概率论与数理统计3-5某些常用分布的数学期望与方差
常见分布的数学期望与方差
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政
(1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设
邮传部 邮传正式脱离海关。
，
(2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国邮联大会 。
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 办电报的开端。 (2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变 化。 3．交通通讯变化的影响
(2)1924年国民党“一大”召开，标志着第 一
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应 时 代潮流 图说历史 主旨句归纳 (1)20世纪初，孙中山提出“民族、民权、 民生”三民主义，成为以后辛亥革命 的
指导思想。 (2)三民主义没有明确提出反帝要求，也 没 有提出废除封建土地制度，是一个 不彻 底的资产阶级革命纲领。
2. 右图是1909年《民呼日报》上登载的
一幅漫画，其要表达的主题是( A．帝国主义掠夺中国铁路权益 B．西方国家学习中国文化 C．西方列强掀起瓜分中国狂潮 )
D．西方八国组成联军侵略中国
解析：从图片中可以了解到各国举的灯笼是火车形状， 20世纪初的这一幅漫画正反映了帝国主义掠夺中国铁路 权益。B项说法错误，C项不能反映漫画的主题，D项时 间上不一致。 答案：A
报先后发明。
(3)近代以来，交通、通讯工具的进步，推 动了经济与社会的发展。
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应 时 代潮流 图说历史 主旨句归纳 (1)1911年，革命党人发动武昌起义，辛亥
革命
爆发，随后建立了中华民国，颁布了《中 华
民国临时约法》；辛亥革命是中国近代化
常用分布的数学期望及方差
方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。
8个常见分布期望和方差
8个常见分布期望和方差概率分布的期望和方差为了理解和预测复杂的概率分布，其中最重要的两个因素是期望和方差。
概率分布的期望是由可能的结果的各种频率的平均值。
它是一个数字，可以确定概率变量的未来值的变化，用来表明对分布结果的期望：方差是描述随机变量变化程度的数字，它表示数据离期望值多大程度。
期望和方差是描述统计定律的基本量，它们是用于理解和预测随机变量的行为的最重要的两个概念。
此外，方差也是可以利用的重要的统计概念，用来表明总体变化的大小，以及在给定范围内期望出现变化的可能性。
尽管，有很多不同的概率分布存在，但是在概率领域，最常用的概率分布可以分为三类：正态分布，二项分布和卡方分布。
下文将分别介绍这三类分布的期望和方差。
正态分布是指概率分布中，观测值的分布曲线呈现出钟形状，中心对称型的曲线。
正态分布的期望可以表示为：E（x）=μ，即随机变量的期望值就是均值。
正态分布的方差可以表示为：V（x）=σ2，其中σ2是样本数据的方差，表示数据的变化程度。
二项分布研究的是独立重复试验，其中均有概率p成功，概率q失败，这里p+q=1。
对二项分布，其期望值E(X)=np，即期望值取决于p值和重复次数n；其中变异系数V(x)=npq，表示数据变异的程度。
卡方分布也被称为卡方正态或卡方分位数分布，它描述的是数据来源于独立正态分布的累积分布，通常用于统计检验中的卡方检验。
对卡方分布，其期望值E(X)=n；变异系数V(x)=2n,表示数据变异的程度。
总的来说，概率分布的期望和方差是理解和预测复杂概率分布的基础，它们提供了一种可以用来确定观测值的有效值并预测观测结果的方法。
通过期望和方差，我们可以很容易地推断三类常见分布的理论值，进一步推断复杂概率分布的变化趋势，从而帮助更好地。
【精品】概率论与数理统计PPT课件第四章 数学期望和方差
8
9
10
P
0.1 0.3 0.6
Y
8
9
10
P
0.2 0.5 0.3
试问哪一个人的射击水平较高？ 9
例1（续）
甲、乙的平均环数可写为
EX 80.1 90.3 100.6 9.5 EY 80.2 90.5 100.3 9.1
10
例2.对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产 品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n件仍未发现 废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，抽 查到废品的概率是 p，试求平均需抽查的件数。
6
(3)泊松分布 X的所有可能取值为0,1,2,…,且
7
(4)几何分布 X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= (1-p)k-1 p, k= 1,2,….
由于
这可以由等式
两边同时对x求导数得到。
8
例1：
甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： X：甲击中的环数； Y：乙击中的环数；
X
p)nm
29
注意到二项分布B(n , p)的数学期望,就有 于是
注: 最后一步用了泊松分布数学期望的结果.
30
例8: 设X ~ U[0,], Y =sinX,求E(Y)。
解: X 的概率密度为 所以
31
例9 设二维随机变量(X ,Y)的密度函数为 求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(XY), E(Y / X) 解:
36
37
最终， 显然，y = 3500 时，E (Y )最大，
E(Y)max =8250万元.
38
例11.假设由自动线加工的某种零件的内径 X (mm)~
N ( ,1). 已知销售每个零件的利润T (元)与销售零件
六个常用分布的数学期望和方差
即
12
若随机变量X~U( a , b ),则
ab
(b a)2
E(X)
, D( X )
2
12
五.指数分布
随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度为：
f
(
x)
1
θ
e
x θ
0
x0 x0
E(X )
xf ( x)dx
x
1
e
x θ
dx
x
（ x）de θ
0
θ
0
（
x）e
x
x
e dx
X X1 X2 Xn
E( X ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ) np
D( X ) D( X1 ) D( X 2 ) D( X n ) np(1 p)
即： 若随机变量X~B( n , p ),则
E( X ) np，D( X ) np(1 p)
E[3( X 2 1)] 3E( X 2 ) 3
3{D( X ) [E( X )]2 } 3 33
例2.已知X和Y相互独立，且X在区间(1，5)上服从
均匀分布， Y ~ N (1,求9)(1, ) (X,Y)的联合概率密度;(2)
E(3X 4Y 2) , D(3X 4Y 2)
E( X ) xf ( x)dx
b
x
1
dx
a ba
1 x2 b
ba 2 a
ab 2
E( X 2 ) b x 2
1
b3 a3 dx
a 2 ab b2
a ba
3(b a)
3
D( X )
E( X 2 ) [E( X )]2
某些常用分布的数学期望与方差
H (n ,M
, N ) (n , M , N为正整数;
n N ,M N)
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
分布名称 及记号
泊松分布
P()
概率函数或概率密度
p(x) x e
x!
x 0 ,1,2, ( 0)
数学 期望
几何分布
p(x) pqx1 ,
M CnN
n1 k 0
k
CkM
Cn1k
1 N M
n1 k 0
CkM
Cn1k
1 N M
.
第二个和式等于
Cn1 N 1
,
与前面计算过程完全类似，
可知第一个和式等于
(M
1)
Cn2 N 2
:
E
(
X
2
)
M CnN
(M
1)
Cn2 N 2
Cn1 N 1
.
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ab 2
方差
(b a)2 12
指数分布
ex , x 0 ;
f (x)
e()
0 , x0
1
1
2
( 0)
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
分布名称 及记号
概率函数或概率密度
数学 期望
正态分布
f (x)
1
e , (
x )2 2 2
m1
Cnm N M
常见分布的期望和方差
罕有散布的期望和方差(0,1)N 2()Yx n t =概率与数理统计重点摘要1.正态散布的盘算：()()()X F x P X x μσ-=≤=Φ.2.随机变量函数的概率密度：X 是屈服某种散布的随机变量,求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =.（拜见P66～72）3.散布函数(,)(,)xyF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰具有以下基赋性质：⑴.是变量x,y 的非降函数;⑵.0(,)1F x y ≤≤,对于随意率性固定的x,y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=; ⑶.(,)F x y 关于x 右持续,关于y 右持续;⑷.对于随意率性的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ,有下述不等式成立：4.一个主要的散布函数：1(,)(arctan )(arctan )23x y F x y πππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π∂==∂∂++ 5.二维随机变量的边沿散布：边沿概率密度：()(,)()(,)X Y f x f x y dyf y f x y dx+∞-∞+∞-∞==⎰⎰边沿散布函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]xX yY F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv+∞-∞-∞+∞-∞-∞=+∞==+∞=⎰⎰⎰⎰二维正态散布的边沿散布为一维正态散布.6.随机变量的自力性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X,Y 互相自力.简称X 与Y 自力.7.两个自力随机变量之和的概率密度：()()()()()Z X Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰个中Z ＝X ＋Y8.两个自力正态随机变量的线性组合仍屈服正态散布,即22221212(,Z aX bY N a b a b μμσσ=+++). 9.期望的性质：……（3）.()()()E X Y E X E Y +=+;（4）.若X,Y 互相自力,则()()()E XY E X E Y =. 10.方差：22()()(())D X E X E X =-.若X,Y不相干,则()()()D X Y D X D Y +=+,不然()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++,()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+-11.协方差：(,)[(())(())]Cov X Y E X E X Y E Y =--,若X,Y 自力,则(,)0Cov X Y =,此时称：X 与Y 不相干. 12.相干系数：(,)()()XY Cov X Y X Y ρσσ==1XY ρ≤,当且仅当X 与Y 消失线性关系时1XY ρ=,且1,b>0;1,b<0XY ρ⎧=⎨-⎩ 当 当。
常见分布的期望和方差
罕睹分散的憧憬战圆好之阳早格格创做(0,1)N 2()Yx n t =概率取数理统计沉面纲要1、正态分散的预计：()()()X F x P X x μσ-=≤=Φ.2、随机变量函数的概率稀度：X是遵循某种分散的随机变量，供()Y f X =的概率稀度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =.（拜睹P66～72）3、分散函数(,)(,)xyF x y f u v dudv -∞-∞=⎰⎰具备以下基赋本量：⑴、是变量x ，y 的非落函数；⑵、0(,)1F x y ≤≤，对付于任性牢固的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 闭于x 左连绝，闭于y 左连绝；⑷、对付于任性的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述没有等式创造：4、一个要害的分散函数：1(,)(arctan )(arctan )23x y F x y πππ2=++22的概率稀度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π∂==∂∂++ 5、二维随机变量的边沿分散：边沿概率稀度：()(,)()(,)X Y f x f x y dyf y f x y dx+∞-∞+∞-∞==⎰⎰边沿分散函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]xX yY F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv+∞-∞-∞+∞-∞-∞=+∞==+∞=⎰⎰⎰⎰二维正态分散的边沿分散为一维正态分散.6、随机变量的独力性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独力.简称X 取Y 独力.7、二个独力随机变量之战的概率稀度：()()()()()Z X Y Y X f z f x f z x dx f y f z y dy +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰其中Z ＝X ＋Y8、二个独力正态随机变量的线性推拢仍遵循正态分散，即22221212(,Z aX bYN a b a b μμσσ=+++).9、憧憬的本量：……（3）、()()()E X Y E X E Y +=+；（4）、若X ，Y 相互独力，则()()()E XY E X E Y =. 10、圆好：22()()(())D X E X E X =-. 若X ，Y 没有相闭，则()()()D X Y D X D Y +=+，可则()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++，()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+-11、协圆好：(,)[(())(())]Cov X Y E X E X Y E Y =--，若X ，Y 独力，则(,)0Cov X Y =，此时称：X 取Y 没有相闭. 12、相闭系数：(,)()()XYCov X Y X Y ρσσ==1XY ρ≤，当且仅当X 取Y 存留线性闭系时1XYρ=，且1,b>0;1,b<0XYρ⎧=⎨-⎩ 当 当。
概率论与数理统计第四章
)
(
)
(
)
,
(
Y
D
X
Dபைடு நூலகம்
Y
X
Cov
xy
=
r
=4[E(WV)]2-4E(W2)×E(V2)≤0
01
得到[E(WV)]2≤E(W2)×E(V2). →(8)式得到证明.
02
设W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么
03
其判别式
由(9)式知, |ρ xy|=1 等价于 [E(WV)]2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= E[tW-V)2] =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 E[X-E(X)]=E(x)-E(X) =0, E[Y-E(Y)]=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W)-E(V)=tE[X-E(X)]-E[Y-E(Y)]=0 所以 D(tW-V)=E{[tW-V-E(tW-V)]2}=E[(tW-V)2]=0 (11) 由于数学期望为0,方差也为0,即(11)式成立的充分必要条件是 P{tW-V=0}=1
随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量 x及它所取的数和相应频率的乘积和.
=
(1)
)
2
3
(
)
(
-
=
ò
µ
µ
-
dx
x
x
E
j
x
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
例2 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量 的数学期望
泊松分布的数学期望和方差都等于参数λ.
其他
02
f(x)=
01
（4-6）
03
（4）指数分布
六个常用分布的数学期望和方差
创卫人人有责
本文是关于初二叙事作文的创卫人人有责，感谢您的阅读！
创建文明城市不是高大上，创建文明城市就是要从点滴小事做起，聚“点滴小事”成“文明大事”。
3月15日下午，我们小区以“创建国家卫生县城、人人有责人人受益”为主题的创卫公益活动隆重举行。
创建国家卫生城市，我们一家都去当了志愿者。
3月15日上午8：30---12:00、下午13:30---18:00，我们一家与40名志愿者叔叔阿姨，在社工部主任的带领下，协助交警维护交通秩序、摆放整齐非机动车、劝阻行人抽烟、捡垃圾烟头、清除野广告、发放宣传创卫知识手册，用实际行动支持创卫工作。
创建文明城市关键是要从点滴小事做起。
事事文明了，人人文明了，文明城市创建才能成功。
为迎接创建卫生城市工作，进一步营造人人支持创建、个个参与创建的浓厚氛围，3月16日，我们市里消防支队组织志愿者开展道路卫生“大扫除”活动。
上午，志愿者们走出营区，清理道路两边草坪上的垃圾并对路边草坪进行浇水，清理草坪垃圾，志愿者们积极认真，哪怕是一片纸屑，一个烟头，一块塑料，都绝不放过，不知不觉一个小时过去了，道路旁边的草坪也变得清洁、干净，过路行人赞不绝口。
表现出了崭新的风貌，战士们深刻体会到“精神文明建设”不是一句口号，而是与自己的工作息息相关。
创建卫生城市不是过了这几天检查，而是为了卫生文明深入人心，从每时每刻做起，从我们身边做起，从小事做起………
本文来自于互联网，仅供参考和阅读。
常见分布的数学期望和方差
e x , x 0
f (x) 0, x0
E( X )
xf ( x)dx
x ex dx
0
x de x
0
xex
0
exdx
0
1
ex
0
1
.
14
2. 指数分布 X ~ E() .
E( X )
1
，D( X )
1
2
E( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 ex dx
一、常见离散型分布的数学期望和方差
1. 0-1分布 X 0 1
P 1 p p
E( X ) 0(1 p) 1 p p . E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p ， D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p) .
E( X ) p D( X ) p(1 p)
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e ， ( x )2 2 2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
)
，Y
~
N
(2ຫໍສະໝຸດ ,2 2)
，且X ,Y
相互
独立，则 E( XY )
， D( XY )
.
解 E( XY ) 12 ,
D( XY ) E[( XY )2 ] [E( XY )]2
[D( X ) (EX )2 ][D(Y ) (EY )2 ] (12 )2
D. D(2 X 1) 4np(1 p)
解选
例2 设(D随).机变量X ,Y 相互独立且分布相同，则 X Y
与 2X 的关系是则( ).
概率论与统计学中的期望与方差
概率论与统计学中的期望与方差概率论与统计学是数学中的两个重要分支，其中期望与方差是概率论与统计学中两个常用的统计指标。
本文将探讨期望与方差的定义、性质及其在实际问题中的应用。
一、期望在概率论中，期望是一个随机变量的平均值，也被称为随机变量的长期平均值。
对于离散型随机变量X，其期望的定义如下：E(X) = ΣxP(X=x)式中，x为随机变量可能取的值，P(X=x)为X取值为x的概率。
期望可以理解为将所有可能取值乘以对应的概率后相加得到的结果。
将期望定义推广到连续型随机变量时，需要使用积分来进行计算。
期望具有线性性质，即对于任意常数a和b，有E(aX + b) = aE(X) + b。
这一性质使得期望在实际应用中具有很大的灵活性。
例如，在金融领域中，可以使用期望来计算股票投资的预期收益。
二、方差方差是对随机变量离散程度的度量，用于衡量随机变量与期望之间的偏离程度。
对于离散型随机变量X，其方差的定义如下：Var(X) = Σ(x - E(X))^2P(X=x)式中，x为随机变量可能取的值，P(X=x)为X取值为x的概率。
方差可以理解为将每个值与期望之差的平方乘以对应的概率后相加得到的结果。
方差的计算方法也可以推广到连续型随机变量。
方差具有非负性质，即Var(X) ≥ 0，并且只有当X为确定值时，方差等于零。
方差越大，随机变量的取值就越不确定。
三、期望与方差的应用期望与方差在概率论与统计学中有着广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 投资决策：在金融领域中，期望被广泛用于计算证券的预期收益。
投资者可以根据期望的大小来决定是否进行投资。
而方差则可以用来衡量投资风险的大小，决策者可以通过比较不同投资组合的方差来选择合适的投资方案。
2. 生产管理：在生产过程中，期望与方差可以用来评估产品的质量稳定性。
期望可以用来衡量产品的平均质量水平，而方差则可以用来衡量产品质量的波动程度。
生产管理者可以通过降低方差来提高产品的一致性。
大学概率论某些常用分布的数学期望与方差 (1)
vk ( X ) E( X k ).
若 X为离散随机变量， 则 vk ( X ) xik p(xi ).
i
若 X为连续随机变量，
则 vk ( X )
xk f (x)dx.
特别，一阶原点矩就是数学期望：v1( X ) E( X ).
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i
若 X 为连续随机变量，则
k (X )
[x
E(X
)]k
f
(x)dx.
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§3.6 原点矩与中心矩
一阶中心矩恒等于零： 1( X ) 0. 二阶中心矩就是方差： 2 ( X ) D( X ).
概率论与数理统计教程（第四版）
由组合数的性质可知
n1
n1
C C k
n1k
M 1 N M
C C C , k
( n1)k
n1
M 1 ( N 1)(M 1) N 1
k 0
k 0
所以有
E(X
)
M
Cn1 N 1
CnN
nM N
.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
均匀分布
设随机变量 X 在区间 a ,b 上服从均匀分布，则
E( X )
b x dx aba
a b. 2
均匀分布的数学期望正是随机变量分布区间的中点值.
常见分布的期望和方差.pdf
x +
FX (x) = F(x, +) =
边缘分布函数：
[
− −
f (u, y)dy]du
y +
FY ( y) = F(+, y) =
[
− −
f (x, v)dx]dv
二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
6、随机变量的独立性：若 F(x, y) = FX (x)FY ( y) 则称随机变量 X，Y 相互独立。简称 X 与 Y 独立。
9、期望的性质：……（3）、 E(X +Y) = E(X ) + E(Y) ；（4）、若 X，Y 相互独立，则 E(XY) = E(X )E(Y) 。
10、方差： D(X ) = E(X 2 ) − (E( X ))2 。 若 X，Y 不相关，则 D(X +Y) = D(X ) + D(Y) ，否则 D(X +Y) = D(X ) + D(Y) + 2Cov(X ,Y) ，
分布类型
0-1 分布 B（1，p） 二项分布 B（n，p）
泊松分布 P(λ)
均匀分布 U（ a,b ） 正态分布 N（ , 2 ）
指数分布 E（λ）
2 分布， 2 (n)
t 分布， t(n)
常见分布的期望和方差
概率密度函数
pi = P X = i = Cni piqn−i (q =1− p),(i =1, 2,..., n)
⑵、 0 F(x, y) 1，对于任意固定的 x，y 有： F(−, y) = F(x, −) = 0 ；
⑶、 F(x, y) 关于 x 右连续，关于 y 右连续；
⑷、对于任意的 (x1, y1), (x2, y2 ), x1 x2, y1 y2 ，有下述不等式成立：
概率论各种分布的期望和方差
概率论各种分布的期望和方差
概率论是描述和研究不确定性现象的基础学科，而概率分布是统计中最基本的概念，其中包括期望和方差。
期望是描述抽样变量数据的一个重要的描述统计量，它反映了该变量的总体分布特征。
方差，也称样本方差，是围绕其期望计算的一个重要的统计量，它能够揭示该抽样变量的变异程度。
对常见的概率分布来说，它们的期望和方差都是可以计算的。
针对均匀分布，它具有特定的概率赋值范围，同时，数学期望采用其平均值作为衡量标准即可计算出，而方差则是概率变量的期望值在两个方向上偏离之和的1/2倍。
此外，对于二项分布来说，它是表示在抽样次数已知且抽样几率未发生变化的情况下，典型抽样变量发生成功事件的次数分布，而它的期望和方差都是根据其抽样概率和抽样次数计算出的，期望是抽样概率乘以抽样次数，而方差则是期望乘以其补数，再乘以抽样次数。
此外，高斯分布是最常用、有着重要作用的概率分布之一，它具有广泛的应用场景，例如在定量分析中，用来进行参数估计或数据拟合，而它的期望和方差的计算也是基于其均值和标准差的，期望就是均值，而方差则是标准差的平方。
此外，指数分布也是一种常用的概率分布，它会用来描述随机变量的行为，主要是其它类型的连续分布之一，其期望和方差也是可以计算的，其期望直接取常数α，而方差是取α²。
综上所述，期望和方差都是无偏抽样变量分析中重要的统计量，它们是针对常见概率分布可以实行计算的重要概念，可以帮助我们更好地理解数据的分布情况，从而使其可以更加准确地进行应用和分析。
概率论中的期望与方差
概率论中的期望与方差概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律和性质。
在概率论中，期望和方差是两个重要的概念，它们用来描述随机变量的特征和分布。
本文将详细介绍概率论中的期望和方差，并探讨其应用。
一、期望期望是概率论中最基本的概念之一，用来描述随机变量的平均值。
对于离散型随机变量，期望的计算公式如下：E(X) = Σ(x * P(X=x))其中，E(X)表示随机变量X的期望，x表示随机变量X可能取到的值，P(X=x)表示随机变量X取到值x的概率。
对于连续型随机变量，期望的计算公式如下：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，E(X)表示随机变量X的期望，x表示随机变量X的取值范围，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
期望可以理解为随机变量在一次试验中的平均值，它可以用来描述随机变量的集中趋势。
例如，假设有一个骰子，它的六个面分别标有1到6的数字。
每个数字出现的概率相同，为1/6。
那么这个骰子的期望就是(1+2+3+4+5+6)/6=3.5。
这意味着在大量的投掷中，骰子的平均值趋近于3.5。
二、方差方差是概率论中用来描述随机变量离散程度的指标。
方差的计算公式如下：Var(X) = E((X-E(X))^2)其中，Var(X)表示随机变量X的方差，E(X)表示随机变量X的期望。
方差可以理解为随机变量与其期望之间的差异程度，它可以用来度量随机变量的波动性。
方差越大，表示随机变量的取值在期望附近波动的程度越大；方差越小，表示随机变量的取值相对稳定。
方差的平方根称为标准差，它是方差的一种常用度量方式。
标准差可以帮助我们判断数据的分散程度，通常来说，数据的标准差越大，表示数据的波动性越大。
三、应用期望和方差在概率论中有广泛的应用。
它们不仅可以用来描述随机变量的特征，还可以用来解决实际问题。
1. 随机变量的期望可以用来计算投资的预期回报。
假设某个投资项目有两个可能的结果，分别为正收益和负收益，每个结果发生的概率已知。
概率分布期望方差汇总
概率分布期望方差汇总概率分布是描述随机变量取值的概率的数学模型。
期望是对随机变量取值的平均值的度量，方差则是衡量随机变量取值分散程度的度量。
在概率论和统计学中，期望和方差是两个重要的概念，对于理解和应用概率分布非常关键。
一、期望期望是对随机变量取值的平均值的度量，也可以理解为随机变量的中心位置。
对于离散随机变量X，其期望计算公式为E(X) = Σ x*p(x)，即随机变量各取值乘以其对应的概率之和。
对于连续随机变量X，其期望计算公式为E(X) = ∫ x*f(x) dx，其中f(x)是X的概率密度函数。
二、方差方差是对随机变量取值分散程度的度量。
方差越大，表示随机变量的取值更分散；方差越小，表示随机变量的取值更集中。
方差计算公式为Var(X) = E[(X-E(X))^2]，即随机变量取值与其期望之差的平方的期望。
方差的平方根称为标准差。
三、常见概率分布的期望和方差1.二项分布二项分布是最常见的离散概率分布之一，描述在n次独立重复试验中成功次数的分布。
设X为成功次数，则X服从参数为n和p的二项分布记作X~B(n,p)。
期望：E(X) = np方差：Var(X) = np(1-p)2.泊松分布泊松分布描述单位时间或单位空间内事件发生的次数的概率。
设X为单位时间或单位空间内事件发生的次数，则X服从参数为λ的泊松分布记作X~P(λ)。
期望：E(X)=λ方差：Var(X) = λ3.均匀分布均匀分布是最简单的连续概率分布之一，描述在一个区间上随机取值的概率。
设X在[a,b]区间上服从均匀分布，则X服从均匀分布记作X~U(a,b)。
期望：E(X)=(a+b)/2方差：Var(X) = (b-a)^2/124.正态分布正态分布是最常见的连续概率分布之一，其概率密度函数呈钟型曲线。
设X服从参数为μ和σ^2的正态分布记作X~N(μ,σ^2)。
期望：E(X)=μ方差：Var(X) = σ^25.指数分布指数分布描述连续随机事件发生的时间间隔的概率。
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p q m1 nm.
m1
设k m 1, 得
n1
E( X ) np Ckn1 pkqn1k np(q p)n1 np .
k 0
二项分布的数学期望等于参数 n 与 p的乘积.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
为了计算方差D( X ) , 我们先计算E( X 2) :
结束
§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
由此得
E
(
X
2
)
M CnN
(M
1)
Cn2 N 2
Cn1 N 1
M
n(n 1)(M 1) N (N 1)
n N
所以
nM (nM n M N ) , N (N 1)
D(X ) nM (nM n M N ) (nM )2
N (N 1)
N
m1 (m 1)!
设 k m 1, 得
E( X ) e k e e . k0 k!
泊松分布的数学期望就是参数 .
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
为了计算 D( X ) , 我们先计算 E( X 2) .
E( X 2 ) m2 m e e m m1 ,
m0 m!
m1 (m 1)!
设 k m 1, 得
E(X
2)
e
(k
k 0
1) k
k!
e
k 1
k1
(k 1)!
k 0
k
k!
e ( e e ) ( 1).
所以
D( X ) ( 1) 2 .
泊松分布的方差等于数学期望.
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D(
X
)
nM
(
N N
M 2(N
)( N 1)
n)
.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
二项分布
设随机变量 X 服从二项分布B(n , p) ,有
n
n
E( X ) m Cmn pmqnm m Cmn pmqnm
m0
m1
n
np
Cm1 n1
.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
与前面的过程完全类似，可知上式括弧中第一个和
式等于(n 1) p ; 而第二个和式等于 ( p q)n1 1;
由此得 所以
E(X 2) np(n 1) p 1 np(np q),
D( X ) np(np q) (np)2 npq.
( n 1)k
M 1 ( N 1)(M 1)
n1 N 1
k 0
k 0
所以有
E(X
)
M
Cn1 N 1
CnN
nM N
.
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
为了计算方差D( X ) , 我们先计算 E( X 2) :
E ( X
2)
1 CnN
n
m2
第三章 随机变量的数字特征
§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
超几何分布
设随机变量 X ~ H (n, M , N) ,则
E(X )
1 CnN
n
m
CmM
Cnm N M
m0
1 CnN
n
m CmM
m1
n
n
E( X 2 ) m2 Cmn pmqnm m2 Cmn pmqnm
m0
m1
n
பைடு நூலகம்p
m
Cm1 n1
p m1q nm .
m1
设 k m 1, 得
n1
E( X 2 ) np (k 1) Ckn1 pkqn1k
k 0
np
n1 k 0
k
Ckn1
pk qn1k
n1
Ckn1
k 0
p
k
q
n1k
M CnN
n1 k 0
k
CkM
Cn1k
1 N M
n1 k 0
CkM
Cn1k
1 N M
.
第二个和式等于
Cn1 N 1
,
与前面计算过程完全类似，
可知第一个和式等于
(M
1)
Cn2 N 2
:
E
(
X
2
)
M CnN
(M
1)
Cn2 N 2
Cn1 N 1
.
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n
X Xi .
i1
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
Xi
0
P(Xi x) q
1
( p q 1)
p
Xi 的数学期望和方差分别是
E( Xi ) p, D( Xi ) pq, i 1 ,2 , ,n.
由此可得
n
n
X 的期望： E( X ) E( Xi ) E( Xi ) np,
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
二项分布的数学期望和方差还可以用下述方法计算：
如果事件 A 在每次试验中发生的概率为 p , 则 A在 n 次独立试验中发生的次数 X 服从二项分布 B(n , p) .
现在设 Xi 表示事件A 在第 i 次试验中发生的次数， (i 1,2 ,, n) , 则 X1 , X 2 , , X n 相互独立，服从相同的 “0 1”分布，且有
Cnm N M
M CnN
n
Cm1 M 1
Cnm N M
.
m1
设k m 1, 得
E(X )
M CnN
n1
CkM
1
Cn1k N M
.
k 0
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
由组合数的性质可知
n1
n1
C C k
n1k
M 1 N M
C , C C k
§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
均匀分布
设随机变量 X 在区间 a ,b 上服从均匀分布，则
E(X )
b x dx aba
a b. 2
均匀分布的数学期望正是随机变量分布区间的中点值.
i1
i1
n
n
X 的方差: D( X ) D( Xi ) D( Xi ) npq.
i1
i1
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
泊松分布
设随机变量X服从泊松分布P() , 我们有
E( X ) m m e e m1 ,
m0 m!
m0
CmM
Cnm N M
1 CnN
n
m2 CmM
m1
Cnm N M
M CnN
n
m
Cm1 M 1
Cnm N M
,
m1
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§3.5 某些常用分布的数学期望与方差
设 k m 1, 得
E(X 2)
M CnN
n1
(k
k 0
1)
CkM
Cn1k
1 N M