潍坊市五中数学几何图形初步单元培优测试卷
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一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选(难)
1.如图,已知:点不在同一条直线, .
(1)求证: .
(2)如图②,分别为的平分线所在直线,试探究与的数量关系;
(3)如图③,在(2)的前提下,且有,直线交于点,,请直接写出 ________.
【答案】(1)证明:过点C作,则,
∵
∴
∴
(2)解:过点Q作,则,
∵,
∴
∵分别为的平分线所在直线∴
∴
∵
∴
(3):1:2:2
【解析】【解答】解:(3)∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴ .故答案为: .
【分析】(1)过点C作,则,再利用平行线的性质求解即可;(2)过点Q作,则,再利用平行线的性质以及角平分线的性质得出
,再结合(1)的结论即可得出答案;(3)由(2)的结论可得出,又因为,因此,联立即可求出两角的度数,再结合(1)的结论可得出的度数,再求答案即可.
2.感知:如图①,∠ACD为△ABC的外角,易得∠ACD=∠A+∠B(不需证明) ;
(1)探究:如图②,在四边形ABDC中,试探究∠BDC与∠A、∠B.、∠C之间的关系,并说明理由;
(2)应用:如图③,把一块三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的两条直角边XY、XZ 恰好经过点B、C,若∠A=50°,则∠ABX+∠ACX=________度;(直接填答案,不需证明) (3)拓展:如图④,BE平分∠ABD,CE平分∠ACD,若∠BAC=100°,∠BDC=150°,则∠BEC=________度. (直接填答案,不需证明)
【答案】(1)解:如图5,连接AD并延长至点F.
∵∠BDF为△ABD的外角,
∴∠BDF=∠BAD+∠B,
同理可得∠CDF=∠CAD+∠C,
∴∠BDF+∠CDF=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C,
即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C;
(2)40°
(3)125°
【解析】【解答】解:(2)由题意可得∠BXC=90°,由(1)中结论可得∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX,
∵∠A=50°,
∴∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°;(3)如图6,∵∠A=100°,∠BDC=150°,∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD,
∴∠ABD+∠ACD=150°-100°=50°,
∵BE平分∠ABD,CE平分∠ACD,
∴∠ABE+∠ACE= (∠ABD+∠ACD)=25°,
又∵∠BEC=∠A+∠ABE+∠ACE,
∴∠BEC=100°+25°=125°.
【分析】(1)如图5,连接AD并延长至F,然后利用三角形外角的性质进行分析证明即可得到∠BDC=∠BAC+∠B+∠C;(2)由题意可知∠BXC=90°,结合∠A=50°和(1)中所得结论即可得到∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°;(3)如图6,利用(1)中所得结论结合已知条件进行分析解答即可.
3.如图1,直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F,∠1与∠2互补.
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,EP与CD交于点G,点H是MN上一点,且GH⊥EG,求证:PF∥GH;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接PH,K是GH上一点使∠PHK=∠HPK,作PQ平分∠EPK,问∠HPQ的大小是否发生变化?若不变,请求出其值;若变化,说明理由.
【答案】(1)解:AB∥CD.理由如下:
如图1,
∵∠1与∠2互补,
∴∠1+∠2=180°.
又∵∠1=∠AEF,∠2=∠CFE,
∴∠AEF+∠CFE=180°,
∴AB∥CD;
(2)证明:如图2,由(1)知,AB∥CD,
∴∠BEF+∠EFD=180°.
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P,
∴∠FEP+∠EFP= (∠BEF+∠EFD)=90°,
∴∠EPF=90°,
即EG⊥PF.
∵GH⊥EG,
∴PF∥G H;
(3)解:∠HPQ的大小不发生变化,理由如下:
如图3,∵∠1=∠2,
∴∠3=2∠2.
又∵GH⊥EG,
∴∠4=90°-∠3=90°-2∠2.
∴∠EPK=180°-∠4=90°+2∠2.
∵PQ平分∠EPK,
∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠2.
∴∠HPQ=∠QPK-∠2=45°,
∴∠HPQ的大小不发生变化,一直是45°.
【解析】【分析】(1)利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补,所以易证AB∥CD;
(2)利用(1)中平行线的性质推知°;然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°,即EG⊥PF,故结合已知条件GH⊥EG,易证PF∥GH;
(3)利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠4=90°-∠3=90°-2∠2;然后由邻补角
的定义、角平分线的定义推知∠QPK= ∠EPK=45°+∠2;最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ的大小不变,是定值45°.
4.如图①,△ABC的角平分线BD,CE相交于点P.
(1)如果∠A=80∘,求∠BPC= ________.
(2)如图②,过点P作直线MN∥BC,分别交AB和AC于点M和N,试求∠MPB+∠NPC的度数(用含∠A的代数式表示)________.
(3)将直线MN绕点P旋转。
(i)当直线MN与AB,AC的交点仍分别在线段AB和AC上时,如图③,试探索∠MPB,∠NPC,∠A三者之间的数量关系,并说明你的理由。
(ii)当直线MN与AB的交点仍在线段AB上,而与AC的交点在AC的延长线上时,如图④,试问(i)中∠MPB,∠NPC,∠A三者之间的数量关系是否仍然成立?若成立,请说明你的理由;若不成立,请给出∠MPB,∠NPC,∠A三者之间的数量关系,并说明你的理由。