上海高中数学数列的极限
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7.6 数列的极限
课标解读：
1、理解数列极限的意义；
2、掌握数列极限的四则运算法则。
目标分解：
1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无
限地趋近于某个常数
a (即|
|a a
n
-无限地接近于0)，那么就说数列
{}n a 以a 为极限。
注：
a 不一定是{}n
a 中的项。
2、几个常用的极限：①C C n =∞→lim (C 为常数)；②01lim
=∞→n n ；③
)
1|(|0lim <=∞
→q q n n ；
3、数列极限的四则运算法则：设数列{}n a 、{}n b ，
当
a
a n n =∞
→lim ，
b
b n n =∞
→lim 时，b
a b a n n n ±=±∞
→)(lim ；
b
a b a n n n ⋅=⋅∞
→)(lim ；
)0(lim
≠=∞→b b a
b a n
n n
4、两个重要极限：
①
⎪⎩
⎪⎨⎧<=>=∞→00100
1lim c c c n
c n 不存在
②⎪⎩
⎪⎨
⎧-=>=<=∞→11||111||0
lim r r r r r n
n 或不存在
问题解析： 一、求极限：
例1：求下列极限：
(1)
3
21
4lim
22
+++∞→n n n n
(2)
2
4
323lim n n n
n n -+∞→ (3)
)(lim 2n n n n -+∞
→
例2：求下列极限： (1) )23741(lim 2222n
n n n n n -++++∞→ ；
(2)
])
23()13(1
1181851521[lim +⨯-++⨯+⨯+⨯∞→n n n
例3：求下式的极限：
)2
,0(,sin cos sin cos lim πθθθθθ∈+-∞→n n n n n
二、极限中的分数讨论：
例4：已知数列
{}n a 是由正数构成的数列，31=a ，且满足
c a a n n lg lg lg 1+=-，其中n 是大于1的整数，c 是正数。
(1) 求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；
(2) 求1
122lim +-∞→+-n n n
n n a a 的值。
三、极限的应用：
例5：已知p 、q 是两个不相等的正整数，且2≥q ，求1
)11(1
)1
1(lim -+-+∞→q
p n n
n 的值。
知识内化： 1、=++++∞→n
n n 212
lim
__________________。
2、=+-+++++∞
→])
1(23)1(1)1(1[lim n n n n n n n n ______________。 3、=⋅-⋅---+∞→1113
232lim n n n
n n n n ___________________。 4、下列四个命题中正确的是（ ） A 、若2
2
lim A a n n =∞
→，则A a n n =∞
→lim
B 、若0>n a ，A a n n =∞
→lim ，则0>A
C 、若A a n n =∞
→lim ，则2
2lim A a n n =∞
→
D 、若0)(lim =-∞
→n
n n b a ，则n n n n b a ∞
→∞→=lim lim
5、已知数列{}n a 、{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q ，
其中q p >且1≠p ，1≠q ，设n n n b a c +=，n S 为数列{}n c 的前n 项和，求1
lim -∞→n n
n S S 。
能力迁移：
1、数列{}n a 、{}n b 都是无穷等差数列，其中31=a ，21=b ，2b 是2a 与3a 的等差中项，且
21lim
=∞→n
n n b a ，求极限)111(lim 2211n n n b a b a b a +++∞→ 的值。
基本练习： 一、填空题：
1. =-+∞→3
22lim
22n b n
n n ___________________。 2. 若n
n x )12(lim -∞
→的极限存在，则实数x 的取值范围__________________。
3. 1)1
1
(
lim 2=---+∞→b an n n n ，则a =______________，b =____________________。 4. 数列{}n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点)1,(-n n a a 在直线03=--y x 上，
则=+∞→2
)1(lim
n a n
n __________________。
5. 已知n n f +++= 21)(，则=∞→2
2)]([)
(lim n f n f n __________________。
6. 数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则=-∞→n
n n S n a 2
lim _________________。
7. 设数列{}n a 、{}n b 都是公差不为0的等差数列，且2lim =∞→n
n n b a ，则n n
n na b b b 3221lim +++∞→ 等于
______________________。
8、将3
1
33)2(3lim 1=
-⋅+-⋅+∞→n n n n n n x n n ，则实数x 的取值范围是__________________。 9、已知数列{}n a ：21，3231+，434241++，…，
10
9
102101+++ ，…，那么数列
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⋅+11n n a a 的所有项的和为________________。