2021年奥数知识点解析之抽屉原理

奥数知识点解析之抽屉原理

第一步：初步理解该知识点定理及性质

1、提出疑问：什么是抽屉原理？

2、抽屉原理有哪些内容呢？

【抽屉原理1】：将多于n件物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一种抽屉中物品不少于2件；

【逆抽屉原理】：从n个抽屉中拿出多于n件物品，那么至少有2个物品来至于同一种抽屉。

【抽屉原理2】：将多于mn件物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一种抽屉中物品不少于（m+1）件。

第二步：学习最具备代表性题目

【例1】证明：任取8个自然数，必有两个数差是7倍数。

【例2】对于任意五个自然数，证明其中必有3个数和能被3整除。

【总结】以上例题都是在考察抽屉原理在整除与余数问题中运用。以上题目咱们都是运用抽屉原理一来解决。

第三步：找出解决此类问题核心

【例3】从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。

【例4】从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几种数，就可以保证其中一定涉及两个数，它们差是12。

【例5】从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一种数是另一种数倍数。

｛1，2，4，8，16｝

｛3，6，12｝，｛5，10，20｝

｛7，14｝，｛9，18｝

｛11｝，｛13｝，｛15｝，｛17｝，｛19｝。

【总结】依照题目条件灵活构造“抽屉”是解决此类题目核心。

第四步：重点解决该类型拓展难题

咱们先来做一种简朴铺垫题：

【铺垫】请阐明，任意3个自然数，总有2个数和是偶数。

【例6】请阐明，对于任意11个正整数，证明其中一定有6个数，它们和能被6整除。

【总结】上面两道题目用到了抽屉原理中“双重抽屉”与“合并抽屉”，都是在原有典型抽屉原理题目基本上进行拓展。

什么是抽屉原理？

（1）举例

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论如何放，有抽屉可以放一种，有可以放两个，有可以放五个，但最后咱们会发现至少咱们可以找到一种抽屉里面至少放两个苹果。

（2）定义

普通状况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必然至少有一种抽屉里至少有两个苹果。咱们称这种现象为抽屉原理。

（一）、运用公式进行解题

苹果÷抽屉＝商……余数

余数：（1）余数＝1，结论：至少有（商＋1）个苹果在同一种抽屉里

（2）余数＝，结论：至少有（商＋1）个苹果在同一种抽屉里（3）余数＝0，结论：至少有“商”个苹果在同一种抽屉里

（二）、运用最值原理解题

将题目中没有阐明量进行极限讨论，将复杂题目变得非常简朴，也就是常说极限思想“任我意”办法、特殊值办法．

举个例子：把3个苹果任意放到2个抽屉里，必有一种抽屉至少放了2个苹果。这个生活中最简朴道理，在数学上就叫做抽屉原理。

应用抽屉原理可以解决诸多奇妙问题，固然在实际问题中，“抽屉”和“物体”表述是不明确，解题核心就是找出问题中哪个概念相应是“抽屉”，哪个概念相应是“物体”，精心制造“抽屉”是解决此类问题核心。

【题目1】：

至少在多少个人中，才干找到两个同月份出生人？

【解析】：

每年均有12个不同月份，可以看着是12个抽屉。人就看着苹果。

原题就相称于：多少个苹果放到12个抽屉里，可以保证至少有一种抽屉里有2个苹果?

12+1=13（人）

因此至少在13个人中，才干找到两个同月份出生人。

【题目2】：

在任意3个自然数中，与否其中必然有两个数，它们和为偶数？为什么？

【解析】：

咱们先把奇数看作一种抽屉，把偶数看作一种抽屉。

自然数不是奇数就是偶数，那么这任意3个自然数不是奇数就是偶数，把这3

个数放到上面奇、偶数两个抽屉里，至少有一种抽屉里有两个数，即3个自然数中有两个奇数或两个偶数必居其一。

如果3个数中有两个奇数，这两个奇数和一定是偶数；如果3个数中有两个偶数，这两个偶数和也一定是偶数。

因此在任意3个自然数中，其中必然有两个数，它们和为偶数。

【题目3】：

班上有50名小朋友，教师至少要拿几本书，随意分给小朋友，才干保证至少有一种小朋友能得到不少于两本书？

【解析】：

“保证至少有一种小朋友能得到不少于两本书”意思就是：保证至少有一种小朋友至少得到两本书。

咱们把50个小朋友看着50个抽屉，至少要多少本书放到50个抽屉里，能保证至少有一种抽屉里至少有两本书呢：50+1=51（本）。

【题目4】：

在1，2，3，…，99，100这100个整数中，选出某些数，使得任意两数差都不等于1，2，6，那么，从中最多能选出几种数？

【解析】：

第一步：先从1开始列一列。

①先选1；②至少加3（差不能为1、2）选4；③至少要加4（差也不能为6）选8；④接着再加3选11；⑤加4选15……可列举如下：

1、4、8、11、15、18、2

2、25.29……

第二步：观测上面数列，找规律。

从1到7七个数中可以选2个数；从8到14七个数中又可以选2个数；从15到21七个数中又可以选2个数……

即每7个数一组可以选出2个数，这2个数可以选7个数中第1个和第4个。100÷7=14（组）……2（个）

共有14组，每组选2个数，还剩余2个数，即第十五组第1个数和第2个数。每组第1个数也是可选。因此从中最多可以选出数：

14×2＋1=29（个）。

【题目5】：

泡泡糖出售机内有各种颜色糖，有红色糖10颗、白色糖15颗、蓝色糖3颗、黄色糖20颗。如果投入1元钱钱币可得到1颗糖，那么至少投入多少元钱，就可以保证得到5颗颜色相似糖？

【解析】：

这里共有4种颜色糖果，除了蓝色糖果3颗，其他颜色糖果都不少于5颗。从最糟糕状况考虑：投币先得到蓝色糖3颗，其他颜色糖每种4颗。

这时候再买一颗糖，无论是哪种颜色糖，就得到了这种颜色糖5颗。