高数最大值与最小值

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高数第1章第7节——闭区间上连续函数的性质

f (2 )分别称为f ( x)在[a, b]上的最大值和最小值 .
y
oa
bx
注记此定理是闭区间上连续函数的最大值和最小值存在性定理，后面会给出具体的最大值最小值的求法. 在最大值最小值定理中，函数连续和区间是闭的是定理成立的重要条件，缺一不可，即：
(1)f(x)在(a,b)内连续，定理的结论不一定成立. 例如：f(x) 1 在(0,1)内连续，但在(0,1)内不能
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
1
如
:
f
(x)
x
1
y
x1 1 x2 x2
在(1,2)连续, 但没有零点.
y
1
ao
o
12
x
-1
bx
定理 1.7.4 设 f(x) 在闭区间[a,b]上连续 , 且 f(a)
f(b) 那么对介于 f(a) 与 f(b) 之间的任何数 , 在开区
间(a,b)内至少存在一点，使 f() = .
1.7 闭区间上连续函数的性质
一、最大值和最小值定理二、零点定理与介值定理
一、最大值和最小值定理
定理1.7.1 设 f ( x)在[a, b]上连续 , 则 f ( x)在[a, b] 上
一定能取到最大值和最小值, 即存在1 ,2 [a, b], 使对一切 x [a, b], 有f (2 ) f ( x) f (1), 其中f (1)和
几何解释:
连续曲线弧 y f ( x)与
水平直线y 至少有
一个交点.
y
M f(b)
a
o
f(a)
mHale Waihona Puke bx推论1.7.1 在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)必取得介于最大值与最小值之间的任何值.

高等数学-第七版-课件-3-6 函数的极值与最大值最小值

o
x
定义设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x，有 y f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)) 称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（极小值）函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点注极值是一个局部的概念
海岸位于A点南侧40km，是一条东西走向的笔直长堤. 演习中部队先从A出发陆上行军到达海堤，再从海堤处乘舰艇到达海岛B. 已知陆上行军速度为每小时36km，舰艇速度为
每小时12km.问演习部队在海堤的何处乘舰艇才能使登岛用 y 时最少？分析陆上行军耗时 o 海上行军耗时 A
(0,40)
？ R(x,0) B
x
(140,-60)
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
例4 从边长为a的一张正方形薄铁皮的四角切去边长为x的四个小正方形，折转四边，作一个盒子，问x为何值时盒子的容积最大？
例5 某企业以钢材为主要生产材料。设该厂每天的钢材需求量为 R吨，每次订货费为C1元，每天每吨钢材的存贮费为C2元（其中R、 C1、 C2为常数），并设当存贮量降为零时，能立即得到补充（在一个订货周期内每天的平均存贮量为订货量的二分之一）求一个最佳的订货周期，使每天的平均费用最小？ q(t) Q o T C C0
o
x
定义设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I,使得对于区间I内的任一x，有 f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),则称f(x0)为函数f(x) 在区间I上的最大值(或最小值).

高数数学必修一《3.2.1.2函数的最大(小)值》教学课件

几何意义
f(x)图象上最高点的 ___纵_坐_标_____
f(x)图象上最低点的 ___纵_坐_标_____
微点拨❶
(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝ x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．
①比较两个函数的图象，它们是否都有最高点？ ②通过观察图1你能发现什么？
(2)观察下面两个函数的图象，回答下列问题．
①比较两个函数的图象，它们是否都有最低点？ ②通过观察图3你能发现什么？
提示：①题图3中函数f(x)＝x2的图象有一个最低点．题图4中函数y＝x的图象没有最低点． ②对任意x∈R，都有f(x)≥f(0)．
M].( × )
2.函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值和最
小值分别为( )
A．3，0
B．3，1
C．3，无最小值 D．3，2
答案：C 解析：由图可知，f(x)在[－2，＋∞)上的最大值为3，最小值取不到．故选C.
3．已知函数y＝2x，x∈[1，2]，则此函数的最大值是____2____，最小值是____1____．
课堂小结 1.函数最大值、最小值的定义． 2．求函数最值的方法．
提示：(1)最大值为f(b)，最小值为f(a)． (2)不一定，需要考虑函数的单调性．
例2 已知f(x)＝2xx++11. (1)用定义证明f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增； (2)求该函数在区间[2，4]上的最大值．

高等数学高数05第五节函数极限与最大值最小值

第五节函数的极值与最大值最小值在讨论函数的单调性时，曾遇到这样的情形，函数先是单调增加（或减少），到达某一点后又变为单调减少（或增加），这一类点实际上就是使函数单调性发生变化的分界点. 如在上节例3的图3-4-5中，点1=x 和2=x 就是具有这样性质的点，易见，对1=x 的某个邻域内的任一点x )1(≠x ，恒有 )1()(f x f <，即曲线在点))1(,1(f 处达到“峰顶”；同样，对2=x 的某个邻域内的任一点x )2(≠x ，恒有 )2()(f x f >，即曲线在点))2(,2(f 处达到“谷底”. 具有这种性质的点在实际应用中有着重要的意义. 由此我们引要入函数极值的概念.分布图示★ 函数极值的定义★ 函数极值的求法★ 例1★ 例2 ★ 例3 ★ 第二充分条件★ 例4★ 例5★ 例6 ★ 最大值最小值的求法★ 例7★ 例8 ★ 例9 ★ 例10★ 例11★ 例12 ★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题3-5 ★ 返回内容要点一、函数的极值极值的必要条件第一充分条件与第二充分条件求函数的极值点和极值的步骤(1) 确定函数)(x f 的定义域，并求其导数)(x f ';(2) 解方程0)(='x f 求出)(x f 的全部驻点与不可导点;(3) 讨论)(x f '在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点;(4) 求出各极值点的函数值，就得到函数)(x f 的全部极值.二、函数的最大值与最小值在实际应用中，常常会遇到求最大值和最小值的问题. 如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等. 此类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.求函数在],[b a 上的最大（小）值的步骤如下：（1）计算函数)(x f 在一切可能极值点的函数值，并将它们与),(a f )(b f 相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；（2）对于闭区间],[b a 上的连续函数)(x f ，如果在这个区间内只有一个可能的极值点，并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区间上的最大值（或最小值）点.例题选讲求函数的极值例1 (E01) 求出函数593)(23+--=x x x x f 的极值.解 )3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ,令,0)(='x f 得驻点.3,121=-=x x 列表讨论如下：所以, 极大值,10)1(=-f 极小值.22)3(-=f例2 (E02) 求函数32)1()4()(+-=x x x f 的极值.解 )1( 函数)(x f 在),(+∞-∞内连续，除1-=x 外处处可导，且;13)1(5)(3+-='x x x f)2( 令,0)(='x f 得驻点;1=x 1-=x 为)(x f 的不可导点; )3( 列表讨论如下:)4( 极大值为,0)1(=-f 极小值为.43)1(3-=f例3 求函数 ()3/223x x x f -=的单调增减区间和极值. 解求导数,1)(3/1--='x x f 当1=x 时,0)0(='f 而 0=x 时)(x f '不存在 , 因此，函数只可能在这两点取得极值. 列表如下:由上表可见：函数)(x f 在区间),1(),0,(+∞-∞单调增加, 在区间)1,0(单调减少. 在点0=x 处有极大值, 在点1=x 处有极小值,21)1(-=f 如图.例4 (E03) 求出函数20243)(23--+=x x x x f 的极值.解 ),2)(4(32463)(2-+=-+='x x x x x f 令,0)(='x f 得驻点.2,421=-=x x又,66)(+=''x x f ,018)4(<-=-''f 故极大值,60)4(=-f ,018)2(>=''f 故极小值.48)2(-=f注意：0)(.10=''x f 时, )(x f 在点 0x 处不一定取极值, 仍用第一充分条件进行判断..2函数的不可导点,也可能是函数的极值点.例5 (E04) 求函数1)1()(32+-=x x f 的极值.解由,0)1(6)(22=-='x x x f 得驻点,11-=x .1,032==x x ).15)(1(6)(22--=''x x x f 因,06)(>=''/x f 故)(x f 在0=x 处取得极小值，极小值为.0)0(=f 因,0)1()1(=''=-''f f 故用定理3无法判别.考察一阶导数)(x f '在驻点11-=x 及13=x 左右邻近的符号: 当x 取1- 左侧邻近的值时, ;0)(<'x f 当x 取1-右侧邻近的值时, ;0)(<'x f因)(x f '的符号没有改变，故)(x f 在1-=x 处没有极值. 同理，)(x f 在1=x 处也没有极值. 如图所示.例6 求出函数 3/2)2(1)(--=x x f 的极值.解 ).2()2(32)(31≠--='-x x x f 2=x 是函数的不可导点.当2<x 时, ;0)(>'x f 当2>x 时, .0)(<'x f 1)2(=∴f 为)(x f 的极大值.例7 (E05) 求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值. 解 ),1)(2(6)(-+='x x x f 解方程,0)(='x f 得.1,221=-=x x 计算;23)3(=-f ;34)2(=-f ;7)1(=f ;142)4(=f 比较得最大值,142)4(=f 最小值.7)1(=f例8 求函数x x y -=2sin 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上的最大值及最小值.解函数x x y -=2sin 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上连续,,12cos 2)(-='='x y x f令,0='y 得.6π±=x,22ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ,22ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,6236ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f .6236ππ+-=⎪⎭⎫⎝⎛-f故y 在 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上最大值为,2π最小值为.2π-例9 (E06) 设工厂A 到铁路线的垂直距离为20km, 垂足为B . 铁路线上距离B 为100km 处有一原料供应站C , 如图3-5-4. 现在要在铁路BC 中间某处D 修建一个原料中转车站, 再由车站D 向工厂修一条公路. 如果已知每km 的铁路运费与公路运费之比为3:5, 那么, D 应选在何处, 才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需运费最省?解 x BD =(km), x CD -=100(km), .2022x AD +=铁路每公里运费,3k 公路每公里,5k 记那里目标函数(总运费)y 的函数关系式:CD k AD k y ⋅+⋅=35即 ).1000()100(340052≤≤-++⋅=x x k x k y问题归结为：x 取何值时目标函数y 最小.求导得,340052⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+='x x k y 令0='y 得15=x (km). 由于.26100)100(,380)15(,400)0(k y k y k y ===从而当15=BD (km)时，总运费最省.例10(E07) 某房地产公司有50套公寓要出租, 当租金定为每月180元时, 公寓会全部租出去. 当租金每月增加10元时, 就有一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费. 试问房租定为多少可获得最大收入?解设房租为每月x 元，租出去的房子有⎪⎭⎫⎝⎛--1018050x 套，每月总收入为,1068)20(1018050)20()(⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=x x x x x R,570101)20(1068)(x x x x R -=⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='解,0)(='x R 得350=x (唯一驻点).故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为 10890)350(=R (元).求函数的最大值最小值例11 敌人乘汽车从河的北岸A 处以1米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B 处向正东追击，速度为2千米/分钟，问我军摩托车何时射击最好(相距最近射击最好) ?解 (1) 建立敌我相距函数关系设t 为我军从B 处发起追击至射击的事件(分).敌我相距函数)(t s 22)24()5.0()(t t t s -++=(2) 求)(t s s =的最小值点 .)24()5.0(5.75)(22t t t t s -++-='令,0)(='t s 得唯一驻点 .5.1=t故得我军从B 处发起追击后1.5分钟设计最好. 实际问题求最值应注意：(1) 建立目标函数； (2) 求最值；若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最大(或最小)值.例12 求内接于椭圆12222=+by a x 而面积最大的矩形的各边之长.解设),(y x M 为椭圆上第一象限内任意一点，则以点M 为一顶点的内接矩形的面积为,0,422)(22a x x a x aby x x S ≤≤-=⋅= 且.0)()0(==a S S22222222244)(x a x a a b x a x xx a a b x S --=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+-=' 由,0)(='x S 求得驻点20a x =为唯一的极值可疑点. 依题意, )(x S 存在最大值,故20a x =是)(x S 的最大值,最大值ab a a aa b S 222422max=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅= 对应的y 值为,2b 即当矩形的边长分别为,2a b 2时面积最大.课堂练习1. 下列命题正确吗?若0x 为)(x f 的极小值点, 则必存在0x 的某邻域, 在此邻域内, )(x f 在0x 的左侧下降,而在0x 的右侧上升.2. 若)(a f 是)(x f 在[a , b ]上的最大值或最小值, 且)(a f '存在, 是否一定有0)(='a f ?。

高等数学函数的极值与最大值、最小值

解：（1）设平均成本为 y ，则 y = 25000 + 200 + x
x
40
由
y′
=
−
25000 x2
+
1 40
=
0
，得
x1
= 1000
，
x2
=
−1000
（舍去）
因为 y′′ |x=1000 = 5×10−5 > 0 ，所以当 x = 1000 时， y 取极小值，
也即最小值，因此，要使平均成本最小，应生产 1000 件产品。
2009年7月3日星期五
21
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（2）利润函数为
L(x)
=
500x
−
⎛ ⎜⎝
问 x = a 是为 f (x) 的极值点？如果是极值点， f (x) 在
x = a 取得极大值还是极小值？（课本例 3）
解题思路：
（1） f ′(x) 在点 x = a 处连续
lim f ′(x) = f ′(a)
x→a
（2） f ′(a) = lim f ′(x) = lim f ′(x) × (x − a) = (−1) × 0 = 0
又因为 f ′′(x) = − 1 < 0 ， 25
所以当 x = 1800 时， f (x) 取得最大值，
即房租定为 1800 元时，可获得最大收入。
2009年7月3日星期五
17
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例8
证明
1 2 p−1
≤
xp
+
(1 −
x) p
≤1
(0 ≤ x ≤ 1, p > 1) ．

高数微积分极值与最值

2x Fx yz 2 0 a 2z Fz xy 2 0 c
2
2
2
2y Fy xz 2 0 b x2 y2 z2 2 2 2 1 a b c
22
三b c 解得 x , y ,z 3 3 3 2x 2y 或 yz 2 xz 2 a b 2 2 2 2 2 x z y b x x y 两式相除 2 2 2 同理 2 2 x a y a b a c
( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： f x ( x0 , y0 ) 0， f y ( x0 , y0 ) 0 .
证: 不妨设 z f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处有极大值,
都有 f ( x , y ) f ( x0 , y0 ) , 故当 y y0 ， x x0 时，
将 P (1,1) 代入原方程, 有 z1 2,
z2 6 ,
1 当 z1 2 时， A 0 , 4
所以 z f (1,1) 2 为极小值；
1 当 z 2 6 时， A 0 , 4
所以z f (1,1) 6 为极大值.
12
求函数 z f ( x , y )极值的一般步骤：(偏导存在条件下)
每天的收益为 f ( x , y )
( x 1)(70 5 x 4 y ) ( y 1.2)(80 6 x 7 y )
求最大收益即为求二元函数的最大值.
2
二、多元函数的极值
观察二元函数 z xy e
x2 y2
的图形
3
1、二元函数极值的定义
设函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )的某邻域内有定义，对于该邻域内异于 ( x0 , y0 ) 的点 ( x , y ) ：若满足不等式 f ( x, y ) f ( x0 , y0 )，则称函数在 ( x0 , y0 ) 有极大值；若满足不等式 f ( x, y ) f ( x0 , y0 )，则称函数在 ( x0 , y0 ) 有极小值；

同济第3版-高数-35第五节函数的极值与最大值最小值

(1) 函数在极值点处的特征由于极值具有局部最大或最小的特征，故函数在其
极值点的两侧的单调性应发生改变，即函数 y = f( x )在极值点 x0 的两侧的导数符号应变号，于是可知极值点的分析特征是导数变号的临界点。
因此，若函数在极值点 x0 处可导，则应有
f ( x 0 )= 0 .
可判别导数不存在的点的极值性。 • 缺点应用第一充分条件判别极值性时，需将导数化为
因子连乘积形式，而当导数为多个因子乘积时，确定其在各保号区间上的符号较为麻烦。
从几何直观看，函数的极大值对应于曲线凸弧的最高点，极小值对应于曲线凹弧的最低点。由于曲线弧的凹向可通过二阶导数的符来表达，因而也可通过曲线弧的凹向的考察来判别驻点的极值性。
y y f x , x a, b
f x1 f x1 0
Oa
f x2
f x2 0
x1
x2
bx
• 优点应用极值的第二充分条件的好处是应用简便，只
需通过驻点处的二阶导数值 f ( x 0 )的符号便可确定可疑点的极值性。
• 缺点第二充分条件仅能用于判别驻点是否为极值点，
下考察各驻点处的二阶导数符号：因为 f ( 1 )= -2 < 0 ，故 f( x )在驻点 x 1 = 1 处取得极大值。极大值为：
f( 1 ) =[( x - 1 )2( x - 2 )3]x = 1 = 0 .
由于 f
7 5
5 x 1 x 22
求得驻点
x1 1, x2
7 5
, x3 2.
• 判别可疑点是否为极值点由于本例极值可疑点均为驻点，故考虑用第二判别
法考察可疑点的极值性。

高数十大定理

高数十大定理高数的十大定理包括有界性、最值定理、零点定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理(泰勒公式)、积分中值定理(平均值定理)、微分中值定理等。

具体来说：1. 有界性：是指给定一个数集和一个常数M，存在一个确定的点，使得数集中的所有数都可以在某个区间上被这个点所限制，即数集中的所有数都不会超过这个常数M。

2. 最值定理：是指在实数集中，每一个函数都有一个最大值和一个最小值，即函数在某个区间内的最大值和最小值。

3. 零点定理：是指如果函数在区间[a,b]的两端取值异号，即f(a)⋅f(b)<0，那么在区间(a,b)内至少存在一个使f(x)=0的点。

4. 费马定理：是指对于实数n，如果有n个正整数a1,a2,...,an满足a1⋅a2...an=p(p为质数)，那么对于任何正整数n，a1,a2,...,an都是p的倍数。

5. 罗尔定理：是指如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=0。

6. 拉格朗日中值定理：是指如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，那么在区间(a,b)内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

7. 柯西中值定理：是指如果函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)内可导，且g'(x)≠0，那么在区间(a,b)内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))。

8. 泰勒定理（泰勒公式）：是指如果函数f(x)在区间[a,b]上存在n阶导数，那么对于任何x∈[a,b]，都存在一个以x为中心的极小值点ξ，使得f(x)=f(ξ)+f'(ξ)(x-ξ)+f''(ξ)(x-ξ)^2/2!+...+f^(n)(ξ)(x-ξ)^n/n!+...。

同济第五版高数3-5极值最值.ppt

• 对于应用问题有时可根据实际意义判别对于应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点. 求出的可疑点是否为最大值点或最小值点
例4 求函数上的最大值和最小值 . 解
在闭区间
′( x) =6x2 − 18x + 12 f = 6( x − 1)( x − 2), 0 < x < 5 2
极大值
极大值 f ( −1) = 10, 极小值 f (3) = −22.
图形如下： f ( x ) = x − 3 x − 9 x + 5 图形如下：3 2来自yf ( −1)
−1 o
3
f ( 3)
x
定理3 第二充分条件第二充分条件) 定理 (第二充分条件处具有二阶导数,且设 f (x)在 x0 处具有二阶导数且 f ′( x0 ) = 0,
思考题
1.下列命题正确吗？ 1.下列命题正确吗？下列命题正确吗
的极小值点, 如果 x 0 为 f ( x ) 的极小值点,那么必存在的某邻域,在此邻域内, x0 的某邻域,在此邻域内, f ( x ) 在 x0 的左侧下降, 的右侧上升. 下降,而在 x 0 的右侧上升.
例3 求出函数 f ( x ) = 1 − ( x − 2) 的极值 .
2 解 f ′( x ) = − ( x − 2 ) ( x ≠ 2) 3 当x = 2时 , f ′( x )不存在 . y
− 1 3
2 3
但函数 f ( x )在该点连续 . 当x < 2时， f ′( x ) > 0; 当x > 2时，f ′( x ) < 0. o ∴ f (2) = 1为f ( x )的极大值 .

高数二 3.1极值与最值

有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0 , x0 )时, f '( x)
符号相同,则 f ( x) 在x0 处无极值.
y
y
o
x0
xo
x0
x (是极值点情形)
y
y
o
x0
xo
求极值的步骤:
Hale Waihona Puke x0x(不是极值点情形)
但函数的驻点却不一定是极值点.
例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
二、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点x0 处具有导数,且在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0. 定义使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫做函数 f ( x) 的驻点. 注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点,
x (,1) 1 (1,3) 3 (3,)
f ( x)
0
0
极
极

大一高数函数的最值及应用

大一高数函数的最值及应用大一高数中，研究函数的最值是一个重要的课题。

在本文中，我将介绍函数的最值的概念、最值的计算与求解方法，以及函数最值在实际应用中的具体例子。

首先，我们来了解函数的最值是什么。

在数学中，函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。

最大值是函数在定义域内的所有值中最大的那个值，最小值则是函数在定义域内的所有值中最小的那个值。

函数的最值是函数图像中的极值点，可以帮助我们研究函数的性质和特征。

函数的最大值和最小值可以通过计算和求解来得到。

对于一个可导函数，首先我们需要找到函数的驻点，就是函数导数为零的点。

然后，根据驻点和定义域的端点，比较这些点对应的函数值，最终得到函数的最值。

接下来，我们来看一个具体的例子，以说明如何计算和求解函数的最值。

例子1：求函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+4在区间[-2,3]上的最值。

首先，我们计算函数的驻点。

函数的导数为f'(x)=6x^2-6x-12，令其等于零，得到x^2-x-2=0。

该二次方程可以因式分解为(x-2)(x+1)=0，解得x=2和x=-1。

所以，函数的驻点为x=2和x=-1。

然后，我们比较定义域端点x=-2和x=3以及驻点x=2和x=-1对应的函数值，最终得到函数的最值。

f(-2)=2(-2)^3-3(-2)^2-12(-2)+4=34f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+4=19f(2)=2(2)^3-3(2)^2-12(2)+4=-20f(3)=2(3)^3-3(3)^2-12(3)+4=13所以，函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值为34，最小值为-20。

上述例子是一个简单的例子，但它演示了如何从求解函数的驻点出发，通过比较函数值来得到最值。

接下来，我们来看一些函数最值在实际应用中的具体例子，以说明最值的应用。

例子2：在围栏建设中，为了围住一块矩形的土地，需要使用有限长度的围栏。

假设围栏的一边与河边平行，沿河边围地的一边使用围栏，而其他三条边使用河作为围栏。

高数定理定义总结

高数定理定义总结第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。

函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。

定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。

函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。

一般的说，如果l im(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。

如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。

高数知识点总结

高数知识点总结高等数学是大学必修课程，也是各个理工科专业的基础课程。

在学习高等数学的过程中，我们需要掌握和理解一些重要的知识点。

下面将对一些常见的高数知识点进行总结。

一. 极限与连续1. 极限的定义和性质：极限是函数在某点逼近的结果，可以通过函数的左右极限来判断。

常用的极限性质有极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。

2. 连续与不连续：连续是指函数在某点和周围的点都存在极限并且这些极限相等。

常见的不连续点有可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。

二. 导数与微分1. 导数的定义和性质：导数是函数在某点处的变化率，可以描述函数曲线的陡峭程度。

导数的性质包括可导的充分必要条件、导数与函数连续的关系、导数的四则运算法则等。

2. 微分与高阶导数：微分是导数的一种表示形式，通过微分可以求得函数值的近似值。

高阶导数表示导数的导数，可以描述更加复杂的曲线变化。

三. 积分与定积分1. 不定积分和定积分的定义：不定积分是求导的逆运算，可以得到函数的原函数。

定积分是求函数在一定区间上的累积值，可以计算曲线下的面积或弧长。

2. 积分的性质和计算方法：积分的性质包括线性性质、区间可加性等。

计算积分可以通过换元法、分部积分法、定积分的几何应用等方法。

四. 一元函数的应用1. 函数的最值和极值点：函数的最值是函数在定义域上的最大值和最小值，极值点是函数的导数等于零或不存在的点。

通过求函数的导数可以找到函数的极值点。

2. 函数的图像与曲线的特性：函数的图像可以通过绘制函数的曲线来了解其性质。

常见的曲线特性有单调性、凹凸性、拐点等。

五. 多元函数的极限、偏导数与全微分1. 多元函数的极限：多元函数的极限是指在多元空间中某点的邻域内，函数值无限接近于某个值。

可以通过多元极限的定义和性质进行计算和推导。

2. 偏导数和全导数：偏导数是多元函数对于某个自变量的导数，全导数是多元函数所有自变量的偏导数的集合。

可以通过偏导数和全导数来分析多元函数的性质和曲线变化。

最大值与最小值定理

最大值与最小值定理最大值和最小值定理是微积分中一个重要的定理，它指出在闭区间上连续的函数一定会在这个区间内取得它的最大值和最小值。

定理描述设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在闭区间[a,b]上必存在至少一个点c，使得f(c)是f(x)在[a,b]上的最大值或最小值。

定理证明为了证明最大值与最小值定理，我们可以利用辅助函数法。

假设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，我们定义一个辅助函数g(x)=f(x)−f(a)。

首先，g(x)在闭区间[a,b]上也是连续的。

因为g(a)=f(a)−f(a)=0，所以g(x)在闭区间[a,b]上满足罗尔定理的条件，即存在至少一个点c，使得g′(c)=0。

根据导数的定义，我们有g′(c)=f′(c)。

因此，f′(c)=0，这意味着f(x)在c 处取得极值。

由于f(x)在闭区间上连续，所以f(x)在闭区间[a,b]上至少存在一个最大值或最小值。

定理应用最大值与最小值定理在数学分析中有着广泛的应用。

通过该定理，我们可以通过分析函数的导数情况来确定函数在闭区间上的最大值和最小值，这对于优化问题和最优化算法有着重要的作用。

在实际问题中，最大值与最小值定理也可以用来解决一些实际应用问题，比如生产最大利润、确定最小成本等。

通过分析问题所对应的函数，在给定的区间上确定函数的最大值和最小值，从而得出最优决策。

总结最大值与最小值定理是微积分中重要的定理之一，它指出了连续函数在闭区间上一定会取得最大值和最小值的存在性。

通过该定理，我们可以在数学分析和实际问题中应用，解决一些优化和最优化的问题，为决策提供依据。

高数重点知识点梳理

高数重点知识点梳理一、导数和微分在高数中，导数和微分是非常重要的概念。

导数是用来描述函数局部变化率的指标，表示某一函数在某一点上的瞬时变化率。

微分则是函数在某一点上的线性近似。

导数和微分在求解函数的极值、切线以及近似计算等方面有着广泛的应用。

二、极值与最值极值是指函数在某一区间上的最大值或最小值。

求解极值的方法包括使用导数进行判断、利用二阶导数判别法以及使用拉格朗日乘数法等。

最值则是指函数在定义域上的最大值或最小值。

求解最值的常用方法是将函数的定义域取值范围求导，并进行判断。

三、不定积分和定积分不定积分是求函数原函数的过程，也被称为反导数。

不定积分的结果是一个函数，其导数等于被积函数。

定积分则是对函数在某一区间上的求和。

定积分的结果是一个具体的数值，表示函数在该区间上的累积效果。

不定积分和定积分经常被用于求解曲线下的面积、质心以及求解定积分方程等问题。

四、级数与收敛性级数是数列求和的过程，将数列的项求和得到的结果称为级数。

级数的收敛性表示该级数是否有一个有限的和。

常用的判断级数收敛的方法有比较判别法、比值判别法、根值判别法和积分判别法等。

级数在数学中有广泛应用，包括在解析几何、微积分、微分方程等领域。

五、多重积分多重积分是对多变量函数在多维空间上的求和过程。

多重积分分为二重积分和三重积分。

二重积分用于计算平面图形的面积、质量以及命题面积等。

三重积分则用于计算空间图形的体积、质量以及空间曲线的长度等。

多重积分在物理、工程学以及概率统计等领域有着重要的应用。

六、常微分方程常微分方程是研究函数与其导数之间关系的方程。

常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。

一阶常微分方程的解可以通过变量分离、齐次化和常数变易法等方法求解。

高阶常微分方程则需要确定特解和齐次解，并通过叠加原理求解。

常微分方程在物理学、力学、生物学等领域具有重要的应用。

以上是高数的一些重点知识点的梳理。

通过掌握这些知识点，能够更好地理解和应用高数中的各种概念和方法，为后续学习和应用打下基础。

高数重点笔记(完整)

第一章函数、极限和连续§1.1 函数一、主要内容㈠函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数:⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。

㈡函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极限一、主要内容㈠极限的概念1. 数列的极限:Aynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f x x =→)(lim 0左极限：Ax f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：Ax f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0㈡无穷大量和无穷小量1．无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。

高等数学：第十二讲最大值与最小值

x
m
，宽为
y
m
，则高为
2 xy
m，水箱所用材料的面积为
S 2(xy x 2 y 2 ) 2(xy 2 2)(x 0, y 0)
xy xy
yx
令
S x S y
2( y 2( x
2 x22 y2
) )
0 0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
由问题的实际意义，水箱所用材料面积的最小值一定存在，又只有一个
驻点，因此，当长、宽均为
3
2、高为
3
2 23
2
3
2最大值和最小值的一般方法
最值可疑点
驻点
边界上的点
2.在实际问题中如何求解函数的最值
谢谢
dz
对此函数求导，得：
d
x
x(8
3x)
可知函数在区间 (0,4) 内的驻点为 x
在区间的两端点 x 0、x 4处 z
8，函数值为
0，3
z
256 27
.
所以 z 256为函数 z 在区域 D 的边界上的最大值.
27
由于
625 64
22576，所以二元函数
z
在区域
D上的最大值为
z
625 64
,
x2 (5 x 2 y) 0
求得在区域 D 内的驻点为 (5 , 5)，在驻点处的函数值为 z 625 .
24
64
例题1：
z x2 y(5 x y)
在边界 x 0, y 0上函数 z 的值恒为零；在边界 x y 4 上，将 y 4 x 代入函数中，使函数 z 成为变
量 x 的一元函数：z x2 (4 x),0 x 4

最大值点最小值点

最大值点最小值点在数学中，函数的最大值点和最小值点是非常重要的概念。

最大值点是函数在定义域上取得最大函数值的点，相对应的，最小值点则是函数在定义域上取得最小函数值的点。

这些点在函数的图像中通常表现为曲线的局部极大值和局部极小值。

什么是最大值点？函数的最大值点指的是在一定区间内，函数取得最大值的点。

数学上通常用极值来描述这种情况。

在实际问题中，最大值点可能表示某种最大收益、最大利润、最大产量或者最大效率等。

有时候，最大值点也可能对应着某个物体的最高点或最大速度等。

如何判断最大值点？要找到一个函数的最大值点，通常需要进行导数求解。

在数学上，导数可以描述函数在某点的斜率，而最大值点对应于函数导数为零的点。

通过求解函数的导数，然后令导数等于零，可以得到可能的最大值点所在的横坐标。

什么是最小值点？最小值点与最大值点相比，是函数在定义域上取得最小函数值的点。

在实际问题中，最小值点可能表示某种最小成本、最小损失、最小体积等。

有时候，最小值点也对应着某个物体的最低点或最小速度等。

如何判断最小值点？与最大值点类似，要找到一个函数的最小值点，同样需要进行导数求解。

函数的导数为零的点可能对应函数的最小值点。

通过求解函数的导数，然后令导数等于零，可以得到可能的最小值点所在的横坐标。

最大值点和最小值点在函数图像中的表现最大值点和最小值点在函数的图像中通常表现为曲线的局部极大值或局部极小值。

最大值点对应的是曲线上的山峰，而最小值点对应的是曲线上的低谷。

通过观察函数的图像，可以直观地找到函数的最大值点和最小值点。

总结最大值点和最小值点是函数中的重要概念，可以用来描述函数在定义域上的极值情况。

通过导数求解，我们可以找到函数的最大值点和最小值点所在的位置。

在实际问题中，最大值点和最小值点有着重要的应用，可以帮助我们优化决策和分析问题，寻找最佳解决方案。