各向异性弹性力学基础
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弹性力学基础知识PPT课件
应力矩阵
应变矩阵
19
20
弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置变化，质点位置 的改变称为位移（displacement）。位移可分解为x、y、z 三个坐标轴上的投影，称为位移分量。沿坐标轴正方向的 位移分量为正，反之为负。
位移的矩阵表示为 弹性体发生变形时，各质点的位移不一定相同，因此位移
也是x、y、z的函数。
• 完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性 的应力与应变关系。
• 研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。
8
1 弹性力学的基本假设
5. 小变形假设
——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下， 物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引 起的尺寸变化。
• —— 物体的弹性性质处处都是相同的。
• 工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状， 并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为 均匀材料。
• 对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料 6
1 弹性力学的基本假设 3. 各向同性假设
• ——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质， 这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。
17
z
oy x
τyz
τyx
σy
应力分量
符号规定： 图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元 体面的应力称为正应力。 正应力记为 ,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴 的方向。 平行于单元体面的应力称为切应力，用τyx 、τyz表示，其
第一下标y表示所在的平面，第二下标x、y分别表示沿
1，没有正应力，没有正应变 2，没有正应变，没有正应力 3，没有应变，没有位移 4，没有位移，没有应变
应变矩阵
19
20
弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置变化，质点位置 的改变称为位移（displacement）。位移可分解为x、y、z 三个坐标轴上的投影，称为位移分量。沿坐标轴正方向的 位移分量为正，反之为负。
位移的矩阵表示为 弹性体发生变形时，各质点的位移不一定相同，因此位移
也是x、y、z的函数。
• 完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性 的应力与应变关系。
• 研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。
8
1 弹性力学的基本假设
5. 小变形假设
——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下， 物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引 起的尺寸变化。
• —— 物体的弹性性质处处都是相同的。
• 工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状， 并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为 均匀材料。
• 对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料 6
1 弹性力学的基本假设 3. 各向同性假设
• ——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质， 这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。
17
z
oy x
τyz
τyx
σy
应力分量
符号规定： 图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元 体面的应力称为正应力。 正应力记为 ,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴 的方向。 平行于单元体面的应力称为切应力，用τyx 、τyz表示，其
第一下标y表示所在的平面，第二下标x、y分别表示沿
1，没有正应力，没有正应变 2，没有正应变，没有正应力 3，没有应变，没有位移 4，没有位移，没有应变
Ch3各向异性弹性力学基础.
可以求解了吗？
定解还需边界条件！
给定力的边界条件(3)
xl xy m xz n X ,已知 yx l y m yz n Y ,已知 l m n Z ,已知 zy z zx
给定位移的边界条件(3)
u u ,已知 v v ,已知 w w,已知
之间的关系
各向异性弹性力学问题需满足的基 本方程
• 与各向同性弹性力学一样,各向异性弹性力 学有15个未知量
3个位移分量,u,v,w 6个应变分量, x , y , z , yz , xz , yx 6个应力分量, x , y , z , yz , xz , yx
• 15个场方程 静力平衡方程（3）＋几何关系（6）＋本构方程（6）
复合材料宏观力学分析的基本假设
• 1)所研究的各向异性弹性体为均质连续固体.
• 2)线弹性范围内,服从广义虎克定律. • 3)小变形
各向异性与各向同性弹性力学的基本方程的差别
• 差别在于:本构方程
• 其它平衡方程,几何方程,协调方程,和边界条件等 则完全相同. • 即用各向异性胡克定律代替各向同性胡克定律,这 一代换将使力学计算及反映的现象十分复杂.
柔度矩阵
刚度矩阵的性质一
1 C11 C 2 21 3 C31 4 C41 5 C51 C61 6 C12 C22 C32 C42 C52 C62 C13 C23 C33 C43 C53 C63 C14 C24 C34 C44 C54 C64 C15 C25 C35 C45 C55 C65 C16 1 C26 2 C36 3 C46 4 C56 5 C66 6
各向异性弹性力学(课堂PPT)
17
有的文献中定义应力“列矢量”为
1 11
2 22
3 33
4 23
5 31
6 12
应变“列矢量”为
1 11
4 223
2 22
5 231
3 33
6 212
注意： 4 ， 5 ， 6 就是剪切角 2 3 ， 3 1 ， 1 2 。 18
于是可以把弹性本构关系写成：
i Cij j
量，L理解为弹性刚度张量；也可以理解为矩阵等式， ，
理解为应力列矢量和应变列矢量，[L]理解为弹性刚度矩
阵。L与M具有Voigt对称性，因此矩阵L与M为9列9行的
对称矩阵。
15
由于应力张量与应变张量都是对称张量。（2－2）式
中的列矢量 与 的第4行与第5行相同，第6行与第7行 相同，第8行与第9行相同。弹性刚度矩阵 L 与柔度矩阵 M
L1133 L2233 L3333 L2333 L3133 L1233
L1123 L2223 L3323 L2323 L3123 L1223
L1131 L2231 L3331 L2331 L3131 L1231
L1112
L2212
L3312 L2312
L3112
L1212
M1111
M2211
图2－1 25
斜面BCD的外法线为N，令N的方向余弦为：
则有
cos(N , x) 1
c
o
s
(
N
,
y)
m
c o s ( N , z ) n
(dF)x ldF (dF)y mdF (dF)z ndF
式中，( d F ) 、( d F ) x 、( d F ) y 、( d F ) z 依次为三角形BCD、ACD、 ABD、ABC的面积。令四面体微元的体积为dV，斜面 BCD上应力向量在坐标方向上的分量为P N x 、P N y 、P N z ，则
复合材料力学-各向异性弹性力学基础
弹性模量
复合材料的弹性模量取决于增强相和基体相的弹性模量以及它们之 间的界面结合强度。
强度和韧性
复合材料的强度和韧性取决于增强相的分布、数量和尺寸，以及它 们与基体相之间的界面结合强度。
04
复合材料的各向异性弹性力学分析
复合材料的弹性常数
弹性常数是复合材料在受到外力作用时表现出的刚 度特性，描述了复合材料的应力与应变之间的关系 。
与单一材料的应力-应变关系不 同，复合材料的应力-应变关系 通常是非线性的，因为它们由 多种材料组成，且各组分材料 的性质和排列方式可能不同。
复合材料的应力-应变关系需要 通过实验测定，因为它们的数 值取决于复合材料的微观结构 和组成。
复合材料的本构方程
本构方程是描述复合材料在受到外力作用时如何响应的数学模型，即描述 了复合材料在不同外力作用下的应力和应变的变化关系。
各向异性材料的分类
按来源分类
天然各向异性材料（如木材、 骨骼等）、人造各向异性材料 （如复合材料、玻璃纤维增强 塑料等）。
按结构分类
晶体各向异性材料、纤维增强 各向异性材料、织物增强各向 异性材料等。
按对称性分类
单轴各向异性材料、正交各向 异性材料、各项同性材料等。
各向异性弹性力学的基本方程
01
汽车零部件
复合材料还用于制造汽车中的各种 零部件，如刹车片、气瓶和油箱等， 以提高其耐久性和安全性。
汽车轻量化
复合材料的轻质特性使其成为汽车 轻量化的理想选择，有助于提高车 辆的燃油效率和动力性能。
建筑领域的应用
建筑结构加固
复合材料可以用于加固建 筑结构，提高其承载能力 和耐久性，如桥梁、大坝 和高层建筑等。
未来研究方向
进一步深入研究复合材料的各向异性性质，探索 其在不同环境和载荷条件下的行为和性能。
复合材料的弹性模量取决于增强相和基体相的弹性模量以及它们之 间的界面结合强度。
强度和韧性
复合材料的强度和韧性取决于增强相的分布、数量和尺寸，以及它 们与基体相之间的界面结合强度。
04
复合材料的各向异性弹性力学分析
复合材料的弹性常数
弹性常数是复合材料在受到外力作用时表现出的刚 度特性，描述了复合材料的应力与应变之间的关系 。
与单一材料的应力-应变关系不 同，复合材料的应力-应变关系 通常是非线性的，因为它们由 多种材料组成，且各组分材料 的性质和排列方式可能不同。
复合材料的应力-应变关系需要 通过实验测定，因为它们的数 值取决于复合材料的微观结构 和组成。
复合材料的本构方程
本构方程是描述复合材料在受到外力作用时如何响应的数学模型，即描述 了复合材料在不同外力作用下的应力和应变的变化关系。
各向异性材料的分类
按来源分类
天然各向异性材料（如木材、 骨骼等）、人造各向异性材料 （如复合材料、玻璃纤维增强 塑料等）。
按结构分类
晶体各向异性材料、纤维增强 各向异性材料、织物增强各向 异性材料等。
按对称性分类
单轴各向异性材料、正交各向 异性材料、各项同性材料等。
各向异性弹性力学的基本方程
01
汽车零部件
复合材料还用于制造汽车中的各种 零部件，如刹车片、气瓶和油箱等， 以提高其耐久性和安全性。
汽车轻量化
复合材料的轻质特性使其成为汽车 轻量化的理想选择，有助于提高车 辆的燃油效率和动力性能。
建筑领域的应用
建筑结构加固
复合材料可以用于加固建 筑结构，提高其承载能力 和耐久性，如桥梁、大坝 和高层建筑等。
未来研究方向
进一步深入研究复合材料的各向异性性质，探索 其在不同环境和载荷条件下的行为和性能。
第2章 各向异性材料弹性力学基础_2017_19990
第二章 各向异性材料弹性力学基础
The basic questions of lamina macromechanics are: (1) what are the characteristics of a lamina? and (2) how does a lamina respond to applied stresses as in Figure 2-1?
• 平衡方程 σ ij , j + fi = 0 i, j = 1,2,3
展开一个方程:
∂σ x ∂x
+
∂τ xy ∂y
+
∂τ xz ∂z
+
f
= 0x
• 运动方程:
σ ij , j +
fi = ρ
∂ 2u ∂t 2
惯性力
指标重复服从加法约定
平衡方程
⎧ ⎪ ⎪
∂σ x ∂x
+
∂τ xy ∂y
+
∂τ xz ∂z
线性弹性力学中的六个应变分量εij之 间必须满足的微分方程。 六个应变分 量εij是由三个位移分量导出的，它们 彼此之间存在一定的内在联系，这些 联系就是应变协调方程。
• （i, j 交换）共有六个方程，六个应变分量应该 满足的一个关系，即:
ε ε ε ε + = + ij,kl
kl,ij
ik, jl
几何关系方程
εx
=
∂u ∂x
,
εy
=
∂v ∂y
,
εz
=
∂w ∂z ,
γ yz
=
∂w ∂y
+
∂v ∂z
;
γ zx
=
The basic questions of lamina macromechanics are: (1) what are the characteristics of a lamina? and (2) how does a lamina respond to applied stresses as in Figure 2-1?
• 平衡方程 σ ij , j + fi = 0 i, j = 1,2,3
展开一个方程:
∂σ x ∂x
+
∂τ xy ∂y
+
∂τ xz ∂z
+
f
= 0x
• 运动方程:
σ ij , j +
fi = ρ
∂ 2u ∂t 2
惯性力
指标重复服从加法约定
平衡方程
⎧ ⎪ ⎪
∂σ x ∂x
+
∂τ xy ∂y
+
∂τ xz ∂z
线性弹性力学中的六个应变分量εij之 间必须满足的微分方程。 六个应变分 量εij是由三个位移分量导出的，它们 彼此之间存在一定的内在联系，这些 联系就是应变协调方程。
• （i, j 交换）共有六个方程，六个应变分量应该 满足的一个关系，即:
ε ε ε ε + = + ij,kl
kl,ij
ik, jl
几何关系方程
εx
=
∂u ∂x
,
εy
=
∂v ∂y
,
εz
=
∂w ∂z ,
γ yz
=
∂w ∂y
+
∂v ∂z
;
γ zx
=
第二章各向异性弹性力学基础
六个分量，四个独立常数，广义的正交各向异性层板 剪应变和正应力，剪应力和正应变存在耦合
单层板在非材料主向上的应力-应变关系
我们也可以用应力来表示应变
特殊的正交各向异性单层板本构
cos 2 2 sin T sin cos sin 2 cos 2 sin cos 2sin cos 2sin cos cos 2 sin 2
不一致时 x
T
1 T
R T R
1
S ?
Q T Q T 转换折减刚度矩阵
1
1 T
单层板在非材料主向上的 应力-应变关系
广义的正交各向异性单层板本构
x Q11 x Q y Q12 y Q xy 16 xy
S12 S 22 S 26
S16 x S 26 y S66 xy
其中的柔度矩阵的元素，可定义为：
S11 1 Ex
S66
拉压 剪切
1 Gxy
S12 S 22
xy
Ex
yx
Ey
, xy
E x S12
2 2 2 1 1 2 2 12 (sin 4 cos 4 ) S 66 2 sin cos E1 G12 G1 2 E1 E 2 2 2 12 2 2 1 1 3 3 12 S 16 sin cos sin cos E1 G12 E1 G12 E2 E1 2 2 12 2 1 2 1 3 3 12 S 26 sin cos sin cos E1 G12 E1 G12 E2 E1
单层板在非材料主向上的应力-应变关系
我们也可以用应力来表示应变
特殊的正交各向异性单层板本构
cos 2 2 sin T sin cos sin 2 cos 2 sin cos 2sin cos 2sin cos cos 2 sin 2
不一致时 x
T
1 T
R T R
1
S ?
Q T Q T 转换折减刚度矩阵
1
1 T
单层板在非材料主向上的 应力-应变关系
广义的正交各向异性单层板本构
x Q11 x Q y Q12 y Q xy 16 xy
S12 S 22 S 26
S16 x S 26 y S66 xy
其中的柔度矩阵的元素，可定义为：
S11 1 Ex
S66
拉压 剪切
1 Gxy
S12 S 22
xy
Ex
yx
Ey
, xy
E x S12
2 2 2 1 1 2 2 12 (sin 4 cos 4 ) S 66 2 sin cos E1 G12 G1 2 E1 E 2 2 2 12 2 2 1 1 3 3 12 S 16 sin cos sin cos E1 G12 E1 G12 E2 E1 2 2 12 2 1 2 1 3 3 12 S 26 sin cos sin cos E1 G12 E1 G12 E2 E1
各向异性弹性力学课件
建议
开发更先进的实验设备和方法，提高测 试精度和效率
深入研究各向异性材料的微观结构和性 能关系
在实际工程中考虑各向异性材料的性能 特点，确保结构安全和稳定性
06
各向异性弹性力学的案例 分析
案例一：高层建筑结构的各向异性分析
总结词
高层建筑结构的各向异性分析是各向异性弹性力学的重要应用之一，主要研究高层建筑在不同方向上的刚度和强 度表现。
03 02
实验设备与实验方法
01
将样本固定在测试仪上
02
通过计算机控制系统施加不同方向的应力
实时采集数据并进行分析
03
实验结果与分析
实验结果
1
2
不同方向上的弹性模量存在差异
3
应变分布不均匀，与方向相关
实验结果与分析
01
泊松比随方向变化而变化
02
结果分析
03
各向异性材料的弹性性质与晶体结构密切相关
。
各向异性弹性力学的发展历程
03
早期研究
理论发展
应用领域拓展
各向异性弹性力学的研究始于19世纪中 叶，当时主要关注天然材料的各向异性性 质。
20世纪初，随着复合材料和金属材料的 广泛应用，各向异性弹性力学的理论得到 进一步发展和完善。
随着科技的进步，各向异性弹性力学在航 空航天、土木工程、机械制造等领域得到 广泛应用，为解决复杂问题提供了重要的 理论支持。
复杂材料行为
各向异性弹性材料在不同方向上 表现出不同的弹性性质，导致其 力学行为非常复杂，难以用传统
弹性力学理论描述。
缺乏统一理论框架
目前缺乏一个统一的数学理论框 架来描述各向异性弹性材料的本 构关系、边界条件和应力分析。
开发更先进的实验设备和方法，提高测 试精度和效率
深入研究各向异性材料的微观结构和性 能关系
在实际工程中考虑各向异性材料的性能 特点，确保结构安全和稳定性
06
各向异性弹性力学的案例 分析
案例一：高层建筑结构的各向异性分析
总结词
高层建筑结构的各向异性分析是各向异性弹性力学的重要应用之一，主要研究高层建筑在不同方向上的刚度和强 度表现。
03 02
实验设备与实验方法
01
将样本固定在测试仪上
02
通过计算机控制系统施加不同方向的应力
实时采集数据并进行分析
03
实验结果与分析
实验结果
1
2
不同方向上的弹性模量存在差异
3
应变分布不均匀，与方向相关
实验结果与分析
01
泊松比随方向变化而变化
02
结果分析
03
各向异性材料的弹性性质与晶体结构密切相关
。
各向异性弹性力学的发展历程
03
早期研究
理论发展
应用领域拓展
各向异性弹性力学的研究始于19世纪中 叶，当时主要关注天然材料的各向异性性 质。
20世纪初，随着复合材料和金属材料的 广泛应用，各向异性弹性力学的理论得到 进一步发展和完善。
随着科技的进步，各向异性弹性力学在航 空航天、土木工程、机械制造等领域得到 广泛应用，为解决复杂问题提供了重要的 理论支持。
复杂材料行为
各向异性弹性材料在不同方向上 表现出不同的弹性性质，导致其 力学行为非常复杂，难以用传统
弹性力学理论描述。
缺乏统一理论框架
目前缺乏一个统一的数学理论框 架来描述各向异性弹性材料的本 构关系、边界条件和应力分析。
复合材料力学 第二章
没有拉压剪切 偶合现象
1 S11 S12 S13 S22 S23 2 S33 3 4 5 对称 6
0 0 0 S44
0 0 0 0 S55
0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 S66 6
第二章 各向异性弹性力学基础
材料力学与弹性力学是以均质各向 同性材料为研究对象.微观上未必是 各向同性的.宏观上是均质各向同性 材料
纤维复合材料属于各向异性材料
单层复合材料的宏观弹性性能通常 是均匀各向异性的.有些组份材料本 身就具有明显的各向异性.
• 各向异性与各向同性弹性力学的基本方程 的差别在于:本构方程 • 即用各向异性胡克定律代替各向同性胡克 定律,这一代换将使力学计算及反映的现象 十分复杂.
• 对于非均匀的一般弹性体而言，式中的Cij, 应该是弹性体内点的位置而异，也就是说 它们是位置坐标的函数。 • 对于一个均匀的弹性体而言，若各点的应 力状态相同时，必对应有相同的应变状态， 反之，当弹性体内各点有同样的应变状态 时，则必有相同的应力状态。式中的Cij,并 不因弹性体内点的位置而异。对于一定的 材料，它们应是确定的常数。
W S11 2S141 4 S44
对于上述两种坐标系计算时, W保持不变,必须使 同理
4变号 为了使
S14 =0
S14 =S24 =S34 =S46 =0 S15 =S25 =S35 =S56 =0
只有13个弹性常数
S13 1 S11 S12 S22 S23 2 S33 3 4 5 对称 6 0 0 0 S44 0 0 0 S45 S55 S16 1 S26 2 3 S36 0 4 0 5 S66 6
各向异性弹性力学
THANKS
感谢您的观看
泊松比等。
各向异性弹性力学广泛应用于工程领域，如建筑、机械、航空
03
航天等。
研究背景和意义
随着科技的发展，各向异性材料在工程中的应用越来越广泛，如复合材料、功能材 料等。
各向异性材料的复杂力学行为需要精确的数学模型来描述，因此研究各向异性弹性 力学具有重要的理论意义和应用价值。
各向异性弹性力学的研究有助于深入理解材料的力学行为，为工程设计和优化提供 理论支持。
建筑结构的各向异性分析
总结词
建筑结构的各向异性分析是利用各向异性弹性力学理论，对 建筑结构在不同方向上的受力特性进行详细分析和评估的过 程。
详细描述
在建筑结构设计中，由于材料、结构和构造等因素的影响， 结构在不同方向上可能会表现出不同的力学特性。各向异性 弹性力学提供了对这种复杂行为的数学描述，帮助工程师更 准确地预测和评估建筑结构的性能。
各向异性弹性力学与其他领域的交叉研究
各向异性材料与生物医学 工程
研究各向异性材料在生物医学工程中的应用 ，如组织工程和再生医学，为个性化医疗和 人体植入物的发展提供理论和技术支持。
各向异性材料与环境工程
探讨各向异性材料在环境工程中的应用，如 土壤和地下水污染修复、生态修复和防洪减 灾等，以提高环境工程的效率和可持续性。
05
各向异性弹性力学 的未来研究方向
高性能各向异性材料的开发
高强度各向异性复合材料
利用先进的制备技术，开发具有高强度 、高刚度和优异耐久性的各向异性复合 材料，以满足航空航天、汽车和体育器 材等领域对高性能材料的需求。
VS
多功能各向异性材料
探索新型的多功能各向异性材料，如具有 电磁、热学和光学等多功能的材料，为未 来智能设备和新能源领域的发展提供有力 支持。
复合材料力学_各向异性弹性力学基础
为保证W值不变,将含有xz和yz(4与 5)一次项的Cij置为零，只剩下13个独立 变量。
C 11 C 12 C 13 C 0 0 C 16 C 12 C 13 C 22 C 23 C 23 C 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C 16 C 26 C 36 0 0 C 66
横观各向同性材料
0 C 11 C 12 C 13 0 C C C 0 0 12 11 13 C 13 C 13 C 33 0 0 C 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 1 C11 C12 2 0 0 0 0 0
完全各向异性 具有一个弹性对称面的材料 正交各向异性材料 横观各向同性材料 各向同性材料
§2.2
x 1 y 2 z 3 应力 yz 4 zx 5 xy 6
应变
yz zx xy
x 1 y 2 z 3 2 yz 4 2 zx 5 2 xy 6
C 44 C 45 C 45 C 55 0 0
C 26 C 36
有一个弹性对称面的材料
同理：
S11 S 12 S13 s 0 0 S16 S12 S 22 S 23 0 0 S 26 S13 S 23 S 33 0 0 S 36 0 0 0 S 44 S 45 0 0 0 0 S 45 S 55 0 S16 S 26 S 36 0 0 S 66
2.2.4各向同性材料
C11 C12 C12 C12 C11 C12 C12 C12 C11 C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 C11 C12 2 0 0 0 0 0 0 1 C11 C12 2 0 0 0 0 0 1 C11 C12 2 0
第三章-各向异性弹性力学基础
的。
6个独立等式：
2 x 2 y 2 xy
y 2 x2 xy
2 y 2 z 2 yz
z2 y2 yz
2 z
x 2
2 x
z 2
2 zx
zx
( zx xy yz ) 2 2 x
x y z x yz
( xy yz zx ) 2 2 y
y z x y zx
( yz zx xy ) 2 2 z
2(1 23 )
故只有5个独立常数：
E1, E2 , 21（或 12）， G12 , G（23 或 23）
即：
S11 S12 S12 0 0 0
S21 S 22 S 23
0
0
0
S021
S 23 0
S 22 0
0 S 44
0 0
0
0
0
0
0
0
S 66
0
0 0 0 0 0 S66
由工程应变形式的展开式为：
1轴沿纤维方向，并有 ij ji ，而是
ij ji 即 ij 没有对称性。
E j Ei
Sij 可展开为：
四、横观同性（5个弹性常数）
纤维在横截面内随机排列的，宏观而言， 其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为 横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为 各向同性，则有
G23
E2
1 S13 3; 2 S23 3; 3 S33 3;
4 23 0 5 31 0 6 12 S36 3
此公式说明：当沿弹性主轴拉伸时，除纵向伸 长、横向收缩外，还会引起与主轴垂直的面内 剪应变，且弹性主轴方向不变。
三、正交各向异性（9个弹性常数）
正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴 的情况。（有三个互相正交的弹性对称面） 取 x1, x2 , x3 为三个正交弹性主轴，如图所示：
6个独立等式：
2 x 2 y 2 xy
y 2 x2 xy
2 y 2 z 2 yz
z2 y2 yz
2 z
x 2
2 x
z 2
2 zx
zx
( zx xy yz ) 2 2 x
x y z x yz
( xy yz zx ) 2 2 y
y z x y zx
( yz zx xy ) 2 2 z
2(1 23 )
故只有5个独立常数：
E1, E2 , 21（或 12）， G12 , G（23 或 23）
即：
S11 S12 S12 0 0 0
S21 S 22 S 23
0
0
0
S021
S 23 0
S 22 0
0 S 44
0 0
0
0
0
0
0
0
S 66
0
0 0 0 0 0 S66
由工程应变形式的展开式为：
1轴沿纤维方向，并有 ij ji ，而是
ij ji 即 ij 没有对称性。
E j Ei
Sij 可展开为：
四、横观同性（5个弹性常数）
纤维在横截面内随机排列的，宏观而言， 其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为 横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为 各向同性，则有
G23
E2
1 S13 3; 2 S23 3; 3 S33 3;
4 23 0 5 31 0 6 12 S36 3
此公式说明：当沿弹性主轴拉伸时，除纵向伸 长、横向收缩外，还会引起与主轴垂直的面内 剪应变，且弹性主轴方向不变。
三、正交各向异性（9个弹性常数）
正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴 的情况。（有三个互相正交的弹性对称面） 取 x1, x2 , x3 为三个正交弹性主轴，如图所示：
PPT-1.各向异性体弹性力学基础
τyz B
C
O
σz
y
x
二.平衡微分方程
平衡微分方程
x yx zx X 0 x y z xy y zy Y 0 x y z xz yz z Z 0 x y z
m 2 m3 m3 m1 m1 m2
n 2 n3 n3 n1 n1 n2
x ' T x
x 2l 2 m2 y 2l3 m3 z l 2 m3 l3 m2 yz l3 m1 l1 m3 zx l1 m2 l 2 m1 xy 2l1 m1
2 m2 2 m3
n12
2 n2 2 n3
2m1 n1 2m 2 n 2 2 m3 n 3 m 2 n 3 m3 n 2 m3 n1 m1 n3 m1 n2 m2 n1
2n1l1 2n 2 l 2 2 n3 l 3 n 2 l 3 n3 l 2 n3 l1 n1l3 n1l 2 n2 l1
第1章
各向异性体弹性力学基础
I. 弹性力学的基本假设
假设 内容 数理应用 应力、应变和位 移是连续的，可 表示成坐标的连 续函数，可运用 连续和极限的概 念。 适用条件 与复材性质 矛盾的处理
连续性
组成物体的质点间 不存在任何空隙。
微粒尺寸及各 微粒间距远小于 物体的几何尺寸。
均匀性
所研究的物体由同 一类型的均匀材料 组成，故各部分的 物性相同，不随坐 标位置而变化。
IV. 应力和应变的关系
一.广义虎克定律
以应力表示应变
x S11 y S 21 z S 31 yz S 41 zx S 51 xy S 61 S12 S 22 S 32 S 42 S 52 S 62 S13 S 23 S 33 S 43 S 53 S 63 S14 S 24 S 34 S 44 S 54 S 64 S15 S 25 S 35 S 45 S 55 S 65 S16 x S 26 y S 36 z S 46 yz S 56 zx S 66 xy
复合材料力学课件第02章-各向异性弹性力学基础
通过研究复合材料的损伤演化机制和 破坏准则，可以预测和防止在使用过 程中出现的损伤和破坏，提高复合材 料的安全性和可靠性。
优化设计
利用各向异性弹性力学理论，可以对 复合材料的铺层角度、厚度等进行优 化设计，以实现最佳的力学性能和功 能特性。
各向异性弹性力学在其他领域的应用
生物医学工程
在人工关节、牙科植入物等生物医学 工程领域，各向异性弹性力学理论被 用于模拟和预测材料的生物相容性和 力学性能。
边界条件和载荷的复杂性
由于各向异性材料的特性，其边界条件和所受的 载荷也相对复杂，需要细致考虑。
3
数值模拟的困难性
由于各向异性材料的复杂性，数值模拟方法需要 更高的精度和稳定性，以准确模拟其力学行为。
各向异性弹性力学的发展趋势与展望
发展更高效的数值分析方法
针对各向异性材料的特性，发展更高效、精确的数值分析方法， 如有限元法、边界元法等。
详细描述
边界条件和初始条件是确定弹性力学问题解的重要因素。边界条件描述了材料边 界上的应力分布，而初始条件描述了材料在初始时刻的应力状态。这些条件对于 确定材料的响应至关重要。
各向异性弹性常数及其物理意义
总结词
描述各向异性弹性材料的五个独立弹 性常数及其物理意义。
详细描述
各向异性弹性材料的五个独立弹性常数包括三 个主剪切模量G1、G2、G3，一个主压剪切模 量G12，以及一个主压模量K1。这些弹性常数 分别描述了材料在各个方向上的剪切和压缩行 为，对于理解材料的力学性能和预测其响应具 有重要意义。
平衡方程
总结词
描述各向异性弹性材料在受到外力作用时内部应力和应变之间的平衡关系。
详细描述
平衡方程是描述材料内部应力分布的微分方程，它基于连续介质力学原理，即 在一个封闭的体积中，应力矢量的散度为零。平衡方程是建立各向异性弹性力 学方程的基础。
Ch3各向异性弹性力学基础
从宏观力学分析角度看，复合材料可被视作均质各向 异性材料。（没有绝对的均质材料，如离散原子在空 间的密度就不均匀，可以视作连续和均质是因为所研 究系统的尺度远大于材料不均匀变化波长。）
各向异性是复合材料宏观力学的最重要特征！
复合材料的各向异性可能来源于两个方面 • 增强相排布的方向性 • 增强相和基体相本身的各向异性
12
E2
13
E3
0 0 0 1 G23 0 0
0 0 0 0 1 G31 0
1 E2
23
E3
32
E2 0 0 0
1 E3 0 0 0
0 0 0 0 0 1 G12
当只在j方向作用正应力时 i i ij Sij E j j j / Ej
第三章
各向异性弹性力学基础
第一节
简介
以往所学的材料力学与弹性力学的研究对象主要 是均质、各向同性材料 什么是均质材料？ • 均质材料是指材料内部各个不同物质点（或空间坐 标）的性质相同，如弹性模量 什么是各向同性材料？
•各向同性材料是指材料沿不同方向的性质相同（图）
从细观上看，复合材料是异质材料，因为材料中的增 强相和基体相的材料性质不同，所以复合材料细观力 学要反映出这种非均质性。
x2
正交各向异性(三个互相正交的弹性对称面) (9个 弹性常数)(13-4)
没有拉压 剪切耦合 现象
1 S11 S12 S13 S22 S23 2 3 S33 4 5 对称 6
对于各向异性材料的柔度矩阵或刚度矩阵， 其分量是和坐标方向选取有关！！！ 可以从两方面理解：1 张量的分量、2 以单 拉为例
第三章各向异性弹性力学基础
Sij 可展开为：
四、横观同性（5个弹性常数）
纤维在横截面内随机排列的，宏观而言， 其在横向的所有方向的弹性性能相同，则称为 横向同性。由于横向同性，则在2-3平面内应为 各向同性，则有 E2 G23 2(1 23 )
故只有5个独立常数：
E1 , E2 , 21（或 12）， 23） G12 , G （或 23
纤 维 在 横截 面 内 按矩形排列的单向纤 维复合材料，宏观而 言则是一正交异性体。 共有9个弹性常数：
E1 , E2 , E3 , 12 , 31 , 23 , G23 , G31 , G12
1轴沿纤维方向，并有
ij ji
，而是
ij
Ej
ji
Ei
即 ij 没有对称性。
共有81个方程，但只有6个是不同的，其余的 不是恒等式就是由于 ij 的对称性而都是重复 的。 6个独立等式： 2 2 2 xy x y
y
2
z 2 2 z y yz
2
y 2 yz
2
x
2
xy
2 2
z x zx 2 2 x z zx
S16 S 26 S 36 S 45 0
即： S11 S12 S13
S 22 S 23 S 33 对 称 0 0 0 S 44 0 0 0 0 S 55 0 0 0 0 0 S 66
由此可得：1）当采用材料主轴来描述正交异性 体时，没有任何拉剪耦合现象；2）在非材料主 轴系里，正交异性材料仍有耦合现象。
如果 3 0 ，其余应力分量为零，则有：
1 S13 3 ; 2 S 23 3 ; S ; 33 3 3
各向异性弹性力学
为了讨论过点A任意斜面 的应力，在点A附近取一 个四面体微元ABCD(图 2 －1 )。
图2－1
斜面BCD的外法线为N，令N的方向余弦为：
则有
cos(N , x) 1 cos(N , y) m cos(N , z) n
(dF )x ldF (dF )y mdF (dF )z ndF
得到方程如下：
PNx PNy
xl xyl
yx y
m m
zx zy
n n
PNx
xzl
yz
m
z
n
写成矩阵形式
PNx
PNy
xxy
yx y
zx zy
l m
PNz xz yz z n
（2－8）
也就是说，若应力张量为已知，则任一斜面上的应 力均可求出。因此，应力张量完全决定了一点的应力状态。
2
C21
C22
C23
C24
C25
C26
2
i Cij j
3 4
CC3411
C32 C42
C33 C34 C43 C44
C35 C45
C36 C46
3 4
5 6
C51 C61
C52 C62
C53 C63
C54 C64
C55 C65
C56 C66
5 6
或
变形协调方程(3/6)
2 x
y2
2 y
x2
2 xy
xy
( xz xy yz ) 2 2 x
x y z x zy
2 y 2 z 2 zy
z2 y2 zy
( xy zy xz ) 2 2 y
y z x y zx
2 z
图2－1
斜面BCD的外法线为N，令N的方向余弦为：
则有
cos(N , x) 1 cos(N , y) m cos(N , z) n
(dF )x ldF (dF )y mdF (dF )z ndF
得到方程如下：
PNx PNy
xl xyl
yx y
m m
zx zy
n n
PNx
xzl
yz
m
z
n
写成矩阵形式
PNx
PNy
xxy
yx y
zx zy
l m
PNz xz yz z n
（2－8）
也就是说，若应力张量为已知，则任一斜面上的应 力均可求出。因此，应力张量完全决定了一点的应力状态。
2
C21
C22
C23
C24
C25
C26
2
i Cij j
3 4
CC3411
C32 C42
C33 C34 C43 C44
C35 C45
C36 C46
3 4
5 6
C51 C61
C52 C62
C53 C63
C54 C64
C55 C65
C56 C66
5 6
或
变形协调方程(3/6)
2 x
y2
2 y
x2
2 xy
xy
( xz xy yz ) 2 2 x
x y z x zy
2 y 2 z 2 zy
z2 y2 zy
( xy zy xz ) 2 2 y
y z x y zx
2 z
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S
[S]＝[C]-1—柔度矩阵。 同样， [S]也是对称矩阵，它也有
21个独立变量。
§2.2
§2.2 各向异性弹性体的 本构关系
➢ 2.2.1 具有一个弹性对称面的材料
➢ 2.2.2 正交各向异性材料 ➢ 2.2.3 横观各向同性材料 ➢ 2.2.4 各向同性材料
§2.2
x 1 y 2 应 力 z 3 yz 4 zx 5 xy 6
如取xoy坐标面与弹性对称面平行，取A与A’ 为相互对称点，则它们的弹性性能相同。即将z 轴转到z’轴时，应力应变关系不变。
2.2.1有一个弹性对称面的材料
此时：z=-z’，w=-w’，（新旧坐标系）
yz
wv y z
(w yvz)yz
4
zx zuwx (uzw x)zx 5
其余应变分量不变
2.2.1有一个弹性对称面的材料
对于各向异性材料，考虑到应变能 W>0，所以[C]和[S]必须正定。
2.3.2
矩阵正定的定义： 特征值都大于零的实对称矩阵。 充分必要条件： 所有主子式都大于零 Ai>0(i=1,2 6) 主子式： 在[S]（或[C]）中任意取第i1,i2,i3, ik行 和i1,i2,i3, ik列交点处的元素构成的行 列式称为矩阵 [S]（或[C]）的主子式。
只有2个独立参数，因为E、、G之间有关
系。
§2.3
§2.3 正交各向异性材料的 工程弹性常数
工程常数是指弹性模量Ei,泊松比ij和
剪切模量Gij，这些常数由实验测定。
Ei
i i
i
1,2,3—
分别在各弹性主方向有作 用力时的应力应变之比
ij
i j
— 单独在j方向有正应力时i方向上
应变与j方向应变之比的负值
1 1221 2332 1331 2213213 0
书上（2-42）式就是通过组合上
述公式得到的。这些关系式可用于检
验材料实验数据。
2.2.1 有一个弹性对称面的材料
同理：
S11 S12 S13 0
S1
2
S22
S23
0
0 S16
0
S
2
6
s
S1
3
S23
S33
0
0
S
3
6
0 0 0 S44 S45 0
0
0
0
S45 S55
0
S16 S26 S36 0 0 S66
2.2.2正交各向异性材料
如果具有三个正交弹性对称面，则：
第二章 各向异性 弹性力学基础
§2.1 各向异性弹性力学基本方程 §2.2 各向异性弹性体的本构关系 §2.3 正交各向异性材料的工程弹性常数
回总目录
§2.1(1)
§2.1 各向异性弹性力学 基本方程
各向异性弹性力学基本方程包括：
1∘工程应力方程 2∘工程应变方程 3∘平衡方程
4∘几何关系方程 5∘变形协调方程 6∘物理方程
C44
C55
C66
1 2
C11 C12
S11=S22=S33，S12=S13 =S23，
1
S44 S55 S66 2 S11 S12
2.2.4各向同性材料
C11 C12 C12
0
0
0
C12 C11 C12
0
0
0
C12
C 0
C12 0
C11 0
0
1 2
C11 C12
0 0
工程应力
yxx
xy y
xz yz
zx zy z
工程应变
x
xy
xz
yx
y
yz
zx
zy
z
几何关系方程
x
u x
,
v y y ,
z
w z
,
yz
w y
v ; z
zx
u z
w x
;
xy
v x
u . y
变形协调方程 （1）
6个应变分量是通过3 个位移分量表示的，因此， 6个应变分量不是互不相 关的，之间存在必然联系：
x
xz y
xy z
yz x
2
2 x yz
不满足协调方程，则变
形后，不能将小单元体 拼合成连续体，产生小 y
裂缝。为使变形后连续，
xy
z
yz x
zx y
2 2 y zx
应变分量必须满足协调 方程。因此变形协调方 程是保证物体连续的一
z
yz x
zx y
xy z
2
2 z xy
E2 E1
2
1 13 31 0
同理可得：
1
13
E3 E1
2
1 23 32 0
1
23
E3 E2
2
2.3.2
1
12 13
3∘
E1
E2
E3
S3
0
21
E1
1 E2
23 0
E3
31 32
1
E1
E2 E3
所以1 122 3 31 213213 1 3 31 2332 2112 0
2.3.2
1∘ S 1 0 E 1 1 0 , E 2 10 2 , E 3 0 , G 2 0 3 , G 3 0 1 , G 1 0 2 .
2∘S 2
0
E1
21
E2 1
1 12 21 0
E1E2 E1E2
E1
E2
1
所以1 12 21
0,再由
21
E1
12
E2
, 得 12
C11 C12 C13 0 0
C12 C11 C13 0
0
0
0
C
C13 0
C13 0
C33 0
0 C44
0 0
0
0
0
0
0 0
0 0
0 0
C44 0
0
1 2
C11
C12
只有五个独立系数
2.2.4各向同性材料
如果材料任一点、任一方向弹性特 性都相同。
有：C11=C22=C33， C12=C13 =C23，
0 0 0 S44 0 0
0
0
0
0
S55
0
0 0 0 0 0 S66
只有九个独立系数
重要性质，正剪无耦合
2.2.3横观各向同性材料
各向同性面—在该平面内，各点的弹 性性能在各方向上相同。
假定：1，2，3都是弹性 主轴，1－2面是各向同性 面。
则：S11=S22， S13=S23， S44=S55， C11=C22，C13=C23， C44=C55
c11 c12 c13 0 0 0
c12
c22
c23
0
0
0
c
c13 0
c23 0
c33 0
0 c44
0 0
0
0
9
0
0
0
0
c55
0
0 0 0 0 0 c66
2.2.2正交各向异性材料
S11 S12 S13 0 0 0
S1
2
S22
S23
0
0
0
S
S1
3
S23
S33
0
0
0
2.2.3横观各向同性材料
又设某点应力状态：1= ， 2= － ， 4= 5＝ 6，有
W 1 2 S 11 2 S 12 2 1 2 S 11 2S 1 1S 122
将1、2坐标轴在面内转450到1 ’、2’，
则1’= 2’＝ 3’＝0， 6’ ＝1’2’＝－ ，
2’3’＝
3’1’
＝0：
fx =xl + yxm +zxn fy = xyl + ym +zyn fz = xzl + yzm + zn
物理方程
(本构关系) Hooke 定理：
x
y
C11 C21
C12 C22
C13 C23
C14 C24
C15 C25
CC1266
x y
z
yz
C31 C41
C32 C42
x 1 y 2 应 变 z 3 yz 2yz 4 zx 2zx 5 xy 2xy 6
§2.2
应变势能密度为：W11C
W
1 2
C1112
C121 2
C131 3
2
C141 4
2
C151 5 C161 6
1 2
C22
2 2
C23 2 3
C24 2 4
C25 2 5
C26 2 6
1 2
W
1 2
S66 6
则：S66＝2(S11 –S12)
2.2.3横观各向同性材料
S11 S12 S13 0 0
S12 S11 S13 0
0
0
0
S S13 S13 S33 0
0
0 0 0 S44 0
0
5
0
0 0
0 0
0 0
0 0
S44
0
0 2 S11 S12
2.2.3横观各向同性材料
0
0
0
0
0
0 0 0
0 0
1
2 C11 C12 0
0
1 2
C11
C12
2.2.4各向同性材料
S11 S12 S12
0
0
0
[S]＝[C]-1—柔度矩阵。 同样， [S]也是对称矩阵，它也有
21个独立变量。
§2.2
§2.2 各向异性弹性体的 本构关系
➢ 2.2.1 具有一个弹性对称面的材料
➢ 2.2.2 正交各向异性材料 ➢ 2.2.3 横观各向同性材料 ➢ 2.2.4 各向同性材料
§2.2
x 1 y 2 应 力 z 3 yz 4 zx 5 xy 6
如取xoy坐标面与弹性对称面平行，取A与A’ 为相互对称点，则它们的弹性性能相同。即将z 轴转到z’轴时，应力应变关系不变。
2.2.1有一个弹性对称面的材料
此时：z=-z’，w=-w’，（新旧坐标系）
yz
wv y z
(w yvz)yz
4
zx zuwx (uzw x)zx 5
其余应变分量不变
2.2.1有一个弹性对称面的材料
对于各向异性材料，考虑到应变能 W>0，所以[C]和[S]必须正定。
2.3.2
矩阵正定的定义： 特征值都大于零的实对称矩阵。 充分必要条件： 所有主子式都大于零 Ai>0(i=1,2 6) 主子式： 在[S]（或[C]）中任意取第i1,i2,i3, ik行 和i1,i2,i3, ik列交点处的元素构成的行 列式称为矩阵 [S]（或[C]）的主子式。
只有2个独立参数，因为E、、G之间有关
系。
§2.3
§2.3 正交各向异性材料的 工程弹性常数
工程常数是指弹性模量Ei,泊松比ij和
剪切模量Gij，这些常数由实验测定。
Ei
i i
i
1,2,3—
分别在各弹性主方向有作 用力时的应力应变之比
ij
i j
— 单独在j方向有正应力时i方向上
应变与j方向应变之比的负值
1 1221 2332 1331 2213213 0
书上（2-42）式就是通过组合上
述公式得到的。这些关系式可用于检
验材料实验数据。
2.2.1 有一个弹性对称面的材料
同理：
S11 S12 S13 0
S1
2
S22
S23
0
0 S16
0
S
2
6
s
S1
3
S23
S33
0
0
S
3
6
0 0 0 S44 S45 0
0
0
0
S45 S55
0
S16 S26 S36 0 0 S66
2.2.2正交各向异性材料
如果具有三个正交弹性对称面，则：
第二章 各向异性 弹性力学基础
§2.1 各向异性弹性力学基本方程 §2.2 各向异性弹性体的本构关系 §2.3 正交各向异性材料的工程弹性常数
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§2.1(1)
§2.1 各向异性弹性力学 基本方程
各向异性弹性力学基本方程包括：
1∘工程应力方程 2∘工程应变方程 3∘平衡方程
4∘几何关系方程 5∘变形协调方程 6∘物理方程
C44
C55
C66
1 2
C11 C12
S11=S22=S33，S12=S13 =S23，
1
S44 S55 S66 2 S11 S12
2.2.4各向同性材料
C11 C12 C12
0
0
0
C12 C11 C12
0
0
0
C12
C 0
C12 0
C11 0
0
1 2
C11 C12
0 0
工程应力
yxx
xy y
xz yz
zx zy z
工程应变
x
xy
xz
yx
y
yz
zx
zy
z
几何关系方程
x
u x
,
v y y ,
z
w z
,
yz
w y
v ; z
zx
u z
w x
;
xy
v x
u . y
变形协调方程 （1）
6个应变分量是通过3 个位移分量表示的，因此， 6个应变分量不是互不相 关的，之间存在必然联系：
x
xz y
xy z
yz x
2
2 x yz
不满足协调方程，则变
形后，不能将小单元体 拼合成连续体，产生小 y
裂缝。为使变形后连续，
xy
z
yz x
zx y
2 2 y zx
应变分量必须满足协调 方程。因此变形协调方 程是保证物体连续的一
z
yz x
zx y
xy z
2
2 z xy
E2 E1
2
1 13 31 0
同理可得：
1
13
E3 E1
2
1 23 32 0
1
23
E3 E2
2
2.3.2
1
12 13
3∘
E1
E2
E3
S3
0
21
E1
1 E2
23 0
E3
31 32
1
E1
E2 E3
所以1 122 3 31 213213 1 3 31 2332 2112 0
2.3.2
1∘ S 1 0 E 1 1 0 , E 2 10 2 , E 3 0 , G 2 0 3 , G 3 0 1 , G 1 0 2 .
2∘S 2
0
E1
21
E2 1
1 12 21 0
E1E2 E1E2
E1
E2
1
所以1 12 21
0,再由
21
E1
12
E2
, 得 12
C11 C12 C13 0 0
C12 C11 C13 0
0
0
0
C
C13 0
C13 0
C33 0
0 C44
0 0
0
0
0
0
0 0
0 0
0 0
C44 0
0
1 2
C11
C12
只有五个独立系数
2.2.4各向同性材料
如果材料任一点、任一方向弹性特 性都相同。
有：C11=C22=C33， C12=C13 =C23，
0 0 0 S44 0 0
0
0
0
0
S55
0
0 0 0 0 0 S66
只有九个独立系数
重要性质，正剪无耦合
2.2.3横观各向同性材料
各向同性面—在该平面内，各点的弹 性性能在各方向上相同。
假定：1，2，3都是弹性 主轴，1－2面是各向同性 面。
则：S11=S22， S13=S23， S44=S55， C11=C22，C13=C23， C44=C55
c11 c12 c13 0 0 0
c12
c22
c23
0
0
0
c
c13 0
c23 0
c33 0
0 c44
0 0
0
0
9
0
0
0
0
c55
0
0 0 0 0 0 c66
2.2.2正交各向异性材料
S11 S12 S13 0 0 0
S1
2
S22
S23
0
0
0
S
S1
3
S23
S33
0
0
0
2.2.3横观各向同性材料
又设某点应力状态：1= ， 2= － ， 4= 5＝ 6，有
W 1 2 S 11 2 S 12 2 1 2 S 11 2S 1 1S 122
将1、2坐标轴在面内转450到1 ’、2’，
则1’= 2’＝ 3’＝0， 6’ ＝1’2’＝－ ，
2’3’＝
3’1’
＝0：
fx =xl + yxm +zxn fy = xyl + ym +zyn fz = xzl + yzm + zn
物理方程
(本构关系) Hooke 定理：
x
y
C11 C21
C12 C22
C13 C23
C14 C24
C15 C25
CC1266
x y
z
yz
C31 C41
C32 C42
x 1 y 2 应 变 z 3 yz 2yz 4 zx 2zx 5 xy 2xy 6
§2.2
应变势能密度为：W11C
W
1 2
C1112
C121 2
C131 3
2
C141 4
2
C151 5 C161 6
1 2
C22
2 2
C23 2 3
C24 2 4
C25 2 5
C26 2 6
1 2
W
1 2
S66 6
则：S66＝2(S11 –S12)
2.2.3横观各向同性材料
S11 S12 S13 0 0
S12 S11 S13 0
0
0
0
S S13 S13 S33 0
0
0 0 0 S44 0
0
5
0
0 0
0 0
0 0
0 0
S44
0
0 2 S11 S12
2.2.3横观各向同性材料
0
0
0
0
0
0 0 0
0 0
1
2 C11 C12 0
0
1 2
C11
C12
2.2.4各向同性材料
S11 S12 S12
0
0
0