导数推导

1 cos(arcsin x ) 1 。 1 x2
y arctg x ,求 y .
三、复合函数的导数
第 4 页 共 8 页
问题 1 设 f ( x) sin 2 x ,求 f ' ( x) ;2）. 设 f ( x) sin(a x ) ,求 f ' ( x) ;3）. 设
.
f (u) f (u0 ) A(u)(u u0 ) ,我们有
F ( x) F ( x0 ) f [ g ( x)] f [ g ( x0 )] g ( x) g ( x0 ) A[ g ( x)] x x0 x x0 x x0 x x0 ,得 F ( x0 ) f [ g ( x0 )] g ( x0 ) . 令
y 1 1 1 x x g ( x x ) g ( x ) g ( x x ) g ( x ) 1 x g ( x x ) g ( x ) g ( x ) 2 当 x 0 时。 g ( x) f ( x) 1 f ( x) g ( x) g ( x) 给出（3）.
一般地,有如下和的导法则： 定理 1（和的导数） 设 f ( x) , g ( x) 在 x 点可导,则
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) （求导是线性运算） 证明 令 y( x) f ( x) g ( x)
y [ f ( x x ) g ( x x )] [ f ( x ) g ( x )] x x f ( x x ) f ( x ) g ( x x ) g ( x ) x x f ( x ) g ( x ) 当 x 0 时。
.
再由反函数连续性,
x x0 时, y y0 ,由复合函数求极限定理得 f ( x ) f ( x0 ) 1 lim lim g[ f ( x )] lim g ( y ) x x0 x x y y 0 0 x x0 ( y0 ) .
例6
y a x (a 0 , a 1) ,求 y .
1 1 1 ( y ) [ f ( x )] ( y ) y f ( x ) . 这里导数 0 ( 或 0 ) 可推出 ( y ) 严格上升（下降）,反函数之导数公式也可写成 f ( x )
dy dx

1 dx dy .
第 3 页 共 8 页
定理的证明
解 例8 解
(log a x )
y e ln x ,
y
ln x e x 1
x
.
y arcsin x ,求 y . x sin y ,
(arcsin x )
1 (sin y ) y arcsin x
例9 例 10
y arccos x ,求 y .
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) （它导它不导,它不导它导,然后加起来）
证明 令
y ( x ) f ( x ) g ( x)
y f ( x x ) g ( x x ) f ( x ) g ( x ) x x (分子 f ( x ) g ( x x ) f ( x ) g ( x x )) f ( x x ) f ( x ) g ( x x ) g ( x ) g ( x x ) f ( x ) x x f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) 当x 0时。
y0 (c, d ) 点可导,且
( y0 ) 0 , x0 ( y0 ) .则反函数 y f ( x) 在 x 0 点可导,且
f ( x0 )
注
1 1 ( y0 ) [ f ( x0 )] .
若 x ( y) 在 (c, d ) 可导,导数 0 ( 或 0 ) ,则反函数 y f ( x) 存在,且
f ( x) x ,求 f ' ( x) .
定理 5 设 导 ,且
f (u0 ) 与 g ( x0 ) 存在, u 0 g ( x0 ) ,则复合函数 F ( x) f [ g ( x)] 在 x 0 点可
F ( x0 ) f [ g ( x0 )] g ( x0 ) .
推论 1
(u( x)v( x)w( x))' ( x0 ) u' ( x0 )v( x0 )w( x0 ) u( x0 )v' ( x0 )w( x0 ) u( x0 )v( x0 )w' ( x0 ) .
推论 2 若函数 v( x) 在 x 0 知可导,C 为常数,则 (cos( x))' x x0 C v' ( x0 ) . 问题 3 设 f ( x)
[c f ( x)] c f ( x) .
推论 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1)
(2)
n n f ( x ) i f i( x ) i 1 i 1 .
第 2 页 共 8 页
n n f i ( x) Kk ( x) , k 1 (3) j 1
ax ,求 f ' ( x) . log a x
一般地,存如下商的运算法则： 定理 3（商的导数） 设 f ( x) , g ( x) 在 x 点可导,则
证明 令
f ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x) g 2 ( x) . 1 y ( x) g ( x)
f1 ( x) sin x cos x f 2 ( x) sin x cos x
f 3 ( x) cos x log a x
g1 ( x) sin 2 x g 2 ( x) sin(ax)
g 3 ( x) arcsin x
f 4 ( x) c sin x
一、导数的四则运算
.
例3
证明： ( x
n
)' nx n1 , n N .
证明： (tan x)' sec 2 x , (cot x)' csc 2 x . 证明： (sec x)' sec x tan x , (csc x)' csc x cot x .
.利用导数的四则运算法则求导数举例：
注 若 f (u ) 的定义域包含 u g ( x) 的值域,两函数在各自的定义域上可导,则复合函数
F ( x) f [ g ( x)] 在 g ( x) 的定义域上可导,且 F ( x) f [ g ( x)] g ( x) （怀中抱月）或
y x yu u x ,
1
1 1 y (1 x 2 ) 2 (1 x 2 ) 2 1 1 (1 x 2 ) 2 ( 2 x ) 2 x 。 1 x2 2 例 2 y sin x ,求 y . 2 2 2 解 y cos x ( x ) 2 x cos x .
定理的证明 定义函数
dy dy du dx du dx .
A(u ) 在 u 0 点连续, uu0
由恒等式,
f ( u ) f ( u0 ) , u u0 , u u0 A(u ) f (u ) , u u0 。 0 lim A(u) A(u0 ) f (u0 )
求导法则 上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义; 明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知 道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学 会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我 们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算 .因此,从理论上来讲, 给了一个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）. 但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本 初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象. 因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能 较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数：
2
6． f ( x) x x x cos x ;
2 3
tgx ; x
8． f ( x)
5 sin x 3tgx ; x
9． y
e x sin x x 2 ln x . 1 tgx
二、反函数的导数 问题 1 设 f ( x) arcsin x ,求 f ' ( x) . 定理 4 设 x ( y) 在区间 (c, d ) 上连续,严格上升,在
解
x
x log a y ,
( a x )
1 y a x ln a x x (log a y ) y a log a e y a ,反过来,如果
log a e 1 1 x x (a ) x log a y a ln a y .
(a ) 已知,也可求 例 7 y x ,求 y .
g 4 ( x) arccos x
问题 1 设 f ( x) sin x cos x ,求 f ' ( x) . 分析 利用导数的定义及极限的四则运算知, f ' ( x) cos x sin x (sin x)'(cos x)' . 即
(sin x cos x)' (sin x)'(cos x)'
要证
x x0
lim
f ( x) f ( x0 ) x x0 存在,注意到这个比式是函数
与
g ( y)
的复合,由定理条件知
y y0
y y0 ( y) ( y0 )
y f ( x)
lim
f ( x ) f ( x0 ) 1 1 lim y y ( y ) ( y ) 0 ( y ) ( y0 ) ( y0 ) 0 y y0
.利用导数的四则运算法则举例.
例1 例2 例4 例5
K k ( x ) f1 ( x ) f k( x ) f n ( x )
.
f ( x) x 3 5x 2 9 x ,求 f ' ( x) , f ' (0) .
y cos x ln x ,求 y '
x
1． f ( x) x sin x ;
2
2． f ( x) x sin x cos x ;
3
3． f ( x) 2 x ;
2
4． f ( x) x cos x ;
2
5． f ( x) x sin x 7 x ; 7． f ( x) x sin x ln x
我们引进 A(u ) 是为了避免再直接写表达式
F ( x) F ( x0 ) f (u ) f (u 0 ) g ( x) g ( x0 ) x x0 u u0 x x0 x x0 时,可能会出现 u u 0 情况. 中当
例1 解
y 1 x 2 ,求 y .
问题 2 设 f ( x) sin x a ,则 f ' ( x) (sin x)'(a )' cos x a ln a 对吗？
x x x
第 1 页 共 8 页
分析 一般地,有如下乘积的求导法则： 定理 2（积的导数）设 f ( x) , g ( x) 在 x 点可导,则