c =-=，所以4a =.所以离心率54e =.故选C. 【点睛】本题考查双曲线基本量a,b,c 的关系,离心率的公式,基础题. 3．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，若a >b >1，则一定有（ ） A ．log a x >log b y B ．sin a x >sin b yC ．ay >bxD ．a x >b y【答案】D【解析】举出反例说明ABC 不正确，利用指数函数和幂函数性质证明D 选项正确.【详解】对于A 选项，令3,2,3,2a b x y ====，显然log a x =log b y ，所以该选项不正确； 对于B 选项，令3,2,,,sin 0,sin 12a b a b x y x y ππ======，不满足sin a x >sin b y ，所以该选项不正确；对于C 选项，令3,2,0.5,0.1a b x y ====，显然不满足ay >bx ，所以该选项不正确； 对于D 选项，根据指数函数和幂函数的性质：x ，y ∈R ，且x >y >0，若a >b >1，x y y a a b >>，所以该选项正确. 故选：D 【点睛】此题考查根据已知条件比较大小关系，关键在于熟练掌握常见函数的性质，推翻一个命题只需举出反例即可.4．将函数y ＝cos （2x ＋φ）的图象向右平移3π个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为（ ） A ．12πB ．6π C ．3π D ．56π 【答案】B【解析】根据平移方式求出平移后的解析式()2cos 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，是一个奇函数，则2,32k k Z ππϕπ-+=+∈，即可求解. 【详解】函数y ＝cos （2x ＋φ）的图象向右平移3π个单位长度， 得到()2cos 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，是奇函数， 则2,32k k Z ππϕπ-+=+∈， 7,6k k Z πϕπ=+∈， 要使|φ|最小，即当1k =-时，6π=ϕ. 故选：B 【点睛】此题考查根据函数的平移变换求函数解析式，根据函数的奇偶性求参数的取值，需要熟练掌握正弦型函数的基本性质.5．函数|1|()2cos(1)x f x e x -=--的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先根据()1f 函数值舍去B ，再根据()0f 函数值舍去D ，最后根据(2,)+∞上单调性确定选A. 【详解】因为()11f =-,所以舍去B ，因为()0210f e cos =->，所以舍去D ， 因为2x >时，11()2cos(1)()2sin(1)20x x f x e x f x e x e --'=--∴=+-≥->，因此选A. 【点睛】本题考查函数图象与函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题. 6．随机变量ξ的分布列如下：ξ-1 0 1Pabc其中a ，b ，c 成等差数列，则D ξ的最大值为（ ） A ．23B ．59C ．29D ．34【答案】A【解析】因为a ，b ，c 成等差数列，122b a c,a b c 1,b ,c a,33∴=+++=∴==-2E ξa c 2a 3∴=-+=-+，2222222D ξ12a a 2a b 12a a 3333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+-⨯++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22821224a a 439333a ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭.则D ξ的最大值为237．已知单位向量1e ，2e ，且1212e e ⋅=-，若向量a 满足125()()4a e a e -⋅-=，则||a 的取值范围为（）A．⎦B ．11,]22C ．12⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．⎛ ⎝⎭【答案】B【解析】根据题意求出121e e +=，对已知等式变形处理为()21274a a e e -⋅+=，结合()[]12cos ,1,1a e e +∈-，解不等式27411a a--≤≤即可得解.【详解】由题可得：12121121e e e e +=++⋅=，125()()4a e a e -⋅-=，即()2121254a a e e e e -⋅++⋅=， 所以()21274a a e e -⋅+=，()()[]212121274cos ,1,1a a e e a e e a e e a-⋅++==∈-⋅+解不等式组22741741a a a a ⎧-⎪≤⎪⎪⎨⎪-⎪≥-⎪⎩，得11[2]22a -∈故选：B 【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，根据已知单位向量关系求向量模长，利用数量积和夹角余弦值的范围求解不等式组得向量模长的取值范围.8．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ＝AD ＝CD ＝1，BC ＝2，将△ABD 沿直线BD 翻折成△A ′BD ，如图，则直线BA ′与CD 所成角的取值范围是（ ）A ．[,]32ππB ．[,]63ππC ．[,]62ππD ．[0,]3π【答案】A【解析】根据翻折过程中∠A ′BD =30°，BA ′可以看成以B 为顶点，BD 为轴的圆锥的母线，将问题转化为圆锥的母线与底面内的直线所成角的取值范围. 【详解】由题：在等腰梯形ABCD 中，已知AB ＝AD ＝CD ＝1，BC ＝2，取BC 中点M ，连接AM ，易得四边形AMCD 是平行四边形，所以AM =DC =AB ， 所以△ABM 是等边三角形，则∠ABC =60°，∠ABD =30°，∠A ′BD =30°，CD ⊥BD ， 在翻折过程中，BA ′绕着BD 旋转，BA ′可以看成以B 为顶点，BD 为轴的圆锥的母线， CD 为圆锥底面内的直线，将本问题转化为求解如图圆锥中母线与底面直线所成角的取值范围， 其中母线与轴夹角为30°，所以母线与底面直线所成角的取值范围为[,]32ππ故选：A 【点睛】此题考查平面图形翻折问题，根据翻折变化求解直线所成角的取值范围，关键在于合理进行等价转化求解.9．已知函数()()22,02,22,2,x x x f x f x x ⎧-≤<⎪=⎨-≥⎪⎩()2g x kx =+，若函数()()()F x f x g x =-在[)0,+∞上只有两个零点，则实数k 的值不可能为A．2 3 -B．12-C．34-D．1-【答案】A【解析】函数()()()F x f x g x=-的零点为函数()y f x=与()y g x=图象的交点，在同一直角坐标下作出函数()y f x=与()y g x=的图象，如图所示，当函数()y g x=的图象经过点（2，0）时满足条件，此时20102k-==--，当函数()y g x=的图象经过点（4，0）时满足条件，此时201042k-==--，当函数()y g x=的图象与2211(0,0)x y x y-+=>>（）相切时也满足题意，2211kk-=+，解得34k=-，综上所述，1k=-或12k=-或34k=-．点睛:研究函数零点问题常常转化为函数的图象的交点个数问题.本题中已知函数()()()F x f x g x=-有2个零点求参数k的取值范围，转化为函数()y f x=与()y g x=图象的交点，注意到函数()y g x=过定点（2，0），并且函数()y f x=的图象是圆的一部分，即2211(0,0)x y x y-+=>>（），在线的旋转过程中，求k可得结论. 10．已知数列满足，a1＝1，a2＝12，且[3＋（－1）n]a n＋2－2a n＋2[（－1）n－1]＝0，n∈N，记T2n为数列{a n}的前2n项和，数列{b n}是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式21nnTb⎛⎫+⎪⎝⎭·1nb<1成立的最小整数n为（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【解析】根据递推关系分奇偶求出数列的关系，求出2nT2112nn=+-，题目中的不等式等价于求使2112nn+<成立的最小整数n.【详解】由题，当n 为偶数时，2420n n a a +-=，所以246,,,a a a ⋅⋅⋅是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列，当n 为奇数时，22n n a a +-=，所以135,,,a a a ⋅⋅⋅是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以()()1354622122n n n a a a a a a T a a -=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()111221211212nn n ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+-⎝⎭=+-2112n n =+-，数列{b n }是首项和公比都是2的等比数列，2nn b =，21nn T b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭·1nb <1即2112n n +<，依次检验：当n =1时，不满足，当n =2时，不满足， 当n =3时，不满足，当n =4时，不满足，当n =5时，满足， 所以满足条件的最小正整数为5. 故选：C 【点睛】此题考查根据递推关系分析数列关系，涉及利用等差数列和等比数列求和公式进行分组求和，讨论使不等式成立的最小正整数可以考虑依次检验.二、填空题11．若1)nx的展开式中所有项的系数的绝对值之和为64，则n =__________；该展开式中的常数项是__________． 【答案】3 -27【解析】（1）因为系数的绝对值之和为64，则当1x =时，有()3164n+=，所以3n =； （2）(()33332133131kkkk kk kk T CC x x ---+-⎛⎫==⋅⋅- ⎪⎝⎭，所以1k =，常数项为()11233127C ⋅⋅-=-。
2020届浙江省杭州市高级中学高三下学期3月高考模拟测试数学试题(解析版)
2020届浙江省杭州市高级中学高三下学期3月高考模拟测试数学试题一、单选题1．若集合2{|10},{|0A x x B x =-≥=<x <4}，则A ∩B =（ ）A ．(-∞，-1)B ．[0，4)C ．[1，4)D ．(4，+∞)【答案】C【解析】解一元二次不等式求得集合A ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()()21110x x x -=+-≥解得1x ≤-或1x ≥，所以(][),11,A =-∞-+∞U ，所以[)1,4A B =I .故选：C 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．已知i 为虚数单位，2,iz i+=则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．-2C ．2D ．-2i【答案】B【解析】利用复数的除法运算化简z 的表达式，由此求得z 的虚部. 【详解】 依题意()()()2212i i i z i i i i +⋅-+===-⋅-，故虚部为2-. 故选：B 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数虚部的求法，属于基础题.3．已知双曲线C ：22221y x a b-=（0,0a b >>）的渐近线方程为12y x =±，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．2D【答案】B【解析】根据双曲线的方程和其渐近线方程可求得12a b =，然后再根据离心率的计算公式可得所求． 【详解】由22220y x a b-=可得a y x b =±，即为双曲线的渐近线的方程，又渐近线方程为12y x =±， ∴12a b =， ∴2ba=. ∴离心率2222e 15c a b b a a+===+=．故选B ． 【点睛】（1）求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a =-和ce a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． （2）本题容易出现的错误是认为12b a =，由双曲线的标准方程求渐近线方程时，不论焦点在哪个轴上，只需把方程中的“1=”改为“0=”，即可得到渐近线的方程． 4．函数的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由题意，当时，求得，单调递增，排除A ，B ；当时，令，求得在单调递增，在单调递减，即可得到答案.【详解】 由题意，当时，，，单调递增，排除A ，B当时，，，令，在单调递增，在单调递减，选D 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中合理利用导数得到函数的单调性是解答的本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 5．已知随机变量ξ满足P (ξ=0) =x ，P (ξ=1) =1-x ，若1(0,),2x ∈则（ ） A ．E (ξ)随着x 的增大而增大，D (ξ)随着x 的增大而增大 B ．E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大 C ．E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而减小 D ．E (ξ)随着x 的增大而增大，D (ξ)随着x 的增大而减小 【答案】B【解析】求得E ξ和D ξ的表达式，由此判断出两者的单调性. 【详解】依题意()0111E x x x ξ=⨯+⨯-=-，在区间1(0,)2上是减函数.()()()2201111D x x x x ξ=--⋅+--⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2x x =-+，注意到函数2y x x =-+的开口向下，对称轴为12x =，所以2y x x =-+在区间1(0,)2上是增函数，也即D ξ在区间1(0,)2上是增函数. 故选：B 【点睛】本小题主要考查随机变量期望和方差的计算，考查函数的单调性，属于基础题. 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．23B ．43C ．83D ．163【答案】C【解析】根据三视图可得复原后的几何体（如图所示），根据公式可计算其体积. 【详解】根据三视图可得对应的几何体为四棱锥P ABCD - ， 它是正方体中去掉一个三棱锥和三棱柱，又22242ABCD S=⨯=矩形，P 到底面ABCD 的距离为2，故1842233V =⨯⨯=，故选C.【点睛】本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．如果复原几何体比较困难，那么可根据常见几何体（如正方体、圆柱、球等）的切割来考虑. 7．“()()ln 2ln 10a b --->”是“1ab>”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由对数的运算性质与不等式的基本性质结合充分必要条件的判定方法得答案. 【详解】解：由()()ln 2ln 10a b --->，得201021a b a b ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，得1a b >>，1ab∴>； 反之，由1ab>，不一定有()()ln 2ln 10a b --->，如2,1a b =-=- ∴“()()ln 2ln 10a b --->”是“1ab>”成立的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查对数的运算性质与不等式的基本性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题.8．如图，圆O是半径为1的圆，1,2OA=设B，C为圆上的任意2个点，则AC BC⋅u u u r u u u r的取值范围是（）A．1[,3]8-B．[-1，3] C．[-1，1] D．1[,1]8-【答案】A【解析】利用平面向量线性运算和数量积运算，将AC BC⋅u u u r u u u r转化为211cos22BC BCθ-⋅u u u r u u u r，其中θ为OAu u u r和BCuuu r的夹角.由此求得AC BC⋅u u u r u u u r的取值范围. 【详解】设D是线段BC的中点，则有OD BC^.设θ为OAu u u r和BCuuu r的夹角.则AC BC⋅u u u r u u u r()OC OA BC OC BC OA BC=-⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rcos cosOC BC BCO OA BCθ=⋅⋅∠-⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r211cos22BC BCθ=-u u u r u u u r，且2221111111cos2222228BC BC BC BC BCθ⎛⎫-≥-=--⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，由于[]0,2BC∈u u u r，所以当12BC=u u u r时，AC BC⋅u u u r u u u r有最小值18-.又当2BC=u u u r且cos1θ=-时，211cos22BC BCθ-u u u r u u u r有最大值为3，即AC BC⋅u u u r u u u r有最大值3.所以AC BC⋅u u u r u u u r的取值范围是1,38⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A【点睛】本小题主要考查向量线性运算、数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9．如图，在三棱锥P ABC -中，PB BC a ==，()PA AC b a b ==<，设二面角P AB C --的平面角为α，则（ ）A ．+PCA PCB α∠+∠>π，2PAC PBC α<∠+∠ B ．+PCA PCB α∠+∠<π，2PAC PBC α<∠+∠ C ．+PCA PCB α∠+∠>π，2PAC PBC α>∠+∠D ．+PCA PCB α∠+∠<π，2PAC PBC α>∠+∠ 【答案】C【解析】解题的关键是通过构造垂面得出PMC α∠=，然后转化到平面中解决即可. 【详解】解：如图（1），取PC 中点D ，连接AD ，BD ，由PB ＝BC ＝a ，PA ＝AC 易知BD ⊥PC ，AD ⊥PC ，故可得PC ⊥平面ABD ， 作PM ⊥AB 于M ，由ABP ABC ≅V V ，可得CM ⊥AB ， ∴PMC α∠=，又PM CM h a b ==<<，由图（2）可得2222PMC PBC PACα∠∠∠=>>， 2PAC PBC α∴>∠+∠，22PBC PACPCA PCB PCA PCB α∠∠+∠+∠>++∠+∠ 22PBC PACPCB PCA π∠∠=+∠++∠= 故选：C. 【点睛】本题考查空间角的综合问题，考查空间想象能力，逻辑推理能力，属于中档题.10．设a 、b R +∈，数列{}n a 满足12a =，21n n a a a b +=⋅+，n *∈N ，则（ ）A ．对于任意a ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立B ．对于任意b ，都存在实数M ，使得n a M <恒成立C ．对于任意()24,b a ∈-+∞，都存在实数M ，使得n a M <恒成立D ．对于任意()0,24b a ∈-，都存在实数M ，使得n a M <恒成立 【答案】D【解析】取1a b ==，可排除AB ；由蛛网图可得数列{}n a 的单调情况，进而得到要使n a M <，只需11422ab a+-<，由此可得到答案.【详解】取1a b ==，211n n a a +=+，数列{}n a 恒单调递增，且不存在最大值，故排除AB 选项；由蛛网图可知，2ax b x +=存在两个不动点，且11142ab x a --=，21142abx a+-=，因为当110a x <<时，数列{}n a 单调递增，则1n a x <； 当112x a x <<时，数列{}n a 单调递减，则11n x a a <≤； 所以要使n a M <，只需要120a x <<，故11422aba-<，化简得24b a <-且0b >.故选：D ． 【点睛】本题考查递推数列的综合运用，考查逻辑推理能力，属于难题．二、填空题11．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.现有一“阳马”P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，1AD =，则该“阳马”的最长棱长等于______；外接球表面积等于______. 【答案】3 9π【解析】分别求各边长即可得最长棱,通过补成长方体可得球半径. 【详解】如图，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为长方形，且2PA AB ==，1AD =， 所以22,5,PB PD ==2222222213PC PA AB BC =++=++=.最长棱为:3.该几何体可以通过补体得长方体,所以其外接球的半径为1322PC =. 则其外接球的表面积为23492ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：3；9π.【点睛】本题主要考查了四棱锥的几何特征及外接球问题,属于基础题.12．设x ，y 满足约束条件21020,1x y x y x -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则z =2x +3y 的最大值为____；满足条件的x ，y 构成的平面区域的面积是____【答案】112512【解析】画出可行域，计算出可行域的面积，平移基准直线230x y +=到可行域边界的位置，由此求得23z x y =+的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示：其中()1211,3,1,,,233A B C ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以15322AB =-=，C 到直线AB 的距离为25133+=，所以可行域的面积为1552522312⨯⨯=.平移基准直线230x y +=到可行域边界()1,3A 点位置时，z 取得最大值为213311⨯+⨯=.故答案为：（1）2512；（2）11.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求最大值，考查可行域面积的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.13．已知56016(2)(25)x x a a x a x +-=+++L ，则a 0=____，a 5=____.【答案】160- 15【解析】令0x =，求得0a 的值.由乘法分配律，结合二项式展开式，求得5a 的值. 【详解】由56016(2)(25)x x a a x a x +-=+++L ，令0x =得()5025a ⨯-=，即0160a =-，5a 即5x 的系数，根据乘法分配律以及二项式展开式可知，5x 的系数为()1105522515C C ⋅⋅+⋅-=，即515a =.故答案为：（1）160-；（2）15 【点睛】本小题主要考查二项式定理的运用，考查乘法分配律，属于基础题. 14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若,(423)cos 6A b aB π==+，且b =1，则B =____；△ABC 的面积为____. 【答案】512π14【解析】利用正弦定理化简已知条件，求得tan B 的值，由此求得B 的大小.判断出b c =，由此利用三角形的面积公式，求得三角形ABC 的面积.【详解】依题意,(4cos 6A b aB π==+，由正弦定理得(sin 4sincos 6B B π=+，解得tan 2B =，而tantan164tan 2641tan tan643ππππππ++⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭-⋅()0,B π∈，所以56412B πππ=+=，则5561212C B ππππ=--==，所以1c b ==，所以1111sin 112224S cb A ==⨯⨯⨯=.故答案为：（1）512π；（2）14【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.15．从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数abcde ，则满足条件“a b c d e <<>>”的五位数的个数有____. 【答案】21【解析】由题意可知c 最大，a 不能为零，对c 分成5c =和4c =两种情况进行分类讨论，由此求得满足条件的五位数的个数. 【详解】由题意可知c 最大，a 不能为零，当5c =时，则从剩下4个不为零的数中选2个，放在c 的左边，再从剩下的3个数中取两个，放在右边，故方法数有224318C C ⋅=.当4c =时，5不能选取，则从身下3个不为零的数中选两个，，放在c 的左边，再从剩下的2个数中取两个，放在右边，故方法数有22323C C ⋅=.所以总的方法数有18321+=. 故答案为：21 【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，属于基础题.16．设12,F F 是椭圆222:1(02)4x y C m m+=<<的两个焦点，00(,)P x y 是C 上一点，且满足12PF F ∆则0||x 的取值范围是____. 【答案】[]0,1【解析】根据12PF F ∆的面积列不等式，解不等式求得0||x 的取值范围. 【详解】依题意，122F F =，所以120122PF F S y ∆=⨯=0y =2200214x y m +=，所以2200224124144y x m m m ⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭.由于02m <<，204m <<，根据二次函数的性质可知：()(]22424240,4m m m -=--+∈，所以241234m m -≤--，所以202412414x m m =-≤-，解得[]00,1x ∈.故答案为：[]0,1 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 17．设函数()()ln ,f x x a x b a b R =+++∈，当[]1,x e ∈时，记()f x 最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为______.【答案】2e 【解析】易知(){}max ln ,ln f x x a x b x a x b =++++--，设()ln G x x x a b =-+-，()ln F x x x a b =+++，利用绝对值不等式的性质即可得解． 【详解】(){}max ln ,ln f x x a x b x a x b =++++--，设()ln G x x x a b =-+-，()ln F x x x a b =+++， 令()ln h x x x =-，()'11h x x=- 当[]1,x e ∈时，()'0h x ≤，所以()h x 单调递减令()ln n x x x =+，()'11n x x=+ 当[]1,x e ∈时，()'0n x >，所以()n x 单调递增所以当[]1,x e ∈时，(){}max 1,1G x a b a e b =+-+--，(){}max 1,1F x a b a e b =+++++，则()4,1111M a b a b a e b a e b a b ≥+-++--+++++++ 则()4,22222M a b e a e a e ≥+++-+≥， 即(),2eM a b ≥ 故答案为：2e . 【点睛】本题考查函数最值的求法，考查绝对值不等式的性质，考查转化思想及逻辑推理能力，属于难题．三、解答题18．已知函数2()6cos 3(2xf x x ωωω=->0)的图象上相邻两对称轴之间的距离为4.（1）求ω的值及f (x )的单调递增区间；（2）若00214()(,)33f x x =∈，求0(1)f x +的值.【答案】（1）4πω=，在区间为1028,8,33k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）-【解析】（1）利用降次公式、辅助角公式化简()f x 的解析式，根据图象上相邻两对称轴之间的距离求得ω，根据三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递增区间. （2）结合同角三角函数的基本关系式以及两角和的正弦公式，求得0(1)f x +的值. 【详解】 （1）依题意()()3cos 133cos f x x x x x ωωωω=+-=3x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于()f x 的图象上相邻两对称轴之间的距离为4，则()280T πωω==>，解得4πω=.所以()43f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭.令222432k x k ππππππ-≤+≤+，解得1028,8,33x k k k Z ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，即()f x 的单调递增区间为1028,8,33k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （2）因为0063()23sin 43f x x ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即03sin 435x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而0214(,)33x ∈，03,4322x ππππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以04cos 435x ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.所以0(1)f x +00023sin 23sin cos cos sin 443434434x x x πππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦324262352525⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎭【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角和的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 19．如图，已知四棱锥A -BCDE 中，AB =BC =2，∠ABC =120°，26,AE =CD //BE ，BE =2CD =4，60EBC ∠=︒（1）求证：EC ⊥平面ABC ；（2）求直线AD 与平面ABE 所成角的正弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）33055【解析】（1）通过余弦定理和勾股定理，计算证明证得,EC CA EC CB ⊥⊥，由此证得EC ⊥平面ABC .（2）建立空间直角坐标系，通过直线AD 的方向向量和平面ABE 的法向量，求得线面角的正弦值. 【详解】（1）在三角形ABC 中，由余弦定理得2222222cos12023AC =+-⨯⨯⨯=o .在三角形BCE 中，由余弦定理得2242242cos6023EC =+-⨯⨯⨯=o .所以222222,CE CA EA CE CB EB +=+=，所以,EC CA EC CB ⊥⊥，而CA CB C ⋂=，所以EC ⊥平面ABC .（2）建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，()()0,0,23,23,0,0E A ，()3,1,0B，所以()()()3,1,0,23,0,23,3,1,23AB AE BE =-=-=--u u u r u u u r u u u r，131,,3222CD BE ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝u u u r u u u r ，所以31531,,3,,,32222D AD ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝u u u r .设(),,n x y z =r 是平面ABE 的法向量，则3023230n AB x y n AE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u vv ，取()1,3,1n =r .设直线AD 与平面ABE 所成角为θ，则330sin AD n AD nθ⋅==⋅u u u r ru u u r r .【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查空间向量法求线面角，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且33a =，1a 、2a 、4a 成等比数列，数列{}n b 满足()1222*n n b b nb a n +++=∈N L L （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2)3121112*n n n nb b b a a n b b b +++++>-∈N L L .【答案】（1）n a n =，2n b n=，*n ∈N ；（2）证明见解析. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ≠，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到n a ，可令1n =，求得1b ，再将n 换为1n -，相减可得n b ； （21n +>+L 注意检验1n =时不等式成立，再假设n k =时不等式成立，证明1n k =+时，不等式也成立，注意运用分析法证明. 【详解】（1）等差数列{}n a 的公差d 不为零，33a =，可得123a d +=，1a 、2a 、4a 成等比数列，可得2142a a a =，即()()21113a a d a d +=+，解方程可得11a d ==，则()11n a a n d n =+-=.数列{}n b 满足1222n n b b nb a +++=L L ，可得1122b a ==， 当2n ≥时，由12222n n b b nb a n +++==L L ， 可得()()1212121n b b n b n -+++-=-L L ， 相减可得2n nb =，则2n b n =，12b =也适合2n b n =，则2n b n=，*n ∈N ； （2)*1n a n ++>∈N L L 即为1n >+L 下面应用数学归纳法证明. （i ）当1n =2=，右边为2->右边，不等式成立；（ii ）假设n k =1k >+-L 当1n k =+1k >+L1k >+-L ，只要证12k k +>+1>-即证10⎛> ⎝，由*k ∈N ，可得上式成立，可得1n k =+时，不等式也成立. 综上可得，对一切*n ∈N1n +>+L)*1n a n +>∈N L L . 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了利用n S 求通项以及数列不等式的证明，考查了数学归纳法的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.21．已知抛物线E ：22(0)y px p =>过点Q (1，2)，F 为其焦点，过F 且不垂直于x 轴的直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，动点P 满足△PAB 的垂心为原点O . （1）求抛物线E 的方程；（2）求证：动点P 在定直线m 上，并求PABQABS S ∆∆的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析，PABQABS S ∆∆的最小值为【解析】（1）将点Q 的坐标代入抛物线方程，由此求得p 的值，进而求得抛物线E 的方程.（2）设出直线l 的方程，联立直线l 的方程与抛物线的方程，写出韦达定理，设出直线,AP BP 的方程，联立直线,AP BP 的方程求得P 的坐标，由此判断出动点P 在定直线3x =-上.求得PABQABS S ∆∆的表达式，利用基本不等式求得其最小值. 【详解】（1）将Q 点坐标代入抛物线方程得2221,2p p =⨯=，所以24y x =.（2）由（1）知抛物线E 的方程为24y x =，所以()1,0F ，设直线l 的方程为1x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由214x ty y x =+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ty --=，所以121244y y t y y +=⎧⎨⋅=-⎩.由于O 为三角形PAB 的垂心，所以221111PAPA OBPB OAPB x k y k k k k x k y ⎧=-⎪⋅=-⎧⎪⇒⎨⎨⋅=-⎩⎪=-⎪⎩，所以直线AP 的方程为()2112x y y x x y -=--，即21344y y x y =-+.同理可求得直线BP 的方程为12344y y x y =-+.由2112344344y y x y y y y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，结合121244y y t y y +=⎧⎨⋅=-⎩，解得()3,3P t -，所以P在定直线3x =-上.直线l 的方程为110x ty x ty =+⇒--=，P 到直线l的距离为1d ==Q 到直线l的距离为2d ==所以PABQABS S ∆∆2121343232212222AB d t t t t t t AB d ⨯⨯+===+=+≥=⨯⨯32,23t t t ==±时取等号.所以PAB QAB S S ∆∆的最小值为【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中三角形面积的有关计算，属于中档题.22．已知2()2ln(2)(1)()(1)f x x x g x k x =+-+=+，.（1）求()f x 的单调区间；（2）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；（3）若存在01x >-，使得当0(1,)x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围.【答案】（1）单调减区间为3(2,2-+-，单调增区间为3()2-+∞；（2）详见解析；（3）(,2)-∞.【解析】【详解】试题分析：（1）对函数()f x 求导后，利用导数和单调性的关系，可求得函数()f x 的单调区间.（2）构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数求得函数()h x 在()1,-+∞上递减，且()10h -=，则()0h x <，故原不等式成立.（3）同（2）构造函数()()()h x f x g x =-，对k 分成2,2,2k k k =三类，讨论函数()h x 的单调性、极值和最值，由此求得k 的取值范围. 试题解析： （1）()()2'212f x x x =-++ ()2231(2)2x x x x -++=>-+，当()'0f x <时，2310++>x x .解得x >当()'0f x >时，解得2x -<<所以()f x 单调减区间为32,2⎛-+- ⎝⎭，单调增区间为32⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭． （2）设()()()h x f x g x =-()()()22ln 211(1)x x k x x =+-+-+>-，当2k =时，由题意，当()1,x ∈-+∞时，()0h x <恒成立． ()()223122'x x x h x -++=-+()()2312x x x -++=+，∴当1x >-时，()'0h x <恒成立，()h x 单调递减． 又()10h -=，∴当()1,x ∈-+∞时，()()10h x h <-=恒成立，即()()0f x g x -<． ∴对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立． （3）因为()()223'12x x k x h x -++=-+()226222x k x k x ++++=-+． 由（2）知，当2k =时，()()f x g x <恒成立， 即对于1x ∀>-，()()()22ln 2121x x x +-+<+， 不存在满足条件的0x ；当2k >时，对于1x ∀>-，10x +>， 此时()()211x k x +<+．∴()()()()22ln 21211x x x k x +-+<+<+， 即()()f x g x <恒成立，不存在满足条件的0x ； 当2k <时，令()()()22622t x x k x k =--+-+，可知()t x 与()'h x 符号相同，当()0,x x ∈+∞时，()0t x <，()'0h x <，()h x 单调递减．∴当()01,x x ∈-时，()()10h x h >-=， 即()()0f x g x ->恒成立． 综上，k 的取值范围为(),2-∞．点睛：本题主要考查导数和单调区间，导数与不等式的证明，导数与恒成立问题的求解方法.第一问求函数的单调区间，这是导数问题的基本题型，也是基本功，先求定义域，然后求导，要注意通分和因式分解.二、三两问一个是恒成立问题，一个是存在性问题，要注意取值是最大值还是最小值.。
浙江省杭州市2020学年第二学期学军中学2019-2020学年高考全国统考预测密卷数学试卷含解析【加15套高考模拟
sn n
0 最小的 n 为（
）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2x2, x 0 13．已知函数 f (x) ex , x 0 若方程 f (x) m 有两个不相等的实根 x1 ， x2 ，则 x1 x2 的最大值为
__________.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）已知数列{an}是公比为 q 的正项等比数列，{bn}是公差 d 为负数的等差数列，满足
1 1 d
a2 a3 a1 ，b1 b2 b3 21，b1b2b3 315.求数列{an} 的公比 q 与数列{bn}的通项公式；求数列{ bn }
16．已知
A,
B
是椭圆
x a
2 2
y2 b2
1
和双曲线
x2 a2
y2 b2
1 的公共顶点，其中 a b 0 ，
P 是双曲线上的动
点， M 是椭圆上的动点（ P, M 都异于 A, B ），且满足 PA PB MA MB （ R ），设直线
AP, BP, AM , BM 的斜率分别为 k1, k2 , k3, k4 ，若 k1 k2 3 ，则 k3 k4 _______.
1
7
A． 2 B． 2 C．1 D． 2
6．将函数
f
(x)
2 sin( x
)
0,|
|
2
的图像向右平移
1 6
个单位长度后得到函数
y
g(x)
的图
像.如图是 y g(x) 的部分图像，其中 A, B 是其与 x 轴的两个交点，C 是其上的点， OA 1，且△ABC
2020届浙江省杭州市学军中学高三下学期3月月考数学试题(解析版)
2020届浙江省杭州市学军中学高三下学期3月月考数学试题一、单选题1．设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈<… ，则()A C B =I UA ．{2}B ．{2，3}C ．{-1，2，3}D ．{1，2，3，4}【答案】D【解析】先求A C I ，再求()A C B I U 。
【详解】因为{1,2}A C =I ， 所以(){1,2,3,4}A C B =I U . 故选D 。
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算． 2．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.3．设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z ＝2x ＋y 的最小值是（ ）A ．－15B ．－9C ．1D ．9【答案】A【解析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z ＝2x ＋y ，当直线经过B （－6，－3）时，取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B（－6，－3）处取得最小值z min＝－12－3＝－15.故选：A【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.4．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π【答案】C【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．【考点】三视图与表面积．5．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】当“直线a 和直线b 相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；当“平面α和平面β相交”，则 “直线a 和直线b 可以没有公共点”，即必要性不成立. 故选A.6．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】 由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．7．已知a ，b 为实数，随机变量X ，Y 的分布列如下： X -11Y -1 0 1 P13 12 16Pabc若()()1E Y P Y ==-，随机变量ξ满足XY ξ=，其中随机变量XY 相互独立，则()E ξ取值范围的是（ ）A ．3,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,018⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,118⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】写出X 的所有可能取值，并计算出相应取值的概率，列出分布列即可算出期望得以解决. 【详解】由已知，()E Y c a =-，所以c a a -=，即2c a =，又1a b c ++=，故1b a c =--=13[0,1]a -∈，所以1[0,]3a ∈，又随机变量XY 的可能取值为-1，0，1，则115(1)366P XY c a a =-=+=，11131(0)()36222P XY b b a c a b ==+++=+，112(1)363P XY a c a ==+=，列出随机变量XY 的分布列如下：所以()521636E a a a ξ=-+=-∈1,018⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：B. 【点睛】本题考查离散随机变量期望的取值范围问题，做此类题应该理解随机变量X 的含义，准确写出X 的所有可能取值，再求每个值的概率，写出分布列即可求出期望，本题是一道中档题.8．抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于点M ，N （点N 在轴上方），点E 为轴上F 右侧的一点，若||||3||NF EF MF ==，MNE S =△则p =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．9【答案】C【解析】利用勾股定理先找到MNE ∆的高，然后将面积用a 表示，再利用三角形相似找到p 与a 的关系即可解决. 【详解】设准线与x 轴的交点为T ，直线l 与准线交于R ，||||3||3NF EF MF a ===，则||||3NF EF a ==，||MF a =，过M ，N 分别作准线的垂线，垂足分别为,P Q ，如图，由抛物线定义知，||MP a =，||3NQ a =，因为MP ∥NQ ，所以||||||||PM RM QN RN =， 即||3||4a RM a RM a=+，解得||2RM a =，同理||||||||FT RF QN RN =，即||336FT aa a=，解得 3||2FT a =，又||FT p =，所以32a p =，23a p =，过M 作NQ 的垂线，垂足为G ，则22||||||MG MN GN =-2216423a a a -=，所以1||||2MNE S EF MG =⋅=△ 13231232a a ⨯⨯=2a =，故332p a ==. 故选：C. 【点睛】本题考查抛物线的定义及其性质，涉及到抛物线焦半径问题，通常在处理抛物线焦半径的问题时，一般都要想到利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化成点到准线的距离，这是常考点，本题属于中档题.9．已知函数2(4),53()(2),3x x f x f x x ⎧+-≤<-=⎨-≥-⎩，若函数()()()1g x f x k x =-+有9个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1111,,4664⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UB ．1111,,3553⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,64⎛⎫⎪⎝⎭ D ．11,53⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】利用转化与化归思想将()g x 有9个零点的问题转化成()f x 与()1y k x =+有9个不同交点问题，再分别画出两个函数的图象，利用数形结合求解. 【详解】由题意，函数()()()1g x f x k x =-+有9个零点，可转化为()f x 与()1y k x =+有9个不同交点.因当3x ≥-有()(2)f x f x =-，所以()f x 在[3,)-+∞上是周期函数，又当31x -≤<-时，有523x -≤-<-，2()(2)(2)f x f x x =-=+，所以()f x 在[5,)-+∞上的图象如图所示要使()f x 与()1y k x =+有9个不同交点，则只需()1y k x =+夹在114y x =+与116y x =+之间即可， 所以11||64k <<，解得1164k <<或1146k -<<-.故选：A. 【点睛】本题考查由函数的零点个数求参数的取值范围，处理这类题目要注意，通常转化为函数与函数交点的问题来处理，利用数形结合求解，本题是一道中档题.10．已知函数()1x f x e x =--，数列{}n a 的前n 项和为,n S ，且满足112a =，1()n n a f a +=，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）A ．521||43a a a <-B ．78a a ≤C ．101a >D ．10026S >【答案】A【解析】由已知得到11e 2n n n a n a a a +=---，设()e 21xg x x =--，利用导数得到数列{}n a 的单调性即可判断B 、C ，再利用122331e 224a =-<=，通过简单运算即可判断A 、D. 【详解】由e 1x x ≥+知，1()e 10n an n n a f a a +==--≥，故{}n a 为非负数列，又1()n n a f a +=，即11e n a n n a a +=--，所以11e 2n n n a n a a a +=---，设()e 21x g x x =--，则'()e 2x g x =-，易知()g x 在[0,ln 2)单调递减，且112ln 2()02g x -<-≤≤，又110ln 22a <=<，所以，21102a a ≤<=，从而1012n n a a +-<<-，所以{}n a 为递减数列，且012n a ≤≤，故B 、C 错误；又112221331e 1e 2224a =--=-<=，故当2n >时，有14n a <，所以100S =123100a a a a ++++L 111110124444<++++=L ，故D 错误；又514a <，而 21231||4|22|43a a a -=-≥，故A 正确.故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究数列的性质，涉及到数列的单调性、数列和的估计，要求学生有较好的思维，本题有一定的难度及高度，是一道难题.二、填空题11．若复数31iz i+=-（i 为虚数单位），则|z =___，复数z 对应的点在坐标平面的第____象限.一【解析】用四则运算将z 化为12z i =+，利用复数模及几何意义即可解决. 【详解】由已知，3i (3i)(1i)24i12i 1i (1i)(1i)2z ++++====+--+，||z ==z 所对应的点为(1,2)，在第一象限.故答案为：（1 ；（2）一 【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及复数的模、复数的几何意义，是一道基础题.12．在二项式262()x x-的展开式中，常数项是____，所有二项式系数之和是______.【答案】240 64【解析】由展开式的通项1k T +=1236(1)2k k k kC x --，令1230k -=即可找到常数项，利用0166666(11)C C C +++=+L 即可算出二项式系数之和.【详解】由题，262()x x -展开式的通项公式为26162()()k k k k T C x x-+=-=1236(1)2k k k k C x --，令1230k -=，得4k =，所以常数项为44462240T C ==；所有二项式系数之和为01666666(11)264C C C +++=+==L .故答案为：（1）240 ；（2） 64 【点睛】本题考查二项展开式中的常数项及二项式系数和的问题，做这类问题，一定要把展开式的通项公式计算准确，本题是一道基础题.13．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若ABC V 的面积是3b =，1cos 3C =则c =___；sin 2sin B C=___.【答案】323【解析】利用ABC S =V ，3b =，1cos 3C =算出a ，再利用余弦定理即可算出c ；由sin 22cos sin B bB C c=，结合此时ABC ∆是等腰三角形算出cos B 即可解决. 【详解】由已知，1cos 3C =，得sin C =，所以1sin 2ab C =2a =，由余弦定理得3c ===；sin 22sin cos 2cos sin sin B B B bB C C c== 12cos 23B ==⨯=23.故答案为：（1）3 ；（2） 23【点睛】本题考查利用正余弦定理解与三角形面积有关的问题，考查学生基本计算能力，是一道基础题.14．某公司有9个连在一起的停车位，现有5辆不同型号的轿车需停放，若停放后恰有3个空车位连在一起，则不同的停放方法有____种. 【答案】3600【解析】先将5辆不同型号的轿车停放好，再用插空法将空车插入5辆不同型号的轿车产生的空位中即可. 【详解】分两步：第一步，先将5辆不同型号的轿车停放好有55A 种不同停法，第二步，再将3个空车位打包和剩下的1个空车位插入5辆车产生的6个空位中有26A 种不同的插法，根据分步乘法原理得不同的停放方法55A 263600A =种.故答案为：3600. 【点睛】本题考查计数原理中的排列问题，求解排列问题主要有以下方法：1.直接法，2.优先法，3.捆绑法，4.插空法，5.先整体后局部，6.定序问题除法处理，7.间接法等，做题时要灵活处理和运用，是一道中档题.15．已知e r 为单位向量，平面向量a r ，b r 满足||||1a e b e +=-=r r r r ，a b ⋅r r 的取值范围是____.【答案】14,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】建系，不妨设(1,0)e =r ，(,)a x y =r ，(,)b m n =r ，则a b ⋅r r mx ny =+，再利用柯西不等式将所求mx ny +x x =，利用换元法求出最大值，最小值显然为,a b rr 共线方向时取得.【详解】不妨设(1,0)e =r ，(,)a x y =r ，(,)b m n =r ，由已知，得22(1)1x y ++=，22(1)1m n -+=，a b ⋅rr (1)mx ny m x ny x x =+=-++≤=x +，令[0,2]t =∈221111(1)2222x t t t =-=--+≤，又显然当a r ，b r 向量反向时，a b ⋅r r 最小，即(2,0)a =-r ，(2,0)b =r ，此时4a b ⋅=-r r ，综上，a b ⋅r r 的取值范围是14,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：14,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查向量数量积取值范围的问题，解决中涉及到了柯西不等式，考查学生通过变形利用不等式求解最大值，本题是一道难题.16．已知,a b ∈R ，且满足24380ab a b -+-=，则22238a b a b ++-的最小值是_____.【答案】414【解析】将24380ab a b -+-=变形为(23)(2)2a b +-=，令23a x +=，2b y -=，得到2xy =，22238a b a b ++-=22141244x y +-，再利用基本不等式即可.【详解】由已知，24380ab a b -+-=，所以(23)(2)2a b +-=，令23a x +=，2b y -=，则3,22x a b y -==+，2xy =，所以22332382(2)(2)22x x a b a b y y -+++-=⨯++-=221411412224424x y x y +-≥⨯⨯-=41224-，当且仅当51442,2x y -==时，等号成立.故答案为：41224-. 【点睛】本题考查基本不等式求双变量函数的最值，做此类题要有较好的观察能力和变形能力，是一道中档题.17．在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，11AA =，E 是底面ABCD 的中心，又AF AB λ=u u u r u u u r（102λ≤≤），则当λ=____时，长方体过点1A ，E ，F 的截面面积的最小值为____. 【答案】110 125125 【解析】首先确定点1A ，E ，F 的截面是平行四边形，再转化为1A FM ∆面积的2倍，而1A FM ∆的面积的高利用线面垂直的性质定理可得. 【详解】如图所示，延长EF 交CD 于M ，由已知，有22AE =设EF a =，(02)AF t t =≤≤，在AEF ∆中，由余弦定理得2222cos EF AF AE AE AF EAF =+-⋅∠，即2284a t t =+-，作AG 垂直于EF 于G ，T 为AB 中点，则AGF ∆与EFT ∆相似，且1A G EF ⊥，所以AG ET AF EF =，即2AG t a =，所以2tAG a=，故过点1A ，E ，F 的截面面积12S FM A G a =⨯==== 当25t =，即215410AE AB λ===时，min 5S ==. 故答案为：（1）110 ；（2）5. 【点睛】本题考查立体几何中截面面积最值的问题，本题解决的关键是：首先要确定点1A ，E ，F 的截面是什么，其次是怎么设立未知数来解决.本题是一道中档题.三、解答题 18．设函数2()sin cos (0)2f x x x x ωωωω=-->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π， (Ⅰ)求ω的值； (Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值. 【答案】(Ⅰ) 1ω= (Ⅱ)2，1-. 【解析】()21cos 21sin cos sin 2222212sin 2sin 2.223x f x x x x x x x x ωωωωωπωωω-=-=-⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π，又0ω>，所以24, 1.24ππωω=⨯= （II ）由（I ）知()sin 23f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当32x ππ≤≤时，582333x πππ≤-≤， 所以3sin 21,23x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭因此()31.f x -≤≤ 故()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值分别为3，1-. 【考点定位】.本题考查三角函数的图象和性质，通过三角恒等变换考查转化思想和运算能力.第一问先逆用倍角公式化为()sin y A x ωϕ=+的形式，再利用图象研究周期关系，从而确定.ω第二问在限制条件下求值域，需要通过不等式的基本性质先求出23x π-的取值范围再进行求解.()233sin sin cos f x x x x ωωω=--式子结构复杂，利用倍角公式简化时要避免符号出错导致式子结构不能形成()sin y A x ωϕ=+这一标准形式，从而使运算陷入困境.19．如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点． （1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值．【答案】（1）见解析；（210【解析】【详解】试题分析：（1） 取PA 的中点F ，连结EF ，BF ，由题意证得CE ∥BF ，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：(0,6,2)m =-u r，()0,0,1n =r ，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角M AB D --的余弦值为105． 试题解析：（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ． 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ,12EF AD =,由90BAD ABC ∠=∠=︒得//BC AD ，又12BC AD =所以．四边形BCEF 为平行四边形， //CE BF ．又BF PAB ⊂平面，CE PAB ⊄平面，故//CE PAB 平面 （2）由已知得BA AD ⊥,以A 为坐标原点，AB u u u v的方向为x 轴正方向，AB u u u v 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则则()000A ，，，()100B ，，，()110C ，，，(013P ，，， (103PC =u u u r ，，,()100AB u u u v，，=则()(1,13BM x y z PM x y z =-=-u u u u v u u u u v，，，，因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而()001n =r，，是底面ABCD 的法向量，所以 0,cos sin45BM n =ru u u u v ()222z21x y z =-++ 即（x-1）²+y²-z²=0 又M 在棱PC 上,设,PM PC λ=u u u u vu u u v则 x ,1,33y z λλ===由①，②得()y=1y=1z z ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎩⎩舍去，所以M 1-,1⎛ ⎝⎭，从而AM ⎛= ⎝⎭u u u u v 设()000x ,y ,z m =u r是平面ABM 的法向量，则(0000x 2y 0·AM 0·AB 0x 0m m ⎧++=⎧=⎪⎨⎨==⎩⎪⎩u u u u v u u u v 即所以可取(0,2)m =u r.于是·,5m n cos m n m n==u r ru r r u r r 因此二面角M-AB-D的余弦值为5点睛:（1）求解本题要注意两点：①两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，②利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算．（2）设m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m ，n >互补或相等，故有|cos θ|＝|cos<m ，n >|=·m n m nu r ru r r ．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20．设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,1,,2,k k n kk n c c b n +⎧<<==⎨=⎩其中*k ∈N . （i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式； （ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N .【答案】（Ⅰ）31n a n =+；32nn b =⨯（Ⅱ）（i ）()221941n n n a c -=⨯-（ii ）()()2*211*12725212nn n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N【解析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列(){}221n n a c -的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n 项和公式可得21ni i i a c =∑的值.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 依题意得()()262426262424124q d d q d d ⎧=+-=+⎪⎨=++=+⎪⎩，解得32d q =⎧⎨=⎩， 故4(1)331n a n n =+-⨯=+，16232n nn b -=⨯=⨯.所以，{}n a 的通项公式为31n a n =+，{}n b 的通项公式为32nn b =⨯.(Ⅱ)(i )()()()()22211321321941n n n nnnn a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-.所以，数列(){}221n n a c -的通项公式为()221941n n na c -=⨯-. (ii )()22111n n i iiiii i a c a a c ===+-⎡⎤⎣⎦∑∑()2222111n niiii i a a c===+-∑∑()2212432n n n⎛⎫- ⎪=⨯+⨯ ⎪⎝⎭()1941n i i =+⨯-∑ ()()2114143252914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n N --=⨯+⨯--∈.【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.21．已知抛物线1C ：22y px =（0p >），圆2C ：222(1)x y r -+=（0r >），抛物线1C 上的点到其准线的距离的最小值为14.（1）求抛物线1C 的方程及其准线方程；（2）如图，点0(2,)P y 是抛物线1C 在第一象限内一点，过点P 作圆2C 的两条切线分别交抛物线1C 于点A ，B （A ，B 异于点P ），问是否存在圆2C 使AB 恰为其切线？若存在，求出r 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）1C 的方程为2y x =，准线方程为14x =-.（2）存在，r =【解析】（1）由124p =得到p 即可； （2）设()211,A y y ，利用点斜式得到P A的的方程为(110x y y -++=，由2(1,0)C 到P A 的距离为半径可得())22221121130r y r y r -+-+-=，同理())22222221130r yr y r -+-+-=，同理写出直线AB 的方程，利用点2(1,0)C 到直线AB 的距离为半径建立方程即可. 【详解】 解：（1）由题意得124p =，解得12p =， 所以抛物线1C 的方程为2y x =，准线方程为14x =-.（2）由（1）知，P .假设存在圆2C 使得AB 恰为其切线，设()211,A y y ，()222,B y y ， 则直线P A的的方程为121(2)2y y x y -=⋅--，即(110x y y -++=. 由点2(1,0)C 到P A 的距离为rr =，化简，得())22221121130r yr y r -+-+-=，同理，得())22222221130ry r y r -+-+-=.所以1y ，2y 是方程的())222221130ryr y r -+-+-=两个不等实根，故)212212r y y r -+=--，2122132r y yr-=-. 易得直线AB 的方程为()12120x y y y y y -++=，由点2(1,0)C到直线AB的距离为rr =，所以)22222222113122rrr rr r⎡⎤-⎛⎫-⎢⎥+=+-⎪--⎢⎥⎝⎭⎣⎦，于是，()()()2222222234281r r r r r-=-+-，化简，得6424410r r r-+-=，即()()2421310r r r--+=.经分析知，01r<<，因此r=【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，直线与圆、抛物线的位置关系等，考查运算求解能力、数形结合思想.22．已知函数2()(2ln)xf x xe a x x=-+（a R∈）.（1）若曲线()y f x=在点()()1,1f处的切线方程为2y e=-，求a的值；（2）若x是函数()f x的极值点，且()0f x>，求证：3000()4f x x x>-.【答案】（1）2ea=（2）见解析【解析】（1）求出切线方程()()222e23e33ey a a x a--=-+-，与2y e=-对比系数即可；（2）2()(21)e xaf x xx⎛⎫'=+-⎪⎝⎭，令2()e xag xx=-，通过讨论知0a>，且02e xa x=，从而()()()00022200000000e e2ln e12lnx x xf x x x x x x x x=-+=--，再由()0f x>确定出x的范围即可获证.【详解】解：（1）由题意知，()f x的定义域为(0,)f+∞，2221()e22(21)ex x xaf x xe a xx x⎛⎫⎛⎫'=+-+=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2(1)3ef a'=-，又2(1)e2f a=-，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()22e 23e (1)y a a x --=--，即()()222e 23e 33e y a a x a --=-+-，所以()()22223e 033e e 2e a a a ⎧-=⎪⎨-+-=-⎪⎩，解得2e a =.（2）由（1）得，2()(21)e xa f x x x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭，显然210x +>. 令2()exag x x=-，(0,)x ∈+∞， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值，不符合题意；当0a >时，22()2e 0xag x x'=+>，所以()g x 在上(0,)+∞单调递增 取b 满足10min{,}42a b <<，则2e b <2ab-<-，所以2()e20bag b b=-<<. 又2()e 10ag a =->，所以存在0(,)x b a ∈，使得()0200e 0x ag x x =-=，此时020e x a x =.又当()00,x x ∈时，()0()0g x g x <=，()0f x '<，()f x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0()0g x g x >=，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以0x 为函数()f x 的极小值点，且()()()00022200000000e e 2ln e 12ln x x x f x x x x x x x x =-+=--.令()12ln h x x x =--，则121()20x h x x x--'=--=<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，又1ln 202h ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，(1)10h =-<，所以001x <<，∴ 0ln 0x <； 令()e (1)xt x x =-+，则()e 1xt x '=-.所以当(0,)x ∈+∞时，()t x 单调递增，所以()(0)0t x t >=，所以e 1x x >+，所以()()()()023000000000e 12ln 21124x f x x x x x x x x x =-=-->+-.【点睛】本题考查已知切线方程求参数值以及利用导数证明不等式，涉及到了不等式放缩，这里要强调一点，在证明不等式时，通常是构造函数，将问题转化为函数的极值或最值来处理，本题是一道有高度的压轴解答题.。
浙江省杭州市2020届高三模拟数学试卷及解析答案
【解析】利用平面向量线性运算和数量积运算，将 AC BC 转化为
A．1
B．-2
C．2
D．-2i
【答案（答案仅供参考）】B
【解析】利用复数的除法运算化简 z 的表达式，由此求得 z 的虚部.
【详解】
依题意
z
=
2
+ i
i
=
(2
+ i)(−i) i (−i)
=
1−
2i
，故虚部为
−2
.
故选：B 【画龙点睛】 本小题主要考查复数除法运算，考查复数虚部的求法，属于基础题.
3．已知双曲线 C
浙江省杭州市 2020 届高三模拟数学试卷
一、单选题
1．若集合 A = {x | x2 −1 0}, B = {x | 0 <x<4}，则 A∩B=（ ）
A．(-∞，-1)
B．[0，4)
C．[1，4)
D．(4，+∞)
【答案（答案仅供参考）】C
【解析】解一元二次不等式求得集合 A ，由此求得两个集合的交集.
由
y2 a2
−
x2 b2
= 0 可得
y
=
a b
x ，即为双曲线的渐近线的方程，
又渐近线方程为 y = 1 x ， 2
∴a =1， b2
∴b = 2. a
∴离心率 e = c = a
a2 + b2 = a
1+
b2 a2
=
5．
故选 B．
【画龙点睛】
（1）求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a, b, c
V = 14 2 2 = 8，
3
3
【附加15套高考模拟】【全国百强校】浙江省杭州学军中学2020届高三下学期期末模拟卷(一)数学试题含答案
【全国百强校】浙江省杭州学军中学2020届高三下学期期末模拟卷（一）数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴端点上的任意一点，12,F F 分别是其左右焦点，O 为中心，2212||3PF PF OP b +=，则此椭圆的离心率为（ ）A ．12 B．2 C． D．42．已知奇函数()f x 满足()()4f x f x =+，当()0,1x ∈时，()4xf x =，则()4log 184(f = )A ．3223-B ．2332 C ．34 D ．38-3．已知3412a b ==，则,a b 不可能满足的关系是（ ） A ．4a b +>B ．4ab >C ．22(1)(1)2a b -+->D ．223a b +< 4．在数列{}n a18a ==，则数列{}n a 的通项公式为 A ．()221n a n =+ B ．()41n a n =+C ．28n a n = D ．()41n a n n =+5．已知()f x 定义域为()0,∞+，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是（ ）A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()2,+∞6．若sin sin 0αβ>>，则下列不等式中一定成立的( ) A ．sin2sin2αβ>B ．sin2sin2αβ<C ．cos2cos2αβ>D ．cos2cos2αβ< 7．已知'()f x 为函数()f x 的导数，且211()(0)'(1)2x f x x f x f e -=-+，若21()()2g x f x x x =-+，方程()0g ax x -=有且只有一个根，则a 的取值范围是（ ） A ．1e⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1(,0]{}e -∞U8．已知O 为坐标原点，(1,2)M -，若点P 的坐标(,)x y 满足30x y x ⎧+⎨⎩„…，则|?1|z OM OP =+u u u u r u u u r的最大值是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．89．将函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象向左平移6π个单位后得到函数()y g x =的图象，若函数()y g x =为偶函数，则函数()y f x =在[0,]2π的值域为（ ）A ．[1,2]-B ．[1,1]-C ．[3,2]D ．[3,3]-10．若双曲线2222:1x y C a b-= (0,0)a b >>的渐近线与圆22(3)1x y -+=无交点，则C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(321,4) B ．(231,3) C ．(32,4)+∞ D ．(23,3)+∞11．已知函数()22ln ,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩，若方程()1f x kx =+有四个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．14,25⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．32163π-B ．16163π-C ．3283π-D ．1683π-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2020年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷（3月份）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（4分）设集合{1A =-，1，2，3，5}，{2B =，3，4}，{|13}C x R x =∈<„，则()(A C B =I U
) A ．{2}
B ．{2，3}
C ．{1-，2，3}
D ．{1，2，3，4}
2．（4分）双曲线22221(0,
0)x y a b a b
-=>>的离心率为3，则其渐近线方程为( )
A ．2y x =±
B ．3y x =±
C ．2
y x =±
D ．3y x =±
3．（4分）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪
-+⎨⎪+⎩
„…
…，则2z x y =+的最小值是( ) A ．15- B ．9- C ．1 D ．9
4．（4分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A ．20π
B ．24π
C ．28π
D ．32π
5．（4分）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
6．（4分）函数2
sin ()cos x x
f x x x +=
+在[π-，]π的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
7．（4分）已知a ，b 为实数，随机变量X ，Y 的分布列如下：
X 1-
0 1
P
1
3
12 16
Y 1-
0 1 P a
b
c
若()(1)E Y P Y ==-，随机变量ξ满足XY ξ=，其中随机变量XY 相互独立，则()E ξ取值范围的是( )
A ．3[,1]4
-
B ．1[,0]18-
C ．1
[18，1]
D ．3[,1]4
8．（4分）抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于点M ，N （点N 在x 轴上方）
，点E 为轴上F 右侧的一点，若||||3||,3MNE NF EF MF S ∆===，则(p = )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．9
9．（4分）已知函数2(4),53
()(2),3x x f x f x x ⎧+-<-=⎨--⎩
„…，若函数()()|(1)|g x f x k x =-+有9个零点，
则实数k 的取值范围为( )
A ．1[6，1
]4
B ．1(4-，11][66-U ，1
)4
C ．1(4-，11)(66-⋃，1)4
D ．1[4-，11][66-U ，1]4
10．（4分）已知函数()1x f x e x =--，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足111
,()2n n a a f a +==，
则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是( ) A ．521|43|a a a <-
B ．78a a „
C ．101a >
D ．10026S >
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．（6分）若复数3(1i
z i i
+=-为虚数单位）
，则|z = ，复数z 对应的点在坐标平面的第 象限．
12．（6分）在二项式262
()x x -的展开式中，常数项是 ，所有二项式系数之和是 ．
13．（6分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积是3b =，1cos 3
C =，则c = ；sin 2sin B C = ．
14．（4分）某公司有9个连在一起的停车位，现有5辆不同型号的轿车需停放，若停放后恰有3个空车位连在一起，则不同的停放方法有 种．
15．（4分）已知e r 为单位向量，平面向量,a b r
r 满足||||1a e b e +=-=r r r r ，a b r r g 的取值范围是 ． 16．（4分）已知a ，b R ∈，且满足24380ab a b -+-=，则22238a b a b ++-的最小值是 ． 17．（6分）在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，11AA =，E 是底面ABCD 的中心，
又1(0)2AF AB λλ=u u u r u u u r 剟，则当λ= 时，长方体过点1A ，E ，F 的截面面积的最小值为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（14分）设函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=
->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4
π， （Ⅰ）求ω的值
（Ⅱ）求()f x 在区间3
[,
]2
π
π上的最大值和最小值． 19．（15分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，
1
2
AB BC AD ==
，90BAD ABC ∠=∠=︒，E 是PD 的中点． （1）证明：直线//CE 平面PAB ；
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45︒，求二面角M AB D --的余弦值．
20．（15分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知14a =，16b =，2222b a =-，3324b a =+． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n c 满足11c =，1
1,22
,2
k k n k
k n c b n +⎧<<⎪=⎨=⎪⎩其中*k N ∈． ()i 求数列22{(1)}n n a c -的通项公式； ()ii 求*112222()n n a c a c a c n N ++⋯+∈
21．（15分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>，圆2222:(1)(0)C x y r r -+=>，抛物线1C 上的点到其准线的距离的最小值为
14
． （Ⅰ）求抛物线1C 的方程及其准线方程；
（Ⅱ）如图，点0(2,)P y 是抛物线1C 在第一象限内一点，过点P 作圆2C 的两条切线分别交抛物线1C 于点A ，(B A ，B 异于点)P ，问是否存在圆2C 使AB 恰为其切线？若存在，求出r 的值；若不存在，说明理由．。