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学而思七级数学培优讲义全级章节培优绝对经典
学而思七级数学培优讲义全级章节培优绝对经典.(共147页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第1讲与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（）A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8%02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )A．－5吨 B．＋5吨 C．－3吨 D．＋3吨03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C．【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－，－18，，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－19，215，－138，．－，123, 【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 .02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.03．（茂名）有一组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.【例４】（2008年河北张家口）若l ＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m 2＝－4,m ＝－8 【变式题组】01．（四川宜宾）－5的相反数是( )A ．5B ． 15C ． －5D ． －1502．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ． － 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ． －2，0，1D ． 2，1，0【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b|＞a ，则a,b 、－a,－b 的大小顺序是( )A ． b ＜－a ＜a ＜－bB ． –a ＜b ＜a ＜－bC ． –b ＜a ＜－a ＜bD ． –a ＜a ＜－b ＜b【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a|,用式子表示为|a|＝0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想，画一条数轴 标出a 、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A ．【变式题组】01．推理①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b|；④若|a |≠|b|，则a ≠b ，其中正确的个数为（ ）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c＝ .03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a|＋b |b|＋c |c|的值可能是____. 【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a+b ab 的值. 【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a |≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a+b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ．02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( )A ． －4B ． －1C ． 0D ． 403．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a －b|＝b －a ，求a 和b 的值【例７】（第l8届迎春杯）已知(m ＋n)2＋|m|＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m ＋n)2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径.解：∵(m ＋n )2≥0，|m |≥O∴(m ＋n)2＋|m |≥0，而(m ＋n)2＋|m|＝m∴ m ≥0,∴(m ＋n)2＋m ＝m ，即(m ＋n)2＝0∴m ＋n ＝O ①又∵|2m －n －2|＝0∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49 【变式题组】 01．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l|＝0，求a －B ．02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a|＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,求y 的最大值.演练巩固·反馈提高01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( ) A ． 156 B ． 172 C ． 190 D ． 111002．（芜湖）－6的绝对值是( )A ． 6B ． －6C ． 16D ． －1603．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )A ． 0和6B ． 0和－6C ． 3和－3D ． 0和306．若－a 不是负数，则a( )A ． 是正数B ． 不是负数C ． 是负数D ． 不是正数07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b,则|a|＝|b | ②若a ＝－b,则|a|＝|b|③若|a|＝|b|，则a ＝－b ④若|a|＝|b|,则a ＝bA ． ①②B ． ③④C ． ①④D ． ②③08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b|的大小关系正确 的是( )A ． |b|＞a ＞－a ＞bB ． |b| ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b|＞b ＞－aD ． a ＞|b|＞－a ＞b09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a|a ＋|b|b ＋|abc|abc ＋|c|c12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a、a＋b也可以表示成0、b、ba的形式，试求a、b的值.13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a＞b＞c，求a＋b－C．14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x为有理数时，|x－l|＋|x－3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b|?当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．回答下列问题:⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , 3，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 4；⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是 |x+1|，如果|AB|＝2，那么x＝ 1或3；⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是 7．培优升级·奥赛检测01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为199919的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A． 1998 B． 1999 C． 2000 D． 200102．（第l8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a、b、c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc＜0;②|a－b|＋|b－c|＝|a－c|；③（a－b）(b－c)(c－a)＞0；④|a|＜1－bc．其中正确的结论有( )A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个03．如果a、b、c是非零有理数，且a＋b＋c＝0．那么a|a|＋b|b|＋c|c|＋abc|abc|的所有可能的值为（）A．－1 B． 1或－1 C． 2或－2 D． 0或－204．已知|m|＝－m，化简|m－l|－|m－2|所得结果( )A．－1 B． 1 C． 2m －3 D． 3－ 2m05．如果0＜p＜15，那么代数式|x－p|＋|x－15|＋|x－p－15|在p≤x≤15的最小值( ) A． 30 B． 0 C． 15 D．一个与p有关的代数式06．|x＋1|＋|x－2|＋|x－3|的最小值为 .07．若a＞0，b＜0，使|x－a|＋|x－b|＝a－b成立的x取值范围 .08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m、n满足|m|＋|n|－5＝0所有这样的整数组(m，n)共有组09．若非零有理数m、n、p满足|m|m＋|n|n＋|p|p＝1．则2mnp|3mnp|＝ .10．（19届希望杯试题）试求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋…＋|x－1997|的最小值. 11．已知(|x＋l|＋|x－2|)（|y－2|＋|y＋1|）（|z－3|＋|z＋l|）＝36，求x＋2y＋3的最大值和最小值.12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好，试求k0所表示的数.13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.第02讲有理数的加减法考点·方法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了元，下午收盘时又涨了元，则股票A这天的收盘价为（）A．元B．元C．元D．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－）＋（）＝，故选C．【变式题组】01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85【变式题组】01．（－）＋（－312）＋（－134）＋（－114）02．（－）＋＋（－）＋（－）03．＋314＋（－318）＋1123＋（－）【例３】计算111112233420082009++++⨯⨯⨯⨯【解法指导】依111(1)1n n n n =-++进行裂项，然后邻项相消进行化简求和. 解：原式＝1111111(1)()()()2233420082009-+-+-++- ＝111111112233420082009-+-+-++- ＝112009-＝20082009 【变式题组】 01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++＝__________.【例４】如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（ ）A ．a ＞b ＞－b ＞－aB ．a ＞－a ＞b ＞－bC ．b ＞a ＞－b ＞－aD ．－a ＞b ＞－b ＞a【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a ＞b ＞－b ＞a【变式题组】01．若m ＞0，n ＜0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）02．若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）03．已知a ＜0，b ＞0，c ＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a 、b 、c 、a ＋b 、a ＋c 的大小【例５】425－（－33311）－（－）－（－21811）【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.解：425－（－33311）－（－）－（－21811）＝425＋33311＋＋21811＝＋＋（33311＋21811）＝6＋55＝61【变式题组】01．21511()()()()(1)32632--+---+-+ 02．434－（＋）－（－314）＋（－）03．178－－（－43221）＋1531921－【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少第n 个数是多少⑵这列数中有多少个数是正数从第几个数开始是负数⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n 个数的规律，再用其它的数来验证.解：⑴第10个数为7，第n 个数为25－2(n －1)⑵∵n ＝13时，25－2(13－1)＝1，n ＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169【变式题组】 01．(杭州)观察下列等式1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答下列问题. ⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋35＋45）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.解：设S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）则有S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋…＋（4950＋4850＋…＋250＋150）将原式和倒序再相加得2S＝12＋12＋（13＋23＋23＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950＋4950＋4850＋…＋250＋150）即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝49(491)2⨯+＝1225∴S＝1225 2【变式题组】01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋21002．（第8届希望杯试题）计算（1－12－13－…－12003）（12＋13＋14＋…＋12003＋12004）－（1－12－13－…－12004）（12＋13＋14＋…＋12003）演练巩固·反馈提高01．m是有理数，则m＋|m|（）A．可能是负数B．不可能是负数C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±5 03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）A． 1 B．0 C．－1 D．－3 04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）A．两数一定都是正数B．两数都不为0C．至少有一个为负数D．至少有一个为正数05．下列等式一定成立的是（）A．|x|－ x ＝0 B．－x－x ＝0 C．|x|＋|－x| ＝0 D．|x|－|x|＝0 06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）A．－a B．0 C．2a D．－2a08．设x是不等于0的有理数，则||||2x xx值为（）A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________10．用含绝对值的式子表示下列各式：⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________11．计算下列各题：⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－＋－＋－⑶－－314＋－712⑷－－（－）－|－2310|12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－9913．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收工时距离A地多远？⑵若每千米耗油千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？14．将1997减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15……以此类推，直到最后减去余下的11997，最后的得数是多少？15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界着名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如13＋115来表示25，用14＋17＋128表示37等等.现有90个埃及分数：12，13，14，15，…190，191，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？培优升级·奥赛检测01．（第16届希望杯邀请赛试题）1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于（ ） A ．14B ．14-C ．12D ．12-02．自然数a 、b 、c 、d 满足21a ＋21b ＋21c ＋21d ＝1，则31a ＋41b ＋51c ＋61d 等于（ ） A ．18B ．316C ．732D ．156403．（第17届希望杯邀请赛试题）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，则a ＋b ＋c ＋d 值是（ ） A ．30 B ．32 C ．34 D ．3604．（第7届希望杯试题）若a ＝1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝1997199719981998，则a 、b 、c 大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b05．11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．406．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（ ） A ．－22003 B ．22003 C ．－22004 D ．2200407．（希望杯邀请赛试题）若|m|＝m ＋1，则(4m ＋1)2004＝__________08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋5960）＝__________ 09．19191976767676761919-＝__________534333231310．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________ 11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________ 12．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求aB ．13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (11000－1)14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值.第03讲 有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.经典·考题·赏析 【例１】计算⑴11()24⨯- ⑵1124⨯ ⑶11()()24-⨯- ⑷25000⨯ ⑸3713()()(1)()5697-⨯-⨯⨯- 【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.解：⑴11111()()24248⨯-=-⨯=-⑵11111()24248⨯=⨯=⑶11111()()()24248-⨯-=+⨯=⑷250000⨯=⑸3713371031()()(1)()()569756973-⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=-【变式题组】01．⑴(5)(6)-⨯- ⑵11()124-⨯ ⑶(8)(3.76)(0.125)-⨯⨯-⑷(3)(1)2(6)0(2)-⨯-⨯⨯-⨯⨯- ⑸111112(2111)42612-⨯-+- 02．24(9)5025-⨯ 3．1111(2345)()2345⨯⨯⨯⨯--- 04．111(5)323(6)3333-⨯+⨯+-⨯ 【例２】已知两个有理数a 、b ，如果ab ＜0，且a ＋b ＜0，那么（ ）A ．a ＞0，b ＜0B ．a ＜0，b ＞0C ．a 、b 异号D ．a 、b 异号且负数的绝对值较大【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a 、b 异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.解：由ab ＜0知a 、b 异号，又由a ＋b ＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D ． 【变式题组】01．若a ＋b ＋c ＝0，且b ＜c ＜0，则下列各式中，错误的是（ ） A ．a ＋b ＞0 B ．b ＋c ＜0 C ．ab ＋ac ＞0 D ．a ＋bc ＞002．已知a ＋b ＞0，a －b ＜0，ab ＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|.03．(山东烟台)如果a ＋b ＜0，0b a >，则下列结论成立的是（ ）A ．a ＞0，b ＞0B ．a ＜0，b ＜0C ．a ＞0，b ＜0D ．a ＜0，b ＞0 04．(广州)下列命题正确的是（ ）A ．若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0B ．若ab ＜0，则a ＜0，b ＜0C ．若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．若ab ＝0，则a ＝0且b ＝0 【例３】计算⑴(72)(18)-÷- ⑵11(2)3÷- ⑶13()()1025-÷ ⑷0(7)÷- 【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除. 解：⑴(72)(18)72184-÷-=÷=⑵17331(2)1()1()3377÷-=÷-=⨯-=-⑶131255()()()()10251036-÷=-⨯=-⑷0(7)0÷-=【变式题组】01．⑴(32)(8)-÷- ⑵112(1)36÷- ⑶10(2)3÷- ⑷13()(1)78÷- 02．⑴12933÷⨯⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷ ⑶530()35÷-⨯03．113()(10.2)(3)245÷-+-÷⨯-【例４】（茂名）若实数a 、b 满足0a ba b+=，则ab ab＝___________.【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a 、b 的取值范围，进一步代入结论得出结果.解：当ab ＞0，2(0,0)2(0,0)a b a b a b a b >>⎧+=⎨-<<⎩；当ab ＜0，0a ba b+=，∴ab ＜0，从而ab ab＝－1.【变式题组】01．若k 是有理数，则(|k|＋k)÷k 的结果是（ ）A ．正数B ．0C ．负数D ．非负数02．若A ．b 都是非零有理数，那么ab a b a b ab++的值是多少？03．如果0x y x y +=，试比较xy -与xy 的大小.【例５】已知223(2),1x y =-=- ⑴求2008xy 的值； ⑵求32008x y 的值.【解法指导】na 表示n 个a 相乘，根据乘方的符号法则，如果a 为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a 是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵223(2),1x y =-=- ⑴当2,1x y ==-时，200820082(1)2xy =-= 当2,1x y =-=-时，20082008(2)(1)2xy =-⨯-=-⑵当2,1x y ==-时，332008200828(1)x y ==- 当2,1x y =-=-时，3320082008(2)8(1)x y -==-- 【变式题组】 01．（北京）若2(2)0m n m -+-=，则nm 的值是___________.02．已知x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求()n nx y --的值，这里n 是正整数.【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）A ．×106B ．×106C ．×107D ．×107 【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a 的整数位数是1位.故答案选B ．【变式题组】01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ） A ．×105 B ．×105 C ．×104 D ．103×10302．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（ ）A ．×105亩B ．×106亩C ．253×104亩D ．×107亩 【例７】（上海竞赛）【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式＝22(50)50k -+原式＝2222222222221299(150)50(250)50(50)50(9950)50k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ ＝222222222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50++++⋅⋅⋅+-+-+-+-+＝49222+1++⋅⋅⋅+个＝99【变式题组】A ．31003B ．31004C ．1334D ．1100002．（第10届希望杯试题）已知11111111 1.2581120411101640+++++++= 求111111112581120411101640---+--++的值.演练巩固·反馈提高01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）A ．互为相反数B ．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C ．都是负数D ．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03．已知abc ＞0，a ＞0，ac ＜0，则下列结论正确的是（ ）A ．b ＜0，c ＞0B ．b ＞0，c ＜0C ．b ＜0，c ＜0D ．b ＞0，c ＞0 04．若|ab|＝ab ，则（ ）A ．ab ＞0B ．ab ≥0C ．a ＜0，b ＜0D ．ab ＜005．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a bm cd m +-+的值为（ ）A ．－3B ．1C ．±3D ．－3或106．若a ＞1a ，则a 的取值范围（ ）A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．a ＞－1D ．－1＜a ＜0或a ＞107．已知a 、b 为有理数，给出下列条件：①a ＋b ＝0；②a －b ＝0；③ab ＜0；④1ab =-，其中能判断a 、b 互为相反数的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 08．若ab≠0，则a b a b+的取值不可能为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．－209．1110(2)(2)-+-的值为（ ）A ．－2B ．(－2)21C ．0D ．－21010．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ）A ．×107B ．×106C ．×105D ．×10411．已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ，它们的积abcd ＝9，则a ＋b ＋c ＋d ＝___________.12．21221(1)(1)(1)n n n +--+-+-（n 为自然数）＝___________.13．如果2x y x y +=，试比较xy -与xy 的大小.14．若a 、b 、c 为有理数且1a b ca b c++=-，求abc abc的值.15．若a 、b 、c 均为整数，且321a b c a -+-=.求a c cb b a-+-+-的值.培优升级·奥赛检测01．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则,,x y y z z xy z z x x y ------中负数的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个或2个02．计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测201021-的个位数字是（ ）A ．1B ．3C ．7D ．503．已知23450ab c d e ＜，下列判断正确的是（ ） A ．abcde ＜0 B ．ab2cd4e ＜0 C ．ab2cde ＜0 D ．abcd4e ＜004．若有理数x 、y 使得,,,xx y x y xy y +-这四个数中的三个数相等，则|y|－|x|的值是（ ）A ．12-B ．0C ．12D ．3205．若A ＝248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++，则A －1996的末位数字是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．906．如果20012002()1,()1a b a b +=--=，则20032003a b +的值是（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．－107．已知5544332222,33,55,66a b c d ====，则a 、b 、c 、d 大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞c ＞dB ．a ＞b ＞d ＞cC ．b ＞a ＞c ＞dD ．a ＞d ＞b ＞c 08．已知a 、b 、c 都不等于0，且a b c abca b c abc+++的最大值为m ，最小值为n ，则2005()m n +＝___________.09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是___________.第一组：15,3,4.25,5.753- 第二组：112,315-第三组：52.25,,412-10．一本书的页码从1记到n，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，3 2，41，15，24，23，42，51，16，…(＊)，在(＊)中左起第m个数记为F(m)，当F(m)＝12001时，求m的值和这m个数的积.12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：11,,1,2,4,8,16,32,6442填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值.13．(第12届“华杯赛”试题)已知m、n都是正整数，并且证明：⑴11,;22m nA Bm n++ ==⑵126A B-=，求m、n的值.第04讲整式考点·方法·破译1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.经典·考题·赏析【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.(1)x+1 (2)1x(3)πr2(4)−32a2b【解法指导】理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，π是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数.解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算；⑵不是，因为代数式是与x的商；⑶是，它的系数为π，次数为2；⑷是，它的系数为32-，次数为3.【变式题组】01．判断下列代数式是否是单项式(1)a (2)−12(3)1+x2(4)xπ(5)xy (6)2πx02．说出下列单项式的系数与次数(1)−23x2y (2)mn (3)5a2(4)−72ab2c【例２】如果2x n y4与12m2x2y|m−n|都是关于x、y的六次单项式，且系数相等，求m、n 的值.【解法指导】单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x或y或x、y等是有区别的，该题是针对x与y而言的，因此单项式的次数指x、y的指数之和，与字母m无关，此时将m看成一个要求的已知数.解：由题意得n+4=6,2+|m−n|=6,2=12m2∴m=−2,n=2 【变式题组】01．一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3.且当x＝2,y＝－1时，这个单项式的值为32，求这个单项式.02．（毕节）写出含有字母x、y的五次单项式______________________.【例３】已知多项式−45x2y2+23x4y3−xy+1⑴这个多项式是几次几项式？⑵这个多项式最高次项是多少二次项系数是什么常数项是什么【解法指导】 n个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.解：⑴这个多项式是七次四项式；(2)最高次项是23x4y3,二次项系数为－1，常数项是1.【变式题组】01．指出下列多项式的项和次数⑴a3−a2b+ab2−b3 (2)3n4−2n2+102．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项⑴x3+x2−x−2 (2)−4x3−x2+x−4【例４】多项式7x m+kx2−(3n+1)x+5是关于x的三次三项式，并且一次项系数为－7.求m+n－k的值【解法指导】多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数.解：因为7x m+kx2−(3n+1)x+5是关于x的三次三项式，依三次知m＝3，而一次项系数为－7，即－（3n+1）＝－7，故n＝2.已有三次项为7x3,一次项为－7x，常数项为5，又原多项式为三次三项式，故二次项的系数k＝0，故m+n－k＝3+2－0＝5.【变式题组】01．多项式3x|m|y2+(m+2)x2y−1是四次三项式，则m的值为（）A．2 B．－2 C．±2 D．±102．已知关于x、y的多项式ax2+2bxy+x2−x−2xy+y不含二次项，求5a－8b的值.03．已知多项式−56x2y m+2+xy2−12x3+6是六次四项式，单项式23x3n y5−m z的次数与这个多项式的次数相同，求n的值.【例５】已知代数式3x2−2x+6的值是8,求32x2−x+1的值.【解法指导】由3x2−2x+6=8，现阶段还不能求出x的具体值，所以联想到整体代入法.解：由3x2−2x+6=8得由3x2−2x=23 2x2−x+1=12（3x2−2x+2)=12×(2+2)=2【变式题组】01．(贵州)如果代数式－2a+3b+8的值为18，那么代数式9b－6a+2的值等于（）A．28 B．－28 C．32 D．－3202．（同山）若a2+a=0,则2a2+2a+2008的值为_______________.03．（潍坊）代数式3x2−4x+6的值为9,则x2−43x+6的值为______________.【例６】证明代数式16+m−{8m−[m−9−(3−6m)]}的值与m的取值无关.【解法指导】欲证代数式的值与m的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可.证明：原式＝16+m−8m+[m−9−(3−6m)]=16+m−8m+m−9−3+6m=4∴无论m的值为何，原式值都为4.∴原式的值与m的取值无关.【变式题组】01．已知A=2x2+3ax−2x−1,B=−x2+ax−1,且3A+6B的值与x无关，求a的值. 02．若代数式(x2+ax−2y+7)−(bx2−2x+9y−1)的值与字母x的取值无关，求a、b 的值.【例７】（北京市选拔赛）同时都含有a、b、c，且系数为1的七次单项式共有（）个A．4 B．12 C．15 D．25【解法指导】首先写出符合题意的单项式a x b y c z,x、y、z都是正整数，再依x+y+z＝7来确定x、y、z的值.解：a x b y c z为所求的单项式，则x、y、z都是正整数，且x+y+z＝7.当x＝1时，y＝1,2,3,4,5,z＝5,4,3,2,1.当x＝2时，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1. 当x＝3时，y＝1,2,3,z＝3,2,1.当 x＝4时，y＝1,2,z＝2,1.当 x＝5时，y＝z＝1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1＝15，故选C．【变式题组】01．已知m、n是自然数，a m−3b2c−17a2b n−3c4+112a m+1b n−1c是八次三项式，求m、n值.02．整数n＝___________时，多项式5x n+2−2x2−n+2是三次三项式.演练巩固·反馈提高01．下列说法正确的是（）A．x−y2是单项式 B．3x2y3z的次数为5 C．单项式ab2系数为0 D．x4−1是四次二项式02．a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个三位数是（）A．100b+a B．10a+b C．a+b D．100a+b03．若多项式2y2+3x的值为1，则多项式4y2+6x−9的值是（）A．2 B．17 C．－7 D．704．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m 元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（）A．(15n+15m)元 B．(45n−45m)元 C．(1−15m)元 D．(15n−m)元05．若多项式k(k−1)x2−kx+x−3是关于x的一次多项式，则k的值是（）A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定06．若（1−n2)x n y3是关于x、y的五次单项式，则它的系数是____________.07．电影院里第1排有a个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有_______个座位.08．若3a m b3+4a n+1b m+2=7a x+1b y,则代数式xy+mn值为________.09．一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是____________.10．(河北)有一串单项式x,−2x2,3x3,−4x4,,−10x10,(1)请你写出第100个单项式；⑵请你写出第n个单项式.11．（安徽）一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3,且当x＝2，y＝－1时，这个单项式值为32，求这个单项式.12．（天津）已知x＝3时多项式ax3+bx+5的值为－1，则当x＝－3时这个多项式的值为多少？13．若关于x、y的多项式2x2y−23x3y4+(2a−3)x3y5与多项式−x2b y4+3x2y−1的系数相同，并且最高次项的系数也相同，求a－b的值.14．某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一.A：计时制：元/分B：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）.此外，每种上网方式都得加收通行费元/分.⑴某用户某月上网时间为x小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；(2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算.培优升级·奥赛检测01．（扬州）有一列数a1、a2、a3a n,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差.若a1=2,则a2007为（）A．2007 B．2 C．12D．－102．（华师一附高招生）设记号*表示求a、b算术平均数的运算，即a∗b=a+b2,则下列等式中对于任意实数a、b、c都成立的是（）①a+(b∗c)=(a+b)∗(a+c)②a∗(b+c)=(a+b)∗c③a∗(b+c)=(a∗b)+(a∗c)④(a∗b)+c=a2+(b∗2c)。
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分数基本计算与比例初步内容提要：分数比例分数分数的概念把整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数如25表示把整体平均分成5份，占其中的2份分母表示把一个物体平均分成几份，分子是表示取其中的几份注意：分母不能为0分数的种类真分数：分子比分母小的分数，如2 3假分数：分子比分母大的分数，如3 2带分数：把假分数化成整数和真分数加在一起的分数，如32＝1＋2１＝112分数的性质1．分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变如246369＝＝，8421005025＝＝2．约分与通分约分：分子分母同时除以公因数，如425025＝最简分数通分：把多个分数的分母变成一样，如224833412⨯⨯＝＝比较大小333944312⨯⨯＝＝注意：有时通分也可把分子变成一样3．分数的倒数倒数：乘积为1的两个数互为倒数分数：分子与分母的位置互换注意：0没有倒数分数和小数互化分数化小数：分子除以分母小数化分数：小数点后有1位数，2位数，3位数…，分母分别为10，100，1000…分子就是小数点后的数注意要化成最简分数如2250.4 5÷＝＝0.012＝123 1000250＝分数的运算1．加减法同分母加减法：分母不变，分子相加减，结果化为最简分数异分母加减法：先通分，变为分母相同的分数，分子再相加减如：347888＋＝23342761 917153153153 +=+=2．乘除法乘法：分子乘分子，分母乘分母如3312311 88882243⨯4⨯4=⨯====1⨯133123 8884010 443⨯4⨯=⨯===55⨯5除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数如33121 888242 343⨯4÷=⨯===43⨯3注意：分数的乘除法运算过程中可以先约分分数的四则混合运算的规律与整数一样特殊的约分连锁约分 整体约分连锁约分：4433221⨯⨯⨯=122⨯33⨯44⨯1=整体约分：3333123123246369123(123)13526103915135(123)⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯++＝＝33(123)⨯++13⨯335(123)⨯⨯++25＝我们来看看分数的乘除法 计算下列各式：28157549⨯＝__________；315711÷＝__________。
学而思寒假七年级尖子班讲义第讲平面直角坐标系
领先中考培优课程M A T H E M A T I C S3 平面坐标系知识目标目标一理解有序数对、有序数对、点的坐标的概念目标二掌握象限、坐标轴、坐标轴夹角平分线的点的坐标特征目标三灵活运用点和线的平移变换。
点的对称变换求坐标模块一 平面直角坐标系的相关概念 知识导航1有序数对有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b),利用有序数对可以可以很准确的表示出一个位置。
2平面直角坐标系3、点的坐标平面内的点可以用一个有序数对表示，这个有序数对就叫做点的坐标。
对于平面内任意一点，过该点分别向横轴、纵轴作垂线，垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫做该点横坐标、纵坐标。
在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系、水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向：竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面坐标系的原点。
如左图，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成了Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分,每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
坐标轴上的点不属于任何象限。
Ⅰ 第一象限 Ⅳ第四象限Ⅲ第三象限 Ⅱ 第二象限 原点如图，点p 为坐标平面内一点，过点p 作x 轴的垂线，垂足M 在x 轴上对应点的数是-2，则-2就是p 的横坐标；过点p 作y 轴的垂线，垂足N 在y 轴上对应的数为3，则3为点p 的纵坐标，点p 就可以用有序数对（-2，-3）来表示，记作p （-2,3）。
由坐标确定点的方法：要确定由坐标（a,b)所表示的点p 的位置，先在x 轴上找到表示a 的点，过这点作x 轴的垂线；再在y 轴上找到表示b 的点，过这点作y 轴的垂线，两条垂线的交点p 即为所求的位置。
由点求坐标的方法：先由已知点p 分别向x 轴和y 轴作垂线，设垂足分别为A 和B ，再求出A 在x 轴上的坐标a 和B 在轴上的坐标b ，则点p 的坐标为（a,b)巩固练习 点的坐标(1)在图1的平面直角坐标系中描出下列个点：A(3，4),B(-2，3),C(-5，-2),D(4，-1),E(1，0),F(0，3),G(-2，0),H(0，-4). (2)写出图2中点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 的坐标。
学而思寒假八年级尖子班讲义第1讲平行四边形性质、判定
1 平行四边形性质、判定目标1 掌握平行四边形的性质掌握平行四边形的性质目标2 掌握平行四边形的判定掌握平行四边形的判定目标3 应用平行四边形的性质、判定、三角形全等解决综合问题应用平行四边形的性质、判定、三角形全等解决综合问题【专题简介】【专题简介】与三角形一样，平行四边形也是一种基本的几何图形，宏观的建筑物、开关自如的栅拦门、别具一格的灵柩••••••现实世界中很多物体都有平行四边形的形象。
从本讲开始，我们将依次学习平行四边形、举行、菱形、正方形的概念，并在理解她们的基础上，利用已有的几何知识和方法，搜索并证明他们的性质定理和判定定理:进一步体会研究图形的几何性质的思路和方法，进一步体会研究图形的几何性质的思路和方法，即通过观、即通过观、即通过观、类比、类比、类比、特殊化等途径和方法发特殊化等途径和方法发现图形的几何性质，在通过逻辑推理证明他们现图形的几何性质，在通过逻辑推理证明他们模块一 平行四边形的性质 知识导航知识导航 定义定义示例剖析示例剖析平行四边形:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（如图）:平行四边形的表示：一般按照一定的方向依次表示各项点:如右图的平行四边形不能表示平行四边形ACBD ，也不能表示平行四边形ADBC叫做平行四边形四边形ABCD ÞþýüBC // AD CD // AB 记作□ABCD性质性质示例剖析示例剖析①平行四边形的对边平行；①平行四边形的对边平行；四边形ABCD 为平行四边形ÞAB ∥DC ， AD ∥ BC ．②平行四边形的对边相等：②平行四边形的对边相等：四边形ABCD 为平行四边形ÞAB ∥DC ， AD ∥ BC ．③平行四边形的对角相等③平行四边形的对角相等四边形ABCD 为平行四边形Þ∠A=∠C ，∠B=∠D④平行四边形的对角线互相平分④平行四边形的对角线互相平分四边形ABCD 为平行四边形ÞOA=OC ，OB=OD【例1】如图，D 为平行四边形ABCD 的对角线的交点：过O 点作直线EF 分别交CD 、AB 于点E 、F ． (1)求证：OE= OF ；(2)若AB =5，BC =4，OE= 1.5，求四边形EFBC 的周长。
学而思寒假七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型(1)
目录Contents第1讲平行线四大模型 (1)第2讲实数三大概念 (17)第3讲平面直角坐标系 (33)第4讲坐标系与面积初步 (51)第5讲二元—次方程组进阶 (67)第6讲含参不等式（组） (79)1 平行线四大模型知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证明目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造秋季回顾平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP ,求证AE //CF .模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB∥DE，BF、 DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.练如图，已知AB∥DE，∠FBC=∠ABF，∠FDC=∠FDE.(1)若n=2,直接写出∠C、∠F的关系；(2)若n=3，试探宄∠C、∠F的关系；(3)直接写出∠C、∠F的关系（用含n的等式表示）.例3如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：∠E= 2 (∠A+∠C) .练如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校 2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、 CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN 的平分线相交于点 F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EFA= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+∠CHG= .例6已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NAn，探索∠A1、∠A2、…、∠An，∠B1、∠B2…∠Bn-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NAn，探索∠A1、∠A2、…、∠An之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．挑战压轴题（粮道街2015—2016 七下期中）如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点，MN与CD、AB分别交于E、F．(1) 若∠EFB=55°，∠EDP= 30°，求∠MPD的度数；(2) 当点P在线段EF上运动时，∠CPD与∠ABP的平分线交于Q,问：是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P在线段EF的延长线上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第一讲平行线四大模型（课后作业）1.如图，AB // CD // EF , EH⊥CD于H ,则∠BAC+∠ACE +∠CEH等于( ).A. 180°B. 270°C. 360°D. 450°2．（武昌七校2015-2016七下期中）若AB∥CD，∠CDF=∠CDE，∠ABF=∠ABE，则∠E：∠F=( )．A．2:1 B．3:1 C．4:3 D．3:23.如图3，己知AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C= .4.如图，已知直线AB∥CD，∠C =115°，∠A= 25°，则∠E= ．5．如阁所示，AB∥CD，∠l=l l0°，∠2=120°，则∠α= .6．如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B= .7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .8．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是 .。
学而思讲义
枚举组数1．用6、7、8、9四个数可以组成许多个没有重复数字的4位数，把它们从小到大排列起来，9768排在第（）个。
2．用数字1、2、3、4组成各位数字都不相同的两位数，并按从小到大的顺序排列，第10个数比第7个数大（）3．智慧爷爷今年已经有一百多岁了，如果把他的年龄的各位数字相加，和是9，如果把各位数字相乘，积等于16，那么今年智慧爷爷（）岁。
有一个四位数，它的各位数字和为9，积为24，那么组成这个数的四个数字中，奇数是（）。
横式数字谜4．“小朋友真厉害”这六个汉字分别表示1、2、3、4、6、7这6个数字，根据下面的算式，可以得到小=（），朋=（），友=（），真=（），厉=（），害=（）小+友+真=9小+朋=8友—真=4厉—害=小5．“万事如意”这四个汉字分别表示一个10以内不同的双数，根据下面的算式可以得到万=（），事=（），如=（），意=（）万—事如+意=9万—事如—意=1意—（万—事）如=3日历中的数学6．牛牛暑假跟着爸妈去海南旅游，他们一起连续玩了4天，这4天的日期数相加的和是70（不含月份），那么他们是从（）日玩到（）日的。
7．2015年1月和2月是寒假，乐乐寒假在奶奶家连续住了5天，这5天的日期数相加的和是67（不含月份），那么乐乐从（）月（）日开始住在奶奶家。
8．牛牛同学在某月的日历上圈出2 2个数（如图），正方形方框内的4个数的和是28，那么A=（），B=（），C=（），D=（）。
9．西西同学在日历上圈出5个数，呈十字框型（如图），他们的和是65，则正中间的C=（）10．某月有5个星期日，这5个星期日的日期之和为80（不含月份），则这个月中第一个星期日的日期数是（）。
11．某年的6月有4个星期一和5个星期日，那么这月的第一天是星期（）12．某年的10月有4个星期日和5个星期一，那么这个月的第一天是星期（）和差倍问题1.小林在课桌上摆了一排棋子，数一数，黑、白棋子共有56颗，其中白棋子的颗数正好是黑棋子的6倍，黑白棋子各有多少颗？2.果园里一共种有34棵桃树和杏树，其中桃树的颗数比杏树的3倍多6棵，两种树各种了多少棵？3.两筐水果共重50千克，其中第一筐比第二筐的2倍少13千克，请问两筐水果各重多少千克？4.甲、乙两桶共有油168千克，从甲桶倒出27千克后，甲桶剩下的油是乙桶的两倍，求甲乙两桶原来各有油多少千克？5.一个长方形，周长是30厘米，长是宽的2倍，求这个长方形的长和宽各是多少厘米？6.一个数除以另一个数，商是10，这两个数的和再加上商，和是87，被除数是（），除数是（）。
学而思网校物理第一课讲义
温度计的使用和校准一、温度计：1．温度定义：_______________________________________________________________ 温度计原理：_____________________________________________________________ 2．摄氏温度和热力学温度的关系：___________________。
常用单位和国际单位的区分。
3．常用温度计分类：实验室用温度计：(分度值)_________；(测量范围)_______________寒暑表：(分度值)_________________；(测量范围)_______________体温计：(分度值)_________________；(测量范围)_______________二、热膨胀：1．热膨胀一般规律：_____________2．水的反常膨胀规律：0℃－4℃：_____________；4℃：_____________。
3．热膨胀在技术上的意义：⑴在架桥、铺路、安装管道时，接触物间留有的空间，防止热胀冷缩的力产生破坏作用。
⑵利用不同材料在相同条件下热膨胀不同的双金属片，制成自动控制恒温箱、自动防火报警装置。
三、热传递：1．定义：____________________________________________________________________ 2．条件：____________________________________________________________________ 3．实质：________________________4．方式：传导、对流、辐射。
⑴热传导：____________________________⑵对流：___________________________________________________________⑶热辐射：_________________________________________________________________【例1】1988年中国科学家从实验室中获得了130K的低温超导体，130K相当于摄氏温度为______；在1标准大气压下沸水的热力学温度为______。
2020学而思教材讲义高二数学秋季 秋季非海淀第1讲 立体几何初步.删解析
1第1讲·提高-尖子-目标·教师版当前形势空间几何体在近五年北京卷（理）考查10分高考 要求内容要求层次 具体要求A B C 柱、锥、台、球及其简单组合体 √认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 三视图，斜二侧法画简单空间图形的直观图√能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型；通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图．北京 高考 解读2009年 2010年 （新课标） 2011年 （新课标） 2012年 （新课标） 2013年 （新课标） 第4题 5分 第16题5分第5题 5分 第16题5分第7题 5分 第16题5分第7题 5分 第16题5分第14题 5分 第16题5分备注：北京高考第16题一般都是14分，第一问考查空间几何体中的平行与垂直关系．新课标剖析满分晋级第1讲立体几何初步立体几何5级 空间向量 与立体几何立体几何6级 立体几何初步立体几何7级 立体几何之 平行问题16 第1讲·提高-尖子-目标·教师版<教师备案> 暑期学过空间几何体的概要，初步了解了柱、锥、台和球的结构特征以及它们的表面积和体积的求法，本板块进行简单的回顾．1．下列说法正确的是（ ）A ．有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥B ．有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台C ．有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱D ．棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形 【解析】 D暑期知识回顾空间几何体 棱柱 棱锥 棱台圆柱 圆锥圆台 空间几何体的基本元素：点、线、面．平面：无限延展、平滑且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示．用αβγ，，命名，或用大写字母表示：如平面ABCD 或平面AC ． 多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体，其中这些多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边叫棱，棱的公共点叫顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．截面：一个几何体与一个平面相交所得到的平面图形（包括平面图形的内部）． 棱柱的定义，相关概念、性质、分类、记法及特殊的四棱柱； S ch =直棱柱侧面积，Sh V =直棱柱，其中c 为直棱柱的底面周长，S 为底面积，h 为高； 棱锥的定义、相关概念、特征、记法和分类，以及正棱锥的性质；1122S nah ch ''==正棱锥侧，13V Sh =锥体，a 为底面边长，c 为底面周长，h '为斜高； 棱台的定义、相关概念、记法、以及正棱台的性质；（h 为高，h '为斜高） 11()()22S n a a h c c h =''''+=+正棱台侧，1()3V h S SS S ''=+台体．（S S '，为底面面积） 旋转体的基本概念：轴、高、底面、侧面、侧面的母线； 圆柱的定义，记法和性质，2πV r h =圆柱；r 为底面半径，h 为高； 圆锥的定义，记法和性质，21π3V r h =圆锥；r 为底面半径，h 为高； 圆台的定义，记法和性质，221π()3V h r rr r =''++圆台．r r '，为底面半径，h 为高； 球球面：一个半圆周绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，也可看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合； 球：球面围成的几何体，也称球体，有球心、半径、直径的概念；球的表面积及体积公式：24πS R =球，34π3V R =球； 大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫球的小圆；球面距离：球面上两点间的最短距离，是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度．2．将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（）A．1:2B．1:3C．1:4D．1:5【解析】D3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）A．7B．6C．5D．3【解析】A4．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三部分，则圆锥被分成的三部分的体积的比是（）A．1:2:3B．1:7:19C．3:4:5D．1:8:27【解析】B5．一个底面棱长为2的正四棱锥，连接两个相邻侧面的重心E、F，则线段EF的长为_______．【解析】226．等体积的球和正方体，它们的表面积的大小关系是S球___S正方体．【解析】7．一个长方体的全面积是220cm，所有棱长的和是24cm，则长方体的对角线长为______．【解析】4．8．在半径为6的球的内部有一点，该点到球心的距离为4，过该点作球的截面，则截面面积的最小值是（）A．11πB．20πC．27πD．32π【解析】B考点1：多面体和旋转体的表面积及体积1.1空间几何体的表面积及体积知识点睛1第1讲·提高-尖子-目标·教师版16 第1讲·提高-尖子-目标·教师版1．多面体的表面积和体积公式名称侧面积S 侧 全面积S 全体 积V 棱柱棱柱直截面周长l ⨯2S S +侧底S h ⋅底直棱柱chS h ⋅底 棱锥 棱锥 各侧面面积之和S S +侧底 13S h ⋅底 正棱锥 12ch ' 棱台 棱台 各侧面面积之和S S S ++侧上底下底 ()13h S S S S ++⋅上底下底上底下底 正棱台 ()12c c h ''+ 表中S 表示面积，c '、c 分别表示上、下底面周长，h 表示高，h '表示斜高，l 表示侧棱长．<教师备案>多面体的表面都可以都可以展开成平面图形，求多面体的表面积可转化为求平面图形的面积．多面体的体积的推导是用“祖暅原理”，充分体现了空间与平面相互转化的思想．本版块重点是表面积和体积公式的应用．三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，此方法叫做等积法，求体积的时候要注意灵活选择底面．2．旋转体的表面积和体积公式名称侧面积S 侧 全面积S 全 体 积V圆柱2πrl()2πr l r +2πr h （即2πr l ）圆锥πrl ()πr l r + 21π3r h 圆台 ()12πr r l + ()()221212ππr r l r r +++ ()2211221π3h r rr r ++球 24πR34π3R 表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥的底面半径，1r 、2r 分别表示圆台的上、下底面半径，R 表示球的半径．<教师备案>圆柱、圆锥和圆台的表面也可以展开成平面图形，重点仍然是表面积和体积公式的应用．提高班学案1【铺1】⑴已知六棱锥P ABCDEF -的底面是边长为2的正六边形，点P 在底面的投影是正六边形的中心，且3PA =，则该四棱锥的表面积为_____________，体积为_________．⑵正棱锥的高增为原来的n 倍，底面边长缩为原来的1n，那么体积（ ）A ．缩为原来的1nB ．增为原来的n 倍C ．没有变化D ．以上结论都不对【解析】 ⑴ 63122+，215；⑵ A ；经典精讲1第1讲·提高-尖子-目标·教师版【例1】 ⑴若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ）A ．26B ．23C ．33D ．23⑵如图，点E 、F 分别在单位正方体1111ABCD A B C D -的1AA 、1B C 上，则三棱锥1D EDF -的体积为________．⑶已知三个球的半径1R 、2R 、3R 满足12323R R R +=，则它们的 表面积1S 、2S 、3S 满足的等量关系是__________⑷已知平行四边形两邻边的长a 和b ，当它分别绕边a ，b 旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为（ ）A ．b aB ．a bC ．3b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭【追问】三角形三条边长分别为a b c ，，，当它分别饶三边旋转一周时，所形成的几何体的体积之比为（ ）A ．::a b cB ．222::a b cC ．333::a b cD ．111::a b c【解析】 ⑴ B ；⑵ 16；⑶ 12323S S S +=；⑷ A 【追问】D ．考点2：几何体的表面积体积综合<教师备案>求几何体的表面积和体积，很多时候只需要知道简单的公式就行了，属于中、低档题，因此在高考中比较常见．提高班学案2【铺1】如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则Rr= ．经典精讲F ED 1C 1B 1A 1D CB A16 第1讲·提高-尖子-目标·教师版【解析】 233；【例2】 ⑴圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图①所示），则球的半径是 cm ．⑵如图②所示，一个正三棱柱形容器，高为2a ，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图③所示，这时水面恰好过棱1111AC BC AC B C ，，，的中点，则图②中水面的高度是_________．C 1B 1A 1CB ABA CB 1C 1A 1图① 图② 图③【解析】 ⑴ 4；⑵ 32a ；尖子班学案1【拓2】 有一个圆锥形容器正放，它的高为h ，圆锥内水面的高度为1h ，113h h =，将圆锥倒置，求倒置的水面高度2h ． 【解析】 3219h =．目标班学案1【拓3】 如图1所示，在直三棱柱形的筒里装着水，这个直三棱柱的展开图如图2所示：现在，如图1所示，将直三棱柱的A面作为底面，放在水平的桌面上，水面高度是2cm；若将直三棱柱的B面作为底面，放在水平的桌面上，则水面高为厘米．；【解析】32【备选】如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有V 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2）．有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD．若往容器内再注入V升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是：（写出所有真命题的代号）．PP图1图2【解析】B、D；1.2组合体1．简单组合体：由柱体、锥体、台体和球体等简单几何体组合而成的几何体．2．简单组合体构成的基本形式：由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成．<教师备案>组合体是空间几何体的难点，特别是球体与其它几何体的组合，首先要了解它是由哪些基本几何体构成，明确切点（内切）或接点（外接）的位置，确定有关元素间的数量关系，1第1讲·提高-尖子-目标·教师版16 第1讲·提高-尖子-目标·教师版然后通过相关截面分析和解决问题．对于球与旋转体的组合，一般作轴截面的图进行分析；对于球体与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或切点（接点）作截面图来分析，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决．考点3：简单几何体的内切球与外接球【例3】 ⑴一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为123，，，则此球的表面积等于 ．⑵正方体全面积为24，求它的外接球、内切球以及与它的各条棱都相切的球的表面积．⑶圆台的内切球半径为R ，且圆台的全面积和球的表面积之比为218，求圆台的上，下底面半径12r r ，（12r r <）． 【解析】 ⑴ 14π；⑵ 它的内切球的表面积为24π14π⋅=，外接球的表面积为()24π312π=，与各棱相切的球的表面积为()24π28π=．【点评】 正方体的外接球的球心与正方体的中心重合除了通过对称性考虑外，可以严格的推导，因为正方体的八个顶点都在球面上，故球心到这八个点的距离都相等，从而它必在过各个面的中心的垂线上，从而只能是正方体的中心．这对长方体的外接球也同样适用．同样可考虑正方体的内切球球心，它与正方体六个面的距离都相等． ⑶ 12Rr =，22r R =．尖子班学案2【拓2】 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 ． 【解析】 9π；目标班学案2经典精讲1第1讲·提高-尖子-目标·教师版【拓3】 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的体积为_________．【解析】 43π；考点4：正四面体的内切球与外接球【例4】 ⑴如果正四面体ABCD 的外接球的体积为43π，则四面体的体积为_______． ⑵如果正四面体ABCD 的内切球的体积为43π，则四面体的体积为_______．【追问】如果与正四面体的各条棱都相切的球的体积为43π，求四面体的体积．⑴ 83；⑵ 72； 【追问】83【探究】正四面体的内外切球与正四面体棱长的关系：当正四面体的棱长为a 时，求它的内切球半径r 与外接圆半径R ．由正四面体的对称性知，内切球与外接球的球心重合，都为正四面体的中心，记为O ． 法一：如图3，将正四面体ABCD 置于正方体中，正四面体的外接球即为正方体的外接球，正方体的体对角线为球的直径， 正方体的棱长为2a ，体对角线长为2632a a R ⋅==， 故6R a =． 正四面体的体积34π43π33R R =⇒=，33321122432V a a a ⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 从而正四面体的高h 满足：2313263a h a h a ⨯=⇒=．利用体积法直接求内切球的体积：将正四面体ABCD 分割成以球心O 为顶点，以正四面体的四个面为底面的四个相同的三棱锥， 它们的底面与正四面体的底面相同，高为内切球的半径r ，故164r h a ==．故外接球可以利用R r h +=知，34R h =．经典精讲图3DCBA16 第1讲·提高-尖子-目标·教师版法二：如图1，1O 为底面BCD △的中心，13DO a =，高22116h AO a DO a ==-=，O 一定在1AO 上，∴AO DO R ==，16OO r h R a R ==-=-， ∴在1Rt OO D △中，22211OD OO O D =+，即222613R a R a⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 解得6R a =，666r a a a =-=．法三：如图2，1O 为底面BCD △的中心，则O 一定在1AO 上，AE 为球的大圆直径． 故AE ⊥1O D ，AD ⊥DE ，设AD a =，则12333O D a a =⨯=，故16AO a =，11622O E R AO R a =-=-． 由平面射影定理知，2111O D AO O E =⋅，即26623a a R a ⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭， 解得6R a =，666r a a a =-=． 综上，我们知当正四面体ABCD 的棱长为a ，它的高为6a ，体积为32a ，外接球半径为6a ，内切球半径为6a ．考点5：空间几何体的直观图1．直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图． 2．画法：斜二测画法和正等测画法： ⑴斜二测画法规则：Ox ，Oy ，再作Oz 轴，使90xOz ∠=︒，90yOz ∠=︒．（三维空间中） ②画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 画成对应的轴O x O y O z ''''''，，，使45x O y '''∠=︒或135︒，90x O z '''∠=︒，x O y '''所确定的平面表示水平平面．（二维平面上） 1.3空间几何体的直观图与三视图知识点睛图2BCDOO 1图1O 1O DC BA③已知图形中，平行于x 轴，y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴，'y 轴或z ' 轴的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．⑵正等测画法：在立体几何中，常用正等测画法画圆的直观图，它的依据还是平行投影，圆的直观图是椭圆，具体画法不要求掌握．<教师备案>正等测画法主要应用于工程及机械专业的绘图．斜二测画法和三视图都是在平行投影下画出来的空间图形，斜二测画法的作图规则可以简单的概括为：“竖直或水平方向放置的线段画出时方向、长度都不变，前后方向放置的线段画出时方向与水平方向成45︒或135︒角，长度为原长的一半”．斜二测画法是画几何体直观图的主要方法，只要求能够运用画图规则正确的画图和看图，不要求表达作图过程．【例5】 ⑴正三角形ABO △的边长为a ，在画它的水平放置的直观图时，建立如下左图所示的直角坐标系xOy ，则它的直观图的面积是__________．⑵如下右图，正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画 出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积．BA yxOx 'y 'A 'B 'C 'O '【解析】 ⑴26a ； ⑵ 周长为8，面积为22．考点6：空间几何体的三视图<教师备案>研究在平面上用图形表示形体和解决空间几何问题的理论和方法的学科，叫做画法几何．在平面图上表达出空间原物体各部分的大小和位置，画法几何在绘画和建筑上有着广泛的应用．画法几何起源于欧洲文艺复兴时期，达芬奇在他的绘画中，笛沙格在空间几何体的透视像画法中都应用过，以及在平面图中计算空间几何体的尺寸和大小，但都没有系统的理论．法知识点睛经典精讲国数学家蒙日，经过深入研究，提出用多面正投影图表达空间形体，为画法几何奠定了理论基础，因为在军事上应用的关系，在保密了15年后才出版公开．三视图：在画正投影时，常选取三个互相垂直的平面作为投射面，一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个面内的图形叫做俯视图；一个投射面放置在正前方，叫直立投射面，投射到此平面内的图形叫做主（正）视图；和水平投射面、直立投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投射面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左（侧）视图．将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．<教师备案>三视图分别是从三个方向看到的物体轮廓线的正投影所围成的平面图形．画三视图时，可以把垂直投影面的视线想象成平行光线从不同方向射向几何体，体会可见的轮廓线（包括被遮档，但是可以经过想象透视到的轮廓线）的投影就是所要画出的视图．三视图的排列规则．．．．．．．．是：俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样；左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样；三视图满足“长对正，宽平齐，高相等”的基本特征或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．提高班学案3【铺1】设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）．则该几何体的体积为3m．332221【解析】4【例6】⑴一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（）A．372 B．360 C．292 D．280⑵一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（）A．63B．8C．83D．12经典精讲⑶某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．8π3B ．3πC ．10π3 D ．6π俯视图侧(左)视图正(主)视图62262286211俯视图左视图正视图232422俯视图侧视图正视图第⑴题 第⑵题 第⑶题【解析】 ⑴ B⑵ A ⑶ B ；尖子班学案3【拓2】 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2π23+B ．4π23+C ．232π+D ．234π+【解析】 C目标班学案3【拓3】 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2cm ）为（ ）A ．48122+B ．48242+C ．36122+D ．36242+ 【解析】 A【例7】 ⑴一个几何体按比例绘制的三视图如图所示，则它的体积为（ ）A ．2B ．92C ．3D ．9433443俯视图俯22222俯视图侧视图正视图111111⑵某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为（ ）A ．22B ．23C ．4D ．25【解析】 ⑴ C ；⑵ C ；将半径都为1的4个球完全放入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）A ．326+B ．262+C ．264+D ．4326+【解析】 C四个球心构成一个正四面体（如图），其棱长为2，故其高426O H =． 设装入四个钢球的正四面体容器为D ABC -（如图）， 球心4O 在其高DE 上， 且442611O E O H =+=+． 下面求4O D ．设M 为球4O 与平面BCD 的切点，则M 在BCD △中线DF 上，41O M =，4DMO DEF △∽△． ∴4431O D DF O M EF ==．∴43O D =． ∴44264DE O D O E =+=+．选C ．H O 3O 2O 1O 4O O 4ABDEF M【演练1】设A 表示平行六面体，B 表示直平行六面体，C 表示长方体，D 表示正四棱柱，E 表示正方体，则A ，B ，C ，D ，E 的关系是（ ） A ．A B C D E ⊂⊂⊂⊂ B ．A B D C E ⊂⊂⊂⊂ C ．E D C B A ⊂⊂⊂⊂ D ．E C D B A ⊂⊂⊂⊂ 【解析】 C ；【演练2】如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（ ）A ．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B ．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C ．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台D ．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台【解析】 Ｃ．【演练3】半径为a 的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，那么球心到墙角顶点的距离为 ． 【解析】 3a ；【演练4】圆台上下底面面积之比为1:9，则圆台中截面分圆台所成两部分的体积之比12:V V =_____．（其中12V V <）【解析】 7:19；【演练5】一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 2cm ． 【解析】422+；实战演练【演练6】已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． ⑴ 求该几何体的体积V ； ⑵ 求该几何体的侧面积S ． 【解析】 ⑴ 64V =； ⑵ 40242S =+．四面体ABCD 的对边长分别相等，AB CD a ==，AC BD b ==，AD BC c ==，求这个四面体外接球的直径．【解析】 同正四面体类似，本题思路也是构造一个和四面体具有相同外接球的长方体．如图所示，作长方体AEBF GCHD -，使得AB CD a ==，AC BD b ==，AD BC c ==，则这个长方体和四面体具有相同的外接球，长方体的体对角线就是外接球的直径d ．设长方体的长宽高分别为x ，y ，z ，则222222222x y a y z b z x c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，三式相加可得：22222222a b c d x y z ++=++=，∴2222a b c d ++=．大千世界HG FED CB A68。
学而思网校高中物理秋季班讲义-第三讲匀变速直线运动(下)
v02 vt2 2
1
打点计时器：
类别
电磁打点计时器
图片
电火花打点计时器
构造
原理 参数
当给电磁打点计时器的线圈通上 6v 交流电后，线圈产生交变磁场，使线 圈中的振片被磁化，振动片的一端位 于永久磁铁的磁场中。由于振动片的 磁极随着电流方向的改变而不断变 化，在永久磁铁的磁场作用下，振动 片将上下振动，由于交流电的方向每 个周期要变化两次，因此振片被磁化 后的磁极要发生变化，永久磁铁对它 的作用力的方向也要发生变化，而振 动片的一端装有打点针，当纸带从针 尖下通过时，便打上一系列点，相邻 点之间对应的时间为 0.02 秒。 工作电压：4v~6v 周期：T=0.02s 频率：f=50Hz
m，重力加速度
例 9 已知 O、A、B、C 为同一直线上的四点.AB 间的距离为 l1，BC 间的距离为 l2，一物体 自 O 点由静止出发,沿此直线做匀加速运动,依次经过 A、B、C 三点,已知物体通过 AB 段与 BC 段所用的时间相等.求 O 与 A 的距离.
5
例 10 一列客车以 v1 的速度前进，司机发现前面同一轨道上有一列货车正以 v2(v2<v1)的速度 同向匀速前进，货车车尾距客车的距离为 S。客车立即紧急刹车，刹车加速度大小为 a=(v1-v2)2/4s．为避免相撞货车必须同时加速行驶，货车的加速度应满足的条件?
设人耳能区别两个声音的时间间隔为 0.1s，声速为 340m/s，则(
)．
A.水龙头距人耳的距离至少为 34m
B.水龙头距盘子的距离至少为 34m
2 xn 2
C.重力加速度的计算式为
t2
2x(n 1)2
D.重力加速度的计算式为
t2
例 8 利用水滴下落可以测量重力加速度 g，调节水龙头，让水一滴一滴地流出．在水龙头的
学而思寒假八年级尖子班讲义第1讲平行四边形性质、判定
1 平行四边形性质、判定目标1 掌握平行四边形的性质 目标2 掌握平行四边形的判定目标3 应用平行四边形的性质、判定、三角形全等解决综合问题【专题简介】与三角形一样，平行四边形也是一种基本的几何图形，宏观的建筑物、开关自如的栅拦门、别具一格的灵柩••••••现实世界中很多物体都有平行四边形的形象。
从本讲开始，我们将依次学习平行四边形、举行、菱形、正方形的概念，并在理解她们的基础上，利用已有的几何知识和方法，搜索并证明他们的性质定理和判定定理:进一步体会研究图形的几何性质的思路和方法，即通过观、类比、特殊化等途径和方法发现图形的几何性质，在通过逻辑推理证明他们模块一 平行四边形的性质 知识导航 定义示例剖析平行四边形:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（如图）:平行四边形的表示：一般按照一定的方向依次表示各项点:如右图的平行四边形不能表示平行四边形ACBD ，也不能表示平行四边形ADBC叫做平行四边形四边形ABCD ⇒⎭⎬⎫BC // AD CD // AB 记作□ABCD性质示例剖析①平行四边形的对边平行；四边形ABCD 为平行四边形⇒AB ∥DC ， AD ∥ BC ．②平行四边形的对边相等：四边形ABCD 为平行四边形⇒AB ∥DC ， AD ∥ BC ．③平行四边形的对角相等∠B=∠D④平行四边形的对角线互相平分四边形ABCD为平行四边形 OA=OC，OB=OD【例1】如图，D为平行四边形ABCD的对角线的交点：过O点作直线EF 分别交CD、AB于点E、F．(1)求证：OE= OF；(2)若AB =5，BC =4，OE= 1.5，求四边形EFBC的周长。
(3)若S四边形CEFB= 10，求S□ABCD．【练】如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F，求证：DE=BF.【总结】：由【练】的结论可知，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离，【思考】：两条平行线之间的距离、点与点之间的距离、点到直线的距离有何区别和联系？【例2】如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD和∠ABC的平分线分别交AD于E.G两点，CE、BG交于点o.(1)求证：AG= DE：(3)在(2)的条件下，求OE²+OG²的值【练】（2015年汉阳区八下期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6, ∠BAD的角平分线与BC的延长线交于点E、与DC交于点F，且点F 为边DC的中点，∠ADC的角平分线交AB于点M，交AE于点N,连接DE(1)求证：BC-=CE(2)若DM=2，求DE的长【例3】如图，在平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O、OE⊥BD交AD于点E点．①求证：OB平分∠CBE：②若平行四边形ABCD的周长为20，求△ABE的周长.【练】（2015年武汉六中八下期中）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点D，周长为20cm, ABOC的周长比△AOB的周长长2cm，则AB=________．【例4】如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD、AB上的点，且BM=DN，其交点为P，设∠CPB=a，∠CPD=β，求α和β的大小关系？【练】如图，由25个点构成的5x5的正方形点阵中，横纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中四个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形．图中以A、B为顶点，面积为2的阵点平行四边形的个数为______【拓】I、如图，E是平行四边形ABCD内一点，且ED⊥CD，EB⊥CB，∠AED =135．（1）求证：∠ADE= ∠ABE；（2）求∠EAB的度数：（3）求证：EB= BC：（4）猜测AB- DE与AE的数量关系并证明2、（2012年武汉市中考第12题）在面积15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于直线CD 于点F ，若AB=5, BC=6，求CE+CF 的值．模块二 平行四边形五大判定 判定实例剖析①定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形叫做平行四边形四边形ABCD ⇒⎭⎬⎫CD // AB BC // AD②一组对边平行且相等的四边形式平行四边形叫做平行四边形四边形ABCD ⇒=⎭⎬⎫CD AB CD // AB③两组对边分别相等的四边形是平行四边 形．叫做平行四边形四边形ABCD ⇒==⎭⎬⎫BC AD CD AB④两组对角分别相等的四边形是平行四边 形．叫做平行四边形四边形ABCD ⇒∠=∠∠=∠⎭⎬⎫D B C A⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形叫做平行四边形四边形ABCD ⇒====⎪⎭⎪⎬⎫BD 21OD OBAC 21OC OA【例5】对于下列说法，正确的请给出证明，错误的请举出反例． （1）—组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形（3）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形（4）一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 （5）一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形（6）凸四边形的每一条对角线都平分四边形的面积，则这个四边形是平行四边形（7）一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平形四边形．【练】如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为AD. BC上的点，且BF=DE，连接AF. CE. BE. DF．AF与BE招交于M点，DF s与CE相交于N点，求证：四边形FMEN为平行四边形．【例6】如图，在平行四边形ABCD的四边上分别取AE= CF，DM=BN，求证：EF与MN互相平分【练】如图，平行四边形ABCD的对角线AC. BD交于O点，点E.F在AC上，点G、H在BD 上，且AF= CE，BH =DG．求证：四边形EHFG为平行四边形．【例7】如图，E ，F 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，求证：FE ∥BC ，EF=21BC 【练】如图，F 为△ABC 的边AC 的中点，FE ∥BC ，求证：E 为AB 的中点且EF= 21BC【总结】：（1）中位线：在△ABC 中，E ，F 分别为边AB 、AC 的中点，连接EF ，像EF 这样，连接 三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．（2）三角形中位线定理：三角形中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【例7】和【练】是中位线定理及其推论的证明【例8】已知：如图，在等边△ABC 中，D 、F 分别为CB 、BA 上的点，且CD=BF ，以AD 为边 作等边三角形ADE.求证：(1)△ACD ≌△CBF; (2)四边形ＣＤＥＦ为平行四边形如图，△ACD、△ＡＢＥ、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．当ＡＢ≠ＡＣ时，证明四边形ADFE为平行四边形．【拓】(I)如图，平行四边形ABCD，以AC为边在两侧各作一个等边△ACP. △ACQ．求证：四边形BPDQ为平行四边形(2)如图，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，且BC⊥CD．求证：∠AFB=45°且AE=2BD．第一讲平行四边形性质、判定课后作业1.【2014武珞路期中】平行四边形ABCD中，BC=10，AC与BD交于O，A0=4，B0=7，△ABC比△DBC 周长小（）A.3B.4C.5D.62．【2014武珞路期中】下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A. ∠A=∠B,∠C-=∠DB. AB∥CD,AD=BCC. AB∥CD,∠A=∠CD. AO=BO,CO=DO3．【2014汉阳期中】平行四边形的一边长为10 cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（）A．4cm和6 cm B.6 cm和8 cm C. 20 cm和30 cm D.8 cm和12cm4．【2014汉阳期中】lA、B、C、D在同一平面内，从：①AB∥CD;②AB=CD；③BC//AD; ④BC=AD，这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边A．3种B．4种C．5钟 D.6种5．下列说法中错误的是( )．A. 平行四边形的对角线互相平分B．有两对邻角互补的四边形为平行四边形C. 心对角线互相平分的四边形是平行四边形D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形6.【2014武珞路期中】平行四边形ABCD中，AD=12，BD=10，AC=26，则四边形ABCD的面积是_________.2，7．【2014武珞路期中】在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC= 5则平行四边形ABCD的周长等于______.8.【2014武昌区期中】如图，平行四边形ABCD中，点E在AD上，点F在BC上，且DE= BF.(1)求证：OE=OF (2)求证：AF= CE.9．【2014二中期中】如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC ,DF平分∠ADC，求证：四边形DEBF是平行四边形10. ▱ABCD中，BD8为对角线，点G、H分别在BA、DC的延长线上，且AG=CH，E、F是BD上两点，BE=DF，求证：四边形GEHF为平行四边形.11. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD和∠ABC的角平分线交于点O，BO和CD的延长线交于E．(1)求证：C0⊥BE；(2)求证：BO =EO。
学而思讲义学而思网校10[第12讲]作业精讲佳作赏析下
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第十二讲作业精讲+佳作赏析（下）一次作文批改服务作业分享第六讲全命题作文作业要求分析下面这个题目，请写出你的审题过程。
题目：我理想中的中学（30分）同学们，六年的小学时光已经成为过眼云烟，你一定对中学充满了幻想吧！你理想中的中学是什么样子，快快动笔记下来吧！要求：1、充分发挥想象力，写出你喜欢的学校或你希望学校是什么样的。
2、可以写校园的景色，也可以写你希望有一个什么样的老师。
3、不少于500字。
要点回顾魔法1——拆词法题目=题眼+题限1、审题眼（1）单词题：题目就是题眼。
（2）短语和句子题：题眼往往是修饰词。
（3）没有修饰词：题眼往往是动词。
2、审题限魔法2——挖词法。
推敲词语，挖掘词语的引申义。
魔法3——提示法限制提示法提示精灵棒棒堂屈亦涵一、审题1.拆词法：题眼：理想中的题限：中学2.提示法：①希望学校是什么样子，校园景色②希望有一个什么样的老师二、立意提问法：你为什么想上那样的中学？（①景色②教育）三、选材1准：自己心里的中学2熟：有的可写3新：把中学想得很活泼，没有很多学习上的压力杨玖龙题目：我理想中的中学题眼：理想中的什么是“理想”——希望中的、想象的题限：写物“我”想象发散思维：采用对比方法---与小学对比可以写中学的特点以最好的方面想出最好的中学联想：由中学联想到老师和校长中心词：理想、我、中学娜仁易华审题过程：慎审题一·拆词法1.题眼——理想中的2.题限——写理想中的中学，我二·挖词法理想中的：希望或喜欢的学校是什么样的三·提示法1.限制：可以写校园的景色，也可以写你希望有一个什么样的老师，不少于500字2.提示：充分发挥想象力，写出你喜欢的学校或你希望的学校是什么样的巧立意一·发散思维法理想：把喜欢或希望的写出来，抓住景色，人物，事二·提问法为什么要写理想中的中学，是要把喜欢或希望的中学用作文表达出来第七讲半命题作文作业要求补题练习：题目：《我好想_______》要点回顾精灵棒棒堂白继超补题过程题目可以是：去旅行、参加比赛、玩游戏、去游乐园、唱歌、变成猫、不用考试、看书、看电视、过一个精彩的童年、感悟人生、让时光倒流……（动作）我的同学、我的老师、我的爷爷、小猫……（人、物）筛选1：熟剩下：玩游戏、去游乐园、唱歌、变成猫、不用考试、看书、看电视、过一个精彩的童年、让时光倒流……（动作）我的同学、我的老师、我的爷爷、小猫……（人、物）筛选2：小剩下：玩游戏、去游乐园、唱歌、变成猫、不用考试、看书、看电视、让时光倒流……（动作）我的同学、我的老师、我的爷爷、小猫……（人、物）筛选3：好剩下：让时光倒流……（动作）我的同学、我的老师、我的爷爷、小猫……（人、物）进一步筛选：只剩“让时光倒流”和“我的老师”。
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t1 : t2 : t3 : t4 : :tn 1: ( 2 1) : ( 3 2 ) : (2 3) : ：( n n 1)
③ 匀变速直线运动中，一段位移的中点位移的速度为 v x
2 2 v0 vt2 2
1
打点计时器： 类别 图片 电磁打点计时器 电火花打点计时器
2
x总 t总
等 x 规律： ① V0=0，物体在 x、2x、3x、4x、…、nx 所对应的时间分别为 t1、t2、t3、t4、…、tn，则
t1 : t2 : t3 : t4 : :tn 1: 2 : 3 : 2 : ： n
② V0=0 ， 物 体 在 连 续 相 等 的 位 移 所 对 应 的 时 间 分 别 为 t1 、 t2 、 t3 、 t4 、 … 、 tn ， 则
6
匀变速直线运动相关规律&打点计时器 练 4 四个小球在离地面不同高度同时从静止释放， 不计空气阻力， 从开始运动时刻起每隔相 等的时间间隔，小球依次碰到地面，下列各图中，能反映刚开始运动时各小球相对地面 的位置的是（ ）
练 5 为了求出塔的高度，如果让一石子从塔顶自由下落，那么除了要知道重力加速度外，还 应知道的量可以是( ) A. 石子落地时的速度 B. 最后一秒钟石子的位移 C. 任意一秒钟石子的位移 D. 最后一秒钟内石子速度的增量 练 6 在你练习使用打点计时器时， 小车拖动纸带并在上面打下一系列的小点， 根据你所打出 纸带，在判断纸带表示的运动是匀速直线运动还是变速直线运动时（ ） A．应通过测量纸带表示的运动的全程来判断？ B．必须通过计算任意两点间的平均速度来判断 C．必须通过计算全程的平均速度来计算 D 可以通过测量每相邻两点间的距离,看其是否相同来判断 练 7 运动的物体带动纸带被打点计时器打上一系列的点,这些点的距离不一定相等,但这些点 能说明 （ ） A．运动物体在一段时间内的位移 B．运动物体在一段时间内的运动快慢 C．运动物体在某时刻的位置 D．运动物体的运动性质 进阶训练 练 8（11 安徽）一物体做匀加速直线运动，通过一段位移 Δx 所用的时间为 t1，紧接着通过 下一段位移 Δx 所用时间为 t2.则物体运动的加速度为( ) A．
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力的基本概念及测量(不在讲义中呈现，详见视频)(不在讲义中呈现，详见视频)弹簧测力计计数练习（不在讲义中呈现，详见视频）课堂练习1．下列关于力的说法中，正确的是( )A．没有物体，也可能会有力作用B．力是物体对物体的作用，所以彼此不直接接触的物体间没有力的作用C．在发生力的作用时，必定可找到此力的施力物体和受力物体D．力作用在物体上，只能使物体从静止变为运动2．如图所示，其中与其它三个力所产生的作用效果不同的是( )3．如图是北京奥运会运动项目图标，其中图片与物理知识对应正确的是( )A．游泳时人没有受到水的推力B．拉弓过程中弓发生了弹性形变C．人举着杠铃不动时对杠铃没有力的作用D．力能改变曲棍球的运动状态4．如图，分别用大小相等的力拉和压同一弹簧．该实验表明，弹簧受力产生的效果与力的( ) A．大小有关B．作用点有关C．方向有关D．大小、方向、作用点都有关5．人在湖水中用桨划船时，使船前进的力是( )A．人对船的推力B．桨对水的推力C．水直接对船的推力D．水对桨的推力6．说明在下列情况中，哪两个物体间发生了相互作用，谁是施力物体？谁是受力物体？⑴手用力提起书包。
⑵人踢足球时。
⑶石块从空中下落。
7．下图中的情景表示了力的作用效果，其中图_______主要表示力能使物体的运动状态发生改变；图_________主要表示力能使物体发生形变。
(选填：“A”、“B”、“C”或“D”)8．下列物体运动状态没有发生改变的是( )A．汽车启动时，从静止变为运动B．在竖直方向匀速上升的气球C．在草地上滚动的足球D．汽车在盘山公路上匀速行驶9．如图所示，两匹马各用1000N的力沿完全相反的方向拉一弹簧测力计，则此时弹簧测力计的读数为( )A．2000N B．1000N C．0N D．500N10．某一弹簧测力计在使用前，指针指在0.3N的刻度上,某同学没有校零，就用该弹簧测力计测一个4N的力，测得的结果是______N。
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真题精讲
1. 如图⑴，线段 MN 将长方形纸分成面积相等的两部分．沿 MN 将这张长方形纸对折后得到图⑵， 3 将图⑵沿对称轴对折，得到图⑶，已知图⑶所覆盖的面积占长方形纸面积的 ，阴影部分面积 10 为 6 平方厘米．则长方形的面积是多少平方厘米？
⑴ ⑵ ⑶ 【分析】根据折叠的过程可知，图⑶中阴影部分是 2 层，空白部分是 4 层，如果将阴影部分缩小一半，即 1 变为 3 平方厘米，那么阴影部分也变成 4 层，此时覆盖的面积占长方形纸片面积的 ，即缩小的 4 3 1 3 1 3 平方厘米相当于长方形纸片面积的 ( ) ，所以长方形纸片面积为 3 ( ) 60 平方厘米． 10 4 10 4
中，根据勾股定理，有： 4 x 32 x 2 ，
2
25 25 7 9 ， FD 4 ，那么 HE 3 ， FH 4 BE FD 4 2 FD ， 8 8 8 4 15 15 再由勾股定理，得 EF ．即折痕的长度为 ． 4 4
则x
［巩固］如右图，长方形的长为 8 ，宽为 4 ，将长方形沿一条对角线折起压平，求重叠部分(阴影部分)的 面积．
｜六年级 第八讲 人大附分班考试班·教师版｜ 1
3.
已知 ABC 中， AB AC 12cm ， ABC 的面积是 42cm 2 ， P 是 BC 上任意一点， P 到 AB ， AC 的距离分别是 x 厘米、 y 厘米，那么 x y ．
A
B
P
C
【分析】如图所示，连接 AP ． 三角形 ABC 的面积等于三角形 APB 与三角形 APC 的面积之和， 而这两个三角形的底 AB 、AC 相 1 等，高分别为 x 和 y ，所以 12 x y 42 ，可得 x y 7 ． 2 1 本题也可运用特殊值法，设 P 在 B 点，则此时 x 0 ，那么 SABC AC y 42 ，得到 y 7 ， 2 x y 7． 4. 右图中， 正方形 ABCD 的边长为 8 厘米，E 为 AD 的中点，F 为 CE 的中点，G 为 BF 的中点，H 为 AG 的中点．四边形 FGHI 的面积比三角形 DIE 的面积大 平方厘米．
2020学而思教材讲义高一数学寒假(目标班、尖子班) 高一寒假 第3讲 数列的小伙伴们 教师版 目标班
第3讲数列的小伙伴们满分晋级数列3级等差数列深入数列2级数列的小伙伴们数列1级与数列的第一次亲密接触知识切片<教师备案>本讲内容分成两部分：3．1等比数列的基本量；3．2等比数列的性质初步．本讲内容较少，可以与上一讲进行一个时间上的均衡．本讲思路是：先从直观上认识等比数列，通过一些具体的数列感受等比数列并学习等比中项，之后再学习等比数列的通项公式，熟悉通项公式以及正确计算等比数列的项数．再学习等比数列的求和公式，以及一些简单的性质．希望把概念分开讲解，分别配例题．国际象棋的故事在暑期指数函数已经讲过了，此处就尽量不用了，由汉诺塔引入．等比数列引入汉诺塔在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，印度教的主神大梵天在创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在其中一根柱子上从下到上地放着由大到小的64片黄金圆盘，这就是所谓的汉诺塔（如下图）．不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些圆盘：一次只移动一片．．．．．．．，不管在哪根柱子上，小．圆盘．．必在大．．．圆盘．．上面．．．当所有的金盘都从梵天放好的那根柱子上移到另外一根上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽．故汉诺塔问题又被称为“世界末日问题．”汉诺塔初始模型64636221CB A ∙∙∙∙∙∙要把圆盘移动到另外一根柱子上，至少需要移动多少次呢？设有n 个圆盘，要从A 移动到C ，至少需要移动的次数为n a ．易知12n =，时，1213a a ==，，3n =的时候，可以考虑先将上面两个小的移到B 上，要23a =次，再将最大的那个移到C 上，要1次，最后将B 上的两个移到C 上，要23a =次，总共要2217a +=次．对于一般的n ，我们可以类似考虑（如下图）：先将上面1n -个圆盘移到B 上，要1n a -次；然后将最大的那个盘子移到C 上，要1次移动；最后再将B 上的那1n -个圆盘移到C 上，要1n a -次．这种方法需要的次数为111121n n n a a a ---++=+．n －11n∙∙∙∙∙∙ABC22CBA∙∙∙∙∙∙n1n －1①②3.1等比数列基本量计算n∙∙∙∙∙∙ABC12③下面简单说明一下，至少要移动的次数121n n a a -=+．只需要考虑最大的那个圆盘移动到C 上的时候，此时，比较小的1n -个圆盘必定是图②中的摆放方式，这1n -个圆盘从A 到B 要1n a -次，然后这1n -个盘子移到C 又要1n a -次，因此总共至少要121n a -+次才行． 综上可得到数列{}n a 的递推公式121n n a a -=+，则 232121231212212221222121n n n n n n n a a a a a -----=+=++=+++==++++=- （也可变形为()1121n n a a -+=+，于是()()()2112112121212n n n n n a a a a ---+=+=+==+=．）假设一秒钟能移动一次，那完成目标需要的时间就是6421-秒，大概是5845亿年，地球是远撑不到那个时候的．当然，我们不是要探讨地球什么时候毁灭，而是要研究像231222，，，，这样的数列，比如怎么求和，类似于这样的数列就是等比数列．考点1：等比数列的概念1．文字定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母(0)q q ≠表示．2．符号定义：数列{}n a 中，若1n n aq a +=（q 为常数，0q ≠），则称{}n a 为等比数列．<教师备案>对于等比数列定义的详细理解：① 由于等比数列每一项都可作为分母，故每一项均不为0，因此q 也不为0．② “从第二项起”是因为首项没有“前一项”．③ 1n naa +均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还要注意公比是每一项与前一项之比，防止前后次序颠倒．④ 如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或第3项起是一个等比数列． ⑤ 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n 无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列．⑥ 常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列．若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列．当常数列各项不为0时，是等比数列．知识点睛【例1】 等比数列的认识下列数列是等比数列吗?如果是，求出公比，如果不是说明理由．①1010，，，，；②2222，，，，；③1248--，，，，；④39183672，，，，， 【追问】等比数列是不是一定是单调的？【解析】 ①④不是等比数列，②③是等比数列．①的项中有0，④此数列从第2项起是一个等比数列．②1q =，③2q =-．【追问】主要是希望学生通过一些等比数列的例子探索一下等比数列的单调性，不涉及等比数列的通项公式．1q =时，等比数列是常数列，不单调性；0q <时，等比数列一定是正负交替的，这时数列一定不单调，如1248--，，，，； 1q >，10a >时数列单调增加，如1248，，，，； 1q >，10a <时，数列单调递减，如1248----，，，，； 01q <<，10a >时，数列单调递减，如11124，，，；01q <<，10a <时，数列单调递增，如11241---，，，．考点2：等比数列的通项公式已知等比数列{}n a ，首项为1a ，公比为q ，第n 项为n a ，通项公式：11n n a a q -=．11n n a a q -=<教师备案>等比数列通项公式的推导：可以直接迭代，根据等比数列定义有2211221n n n n n a a q a q a q a q ----=⋅=⋅==⋅=⋅．也可以用叠乘法进行推导： 根据等比数列的定义，可以得到21a q a =，32a q a =，43aq a =，…，1n n a q a -=．把以上1n -个等式左右两边分相乘得13241231n n n a aa aq q q q a a a a --⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅个，经典精讲知识点睛第n 项首项 项数减1即11n na q a -=，11n n a a q -=．【例2】 等比数列的基本量与通项公式⑴已知数列{}n a 的通项公式为23n n a =⋅，则首项1a =_____，公比q =_____．⑵等比数列48239，，，的第4项4a =_______，第20项20a =___________．⑶等比数列1113242，，，，的第5项为________，项数n =_____．⑷已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项n a =___________．【解析】 ⑴16a =，3q =．⑵191622273⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，；19420422821622233393273q a a ⎛⎫÷===⨯==⋅ ⎪⎝⎭，，，． ⑶48，；22-到52共8项，或是写出通项公式131224n n n a --=⋅=知83232-=．54a =．⑷332n -⋅；根据题意得：21913384a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得到1342a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴1332324n n n a --=⋅=⋅．<教师备案>等比数列的求和中一个关键的问题是正确确定数列的项数，等比数列的公比的幂次成等差数列，故等比数列的项数求法用到等差数列的项数求法，这里的挑战五分钟是为了熟悉项数的求法，避免错误．题目数量较少，用不到五分钟．【挑战五分钟】⑴等比数列12551125，，，，的项数为______．⑵等比数列333327，，，，的项数为_______．⑶等比数列11111248256--，，，，，的项数为______． ⑷等比数列1116442---，，，，的项数为______．⑸等比数列1111136122432n⨯，，，，，的项数为______．⑹等比数列473103333n +，，，，的项数为_______． ⑺等比数列4128322n +，，，，的项数为_______． ⑻等比数列31333n ，，，，的项数为______． 【解析】 ⑴6；⑵6；⑶9；⑷9；⑸01111323232n⨯⨯⨯，，，，共1n +项； ⑹3(3)103(2)10310333n ⨯-+⨯-++，，，，共有(3)14n n --+=+项； ⑺201211221222n ⨯+⨯+⨯+，，，，共21n +项．经典精讲⑻11202223333n -，，，，，共有22n +项．已知数列{}n a 是等比数列，28a =，432a =，则公比q =_______．【解析】 2±；由等比数列的通项公式18a q ⋅=，3132a q ⋅=，∴24q =，2q =±．【点评】如果目测的话，很可能会认为公比是2，漏掉2-．考点3 ：等比数列的求和公式等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，有前n 项和公式：1111(1)111n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩，，1q =时，1n S na =；1q ≠时，11(1)11n n n a a qa q S q q--==--<教师备案>等比数列前n 项和公式的推导：（一般用得多的是前面的求和公式）法一：由等比数列的定义知2132121n n n n a a q a a q a a q a a q ---====，，，，， 将这n 个等式的两边分别相加得：23121()n n a a a a a a q -+++=+++，即1()n n n S a S a q -=-，整理得111(1)n n n S q a a q a a q -=-=-， 当1q ≠时，1(1)(2)1n n a q S n q-=-≥，显然此式对1n =也成立； 当1q =时，1n S na =．法二：错位相减法（会在春季同步的求和中再次遇到） 211111n n S a a q a q a q -=++++，将上式两边同乘以q 得：231111n n qS a q a q a q a q =++++，知识点睛{}n a 是常数列{}n a 非常数列 首项项数两式相减得：11(1)n n q S a a q -=-，以下讨论同法一．<教师备案>注意等比数列的求和公式对1q =的情况需要单独讨论！当1q ≠时，将前n 项和公式整理成1(1)1n n a q S q -=-111na a q q -=-11111n a a q q q q=-≠--，，即等比数列的前n 项和公式一定有n n S c cq =-的形式，给出等比数列的前n 项和公式可以快速看出公比q ，且n q 前面的系数与常数项互为相反数，由此可以快速解决例4⑷⑸． 例：等比数列{}n a 的前n 项和3n n S r =+，则3q =，1r =-；等比数列{}n a 的前n 项和13n n S r +=+，则3q =，整理一下得33n n S r =⋅+，故3r =-； 等比数列{}n a 的前n 项和213n n S r +=+，则39n n S r =⋅+，有9q =，且3r =-．这个结论可以这么理解：12n n n a S S n -=-，≥；这样的式子无法算出1a ，故1a 常常出问题，见易错门诊；要想1a 不成问题，希望110a S S =-成立，故希望00S =，即得n n S c cq =-．【铺垫】⑴（2010东城一模文11）设{}n a 是等比数列，若141,8a a ==，则q = ，数列{}n a 的前6项的和6S = ．⑵ 已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和记为n S ，132a q ==，，则6S =_______． ⑶ 等比数列4816512，，，，的和为_______．【解析】 ⑴ 2,63；3412a a q q =⇒=；661(12)6312S ⨯-==-．⑵ 189；()6631218912S -==-； ⑶ 1020；此等比数列的公比为2，可直接用公式1451221020112n n a a q S q --⨯===--； 也可算出项数为8，得84(12)102012n S -==-．【例3】 等比数列的前n 项和⑴等比数列11148256，，，的和为_______．⑵设4710310()22222n f n +=+++++（n ∈N ），则()f n 等于（ ）A ．()2817n -B ．()12817n +-C ．()32817n +-D ．()42817n +-⑶已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和记为n S ，若12a =，公比3q =，则使得26n S =的项数n =________． ⑷已知等比数列{}n a 的前n 项和为112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则1a =______，n a =_______．⑸已知等比数列{}n a 的前n 项和为1136n n S x -=⋅-，则x 的值为（ ）A ．13B ．13-C ．12D ．12-经典精讲⑹（目标班专用）已知等比数列{}n a 中，332a =，392S =，求首项1a 和公比q ． 【解析】 ⑴127256； ⑵ D ；473102222n +，，，，构成以2为首项，8为公比的等比数列，且共有4n +项，故442(18)2()(81)187n n f n ++-==--．⑶ 3；由等比数列的前n 项和公式1(1)2(13)26113n n n a q S q -⨯-===--，3n =． ⑷12n -；1112a S ==-，12q =，故1111222n n na -⎛⎫=-⋅=-⎪⎝⎭． ⑸ C ；解法一：当0n =时，00S =，即1036x -=，12x =∴解法二：1136n n S x -=⋅-∵，116a x =-∴，22a x =，36a x =，由中项公式得2213a a a =，即21466x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得12x =或0x =（舍），∴12x =解法三：()1111111n n n a q a a S q q q q -==⋅----，由定义形式可知，136x =．12x =．⑹ 31231229333222S a a a a a q q=++=⇒+==+化简得2210q q --=，解得12q =-或1q =；又1232a q =，得1312a q ==，或16a =，12q =-．【点评】⑹一般来说，对于23S S ，我们没必要用求和公式去求，这样也省去讨论1q =的麻烦．<教师备案>已知n S 求n a 时，不管是等差数列还是等比数列，或者其它数列，都要注意1a 单独讨论．对第1题，因为00S ≠，故数列{}n a 是从第2项开始才是等比数列．等比数列的求和中，注意1q =与1q ≠时，公式是大不相同的，需要分别讨论．1．已知数列{}n a 的前n 项和3n n S =，求通项n a ． 【解析】 当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，1113323n n n n n n a S S ---=-=-=⨯． 故131232n n n a n -=⎧=⎨⨯⎩，，≥2．求21n S a a a =++++（其中a 为常数）． 【解析】 当0a =时，1S =；当1a =时，1S n =+；当1a ≠时，111n a S a +-=-．111111n n a S a a a++=⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩∴<教师备案> 例4介绍较为复杂的等比数列基本量的计算，在同步班中等比数列的基本量只做课前回顾，不再展开，例4⑵的【追问】会在春季同步时作为性质展开，此处可作为一个思考的问题．【例4】 等比数列的基本量综合⑴数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列2{}na 的前n 项和为（ ） A ．()221n - B ．21(21)3n - C ．41n - D ．1(41)3n -⑵（2012年丰台区高三一模数学理10）已知等比数列{}n a 的首项为1，若12342a a a ，，成等差数列，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为______．【追问1】已知数列{}n a 为等比数列，公比为q （1q ≠），则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}2n a ，{}(0)n n a a >，{}lg (0)n n a a >，{}2na 中哪些是等比数列？是等比数列的，公比为多少？【追问2】已知数列{}n a ，{}n b 都为等比数列，公比分别为12q q ，，则数列{}n n a b +，{}n n a b ，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为等比数列？是等比数列的，公比为多少？ 如果12q q =，数列{}n n a b +是否为等比数列？⑶设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k 等于（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 ⑷（目标班专用）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ．若12n n n S S S ++，，成等差数列，则q 的值为_____．【解析】 ⑴ D ；由21n n S =-知，12n n a -=．故214n na -=，数列2{}n a 是公比为4，首项为1的等比数列， 故它的前n 项和为141(41)143n n-=--．⑵ 3116；设数列{}n a 的公比为q ，则21344a a a =+，即244q q =+，解得2q =，所以()1*112n n n a -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，前5项的和为51131211612⎛⎫- ⎪⎝⎭=-．追问1：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}2n a ，{}(0)nna a>都为等比数列，公比分别为21q q q，，；{}lg (0)n n a a >不是等比数列，是等差数列，公差为lg q ；{}2na 既不是等比数列，也不是等比数列．追问2：数列{}n n a b ，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，公比分别为1122qq q q ，；数列{}n n a b +在12q q ≠时一定不是等比数列；在12q q =时，可能不是等比数列，但如果数列{}n n a b +中各项都非零的话，一定是等比数列，公比为1q ．如：22n n n n a b ==-，不是等比数列． ⑶ B ；212k k a a a =，即[][]2111(1)(21)a k d a a k d +-=+-．由19a d =得：22(8)9(28)k d d k d +=+，由0d ≠得：2(8)18(4)k k +=+，即2280k k --=，故4k =或2k =-（负值舍去）． ⑷ 2-；解法一：由题意知122n n n S S S ++=+，∴12n n n n S S S S ++-=-，即112n n n a a a +++-=+，∴122n n a a ++-=，∴212n n aa ++=-解法二：由题意知122n n n S S S ++=+；①若1q =，有1112(1)(2)na n a n a =+++，因为10a ≠，故有223n n =+，这不可能； ②若1q ≠，则有12111(1)(1)(1)2111n n n a q a q a q q q q++---⋅=+---，由0q ≠可化简得：220q q +-=，解得2q =-或1q =（舍去）．<教师备案>和等差数列类似，等比数列的题目只要知道1a 和q 后，都可以通过这两个基本量的各种运算来求解．同样的如果总是生搬基本公式的话，计算量会很大，准确率会降低，因此我们还需要学习一些省时省事的小技巧，即等比数列的一些简单性质．当然也不能舍本逐末，等比数列的基本量的基础运算还是最重要的，性质只是辅助．基本概念明白透彻了，性质也会更容易理解．学习等比数列的性质，可以和等差数列的性质对照引入．考点4：等比数列的性质3.2等比数列性质初步1．等比中项：三个数x ，G ，y 组成等比数列，G 叫做x ，y 的等比中项．如果G 是x 和y 的等比中项，则2G xy =．2．等比数列{}n a 的主要性质：⑴若{}n a 是等比数列，则n m n m a a q -=⋅．⑵若{}n a 是等比数列，m ，n ，p ，t *∈N ，当m n p t +=+时，m n p t a a a a ⋅=⋅， 特别地：当2m n p +=时，2m n p a a a ⋅=．当m n t +=+时，m n p t a a a a ⋅=⋅，特别地：当2m n p +=时，2m n p a a a ⋅=．⑶若{}n a 是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列．n a ，n m a +，2n m a +，为等比数列，公比为m q ．<教师备案>这一讲对等比数列的性质只学习它常用的几条，其它性质我们还会在春季同步班重点学习．对性质的简单证明如下：⑴1111n m n m n m n m a a q a q q a q ----=⋅=⋅⋅=⋅． ⑵当m n p t +=+时，m n a a ⋅1111m n a q a q --=⋅⋅⋅211m n a a q +-=⋅⋅211p t a a q +-=⋅⋅1111p t a q a q --=⋅⋅⋅p t a a =⋅．特别地：当2m n p +=时，2m n p p p a a a a a ⋅=⋅=． ⑶11n n a a q-=⋅，11n m n m a a q+-+=⋅，2121n m n m a a a+-+=⋅，1111n m m n m n n a a q q a a q+-+-⋅==⋅， 212111n m m n m n m n m a a q q a a q+-++-+⋅==⋅，n a ，n m a +，2n m a +，，为等比数列，公比为m q ．<教师备案>①性质1是说明求通项时，可以从任意项开始求，比如已知482a q ==，，求10a 时，可以常规求出1a ，再由通项公式算；也可以直接用10469104822a a q -=⋅=⨯=来求解． ②在使用中，常常将性质⑶和⑵同时使用，比如在等比数列{}n a 中，44a =，求26a a ⋅．可以先利用性质⑶说明246a a a ，，成等比数列，然后利用性质⑵说明22264416a a a ⋅===，也可以直接使用性质⑵．③由等比数列的性质⑶知一个等比数列隔项取一定是等比数列，这时新的等比数列的公比为20q >，不注意这个有时可能会出错，见易错门诊．知识点睛项数和相等对应项的积相等项数是等差中项 对应项是等比中项【铺垫】⑴各项均为正数的等比数列{}n a 中，23a =，1027a =，则6a =_____．⑵在各项均为负数的等比数列{}n a 中，116a =-，54a =-，则q =_____，3a =______， 9a =______．【解析】 ⑴9；262106819a a a a ==⇒=±，负值舍去； ⑵2812--，，； 451a a q =得：45114a q a ==，故212q =，从而22q =±；又此数列各项均为负数，故22q =； 21533648a a a a ==⇒=±，故38a =-；251991a a a a =⇒=-．【例5】 等比数列的性质⑴①m 是2323-+，的等比中项()0m >，则m = ； ②39a ，，为等比数列，则a = ．⑵等比数列{}n a 的各项为正，公比q 满足24q =，则3445a a a a ++的值为（ ） A ．14 B ．2 C ．12± D ．12⑶在等比数列{}n a 中， 若110a a ，是方程23260x x --=的两根，则47a a ⋅= ．⑷（2012年海淀区高三一模数学理）在等比数列{}n a 中，14358a a a a ==，，则7a =（ ） A ．116 B ．18C ．14D ．12 ⑸在等比数列{}n a 中，515205a a ==，，则20a =_______．⑹（目标班专用）在等比数列{}n a 的前n 项中，1a 最小，且12166128n n a a a a -+==，，前n 项和126n S =，则n =______，q =_______．【解析】 ⑴ ①1；()()223231m =-⋅+=，∵0m >，∴1m =．②33±；22733a a ==±，． ⑵D ；()34344534112a a a a a a q a a q ++===++．⑶2-；根据性质2得471102a a a a ⋅=⋅=-．⑷B ；由435a a a =得24354a a a a ==，又40a ≠，因此2417411a a a a ===，，247118a a a ==． ⑸52±；根据性质2得210515100a a a =⋅=，∴1010a =±．由性质3知下标成等差数列的子列也构成等比数列，即5101520a a a a ，，，构成等比数列． 经典精讲公比151051102a q a ===±±，∴201552a a q ==±． ⑹（目标班专用）62，；由题意可知1166128n n a a a a +==，．∴1264n a a ==，． 126412611n n a a q q S q q --===--，解得2q =．∴111222n n n n a a q --==⋅=，即264n =，故6n =．【例6】等比数列的性质应用设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，已知34a =，639S S =，则{}n a 的通项n a = ．【解析】 12n -∵63=9S S ，∴()1234561239a a a a a a a a a +++++=++．∴()4561238a a a a a a ++=++，即()3331231238a q a q a q a a a ++=++ ∴()()31231238q a a a a a a ++=++，∵()2123110a a a a q q ++=++≠（210q q ++>）， ∴38q =，2q =∴∵34a =，∴33342n n n a a q --==⋅231222n n --=⋅=．<教师备案>讲完这题可以接着讲后面的易错题．那道题中12a a +可能等于零，容易被忽视直接消去．【备选】在等比数列{}n a 中，423a =，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2n n ab =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解析】 由等比数列的性质得 235449a a a ⋅==，所以35a a ，是方程2204099x x -+=的两个根．由公比大于1解得35229a a ==，，∴25393a q q a ===，．312229981a a q ===，15123n n n a a q --==⋅，3log 52nn a b n ∴==-，()21194222n n n S n n n -=-+=-．1．已知数列{}n a 是等比数列，11a =-，59a =-，则3a =______，9a =______．【解析】 381--，；21539a a a ==33a ⇒=±，但22310a a q q ==-<，故33a =-；2195981a a a a =⇒=-．222m k m k m k m k a a a a a a --=⇒=±2．设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知32a =，42=5S S ，则{}n a 的通项n a = ． 求等比中项符号要验证【解析】()22n n a -=--或12(1)n n a -=-．425S S =，即()1234125a a a a a a +++=+，而由等比数列的性质有：()23412a a q a a +=+．∴()()21212125a a q a a a a ++⨯+=+，即()()21240a a q +-= 当120a a +=时，110a a q +=，∴1q =-，()()31332121n n n n a a q ---==-=-．当120a a +≠时，240q -=，2q =±，又因1q <，所以2q =-．所以33n n a a q -=()()32=222n n ---=--．【演练1】 在等比数列{}n a 中，25864a a ==，，则公比q 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【解析】 A ；【演练2】 设{}n a 是公比为正数的等比数列，若15116a a ==，，则数列{}n a 前7项的和为（ ）A ．63B ．64C ．127D ．128【解析】 C ．【演练3】 若43a a ，，为等差数列的连续三项，则0129a a a a +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．1023B ．1025C ．1062D ．2047 【解析】 A ；由题意知832a a a =+⇒=．于是10012912102312a a a a -+++⋅⋅⋅+==-．【演练4】 ⑴等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，333S a =．则公比q = ．⑵设等比数列{}n a 的公比为12q =，前n 项和为n S ，则44S a = ．【解析】 ⑴112-，；212313a a a a q ++=⋅，∵10a ≠，∴2213q q q ++=，即2210q q --=，解得12q =-或1q =；⑵15；()23231433411115a q q q S q q q a a q q ++++++===．【演练5】 在等比数列{}n a 中，若39a a ，是方程231190x x -+=的两根，则6a 的值是_____． 【解析】3± 实战演练【演练6】 在等比数列{}n a 中，⑴ 若12321a a a ++=，123216a a a =，求n a ； ⑵ 若3518a a ⋅=，4872a a ⋅=，求公比q ．【解析】 ⑴ ∵2132a a a ⋅=，∴31232216a a a a ⋅⋅==， 解得26a =，代入已知可得13131536a a a a +=⎧⎨⋅=⎩，，解方程得13312a a =⎧⎨=⎩，，或13123.a a =⎧⎨=⎩，当13a =时，2q =；当112a =时，12q =．故132n n a -=⋅或11122n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭．⑵ 由3518a a ⋅=，得241118a q a q ⋅=，即26118a q ⋅= ①，又由4872a a ⋅=，得371172a q a q ⋅=，即210172a q ⋅= ②． ②÷①得 44q =，∴2q =±．【点评】 ⑴ 在求得13a =，312a =或112a =，33a =后，由于260a =>，因此，公比q 一定大于0．⑵ 在等比数列中，奇数项和偶数项分别同号（无论公比q 大于0或小于0），因此，在求出44q = 后，q 的值应为2±．此外，上题还可以直接将两式相除得44q =，从而求出q ．1．等比数列{}n a ，首项1a ，公比为q ，则通项公式为n a =___________． 2．等比数列{}n a 的公比为q ，首项1a ，则前n 项和公式为n S =_____________． 3．等比数列{}n a ，若2p q m +=，则p q a a ⋅___2m a （填<、>、=）概念要点回顾分牛的传说古代的印度，有一位老人，他在弥留之际，把三个儿子叫到床前，对他们说：“我就要去见真主了，辛苦了一辈子，没有其它珍贵遗产留给你们，只有19头牛，你们自己去分吧，老大分总数的1/2，老二分总数的1/4，老三分总数的1/5．”话音甫落，老人就咽了气．按照印度的教规，牛被视为神灵，不准宰杀，只能整头的分，而先人的遗嘱必须无条件遵从．那么，这19头牛怎样分呢？这道题着实难坏了兄弟三人．他们请教了许多有才学的人，人们总是摇头，表示爱莫能助．三兄弟急得走投无路，却无计可施……结局大家估计也听过：有一天，一位老农牵着一头牛路过，看到兄弟三人愁眉苦脸，便动问原由．老农听后思索了片刻说：“这件事好办，我把自己的一头牛借给你们，这样总共就有了20头牛，老大可分得10头，老二可分得5头，老三可分得4头，你们三人分去了19头牛，剩下的一头再还给我！”真是妙极了！一个曾使多少人费尽心机无法解决的大难题竟这样干脆利落的解决了，不用说，这件事也被当作佳话而广为流传．这种分法到底对不对呢？我们来算一下，按老人的遗嘱，老大应该分得192头，老二分得194头，老三分得195头，注意到1111924520++=，所以分一次后没分完，还剩下牛的数量的120即1920头．老人的遗愿显然应该分完，因此老大应该继续分得这1920头的一半，老二、老三分得的比例为14和15，悲剧的是这次仍然不会分完，还剩1920头的120没分完，所以这个过程需要继续下去……统计下来，老大应该分得的牛的数量为231111111191919192202202202⎛⎫⎛⎫⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这是一个无穷递减等比数列的求和．我们知道等比数列的求和公式：21111111111191201919191910112202202202220120nn n n S -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-当n 趋于无穷大时，极限1lim 020n n →+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时10n S =，这就是老大应分得的牛的数量！同样的方法可得到老二、老三分得的牛的数量为5和4．这说明老农的分法没有错，是不是很奇妙！！（附：无穷递缩等比数列（1q <，10a ≠）的求和公式：23111111aa a q a q a q q++++=-）。
学而思化学必修2第6讲讲义
【例1】在2L的密闭容器中，加入1mol N2和3mol H2，发生 N2 ＋ 3H2 处理速率及平衡计算 2NH3 ，在2s末时，测得容器中含有0.4mol的NH3，求该反应的化学 的重要方法：“列三 反应速率。 反应速率 行”“三段式” 2 NH3 N2 ＋ 3H2 起始浓度（mol/L） 0.5 起始浓度（ l/L） 0 5 1.5 15 0 变化浓度（mol/L） 0.1 0.3 0.2 1.2 0.2 2s末浓度（mol/L） 0.4 末浓度（ ） v(N2)＝(0.5－0.4)/2＝0.05mol/(L·s) v(H2)＝(1 5－1 2)/2＝0 15 mol/(L·s) )＝(1.5 1.2)/2＝0.15 v(NH3)＝(0.2－0)/2＝0.1mol/(L·s) 分别用三种物质 表 表示的反应速率 应 率 之间有什么关系？
【例7】对于在一个密闭容器中进行的可逆反应：C(s)＋O2 ＝CO2 (s)下列 说法中错误的是( ) A．将碳块粉碎成粉末可以加快化学反应速率 B．增大氧气的量可以加快化学反应速率 C．增大压强可以加快化学反应速率 D．增加碳的量可以加快化学反应速率
⑶注意“真”变和“假”变。若体系的压强变化而使反应物或生成物的浓度 发生变化即“真”变，否则是“假”变。
注意：
⑴温度对反应速率影响的规律，对吸热反应，放热反应都适用。 ⑵反应若是可逆反应，升高温度，正速率都加快 降低 度 逆 反应速率都减小。
【例9】在10℃时某化学反应速率为0.1mol·l-1·S-1，若温度每升高10℃，反应速 率增加到原来的2倍，为了把该反应速率提高到1.6mol·l-1·S-1则该反应 需在什么温度下进行( 需在什么 度 进行( ) A．30℃ B．40℃ C．50℃ D．60℃
学而思网校讲义
一：同一直线上的二力合成力的作用效果是相同的！很多人才能拖动的物体，一头大象就能拖动。
1．合力：几个力的共同作用在一个物体上，它们的作用效果可以用一个力来代替，这个力叫那几个力的合力。
2．力的合成：已知作用在一个物体上的几个力的大小和方向。
求合力的大小和方向。
3．小练一下1．下面关于力的合成的说法正确的是( )A．只有作用在同一直线上的力才能合成。
B．只有作用在同一方向上的力才能合成。
C．只有作用在同一物体上的力才能合成。
D．任何几个力都能合成。
2．有关合力的说法错误的说法是( )A．合力和分力不一定是真实存在的。
B．合力的作用效果和分力的作用效果是一样的。
C．考虑合力时就不考虑分力了。
D．合力不可能为零。
4．实验探究二力合成及平衡力5．同一直线上二力合成规律⑴同向大小：F＝F1＋F2方向：同两力方向⑵反向大小：F＝F1－F2方向：同较大力(F1)6．力的合成知识的应用课堂练习：【例1】同一直线上两个向上的力分别为20牛和40牛，它们的合力为______牛，方向向____。
【例2】同一直线上同方向的两个力的合力为200牛，方向向下，其中一个力的大小为180牛，另一个力的大小为______牛，方向向_______。
【例3】耕地时，马的水平拉力是2000牛，土地对犁的阻力是1700牛，犁受到的合力是______牛，方向______________。
【例4】桌面放一个重力为3牛的茶杯，桌子对它的支持力是3牛，茶杯所受的合力是_____牛。
【例5】作用在一个物体上的两个力，分别为F1＝3N，F2＝5N，并且这两个力在同一条直线上，则F1与F2的合力可能是________。
【例6】水平面上的一个物体分别受到了向左向右的两个力的作用，开始时F右＞F左，当向左的力逐渐变大时，物体所受水平方向的合力大小______________。
【例7】质量为4t的汽车，在平直的公路上运动时，受地面的支持力为3.92×104N，受到的阻力为6×103N，汽车的牵引力为7×103N，求汽车所受合力是多大？二力平衡观察与分析静止的电灯受到几个力的作用？1．概念：平衡状态：平衡力：二力平衡：★请举出处于二力平衡的物体？★作用在一个物体上的二个力，符合什么条件才能使物体处于平衡？探究：二力平衡的条件2．二力平衡的条件：作用在同一物体上的两个力，如果大小相等、方向相反，并且在同一条直线上，这两个力就彼此平衡。
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小升初古诗考题大揭秘
考点1：主题诗句
详见第三讲
考点2：诗句默写及文学常识
例1：（海淀名校2010年考题）古诗文基础（每空0.5分，共8分）
“桃花潭水深千尺，。
”是我国代诗人写的《赠汪伦》中的一句诗。
他被称为“”，和另一位与之同期的诗人并称为唐诗浪漫主义与现实主义的两座高峰。
课文中所学的“，漫卷诗书喜欲狂。
，青春作伴好还乡。
”即是后者的作品。
1．杜甫的《春夜喜雨》中“晓看红湿处”的下句是（）
A．花重绵阳城B．花重锦州城C．花重锦官城
2．杜牧的《泊秦淮》中“商女不知亡国恨”的下句是（）
A．多少楼台烟雨中B．隔江犹唱《后庭花》C．卧看牵牛织女星 3．“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”是谁的诗句？（）A．王维B．王之涣C．王勃
考点3：正确停顿
例2：下面诗句连读，不正确的一项是（）
A．烟花/三月/下/扬州B．孤帆/一片/日边/来
C．门泊/东吴/万/里船D．山色/空蒙/雨/亦奇
古诗的朗读节奏技巧：
按意义兼顾章节来划分：
四言诗，按意义或节奏可划分为“二二”，如：人生/几何，去日/苦多。
五言诗，按意义可划分为“二三”，如：问女/何所思。
按节奏可划分为“二二一”，如：大漠/孤烟/直；或是“二一二”，如：举头/望/明月。
七言诗按意义可划分为“四三”，如：两岸青山/相对出。
按节奏可划分为“二二二一”，如：春风/不度/玉门/关；或“二二一二”，如：人生/自古/谁/无死。
下列诗句的朗读节奏，只有一句是不正确的，它是（）
A．海内/存/知己，天涯/若/比邻。
B．应怜/屐齿/印/苍苔，小扣/柴扉/久不开。
C．随风/潜/入夜，润物/细/无声。
D．不敢/高声语，恐/惊/天上人。
考点4：理解字（词）义
例3：读句子，用“√”标明带点字的正确解释。
⑴死去元．知万事空A．主要B．本来
⑵但悲不见九州同．A．相同B．统一
⑶王师北定．中原日A．收复B．决定
⑷家祭无忘告乃．翁A．才B．你的
⑸初闻．涕泪满衣裳A．见到B．听到
⑹青春作伴好还．乡A．给B．回到
考点5：古诗词中的修辞
例4：写出下列各具所运用的修辞手法。
⑴白发三千丈，缘愁似个长。
（）
⑵大漠沙如雪，燕山月似钩。
（）
⑶煮豆燃豆萁，豆在釜中泣。
（）
考点6：悟诗情
例5：
泊船瓜洲
京口瓜洲一水间，钟山只隔数重山。
春风又绿江南岸，明月何时照我还。
⑵这首诗的作者是代诗人。
⑵这首诗表达了诗人之情，表现的诗句为“，。
”
苏轼的《饮湖上初晴后雨》一诗最能表现作者对西湖胜景的赞美之情的两句诗是：
，。
考点7：理解性运用
例6：人们常用《观书有感》中的“问渠那得清如许，为有源头活水来”来比喻人只有不断
汲取新的知识，才能使心智更加敏锐。
人们常用苏轼的
“”这两句古诗来说明“当局者迷，旁观者清”的道理。
1．中秋佳节，皓月当空，而你却远在他乡，离别家乡数载，此时，你会想起李白的名句“。
”
2．当我们浪费粮食时，老师常用唐代诗人的诗句“”来教导我们。
（海淀名校2010年考题）句子。
（8分）
按古诗《塞下曲》原文，把诗句填写完整，然后回答问题。
（6分）
“平明”的意思是（）；“没”的意思是（）。
《塞下曲》这首诗赞扬了李广将军的。
（海淀名校2010年考题）古诗文基础（每空0.5分，共8分）
律诗是我国古代诗歌常见的形式之一，要求作品遵循严格的格律和韵脚的限制，一般分为五言、七言两种。
律诗一般分为四联，分别是首联、、、尾联，其中中间两联是必须对偶的。
唐代诗人杜甫是律诗的开拓者和集大成者，其和李白并称“李杜”。
后来的“小李杜”指的是和。
1．“____________________，____________________。
可怜九月初三夜，露似真珠月似弓。
”这首诗是__________朝诗人__________作的《__________》。
诗中描写的是__________（时间、地点）的景色。
2．“死去元知万事空，____________________。
王师北定中原日，____________________。
”这是__________朝诗人__________写的《__________》。
“元知”的意思是____________________。
这首诗表达了诗人____________________的思想感情。
3．“____________________，忽闻岸上踏歌声。
____________________，不及汪伦送我情。
”这首《__________》是诗人__________游览__________时所作。
诗人用__________的方法，表现出____________________。
4．用“红、橙、黄、绿、青、蓝、紫”填写下列诗句。
⑴日照香炉生（）烟，遥看瀑布挂前川。
⑵千里（）云白日曛，北风吹雁雪纷纷。
⑶返景入深林，复照（）苔上。
⑷最爱湖东行不足，（）杨阴里白沙堤。
⑸停车坐爱枫林晚，霜叶（）于二月花。
⑹一年好景君须记，最是（）黄橘绿时。
⑺春来江水绿如（），能不忆江南？
5．许多大人常常用《汉乐府·长歌行》中的“____________________，
____________________的诗句告诫我们，要趁年纪还轻，好好努力，不要到老一事无成，只留下悲伤。
参考答案：
1．一道残阳铺水中半江瑟瑟半江红唐白居易暮江吟黄昏时江边
2．但悲不见九州同家祭无忘告乃翁宋陆游示儿本来就知道强烈爱国
3．李白乘舟将欲行桃花潭水深千尺赠汪伦李白桃花潭夸张朋友间的深厚情谊4．紫黄青绿红橙蓝
5．少壮不努力老大徒伤悲
渔王的儿子
有个渔人有着一流的捕鱼技术，被人们尊称为“渔王”。
然而“渔王”年老的时候非常苦恼，因为他的三个儿子的渔技都很平庸。
于是他就经常向人诉说心中的苦恼：“我真不明白，我捕鱼的技术这么好，我的儿子们为什么那么差？我从他们懂事起就传授捕鱼技术给他们，从最基本的东西教起，告诉他们怎样织网最容易捕捉到鱼，怎样划船最不会惊动鱼，怎样下网最容易请鱼入瓮。
他们长大了，我又教他们怎样识潮汐，辨鱼汛……凡是我长年辛辛苦苦总结出来的经验，我都毫无保留地传授给了他们，可他们的捕鱼技术竟然赶不上技术比我差的渔民的儿子！”
一位路人听了他的诉说后，问：“你一直手把手地教他们吗？”
“是的，为了让他们得到一流的捕鱼技术，我教得很仔细很耐心。
”
“他们一直跟随着你吗？”
“是的，为了让他们少走弯路，我一直让他们跟着我学。
”
路人说：“这样说来，你的错误就很明显了。
你只传授给了他们技术，却没传授给他们教训。
道理：对于才能来说，没有教训与没有经验一样，都不能使人成大器！。