九年级数学上册相似三角形的判定-讲义
2相似三角形判定1-华东师大版九年级数学上册课件
分析： 在ΔABC中截一个三角形与ΔABC
类似 ，如何截？
作平行线 D
这样, △ADE∽ △ABC
B
A
A1
E
B1
C1
C
下面就只须证明：
ADE ≌ A1B1C1
文字叙述证明 题步骤：先画图；
写出已知、求证； 再证明。
【证明】
在AB上截取AD= A1B1 ，过D点作
DE∥BC交AC于点E,则
②DE是BC的一半。 ③△ADE≌△CEF
结论：过三角形一边
中点作另一边的平行 线一定平分第三边。
课堂练习
1、（课本67页）如图DG∥EH∥FI∥BC，找出图中所 有的类似三角形．
【解】 △ADG∽△AEH ∽△AFI ∽△ABC
2． （课本67页）找出图中所有的类似三角形， 并说明理由。
【解】 △ACD∽△BCD ∽△ABC
△ADE∽ △ABC ∵DE∥BC
A
A1
∴∠ADE=∠B
又∠B=∠ B1
∴∠ADE=∠ B1
D
B
E
B1
C1
C
在△ADE和△ A1B1C1 中，
∵∠A=∠ A,1 AD= A1B, 1 ∠ADE=∠ B1 .
∴△ADE≌△ A1B1C1
∴△ABC ∽△ A1B1C1
例题解析
例1 如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
理由： 两角分别相等的两个三角形类似
3、判断下列说法是否正确：
（1）、两个等边三角形类似 （ ） （2）、两个直角三角形类似 （ ） （3）、两个等腰直角三角形都类似（ ） （4）、有一个角为50°的两个等腰三角形类似（ ） （5）、有一个角为100°的两个等腰三角形类似（ ）
华东师大版九年级数学上册第23章相似三角形的判定和性质复习课件
例1
如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于E 点，F为AE上的一点，且∠BFE=∠C.
（1）求证：∆ABF∽ ∆EAD;
（2）若AB=5，AD=3，AE=2BE，求BF的长.
【证明】（1）∵ABCD是平行四边形， A
B
∴AB∥CD，AD∥BC.
∴∠D+ ∠C=180⁰
F
∟
又∵∠AFB+ ∠BFC=180⁰ 且∠BFE=∠C.
则△ ADE和△ ABC 的面积比为＿4＿:2＿5 . B
C
3. 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它类似的三角形乙 的最大边
为10cm， 则三角形乙的最短边为___5___cm.
4. 如图，△ADE∽ △ACB,
A
2 D
3
则DE:BC=_1_:_3__ 。
7
E
3
5. 如图，D是△ABC一边BC
D
EC
∴ ∠AFB=∠D
又∵ AB∥CD
∴ ∠BAF=∠AED
∴∆ABF∽ ∆EAD
（2）若AB=5，AD=3，AE=2BE，
A
B
求BF的长
分析： 由（1）知∆ABF∽ ∆EAD
F
∟
BF:AD=AB:A 只需求AE D
EC
【解】（2）∵ AEB∥CD， BE⊥CD，
∴BE⊥AB, ∴ ∆ABE是直角三角形.
的三角形．
练习题:
1. △ ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且∠AED=
∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC，从而
AD (AC)
DE =BC
△ ABC中，AB的中点为D，AC的中点为E，连结DE，
则△ ADE与△ ABC的周长比为__1_:_2__.
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
相似三角形的判定全课件
两个三角形如果一个对 应角和一组对应边成比 例，则这两个三角形相似。
两个三角形如果一组对 应边和一个对应角成比 例，则这两个三角形相似。
02
CATALOGUE
三角形相似的判定条件
角角角（AAA）判定条件
总结词
不满足相似三角形的判定条件
详细描述
AAA条件仅表明三个角度相等，但边长不一定成比例，因此不能判定三角形相似。
在解决实际问题中的应用
建筑设计
在建筑设计中，可以利用相似三 角形来计算建筑物的尺寸和比例。
机械设计
在机械设计中，可以利用相似三角 形来计算零件的尺寸和比例。
物理学
在物理学中，可以利用相似三角形 来解释和计算物理现象，如光学、 力学等。
04
CATALOGUE
三角形相似的证明方法
直接证明法
定义法
根据相似三角形的定义，证明两 个三角形三边对应成比例，且三 角对应相等，从而判定两个三角
题目2
两个等腰三角形，一个 底角为30°，另一个底 角为45°，如果一个三 角形的顶角为120°，另 一个三角形的顶角为 90°，则这两个三角形 是否相似？
进阶练习题
总结词
考察三角形相似的复杂判定方法和综合应用
题目1
两个等腰三角形，一个底角为45°，另一个底角为60°，如果一个三角形的顶角为90°，另 一个三角形的顶角为120°，则这两个三角形是否相似？
相似比
两个相似三角形的对应边 之间的比例称为相似比。
相似三角形的性质
相似三角形对应角相等， 对应边成比例，面积比等 于相似比的平方。
相似三角形的判定定理
角角判定定理
两个三角形如果两个对 应角相等，则这两个三
角形相似。
23.3.2相似三角形的判定定理(23)课件华东师大版九年级数学上册
BC B' C'
8 12.8
5， 8
∴△ABC∽△A′B′C′.
5.如图△ABC为锐角三角形，BD，CE分别为AC，AB边上的高.
求证：△ADE∽ △ABC.
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
E
A D
∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A= 90°.
O
∴ ∠ABD= ∠ACE.
又∵ ∠A= ∠A，∴△ ABD ∽ △ ACE. B
A
两边成比例且夹角相等
如果相等的角不是成比 例的两边的夹角，那么 这两个三角形还相似吗？
4 cm 3.2 cm
A′
如图，4∶2=3.2∶1.6，∠B=∠B′，
B 50°C
2 cm B′ 50°
1.6 cm 但两个三角形不相似.
C′
例4 证明图中的△AEB∽△FEC相似.
1. 如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使
相似比
已知△ABC和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似.
(1)AB=3，BC=4，AC=6. DE=6，EF=8，DF=9.
不相似
(2)AB=4，BC=8，AC=10. DE=20，EF=16，DF=8.
相似
(3)AB=12，BC=15，AC=24. DE=16，EF=20，DF=30.
不相似
使得由点B，O，C组成的三角形与△AOB相似(不包括全等)．
4. 已知 AB = 10，BC = 8 ，AC = 16，A′B′ = 16，B′C′ = 12.8， C′A′ = 25.6，试说明△ABC∽△A′B′C′.
解：∵
AB A' B'
10 16
2024-2025学年初中数学九年级上册(冀教版)教学课件25.5相似三角形的性质(第1课时)
的长为（ D ）
A．8cm
C．11cm
∥BC， ＝12，DE＝4cm，则BC
B．10cm
D．12cm
随堂训练
3.两个相似三角形的最长边分别为8 cm和5 cm,它们的对应
高的比是 8∶5 ,对应中线的比是 8∶5 .
4.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果
物体AB的高度为36 cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度
同理可得
A' F ' A' B '
B
DEF
A'
B' D' E' F'
C
C'
知识讲解
归纳：
由此我们可以得到：
相似三角形对应高的比等于相似比.
相似三角形对应中线的比等于相似比.
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
知识讲解
例1 如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,垂足
边对应成比例.
2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?
高， 中线， 角平分线.
如果两个三角形相似，那
么，对应的这些要素
有什么关系呢？
知识讲解
★ 相似三角形对应线段的比等于相似比
探究
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比是多少？
A
B
A'
C
B'
C'
知识讲解
A
解：如图，分别作出 △ABC 和
第 二十五章 图形的相似
第二十五章 图形的相似
25.5
相似三角形的性质（第1课时）
沪科版九年级数学上册相似三角形的判定课件
随堂练习
6. 如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °， ∠F=60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF.
证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ， A
∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °. ∵ 在△DEF中，∠E=80 °，∠F=60 °. ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.
【分析】欲证AB·DE＝BC·CD， 可证 ＝ ，则证明 △ABC∽△CDE即可，由题意可
知∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠A＝
90°，则∠2＝∠A.于是 Rt△ABC∽Rt△CDE.
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE， ∴∠B＝∠D＝90°，又∠1＋∠A＝90°，Байду номын сангаас1＋∠2＝90°， ∴∠A＝∠2， ∴△ABC∽△CDE，
2．如图，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上一点，且 BP＝1，D为AC上一点，当∠APD＝60°时，CD的长为 __________．
随堂练习
3.如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交 BC、BD于点E、F，则△AGD∽_△__E__G_C___∽_△__E_A__B__．
探究新知
探究 如图在△A′B′C′和△ABC中，∠A′＝∠A，∠B′＝ ∠B.求证：△A′B′C′∽△ABC. 证明：在△ABC的AB上截BD＝B′A′，
过D作DE∥AC，交BC于E.
∴△ABC∽△DBE.
∵∠BDE＝∠A，∠A＝∠A′， ∴∠BDE＝∠A′. ∵∠B＝∠B′，BD＝B′A′， ∴△DBE≌△B′A′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′.
定理：两角分别相等的两个 三角形类似
类似三角形的判定定理1的运用
∴ ＝ ，即AB·DE＝BC·CD.
九年级数学相似三角形的判定及证明技巧讲义
相似三角形是中学数学中的一个重要内容，对于九年级学生来说，掌握相似三角形的判定及证明技巧是必不可少的。
本文将详细讲解相似三角形的判定及证明技巧，帮助学生更好地理解和运用这一知识点。
一、相似三角形的判定：1.AAA相似判定法：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么这两个三角形相似。
2.AA相似判定法：如果两个三角形的一个角对等于另一个角，且两个角的对边成比例，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF 中，∠A=∠D，∠C=∠F，且AB/DE=BC/EF，那么这两个三角形相似。
3.SSS相似判定法：如果两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么这两个三角形相似。
4.平行线判定法：如果两个三角形的对应边平行，则这两个三角形是相似的。
例如，在△ABC和△DEF中，AB∥DE，BC∥EF，AC∥DF，那么这两个三角形相似。
二、相似三角形的证明技巧：1.用平行线证明相似：如果两个三角形的对应边平行，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以使用平行线的性质，如同位角相等、内错角互补等。
2.用角度证明相似：如果两个三角形的对应角度相等，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以根据已知信息，使用角度的性质进行推导。
3.用边长比证明相似：如果两个三角形的对应边长比相等，则这两个三角形是相似的。
证明时，可以根据已知的边长比，通过等式推导得出结论。
4.用等腰三角形证明相似：如果两个三角形分别为等腰三角形，且对应的顶角相等，则这两个三角形是相似的。
以上是常用的相似三角形的判定及证明技巧，希望对九年级的数学学习有所帮助。
在学习过程中，要多加练习，掌握不同方法的应用，提高解题能力。
同时，要注重理论与实践相结合，灵活运用知识，培养自己的思维能力和推理能力。
祝每位同学在数学学习中取得优异成绩！。
北师大版九年级上册相似三角形判定定理证明课件
定 定理2:两边成比例且夹角相等的
理 证
两个三角形类似.
明
类似三角形
定理3：三边成比例的两个三
判定定理的
角形类似.
证明
定理的运用
再见
∴BACB＝BBDE ， 即：BBCE＝BADB .
在△DBE和△ABC中，∠CBE＝∠ABD， ∴∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC， ∴∠DBE＝∠ABC且 BBCE＝BADB. ∴△DBE∽△ABC.
练习 1.如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是 三边上的点，AE=BF=CD，那么△ABC与△DEF类似 吗？请证明你的结论.
∴ ΔADE≌ΔA'B'C'， ∴ ∠ADE=∠B'，
A A'
又∵ ∠B'=∠B，
∴ ∠ADE=∠B， ∴ DE//BC， ∴ ΔADE∽ΔABC。
D
E
B
C B'
C'
∴ Δ A'B'C' ∽ΔABC
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形类似.
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
分析：由已知条件∠ABD＝∠CBE， ∠DBC公用，所以∠DBE＝∠ABC，要证 的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证 两个三角形类似，可再找一对角相等，或
者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可看 到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例 的线段，问题就可以得到解决．
证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD， ∠BCE＝∠BAD，∴△CBE∽△ABD，
2．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中 点，点F在BC上，且FC= 1 BC．图中类似
专题(八) 相似三角形的判定方法PPT课件(华师大版)
解：设 x 秒后，以 P，Q，B 为顶点的三角形与△ABC 相似，则 BQ ＝4x cm，PB＝(8－2x)cm，①当△PBQ∽△ABC 时，则APBB＝BBQC，即8－82x ＝41x6，解得 x＝2； ②当△PBQ∽△CBA 时，即8－162x＝48x，解得 x＝0.8， 综上可知，经过 2 秒或 0.8 秒，以 P，Q，B 为顶点的三角形与△ABC 相
方法四 利用平行线判定三角形类似 在解求比值(倍分关系)、证比例式问题时，常通过平行线判定两个三角 形类似来解决 4．如图，在△ABC中，点D为BC边上的中点，延长AD至点E，延长AB 交CE的延长线于点P，若AD＝2DE，求证：AP＝3AB.
解：过点 B 作 BF∥AE 交 PC 于点 F，∵BF∥DE，∴△CDE∽△
九年级上册华师版数学 专题(八) 类似三角形的判定方法
方法一 利用角的关系判定三角形类似 1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD 于点E，交BC的延长线于点F.求证：△ABF∽△CAF.
解：∵EF垂直平分AD，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠3，又∵∠B＝ ∠3－∠1，∠4＝∠FAD－∠2，∠1＝∠2，∴∠B＝∠4，又 ∵∠BFA＝∠AFC，∴△ABF∽△CAF
方法二 利用边的关系判定三角形相似 2．如图，AD 是△ABC 的高，E，F 分别是 AB，AC 的中点，EF＝12 BC，求证：△DEF∽△ABC.
解：∵AD 是△ABC 的高，∴AD⊥BD，又∵E，F 分别是 AB，AC
的中点，∴在 Rt△ABD 中，DE 为斜边 AB 上的中线，∴DE＝12AB，即 DABE＝12，同理DACF＝12，∵EBFC＝12，∴DABE＝EBFC＝DAHale Waihona Puke F，∴△DEF∽△ABC似
4.5 相似三角形判定定理的证明 课件(共21张PPT) 数学北师版九年级上册
1．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD＝1，BD＝2，则DE:BC的值为( )A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9 2．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC＝( )A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
D
E
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
AE＝A′C′
连接DE.
D
E
而∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE
（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴△ADE≌△A′B′C′
∴△ABC∽△A'B'C'
问题1：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程共同点是什么？
作平行线→相似→相等→相似
几何语言：
已知：如图，△ABC和△ A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，
求证 ：△ABC∽△A'B'C'
D
E
证明 ：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD＝A′B′，
过点D作BC的平行线，交AC于点E，
则∠ADE＝∠B，
∠AED＝∠C，
（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）授课老师：时间：204年9月15日BD
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD＝2，DE＝1，则BC的长为_______．4．△ABC中，AB=10 ，AC=6 ，点D在AC上且AD=3 ，若要在AB上找一个点E，使△ADE与△ABC相似，则AE= __ ．
5或
同学们再见！
∴△ADE≌△A′B′C′
3.4.1 相似三角形的判定课件(共33张PPT)湘教版 数学九年级上册
感悟新知
2-1. [ 模拟·株洲荷塘区 ] 如图，在 ▱ABCD中， 点 E
在 AD 上，且 BE 平分∠ ABC，交AC 于点 O，若
AB=3，BC=4，则
AOOC=
3 ___4___.
课堂新授
知识点 2 角的关系判定三角形相似定理
1. 相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形 相似.
∴ AB=CD， AB∥CD，AD∥BC，∴△BEF ∽△CDF，
△BEF ∽ △AED. ∴△CDF ∽△AED.
∵ AB＝CD，AB＝3BE，∴ CD＝3BE，AE＝4BE. ∴△BEF ∽△CDF，相似比k1＝CBDE＝13； △BEF ∽△AED，相似比k2＝BAEE＝14； △CDF ∽△AED，相似比k3＝CADE＝34.
∵
12＝
2＝ 2
10＝ 5
2，
∴图3.4-11 ②中的三角形与图3.4-10 中的△ABC相似.
感悟新知
5-1.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个 小正方形的顶点叫做格点． △ ACB 和△ DCE 的 顶点都在格点上， ED 的延长线交AB 于点 F．
求证： (1) △ ACB ∽△ DCE； 证明：∵DACC＝32，BECC＝64＝32， DABE＝32 55＝32，∴DACC＝BECC＝DABE. ∴△ACB∽△DCE.
课堂新授
解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求三角形 三边的长，紧扣“三边成比例的两个 三角形相似”判断.
课堂新授
解：易知AC＝ 2，BC＝2，AB＝ 10 . 图3.4-11 ①中，三角形的三边长分别为1， 5，2 2； 图3.4-11 ②中，三角形的三边长分别为1， 2 ， 5 ； 图3.4-11 ③中，三角形的三边长分别为 2， 5，3； 图3.4-11 ④中，三角形的三边长分别为2， 5， 13 .
九年级 相似三角形的性质及判定 讲
龙文教育学科教师辅导讲义
4、如图，△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，过A作AH∥BE，连结ED并延长交AB于F，交AH于H。
（1）求证：AH＝CE
（2）如果AB=4AF，EH＝8，求DF的长。
5、已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E， EC与AD相交于点F。
（1）求证：△ABC∽△FCD；
高都是，同一时刻，小明站在点处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为和，那么塔高为( )． ． ． ．
反比性质：
更比性质：
合比性质：
（比例基本定理）
相似基本定理
推论 (骨干定理)
平行线分线段成比例定理 (基本定理)（
应用于△中
相似三角形
判定定理
定理1
定理2
定理3
Rt△
推论
推论的逆定理
推论
C
A
D
B.
C
E
D
B
A。
北师大版九年级数学(上)第四章图形的相似：相似三角形讲义
相似三角形综合运用讲义【考点剖析】相似三角形是几何中较难的部分，也是每年中考的热点，相似三角形对圆的学习以及各种类型的综合性问题的解决都有很大的帮助。
在此，我们对相似三角形中经常出现的解答方法与技巧进行讲解。
【例题巧解点拨】一、运用三角形相似的条件进行解答。
例1.已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点．求证：△ADQ ∽△QCP ．目标训练1.已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：BP 2＝PE ·PF ．2.如图，BD 、CE 为△ABC 的高，求证∠AED ＝∠ACB ．二、相似与函数的运用。
例2.在△ABC 中，∠C ＝90°，P 为AB 上一点，且点P 不与点A 重合，过点P 作PE ⊥AB ，交AC 边于E 点，点E 不与点C 重合，若AB=10，AC=8，设AP 的长为x ，四边形PECB 的周长为y ，求y 与x 之间的函数关系式。
目标训练1.在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC=25，斜边AB 在x 轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点A 的坐标为（2，0），求直角边BC 所在直线的解析式。
2.已知梯形ABCD 中，AD//BC （AD<BC ），AD=5，AB=DC=2。
（1）如图1，P 为AD 上一点，满足∠BPC=∠A 。
①求证：△ABP ∽△DPC ； ②求AP 的长。
（2）如图2，若点P 在AD 上移动（与A 、D 点不重合），且满足∠BPE=∠A ，PE 交BC 于点E ，交DC 的延长线于点Q ，设AP=x ，CQ=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。
三、阅读理解类问题。
例3.阅读下列材料，补全证明过程：（1）已知：如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点． （2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．目标训练1.如图1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF 旋转到如图3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．2.已知：△ABC 中，AB ＝10 ⑴如图①，若点D 、E 分别是AC BC 边的中点，求DE 的长； ⑵如图②，若点A 1、A 2把AC 边三等分，过A 1、A 2作AB 边的平行线，分别交BC 边于点B 1、B 2，求A 1B 1＋A 2B 2的值； P A C E A B CO B A C D P B A C D P E D F O N D EF O N C OD ( F )⑶如图③，若点A 1、A 2、…、A 10把AC 边十一等分，过各点作AB 边的平行线，分别交BC 边于点B 1、B 2、…、B 10。
4.5《相似三角形判定定理的证明》数学北师大版 九年级上册教学课件
P
A
C
课堂练习
解：设P，Q两点运动t s时，△QBP与△ABC相似．
由题意可知0＜t＜4，此时PB=(8-2t)cm，BQ=4t cm．
（1）当△QBP∽△ABC时，BQ
BA
BP BC
，即
4t 8
8 2t 16
，
解得t=0.8；
（2）当△PBQ∽△ABC时，BP BQ ，即 8 2t 4t ，
∴ BC BC ． DE B'C'
∴DE=B'C'． ∴△ADE≌△A'B'C'．
∴△ABC∽△A'B'C'．
典例精析
例 如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线 段MN的两端点在CB，CD上滑动，当CM为何值时，△AED 与以M，N，C为顶点的三角形相似？
A
D
E N
B
MC
典例精析
BA BC
8 16
解得t=2．
综上所述，当P，Q两点运动0.8 s或2 s时，△QBP与△ABC
相似．
课堂小结
这节课我们主要学习了相似三角形的三个判定定理的 证明及它们的应用．
再见
探究新知
2．定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'， AB AC ．求证：△ABC∽△A'B'C'．
A'B' A'C'
A A′
B
C B′
C′
探究新知
证明：在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD=A'B'，过点D作BC的 平行线，交AC于点E，
沪科版数学九年级上册22.2第2课时三角形相似判定定理1 课件(共18张PPT)
2.已知，如图在△ABC中，AB=AC，DE//BC，点F在边A，C上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE. 求证:(1) △DEF∽△BDE . (2) DG·DF=DB·EF .证明：源自同学们再见！授课老师：
时间：2024年9月1日
归纳小结
相似三角形的判定 定理1 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似）几何语言： ∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′， ∠B=∠B′， ∴ △ABC∽△A′B′C′.
随堂练习
回顾复习
怎样判定两个三角形相似？(1)定义法 对应角相等，对应边长度的比例相等的两个三角形叫做相似三角形. 相似三角形的定义既是相似三角形的一种判定方法，又是它的一个性质.(2)预备定理 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.利用预备定理判定两个三角形相似时，只需“平行”这一个条件就能判定.
在△ADE与△A′B′C′中， ∠A=∠A′ ,∵ AD=A′B′ , ∠ADE=∠B′ ,∴△ADE∽△A′B′C′(ASA) ,∴△ABC∽△A′B′C′ .
可以发现
相似三角形的判定 定理1 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（可简单说成：两角分别相等的两个三角形相似）.几何语言： ∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′， ∠B=∠B′， ∴ △ABC∽△A′B′C′.
相似三角形的判定 课件
如图 1－3－1，已知AADB＝DBCE＝AACE，求证：△ ABD∽△ACE.
图 1AACE，得 AABC＝AADE，则要 证明△ABD∽△ACE，只需证明∠DAB＝∠EAC 即可．
【自主解答】 因为AADB ＝DBCE＝AACE，所以△ABC∽△ ADE.
定理名 称 判定
定理 1
判定 定理 2
判定 定理 3
定理内容
简述
对于任意两个三角形，如果一个三角形 的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等 ，那么这两个三角形相似.
两角对应相等，两三 角形相似
对于任意两个三角形，如果一个三角形 两边对应成比例且夹
的两边和另一个三角形的两
角相等，两三角形相
边对应成比例，并且夹角相等，那么这 似．
两个三角形相似.
对于任意两个三角形，如果一个三角形 的三条边和另一个三角形的三条 边对应成比例，那么这两个三角形相似.
三边对应成比例，两 三角形相似.
4.引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得 的 对应线段成比例 ，那么这条直线平行于三角形的 第三边．
5．直角三角形相似的判定 (1)上述所有的任意三角形相似的判定适用于直角三角 形． (2)定理 1：如果两个直角三角形 有一个锐角 对应相等， 那么它们相似． (3)定理 2：如果两个直角三角形的 两条直角边 对应成 比例，那么它们相似． (4)定理 3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与 另一个三角形的斜边 和一条直角边 对应成比例，那么这两 个直角三角形相似．
长线交于 F.求证：AACB＝DAFF. 【思路探究】 由条件知：AB∶
AC＝BD∶AD，转证 BD∶AD＝DF∶
AF ， 变 为 证 △ FAD ∽ △ FDB. 其 中
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作品编号：0115230988859532558954500001
学校：秘强市景秀镇赛班家屯小学*
教师：丽景春*
班级：凤凰队参班*
学科：数学
专题：相似三角形的判定
重难点易错点解析
判断三角形是否相似，要注意思维的完整性．
题一
题面：如图所示，△ABC的高AD，BE交于点F，则图中的相似三角形共有______对．
金题精讲
题一
题面：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，想一想，
(1)求证：AC2=AD·AB；BC2=BD·BA；
(2)求证：CD2=AD·AD；
(3)求证：AC·BC=AB·CD．
三角形相似
题二
题面：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，以AD为直径的半圆与BC相切于E点．求证：AB·CD=BE·EC．
圆周角定理、相似三角形
满分冲刺
题一
题面：如下图甲所示，在矩形ABCD中，AB=2AD．如图乙所示，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM，MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN∽矩形ABCD，设MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值?最大值是多少?
相似多边形、二次函数
题二
题面：已知D是BC边延长线上的一点，BC=3CD，DF交AC边于E点，且AE=2EC．试求AF与FB的比．
利用平行线构造相似三角形
题三
题面：如图13－2，点P是边长为4的正方形ABCD内一点，PB=3，BF⊥BP于点B，试在射线BF上找一点M，使得以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，作图并指出相似比k的值．
图13－2
相似三角形的判定
讲义参考答案
重难点易错点解析
题一
答案：6对．
金题精讲
题一
答案：利用三角形相似证明．
题二
答案：提示：连结AE 、ED ，证△ABE ∽△ECD ． 满分冲刺
题一
答案：25=
x 时，S 的最大值为252． 题二
答案：12
AF FB =． 题三
答案：如图13－3．
图13－3
∵AB ⊥BC ，PB ⊥BF ，
∴∠ABP =∠CBF ．
当
AB BC BP BM =1，即=31BM 4
4，BM 1=3时，△CBM 1∽△ABP ．相似比k =1． 当BP BC AB BM =2即316,34422==BM BM 时，△CBM 2∽△PBA ．相似比43
k =． ∴当BM =3或316=BM 时，以点B ，M ，C 为顶点的三角形与△ABP 相似，相似比分别为1和
43
．。