北师大版八年级数学下册5.3 第2课时 异分母分式的加减(优秀教学设计)

第2课时 异分母分式的加减

1．学会确定几个分式的最简公分母并

进行通分；(重点)

2．能正确地运用分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则进行混合运算．(重点，难点)

一、情境导入

小学我们学习过异分母分数的加减法，如13＋12＝1×23×2＋1×32×2＝56，那么如何计算1x ＋1－2x －1

呢？ 二、合作探究

探究点一：分式的通分 【类型一】 最简公分母

分式

1x 2－3x 与2

x 2－9

的最简公分母是________．

解析：∵x 2－3x ＝x (x －3)，x 2－9＝(x ＋3)(x －3)，∴最简公分母为x (x ＋3)(x －3)．

方法总结：最简公分母的确定：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数；字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂．“所有字母和式子的最高次幂”是指“凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂的因式选取指数最大的”；当分母是多项式时，一般应先因式分解．

【类型二】 分母是单项式分式的通分

通分．

(1)c bd ，ac 2b 2； (2)b 2a 2c ，2a 3bc 2； (3)45y 2z ，310xy 2

，5－2xz 2

. 解析：先确定最简公分母，找到各个分

母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个单项式．

解：(1)最简公分母是2b 2d ，c bd ＝2bc 2b 2d

，ac 2b 2＝acd 2b 2d

； (2)最简公分母是

6a 2bc 2，

b 2a 2

c ＝3b 2c 6a 2bc 2

，2a 3bc 2＝4a 3

6a 2bc 2； (3)最简公分母是10xy 2z 2，4

5y 2z ＝

8xz 10xy 2z 2，310xy 2＝3z 210xy 2z 2，5

－2xz 2＝－－25y 210xy 2z 2. 方法总结：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母．

【类型三】 分母是多项式分式的通分

通分．

(1)a 2（a ＋1），1

a 2－a ； (2)2mn 4m 2－9，3m 4m 2－6m ＋9

. 解析：先把分母因式分解，再确定最简公分母，然后再通分．

解：(1)最简公分母是2a (a ＋1)(a －1)，

a

2（a ＋1）＝a 2（a －1）2a （a ＋1）（a －1），

1

a 2－a ＝2（a ＋1）2a （a ＋1）（a －1）； (2)最简公分母是(2m ＋3)(2m －3)2， 2mn

4m 2－9＝2mn （2m －3）（2m ＋3）（2m －3）2

，

3m

4m 2－6m ＋9＝3m （2m ＋3）（2m ＋3）（2m －3）2

.

方法总结：①确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母

的商．

探究点二：异分母分式的加减法

【类型一】 异分母分式的加减法运算

计算： (1)x x 2－4－2x 2＋4x ＋4

； (2)a 2－4a ＋2＋a ＋2； (3)m m －n －n m ＋n ＋2mn m 2－n

2. 解析：依据分式的加减法法则，(1)、(3)中先找出最简公分母分别为(x －2)(x ＋2)2、(m ＋n )(m －n )，再通分，然后运用同分母分式加减法法则运算；(2)中把后面的加数a ＋2看成分母为1的式子进行通分．

解：(1)原式＝x

（x ＋2）（x －2）－

2

（x ＋2）2

＝

x （x ＋2）（x ＋2）2（x －2）

－

2（x －2）

（x ＋2）2（x －2）

＝

x （x ＋2）－2（x －2）（x ＋2）2（x －2）

＝

x 2＋4

（x ＋2）2（x －2）

；

(2)原式＝a 2－4＋（a ＋2）2

a ＋2＝

2a （a ＋2）

a ＋2

＝2a ；

(3)原式＝

m （m ＋n ）

（m ＋n ）（m －n ）

－

n （m －n ）（m ＋n ）（m －n ）＋

2mn

（m ＋n ）（m －n ）＝m 2＋2mn ＋n 2（m ＋n ）（m －n ）＝m ＋n m －n

. 方法总结：分母是多项式时，应先因式分解，目的是为了找最简公分母以便通分．对于整式与分式的加减运算，可以将整式的每一项的分母看成1，再通分，也可以把整式的分母整体看成1，再进行通分运算．

【类型二】 分式的混合运算

计算：

(1)(x 2－4x ＋4x 2－4－x x ＋2)÷x －1x ＋2；

(2)a －52a －6÷(16a －3

－a －3)． 解：(1)原式＝[（x －2）2

（x －2）（x ＋2）－

x x ＋2]÷x －1x ＋2

＝(x －2x ＋2－x x ＋2)÷x －1x ＋2＝－2x ＋2·x ＋2x －1＝－2x －1

； (2)原式＝a －52a －6÷(16a －3－a 2－9

a －3)

＝a －52（a －3）÷（5＋a ）（5－a ）a －3 ＝a －52（a －3）·a －3（5＋a ）（5－a ） ＝－1

10＋2a

.

方法总结：对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后加减，如果遇到括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法．

探究点三：分式运算的化简求值

【类型一】 先化简，再根据所给字母的值求分式的值

先化简，再求值：(1

x －y ＋

1x ＋y )÷2x x 2＋2xy ＋y 2

，其中x ＝1，y ＝－2. 解析：化简时，先把括号内通分，把除法转化为乘法，把多项式因式分解，再约分，最后代值计算．

解：原式＝2x

（x －y ）（x ＋y ）·（x ＋y ）22x ＝x ＋y x －y

，

当x ＝1，y ＝－2时，原式＝

1＋（－2）

1－（－2）＝－13

.

方法总结：分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简．要熟悉混合运算的计算顺