食饵—捕食者模型
建模——捕食者
食饵——捕食者模型摘要：建立具有自身阻滞作用的两个种群食饵-捕食者模型，并结合模型的数值解和相轨线，对模型的稳定性进行了分析。
关键词：种群，数值解，平衡点，相轨线，Volterra 模型（一）模型准备自然界中不同种群之间还存在着这样一种制约的生存方式：种群甲靠有限的自然资源生存，而种群乙靠掠取甲为生。
就像生活在草原上的狼与羊，种群之间捕食与被捕食的关系普遍存在，这样两个肉弱强食的种群，它们的发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？（二）模型假设有羊和狼两个种群，记食饵（羊群）和捕食者（狼群）在时刻t 的数量分别为)(t x ，)(t y ，1r 为羊群的固有增长率，1N 为环境容许的最大羊群量，2N 为环境容许的最大狼群量。
1、假设羊群可以独立生存，而可被其直接利用的自然资源有限，设总量为“1”。
羊群数量的增长率可以分为两部分考虑：其一，因为草原上的资源有限，所以它的增长服从Logistic 规律，即)1(11.N xx r x -=， 其二，当两个种群在同一个自然环境中生存时，由于狼群以掠取羊群为生，所以它对羊群的增长产生了负面影响，可以合理地在因子)1(1N x-中再减去一项，该项与狼群的数量y （相对于2N 而言）成正比，于是得到羊群增长的方程为：)1()(2111.N y N x x r t x σ--= （1） 1σ的意思是：单位数量的狼（相对2N 而言）掠取1σ倍的羊（相对1N 而言）。
2、假设狼群没有羊群的存在会灭亡，设其死亡率为2r ，则狼群独自存在时，有：y r t y 2.)(-=，又因为羊群的存在为狼群提供了食物，所以它对狼群的增长产生了促进作用，而狼群的增长又受到自身的阻滞作用，于是得到狼群增长的方程为：)1()(1222.N x N y y r t y σ+--= （2） 2σ的意思是：单位数量的羊（相对1N 而言）供养2σ倍的狼（相对2N 而言）。
（三）模型建立根据模型假设中的方程（1）、（2），可得到如下的数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=--=)1()()1()(1222.2111.N x N y y r t y N y N x x r t x σσ （四）模型求解利用数学软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测它的解析解的构造，然后从理论上研究其平衡点，验证前面的猜测。
一类捕食者-食饵模型的敏感性分析和最优控制
一类捕食者-食饵模型的敏感性分析和最优控制一类捕食者-食饵模型的敏感性分析和最优控制捕食者-食饵模型是一种描述两种不同生物种群之间相互作用的数学模型，常用于生态系统和环境保护等领域的研究中。
其中，捕食者指的是靠捕食其他生物为生的动物，而食饵则是捕食者的猎物。
在这种模型中，捕食者的存在和数量会影响食饵的种群数量，而食饵数量的减少也会影响捕食者数量的大小。
本文将从敏感性分析和最优控制两个方面对一类捕食者-食饵模型进行研究。
一、敏感性分析在数学建模的过程中，敏感性分析是一个非常重要的环节，可以通过分析一些重要的参数的变化对模型结果的影响，来判断模型的准确性和可靠性。
对于一类捕食者-食饵模型而言，一些关键的参数包括捕食者的增长率、食饵自然死亡率和捕食率等。
以R x∈[0,1], Ry ∈[0,1] 为状态，t ∈[0, ∞) 为时间的Lotka- Voltera 模型为例，该模型的方程如下：dRx/dt= Rx(α-βRy)dRy/dt= Ry(δRx-γ)其中，Rx 和Ry 分别表示捕食者和食饵类群数量的变化，α是捕食者的出生率常数，β是捕食率常数，δ是食饵的增长率常数，γ是自然死亡率常数。
该模型可以用来描述食饵数量对捕食者数量的影响，以及捕食者的数量对食饵数量的影响。
通过敏感性分析，可以得出以下结论：1、捕食者增长率的变化对模型结果的影响较小，这是因为在该模型中，捕食者数量的增长主要依赖于食饵数量的增加，而不是捕食者自身的增长率。
因此，在此模型中，捕食者的增长率不是一个非常重要的参数。
2、食饵自然死亡率的变化对模型结果有较大的影响，当食饵自然死亡率增加时，食饵的数量减少，进而影响捕食者的数量，导致整个生态系统失衡。
3、捕食率的变化对模型结果也有较大的影响。
当捕食率增加时，捕食者数量迅速增加，会让食饵数量大幅度下降，使得捕食者数量接下来也会下降。
反之，当捕食率减小时，食饵数量随之增加，导致捕食者的数量增加。
数学建模 具有自身阻滞作用的食饵-捕食者模型 论文
《数学建模》课程教学论文题目：具有自身阻滞作用的食饵-捕食者模型专业：班级：学号：学生姓名：完成日期：⇒,,,>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=d b a r bxy dy dtdy axy rx dt dx ()⎩⎨⎧+-=-=)()()(bx d y t y ay r x t x 研究具有自身阻滞作用的食饵-捕食者模型摘要：讨论具有作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定性的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论的正确性。
研究自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者，目的是延迟或阻止自身反应过程的发生和发展，运用Volterra 模型和Logsitic 规律的功能研究自身阻滞作用，由稳定性和相轨线来论证。
关键词： 食饵-捕食者系统 自身阻滞 平衡点稳定性 符号说明：;食饵的数量--x 捕食者的数量；--y;)(时刻的数量食饵在t t x --时刻的数量；捕食者在t t y --)(r --食饵独立生存时的增长率；a --捕食者掠取食饵的能力b --食饵对捕食者的供养能力；d --捕食者独自存在时的死亡率； 1r --食饵的固有增长率；2r --捕食者的固有增长率； 1N --食饵最大容量；2N --捕食者最大容量；1σ--食饵自身的竞争能力；2σ--捕食者自身的竞争能力基本假设：(1 )食饵由于捕食者的数量增长使得食饵数量减少，即r 与捕食者数量y 成正比，即;y r x =∙（2）捕食者没有食饵的存在就会死亡，死亡率为d ，即;dy y -=∙（3）对于食饵有)1(11N xx r x -=∙,其中11N x -是由于食饵对资源的消耗导致自身的增长阻滞作用。
建立模型：1.模型一 没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞该模型反映了在没有捕获时食饵--捕食者之间的制约关系，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用，是V olterra 提出的最简单的模型[]1。
食饵捕食模型
楚雄师范学院数学系《数学建模》课程教学论文题目：具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食模型专业：信息与计算科学班级：08级3班学号：20081022152学生姓名：罗文枢完成日期：2011 年 6 月具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食模型摘要：在自然界中，更多的生物是杂居在一起的，各种生物根据其生理特点、食物来源分成了不同的层次，各层次之间及同一层次的生物种群之间有着各样的联系，尤其是相互之间影响非常大的生物种群，需要放在一起讨论，在这里，我们一两种群为例进行建模和讨论，具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型。
捕食—食饵模型是数学生态学研究的重要内容,影响种群波动的因素很多,自身阻滞作用就是其中重要的一种因素。
因为资源环境是有限的，相互竞争是不可避免的，所以自身阻滞也是影响平衡位置的不稳定性和周期波动现象的主要因素。
时滞可以对生态系统的性质产生相当大的影响,理论生态学家们普遍认为在种群的相互作用中,自身阻滞作用是不可避免的。
本文主要通过对两类具有自身阻滞作用的典型的捕食-食饵模型的研究,通过分析发现时滞对模型的稳定性有非常重要的作用。
事实上只要在Volterra模型加入考虑自身阻滞作用的Logsitic项就可以得到这种现象了。
关键字：自身阻滞，稳定性分析，相轨线分析，平衡点分析，Logistic模型；一.问题重述：讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型，首先根据两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。
二．问题分析：本论文主要是讨论具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型。
我们用Logistic模型来描述这个种群数量的演变过程，即食饵会受到自然界中的资源所限制，它不仅会无限的增大，而且捕食者也会受到食饵的数量的影响。
此种情况下会出现以下的3种现象：1.当捕食者灭绝时，食饵也不会无限的增长，即指数函数型增长，因为有自身的阻滞作用，它达到某个数量就不在会增长而趋于稳定了；2.当食饵受到自然资源的影响的灭绝时，捕食者也会因食物而灭绝；3.当两种群都不灭绝时，它们会趋于某个非零的有限值，从而达到稳定状态。
具有空间异质和合作捕食的捕食-食饵模型的正解
具有空间异质和合作捕食的捕食-食饵模型的正解
捕食-食饵模型是生态学中一个重要的概念，被用来描述捕食者和捕食物之间的关系。
在
捕食者和捕食物之间存在着众多相互作用，即捕食者消耗捕食物，捕食物数量的减少会降低捕食者的生存能力。
最近的研究表明，捕食-食饵模型中具有空间异质和合作捕食的有
效性，因此，该模型的正确解也受到了许多关注。
首先，我们将考虑捕食-食饵模型中具有空间异质性的合作捕食。
这意味着，捕食者在一
定范围内是把捕食物分割成不同的区域和类别，从而更加有效地消耗它们。
解决方案必须考虑到地形，土壤和生物多样性等复杂因素，以有效分配捕食者的活动场所，支持有效的合作捕食。
另外，必须考虑捕食者的活动方式和范围，以获得更好的结果。
例如，对于捕食者来说，位置是非常重要的，他们需要将捕食活动尽可能集中到一起，以便更有效地捕食食物。
最后，要解决捕食-食饵模型，还需要考虑捕食者之间的竞争关系，以及捕食物的数量。
捕食的效率受到捕食者的数量的影响，因此，必须考虑捕食者数量的分布情况。
同时，捕食者之间的竞争也会影响捕食率，因此，需要考虑捕食者的行为模式和它们之间的互动关系。
总的来说，捕食-食饵模型的正解必须考虑到空间异质性和合作捕食，同时也要考虑捕食
者的活动范围，捕食者数量和它们之间的竞争关系等因素。
只有把这些因素综合起来考虑，我们才能正确解决捕食-食饵模型。
食饵捕食者模型进一步研究(matlab)
一、食饵-捕食者模型的进一步研究
1）在食饵—捕食者模型（231页1，2式）中研究参数及初始值的变化对食饵和捕食者数量的周期、最大（小）值的影响。
【注：给出不同参数画图即可】
解：取三组不同初值分别为①x0=25,y0=2②x0=25,y0=4③x0=100,y0=2，在matlab中绘图如下
.
分析：
第一组作为对照组，第二组与第一组相比，捕食者初始数量增加，由图象可以看出，捕食者和食饵数量周期均缩短，最大值均变小，最小值均变大；第三组与第一组相比，捕食者和食饵数量周期均增长，最大值均变大，最小值均变小。
2）在上述模型中引入Logistic项（235页16，17式），分析相轨线及参数的影响。
【注：给出不同参数画图即可】
解：取五组不同的参数
①r1=1;r2=0.3;σ1=2; σ2=8;N1=3000;N2=400;（对照）
②r1=2;r2=0.3;σ1=2; σ2=8;N1=3000;N2=400;（食饵增长率变高）
③r1=1;r2=0.6;σ1=2; σ2=8;N1=3000;N2=400;（捕食者增长率高）
④r1=1;r2=0.3;σ1=4; σ2=8;N1=3000;N2=400;（σ1即捕食者掠取食饵能力变大）
⑤r1=1;r2=0.3;σ1=2; σ2=12;N1=3000;N2=400;（σ2即食饵对捕食者的供养能力变大）
在matlab中绘图如下：
从图象可以看出：
⑴改变食饵增长率r1和捕食者增长率r2不会改变最后的稳定点，即最终的稳定点与食饵和捕食者的增长率无关。
⑵第一二三组比较，。
稳定性模型食饵捕食者模型课件
m
捕食者的死亡率。
03
稳定性模型食饵捕食者模 型的求解方法
解析解法
公式推导
通过数学公式推导，直接得出模型在 各种参数下的解。
适用范围
适用于模型简单、参数较少的情况， 但可能不适用于复杂模型。
数值解法
迭代计算
01
通过迭代的方式逐步逼近模型的解。
精度控制
02
可以控制计算的精度，以适应不同的需求。
适用范围
模型定义
稳定性模型食饵捕食者模型是 一种生态学数学模型，用于描 述捕食者和食饵之间的相互作 用关系。
该模型由两个微分方程组成， 分别描述了食饵和捕食者的种 群动态。
通过分析该模型的平衡点和稳 定性，可以了解种群数量的变 化规律和生态系统的稳定性。
模型背景
该模型是在20世纪20年代由 美国生态学家洛特卡和沃尔特 拉提出的，用于研究种群数量
捕食者种群的增长率可用以下方程表示
dP/dt = P*(aN/H - m)
模型参数解释
K
环境最大容纳量，表示在理想 环境下，食饵种群的最大数量 。
H
捕食者的半饱和常数，表示捕 食者达到最大捕食效率时所需 要的食物量。
r
食饵种群的内在增长率，表示 在没有环境限制的情况下，食 饵种群的增长速度。
a
捕食效率，表示单位时间内， 一个捕食者能够捕获的食饵数 量。
通过分析系统的数学模型 ，可以确定分岔的类型和 发生条件。
05
稳定性模型食饵捕食者模 型的改进与扩展
模型参数调整
调整捕食率
通过实验数据或观察，对捕食者 对食饵的捕食率进行更精确的估 计和调整，以提高模型的预测精 度。
调整死亡率
根据环境和物种特性，调整食饵 和捕食者的死亡率，使模型更符 合实际情况。
一类食饵-捕食模型的稳定性和Hopf分岔
一类食饵-捕食模型的稳定性和Hopf分岔引言：食物链是自然界中生物互相作用的重要方面之一，而食饵-捕食模型是描述这种互相作用的数学模型之一。
在这类模型中，食饵是指养分来源，捕食者则以食饵为食。
在这篇文章中，我们将探究现象。
一、模型的建立假设食饵种群的增长率与其种群大小成正比，而捕食者种群的增长率与食饵种群大小和捕食者种群大小成正比。
以t表示时间，x(t)和y(t)分别表示食饵种群和捕食者种群的大小，则该模型的数学表达式如下：dx/dt = ax - bxydy/dt = cxy - dy其中，a、b、c和d为常数，分别表示食饵种群的增长率、食饵种群遭到捕食者捕食的速率、食饵被捕食后被转化为捕食者的速率和捕食者种群的死亡率。
二、平衡点的分析平衡点是指在一段时间内，系统中各个种群的大小保持不变的状态。
在我们的模型中，稳定的平衡点应该满足以下条件： dx/dt = 0 => ax - bxy = 0dy/dt = 0 => cxy - dy = 0由以上两个方程可以解得平衡点为：(x*, y*) = (d/c,a/b)。
当系统处于平衡点时，食饵和捕食者种群的大小不再发生变化。
三、线性稳定性分析为了探究平衡点的稳定性，我们需要对系统进行线性稳定性分析。
假设系统在平衡点周边有微小的扰动，即令(x, y) = (x* + ε, y* + δ)，其中ε和δ为很小的变量。
将这个微小扰动代入模型的微分方程中，可以得到以下近似方程：dε/dt = (a - b(y* + δ))εdδ/dt = (c(x* + ε)y* - d)δ通过对近似方程进行线性化，可以得到雅可比矩阵：J = | a - by* -bx* || cy* cx* - d|其中，x*和y*为平衡点的坐标。
依据线性稳定性理论，平衡点(x*, y*)是稳定的当且仅当雅可比矩阵的全部特征值具有负实部。
四、Hopf分岔的分析除了探究系统的稳定性外，我们还关注系统是否存在Hopf分岔现象。
两类食饵—捕食者模型的稳定性分析
两类食饵—捕食者模型的稳定性分析两类食饵—捕食者模型的稳定性分析引言生态系统中食物链是一种基本的生态关系，其中包括食饵和捕食者之间的相互作用。
食饵-捕食者模型是用来描述食饵和捕食者之间相互作用关系的数学模型。
在自然界中存在不同类型的食饵-捕食者模型，其中一种常见的模型是“两类食饵—捕食者模型”。
本文将对该模型的稳定性进行分析。
一、模型描述这个模型中包括两类食饵和一个捕食者。
我们用 V1, V2 分别表示两类食饵的个体数量，用 P 表示捕食者的个体数量。
模型可以由以下方程组描述：（1）dV1/dt = r1V1(1 - V1/K1) - a1V1P（2）dV2/dt = r2V2(1 - V2/K2) - a2V2P（3）dP/dt = b1a1V1P - m1P + b2a2V2P - m2P其中，r1和r2分别表示两类食饵的增长率，K1和K2表示它们的环境容量；a1和a2是食饵和捕食者之间的捕食率；b1和b2分别是捕食者每次捕食时所消耗的食饵个体数量；m1和m2分别表示捕食者的自然死亡率。
二、平衡点的求解平衡点是指系统中各个物种个体数量不发生变化的状态。
我们令方程组（1）-（3）中各个方程等于零，解得平衡点：V1* = 0；V2* = 0；P* = 0这是一个零平衡点，表示所有个体数量均为零。
三、稳定性的分析我们需要分析模型中平衡点的稳定性，以了解该模型的动态行为。
1. 线性稳定性分析为了方便分析，我们将模型（1）-（3）化为线性形式：（4）dV1/dt = (r1 - a1P)V1（5）dV2/dt = (r2 - a2P)V2（6）dP/dt = (b1a1V1 + b2a2V2 - m1 - m2)P对于线性系统（4）-（6），可以利用特征值的方法进行分析。
计算特征值后得到系统的特征方程：λ^3 + (m1 + m2 - b1a1V1* - b2a2V2*)λ^2 + (a1a2P* - (r1 + r2 + m1 + m2))λ + a1a2P*(r1 + r2) = 0通过分析特征方程的根的实部和虚部，可以判断平衡点的稳定性。
食饵-捕食者模型
d bx r ay dx dy x y
d ln x bx r ln y ay c1
(x e
取指数
d
bx
)( y e
r
ay
)c
c 由初始条件确定
用相轨线分析
P(d / b, r / a) 点稳定性
f ( x) fm
( xd ebx )( y r e ay ) c
相轨线趋向极限环
10 0
结构稳定
0
5
10
15
20
两种群模型的几种形式
相互竞争
x1 x2 x1 x2 1 (t ) r1 x1 x 2 (t ) r2 x2 1 2 1 N 1 N , x N N 1 2 1 2
x(t) 的“相位”领先 y( t )
x(t)
T3 : x(t ) y(t )
y(t)
T4 : x(t ) y(t )
T1 2 T2 4 T3
6
8
T410
12
模型解释
捕食者 y r 数量 a r ~食饵增长率 a ~捕食者掠取食饵能力
30 25 20 15
P(d / b, r / a )
弱肉强食
x1 x2 2 (t ) r2 x2 x 1 2 N N 1 2
, y0 ) 初值 P0 ( x0
0 x 0 y
P
T4
0 0
120 100 80 60 40 20 0 0
5
0 x 0 x 0，y 0 P0 y
•
T1
100 120
相轨线的方向
20
40
食饵捕食者阻滞模型差分方程
食饵捕食者阻滞模型差分方程
食饵捕食者阻滞模型是描述捕食者和食饵之间相互作用的一种数学模型。
其差分方程形式可以表示为：
N(t+1) = N(t) + r*N(t)[1 - N(t)/K] - c*N(t)*P(t)
P(t+1) = P(t) + e*c*N(t)*P(t) - d*P(t)
N(t)表示食饵的数量在时间t的时候，P(t)表示捕食者的数量在时间t的时候。
参数r表示食饵的自然增长率，K表示食饵的环境容纳量，c表示食饵与捕食者之间的捕食率，e表示捕食者将食饵转化为自身的效率，d表示捕食者的自然死亡率。
差分方程描述了食饵和捕食者之间的交互作用。
第一行的方程表示食饵的数量根据自然增长率和环境容纳量的限制而变化，同时受到捕食者的捕食率的影响。
第二行的方程表示捕食者的数量根据食饵的消耗和转化效率而变化，同时受到自然死亡率的影响。
通过解析这个差分方程，可以得到在不同参数条件下食饵和捕食者数量的变化规律，从而对生态系统中食饵和捕食者之间的相互作用进行定量分析和预测。
稳定性模型——食饵捕食者地中海鲨鱼问题PPT演示文稿
模型扩展
问题：如果食饵——捕食者系统中，捕食者掠食的对象只 是成年的食饵，而未成年的食饵因体积太小免遭捕获。在 适当的假设下建立这三者之间关系的模型，并求平衡点。
要求：模型方程建立不要求同学们做到，理解年食饵数量，X12(t)为未成年食饵数量，X2(t) 为捕食者数量，由未成年变成成年食饵的存活率为r，仍 不考虑各个种群自身的阻滞增长作用，则模型为
ẋ11=rX12-λ1X11X2， ẋ12=r1X11-rX12， 未成年食饵没有被掠食，但有部分 减少了，rX12是未成年变成成年食饵的数量。 ẋ2=X2(-r2+λ2X11) 式中其余符号与本节(1)式的相同，λ1是捕食者掠取食饵的 能力，r1是繁殖率，rX12是未成年变成成年食饵的数量，r2 是死亡率，λ2是食饵X11对捕食者的供养能力。
• 第四个图形也可以，因为它是 惟一非对称性的图形 。
21
的确，世界是千变万化的，疑问是层 出不穷的，答案是丰富多彩的。在生活 中，看问题的角度，对问题的理解、解 决问题的方法以及问题的答案不上一个 事例很多。你有这样的经历、体验、见 闻和认识吗？
请以“答案是丰富多彩的”为 话题写一篇文章。
2000高考作文题
我们在x>0，y>0的范围内对方程组（1）进行讨论。 用相轨线分析平衡点P(c/f,a/b)的稳定性。
对于x≠0，y≠0，（1）两式相除，得
d d y x ac x ybfx x y yyx ac bfy x
(3)
易解得（3）式的解为
ya eby
xc e fx
K
(4)
其中，K为任意常数，由初始条件确定。
ax
bxy
dy
dt
cy
fxy
食饵捕食者模型
食饵捕食者模型Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】楚雄师范学院数学系《数学模型》课程食饵—捕食者模型3. 讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab 软件画出图形。
自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙靠捕食甲为生，形成鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，落叶松和蚜虫等等都是这种生存方式的典型，生态学称种群甲为食饵，种群乙为捕食者。
二者共同组成食饵—捕食者系统。
一食饵—捕食者选用食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象,设)(t x /)(1t x 为食饵(食用鱼)在时刻t 的数量，)(t y /)(2t x 为捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量，1r 为食饵(食用鱼)的相对增长率，2r 为捕食者(鲨鱼)的相对增长率；1N 为大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量，2N 为大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的最大容量，1σ为单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍；2σ为单位数量食饵（相对于1N ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍；d 为捕食者离开食饵独立生存时的死亡率二模型假设1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；三模型建立食饵(食用鱼)独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为1r ，即rx x ='，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是)(t x 满足方程axy rx ay r x t x -=-=')()( (1)比例系数a 反映捕食者掠取食饵的能力。
食饵捕食者模型
摘要
自然界中不同种群之间存在着一种有趣的既有依存，又有制约的生存方式： 种群甲靠丰富的自然资源生长，而种群乙靠捕食种群甲为生。生态学上称种群甲 为食饵 (Pr ey ) ，种群乙为捕食者 (Pr edator ) ，二者共处组成食饵——捕食者系统 （简称 P P 系统） 。为了对食饵、捕食者的数量关系做出分析和预测，建立了食 饵——捕食者模型：根据微分方程稳定性理论辅之以相轨线分析，对具有自身阻 滞作用的两种群的数量关系做出分析和预测。
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(t ) rx(1 x
其中因子 (1 用，
x ) N
x ) 反映由于甲对有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作 N
x 可解释为相对于 N 而言单位数量的甲消耗别的供养甲的食物量（设食物 N 总量为 1） 。 当两个种群在同一自然环境中生存时， 考察由于乙消耗同一种有限资源对甲 x 的增长产生的影响，可以合理的在因子 (1 ) 中再减去一项，该项与种群乙的 N
MATLAB 代码为： function xdot=shier(t,x) r=1;d=0.5;a=0.2;b=0.01;n=0.01;m=0.1; xdot=[(r-n*x(1)-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2)).*x(2)]; >> clear; >> ts=0:0.1:25; >> x0=[25,2]; >> [t,x]=ode45('shier',ts,x0); >> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), >> pause, >> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
具有B-D功能反应项的捕食者—食铒模型的稳定性
具有B-D功能反应项的捕食者—食铒模型的稳定性具有B-D功能反应项的捕食者—食铒模型的稳定性自然界中的食物链与生态系统中存在着各种捕食者和食物相互作用，其中捕食者-食物模型是研究这种相互作用的重要工具。
在生态学领域，研究者们提出了许多不同类型的模型来描述捕食者与食物之间的关系，其中包括具有B-D功能反应项的捕食者-食物模型。
在此模型中，B-D功能反应项用于描述捕食者对食物的消耗。
B-D变量代表食物消耗的速率，其中B项表示食物的增长速率，D项表示捕食者对食物的消耗速率。
这个模型的基本形式可以表示为dF/dt = F (B - D), dP/dt = P (D - aB)，其中F和P分别代表食物和捕食者的数量，a则是捕食者对食物的摄食率。
研究者们对这个模型的稳定性提出了广泛的兴趣。
稳定性研究的目的是了解捕食者和食物在系统中长期共存的可能性。
通过研究模型的稳定性，我们可以预测和评估生态系统的稳定性，并提出保护和管理相关物种的建议。
在具有B-D功能反应项的捕食者-食物模型中，稳定状态可以通过研究系统方程的平衡点来确定。
平衡点是捕食者和食物数量不再变化的点，它是模型的稳定状态。
通过分析平衡点的性质，我们可以了解捕食者和食物种群的长期变化趋势。
在这个模型中，平衡点的稳定性可以通过线性稳定性分析来研究。
线性稳定性分析是通过线性化系统方程来评估平衡点的稳定性。
通过计算平衡点的雅可比矩阵，并求解其特征值，我们可以判断平衡点是稳定的、不稳定的，或者是其他类型的稳定性，例如极限环或者周期解。
具有B-D功能反应项的捕食者-食物模型的稳定性分析可以分成两种情况：捕食者为自然死亡型或倍增型。
对于自然死亡型的捕食者模型，其稳定性更易判断，因为自然死亡项对稳定性的影响较小。
然而在倍增型捕食者模型中，自然死亡项对稳定性的评估十分重要。
具有B-D功能反应项的捕食者-食物模型的稳定性对于生态系统的保护和管理具有重要意义。
通过研究模型的稳定性，我们可以预测和评估不同生态系统中的捕食者和食物物种的长期共存潜力。
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楚雄师范学院数学系《数学模型》课程
食饵—捕食者模型
3. 讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab 软件画出图形。
自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙靠捕食甲为生，形成鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，落叶松和蚜虫等等都是这种生存方式的典型，生态学称种群甲为食饵，种群乙为捕食者。
二者共同组成食饵—捕食者系统。
一食饵—捕食者
选用食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象,设)(t x /)(1t x 为食饵(食用鱼)在时刻t 的数量，)(t y /)(2t x 为捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量，1r 为食饵(食用鱼)的相对增长率，2r 为捕食者(鲨鱼)的相对增长率；1N 为大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量，2N 为大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的最大容量，1σ为单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍；2σ为单位数量食饵（相对于1N ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍；d 为捕食者离开食饵独立生存时的死亡率
二模型假设
1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；
2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；
三模型建立
食饵(食用鱼)独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为
1r ，即rx x ='，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数
量成正比，于是)(t x 满足方程
axy rx ay r x t x -=-=')()( (1)
比例系数a 反映捕食者掠取食饵的能力。
由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为d ，即dy y -='，而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。
设这种作用与食饵数量成正比，于是)(t y 满足
bxy dy bx d y t y +-=+-=')()( (2)
比例系数b 反映食饵对捕食者的供养能力。
方程(1)、(2)是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，这里没有考虑种群自身的阻滞作用，是Volterra 提出的最简单的模型。
结果如下。
不考虑自身阻滞作用:数值解
令x(0)=x0,y(0)=0,设r=1,d=0.5,a=0.1,b=0.02,x0=25,y0=2 使用Matlab 求解 求解如下
1）先建立M 文件 function xdot=shier(t,x) r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;
xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)]; 2)在命令窗口输入如下命令： ts=0:0.1:15; >> x0=[25,2];
>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],
>> ts=0:0.1:15;
x0=[25,2];
[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x],
ans =
省略
>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),
>>>> pause
>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
（可以猜测，x(t),y(t)是周期函数,与此相应地相轨线y(x)封闭曲线，从数值解近似定出周期为10.7，x 的最大最小值分别为99.3，2.0，y 的最大，最小值分别为28.4和2.0，容易算出x(t),y(t)再一个周期的平均值为25，10.）
考虑阻滞作用
下面对（3）（4）进行平衡点稳定性分析： 由微分方程(3)、(4)
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨
⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=-+---2211212222111111),(),(2121N x N x x r N x N x x r x x g x x f σσ 令f(x1,x2)=0,g(x1,x2)=0 得到如下平衡点:
)0,(11N P , )1)
1(,1)1((
2
12221112σσσσσσ+-++N N P , )0,0(3P
因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时(0,21≥x x )才有意义，所以，对2P 而言要求2σ>0。
按照判断平衡点稳定性的方法计算：
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤-+--
--=⎢⎢
⎣⎡⎥⎥⎦⎤=)21()
21(2211221
2
222
1112
2
111121
21
N x N x r N x r N x r N x N x r g g f f A x x x x σσσσ
根据p 等于主对角线元素之和的相反数，而q 为其行列式的值，我们得到下表：
五模型分析与检验
1.平衡点稳定性的分析及其实际意义：
1) 对)0,(11N P 而言，有p =)1(221--σr r ，q =)1(221--σr r ，故当2σ<1时，平衡点)0,(11N P 是稳定的。
意义：如果)0,(11N P 稳定，则种群乙灭绝，没有种群的共存。
2)对)1)1(,1)1((
212221112σσσσσσ+-++N N P 而言，有p =2
122111)1()1(σσσσ+-++r r ，
q =
2121211)1)(1(σσσσ+-+r r ，故当2σ>1时，平衡点)1)
1(,1)1((2
12221112σσσσσσ+-++N N P 是稳定的。
意义：如果)1)
1(,1)1((2
12221112σσσσσσ+-++N N P 稳定，则两物种恒稳发展，会互相依
存生长下去。
3)对)0,0(3P 而言，由于21r r p +-=，21r r q -= ，又有题知1r >0,2r >0,故q <0,即)0,(11N P 是不稳定的。
六用MATLAB 求解验证
下面将进行MATLAB 软件求解此微分方程组中的)(1t x 、)(2t x 的图形及相轨线
图形。
设21=σ，62=σ，11=r ，3.02=r ，30001=N ,4002=N ,使用MATLAB 软件求 1)建立M 文件
function y=fun(t,x)
y=[x(1).*(1-x(1)./3000-2*x(2)./400);0.3.*x(2).*(-1+6.*x(1)./3000-x(2)./400)];
2)在命令窗口输入如下命令：
ts=0:0.1:20
ts =省略
>> x0 =[3000 60] x0 =
3000 60
>> [t,x]=ode45('fun',[0,20],[3000,60])
t =省略
>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)')
图1.数值解)(1t x ，)(2t x 的图形
>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
图2.相轨线图形
从数值解及)(1t x ，)(2t x 的图形可以看出他们的数量变化情况，随着时间的推移，都趋于一个稳定的值，从数值解中可以近似的得到稳定值为：(750,150)。
参考文献：数学模型（教材，第三版）P192-P196。