实变函数论课后答案第三章2

实变函数论课后答案第三章2
第三章第二节习题
1. 举例说明两个不可测集合的并，交，差即可以是不可测集合也可以是可测集.
解：先回忆56P 知：()0,1x ∀∈.令
{}
;01,,x x y R x R R x y ξξξ=<<-=∅≠ 为有理数则若
,x x R ∀是无穷点集，()()
0,10,1x x R ∈= . 在每一个x R 中取出一点x x Z R ∈，令
{};x x S Z x R =∈
. 则我们从书上的论证已知S 是不可测集，()0,1S ∈ .
因此()0,1S - 也不可测.（否则()0,1可测且()()0,10,1S S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
应可测，得矛盾）
但S 与()0,1S - 这两个不可测集的并()0,1却是可测的.
S S S = 不可测，10S S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
不可测. 注意：E 可测，{},;a E a x a x E ⇔∀+=+∈可测.
,3S S + 这两个不可测集的交为3S S ⎛⎫∅=+ ⎪⎝⎭
. S S S = 不可测，S S -=∅ 可测，2S S S ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
不可测. 如同56P 将()1,1-中全体有理数排成序列12,,n γγγ
E 可测，{},;a E a x a x E ⇔∀+=+∈可测.
证明：若,n a R E a ∀∈+可测，则取0a E =⇒可测
为证反面的结果，须证
（1）
()()
,,n n
T E R a R T E a T a E a ∀⊂∈+=++
（2）()c c E a E a +=+ 证明：（1）,y T E a z T a y z a ∀∈+⇒∃∈∈+ ,y E a y T a ∴∈+∈+
()()y T a E a ∴∈++
反过来，()(),,y T a E a y T E a z T w E ∀∈++∃∈+⇒∃∈∈ 使,y z a y w a ∈+=+，w z E T y E T a ∴=∈⇒=+ .
（2）.c c y E a y a E ∀∈+⇒-=
(),c y a E y a E
y a E ∴-∉∴∉+∴∈+
反过来，(),,c c y a E y a E y a E y a E ∀∈+∉+⇒-∉∴-∈.
c y E a ⇒∈+.
若E 可测，则n T R ∀⊂有
()()()c m T m T E m T E =+
由m 的平移不变性
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()
c c c c m T m T a m T a E T a E m T a E a m T a E a m T a a E a m T a a E a m T E a m T E a =-=-+-=-++-+=-+++-++=+++ 故E a +可测.
2. 试在二维空间2R 中作出一不可测集合来. 解：设,p q A R B R ⊂⊂为一不可测集，则p q A B R +⨯⊂必不可测
3. 举例说明定理6的结果对任m T *=∞的T 可以不成立. 解：令[][]1,,,n A n T R =∞==-∞∞，则121n n A A A A +⊃⊃⊃
11,0n n n n E A m A ∞
∞==⎛⎫==∅= ⎪⎝⎭ ()()()0m T E m E m ***==∅=
而()()lim lim n n n n m T A m A **→∞→∞
==∞ 6Th m T *∴<∞中是必需的.
4. 证明对任意可测集合A 和B 都有 ()()()()m A B m A B m A m B +=+ （*） 证明：若()m A B =∞ ，则,A B A B ⊂ ()()()0,,m A B m A m B ⇒==∞=∞
()()()()m A B m A B m A m B ∴∞=+=++∞ 成立. 若()m A B <∞ 则（*）等价于
()()()()m A B m A m B m A B =+- 注意到()(),A B A B A A B A =--=∅
且,A B 可测B A ⇒-可测
()()()m A B m A m B A =+-
A 可测
()()()()()c m B m A B m A B m A B m B A =+=+- ()()()(),m A B m B A m B m A B ∴<∞-=- ()()()()m A B m A m B m A B ∴=+-
5. 证明：对任意n E R ，及任意0ε>都有n R 中的开集G ，使G E >且 m G m E ε**≤+
证明：{}()10,i i I i
I ε∞=∀>∃为开区间
使1i i E I ∞=⊂ 1i i i I
m E ε∞*=≤+∑
令1
i i G I ∞== ，则G 为开集，且 ()111i i i i i i m G m I m I I m E ε∞∞
∞****===⎛⎫=≤=≤+ ⎪⎝⎭∑∑ 6. 证明对于任意n R 中的可测集合序列{}1k k E ∞
=，都有
()
()liminf liminf k k k k m E m E →∞→∞≤ 若存在0k ，使0k k k m E ∞=⎛⎫<∞ ⎪⎝⎭
，则还有 ()
()limsup limsup k k k k m E m E →∞→∞≥ 证明：由9P 定理8，1lim inf k i k m i m E E ∞∞→∞=== ，1lim sup k i k m i m E E ∞∞
→∞=== 故从61P 定理3，64P 定理4知lim inf ,lim sup k k k k E E →∞→∞
都是可测的. 令12,i m m i m E S S S S ∞
==⊂⊂⊂ 则，
()()()()()111lim inf lim lim lim inf supinf lim inf k i m k m i m m m i i m m m i m
i m i k i m k m m E m E m S m S m E m E m E m E ∞∞∞→∞===∞→∞→∞→∞≥=≥→∞
≥⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎫==≤ ⎪⎝⎭== （()(),inf i j i m i j j m
i m m E m E j m m E m E ∞=∞≥=⎛⎫≤∀≥ ⎪⎝⎭⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭ ） 令 m i i m K E ∞
== ，则11m K K K ⊃⊃ ，由条件 000,K K i i K K E ∞=∃= 满足()
0K m K <∞ 由65P 定理4
()()()()()()00111limsup lim lim lim lim sup lim sup limsup k i m K m k m i m m m K m m i i m m m m i m i m
k k m k i m m E m E m K m K K m K K m K m E m E m E m E ∞∞∞∞→∞====∞→∞→∞→∞→∞=≥→∞→∞
≥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎛⎫===≥= ⎪⎝⎭= 7. 设E 是n R 中的可测集，mE <∞，证明如果E 的可测子集的序列
{}
1k k E ∞=，使 ()1k
k m E ∞
=<∞∑，则()limsup 0k k m E →∞
= 证明：1lim sup k k k m k m E E ∞
∞→∞=== 令m k k m S E ∞
== ，则m S 可测（k E 可测）且()12m S S S m ⊃⊃⊃∀ ()()()110k k k k m m S m E m E m ∞
∞==⎛⎫=≤→→∞ ⎪⎝⎭∑ 从()12m S S S m ⊃⊃⊃∀ ，()1m S <∞
由65P 定理6有()
()11limsup lim 0k i m m k m m i m m m E m E m S m S ∞∞∞→∞→∞===⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .
证毕.。