南开大学2000空间解析几何与高级代数试题[精华]

南开大学2000空间解析几何与高级代数试题[精华] 南开大学2000年硕士入学考试试题――高等代数

x，y，z，1,0,1、(10分)求直线在平面上的垂直投影。3x，2y，z，1,0,x，2y，2z,0,

2、(10分)求过点(0,1,0)且与两条直线

x，y，1,0x，3y，z，1,0,,， ,,2x，y,0x，2y,0,,

均相交的直线方程。

3、(10分)设这线L和平面平行，则直线L上任一点到平面的距离均相等，称之为,,

直线L到平面的距离。求和下面两条直线 ,

x,2y,3,0x,z，1,0,, ,,z,1,0y,2,0,,

距离相等的平面方程。

222T:R,R4、(10分)设是实数域R上的2维向量空间，线性变换在基，

Re,(1,0)1

21,,,,下的矩阵是 e,(0,1)2,,02,,

2R 证明:(1)设是由张成的的子空间，则是T的不变子空间WeW111

2R (2)不能表示成T的任一不变子空间与的直和。WW21

2R5、(15分)设是实数域R上的2维向量空间

22T:R,R (x,x),(x,x) 1222

是线性变换

,,(1,2),,(1,,1) (1)求T在基，下的矩阵; 12

2T,cER (2)证明对于每个实数c，线性变换是可逆变换，这里E是上的恒等变换

6、(15分)设n级矩阵

00？01,,,,00？10,,

,,，？？？？？,,

01？00,,

,,10？00,,

,1 求可逆矩阵T使得矩阵是对角形，并求矩阵B。 B,TAT

7、(15分)设S是数域P上n维线性空间V上线性变换。证明

n,1n (1)S,0，S,0则V中存在一个基使得S在这个基下的矩阵为

000？000,,,,100？000,,

,,010？000,, ？？？？？？？,,

,,000？100,,,,000？010,,

n,1n,1nnM,0,NM,N,0 (2)如M，N是数域P上两个n级方阵，，，则M和

N相似 nn,18、(15分)设是数域P上的n次多项式，这里;且设的一阶微商可以整f(x)f(x)除，证明， f(x)a,b,P,a,0f(x),a(x,b)