函数导数公式及证明

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导数公式证明大全

导数是微积分中的重要概念，它描述了函数变化率的性质。在这篇文章中，我们将给出一些导数的常用公式的证明。

1.一次函数的导数证明：

我们考虑一条一次函数的图像，其方程为y = ax + b，其中a和b

是常数。

假设我们有两个点(x, y)和(x + h, y + kh)在图像上，其中h是一个趋近于0的非零常数。

由直线的斜率公式知道，两点之间的斜率为k = (y + kh - y) / (x + h - x) = k。

函数的导数定义为函数曲线上任意一点切线的斜率，我们需要证明这个斜率与常数a相等。

根据定义，导数为dy / dx = lim(h -> 0) [(y + kh - y) / (x + h - x)] = lim(h -> 0) (kh / h) = a。

因此，一次函数y = ax + b的导数为dy / dx = a。

2.幂函数的导数证明：

考虑一个幂函数y=x^n，其中n是常数。

我们仍然用限制h趋近于0的两个点(x, y)和(x + h, y + kh)来证明这个导数。

根据定义，导数为dy / dx = lim(h -> 0) [(y + kh - y) / (x + h - x)] = lim(h -> 0) [(x + h)^n - x^n] / h。

我们可以使用二项式定理展开(x + h)^n = x^n + nx^(n-1)h + ... + h^n，并取消掉所有除以h的项：

dy / dx = lim(h -> 0) [nx^(n-1)h + ... + h^n] / h = lim(h -> 0) [nx^(n-1) + ... + h^(n-1)] = nx^(n-1)。

16个基本导数公式推导过程

推导过程如下：

1.常数函数：f(x)=c

求导结果：f'(x)=0。

证明过程：由导数定义可得，当函数为常数时，无论x取任何值，函

数的增量都为0，即f(x + Δx) - f(x) = 0。所以，f'(x) =

lim(Δx→0) [f(x + Δx) - f(x)] / Δx = 0。

2.幂函数：f(x)=x^n，其中n为正整数。

求导结果：f'(x) = nx^(n-1)。

证明过程：利用定义求导。计算f(x + Δx) = (x + Δx)^n与f(x) = x^n的差值，然后除以Δx，当Δx趋于0时求极限。利用二项式展开，可以得出f'(x) = nx^(n-1)。

3.指数函数：f(x)=e^x。

求导结果：f'(x)=e^x。

证明过程：由指数函数的性质可知，e^0 = 1，且(d(e^x)/dx) = e^x。因此，可以据此推导出f'(x) = e^x。

4. 对数函数：f(x) = ln(x)。

求导结果：f'(x)=1/x。

证明过程：由导数定义可得f'(x) = lim(Δx→0) [ln(x + Δx) - ln(x)] / Δx。利用对数的性质，将差值化简为ln((x + Δx)/x)，再除以Δx并取极限，最终得出f'(x) = 1/x。

5. 正弦函数：f(x) = sin(x)。

求导结果：f'(x) = cos(x)。

证明过程：利用极限定义求导。计算f(x + Δx) - f(x) = sin(x + Δx) - sin(x)，然后除以Δx并取极限。应用三角函数的合角公式并利用三角恒等式可得f'(x) = cos(x)。

导数公式证明大全

导数的定义是函数变化率的极限。下面将给出导数的一些重要公式的

证明。

1.常数函数的导数：设常数函数$f(x)=c$，其中$c$为常数。由导数

的定义可知：

\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{c-c}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}0 \\ &= 0

\end{aligned}\]

因此，常数函数的导数为0。

2.幂函数的导数：设幂函数$f(x)=x^n$，其中$n$为正整数。由导数

的定义可知：

\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \end{aligned}\]将$(x+h)^n$展开为二项式，有：

\[(x+h)^n = x^n + \binom{n}{1}x^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-

2}h^2 + \ldots + \binom{n}{n-1}xh^{n-1} + h^n\]

代入上式，消去$x^n$，并除以$h$，得：

\[\begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h\to

0}\left(\binom{n}{1}x^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}h + \ldots +

\binom{n}{n-1}xh^{n-2} + h^{n-1}\right) \\ &= \binom{n}{1}x^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}\cdot 0 + \ldots + \binom{n}{n-1}x\cdot 0 + 0^{n-1} \\ &= n\cdot x^{n-1} \end{aligned}\]

常用高阶导数公式证明

一阶导数

假设函数y=y(y)在y处可导，则函数y=y(y)在y处的导数为：

$$ f'(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f(x + \\Delta x) - f(x)}}{\\Delta x} $$

二阶导数

如果函数y=y(y)在y处可导，那么它的二阶导数为：

$$ f''(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f'(x + \\Delta x) - f'(x)}}{\\Delta x} $$

高阶导数

函数y=y(y)的y阶导数定义如下：

$$ f^{(n)}(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f^{(n-1)}(x + \\Delta x) - f^{(n-1)}(x)}}{\\Delta x} $$

常用高阶导数公式证明

二阶导数的公式

一阶导数为：

$$ f'(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f(x + \\Delta x) - f(x)}}{\\Delta x} $$

二阶导数为：

$$ f''(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f'(x + \\Delta x) - f'(x)}}{\\Delta x} $$

将一阶导数y′(y)的定义代入二阶导数公式中，得到：

$$ f''(x) = \\lim_{{\\Delta x}\\to0}

\\frac{{\\left(\\lim_{{\\Delta x}\\to0} \\frac{{f(x + \\Delta x) - f(x)}}{\\Delta x}\\right)\\big|_{x+\\Delta x} - f'(x)}}{\\Delta x} $$

基本初等函数导数公式,运算及几何意义

导数公式，运算及几何意义

一．导数公式及运算

（一）基本初等函数的导数公式表

（二）导数的运算法则

（三）推论 []'

()()cf x cf x =

函数导数

y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1

n y nx -= sin y x = '

cos y x =

cos y x = 'sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =⋅>

()x y f x e == 'x

y e =

()log a f x x = '

1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a

==>≠且 ()ln f x x = '

1()f x x =

导数运算法则 1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±

2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±

3．[]

''2()()()()()

(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦

二．复合函数的概念一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，

y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作

()()y f g x =。

复合函数的导数复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

导数基本公式8个推导

导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。在实际应用中，导数有着广泛的应用，如物理学中的速度、加速度等概念，经济学中的边际效应等。本文将介绍导数的基本公式及其推导过程，以帮助读者更好地理解导数的概念。

一、导数的定义

导数的定义是函数在某一点处的变化率，即函数在该点处的斜率。设函数y=f(x)，则函数在x=a处的导数可以表示为：

f'(a)=lim┬(h→0)⁡〖(f(a+h)-f(a))/h〗

其中，h表示自变量x的增量。

二、导数的基本公式

1. 常数函数的导数

对于常数函数y=c，其导数为0，即f'(x)=0。

2. 幂函数的导数

对于幂函数y=x^n，其导数为f'(x)=nx^(n-1)。

3. 指数函数的导数

对于指数函数y=a^x，其导数为f'(x)=a^xlna。

4. 对数函数的导数

对于对数函数y=loga(x)，其导数为f'(x)=1/(xlna)。

5. 三角函数的导数

对于正弦函数y=sin(x)，其导数为f'(x)=cos(x)；对于余弦函数y=cos(x)，其导数为f'(x)=-sin(x)；对于正切函数y=tan(x)，其导数为f'(x)=sec^2(x)。

6. 反三角函数的导数

对于反正弦函数y=arcsin(x)，其导数为f'(x)=1/√(1-x^2)；对于反余弦函

数y=arccos(x)，其导数为f'(x)=-1/√(1-x^2)；对于反正切函数

y=arctan(x)，其导数为f'(x)=1/(1+x^2)。

7. 和差积商法则

对于两个函数f(x)和g(x)的和、差、积、商，其导数可以通过以下公式

16个基本导数公式推导过程

一、基本定义

在微积分中，导数是用来描述函数其中一点上的变化率的数学工具。给定一个函数y=f(x)，我们可以通过求取其导数来计算在不同点的变化率。

二、导数的定义式

给定一个函数y=f(x)，在点x处的导数可以定义为：

f'(x) = lim(h→0) ((f(x+h) - f(x))/h)

三、常数导数

对于一个常数c，导数恒为0。因为对于任意的x和h，我们有：

(f(x)+c)-f(x)=c

所以导数为：

(f(x) + c) - f(x) = lim (h→0) = 0

四、幂律导数

对于幂函数y=x^n，其中n是一个常数，则导数可以通过幂律计算。幂律定义如下：

f(x) = x^n ， f'(x) = nx^(n-1)

五、指数函数的导数

对于指数函数y=a^x，其中a是一个常数，则导数也可以通过指数函

数的特性进行计算。指数函数的导数定义如下：

f(x) = a^x ， f'(x) = ln(a) * a^x

六、对数函数的导数

对于对数函数y=log_a(x)，其中a是一个常数，则导数也可以通过

对数函数的特性进行计算。对数函数的导数定义如下：

f(x) = log_a(x) ， f'(x) = 1 / (x * ln a)

七、和差法则

给定两个函数f(x)和g(x)，如果它们的导数分别为f'(x)和g'(x)，

则它们的和（差）的导数可以通过和差法则计算。根据和差法则，我们有：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)

八、积法则

给定两个函数f(x)和g(x)，如果它们的导数分别为f'(x)和g'(x)，

高中导数公式及导数的运算法则

导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差), 即:
f ( x ) g ( x ) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数, 加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
x0
2 利用点到直线的距离公式得距离为 . 2
例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程.
解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S1 , y 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y 2( x 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方 .即 :
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)

16个基本导数公式详解

在微积分中，导数是指函数在其中一点的切线斜率或变化率。它在计

算斜率、切线和极值时起着重要作用。以下是16个基本导数公式的详解。

1. 常数函数导数：对于常数函数y=c，导数为dy/dx = 0。这是因为

常数函数在任何点的斜率都是零。

2. 幂函数导数：对于幂函数y=x^n（这里n是常数），其导数为

dy/dx = nx^(n-1)。这个公式可以通过使用极限定义导数来证明。例如，

对于y=x^2，导数为dy/dx = 2x。

3. 指数函数导数：对于指数函数y=a^x（这里a是常数且a>0），其

导数为dy/dx = a^x * ln(a)。这个公式可以通过使用极限定义导数和对

数函数的导数来证明。

4. 对数函数导数：对于自然对数函数y=ln(x)，其导数为dy/dx =

1/x。对数函数的导数是指数函数导数的倒数。这个公式也可以通过使用

极限定义导数来证明。

5. 正弦函数导数：对于正弦函数y=sin(x)，其导数为dy/dx =

cos(x)。这个公式可以通过使用极限定义导数和三角函数的定义来证明。

6. 余弦函数导数：对于余弦函数y=cos(x)，其导数为dy/dx = -

sin(x)。这个公式可以通过使用极限定义导数和三角函数的定义来证明。

7. 正切函数导数：对于正切函数y=tan(x)，其导数为dy/dx =

sec^2(x)。这个公式可以通过使用sin(x)和cos(x)的导数公式来证明。

8. 反正弦函数导数：对于反正弦函数y=arcsin(x)，其导数为dy/dx = 1/√(1 - x^2)。这个公式可以通过使用反三角函数的定义和导数的链式法则来证明。

导数公式的证明(基础)

导数的定义：f'(x)=lim Δy/Δx

用定义求导数公式

（1）f(x)=x n求：f'(x)

（3）f(x)=cosx 求：f'(x)

（5）f(x)=log a x

（6）f(x)=tanx

f'(x)

=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx

=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx

=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))

=lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔ

x+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))

=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))

=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2

（7）f(x)=cotx

f'(x)

=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx

=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx

=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))

=lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))

=lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))

=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2

（8）f(x)=secx

考研导数的基本公式14个

基本导数公式有：(lnx)'=1/x、(sinx)'=cosx、(cosx)'=-sinx。

导数，也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

求导公式

c'=0(c为常数）

(x^a)'=ax^(a-1),a为常数且a≠0

(a^x)'=a^xlna

(e^x)'=e^x

(logax)'=1/(xlna),a>0且a≠1

(lnx)'=1/x

(sinx)'=cosx

(cosx)'=-sinx

(tanx)'=(secx)^2

(secx)'=secxtanx

(cotx)'=-(cscx)^2

(cscx)'=-csxcotx

(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

(arccosx)'=-1/√(1-x^2)

(arctanx)'=1/(1+x^2)

(arccotx)'=-1/(1+x^2) (shx)'=chx

(chx)'=shx

（uv)'=uv'+u'v

(u+v)'=u'+v'

(u/)'=(u'v-uv')/^2

导数的基本公式与运算法则

导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在其中一点附近的变化率。在计算导数时，有一些基本公式和运算法则可以帮助我们简化计算过程。

一、基本公式

1.常数函数的导数公式

对于常数函数f(x)=C，其中C是一个常数，其导数为f'(x)=0。

这是因为常数函数在任何点处的斜率都为0，所以其导数为0。

2.幂函数的导数公式

对于幂函数f(x) = x^n，其中n是一个实数，其导数为f'(x) =

nx^(n-1)。

这个公式可以通过使用极限定义来证明。

3.指数函数的导数公式

对于指数函数f(x) = a^x，其中a是一个正实数且a≠1，其导数为f'(x) = ln(a) * a^x。

这个公式可以通过使用极限定义和指数函数的性质来证明。

4.对数函数的导数公式

对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a是一个正实数且a≠1，其导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

这个公式可以通过使用极限定义和对数函数的性质来证明。

5.三角函数的导数公式

对于三角函数sin(x)，cos(x)，tan(x)，cot(x)，sec(x)，csc(x)以及它们的反函数，它们的导数公式如下：

sin'(x) = cos(x)

cos'(x) = -sin(x)

tan'(x) = sec^2(x)

cot'(x) = -csc^2(x)

sec'(x) = sec(x) * tan(x)

csc'(x) = -csc(x) * cot(x)

这些公式可以通过使用极限定义和三角函数的性质来证明。

二、运算法则

函数的导数公式的推导过程

1.函数的导数定义：

设函数y=f(x)，当自变量x在其中一点a处有一个增量Δx时，对应的函数值的增量Δy=f(a+Δx)-f(a)。如果Δx趋近于0，那么当Δx 足够小时，Δy与Δx之比的极限存在，称为函数f(x)在x=a处的导数，记作f'(a)或dy/dx，_(x=a)。即：

f'(a) = lim(Δx->0) [f(a+Δx)-f(a)]/Δx

2.使用函数的导数定义，可以推导出几个基本的导数公式：

(1)若y=c（常数），则f'(x)=0，即常数的导数为0；

(2) 若y=x^n（n为正整数），则f'(x)=nx^(n-1)，即幂函数导数公式；

(3)若y=e^x（自然对数e的x次幂），则f'(x)=e^x，即指数函数导数公式；

(4) 若y=ln(x)（以自然对数为底的对数函数），则f'(x)=1/x，即对数函数导数公式；

(5) 若y=sin(x)，则f'(x)=cos(x)，即正弦函数导数公式；

(6) 若y=cos(x)，则f'(x)=-sin(x)，即余弦函数导数公式；

(7) 若y=tan(x)，则f'(x)=sec^2(x)，即正切函数导数公式。

3.求和、差、积、商的导数公式：

(1)幂函数求和差的导数公式：

若y=u+v，则f'(x)=u'(x)+v'(x)；

若y=u-v，则f'(x)=u'(x)-v'(x)。

(2)幂函数乘积的导数公式：

若y=u*v，则f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)。

(3)幂函数商的导数公式：

若y=u/v，则f'(x)=[u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x)]/v^2(x)。

导数的公式及证明

导数公式及证明这里将列举五类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）：基本导数公式 1.常函数（即常数）y=c(c为常数) y'=0 2.幂函数y=x^n,y'=nx^(n-1)(n∈Q*) 熟记1/X的导数 3．指数函数(1)y=a^x,y'=a^xlna ；(2)熟记y=e^x y'=e^x唯一一个导函数为本身的函数 4．对数函数(1)y=logaX,y'=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0) ；熟记y=lnx,y'=1/x 5．正弦函数y=(sinx ）y'=cosx 6．余弦函数y=（cosx） y'=-sinx 7．正切函数y=(tanx） y'=1/(cosx)^2 8．余切函数y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2 9．反正弦函数y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2 10．反余弦函数y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2 11．反正切函数y=（arctanx） y'=1/(1+x^2) 12．反余切函数y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2) 为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：常为零，幂降次，对导数（e为底时直接导数，a为底时乘以lna），指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到： 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)‘f'[g(x)]中g(x）看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量’ 2．y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2 3．原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)的反函数是x=g(y），则有y'=1/x' 证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。用导数的定义做也是一样的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0。 2．这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况，只能证其为整数Q。主要应用导数定义与N次方差公式。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。 3．y=a^x, Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1) Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx 如果直接令Δx→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β)。所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 显然，当Δx→0时，β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。把这个结果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna。可以知道，当a=e时有y=e^x y'=e^x。 4．y=logax Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x 因为当Δx→0时，Δx/x趋向于0而x/Δx趋向于∞，所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)=logae,所以有 limΔx→0Δy/Δx=log

常用函数导数公式大全

导数是微积分中的重要基础概念，用于描述函数在某一点处的变化率。常用函数的导数公式如下:

1. 常数函数的导数为零。

2. x 的幂函数的导数:y" = yx(x-1)。

3. 指数函数的导数:y" = eax。

4. 对数函数的导数:y" = loga(ex)。

5. 三角函数的导数：

- 正弦函数的导数:y" = cosx。

- 余弦函数的导数:y" = -sinx。

- 正切函数的导数:y" = tanx。

- 余切函数的导数:y" = cotx。

6. 反三角函数的导数：

- 反正弦函数的导数:y" = -cosx。

- 反余弦函数的导数:y" = sinx。

- 反正切函数的导数:y" = -tanx。

- 反余切函数的导数:y" = cotx。

7. 双曲函数的导数:y" = -(abx^2 + 2acy + cy^2)。

8. 反双曲函数的导数:y" = ab(bx^2 - 2acy + cy^2) + 2abcdy。

9. 幂函数的导数:y" = yx^(x-1)。

10. 递归函数的导数:y" = f(x, y) - f(x-1, y)。

这些导数公式只是部分常用函数的导数，还有许多其他函数的导

数公式。在实际应用中，需要根据具体情况选择适合的函数，并计算出其导数。

导数公式的证明(最全版)

导数的定义：f'(x)=lim Δy/Δx

Δx→0（下面就不再标明Δx→0了）

用定义求导数公式

（1）f(x)=x^n

证法一：（n为自然数）

f'(x)

=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx

=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]

=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)

=nx^(n-1)

证法二：（n为任意实数）

f(x)=x^n

lnf(x)=nlnx

(lnf(x))'=(nlnx)'

f'(x)/f(x)=n/x

f'(x)=n/x*f(x)

f'(x)=n/x*x^n

f'(x)=nx^(n-1)

（2）f(x)=sinx

f'(x)

=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx

=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx

=lim cosxsinΔx/Δx

=cosx

（3）f(x)=cosx

f'(x)

=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx

=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx

=lim -sinxsinΔx/Δx

=-sinx

（4）f(x)=a^x