交大概率论数理统计第二次作业答案
历年西安交通大学概率论与数理统计试题及答案
(0,)N σ21215X X ++++量X 服从共 4 页 第 1 页共4 页第2 页求（1）θ的矩估计；共4 页第3 页共4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A ） 课时：48 考试时间：2007 年7 月9 日180200169P -⎧⎨⎩1.54)＝0.93941()x dx =⎰页1(1,F n -(24,19)=0.429,221.507≈∈12(t n n +0.05(43)t =-2.647 1.681-<-)B=)1Y≥=个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任分布，若将它们串联成整机，求整机寿命的分布密度。
西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48 考试时间：2008 年7 月9 日三、exp(),5X2(5,)B e-，∴四、设1iX⎧=⎨⎩第 1页5,x e λ--exp(5)λ(365N ⨯3652)3652⨯=⨯1X θθ=+第2 页N的样本(0,1)是来自正态总体N转中同时需要调整的部件数，求(E Xˆμ,它是否是西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)=i n1,2,E X=()设供电站每天要向居民供电的量为N, 居民每天用电量为的极大似然估计量为,X XX( Z xf zμ>X-()Pλ，且已知{(,)=G x y，共2 页第1 页分）银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知这批债券共发放了共 2 页第 2 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)个地区，i9,0< x x(500N ⨯的把握满足客户的兑换）exp(),exp(),(2),2ii iiX Y X Y χθθ∴=即 21122(2)nni ii i nXX Y n χθθ==∴==∑∑ ）(2)n χθ2nXλ∴<<2112(2), n αλχ-∴=。
概率论与数理统计作业2填空题
P A1 0.6, P A2 0.4, P B | A1 0.8, P C | A1 0.2, P C | A2 0.9. P B | A2
0.1,
0.4 0.9 P A2 P C | A2 0.75. P A2 | C （2） P A1 P C | A1 P A2 P C | A2 0.6 0.2 0.4 0.9 7
P ( B ) 0.93源自P( B | A) 0.85
P( B A) P( B) P( AB) 0.93 P( AB) P( B | A) 0.85 1 P( A) 1 0.92 P( A) P ( AB ) 0.862
(1) P ( A B) P ( A) P ( B) P( AB) 0.988
当A B时， P ( AB ) P ( A) 当B A时， P( A) P( A B)
当AB 时，P( A B) P( A) P( B)
2
三、设A、B为随机事件，并且 P( A) 0.5
P ( B | A) 0.8 ，计算 P( AB) P( A) P( B | A) 0.4 P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.7
2 1 0.97 0.98 0.973 3 3
6
七、 发报台分别以概率 0.6 及 0.4 发出信号“·”及“-”，由于通 信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台以概率 0.8 及 0.2 收
到信号“·”及“-”；又当发出信号“-”时，收报台以概率 0.9 及 0.1 收 到信号“-”及 “·” ，求 （1）当收报台收到信号“·”时，发报台确系发出信号“·”的概率； （2）当收报台收到信号“-”时，发报台确系发出信号“-”的概率。 解 设 A1 表示发报台发出信号“·”设 ， A2 表示发报台发出信号“-”。
《概率论与数理统计》习题及答案 第二章
《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。
上海交通大学概率论与数理统计习题全解
(2) 因 为 P ABC P ABC P AB ， 故 所 求 P ABC P AB P ABC
0.1 0.03 7% 。
(3)类似(1)计算可得， P ABC 0.23, P ABC 0.2 ，故所求 P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC
解：(1) ABC 表示非平装的中文数学书； (2)若 C B ，则说明非平装图书都是中文图书； (3) A B A B ，即所有数学书都不是中文版的。
证：(1) A B AB, A A B A A B A A B AA AB AB AB ，
所以 A B A A B 。
上海交通大学《概率论与数理统计(第二版)》习题全解
习题 1
解：(1) 1,2,3 ； (2) 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12；
(3) n n为自然数； (4) 1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5；
(5) 合格,合格,合格,不合格,不合格,不合格； (6) t1,t2 t1 9, t2 19 ；
2
概率。 解：
上海交通大学《概率论与数理统计(第二版)》习题全解
设两艘船的到达时刻为 x, y ，则 0 x, y 24 ，两船相会的条件为 0 x y 1，
0 y x 2 。如图，由几何概率知，所求概率为
1 232 1 222
22 242
0.879 。
3. 两人约好在某地相会，两人随机地在下午 1 点与 2 点之间到达相会地点，求
PBi 0.51,0.49, P A Bi 0.05, 0.025 。
2
19春北交《概率论与数理统计》在线作业二答案
(单选题)1: 设随机变量的数学期望E（ξ）=μ，均方差为σ，则由切比雪夫不等式，有{P（|ξ-μ|≥3σ）}≤（）A: 1/9B: 1/8C: 8/9D: 7/8正确答案:(单选题)2: 环境保护条例规定，在排放的工业废水中，某有害物质含量不得超过0.5‰ 现取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：0.53‰,0.542‰，0.510‰ ，0.495‰ ， 0.515‰则抽样检验结果( )认为说明含量超过了规定。
A: 能B: 不能C: 不一定D: 以上都不对正确答案:(单选题)3: 对于任意两个随机变量X和Y,若E(XY)=EX*EY,则（）。
A: D(XY)=DX*DYB: D(X+Y)=DX+DYC: X和Y相互独立D: X和Y互不相容正确答案:(单选题)4: 设X,Y为两个随机变量，则下列等式中正确的是A: E(X+Y)=E(X)+E(Y)B: D(X+Y)=D(X)+D(Y)C: E(XY)=E(X)E(Y)D: D(XY)=D(X)D(Y)正确答案:(单选题)5: 设随机变量X~B(n,p),已知EX=0.5,DX=0.45,则n,p的值是（）。
A: n=5,p=0.3B: n=10,p=0.05C: n=1,p=0.5D: n=5,p=0.1正确答案:(单选题)6: 已知随机变量X～N(-3,1),Y～N(2,1),且X与Y相互独立，Z=X-2Y+7，则Z～A: N(0,5)B: N(1,5)C: N(0,4)D: N(1,4)正确答案:(单选题)7: 某门课只有通过口试及笔试两种考试方可结业。
某学生通过口试的概率为80%，通过笔试的概率为65%。
至少通过两者之一的概率为75%，问该学生这门课结业的可能性为（）A: 0.6B: 0.7C: 0.3D: 0.5正确答案:(单选题)8: 事件A与B互为对立事件，则P(A+B)＝A: 0B: 2坏的概率依次为0.3，0.2，0.1，则电路断路的概率是A: 0.325B: 0.369C: 0.496D: 0.314正确答案:(单选题)10: 进行n重伯努利试验，X为n次试验中成功的次数，若已知EX＝12.8，DX=2.56 则n=（）A: 6B: 8C: 16D: 24正确答案:(单选题)11: 利用样本观察值对总体未知参数的估计称为( )A: 点估计B: 区间估计C: 参数估计D: 极大似然估计正确答案:(单选题)12: 设服从正态分布的随机变量X的数学期望和均方差分别为10和2，则变量X落在区间（12,14）的概率为（）A: 0.1359B: 0.2147C: 0.3481D: 0.2647正确答案:(单选题)13: 如果随机变量X和Y满足D（X+Y）=D（X-Y），则下列式子正确的是（）A: X与Y相互独立B: X与Y不相关C: DY=0D: DX*DY=0正确答案:(单选题)14: 设A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为 ( )A: “甲种产品滞销或乙种产品畅销”；B: “甲种产品滞销”；C: “甲、乙两种产品均畅销”；D: “甲种产品滞销，乙种产品畅销”．正确答案:(单选题)15: 对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为 90% , 而当机器发生某一故障时，其合格率为 30% 。
历年西安交通大学概率论与数理统计试题及答案
2(0,)N σ15)X 是来自225122156)X X X ++++服从的分布是___ 机变量X 服从数为λ的]2)1=，则λ= 设两个随机变量X 与Y 的方差分别为共 4 页 第 1 页共4 页第2 页,)X为来自总体n求（1）θ的矩估计；(10分)设ˆθ是一定是θ的相合估计。
共4 页第3 页共4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A ） 课时：48 考试时间：2007 年7 月9 日(200,169)N 180200169P -⎧⎨⎩1.54)＝0.93941()x dx =⎰1X θ=+,得1()(nk f θ==∏,),n1,,),n 当0,)nln k x ∑，求导得似然方程0=其唯一解为2，故θ的极大似然估优于页1(1,F n -(24,19)=0.429,21.507≈∈2的条件下，进一步检验假设：2μ<。
选取检验统计量12(t n n +0.05(43)t =-2.647 1.681-<-)B=)1Y≥=个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任个人在不同楼层走出电梯的概2=-1Xe-5,,X 都服从参数为分布，若将它们串联成整机，求整机寿命的分布密度。
分）某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为且每天出售的汽车数是相互独立的，西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48 考试时间：2008 年7 月9 日三、1exp(),5 X2 (5,)B e-，∴四、设1iX⎧=⎨⎩第,n1n-第 1页1,2,,5min {k X 5,0,x e λ--0,x > exp(5)λ,365,(3652,365iN ⨯⨯3652)3652-⨯=⨯七、()E X dx θθ==+1X θθ=+2⎪⎫； 1)(ni θ==∏()ln nθθ= 第 2 页(0,1)N 的样本9,)X 是来自正态总体N 的置信区间为 分）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有1,2,,n.设各部件的状态相互独立，以转中同时需要调整的部件数，求(E X,)X是来自总体的一组样本nˆμ,它是否是的极大似然估计量*μ，它是否是西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)n，则X,nX相互独立，1,2,i n= ()E X=()D X: (1)0x y<<<⎰⎰10000,X独立同分布，1,2,n ，因此当,)n x 中最小值时，的极大似然估计量为 ,}n X 2,}n X X 分布函数是1(1(X F z --，分布密度是((Z x f z μμ>≤ ()n x nxe dx μ--=12min{,,}n X X X 不是统计量X T S -=代入数据()Pλ，且已知{(,)=G x y，X）为来自总体服从参数为…,n，λ>服从以λ(0)求该样本的联合密度函数共2 页第1 页5,,X 是独立同分布的随机变量，其共同密度函数为：，试求5,,)Y X =的数学期望和方差。
概率论与数理统计作业与解答
概率论与数理统计作业及解答第一次作业 ★ 1.甲.乙.丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹•设事件ABC 分别表示甲.乙.丙 击中目标.则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示• 事件E 丸事件A, B,C 最多有一个发生｝,则E 的表示为E =ABC ABC ABC ABC;或工 ABU AC U B C;或工 ABU ACU BC;或工 ABACBC ；或工 ABC_(AB C ABC A BC ).(和 A B 即并AU B,当代B 互斥即AB 二'时.AU B 常记为AB)2. 设M 件产品中含m 件次品.计算从中任取两件至少有一件次品的概率★ 3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只.计算以下事件的概率A 二｛8只鞋子均不成双｝, B=｛恰有2只鞋子成双｝, C 珂恰有4只鞋子成双｝.C 6 (C 2 )6 32C 8C 4(C 2)4 800.2238, P(B) 8 皆 0.5594,P(A) 8/143★ 4.设某批产品共50件.其中有5件次品•现从中任取3件•求 (1) 其中无次品的概率-(2)其中恰有一件次品的概率‘ /八 C 5 1419 C ：C 5 99⑴冷0.724.⑵虫产0.2526. C 50 1960C 503925. 从1〜9九个数字中•任取3个排成一个三位数•求 (1) 所得三位数为偶数的概率-(2)所得三位数为奇数的概率•4(1) P ｛三位数为偶数｝ = P ｛尾数为偶数｝=-,9⑵P ｛三位数为奇数｝ = P ｛尾数为奇数｝ = 5,9或P ｛三位数为奇数｝ =1 -P ｛三位数为偶数｝ =1 -彳=5.9 96. 某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码 求(1)最小号码为5的概率 ⑵ 最大号码为5的概率 记事件A =｛最小号码为5｝, B=｛最大号码为5｝.1 12 C m C M m C mm(2M - m -1)M (M -1)6 —C 16143P(C)二 C 8CJC 2)300.2098.143C 16C 2 iC 2⑴ P(A)=# 詁;(2) P(B )X =C 10 12C 107. 袋中有红、黄、白色球各一个 每次从袋中任取一球.记下颜色后放回 共取球三次 求下列事件的概率：A=｛全红｝ B =｛颜色全同｝ C =｛颜色全不同｝ D =｛颜色不全同｝ E =｛无 黄色球｝ F =｛无红色且无黄色球｝ G =｛全红或全黄｝.1 11A 3!2 8P (A)=3^2?P (B )=3P (A )=9, P(C^#=?=9, P(DH ^P(BH?28 1 1 2P(E)亏方P(F)亏审 P(G r 2P(A)盲☆某班n 个男生m 个女生（m^n 1）随机排成一列•计算任意两女生均不相邻的概率☆ •在[0 ■ 1]线段上任取两点将线段截成三段•计算三段可组成三角形的概率14第二次作业1.设 A B 为随机事件 P(A)=0.92 ■ P(B)=0.93 P(B|Z)=0.85 求 ⑴ P(A|B) (2) P (AU B) ■ (1) 0.85 =P(B| A) =P(A B )P (AB ),P (A B )=0.85 0.08=0.068,P(A) 1-0.92P(AB)二 P(A) -P(AB)二 P(A) - P(B) P(AB) = 0.92 -0.93 0.068 = 0.058,P(A| B): = P(AB) = 0.。
概率论与数理统计第二次在线作业
第二次在线作业1.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：A 2.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：B 3.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：D 4.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：B 5.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：B 6.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：C 7.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：D 8.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：D 9.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：D 10.（2.5分）A、.B、.C、.我的答案：A 11.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：C 12.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：D 13.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：C 14.（2.5分）B、.C、.D、.我的答案：B 15.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：A 16.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：B 17.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：D 18.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：B 19.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：A 20.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：A 21.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：D 22.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：B 23.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：D 24.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：C 25.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：A 26.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：C 27.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：C 28.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：C 29.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：A 30.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：D 31.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：C 32.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：B 33.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：C 34.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：D 35.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：D 36.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：D 37.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：D 38.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：A 39.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：B 40.（2.5分）A、.B、.C、.D、.我的答案：D。
概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案
于是， X 的分布律为
P ( X k ) p k 1 (1 p ) (1 p ) k 1 p ， k 2,3, ．
7．随机变量 X 服从泊松分布，且 P ( X 1) P ( X 2) ，求 P ( X 4) 及 P ( X 1) ．
3
解： P ( X 1) P ( X 2) ，
(3) 方法 1： P (1 X 3) P ( X 1) P ( X 1) P ( X 2) 1 ． 方法 2： P (1 X 3) F (3) F (1 0) 1 0 1 ． 4．一制药厂分别独立地组织两组技术人员试制不同类型的新药．若每组成功的 概率都是 0.4，而当第一组成功时，每年的销售额可达 40000 元；当第二组成 功时，每年的销售额可达 60000 元，若失败则分文全无．以 X 记这两种新药 的年销售额，求 X 的分布律． 解：设 Ai {第 i 组取得成功}， i 1,2 ， 由题可知， A1 ， A2 相互独立，且 P ( A1 ) P ( A2 ) 0.4 ． 两组技术人员试制不同类型的新药， 共有四种可能的情况：A1 A2 ，A1 A2 ，A1 A2 ，
2
P ( X 0) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) 0.36 ，
60000 0.24
40000 0.24
0 0.36
5．对某目标进行独立射击，每次射中的概率为 p ，直到射中为止，求： (1) 射击次数 X 的分布律；(2) 脱靶次数 Y 的分布律． 解：(1) 由题设， X 所有可能的取值为 1，2，…， k ，…， 设 Ak {射击时在第 k 次命中目标}，则
1 ln 3) ；(3) 分布函数 F ( x) ． 2
概率论与数理统计习题及答案第二章.doc
习题 2-21. 设 A 为任一随机事件 , 且 P ( A )= p (0< p <1). 定义随机变量1, 发生 ,XA0, 不发生 .A写出随机变量 X 的分布律 .解 { =1}= ,{ =0}=1- p .P X p P X或者X 0 1P1- pp2. 已知随机变量X 只能取 -1,0,1,2 四个值 , 且取这四个值的相应概率依次为1 , 3 , 5 , 7. 试确定常数 c ,并计算条件概率 P{ X1 | X0} .2c 4c 8c 16c解 由离散型随机变量的分布律的性质知，1 3 571,2c4c8c 16c37所以 c .161P{ X1}8所求概率为{ <1|X0 }=2c.P XP{ X 0}1 5 7252c 8c 16c3. 设随机变量 X 服从参数为 2, p 的二项分布 , 随机变量 Y 服从参数为 3, p 的二项分布 ,若P{X ≥1}5, 求P{Y ≥1}.9解 注意 p{x=k}=C n k p k q n k , 由题设 5P{ X ≥1}1 P{ X0} 1 q 2 ,9故 q1 p2 从而.3P{Y ≥1} 1 P{ Y 0}1 (2 )3 19 .3 274. 在三次独立 的重复试验中 , 每次试验成功的概率相同 , 已知至少成功一次的概率19为, 求每次试验成功的概率 .27解设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是19，那么一次都27没有成功的概率是8 . 即 (1 p)38 ,故p = 1 .272735. 若 X 服从参数为的泊松分布 ,且P{X1} P{ X 3}, 求参数 .解 由泊松分布的分布律可知 6 .6. 一袋中装有 5 只球 , 编号为 1,2,3,4,5.在袋中同时取 3 只球, 以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码 , 写出随机变量 X 的分布律 .解 从 1，2，3，4，5 中随机取 3 个，以 X 表示 3 个数中的最大值， X 的可能取值是 3，4，5，在 5 个数中取 3 个共有C 5310 种取法 .{ =3} 表示取出的 3 个数以 3 为最大值， P{=3}=C 22= 1;C 53 10{ =4} 表示取出的 3 个数以 4 为最大值， P{=4}=C 323 ;C 53 10 { =5} 表示取出的 3 个数以 5 为最大值， P{=5}=C 423 .5 C 53X 的分布律是X 3 45P13310105习题 2-31. 设 X 的分布律为X -11P求分布函数( ), 并计算概率 { <0},{ <2},{-2 ≤ <1}.F xPXPXPX0, x 1, 解 (1)0.15, 1≤ x 0,F ( x )=0≤ x 1,0.35, 1,x ≥1.(2) P { X <0}= P { X =-1}=; (3) P { X <2}= P { X =-1}+ P { X =0}+P { X =1}=1; (4) P {-2 ≤ x <1}= P { X =-1}+ P { X =0}=.2. 设随机变量 X 的分布 函数为( ) = + arctan x - ∞< <+∞.F xA Bx试求 : (1) 常数 A 与 B ; (2)X 落在 (-1, 1] 内的概率 .解 (1) 由于 (- ∞)=0,(+∞)=1, 可知F FA B()1 12A, B.A B( )122于是F ( x) 1 1arctan x, x .2(2) P{ 1X ≤1} F (1) F ( 1)1 1 1 1arctan( 1))( arctan1) (2 21 1 1 1 () 1 .2424 23. 设随机变量 X 的分布函数为F ( x )=0,x 0, x,0≤x 1,1,x ≥1,求 P { X ≤ -1}, P { < X <}, P {0< X ≤ 2}.解 P {X ≤ 1} F( 1) 0,P {< X <}= F - F {}- P { X =}=, P {0< X ≤2}= F (2)- F (0)=1.5.X 的绝对值不大于1;P{ X1}1 1}1 假设随机变量 ,P{X; 在事件{ 1 X 1} 出现的条件下 ,84X 在 (-1,1) 内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比 . (1) 求 X 的分布函数 F ( x) P{ X ≤ x }; (2)求 X 取负值的概率 p .解 (1) 由条件可知 ,当 x1时,F ( x) 0 ;当 x 1 时 , F ( 1) 1;当 x 1时 , 8F (1)= P { X ≤ 1}= P ( S )=1.所以P{ 1 X1} F (1) F ( 1)P{X 1}1 1 514.88易见 , 在 X 的值属于 (1,1) 的条件下 , 事件 { 1 X x} 的条件概率为P{ 1 X ≤ x | 1X 1} k[ x( 1)],取 x =1 得到 1= k (1+1),所以 k = 1.2x 1 . 因此P{ 1 X ≤x | 1 X 1}于是 , 对于1 x 1 ,有2P{ 1X ≤ x} P{ 1X ≤ x, 1 X 1}P{ 1 X 1} P{ 1 X ≤ x | 1 X 1}5 x 1 5x 5 . 对于 x ≥1,8 2 16有 F ( x) 1. 从而0, x 1, F ( x)5x 7 , 1x 1,161, ≥x1.(2) X 取负值的概率p P{ X0} F(0) P{ X0} F (0) [F(0)F (0 )] F (0 )7 . 习题 2-4161. 选择题设 f ( x)2x, x [0, c],则 f ( x) 是某一随机变量的概率(1)0,x如果 c =(),[0, c].密度函数 .(A)1(B)1.(C) 1.(D)3.2.3c2f ( x)dx 11 ,于是 c 1解 由概率密度函数的性质可得2xdx, 故本题应选 (C ).(2) 设 X ~ N (0,1), 又常数 c 满足 P{ X ≥ c} P{ X c} , 则 c 等于 ( ).(A) 1.(B) 0.(C)1 (D) -1..2解因为P{ X ≥ c} P{ X c} ,所以 1 P{ X c} P{ X c} , 即2P{ Xc} 1, 从而 P{X c} 0.5 , 即 ( c) 0.5 , 得 c =0. 因此本题应选 (B).(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).cos x, x [0, ],1x2,(A)f (x)(B)f (x),0,其它 .20,其它 .1( x) 2x≥22e,≥ 0,e , x0, (C)f (x) (D)f ( x)20, x0.0,x 0.解 由概率密度函数的性质f ( x)dx 1 可知本题应选 (D).(4) 设随机变量X ~ N(,42) , Y~N(,52), P 1P{X ≤4 },P 2 PY ≥ 5 }, 则( ).(A) 对任意的实数 , P 1P 2 . (B) 对任意的实数 , P 1 P 2 .(C) 只对实数的个别值 ,有P 1 P 2 . (D) 对任意的实数 , P P .12解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数, 有P 1( 1) 1 (1) P 2 .因此本题应选 (A).Xf xf (x)f ( x)F x(5) 设随机变量 的概率密度为 , 且 , 又( )为分布函数 , 则对任意实数 a , 有 ( ).a(A)F ( a) 1∫0 f (x)dx .(B)F ( a)(C) F ( a)F ( a) . (D) Fa解由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为1 a2 ∫0f ( x)dx.2F ( a) 1 .(B).(6) 设随机变量X 服从正态分布N (1, 12 ) , Y 服从正态分布 N ( 2, 22) ,且P{ X11} P{ Y21},则下式中成立的是 (). (A) σ1 < σ2 .(B)σ 1 > σ 2 .(C)μ1 <μ2 .(D)μ1 >μ2 .解 答案是 (A). XN(0 1)u 满足(7) 设随机变量 服从正态分布对给定的正数, 数(0,1),P{ X u }, 若P{X x}, 则 x 等于 ().(A)u .(B)u.(C)u 1-.(D)u 1.2122解 答案是 (C).2. 设连续型随机变量 X 服从参数为的指数分布 ,要使P{ kX 2k}1成立 ,4应当怎样选择数 k ?解 因为随机变量 X 服从参数为的指数分布 , 其分布函数为F ( x)1 e x , x 0,0,x ≤ 0.由题意可知1 P{ k X 2k} F(2k) F ( k) (1 e2 k )(1 e k ) e k e 2 k .4于是kln 2.3. 设随机变量 X 有概率密度f ( x) 4 x 3 , 0 x 1, 0,其它 ,要使 P{ X ≥ a}P{ Xa} ( 其中 a >0) 成立 , 应当怎样选择数 a ?解由条件变形 , 得到 1P{ Xa} P{ Xa},可知P{ X a} 0.5 ,于是a3dx 0.5,因此 a14x.424. 设连续型随机变量 X 的分布函数为0,x 0,F ( x)x 2 , 0≤x ≤1,1,x 1,求: (1)X 的概率密度 ; (2) P{0.3 X 0.7} .解 (1)根据分布函数与概率密度的关系F ( x)f ( x) ,可得f (x)2x, 0 x 1,0, 其它 .(2)P{0.3 X0.7}F (0.7) F (0.3) 0.720.320.4 .5. 设随机变量 X 的概率密度为2x,0≤ x ≤1,f ( x ) ＝其它 ,0,求P {X ≤ 1}与P {1＜ X ≤2}.241}11 1解P{X ≤ 22xdx x 22 ;24P{ 1 X ≤2}1 2 xdx x 2 1 15 .1444 166. 设连续型随机变量 X 具有概率密度函数x,0 x ≤1,f ( x) Ax,1x ≤2,0,其它 .求 : (1) 常数 A ； (2) X 的分布函数 F ( x ).解 (1) 由概率密度的性质可得11 2( A x)dx1 x2xdx12于是A 2；(2) 由公式 F ( x) xf ( x)dx可得当 x ≤0 时 , F ( x) 0 ; 当 0x ≤1时 ,F( x)x1 x2 ;xdx2当 1x ≤2时 ,F ( x)1x(2xdx1当 x >2 时,F ( x) 1.0,1 x2 , 所以F ( x)2 x 22x1,2112[ Ax x 2]A 1,21x 2 x)dx 2x1;2x ≤ 0,0 x ≤ 1,1 x ≤ 2,1,x2.7. 设随机变量 X 的概率密度为1f ( x) 4( x 1), 0 x 2,0, 其它 ,对 X 独立观察 3 次, 求至少有 2 次的结果大于 1 的概率 . 解根据概率密度与分布函数的关系式P{ a X ≤ b} F (b) F ( a)b f ( x)dx ,a可得P{ X 1} 21 ( x 1)dx 54.1 8 所以 , 3 次观察中至少有2 次的结果大于 1 的概率为C 2(5)2(3) C 3 ( 5)3 175 .8 8 2568 4x 2 8. 设 X ~U(0,5) , 求关于 x 的方程 4 Xx 2 0 有实根的概率 .解 随机变量 X 的概率密度为1, ≤ x 5,f ( x)50, 其它 ,若方程有实根 , 则16 X 232≥0, 于是 X 2 ≥ 2. 故方程有实根的概率为P { X 2 ≥2}= 1P{ X 2 2}1 P{2 X2}1 21dx0 512 .59. 设随机变量 X ~ N(3,22) .(1)计算 P{2 X ≤5} , P{ 4 X ≤10}, P{| X | 2}, P{X 3}；(2)确定 c 使得P{ X c} P{ X ≤ c}; (3) 设 d 满足 P{ X d}≥0.9 , 问 d 至多为多少？解 (1) 由 P { a <x ≤ b }= P { a3 X 3 ≤ b 3 } Φ( b 3 ) Φ( a 3)公式,得到2 2 2 22XΦ(1) Φ( 0.5) 0.5328P,{2< ≤5}=P {-4< X ≤10}= Φ(3.5) Φ( 3.5) 0.9996,P{|X|2}=P{X2} +P{X2}=1 2 32 3Φ() +Φ(2 ) =,2P{ X 3} =1 P{ X ≤3} 1Φ( 3 3 ) 1 Φ(0) = .2(2) 若P{Xc}P{ X ≤ c} , 得 1P{ X ≤ c}P{ x ≤ c} ,所以P{ X ≤ c} 0.5由 Φ(0) =0 推得c3 0, 于是 c =3.2 Φ(d3(3)P{ X d}≥ 0.9 即1)≥ 0.9 , 也就是2Φ( d 3 )≥ 0.9 Φ(1.282) ,2因分布函数是一个不减函数, 故(d 3)≥ 1.282,2解得d ≤ 3 2 ( 1.282) 0.436 .10. 设随机变量 X ~ N (2, 2) , 若 P{0 X4} 0.3 , 求 P{X 0} .解 因为X ~ N2,所以 ZX~ N(0,1). 由条件 P{0 X4} 0.3可知0.3 P{0 X4}0 2X 24 22(2P{}( )) ,于是 222 ( )10.3从而 ( )0.65 .,P{X 0}P{X202}(22 所以) 1( ) 0.35.习题 2-5 1. 选择题(1) 设 X 的分布函数为 F ( x ), 则 Y 3 X 1 的分布函数 G y 为( ).(A) F (1 1 (B)F (3 y 1) .y) .3311(C)3F ( y) 1.(D)F ( y).3 3解 由随机变量函数的分布可得 , 本题应选 (A).(2) 设X~N 01 ,令YX 2, 则Y ~().(A)N( 2, 1). (B)N(0,1) . (C) N( 2,1) . (D)N (2,1) .解 由正态分布函数的性质可知本题应选 (C).2. 设 X ~ N(1,2), Z 2X 3 , 求 Z 所服从的分布及概率密度 . 解 若随机变量 X ~ N(,2) , 则 X 的线性函数 YaX b 也服从正态分布 , 即Y aX b ~ N( a b,( a ) 2). 这里 1,2 , 所以 Z ~ N(5,8) .概率密度为1 ( x 5) 2f (z)16,x.e43. 已知随机变量 X 的分布律为X -1137P(1) 求 ＝2－ X 的分布律； (2) 求 ＝3＋ 2分布律 .YYX解 (1)2－X-5-1123P(2)3＋X 23 41252P4. 已知随机变量 X 的概率密度为1， 1 x 4，f X ( x)＝2 x ln 20，其它，且 Y ＝2－ X , 试求 Y 的概率密度 .解 先求Y的分布函数F Y ( y):F Y ( y) = P{ Y ≤ y}P{2X ≤ y}P{X ≥2 y}2 y1 P{ X 2y} =1-f X ( x)dx.于是可得 Y 的概率密度为1, 1 2 y4,f Y ( y)f X (2y)(2 y)=2(2 y) ln 20,其它 .1, 2 y1,f Y ( y)即2(2 y) ln 20,其它 .5. 设随机变量 X 服从区间 (-2,2) 上的均匀分 布, 求随机变量 YX 2 的概率密度 .解 由题意可知随机变量 X 的概率密度为f X ( x)1 ,2 x2,40, 其它 .因为对于 0<y <4,F Y ( y) P{ Y ≤ y} P{ X 2 ≤ y} P{y ≤ X ≤ y }F X ( y ) F X ( y ) .于是随机变量YX 2 的概率密度函数为f Y ( y)1 f X ( y )11 , 0 y 4.f X ( y )y4 2 y2 yf ( y)1 , 0 y 4,即4 y0,其它 .总习题二1. 一批产品中有 20%的次品 , 现进行有放回抽样 , 共抽取 5 件样品 . 分别计算这 5 件样品中恰好有 3 件次品及至多有 3 件次品的概率 .解 以 X 表示抽取的 5 件样品中含有的次品数 . 依题意知 X ~ B(5,0.2) .(1) 恰好有 3 件次品的概率是 P X C 5 0.2 3 0.8 .{ =3}= 3 23(2) 至多有 3 件次品的概率是C 5k 0.2k 0.85 k .k 02. 一办公楼装有 5 个同类型的供水设备 . 调查表明 , 在任一时刻 t 每个设备被使用 的概率为 . 问在同一时刻(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？ (2) 至少有 1 个设备被使用的概率是多少？ (3) 至多有 3 个设备被使用的概率是多少？(4) 至少有 3 个设备被使用的概率是多少？解 以 X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则X ~B (5,,{ = }=k k5 kP X kC 50.1 0.9, k =0,1, ,5.(1) 所求的概率是 P XC 50.1 0.90.0729 ;{ =2}=223(2)所求的概率是 P X(1 0.1)5 0.40951 ;{ ≥ 1}=1(3)所求的概率是{ ≤ 3}=1-P{ =4}- { =5}=;P XXP X(4) 所求的概率是 P { X ≥ 3}= P { X =3}+ P { X =4}+ P { X =5}=.3. 设随机变量 X 的概率密度为xkf ( x)e , x ≥0,0， x0,1且已知k θ, 求常数.,2k x解由概率密度的性质可知dx1得到 k =1.e1x1由已知条件1, 得.1 e dx2ln 24. 某产品的某一质量指标 X ~ N(160, 2 ) , 若要求 P{120 ≤X ≤ 200} ≥, 问允许最大是多少 ?解 由P{120 ≤ ≤ 200} P{ 120 160 X160 200 160X≤ ≤ }= ( 404040) (1( ))2 ( ) 1≥,( 40 ) ≥ , 40最大值为 .得到 查表得 ≥ , 由此可得允许5.设随机变量 X 的概率密度为( x ) = e -| x | , - ∞< <+∞.φX A x试求 : (1) 常数 ; (2) {0< <1}; (3)的分布函数 .AP X解 (1)由于(x)dxAe |x|dx 1, 即2 Ae x dx 1故 2A = 1, 得1到A = .2所以φ( x ) =1 e -|x |.2(2) P {0< X <1} = 11 xdx1 ( e x 11 e 10.316.e2 ) 220 (3)因为 F ( x)x1 e |x| 得到2 dx,11当 x <0 时 , F ( x)x x x ,2 e dx 2e当 x ≥0 时,F ( x)1 0x1 xe x1 x,2e dx2dx 1 e21e x ,x0,所以 X 的分布函数为F ( x)21 ex,1 x ≥ 0.2。
概率论与数理统计第二阶段作业答案
沈阳铁路局学习中心第一部分：必须掌握的重点理论知识习题。
一、填空：1、某人投篮命中率为54，直到投中为止，所用投球数为4的概率为___6254________。
2、已知,31,9)Y (D ,16)X (D X Y =ρ== 则.___36___)Y 2X (D =- 3、设总体X 服从正态分布),,0(2σN 从总体中抽取样本,,,,4321X X X X 则统计量24232221X X X X ++服从_______)2,2(F ______________分布。
4、设总体X 服从正态分布),1,(μN 其中μ为未知参数，从总体X 中抽取容量为16的样本，样本均值,5=X 则总体均值μ的%95的置信区间为____（4.51，5.49）____。
（96.1975.0=u ）5、若),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，且X 与Y 相互独立，则Y X Z +=服从______),(222121σσμμ++N ______分布。
6、设事件A 与B 相互独立，事件B 与C 互不相容，事件A 与C 互不相容，且()()0.5P A P B ==，()0.2P C =，则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为___0.45___.7、甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为____1/2___.8、设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它, 现对X 进行四次独立重复观察，用Y 表示观察值不大于0.5的次数，则2EY =___5/4____.9、 设两位化验员A ，B 独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为2222,.6065.0,5419.0B A B A σσS S 设==分别为A ，B 所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的。
概率论与数理统计第二章课后习题答案
概率论与数理统计课后习题答案第二章1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2）X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为（2）当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩(3)3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============故X 的分布律为分布函数0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k a kλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ，k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1）由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑故e a λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1）两人投中次数相等的概率; （2）甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)(1)(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+0.32076=(2)=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><即2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==⨯=41e 4()0.01!kk N P X N k -∞=+≥<∑查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则故所以4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1）设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32(0)eP X -== (2) 52(1)1(0)1eP X P X -≥=-==-11.设P {X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mmmp p --44)1(C ,m =0,1,2,3,4分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得24(1),9p -= 即1.3p =从而465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,20000.0012np λ==⨯=得25e 2(5)0.00185!P X -=≈=13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =113()()44k P X k -==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+321131313()()444444k -=++++ 213141451()4==- 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k -=>≈-≈∑(2) P (保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤510e 50.986305!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤55e 50.615961!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞<x <+∞,求：（1）A 值；（2）P {0<X <1}; (3) F (x ). 【解】（1）由()d 1f x x ∞-∞=⎰得||01e d 2e d 2x x A x A x A ∞∞---∞===⎰⎰故12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-⎰ (3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==⎰当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2x -=-故1e ,02()11e 02xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3）F （x ）. 【解】（1）15021001001(150)d .3P X x x ≤==⎰33128[(150)]()327p P X =>==(2) 1223124C ()339p == (3) 当x <100时F （x ）=0当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=⎰100100()d ()d xf t t f t t -∞=+⎰⎰2100100100d 1xt t x==-⎰故1001,100()0,x F x xx ⎧-≥⎪=⎨⎪<⎩17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xxxx F x f t t f t t t a a-∞====⎰⎰⎰当x >a 时，F （x ）=1即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 5312(3)d 33P X x >==⎰故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+=19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为51e ,0()50,xx f x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩x 0该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x -∞->==⎰2~(5,e )Y b -,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1）若走第一条路，X~N （40，102），则406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若走第二条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2）若X~N （40，102），则404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--⎛⎫<=<== ⎪⎝⎭若X~N （50，42），则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--⎛⎫<=<=- ⎪⎝⎭1(1.25)0.1056Φ=-=故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X ~N （3，22），（1）求P {2<X ≤5}，P {-4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; （2）确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }. 【解】（1）23353(25)222X P X P ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=433103(410)222X P X P ----⎛⎫-<≤=<≤ ⎪⎝⎭770.999622ΦΦ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----⎛⎫⎛⎫=>+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ⎛-⎫->=>⎪⎝⎭ 1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---⎛⎫<≤=<≤⎪⎝⎭404040210.8ΦΦΦσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故4031.251.29σ≤=24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-⎧+≥>⎨<⎩ （1）求常数A ，B ；（2）求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3）求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩（2）2(2)(2)1eP X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e )e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩25.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.【解】当x <0时F （x ）=0当0≤x <1时00()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t -∞-∞==+⎰⎰⎰20d 2xx t t ==⎰ 当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=⎰111122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x -∞==+=+-=+--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==⎰故220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪-+-≤<⎪⎪≥⎩26.设随机变量X 的密度函数为（1）f (x )=a e - |x |,λ>0;(2) f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<.,0,21,1,10,2其他x xx bx试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1）由()d 1f x x ∞-∞=⎰知||21ed 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===⎰⎰故2a λ=即密度函数为e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===⎰⎰当x >0时0()()d e d e d 22xxx x F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+⎰⎰⎰11e 2x λ-=-故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ-⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩(2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+⎰⎰⎰得 b =1即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎩其他当x ≤0时F （x ）=0 当0<x <1时00()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+⎰⎰⎰2d 2xx x x ==⎰当1≤x <2时01211()()d 0d d d xxF x f x x x x x x x -∞-∞==++⎰⎰⎰⎰312x=- 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤⎧⎪⎪<<⎪=⎨⎪-≤<⎪⎪≥⎩27.求标准正态分布的上α分位点， （1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α. 【解】（1）()0.01P X z α>=即1()0.01z αΦ-= 即()0.09z αΦ= 故 2.33z α=（2）由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ-=即()0.997z αΦ= 查表得 2.75z α=由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α-Φ=即/2()0.9985z αΦ= 查表得/2 2.96z α=求Y =X 的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======-+==+====-=====29.设P {X =k }=(2)k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ⎧=⎨-⎩当取偶数时当取奇数时求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+242111()()()222111()/(1)443k =++++=-= 2(1)1(1)3P Y P Y =-=-==30.设X ~N （0，1）.（1）求Y =e X 的概率密度； （2）求Y =2X 2+1的概率密度； （3）求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1）当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()d yX f x x -∞=⎰故2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤212y P X P X ⎛-⎛⎫=≤=≤≤ ⎪ ⎝⎭⎝()d X f x x =故d ()()d Y Y X X f y F y f f y ⎤⎛==+⎥ ⎥⎝⎦(1)/4,1y y --=>(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤()d yX yf x x -=⎰故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+- 2/2,0y y -=> 31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1）Y =e X的分布函数及密度函数； （2）Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1）(01)1P X <<=故(1e e)1XP Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1<y <e 时()(e )(ln )X Y F y P y P X y =≤=≤ln 0d ln yx y ==⎰当y ≥e 时()(e )1X Y F y P y =≤= 即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他（2）由P （0<X <1）=1知(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e )2z zP X P X -=≤-=≥/21/2ed 1e z z x --==-⎰即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤⎧=⎨>⎩0故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩032.设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0<y <1时，()()(sin )Y F y P Y y P X y =≤=≤(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤<arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x -=+⎰⎰ 222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为201π()0,Y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上(1),(2),(3)项.【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。
北京交通大学概率论与数理统计习题答案
习题4 答案1. 略.2. 设随机变量X 服从几何分布，其分布律为()1()1,1,2,,k P X k p p k -==-=其中01p << 为常数，求)(X E 和)(X D .解：设1q p =-，则1{},(1,2,)k P X k pq k -=== ，由121111()()1(1)k k kk k k x S x kx x x x x ∞∞∞-===''⎛⎫⎛⎫'===== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 1121111(){}(1)k k k k k p E X kP X k kpqp kq q p ∞∞∞--=========-∑∑∑ 21112311111()()(1)(1)k k k k k k k k x x S x k x kx kx x kx x x ∞∞∞∞--===='''⎛⎫+⎛⎫⎛⎫'====== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑由 ， 232(1)2()(1)p q pE X q p +-==- ， 所以22222211()()()p pD XE X E X p p p ⎛⎫--=-=+= ⎪⎝⎭.3. 设连续型随机变量X 的概率密度,01,()2,12,0,x x f x x x ≤≤⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其它试求)(X E 和)(X D .解: 1201()()(2)E X xf x dx x xdx x x dx +∞-∞==⋅+⋅-⎰⎰⎰ 131312132103=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x ⎰⎰⎰-⋅+==+∞∞-21210222)2()()(dx x x xdx x dx x f x X E 674132412143104=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x 所以22271()()()166D XE X E X =-=-=.4. 设随机变量X 的概率密度为||1()()2x f x e x -=-∞<<+∞，求)(X E ,)(X D .解: 1() e d 02xE X x x +∞--∞==⎰, 2e 2 e d 2d e 2e e d d e d e 21 )(02020222=-=-=+-=-===∞+--∞+-∞+∞+--+∞-+∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰⎰xxx xxxx x x x x x x x x x X E故22()()(())2D X E X E X =-=5. 已知随机变量X 服从参数为1的指数分布，X e X Y 2-+=，试求)(Y E ，)(Y D ，),(Y X Cov 及XY ρ.解：22()()()()X X E Y E X e E X E e --=+=+34102=⋅+=⎰+∞--dx e e x x ,22222422422403500()()[2]()2()()()()211223535211109233545X X X X X x xx x xx E Y E X e E X Xe e E X E Xe E e D X E X xee dx e e dxx e dx e dx-----+∞+∞----+∞+∞--=+=++=++=+++=+⨯⋅+=+⨯+=⎰⎰⎰⎰所以2229()()()45D YE Y E Y =-=,又因)]([)(2X e X X E Y X E -+=⋅22119()()299X E X E Xe -=+=+=, 所以7(,)()()()9Cov X Y E XY E X E Y =-=，29537)()(),(==Y D X D Y X Cov XY ρ. 6. 略.7. 设随机变量),(Y X 的概率密度函数为301,0(,)0xx y xf x y <<<<⎧=⎨⎩其它, 求)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D ，XY ρ .解：()()112303,334x E X xf x y dxdy dx x dy x dx +∞+∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰ ()()11300033,328xE Y yf x y dxdy xdx ydy x dx +∞+∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰()()1122340003,335xE X x p x y dxdy dx x dy x dx +∞+∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰()()1122240001,35xE Y y p x y dxdy xdx y dy x dx +∞+∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰()()112400033,3210xE XY xyp x y dxdy x dx ydy x dx +∞+∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰所以有()()()()3333cov ,1048160X Y E XY E X E Y =-=-⨯= ()()()()2223335480D X E X E X ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭， ()()()()222131958320D YE Y E Y ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 因此，有,3cov ,X Y X Y ρ===.8. (1) 设相互独立的两个随机变量X 和Y 具有同一分布且1(1,2X b ，求[max{,}]E X Y 与[min{,}]E X Y .(2) 设随机变量12,,...n X X X 相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，求12max{,,...}n U X X X =和12min{,,...}n V X X X =的数学期望.解：(1) 随机变量X 和Y 均服从两点分布（离散），设1max{,}Z X Y =，则1Z 可能取值为0，1， 且11{0}{max{,}0}{0,0}{0}{0}4P Z P X Y P X Y P X P Y ========⋅==， 1{1}{max{,}1}{0,1}{1,0}{1,1}P Z P X Y P X Y P X Y P X Y ======+==+==， 1111113{0}{1}{1}{0}{1}{1}2222224P X P Y P X P Y P X P Y ==⋅=+=⋅=+=⋅==⨯+⨯+⨯=，因此1Z 的分布律为因此1133[max{,}]()01444E X Y E Z ==⨯+⨯=，同理设2min{,}Z X Y =，2Z 的分布律为因此2311[min{,}]()01444E X Y E Z ==⨯+⨯=. (2)由题意(1,2,,)i X i n = 的密度函数为()1010X x f x <<⎧=⎨⎩其它，分布函数为00()0111i X x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩(){}{}()i n12n X i 100F P U P X ,X ,X F 0111n U x x x x x x x x x x =<⎧⎪=≤=≤≤≤==≤≤⎨⎪>⎩∏ ，因此随机变量12max{,,...}n U X X X =的概率密度函数为()()()()1101n n U X X nx x f x n F x f x --⎧<<==⎨⎩其它， 得()()1101n U nE U xf x dx x nx dx n +∞--∞==⋅=+⎰⎰， (){}{}()()i n12n X i 100F P 1P X ,X ,X 11-F 1(1)0111n V x x V x x x x x x x x =<⎧⎪=≤=->>>=-=--≤≤⎨⎪>⎩∏ ， 因此随机变量12min{,,...}n V X X X =的概率密度函数为()()()()11(1)0110n n V X X n x x f x n F x f x --⎧-<<=-=⎨⎩其它， 得()()1101(1)1n V E V xf x dx x n x dx n +∞--∞==⋅-=+⎰⎰.9. 将n 个球随机的放入N 个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X 的数学期望. 解：引入随机变量11,2,,0i i X i N i ⎧==⎨⎩ 若第个盒子中有球若第个盒子中无球，每个随机变量i X 都服从两点分布，1,2,,i N = ，1Ni i X X ==∑，因此1Ni i EX EX ==∑，因为每个球落入每个盒子是等可能的均为1N，所以对第i 个盒子，没有一个球落入这个盒子内的概率为11N -，故，n 个球都不落入这个盒子内的概率为11nN ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此11{0}(1,{1}1(1,1,2,,.n n i i P X P X i N N N==-==--= 11(1),1,2,,n i EX i N N =--= ，1211()()()1(1).N n i N i EX EX E X E X E X N N =⎡⎤==+++=--⎢⎥⎣⎦∑10.请看PPT.11.解：由[10,30],[10,20]X U Y U ，得随机变量X 和Y 的概率密度函数分别为()11030200X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，()11020100Y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它， 又X 和Y 相互独立，11030,1020(,)200x y f x y ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其它，则()32001200(),44001200,(,)32002000,52002000,y x y x y y x x yZ g x y x y x x y x y x y --≥-≥⎧⎧===⎨⎨--<-<⎩⎩()()[(,)](,),3.67.EZ E g x y E X g x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞====⎰⎰万元12.设~(0,4),~(0,4)X N Y U ，且X ，Y 相互独立，求：(),(23),(23)E XY D X Y D X Y +-.解：()0,()4E X D X ==， 40()22E Y +==，244()123D Y ==，0xy ρ=， ()0E XY =, 416(23)(23)4()9()44933D X Y D X Y D X D Y +=-=+=⨯+⨯=.13.设X 与Y 相互独立，()()0,()()1E X E Y D X D Y ====，求2[(2)]E X Y +. 解：22222[(2)](44)()4()4()E X Y E X XY Y E X E XY E Y +=++=++ [][]{}22()()4()()4()()D X E X E X E Y D Y E Y =++++1004(10) 5.=++++=14.请看PPT.15.解：因X 服从均匀分布，因此21()()=3=,()2312a bb a E X D X +-==， 解得2, 4.a b == 因此(2,4)X U ，其概率密度函数为()12420X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，因此()331211{13}22X P X f x dx dx <<===⎰⎰.16.设随机变量X的概率密度为221()xx f x -+-=，则EX = ，DX = .解：若随机变量服从2()N μσ，分布，则其概率密度应为221)2()xf xμσ--=因此把所给密度函数变形为2211)121()1xf x e--⋅=即1(1,)2X N，因此1()1,()2E X D X==.17.18. 19. 20. 略.21.331(1),1,1,(,)40,,x y xy x yf x y⎧-+<<⎪=⎨⎪⎩其他，证X，Y不相关，但不相互独立.解： 1133111()(,)(1)04E X xf x y dxdy dx x x y xy dy+∞+∞-∞-∞--==-+=⎰⎰⎰⎰()0E Y=，()(,)0E XY xyf x y dxdy==⎰⎰()()()E XY E X E Y X Y∴=即，，不相关.但1,11()(,)20,Xxf x f x y dy+∞-∞⎧-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰其他1,11()(,)20,Yyf y f x y dx+∞-∞⎧-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰其他()()(,)X Yf x f y f x y∴≠(1,1)x y<<，X Y即，不相互独立.22. 设随机变量(,)X Y的分布律为求证YX,不相关，但,X Y不相互独立.解：3333()(1)010,()(1)0108888E X E Y=-⨯++⨯==-⨯++⨯=,811181)1(1811)1(81)1()1()(=⨯⨯++⨯-⨯++⨯⨯-++⨯-⨯-=XYE所以 cov(,)()()()0X Y E XY E X E Y=-=故,X Y 不相关.又 1133, 88p p ∙∙==， 8111=p所以 1111p p p ≠∙∙, 故Y X ,不相互独立.23. 略。
北京交通大学远程与继续教育《概率论与数理统计》课后习题答案
北京交通大学远程与继续教育《概率论与数理统计》课后习题答案北京交通大学远程与继续教育学院概率论与数理统计课后习题答案第一章1.(1)、样本空间：50粒种子，样本点：发芽粒数大于40粒；小于40粒；等于40粒。
(2)、样本空间：4个人中选出正、副组长的所有可能情况，样本点:4个人分别当选正组长。
(3)、样本空间：棋赛可能出现的所有可能情况，样本点：平局、1 人不败(4)、样本空间：2棵骰子出现点数搭配可能出现的情况，样本点：点数之和等于5；不等于5(5)、样本空间：点数之和可能出现的状况，样本点：点数之和大于3且小于8；点数之和小于3；点数之和大于8(6)、样本空间：10见产品，样本点：将次品查出所抽取的次数(7)、射击次数(8)、通过指定点的速度(9)、各段可能出现的长度2.(1) BuA (2) BuA (3)CuBuA3.(1)不喜欢唱歌且不是运动员的男生(2)喜欢唱歌不是运动员的男生(3)喜欢唱歌的都是运动员(4)不是运动员的男生都喜欢产唱歌4.(1) 1-100中随机取出的数是小于50且是5的倍数的数(2) 1-100 中随机取出的数是大于30小于50的数(3) 1-100中随机取出的数是大于30小于50且是5的倍数的数(4) 1-100中随机取出的数是5的倍数或小于50的数(5) 1-100中随机取出的数是小于50且是5的倍数的数或大于30小于50的数5.(1) A(2) A B C (3) A5 (4) J BC^ASC U AB C (5) S-7B C (6)S-^4 B C-K BC^JA B C^JA B C6.{*/tJ }=ABD ACD ABCD {.tj 不亮}=/ p D p B c7.P (A)+P (B)二P (7 2 B) >P (A) >P (AB)8.(1) 1-0. 2*0.15=0. 97 (2) 0. 039.1-丄*3+1=24 8 810.(1)、2-X-Y (2)、1-X-Y+Z(3)Y-Z(4)1-X+Y-Zn. CD(2) =C^C?0=±12.554-A2 =—” 13013.1814.(C；0*C；*C**C；)4-(C；0* C：o* C；o* CQ嚼15.0. 616.(C,*C；9*C；6*C；J — (C*,*Ch*C；°*C；9)=0・ 10517.(C；*C?)mC；o=O・ 25318.(C汕CM)+419.C^(C'4* C\* C〔)=2，C;4-(C；* C[* C[)=2，16 16Ci* Ci)=lIo20・C；*(C；,*C[*C；“*C；)二丄9 - 11 109 |32021.(C* * C'* C；* C；)F(C；* C；* C；* Ct)=—81 22.(C：O*C：*C；)*C：7=O・OO223. C ；-r(C]0*q*C 汁(C 卅C ；* C'* 諾)=哉24. 1-(C ；*C ；)OC ：产号25. P (A) *P (B | A)=P (B) *P (A | B)26. P(B|A)=P(AB) 4-P (A) =0.7 27. 0. 96*0. 75=0. 72 2& 0. 4*0. 5=0. 233. 0. 6*0. 8+0. 4*0. 1=0. 4935. 0. 955*0. 5+0. 02*0. 15+0. 015*0. 1+0. 01*0. 05=0. 487 36. 0. 237. 假设同时成立，显然有AB 为不可能事件，得到P(AB)=0 而相互独立P(AB)=P(A)*P(B)>0矛盾 因此不能同时成立。
概率论和数理统计第二章课后习题答案解析
概率论与数理统计课后习题答案第二章1•一袋中有5只乒乓球，编号为1, 2, 3. 4. 5.在其中同时取3只，以X 表示取出的3只 球中的最大号码，写出随机变Sx 的分布律. 【解】X =3,4,5P(X=3)= - =0,1 C ； 3P (X=4) = & = 0.3Cjc-p(X=5) =二= 0.6C ：2•设在15只同 类型零件中有2只为次品，在英中取3次，每次任取1只，作不放回抽样, 的次品个数，求：布律；布函数并作图； P{X<-!-},P{1<X<-),P{1<X<-},P{1<X<2).2 2【解】X =0,1,2. 卩住-0)-&-22C ：5 35 C ； 35 P(X-2)-C” - * .C ； 35 故X 的分布律为X0 12以X 表示取出 CD (2) (3)X 的分 X 的分当OWxvl时当1W«2时当x>2时,F（X）F（X）22=P (XWx) =P(X=O)=——3534=P (XWx) =P(X=O)+P{X=1)= —F故X的分布函数(X)=P (XWx) =1F(X)n0, x<022 C —,0<%<1 3534—,I<x<2 35x>23•射手向目标独立地进行了 3次射击，每次击中率为，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.【解】设X表示击中目标的次数•则XP, i, 2, 3.p(X=O) = (0.2)3 =0・008P(X =1) = C；O.8(O.2)2 = 0.096P(X =2) = C^(0.8)'0.2 = 0.384p(x= 3) = (0.8)3 =0.512P _____________分布函数F(X)= <0,0.00&0.104,0.48&%<00<x<ll<x<22 < X <3 x>3P(X >2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0.896 4. （1）设随机变量X的分布律为P(X=.}=Z.（2）当 xvO 时，F（X）=P (XWx) =0苴中kR, r 2.…，人＞0为常数，试确企常数G（2）设随机变量X的分布律为p{X=k）=a/N, k=l.2,…，N,试确企常数G【解】（1）由分布律的性质知00 W 1l= EP(X=k) =吃■{2）由分布律的性质知'电PZ氓舒即rt = L5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为“今^$投3次，求：（1）两人投中次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、y表示甲、乙投中次数，则XF （3,），旷b（3, ⑴P(X=3# = 3)=(0・4)3(0・3)3 + C；O・6(O・4)2C；O・7(O・3)2 +C；(O・6)2O・4C；(O・7)2O・3 + (O・6)3(O・7)3= 0320766•设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于（毎条跑逍只能允许一架飞机降落）【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b（200,,设机场需配备W条跑逍，则有P(X >N)<0・012<)0工 C 爲(0.02)气0.98)2叫 <0.01A = np = 200 X 0.02 = 4.* pl 4*P(X >N)= Z ——<0.01jt-.v+i k!査表得WM9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问岀事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松泄理） 【解】设X 表示出事故的次数，则X~b （1000> 001）8•已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P{X= 1）=P{X=2）.求概率P{X=4}・ 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则P （x=4）=e （i/-=22_.‘3 3 2439.设事件A 在每一次试验中发生的概率为，当人发生不少于3次时，指示灯发出信号, （1） 进行了 5次独立试验，试求指示灯发出涪号的概率： （2） 进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1）设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X-6 （535P(X >3)=工C ；(0・3)气0・7)1 =0.163084-5（2）令y 表示7次独立试验中人发生的次数，则Y-b （7r ）P(r > 3) = ^C ；(0.3/ (0・7)M = 0.35293k~3W •某公安局在长度为f 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（坨）f 的泊松分布，而与时间间隔超点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率：利用泊松近似所以（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.3【解】（1 ） P（X=0） = e"^_5 {2) P(X >1) = 1-P(X =0) = 1-门©”(1 一 P)j, 砖012,3,4分别为随机变量X, y 的概率分布，如果已知试求P{Y^1}. 5 4【解】因为P(X>1) =彳，故P(X<1) = 2.P(X<l) = P(X=0) = (l-p)2故得P （r>l ） = l-P （r = 0） = l-（I-/7/= —^0.802478112•某教科书出版了 2000册，因装订等原因造成错误的概率为，试求在这2000册书中恰有 5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则XF （2000,・利用泊松近似计算，A = np = 2000 X 0,001 = 2efP(X=5). —= 0.00183 I13•进行某种试验，成功的概率为2,失败的概率为丄•以X 表示试验首次成功所需试验的次4 4数.试写出X 的分布律，井计算X 取偶数的概率. 【解】x=12…人…P(X=2) + P(X=4) +…+ P(X=2k) +… =丄・3 + (丄)3色+…+(丄)心3+…4 4 4 4 4 4 34114.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险•在一年中每个人死亡的概率为，毎个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险 P{Y=m}=从而（1）保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.(1)在1月1日，保险公司总收入为2500X12=30000元・设1年中死亡人数为X,则X~b(250a，则所求概率为P(2000X >30000) = P(X >15) = 1-P(X<14)由于G很大，p很小• A=np=S,故用泊松近似，有M e"^5*P(X >15)3-工 ---------- 0.000069*■0 k!(2) P(保险公司获利不少于10000)=7(30000-2000X > 10000) = P(X < 10)10 e」屮a a 0.986305厶 &丨*•0 K •即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P (保险公司获利不少于 20000) =P (30000- 2000X > 20000) = P{X < 5)即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15•已知随机变量X的密度函数为f(X)=AQ8*+8.求：(1)人值：(2) P{O<X<1}; (3) F(x).【解】⑴由匸/Wdx = l得Ae-cLv = 2j；Ae-cLv = 2Ap(0 < X < 1) = g £「cU = i (1 一 e j) 当 x<0 时，F(x) = J £ e*dv 当心0时，F(x) =『—e\ x<0216•设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为啤，x>100, X 0,求：(1) (2)(3) 【解】M=\-¥<100,在开始150小时内没有电子管损坏的概率; 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； F (X)•2100 1 P(XMI50) =鳥丁 E 亍 2 8p,=ip(x>i5o)r=(-)^=—(2) =63—(—)"=— 2 ^3 3 9 ⑶当 xclOO 时 F(X)=0 (1) 当 x>100 时 F(x) = J^/(Z)d/ flUO “ =L/㈣+L/(N ft 100 100=^"dr = l --------- J K X)尸 F(x) = ・100 1---- , x>I00 X 0, %<017•在区间［0, o ］上任意投掷一个质点•以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0. g ］ 中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】 由题意知X~U ［oa ，密度函数为 /W = ' —,0 < X < «a 0, 其他 故当x<0时f(X)=0当 QWxWa 时 F(x)=匸/(Z)dZ =『『厶/ =- 当 x>a 时，F (X)=1%<0F(x) = < Q<x<ax>a5］上服从均匀分布•现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测P(X>3) = J ；lch- = |,2,1 , 2 , 20 厂C 咛亍％1方19•设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟讣）服从指数分布£（-）.某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以y 表示一个月内他未等 到服务而离开窗口的次数，试写出y 的分布律，并求 【解】依题意知X即英密度函数为-e5a该顾客未等到服务而离开的概率为y 即英分布律为P （r = Zc ）=C^（e"/（I-e-'）'-\A: =0,12,3,4,5P （r>l ） = l-P （y = 0） = l-（l-e--）5=0.5l6720.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服 从W （40. 102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从W （50. 42）. （1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些（2） 又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些 【解】（1）若迫第一条路，X-N （40. 10》则即分布函数故所求概率为0,18•设随机变量X 在［2. 值大于3的概率.2<%<5/w=p'0, 其他x>0 x<0P(X>10) = J ：亍= e""若走第二条路，X-N (50. 42),则(X-5060-50------ < I 4P(X<60) = P(X-40 60 —40) ----- < I 1010 = 0(2) = 0.97727故走第二条路乘上火车的把握大些. (2)若 X~N (40, lOJ,则P{X < 45) =45：4O )=①⑴习=】5若 X~N (50, 42〉，则P(X < 45) = P (X-50 45-50) K “= <="25) = 1-0(1.25) = 0.1056 故走第一条路乘上火车的把握大些.21•设X~N (3, 22), Cl) 求 P{2<X<5}» P{ 4<X<10}. P{|X| >2}, P{X>3}; (2)确崔 c 便 P{X>c}=P{X^c}. 【解】(1) P(2<X<5) = P2-3 X-3 5-3)< - < ------ ・2 ) =0(1)-0 ——=0(1)-1 + 0 - V 2丿 V 2= 0.8413-1 + 0.6915 = 0.5328P (-4<X <10) = P =e (1\ .一 —(pI2丿P(l X lA 2)= p(x > 2)+ p(x < -2)p(X<60) = P= 0(2.5) = 0.9938++5=0.6915 + 1- 0.9938 = 0.6977X-3 3-3P(X>3) = P( ------- >——)=1一0(0) = 0・52 2⑵c=322•由某机器生产的螺栓长度（cm ） X-N C 儿规定长度在±内为合格品,求一螺栓为不合格品 的概率.【解】P(IX-10・05l>0」2) = P\=1-0(2) + 0(-2) = 2(1- 0(2)]=0.045623•—工厂生产的电子管寿命X （小时〉服从正态分布N （160,若要求P{120VXW200}允许。
概率论与数理统计练习册-第二章答案
第二章 随机变量及其分布基础训练Ⅰ一、选择题1、下列表中（ A ）可以作为离散型随机变量的分布律。
A) X 1 －1 0 1 B) X 2 0 1 2P 1/4 1/2 1/4 P －1/4 3/4 1/2C) X 3 0 1 2 D) X 4 1 2 1P 1/5 2/5 3/5 P 1/4 1/4 1/2 2、常数b ＝（ B ）时，),2,1()1( =+=k k k bp k 为离散型随机变量的概率分布。
A ）2B ）1C ）1/2D ）33、设⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,2/0,0)(x x x x x F ，则（ D ）A ）是随机变量的密度函数 B) 不是随机变量的分布函数 C ）是离散型随机变量的分布函数 D ）是连续型随机变量的分布函数4、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量21,X X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ）A ）a ＝3/5，b ＝－2/5 B) a ＝2/3，b ＝2/3 C ）a ＝－1/2，b ＝3/2 D ）a ＝1/2，b ＝－3/25、设随机变量),(~2σμN X ,且}{}{c X P c X P >=≤，则=c （ B ）A) 0 B)μ C) μ- D) σ二、填空题1、连续型随机变量取任何给定值的概率为 0 。
2、设离散型随机变量X 分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛5.03.02.0210，则P (X ≤1.5) = 0.5 。
3、设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x Ax x x F ，则A = 1 ，X 落在（－1,1/2）内的概率为 1 / 4 。
4、设K 在（0, 5）上服从均匀分布，则方程02442=+++K Kx x 有实根的概率为0.6 。
5、随机变量X 的分布函数)(x F 是事件}{x X ≤的概率。
历年西安交通大学概率论与数理统计试题及答案
2(0,)N σ15)X 是来自225122156)X X X ++++服从的分布是___ 机变量X 服从数为λ的]2)1=，则λ= 设两个随机变量X 与Y 的方差分别为共 4 页 第 1 页共4 页第2 页,)X为来自总体n求（1）θ的矩估计；(10分)设ˆθ是一定是θ的相合估计。
共4 页第3 页共4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A ） 课时：48 考试时间：2007 年7 月9 日(200,169)N 180200169P -⎧⎨⎩1.54)＝0.93941()x dx =⎰1X θ=+,得1()(nk f θ==∏,),n1,,),n 当0,)nln k x ∑，求导得似然方程0=其唯一解为2，故θ的极大似然估优于页1(1,F n -(24,19)=0.429,21.507≈∈2的条件下，进一步检验假设：2μ<。
选取检验统计量12(t n n +0.05(43)t =-2.647 1.681-<-)B=)1Y≥=个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任个人在不同楼层走出电梯的概2=-1Xe-5,,X 都服从参数为分布，若将它们串联成整机，求整机寿命的分布密度。
分）某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为且每天出售的汽车数是相互独立的，西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48 考试时间：2008 年7 月9 日三、1exp(),5 X2 (5,)B e-，∴四、设1iX⎧=⎨⎩第,n1n-第 1页1,2,,5min {k X 5,0,x e λ--0,x > exp(5)λ,365,(3652,365iN ⨯⨯3652)3652-⨯=⨯七、()E X dx θθ==+1X θθ=+2⎪⎫； 1)(ni θ==∏()ln nθθ= 第 2 页(0,1)N 的样本9,)X 是来自正态总体N 的置信区间为 分）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有1,2,,n.设各部件的状态相互独立，以转中同时需要调整的部件数，求(E X,)X是来自总体的一组样本nˆμ,它是否是的极大似然估计量*μ，它是否是西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)n，则X,nX相互独立，1,2,i n= ()E X=()D X: (1)0x y<<<⎰⎰10000,X独立同分布，1,2,n ，因此当,)n x 中最小值时，的极大似然估计量为 ,}n X 2,}n X X 分布函数是1(1(X F z --，分布密度是((Z x f z μμ>≤ ()n x nxe dx μ--=12min{,,}n X X X 不是统计量X T S -=代入数据()Pλ，且已知{(,)=G x y，X）为来自总体服从参数为…,n，λ>服从以λ(0)求该样本的联合密度函数共2 页第1 页5,,X 是独立同分布的随机变量，其共同密度函数为：，试求5,,)Y X =的数学期望和方差。
《概率论与数理统计》习题二答案解析
《概率论与数理统计》习题及答案习题二1•一袋中有5只乒乓球，编号为1 , 2, 3, 4, 5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只 球中的最大号码，写出随机变量 X 的分布律•【解】X =3,4,5 3P(X =4) 3 =0.3 C 5C 2P(X =5)3=0.6C52•设在15只同类型零件中有 2只为次品，在其中取 3次，每次任取1只，作不放回抽样, 以X 表示取出的次品个数，求： （1）X 的分布律； （2）X 的分布函数并作图；（3）1 3 3P{X }, P{1 ：： X }, P{1 乞 X }, P{1 ：： X :: 2}.2 2 2【解】X =0,1,2. C 13 P(X =2)13C15P(X =3) C ；= 0.1P(X =0) C 13C152235P(X =1)C ；C 23C 512 35丄 3534 34 门 0 2' 2' ' '35 3533 12P(1 _ X ) = P(X =1)P(1 ：： X 厂2 2 3534 1P(1 ：：： X ：：2) = F(2) _ F(1)_ P(X =2) =1 0.35 35 3•射手向目标独立地进行了 3次射击，每次击中率为 0.8，求3次射击中击中目标的次数的 分布律及分布函数，并求 3次射击中至少击中 2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.P(X = 0) = (0.2)3 = 0.0081 2P(X =1)70.8(0.2) =0.096 P(X 二 2) =C 3(O.8)2O.2 = 0.384P(X =3) =(0.8)3 =0.512故X 的分布律为 X 0 1 2 3 P0.0080.0960.3840.512分布函数” 0,X <00.008, 0 兰 xc1F(X )» 0.104, 1^x<20.488, 2 兰x<31,x^3P(X — 2) = P(X =2) P(X =3^ 0.8964.( 1)设随机变量X 的分布律为P{X=k}= a -,k!其中k=0, 1, 2,…，入〉0为常数，试确定常数 a.(2)设随机变量X 的分布律为P{ X=k}= a/N ,k=1, 2,…,N ,试确定常数a.0,x ::: 0 22 0 _ x ：： 13534 1 _x ：： 2351, x_2F(x)= (2)当 x<0 时,F (x ) =P (X w x ) =0当 0 w x<1 时, F (x ) 当 1 w x<2 时, F (x ) 22 =P (X w x ) =P(X=0)=- 35 34 =P (X w x ) =P(X=0)+P(X=1)=-35当x >2时，F 故X 的分布函数(x ) =P (X w x ) =1 1 1 22P(X =)★(；) ,2 2 353 3P(1 ：：： X ) = F(：)-【解】(1)由分布律的性质知二：• k1 P(X 二k) =a aLe'k z0 k^o k!故 a = e_,(2)由分布律的性质知N Na1 =為P(X =k) akw k a N即 a = 1.5•甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：(1)两人投中次数相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，贝U X~b (3, 0.6) Y~b(3,0.7)(1) P(X 二Y)二P(X =0,Y =0) P(X =1,Y =1) P(X =2,Y =2)P(X =3,Y =3)3 3 1 2 1 2-(0.4) (0.3) C30.6(0.4) C30.7(0.3) +2 2 2 23 3C3(0.6) 0.4C3(0.7) 0.3 (0.6) (0.7)=0.32076(2) P(X Y) = P(X =1,Y =0) P(X =2,Y =0) P(X =3,Y =0)P(X =2,Y =1) P(X =3,Y =1) P(X =3,Y =2)1 2 3 2 2 3-C30.6(0.4) (0.3) C3(0.6) 0.4(0.3)3 3 2 2 1 2(0.6) (0.3) C3(0.6) 0.4C30.7(0.3)(0.6)3C；0.7(0.3)2(0.6)3C：(0.7)20.3=0.2436•设某机场每天有 200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为 0.02，且设各飞机降落是相互独立的•试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降 落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备 N 条跑道，则有P(X ■ N) <0.01200即送 C k 00(O.O2)k (O.98)200上 £0.01k =N 1利用泊松近似-np = 200 0.02 = 4.血 e 44kP(X_N)0.01宀k!查表得N > 9.故机场至少应配备 9条跑道.7. 有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有 1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2的概率是多少(利 用泊松定理)？【解】设X 表示出事故的次数，则 X~b (1000, 0.0001)P(X _2) =1 -P(X =0) -P(X =1)0.1 0.1=1 —e - 0.1 e8.已知在五重贝努里试验中成功的次数 X 满足P{X=1}= P{X=2}，求概率P{X=4}.【解】设在每次试验中成功的概率为p ,则14 2 2 3C 5p(1 - p) 9p (1 - p)9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为 0.3,当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号 (1)进行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；(2)进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.【解】(1)设X 表示5次独立试验中 A 发生的次数，则 X~6 ( 5, 0.3)5P(X 工3)=送 c 5(0.3)k (0.7)5^ =0.16308k=3⑵ 令Y 表示7次独立试验中 A 发生的次数，则 Y 〜b ( 7，0.3)故 所以P(X =4)=C ：(1)4拿10 2437 ■—k k 7 —kP(Y^3)=送C k(0.3)k(0.7)7=0.35293 k=310•某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为(1/2) t 的泊松分63 1 13.进行某种试验，成功的概率为一，失败的概率为一.以X 表示试验首次成功所需试验的次44数，试写出X 的分布律，并计算 X 取偶数的概率. 【解】X =1,2,,k,|||1 k —1 p (x =k )y4P(X =2) P(X =4)P(X =2k)谱64 W …布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计)(1) (2) 【解】(1) 求某一天中午12时至下午 求某一天中午12时至下午3P(X =0)3时没收到呼救的概率； 5时至少收到1次呼救的概率.5(2) P(X _1) =1 — P(X =0) =1 -k k2 _k11.设 P{X=k}= C 2P (1 - p) ,k=0,1,2mm4_mP{ Y=m}= C 4 p (1 - p)m=0,1,2,3,45分别为随机变量 X , Y 的概率分布，如果已知 P{X > 1}=，试求P{ Y > 1}.954I 解】因为P(X 牛，故P(X (9)P(X ::: 1) = P(X =0) =(1 - P)2故得24(仆)飞1 「3从而P(Y _1) =1 _P(Y =0) =1_(1_ p)465 0.80247810.001,试求在这 2000册书中 12•某教科书出版了 2000册，因装订等原因造成错误的概率为 恰有5册错误的概率. 【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算，■ - np 二 2000 0.001 二 2P(X =5)「255!-0.001811 514•有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险•在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在 1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从 保险公司领取2000元赔偿金•求： (1) 保险公司亏本的概率； (2)保险公司获利分别不少于 10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1) 在1月1日，保险公司总收入为 2500 X 12=30000元. 设1年中死亡人数为 X ,则X~b(2500,0.002)，则所求概率为P(2000X • 30000) =P(X 15) P(X <14)由于n 很大，p 很小，入=np=5,故用泊松近似，有：4 e'5kP(X 15) = 10.000069k 竺k !⑵P(保险公司获利不少于 10000)= P(30000 -2000X _ 10000) =P(X < 10)20000) = P(30000 -2000X 一20000) = P(X 乞5)5 _5 k_ e 5 0.615961 k =0 k!即保险公司获利不少于 20000元的概率约为62% 15.已知随机变量 X 的密度函数为f(x)=Ae ,「8 <x<+ ,求：(1) A 值；(2) P{0<X<1}; (3) F(x).【解】(1)由 f (x)dx =1得1=Ae ^dx =2 Ae "dx =2A--：： 01 故 A . 2⑵ p(0 ：X ：：1)匚 0「dxs (1-e')⑶当x<0时,x1 1F (x )=［石 e x dx 匚 e x10k =0k!0.986305即保险公司获利不少于 10000元的概率在 98%以卜.P (保险公司获利不少于中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求 X 的分布函数 【解】 由题意知X~ U ［0,a ］，密度函数为故当x<0时F (x ) =0 当 0< x w a 时 F(x)=当 x >0 时，F(x)= f^e X dx + 2 -：：22 [-e~dx o 2F(x) =1 x 0 -e , x ：：：0 1」e 」x_0 2 16•设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命 100, X —100,x x ：：100. 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； F （ x ）. X 的密度函数为f(x)= 0,求: (1)(2) (3) 【解】 (1) 150 100 1 P(X < 150) r dx . ' )応 x 2 3 3 2 3 8 P 1 <P(X 150)]3 珂2)3 二石 3 2/⑵卩2 二 c ；3（2）2 ⑶当 x<100 时 F (x ) =0 x 当 x > 100 时 F(x) f (t)dtJ JO O 100 x 」(t )d t100f (t )dtx豁1t 2100x i 0,x _100x ：：17•在区间］0, a ］上任意投掷一个质点，以 X 表示这质点的坐标，设这质点落在］1f (X )二 a' 0,0乞x 乞a其他xx；f （t ）dt 「0x1 xf(眄0了蔦当 x>a 时，F (x ) =1即分布函数x F(x)二l a 1,18.设随机变量X 在［2 , 5］上服从均匀分布•现对 值大于3的概率. 【解】X~U ［2,5］，即Pf(x) = 3’【0,故所求概率为119•设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E(-).某顾客在窗口55次，以Y 表示一个月内他未等 P{Y > 1}.> _xf(x)二孑5【0,该顾客未等到服务而离开的概率为Y~b(5,e 冷，即其分布律为P(Y =k) =c 5(e')k (1—e')5=k =0,1,2,3,4,5P(Y 一1)=1 -P(Y = 0) =1 -(1-e‘)5 =0.516720.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N (40, 102);第二条路程较长，但阻塞少，所需时间 X 服从N (50, 42).(1)若动身时离火车开车只有 1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？(2) 又若离火车开车时间只有 45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】(1)若走第一条路，X~N (40, 102),则「0, x ：： 0P(X 3)=Qdx =3 3X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测其他p=c 3(2)21 c 3(2)3 3 3 3 20 27等待服务，若超过10分钟他就离开•他一个月要到银行 到服务而离开窗口的次数，试写出 Y 的分布律，并求1【解】依题意知X ~ E(”)，即其密度函数为x'5dx = -2ef x —4060—40 )斗 P(X ：：：60) = P(2) =0.97727V 1010 丿若走第二条路，X~N ( 50, 42),则X 「50 60「50 P(X ::: 60) = P(2.5) = 0.9938++V 441故走第二条路乘上火车的把握大些•(2)若 X~N (40, 102),则P(X ：：：45)=P X -4° ：： 45一4° =：：，(0.5)=0.6915I 10 10 丿若 X~N (50 , 42),则:::45 -5° = ： ：」(_1.25)4=1 -门(1.25) =0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些.21•设 X~N (3，22),(1) 求 P{2<X<5}, P{4<X <10} , P{ | X |> 2}, P{X >3}; (2)确定 c 使 P{X > c}= P{X < c}.【解】(1) P(2：：：X E5)=P 口」3 空口V 2 2 2 丿()2 () 2= 0.8413 -1 0.6915 =0.5328 P(—4 ：：X —10) =P i.X 色一!^3V 222 丿 =O.9996P(| X | 2) = P(X 2) P(X ：： -2)f X -3 2_3］丄 f X -3 _2_3； =P --------- > ------ (+P ---------- < ---------I 2 2丿 12 2丿 “—①i —丄①i —5匚①I 丄r —①i-l 2丿I 2丿12丿 12丿-0.6915 1 -0.9938 =0.6977P(X ：：45) = P X -50—4X —3 3-3P(X 3) = P() J —：：」(0) =0.5⑵c=322. 由某机器生产的螺栓长度(cm ) X~N (10.05,0.062),规定长度在10.05土 0.12内为合格品 求一螺栓为不合格品的概率.=1一门(2)亠处(一2)=2[1-：：」(2)]二 0.045623. 一工厂生产的电子管寿命 X (小时)服从正态分布 N (160, (I),若要求P{120 v X < 200 =>0.8，允许i 最大不超过多少？(1) 求常数A , B ;(2) 求 P{X W 2} , P{X > 3}; (3)求分布密度f (x ).匹 F(x)=1 「A = 1【解】(1)由 … 得伽+F (x)巳监F(x)旧一1(2) P(X _2) = F(2) =1 -e ，'P(X 3) =1 _F(3) =1 _(1_eA )25.设随机变量X 的概率密度为・x,f (x )=」2 - x,0,求X 的分布函数F (x ),并画出f (x )及F (x )f (x^ F (x)0,x 一0 x ：： 0 【解】P(|X -10.05| 0.12) =PX —10.05 0.060.12>0.06』【解】P(120：："200)=P 1^1坐3 乞叱型 故24.设随机变量X 分布函数为40-31.251.29F (x )A Be*,0,x 一0,x 0.0 空 x ：： 1,仁 x :: 2,【解】当x<0时F （x ） =0xtdt当 1W x<2 时 F(x)二 f (t)dt1-0tdt (2-t)dt1 2x22 2 2x2x -1x 当 x >2 时 F (x) f (t)dt = 126•设随机变量X 的密度函数为(1) f(x)=ae_ |x|,入 >0；f(x)二 2c 'X2e当 x W 0 时 F (x) = J 』(x)dx =访e% = 2,当 0W x<1 时 F(x)=xJ (t)仁x.f(t)dtF(x)二x 22x 2x -1,21,x ：： 0x _2⑵f(x)= 试确定常数 【解】（1）由bx, 12，x 0,0 ■ x ：： 1, 1 < x < 2,其他•a,b ,并求其分布函数 F （ x ）."f (x)dx =1知 1J JO O2ax 2 3即密度函数为当 x>0 时 F (x) =(x)dx =J ：eMdx 壮专e —x dx故其分布函数x _01 f (x)2, |x 0,当 x < 0 时 F (x ) =0当 0<x<1 时 F(x) f (x)dx f(x)dx 亠 I f (x)dx当 1 w x<2 时 F(x)二 J-f (x)d ^j-Qdx当 x > 2 时 F (x ) =1 故其分布函数为广0, 2xJF(x)二 23_12 x1，27•求标准正态分布的上:-分位点,(1) ： =0.01，求 z ； (2) ： =0.003，求 z-., z-./2. 【解】(1) P(X Z.H0.01即 ：G( z ：.)=0.09故z —2.33x=0xdxx 21 八-3 - 2F(x)1丄」 2(2)由 1 = f°°f(x)dx = f1bxdx — dxx得即X 的密度函数为b=1x, 0 ： x :: 1其他xdx1严x-0 0 ■ x ■■■ 1 1 < x ：：即心(zj =0.012a(2)由 P(X .乙)=0.003得 1 (zj =0.003即 ：•：」(乙)=0.997 查表得乙.=2.75由 P(X z ./2) =0.0015 得1-：」(Z-./2)=0.0015即 ■->( Z") =0.9985查表得z ：./2 =2.96求Y=X 的分布律.【解】Y 可取的值为0, 1, 4, 9P(Y =0) =P(X =0)」5P(Y =1) = P(X =「1) P(X =1)=1 -~6 15301 p (Y =4) =P(X - -2): 5 11 P(Y =9) = P(X =3)=3029•设 P{X=k}=( 1)： k=1,2,…，令Y 「1,当X 取偶数时 1-1,当X 取奇数时.求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】P(Y =1) =P(X =2) P(X =4) "I P(X =2k)川=G )2 G )4 川(1)2k 川2 2 2 1 1 1 =()/(1 厂4 4 3P(Y =—1) = 1 — P(Y =1) = 2 30•设 X~N (0, 1).(1) 求Y=e X 的概率密度； (2) 求Y=2X 2+1的概率密度； (3)求Y= | X |的概率密度•【解】(1)当 y w 0 时，F Y (y)二 P(Y 曲)=0x当 y>0 时，F Y (y) =P(Y 空 y) =P(e < y^P(X < ln y)In y二：i- fX (x)dx(2) P(Y =2X 2 1 _1) = 1当 y w 1 时 F Y (y) =P (丫 乞 y) =02当 y>1 时 F Y (y) =P (丫 乞 y) =P(2X 1 乞 y)(y J)/2「一 R f X (x)dx故 f 丫(y)=f F 丫(y)三民:f x (厅]+f x 「F]]⑶ P(Y-0)=1当 y w 0 时 F Y (y)二 P (Y — y) =0dF y (y)11 1 j n 2y /2 JEW ，y 0= PX 2 哼二P< X <4y 4)/4e , y 1当 y>0 时 F Y (y) = P(| X 国 y)二 P( —y 乞 X 乞 y)y二 y f x (x)dx故 f Y (y)：F Y (y )二 f x (y) f x (-y)dy31. 设随机变量X~U (0,1),试求：(1) Y=e x 的分布函数及密度函数； (2)Z= -21 nX 的分布函数及密度函数【解】(1) P(0 ：：X ：：：1) =1故 p( 1 ::： Y 二 e ::： e) 1 当 y _1 时 F Y (y) =P(Y 乞 y) =0当 1<y<e 时 FY (y) =P(e X 乞 y) =P(X On y)In y「0 dx=lnyX当 y 》e 时 F Y (y)二 P(e < y) = 1 即分布函数J, y^e故Y 的密度函数为口 f Y (y)二 y,0,(2) 由 P ( 0<X<1) =1 知P(Z 0) =1当 z w 0 时，F z (z) =P(Z Ez) =0当 z>0 时，F Z (z)二 P(Z 乞 z)二 P(—2ln X ^z)=P(ln X _ -自二 P(X _e 亠2)y 0,F /(y)=七n y,y 乞1 1 ：：1 ：：y e故Z的密度函数为32. 设随机变量X的密度函数为2xf(x)= n io,0 ：：xn其他.试求Y=sinX的密度函数.【解】P（0 Y：：：1） =1当y w o 时，F Y（y）二P（Y ^y） =0当0<y<1 时，F Y（y）二P（Y 空y）二P（sin x 乞y）二P(0 ：： X M arcsin y) P( n- arcsin y 玄X ::narcsiny 2x n2x2dx 2dx0 n -arcsin y 彳=4( arcsiny)2 1- arcsin®2n n2 .arcs in yn当y》1 时，F Y（y）=1故Y的密度函数为33. 设随机变量X的分布函数如下:z/2即分布函数I z/2 dx = 1 - eu a -----z<0-z/21-ez 0zMX』2，X 』2，18试填上(1),(2),(3)项.F(x) = 1 x‘(2)X-(3) •19【解】由lim F(x) =1知②填1。
西安交通大学概率论与数理统计试题及答案
(0,)N σ25215)X X ++设随机变量X 服从参数为）θ的矩估计；（}180169P -⎧=⎨⎩1.54)＝0.93941()xf x dx =⎰1(1,F n -(24,19)=0.429,222.32 1.5071.89≈∈12(t n n +0.05(43)t =-=2.647 1.681≈-<-)B=。
)1≥=。
个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任一层走出电梯（从第二层三、exp(),5X2(5,)B e-，∴四、设1iX⎧=⎨⎩第1 页51e -⎧-exp(5)λ,365,(365N ⨯3652)3652-⨯=⨯ 1X θθ=+(0,1)N的样本Nμ是来自正态总体(.ˆμ,它是否是μ1,2,i n=()E X=设供电站每天要向居民供电的量为N,居民每天用电量为10000∑的极大似然估计量为12,X X () x x x μ->≤X -()P λ，且已知服从{(,Gx y =)x =。
共 2 页 第 1 页,,)X X的数学期望和方差。
分）银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知这批债券共发放了共 2 页第 2 页A=第9x< 10,0(500N ⨯的把握满足客户的兑换）exp(),exp(),(2),2ii iiX Y X Y χθθ∴=即 222(2)nni inXX Y n χθθ∴==∑∑ ）(2)n χθ2nX∴<<2112(2), n αλχ-∴=。