相似三角形的判定、性质及应用(习题)

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相似三角形的定义、判定及性质(习题及答案).

相似三角形的定义、判定及性质（习题）➢例题示范例1：如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点 F 在边CD 上，且CF=3FD，△ABE 与△DEF 相似吗？为什么？解：△ABE 与△DEF 相似．理由如下：在正方形ABCD 中，∠A=∠D=90°，AB=AD=CD设AB=AD=CD=4a∵E 为边AD 的中点，CF=3FD∴AE=DE=2a，DF=a∴ AB=4a= 2 ，AE =2a = 2DE 2a∴ AB=AEDF aDE DF又∵∠A=∠D∴△ABE∽△DEF➢巩固练习1.在下面的两组图形中，各有一对相似三角形，则x= ，y= ，m= ，n= ．2.如图，△ADE∽△ABC，AD=BC，BD=4，DE=9，则AD= ，AE= ．EC3.如图，在△ABC 中，AC=8，BC=10，AB=12，D，E 分别是△ABC 的边AB，AC 上的动点，且始终满足△ABC∽△AED．当AE=AC 时，BD= ；当AE=BD 时，AE= ，DE=；BC在D，E 移动的变化过程中，AD:DE:AE= ．4.如图，在△ABC 中，点P 为边AB 上一点，则下列四个条件：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2 =AP ⋅AB ；④ AB ⋅CP =AP ⋅CB ．其中能判定△ABC∽△ACP 相似的是．第4 题图第5 题图5.如图，在正三角形ABC 中，D，E 分别在AC，AB 上，且AD=1，AC 3AE=BE，则有（）A.△AED∽△BEDB.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABDD.△BAD∽△BCD6.在如图4×4 的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）A B C D7.如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，对角线AC，BD 交于点O，OD=1，若OA=1，OB =9，则OD= ，AD=．OC 2 2 BC8.如图，∠APB=120°，点M，N 在线段AB 上，△PMN 是等边三角形．若AMNB =1，AB=26，则NB 长为．99.如图，在△ABC 中，∠A=90°，点E 在线段AB 上，点D 在线段AC 上，且满足△ABC∽△ADE，若AE=6，EB=3，2AD=DC，则AD= ，DE= ．10.如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC=12，BC=8，点D，E分别在边BC，AC 上，且BD=3，CE=2．求证：△ABD∽△BCE．11.如图，在△ABC 中，CD=CE，∠A=∠ECB．求证：CD2=AD·BE．12.将△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积是△ABC 面积的一半．已知BC=2，求△ABC 平移的距离．13.求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比．要求：①根据给出的△ABC 及线段A′B′，∠A′（∠A′=∠A），以线段A′B′ 为一边，在给出的图形上用尺规作出△A′B′C′，使得△A′B′C′∽△ABC，不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出己知、求证和证明过程．14.如图，在△ABC 中，EF∥BC，AB=3AE，若S 四边形BCFE=16，=（）则S△ABCA．16 B．18 C．20 D．2415.如图，△ABC，△FGH 中，D，E 两点分别在AB，AC 上，F点在DE 上，G，H 两点在BC 上，且DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若BG:GH:HC=4:6:5，则△ADE 与△FGH 的面积比为何？（）A．2:1 B．3:2 C．5:2 D．9:4➢思考小结1. 回顾相似三角形相关概念，并填空．①相似三角形对应边成比例，对应角相等；②两角分别相等的两个三角形相似；③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；④三边成比例的两个三角形相似．以上概念都是围绕三角形相似，角度相等，线段成比例等信息进行的．不同处在于：利用性质时，三角形相似是条件，角度相等，线段成比例是结论；利用判定时，角度相等，线段成比例是，三角形相似是．由此我们可以发现，当碰到线段成比例和角度相等等条件或结论时，要考虑相似三角形的应用．【参考答案】➢巩固练习1. 32；15；70°；60°22. 12；33. 20；7.2；3 3 54. ①②③5. B6. B7. 3；1；4:5:6 2 38. 189. 4；3 610. 证明略11. 证明略12. △ABC 平移的距离为2 2 ．13. 证明略14. B15. D➢ 思考小结1. 条件；结论。

九下相似三角形4种判定方法知识点+模型+例题+练习 (非常好分类全面)

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。

则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；知识点二、相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．符号语言：拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。

（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。

例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC 可以推出AD AEBD CE=吗？请说明理由。

（用两种方法说明）例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D.求证：（1）2AB BD BC =⋅；（2）2AD BD CD =⋅；（3）CB CD AC ⋅=2例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BDBEAD AF =例题精讲AEDBCABCD吗？说说你的理由.例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C（1）求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；3分之8倍根号3 （3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。

2分之3倍根号3 随练：一、选择题1．如图，△ABC 经平移得到△DEF ，AC 、DE 交于点G ，则图中共有相似三角形（）D A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对2．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（）CADCBEF G F E DCBA。

相似三角形的判定与性质练习题（附答案）

相似三⾓形的判定与性质练习题（附答案）相似三⾓形的判定与性质练习题⼀、单选题1.如果两个相似三⾓形的相似⽐是1:2, 那么这两个相似三⾓形的⾯积⽐是( ) A.2:1B. 1:2C.1:2D.1:42.如图,点D 是△ABC 的边AB 上的⼀点,过点D 作BC 的平⾏线交AC 于点E,连接BE,过点D 作BE 的平⾏线交AC 于点F,则下列结论错误的是( )A.AD AEBD EC =B. AF DF AE BE =C. AE AF EC FE =D. DE AF BC FE= 3.下列四条线段中，不能组成⽐例线段的是（） A.3,6,2,4a b c d ==== B.1,2,3,6a b c d ====C.4,6,5,10a b c d ====D.2,5,23,15a b c d ====4.如图,在ABC ?中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,下列条件中不能判断ABC AED ~△△ ( )A. AED B ∠=∠B. ADE C ∠=∠C.AD ACAE AB=D.AD AEAB AC=5.如图27-4-4,在四边形ABCD 中,BD 平分,90,ABC BAD BDC E ∠∠=∠=°为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F.若4,30BC CBD =∠=°，则DF 的长为( )A.235B.233C.334D.4356.如图,在中,E是边AD的中点,EC交对⾓线BD于点F,则:EF FC等于( )A.3:2B.3:1C.1:1D.1:27.如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1,7)，(11)，，(41)，，(61)，，以C，D，E为顶点的三⾓形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A.(60)，B.(63)，C.(65)，D.(42)，8.如图,在正⽅形⽹格上,若使△ABC∽△PBD,则点P应在处( )A.P1B.P2C.P3D.P49.如图所⽰,在平⾏四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF:FC=( )A.1:3B.1:4C.2:3D.1:210.如图,在等边三⾓形ABC 中,D 、E 分别在AC 、AB 上,且AD ︰AC=1︰3,AE=BE,则有( )A.△AED∽△BEDB.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABDD.△BAD∽△BCD11.如图所⽰,四边形ABCD 是正⽅形,E 是CD 的中点,P 是BC 边上的⼀点,下列条件:①∠APB=∠EPC;②∠APE=∠APB;③P 是BC 的中点;④BP:BC=2:3.其中能推出△ABP∽△ECP 的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个 12.如图，在ABC △中，CB CA =，90ACB ∠?＝，点D 在边BC 上（与,B C 不重合），四边形ADEF 为正⽅形，过点F 作FG CA ⊥，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论:AC FG =；四边形1:2FAB 四边形CBFG S :S ＝△③ABC ABF ∠=∠；④2AD FQ AC =，其中正确结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个13.如图，点A 在线段BD 上.在BD 的同侧作等腰Rt ABC △和等腰Rt ADE △,CD 与BE ,AE 分别交于点,P M .对于下列结论:① BAE CAD △△;②MP MD MA ME ?=?;③22CB CP CM =?.其中正确的是( )A.①②③B.①C.①②D.②③14.如图,在平⾏四边形ABCD 中, E 为CD 上⼀点,连接AE 、BE 、BD ,且AE 、BD 交于点F ,:4:25DEF ABF S S ??=,则:?DE EC = ( )A. 2:3B. 2:5C. 3:5D. 3?:?2 ⼆、证明题15.如图，已知,,B C E 三点在同⼀条直线上，ABC △与DCE △都是等边三⾓形.其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F ，连接GF .求证：（1）ACE BCD ?△△；（2）AG AFGC FE=. 16.如图，在等边三⾓形ABC 中，点P 是BC 边上任意⼀点，AP 的垂直平分线分别交,AB AC 于点,M N .求证：BP CP BM CN ?=?.17.如图，D BC 已知是边上的中点，且AD AC =，DE BC ⊥，DE BA E 与相交于点，EC AD F 与相交于点.（1）求证:ABCFCD △△；（2）若5FCD S =△，10BC ＝，求DE 的长18.如图，已知AD 平分BAC ∠， AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P . 求证：2.PD PB PC =?19.如图，//AB FC ，D 是AB 上⼀点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，分别延长FD 和CB 交于点G（1）求证:ADE CFE ?△△；（2）若2GB =，4BC =，1BD =，求AB 的长.20.如图，在ABCD 中，,AM BC AN CD ⊥⊥，垂⾜分别为,M N .求证：（1）AMB AND △△；（2）AM MNAB AC=. 三、解答题21.如图，在4x3的正⽅形⽅格中,ABC △和DEC △的顶点都在边长为1的⼩正⽅形的顶点上.(1) 填空:ABC ∠= ,BC = ; (2) 判断ABC △和DEC △是否相似，并证明你的结论.22.如图,在平⾯直⾓坐标系中,已知OA=12厘⽶,OB=6厘⽶,点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘⽶/秒的速度移动;点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘⽶/秒的速度移动.如果P,Q 同时出发,⽤t(秒)表⽰移动的时间(0≤t≤6),那么1.设△POQ 的⾯积为y,求y 关于t 的函数关系式;2.当t 为何值时,△POQ 与△AOB 相似.23.如图，已知矩形ABCD 的⼀条边8AD =，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处.已知折痕与边BC 交于点O ，连接,,.AP OP OA(1)求证:OCP PDA △△;(2)若OCP △与PDA △的⾯积⽐为1:4，求边AB 的长.24.如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，直线3y x =-+与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点45(,)33A ,点D 的坐标为(0)1，.(1)求直线AD 的解析式;(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上⼀动点(不与点B 重合)，当BOD △与BCE △相似时，求点E 的坐标.25.如图，在矩形ABCD 中，12AB = cm ，6BC = cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P ，Q 同时出发，⽤()t s 表⽰移动的时间（06t ≤≤），那么:（1）当t 为何值时，QAP △为等腰直⾓三⾓形？（2）对四边形QAPC 的⾯积，提出⼀个与计算结果有关的结论（3）当t 为何值时，以点Q ，A ，P 为顶点的三⾓形与ABC △相似？四、填空题26.如图,在直⾓梯形ABCD 中, 90ABC ∠=,//AD BC ,4AD =,5AB =,6BC =,点P 是AB 上⼀个动点,当PC PD +的和最⼩时, PB 的长为__________.27.如图,若AB∥CD,则△__________∽△__________,__________=__________=AOCO.28.如图,在等边三⾓形ABC 中,点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上,且90ADF BED CFE ∠=∠=∠=?,则DEF ?与ABC ?的⾯积之⽐为__________29.已知578a b c==，且329a b c -+=，则243a b c +-的值为 . 30.如图，已知在Rt ABC △中，5,3AB BC ==，在线段AB 上取⼀点D ，作DE AB ⊥交AC 于E ，将ADE △沿DE 析叠，设点A 落在线段BD 上的对应点为11,A DA 的中点为,F 若1FEA FBE △△，则AD= .31.已知:如图,在△ABC 中,点A 1,B 1,C 1分别是BC 、AC 、AB 的中点,A 2,B 2,C 2分别是B 1C 1,A 1C 1,A 1B 1的中点,依此类推….若△ABC 的周长为1,则△A n B n C n 的周长为__________.32.如图，正三⾓形ABC 的边长为2，以BC 边上的⾼1AB 为边作正三⾓形11AB C ，ABC △与1ABC △公共部分的⾯积记为1S ，再以正三⾓形11AB C 的边1C 上的⾼2AB 为边作正三⾓形22AB C ，11AB C △与22AB C △公共部分的⾯积记为2S ，……，以此类推，则n S ＝ .（⽤含n 的式⼦表⽰，n 为正整数）33.如图，在正⽅形ABCD 中，点E 是BC 边上⼀点，且 : 2:1,BE EC AE =与BD 交于点F ，则AFD △与四边形DFEC 的⾯积之⽐是 .34.如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P 从点B 出发,沿BC 以2 cm /s 的速度向点C 移动,点Q 从点C 出发,以1cm/s 的速度向点A 移动,若点P 、Q 分别从点B 、C 同时出发,设运动时间为ts,当t=__________时,△CPQ 与△CBA 相似.35.如图，在正⽅形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上⼀点，且1,4CF CD =下列结论: ①30BAE ∠=°; ②;ABE ECF △△③AE EF ⊥; ④ADF ECF △△.其中正确结论是 .(填序号)36.如图27-4-9,在ABC △中,90,8m 10m,C BC AB ∠===,°点 P 从B 点出发,沿BC ⽅向以2m/s 的速度移动,点Q 从C 出发,沿CA ⽅向以1m/s 的速度移动.若P Q 、同时分别从B C 、出发,经过____________s,CPQ CBA △△~.37.如图24-4-10,ABC △的两条中线AD 和BE 相交于点G ,过点E 作//EF BC 交AD 于点F ,则FGAG=________.参考答案1.答案：C 解析：2.答案：D 解析：3.答案：C解析：A 选项，因为3:62:4=，所以,,,a b c d 四条线段成⽐例B 选项，因为232,2226==，所以,,,a b c d 四条线段成⽐例C 选项，因为4:56:10≠，所以,,,a b c d 四条线段不成⽐例D 选项，因为252325,55515==，所以,,,a b c d 四条线段成⽐例故选C 4.答案：D解析：∵DAE CAB ∠=∠,∴当AED B ∠=∠或ADE C ∠=∠时,由两⾓分别相等的两个三⾓形相似,可以得出ABC AED ~△△; 当AD ACAE AB=时,由两边成⽐例且夹⾓相等的两个三⾓形相似,可得ABC AED ~△△. 只有选项D 中条件不能判断ABC AED ~△△,故选D. 5.答案：D解析：如图，在Rt BDC △中，4,30,BC CBD =∠=°2,2 3.CD BD ∴=∴=连接,90,DE BDC ∠=°，点E 是BC 中点,12.2DE BE CE C ∴====30,30,CBD BDE DBC ∠=∴∠=∠=°°,30,BD CBC ABD DBC ∠∴∠=∠=°,//,,ABD BDE DE AB DEF BAF ∴∠=∠∴∴△△~.DF DE BF AB∴=在Rt ABD △中，230,23,3,,3DF ABD BD AD BF ∠==∴=∴=°22243,23,555DF DF BD BD ∴=∴==?=故选D.6.答案：D解析：在中, //AD BC ,∴DEF BCF ?~?,∴DE EFBC CF=. ∴点E 是边AD 的中点,∴12AE DE AD ==,∴12EF CF =. 7.答案：B解析：ABC ?中, 90,6,3,:2ABC AB BC AB BC ∠====.A 、当点E 的坐标为()6,0时, 90,2,1CDE CD DE ∠===,则::,AB BC CD DE CDE ABC =?~?,故本选项不符合题意;B 、当点E 的坐标为()6,3时, 90,2,2CDE CD DE ∠===,则::,AB BC CD DE CDE ≠?与ABC ?不相似,故本选项符合题意;C 、当点E 的坐标为()6,5时, 90,2,4CDE CD DE ∠===,则::,AB BC DE CD EDC ABC =?~?,故本选项不符合题意;D 、当点E 的坐标为()4,2时, 90,2,1ECD CD CE ∠===,则::,?AB BC CD CE DCE ABC =?~?,故本选项不符合题意; 故选:B. 8.答案：C 解析：从图中可知，要使△ABC 与△PBD相似，根据勾股定理，得BC =BD =12BC AB BD BP ===,因为AB=2，那么BP=4，故选择P 3处 . 考点：相似三⾓形点评：该题主要考查学⽣对相似三⾓形概念的理解，以及对其性质的应⽤。

相似三角形的性质与判定(知识点+例题)

海豚教育个性化简案学生姓名：年级：科目：授课日期：月日上课时间：时分------ 时分合计：小时教学目标1.掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）;2.会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题;3.掌握两个直角三角形相似的判定条件，并能解决简单的问题.重难点导航1. 解决相似三角形相似的应用并会探索；2. 由已知条件寻找相似三角形.教学简案：一、真题演练二、个性化教案三、个性化作业四、错题汇编授课教师评价：□ 准时上课：无迟到和早退现象（今日学生课堂表□ 今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握现符合共项）□ 上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况（大写）□ 海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象审核人签字：学生签字：教师签字：备注：请交至行政前台处登记、存档保留，隔日无效（可另附教案内页）大写：壹贰叁肆签章：海豚教育个性化教案（真题演练）1.（2013•舟山）若一次函数y=ax+b （a≠0）的图象与x 轴的交点坐标为（-2，0），则抛物线y=ax 2+bx 的对称轴为（）A ．直线x=1B ．直线x=-2C ．直线x=-1D ．直线x=-42.（2010•天津）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b 2-4ac ＞0； ②abc ＞0； ④9a+3b+c ③8a+c ＞0；＜0其中，正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．43. （2011•扬州）如图，已知函数xy 3=与y=ax 2+bx （a ＞0，b ＞0）的图象交于点P ．点P 的纵坐标为1．则关于x 的方程032=++xbx ax 的解为．海豚教育个性化教案相似三角形的性质与判定知识点一：相似三角形的定义及性质1．定义：三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

3.3 (第四课时)相似三角形的性质和判定(应用1)

（1） △ABC与△DBE是否相似？为什么？答：△ABC∽△DBE，两角对应相等的两个三角形相似(∠B=∠B，∠BDE=∠BAC)
图3-20
（2）已知AC=6，AB=8，BE=5，则BC，DE分别为多少？答：∵ Rt△ABC中，AB=8，AC=6，BC=10. 又∵ △ABC∽△DBE， ∴ 即
cm，
A C = 3 0 cm .
A
A
B
C B
C
3. 相似三角形面积的比等于对应高的比的平方吗？为什么？答：相似三角形面积的比等于对应高的比的平方.
(提示：因为相似三角形对应高的比等于相似比，而面积比等于相似比的平方.)
4.如图3-20，△ABC中，∠A=90°，ED⊥BC，则：
A C D E BE BC 6 D E , 5 10
，
D E 3 .
图3-20
1.（1）已知Δ ABC与Δ A′B′C′ 的相似比为2：3，则周
长之比为 2:3
之比为 4:9 .
，对应边之比为 2:3
，面积
（2）已知Δ ABC∽Δ A′B′C′，且面积之比为9：4，则周长之比为 3:2 . ，相似比为 3:2 ，对应边上的高线
A
E
B
D
C
A
课堂小结
相似三角形的性质
对应角相等；
B
A
对应边成比例；
D
C B
D′
C
相似三角形的对应高的比等于相似比；
相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方.
知识的升华 P80：A T10/T11
祝你成功！
练习：
2、如图, 已知DE∥BC,DF∥AC,请尽可能多地找出图中的相似三角形， D 并说明理由。

相似三角形的判定与性质以及应用

相似三角形的判定与性质以及应用考点一：相似三角形的判定与性质1．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．2．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．4．已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B．若AE=5，AB=9，CB=6，求ED的长．5．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．（1）求证：△ABD∽△CBE；（2）若BD=3，BE=2，求AC的值．6．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A作AG⊥BD分别交BD、BC 于点G、E．（1）求证：BE2=EG•EA；（2）连接CG，若BE=CE，求证：∠ECG=∠EAC．动点问题：1.在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t （秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．2.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？考点二：利用相似三角形测高1．如图，某同学相测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．变式：如图，直立在B处的标杆AB=2.4m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上（点F，B，D也在同一条直线上）．已知BD=8m，FB=2.5m，人高EF=1.5m，求树高CD．2．太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC=4米，将标杆CD向后平移到点C处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，舍利塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG=6米，GC=53米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB．3．如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．你能利用小明测量的数据算出电线杆AB的高吗？4．如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．变式：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．现要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）如果此矩形可分割成两个并排放置的正方形，如图1，此时，这个矩形零件的两条邻边长分别为多少mm？请你计算．（2）如果题中所要加工的零件只是矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条邻边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条邻边长．5．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，测得G处、标杆顶端C和建筑物顶端A在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，测得H处、标杆顶端E和建筑物顶端A在同一条直线上，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，求建筑物AB的高．6．如图，路灯A离地8米，身高1.6米的小王（C D）的影长DB与身高一样，现在他沿OD方向走10米，到达E处．（1）请画出小王在E处的影子EH；（2）求EH的长．课后作业：1．如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：162．△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的周长的比为（）A．3：4 B．4：3 C．9：16D．16：93．两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么小三角形的周长为（）A．14cm B．16cm C．18cm D．30cm4．将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（）A．9倍B．3倍C．81倍 D．18倍5．△ADE∽△ABC，且相似比为1：3，若△ADE的面积为5，则△ABC的面积为（）A．10 B．15 C．30 D．457．两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和为130cm2，那么较小的多边形的面积是cm2．8．若两个相似多边形面积比为4：9，则它们的周长比是．9．在长8cm，宽6cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是cm2．10．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）如图2，当CG=EG时，求的值．11．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，连接CE、DE．AC与DE相交于点F．（1）求证：△ADF∽△CEF；（2）若AD=4，AB=6，求的值．。

相似三角形的性质及应用(解析版)

4.5相似三角形的性质及应用一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABCA B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 二、三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段.OEFDABC即12OD OE OF OA OB OC === . 要点：H OEFDAB C过点E 作EH ∥BC 交AD 于H ，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2EH ，从而得到BD=2EH ，再根据△BDO 和△EHO 相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证1=2OE HE OB BD ，同理其他比例也可以得到．三、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC 、BD 、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB 的长.2．如乙图所示，可先测AC 、DC 及DE 的长，再根据相似三角形的性质计算AB 的长.要点：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．一、单选题1．两三角形的相似比是2：3，则其对应角的角平分线之比是（） A ．2:3 B ．2：3 C ．4：9 D ．8：27 【解答】B【提示】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可．【详解】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴相似三角形对应角平分线的比是2：3，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角平分线的比，对应高的比，对应中线的比都等于相似比的性质．2．已知ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2，若BC 边上的中线长为1，则EF 边上的中线长是（） A ．2 B ．2 C ．3D ．4【解答】A【提示】由ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2可知：相似比为1:2，则对应中线的比为1:2，即可求出答案．【详解】∵ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2 ∴相似比为1:2 ∴其对应中线的比为1:2 ∵BC 边上的中线长为1 ∴EF 边上的中线长是2 故选：A【点睛】本题主要考查了相似三角形的相似比的相关知识点，熟练掌握相似三角形面积比、相似比、对应边的高线、中线的比的关系是解题的关键，属于基础知识题．3．如图点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（）．A ．AD DEAB BC =； B ．AD AE AC AB =；C ．AD AB DE BC ⋅=⋅； D ．AD AC AB AE ⋅=⋅．【解答】D【提示】根据选项选出能推出ADE ABC ∆∆∽，推出D B ∠=∠或E C ∠=∠的即可判断．【详解】解：A 、∵AD DEAB BC =，EAD BAC ∠=∠，不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理. 无法判断ADE ∆与ABC ∆相似，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；B 、AD AE AC AB =EAD BAC ∠=∠， ADE ACB ∴∆∆∽，E B ∴∠=∠，D C ∠=∠，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；C 、由AD AB DE BC ⋅=⋅可知AB DEBC AD =，不能推出DAE BAC ∆∆∽，即不能推出D B ∠=∠，即不能推出两直线平行，故本选项错误；D 、∵AD AC AB AE ⋅=⋅，AD AEAB AC ∴=，EAD BAC ∠=∠， DAE BAC ∴∆∆∽，D B ∴∠=∠，//DE BC ∴，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似． 4．已知ABC 与DEF 相似，且A D ∠=∠，那么下列结论中，一定成立的是（） A ．B E ∠=∠ B ．AB ACDE DF =C ．相似比为AB DED ．相似比为BCEF【解答】D【提示】根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论．【详解】解：∵B 可以与E 对应，也可以与F 对应，∴∠B=∠E 或∠B=∠F ，A 不一定成立；同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴AB AC DE DF =或AB ACDF DE =，B 不一定成立；同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴相似比可能是AB DE ，也可能是ABDF ，C 不一定成立；∵∠A=∠D ，即∠A 与∠D 是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC 与EF 是对应比，∴相似比为BCEF ，∴D 一定成立，故选D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的． 5．如图，小明站在 C 处看甲、乙两楼楼顶上的点 A 和点 E ．C ，E ，A 三点在同一直线上，B ，C 相距 20 米，D ，C 相距 40 米，乙楼的高 BE 为 15 米，小明的身高忽略不计，则甲楼的高 AD 为（）A ．40 米B ．20 米C ．15 米D ．30 米【解答】D【提示】证明ADC EBC ∽△△，利用相似三角形的性质解答即可．【详解】解：由题意可知：90ADC ∠=︒，90EBC ∠=︒，C ∠是公共角，∴ADC EBC ∽△△， ∴AD DCEB BC =， ∵20m BC =，40m DC =，15m BE =， ∴40=15=30m 20DC AD EB BC =⨯⨯．故选：D【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及性质． 6．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥垂足为D ，那么下列结论错误的是（）A ．22AC BD BC AD ⋅=⋅B ．22BC BD CD AB ⋅=⋅C ．AD BC AC CD ⋅=⋅ D ．CD BC AC BD ⋅=⋅ 【解答】B【提示】根据直角三角形的性质与相似三角形的判定可知△ADC ∽△CDB ∽△ACB ，利用相似三角形的对应线段成比例即可求解. 【详解】∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ， ∴△ADC ∽△CDB ∽△ACB ∴AC2=AD·AB ，BC2=BD·AB ，故22AC BD BC AD ⋅=⋅，A 正确，B 错误；∵△ADC ∽△CDB∴AD AC CDCD BC BD == ∴AD BC AC CD ⋅=⋅，CD BC AC BD ⋅=⋅,C,D 选项正确；故选B.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质及相似三角形的判定.7．如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE=CF=14AC ．连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则ADG BGHS S △△的值为（）A ．12B ．23C ．34D ．1【解答】C【提示】首先证明AG ：AB=CH ：BC=1：3，推出GH ∥AC ，推出△BGH ∽△BAC ，可得223924ADC BAC BGHBGHS S BA SSBG （）（）====,13ADG ADCSS=，由此即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ，DC=AB ， ∵AC=CA ， ∴△ADC ≌△CBA ， ∴S △ADC=S △ABC ，∵AE=CF=14AC ，AG ∥CD ，CH ∥AD ，∴AG ：DC=AE ：CE=1：3，CH ：AD=CF ：AF=1：3， ∴AG ：AB=CH ：BC=1：3， ∴GH ∥AC ， ∴△BGH ∽△BAC ， ∴223924ADC BAC BGHBGHS S BA S SBG （）（）====，∵13ADG ADCS S=，∴913434ADG BGHS S=⨯=.故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．8．如图，在正方形ABCD 中，ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ，联结AC 、CP 、AC 与BF 相交于点H ，下列结论中错误的是（）A ．AE=2DEB ．CFP APHC ．CFP APCD ．2CP PH PB =⋅【解答】C【提示】A.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题． B.根据两角相等两个三角形相似即可判断．C.通过计算证明∠DPB≠∠DPF ，即可判断．D.利用相似三角形的性质即可证明．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D=∠DAB=90°， ∵△ABP 是等边三角形， ∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°， ∴∠DAE=30°， ∴AE=2DE ，故A 正确; ∵AB ∥CD ，∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°，又∵BC=BP ，∠PBC=30°， ∴∠BPC=∠BCP=75°， ∴∠CPF=105°，∴∠PHA=∠CPF ，又易得∠APB=∠CFP=60°， ∴△CFP ∽△APH ，故B 正确; ∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠DPF ， ∴△PFC 与△PCA 不相似，故C 错误; ∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°， ∴∠PCH=∠PBC ， ∵∠CPH=∠BPC ， ∴△PCH ∽△PBC ，∴PC PHPB PC =,∴PC2=PH•PB ，故D 正确，故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图所示，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点，且//DE AC ，AE 、CD 相交于点O ．若45::2DOE COA S S ∆∆=，则BDES ∆与CDE S ∆的比是（）A ．1：2B ．1： 3C ．2：3D ．2：5 【解答】C【提示】利用相似三角形的性质解决问题即可．【详解】解：∵//DE AC ， ∴DEO CAO ∆∆∽， ∵45::2DOE COA S S ∆∆=，∴2425DE AC ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴25DE AC =， ∵//DE AC ， ∴25BE DE BC AC ==， ∴23BE EC =，∴BDES ∆与CDE S ∆的比2:3=，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．10．如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点,,C D E 在同一条直线上，顶点, ,B C G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，EGC ∠的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH 交EC 于点N ．则BCCG 的值为（）A ．31-B ．3C ．21-D ．2【解答】C【详解】∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，,,BC DC CE CG BCE DCG ∴==∠=∠．在BCE和DCG △中，,,(),,BC DC BCE DCG BCE DCG SAS BEC BGH CE CG =⎧⎪∠=∠∴∴∠=∠⎨⎪=⎩≌．90BGH CDG ∠+∠=︒，,90CDG HDE BEC HDE ∠=∠∴∠+∠=︒．GH BE ∴⊥．GH 平分,EGC BGH EGH ∠∴∠=∠．()BGH EGH ASA ∴≌．BH EH ∴=．又O 是EG 的中点，//HO BG ∴．D C DHN G ∴∽△△．DN HN DC CG ∴=．设HN a =，正方形ECGF 的边长是2b ，则2BC a =，22,,22b a aCD a NC b a b -==∴=，即2220a ab b +-=，解得(12)a b =-+或(12)a b =--（舍去），则221,212a BCb CG =-∴=-．二、填空题11．若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为 _________．【解答】3：5【提示】根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比即可得出答案．【详解】∵两个相似三角形的面积比是9：25 ∴两个相似三角形的相似比是3：5 ∴对应边上的中线的比为3：5 故答案为：3：5．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 12．如图，△ABC ∽△CBD ，AB=9，BD=25，则BC=______．【解答】15【提示】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可求解．【详解】解：∵△ABC ∽△CBD ，∴AB CBCB BD =，即2BC AB BD =⨯， AB=9，BD=25，2292522515BC AB BD ∴=⨯=⨯==，15BC =∴，故答案为：15【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键． 13．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为_________．【解答】8【提示】首先设与它相似的三角形的最短边的长为x ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案．【详解】解：设与它相似的三角形的最短边的长为x ，则 2624x =，∴8x =；∴三角形的最短边为8．故答案为：8．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．14．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE ，过点E 作EF AE ⊥交DC 于点F ．若4AB =，6BC =，则DF 的长为______．【解答】74【提示】结合矩形的性质证明BAECEF ∆∆可求得CF 的长，再利用DF CD DF =-可求解．【详解】解：四边形ABCD 为矩形，90B C ∴∠=∠=︒，4CD AB ==，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，EF AE⊥，90AEF∴∠=︒，90AEB CEF∴∠+∠=︒，BAE CEF∴∠=∠，BAE CEF∴∆∆，::AB CE BE CF∴=，E是BC的中点，6BC=，3BE CE∴==，4AB=，4:33:CF∴=，解得94CF=，97444DF CD DF∴=-=-=．故选：7 4．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明BAE CEF∆∆是解题的关键．15．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_____cm．【解答】32【提示】首先根据题意画出图形，然后根据△APM∽△BPN有AP AMBP BN=，然后再利用动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1和8BN≥即可求出AM的最小值．【详解】解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；∴△APM∽△BPN；∴APBP＝AMBN，∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，∴AMBN＝41，即AM＝4BN；∴当BN≥8cm时，AM≥32cm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A 向下压32cm ．故答案为：32．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 16．如图，已知,20,60AB BC ACBAD DAE AD DE AE ︒︒==∠=∠=，则DAC ∠的度数为_________．【解答】40°【提示】由AB BC ACAD DE AE ==可判定△ABC ∽△ADE ，得到∠BAC=∠DAE ，再根据20BAD ︒∠=，60DAE ︒∠=，可得出∠DAC 的度数.【详解】解：∵AB BC ACAD DE AE ==， ∴~ABC ADE ， ∴60BAC DAE ︒∠=∠=，又∵20BAD ︒∠=， ∴40DAC ︒∠=．故答案为：40°.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是能根据AB BC ACAD DE AE ==判定出△ABC ∽△ADE.17．如图，已知在ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，1cot 2B =，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为_____．【解答】207【提示】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，由勾股定理可得出AB ，由面积法求出CM ，证明△CGF ∽△CAB ，再根据对应边成比例，即可得出答案．【详解】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，如图所示： ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，1cot B 2=，∴设BC ＝k ，则AC ＝2k ，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k ）2＋k2，解得：k ＝25， ∴BC ＝25，AC ＝45， ∴CM ＝AC BC AB ⋅＝452510⨯＝4，∵正方形DEFG 内接于△ABC ， ∴GF ＝EF ＝MN ，GF ∥AB ， ∴△CGF ∽△CAB ，∴CN GF =CM AB ，即4EF EF410-=，解得：EF ＝207；故答案为：207．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 是边AC 上一点，以BE 为斜边往BC 侧作等腰Rt BEF △，连接,CF AF ，若6AB =，四边形ABFC 的面积为12，则AE =_________，AF =_________．【解答】 234【提示】如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，由面积和差关系可求3BCF S ∆=，通过证明ABE CBF ∆∆∽，可得2()ABE BCF S AB S BC∆∆=，可求2EH =，由勾股定理可求AE ，BE ，EF 的长，通过证明BEH EFQ ∆∆∽，可得2BE EH BH EF QF EQ ===，可求22EQ =，2QF =，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，90ACB ∠=︒，AC BC =，2AB BC ∴，=6AB ，32AC BC ∴==四边形ABFC 的面积为12，12ABC BCF S S ∆∆∴+=， 3BCF S ∆∴=，等腰Rt BEF ∆，2BE BF ∴，45EBF∠=︒，=45ABC ∠︒，ABE CBF ∴∠=∠，2AB BE BC FB == ABE CBF ∴∆∆∽，∴2()ABE BCF S AB S BC ∆∆=， 326ABE S ∆∴=⨯=，∴162AB EH ⨯=，2EH ∴=，45CAB ∠=︒，EH AB ⊥，45CAB AEH ∴∠=∠=︒，2AH EH ∴==，222AE EH ==，4BH ∴=，2CE =，2221825BE CE BC ∴=+=+=，10EF ∴=，180AEH BEH FEB QEF ∠+∠+∠+∠=︒， 90BEH FEQ ∴∠+∠=︒，且90BEH EBH ∠+∠=︒EBH QEF ∴∠=∠，且90Q BHE ∠=∠=︒，BEH EFQ ∴∆∆∽， ∴2BE EH BHEF QF EQ ===， 22EQ ∴=，2QF =， 42AQ ∴=，2232234AF AQ QF ∴=+=+=，故答案为：22，34．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求出EH 的长是本题的关键．三、解答题19．如图，在ABP 中，C ，D 分别是,AP BP 上的点．若4,5,6,3CD CP DP AC BD =====．(1)求证：ABP DCP ∽△△； (2)求AB 的长．【解答】(1)见解析(2)AB＝8【提示】（1）△ABP与△DCP有公共角，分别计算PDPC与APBP的值，得到PD PCPA PB=，根据相似三角形的判定定理得出结论；（2）运用相似三角形的性质计算即可．（1）证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝6，BD＝3，∴AP＝AC+CP＝6+4＝10，BP＝BD+DP＝3+5＝8，∴54PDPC=，10584APBP==，∴PD APPC BP=，即PD PCPA PB=，∵∠DPC＝∠APB，∴△ABP∽△DCP；（2）解：∵△ABP∽△DCP，∴AB PBCD PC=，即844AB=，∴AB＝8．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题．解决问题的关键是掌握：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．20．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．(1)求证：△AEF∽△CBF；(2)若BE⊥AC，求AE：ED．【解答】(1)见解析(2)1：3【提示】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE=12x，则DE=32x，从而可计算出AE：DE．（1）解：证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，∵BE⊥AC，∴∠AFB=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABF=∠ACB，∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA，∴△ABE∽△BCA，∴AE ABAB BC=，即2AE xx x=，∴AE=12x，∴DE=AD-AE=32x，∴AE：DE=13:22x x=1：3．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．21．如图，为了测量平静的河面的宽度EP，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM PN=，两岸均高出水平面0.75米，即0.75DE FP==米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直与河面EP，求河宽EP是多少米？【解答】河宽为12米【提示】连接DF ，根据题意可得出四边形DEPF 为矩形，由ADB NDF ∽△△可求得DF ，便可解决问题．【详解】解：如图，连接DF ，∵点B 、D 、F 共线，DE 、MF 均垂直与河面EP ，且0.75DE FP ==， 4.5MF =， ∴四边形DEPF 为矩形， ∴DF EP =，∴ 4.50.75 5.25PN FM FP =+=+=， ∴ 5.250.756FN PN FP =+=+=， ∵AB 、DE 、MF 均垂直与河面EP ， ∴90ABD NFD ∠=∠=︒， ∵ADB NDF ∠=∠， ∴ADB NDF ∽△△； ∴AB NFBD DF =， ∵ 1.6AB =， 3.2BD =， ∴1.663.2DF =，∴12DF =， ∴12EP =（米）．答：河宽EP 是12米．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的判定和性质等知识．关键是构造和证明三角形相似．22．如图，已知AD ，BC 相交于点E ，且△AEB ∽△DEC ，CD ＝2AB ，延长DC 到点G ，使CG ＝12CD ，连接AG ．(1)求证：四边形ABCG 是平行四边形；(2)若∠GAD ＝90°，AE ＝2，CG ＝3，求AG 的长．【解答】(1)证明见解析； (2)35AG =【提示】（1）根据相似三角形的性质可得AB ∥CD ，再由CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，可得AB ＝CG ，即可证明；（2）由平行四边形的性质可得AG ∥BC ，可得∠AEB ＝90°，再由CG ＝3可得AB ＝3，利用勾股定理可得BE ，再由相似三角形的性质可得CE ，从而得出BC ，即可求解．（1）证明：∵△AEB ∽△DEC ， ∴∠B ＝∠BCD ， ∴AB ∥CD ，即AB ∥CG ，∵CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，∴AB ＝CG ，∴四边形ABCG 是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCG 是平行四边形，AE ＝2，CG ＝3， ∴AG ∥BC ，AG ＝BC ，AB ＝CG ＝3， ∵∠GAD ＝90°， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，由勾股定理可得：BE 22AB AE -即BE ＝22325-=，∵△AEB ∽△DEC ， ∴12BE AB CE CD ==， ∴CE ＝25，∴BC ＝BE+CE ＝35， ∴AG ＝BC ＝35．【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质．23．如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点E 是边AC 上一点，且满足ADE B ∠=∠．(1)证明：ADB AED ∆∆；(2)若3AE =，5AD =，求AB 的长．【解答】(1)见解析(2)253【提示】（1）证出∠BAD=∠EAD ．根据相似三角形的判定可得出结论；（2）由相似三角形的性质可得出AD ABAE AD =，则可得出答案．（1）∵AD 是∠BAC 的角平分线， ∴∠BAD=∠EAD ． ∵∠ADE=∠B ， ∴△ADB ∽△AED ．（2）∵△ADB ∽△AED ， ∴AD ABAE AD =，∵AE=3，AD=5， ∴535AB =， ∴253AB =．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．已知：平行四边形ABCD ，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ．求证：2CF GF EF =⋅．【解答】见解析【提示】根据平行四边形的性质得到AD BC ∥，AB CD ∥，得到△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，AB CD ∥，∴△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ∴GF DF CF BF =，CF DFEF BF =， ∴GF CFCF EF =，即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．如图，已知cm,cm,23,36,117AD a AC b BC AC B D ===∠∠=︒=︒，ABC DAC △∽△．（1）求AB 的长；（2）求DC 的长；（3）求BAD ∠的度数．【解答】（1）32cm a ；（2）2cm3b ；（3）153︒【提示】（1）由ABC DAC △∽△，可得：,AB BCAD AC =再代入数据可得答案；（2）由ABC DAC △∽△，可得：,AC BCDC AC =再代入数据可得答案；（3）由ABC DAC △∽△，可得：117,36,BAC D B DAC ∠=∠=︒∠=∠=︒再利用角的和差可得答案；【详解】解：（1）23,,BC AC AD a ==3,2BC AC ∴= ABC DAC △∽△，,AB BCAD AC ∴= 3,2AB a ∴= 3.2AB a ∴=（2） ABC DAC △∽△，,AC BCDC AC ∴= 而3,,2BC AC b AC == 3,2b DC ∴=2.3DC b ∴=（3） ABC DAC △∽△，36,117,B D ∠=︒∠=︒117,36,BAC D B DAC ∴∠=∠=︒∠=∠=︒11736153.BAD BAC DAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键.26．如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点F ．点E 在BD 上，且BAE CAD ∠=∠，AB ACAE AD =．(1)求证：ABC AED ∽△△． (2)若20BAE ∠=︒，求∠CBD 的度数．【解答】(1)证明见解析 (2)20︒【提示】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明．（2）根据（1）中ABC AED ∽△△，得出ADB ACB ∠=∠，再根据对顶角相等，AFD BFC ∠=∠，证得AFD BFC ∽△△，得出CBD CAD BAE ∠=∠=∠，即可求解．（1）∵BAE CAD ∠=∠∴BAE EAF CAD EAF ∠+∠=∠+∠， ∴BAC DAE ∠=∠， AB ACAE AD =，∵在ABC 和AED △中， AB ACAE AD BAC DAE ⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，∴ABC AED ∽△△．（2）∵ABC AED ∽△△， ∴ADB ACB ∠=∠，又∵AFD BFC ∠=∠，对顶角相等，∴AFD BFC ∽△△， ∴CBD CAD ∠=∠，∵BAE CAD ∠=∠，20BAE ∠=︒，∴20CAD ∠=︒，故答案为：20︒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 27．如图，四边形ABCD 为正方形，且E 是边BC 延长线上一点，过点B 作BF ⊥DE 于F 点，交AC 于H 点，交CD 于G 点．(1)求证：△BGC ∽△DGF ； (2)求证：GD AB DF BG ⋅=⋅； (3)若点G 是DC 中点，求GFCE 的值．【解答】(1)见解析 (2)见解析 (3)5GF CE=【提示】（1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到△BGC ∽△DCF ．（2）由第一问的结论可得到相似比，既有DG BC DF BG ⋅=⋅，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论．（3）通过ASA 判定出△BGC ≌△DEC ，进而根据第一问结论可得△BGC ∽△DGF ，然后通过相似比设未知数，赋值CG x =，即可求出GFCE 的值．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴90BCD ADC ∠=∠=︒ ∵BF DE ⊥ ∴90GFD ∠=︒ ∴BCD GFD ∠=∠，又∵BGC DGF ∠=∠， ∴△BGC ∽△DCF ．（2）证明：由（1）知△BGC ∽△DGF ， ∴BG BCDG DF =， ∴DG BC DF BG ⋅=⋅ ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB BC =∴DG AB DF BG ⋅=⋅．（3）解：由（1）知△BCC ∽△DGF ， ∴FDG CBG ∠=∠，在△BGC 与△DEC 中，,{,=,CBG CDE BCG DCE BC CD ∠=∠∠=∠ ∴△BGC ≌△DEC （ASA ） ∴CG EC = ∵G 是CD 中点 ∴CG DG = ∴::GF CE CF DC = ∵△BGC ∽△DGF ∴::GF DG CG BG =在Rt △BGC 中，设CG x =，则2BC x =，BC =∴CG BG =∴GF CE=【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键．28．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上一点（含端点A 、B ），过点B 作BE 垂直于射线CD ，垂足为E ，点F 在射线CD 上，且EF BE =，连接AF 、BF ．（1）求证：ABF CBE ∽；（2）如图2，连接AE ，点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点，连接PM 、MN 、PN ．求PMN ∠的度数及MNPM 的值；（3）在（2）的条件下，若2BC =PMN 面积的最大值．【解答】（1）证明见解析；（2）135PMN ∠=；=2MN PM 3）14 【提示】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可．（2）PMN ∠的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，MNPM 的比值转换为AFCE 的比值即可求得.（3）过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q ，12PMN S MN PQ =△，将相关线段关系转化为CE ，可得关系218PMN S CE =△，观察图象，当2CE BC == 【详解】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，AC BC = ∴2AB BC =,45ABC BAC ∠=∠= ∵BE 垂直于射线CD , ∴90,BEF ∠= 又∵EF BE =∴2FB EB =,45FBE EFB ∠=∠= ∵+ABC ABE ABE FBE ∠∠=∠+∠ 即：ABF CBE ∠=∠又∵2AB BFCB BE == ∴ABF CBE ∽（2）解：∵点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点∴//PM CN ，//MN AF ，11,22PM CE MN AF== ∴MPN CNP ∠=∠,CNM EFA ∠=∠∴+MPN MNP CNP MNP CNM EFA ∠∠=∠+∠=∠=∠ 又∵ABF CBE ∽ ∴90AFB CEB ∠=∠= 又∵45EFB ∠=∴904545EFA AFB BFE ∠=∠-∠=-= ∴+45MPN MNP ∠∠=又∵++180MPN MNP PMN ∠∠∠= ∴18045135PMN ∠=-=又∵12=12AFMN AFPM CECE = 又∵ABF CBE ∽ ∴=2AF AB CE CB = ∴=2MNPM（3）如下图：过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q , 135,PMN ∠=︒ 45,PMQ MPQ ∴∠=︒=∠,PQ ∴= 111221222228216PMNS MN PQ AF PM AF CE AF CE ==⨯⨯==△又∵BC =∴AF =∴221168PMN S CE ==△∴当CE 取得最大值时，PMN 取得最大值， ,BE CE ⊥E ∴在以BC 的中点为圆心，BC 为直径的圆上运动，∴当CE CB ==CE 最大，∴11=2=84S ⨯，【点睛】本题考查的是三角形相似和判定、以及三角形面积最大值的求法，根据题意找见相关的等量是解题关键．。

相似三角形的判定与性质(六大类型)(题型专练)(原卷版)

专题02 相似三角形的判定与性质（六大类型）【题型1 相似三角形的概念】【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【题型4 两角对应相等，两三角形相似】【题型5 相似三角形的性质】【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】【题型1 相似三角形的概念】1．（2023春•阳信县月考）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．2．（2022秋•道外区期末）下列三角形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个等边三角形C．两个直角三角形D．有一角为70°的两个等腰三角形3．（2022秋•武城县期末）下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组B．3组C．4组D．5组4．（2022秋•承德县期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（）A．①与②B．①与③C．③与④D．②与③5．（2022秋•襄都区校级期末）下列判断中，不正确的有（）A．三边对应成比例的两个三角形相似B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】6．（2022秋•常州期末）如图，△ABC∽△DEF，则DF的长是（）A．B．C．2D．3 7．（2023•陇南模拟）两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（）A．2：3B．4：9C．9：4D．16：81 8．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，AB＝4，则CD的长是（）A．1B．2C．3D．49．（2022秋•鼓楼区期末）已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为．10．（2023•惠城区校级一模）若△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，且AB＝12cm，则DE＝cm．11．（2022秋•于洪区期末）两个相似三角形的周长比是3：4，其中较小三角形的面积为18cm2，则较大三角形的面积为cm2．12．（2022秋•鸡西期末）如果两个相似三角形的周长比为1：6，那么这两个三角形的面积比为．13．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是．14．（2022秋•内乡县期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AD＝6，BD＝3，DE ＝4，则BC＝．15．（2022秋•零陵区期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC 的面积为12cm2，则△A′B′C′的面积为cm2．【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】16．（2022秋•仓山区校级月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，BD＝5，AC＝6，CE＝2，求证：△ADE∽△ACB．17．（2021秋•武陵区期末）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．18．（2022秋•丰泽区校级期中）如图，E是△ABC的边BC上的点，已知∠BAE ＝∠CAD，，AB＝18，AE＝15．求证：△ABC∽△AED．19．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．求证：△ABC∽△DEF．【题型4 两角对应相等，两三角形相似】20．（2022秋•蚌山区月考）已知：如图D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠A＝40°，∠C＝80°，∠AED＝60°，求证：△ADE∽△ACB．21．（2022秋•龙胜县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．求证：△ABC∽△CBD．22．（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．23．（2021秋•晋江市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC．24．（2022•南昌模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC 的平分线．求证：△ABC∽△BDC．【题型5 相似三角形的性质】25．（2020秋•思南县校级月考）判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．26．（大观区校级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF的顶点都在格点上，请判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】27．（2022秋•历城区校级月考）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝4，AE＝2，AC＝8．（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．28．（2023•殷都区一模）如图，O是直线MN上一点，∠AOB＝90°，过点A 作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D．（1）求证：△AOC∽△OBD；（2）若OA＝5，OC＝OD＝3，求BD的长．29．（2023•西湖区校级二模）如图，在菱形ABCD中，点M为对角线BD上一点，连接AM并延长交BC于点E，连接CM．（1）求证：CM＝AM．（2）若∠ABC＝60°，∠EMC＝30°，求的值．30．（2023•港南区四模）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．31．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足∠CBD＝∠A．（1）证明：△BCD∽△ABD；（2）若BC：AB＝3：5，AC＝16，求BD的长．32．（2022秋•顺平县期末）矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝4，AD＝8，求CE的长．33．（2022秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD 上，AE，BF交于点G．（1）若＝，求证AE⊥BF；（2）若E，F分别是BC，CD的中点，则的值为．34．（2023•桐乡市校级开学）如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．35．（2022秋•海陵区校级期末）如图，矩形DEFG的四个顶点分别在等腰三角形ABC的边上．已知△ABC的AB＝AC＝10，BC＝16，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．（1）求S关于x的函数表达式；（2）当S＝24时，求x的值．36．（2022秋•平城区校级期末）如图，已知在△ABC中，边BC＝6，高AD＝3，正方形EFGH的顶点F，G在边BC上，顶点E，H分别在边AB和AC上，求这个正方形的边长．。

相似三角形判定+性质+经典例题分析

相似形（一）一、比例性质1.基本性质: bc ad d cb a =⇔=（两外项的积等于两内项积） 2.反比性质：cda b d c b a =⇔= (把比的前项、后项交换)3.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）．4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ．谈重点：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．5.黄金分割：○1内容 ○2尺规作图作一条线段的黄金分割点经典例题回顾：例题1．已知a 、b 、c 是非零实数，且k cb a dd a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.例题2．已知111x y x y+=+，求y x x y +的值。

概念：谈重点：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关． ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况．⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。

则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

相似三角形性质与判定的综合运用专题及答案

相似三角形性质与判定的综合运用一、解答题1.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边上的点C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．(1)求证：△BC1F∽△AGC1;(2)若C1是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长．2.已知：如图，在正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．(1)求证：EF=AE−BE．(2)连接BF，如果AFBF =DFAD，求证：EF=EP．3.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．(1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由．(2)求∠1+∠2的度数．4.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB=8，AD=6√3，AF=4√3，求AE的长．5.如图，花丛中一根灯杆AB上有一盏路灯A，灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向走到点G，DG=5米，这时小明的影长GH=4米，如果小明的身高为1.7米，求路灯A离地面的高度．6.已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点E、F是AB边所在直线上的两点，且∠ECF=135°．(1)求证：△ECA∽△CFB；(2)若AE=3，设AB=x，BF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．7.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，(1)求证：AC2=AB⋅AD；(2)求证：△AFD∽△CFE．8.如图，在四边形ABCD中，AB//DC，BC>AD，∠D=90°，AC⊥BC，AB=10cm，BC=6cm，F点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)．(1)求证：△ACD∽△BAC；(2)求DC的长；(3)试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．9.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE//AC，EF//AB．(1)求证：△BDE∽△EFC．(2)设AFFC =12，①若BC=12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．10.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？．答案和解析1.【答案】解：(1)证明：由题意可知∠A=∠B=∠GC1F=90∘，∴∠BFC1+∠BC1F=90∘，∠AC1G+∠BC1F=90∘，∴∠BFC1=∠AC1G，∴△BC1F∽△AGC1．(2)∵C1是AB的中点，AB=6，∴AC1=BC1=3，∵CF=C1F，∴C1F=BC−BF=9−BF，∵∠B=90∘，∴BF2+BC12=C1F2，即BF2+32=(9−BF)2，解得BF=4，由(1)得△AGC1∽△BC1F，∴AGBC1=AC1BF，∴AG3=34，解得AG=94．【解析】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和勾股定理解答．(1)根据题意和图形可以找出△BC1F∽△AGC1的条件，从而可以解答本题；(2)根据勾股定理和(1)中的结论可以求得AG的长．2.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°．∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3．在△ABE和△DAF中，∵{∠BEA=∠AFD,∠1=∠3,AB=DA,∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE−AF=AE−BE．(2)如图，∵AFBF =DFAD，而AF=BE．∴BEBF =DFAD，∴BEDF =BFAD，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3．∵∠1=∠3，∴∠4=∠1．∵∠5=∠1，∴∠4=∠5．即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．(1)利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；(2)利用AFBF =DFAD和AF=BE得到BEDF=BFAD，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．3.【答案】解：(1)相似．理由：设正方形的边长为a，AC=√a2+a2=√2a，∵ACCF =√2aa=√2，CGAC=√2a=√2，∴ACCF =CGAC，∵∠ACF=∠ACF，∴△ACF∽△GCA；(2)∵△ACF∽△GCA，∴∠1=∠CAF，∵∠CAF+∠2=45°，∴∠1+∠2=45°．【解析】(1)设正方形的边长为a，求出AC的长为√2a，再求出△ACF与△GCA中夹∠ACF 的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判定△ACF 与△GCA相似；(2)根据相似三角形的对应角相等可得∠1=∠CAF，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠2+∠CAF=∠ACB=45°，所以∠1+∠2=45°．本题主要利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似的判定和相似三角形对应角相等的性质以及三角形的外角性质，求出两三角形的对应边的比值相等是解本题的关键．4.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD//BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．∴△ADF∽△DEC．(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由(1)知△ADF∽△DEC，∴ADDE =AFCD，∴DE=AD⋅CDAF =√3×84√3=12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=√DE2−AD2=6．【解析】(1)根据四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，得到一对同旁内角互补，一对内错角相等，根据已知角相等，利用等角的补角相等得到两组对应角相等，从而推知：△ADF∽△DEC；(2)由△ADF∽△DEC，得比例，求出DE的长．利用勾股定理求出AE的长．此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．5.【答案】解：∵CD//AB，∴△EAB∽△ECD，∴CDAB =DEBE，即1.7AB=33+BD①，∵FG//AB，∴△HFG∽△HAB，∴FGAB =HGHB，即1.7AB=4BD+5+4②，由①②得33+BD =4BD+5+4，解得BD=15，∴1.7AB =315+3，解得AB=10.2．答：路灯A离地面的高度为10.2m．【解析】根据相似三角形的判定，由CD//AB 得△EAB∽△ECD ，利用相似比有1.7AB =33+BD ，同理可得1.7AB =4BD+5+4，然后解关于AB 和BD 的方程组求出AB 即可．本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 6.【答案】(1)证明：∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB =90°，∴AC =BC ，∴∠CAB =∠CBA =45°，∴∠CAE =180°−45°=135°，同理∠CBF =135°，∴∠CAE =∠CBF ，∵∠ECF =135°，∠ACB =90°，∴∠ECA +∠BCF =45°，∵∠ECA +∠E =∠CAB =45°，∴∠E =∠BCF ，∵∠CAE =∠CBF ，∴△ECA∽△CFB ；(2)解：∵AB =x ，∠CAB =45°，∠ACB =90°，AC =BC ，∴sin45°=CB x ， ∴CB =√22x =AC ，∵由(1)知△ECA∽△CFB ，∴AE CB =AC BF ，∴3√22x =√22x y ，∴y =16x 2，x 的取值范围是x >0，即y 与x 之间的函数关系式是y =16x 2，x 的取值范围是x >0．【解析】(1)根据等腰直角三角形性质求出∠CAE =∠CBF =135°，求出∠ECA +∠BCF =45°，∠E +∠ACE =45°，推出∠E =∠BCF ，即可推出两三角形相似；(2)根据等腰直角三角形性质和锐角三角函数定义求出AC和BC长，根据两时间相似得出比例式，代入即可求出答案．本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，锐角三角函数的定义等知识点，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．7.【答案】(1)证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB⋅AD；(2)证明：∵E为AB的中点，∴CE=BE=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE//AD，∴△AFD∽△CFE．【解析】(1)根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可；(2)根据直角三角形的性质得到CE=BE=AE，根据等腰三角形的性质得到∠EAC=∠ECA，推出AD//CE即可解决问题；本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8.【答案】(1)证明：∵CD//AB，∴∠BAC=∠DCA又AC⊥BC，∠ACB=90°，∴∠D=∠ACB=90°，∴△ACD∽△BAC；(2)解：在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=8，由(1)知，△ACD∽△BAC，∴DCAC =ACBA，即 DC 8=810 解得：DC =6.4； (3)能．由运动知，BF =2t ，BE =t ，△EFB 若为等腰三角形，可分如下三种情况：①当 BF =BE 时，10−2t =t ，解得t =103秒．②当EF =EB 时，如图，过点E 作AB 的垂线，垂足为G ，则BG =12BF =12(10−2t).此时△BEG∽△BAC∴BEAB =BGBC ，即t 10=12(10−2t)6，解得：t =258；③当FB =FE 时，如图2，过点F 作AB 的垂线，垂足为H则BH =12BE =12t.此时△BFH∽△BAC∴BFAB =BHBC ，即10−2t 10=12t 6，解得：t =6017综上所述：当△EFB 为等腰三角形时，t 的值为103秒或258秒或6017秒．【解析】(1)利用平行线判断出∠BAC =∠DCA ，即可得出结论；(2)先根据勾股定理求出AC =8，由(1)知，△ACD∽△BAC ，得出DC AC =ACBA ，即可得出结论；(3)分三种情况，利用等腰三角形的性质构造出相似三角形，得出比例式建立方程求解即可得出结论．此题是相似形综合题，主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，构造出相似三角形得出比例式是解本题的关键． 9.【答案】(1)证明：∵DE//AC ，∴∠DEB =∠FCE ，∵EF//AB，∴∠DBE=∠FEC，∴△BDE∽△EFC；(2)解：①∵EF//AB，∴BEEC =AFFC=12，∵EC=BC−BE=12−BE，∴BE12−BE =12，解得：BE=4；②∵AFFC =12，∴FCAC =23，∵EF//AB，∴△EFC∽△BAC，∴S△EFCS△ABC =(FCAC)2=(23)2=49，∴S△ABC=94S△EFC=94×20=45．【解析】(1)由平行线的性质得出∠DEB=∠FCE，∠DBE=∠FEC，即可得出结论；(2)①由平行线的性质得出BEEC =AFFC=12，即可得出结果；②先求出FCAC =23，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10.【答案】解：根据题意可得：∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，∴△ABE∽△CDE，∴ABCD =AECE，∴AB1.6=212.5，∴AB=13.44(米)．答：教学大楼的高度AB是13.44米．【解析】根据反射定律，∠1=∠2，又因为FE⊥EC，所以∠3=∠4，再根据垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．。

相似三角形知识点及典型例题

相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法〔1〕定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

〔2〕平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。

〔3〕判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

〔4〕判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

〔5〕判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

〔6〕判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。

②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，那么有射影定理如下：〔1〕〔AD〕2=BD·DC，〔2〕〔AB〕2=BD·BC ，〔3〕〔AC〕2=CD·BC 。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

即〔AB〕2+〔AC〕2=〔BC〕2。

典型例题：例1 如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE2＝EF·EG 证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC ∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2，即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CE EF∴EC 2＝EG· EF，故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】此题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的根本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的根本图形中是证明此题的关键。

相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)

相似三角形性质和判定专项练习30题（有答案）1．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠CDG=∠BAD．（1）求证：=；（2）当GC⊥BC时，求证：∠BAC=90°．2．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足．（1）求证：AC2=AF•AD；（2）联结EF，求证：AE•DB=AD•EF．3．如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC．（1）求证：△APC∽△ACB；（2）若AP=2，PC=6，求AC的长．4．如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．5．已知：如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．求证：AB•BC=AC•CD．6．已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S，说明AF•BE=2S的理由．7．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；②若AE=2，试求AP•AF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．8．如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：=．9．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF．10．如图，△ABC、△DEF都是等边三角形，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2，问E在处时CH的长度最大？11．如图，AB和CD交于点O，当∠A=∠C时，求证：OA•OB=OC•OD．12．如图，已知等边三角形△AEC，以AC为对角线做正形ABCD（点B在△AEC，点D在△AEC外）．连接EB，过E作EF⊥AB，交AB的延长线为F．（1）猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想．（2）证明：△BEF∽△ABC，并求出相似比．13．已知：如图，△ABC中，点D、E是边AB上的点，CD平分∠ECB，且BC2=BD•BA．（1）求证：△CED∽△ACD；（2）求证：．14．如图，△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且∠BAD=∠BGD=∠C，联结AG．（1）求证：BD•BC=BG•BE；（2）求证：∠BGA=∠BAC．15．已知：如图，在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD⊥BC，BE⊥AC，BE，AD相交于点G，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，DF=6．（1）求AE的长；（2）求的值．16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，M是CD中点，且∠AMD=∠BMD，AP∥CD交BC延长线于P点，延长BM交PA于N点，且PN=AN．（1）求证：MN=MA；（2）求证：∠CDA=2∠ACD．17．已知：如图，在△ABC中，已知点D在BC上，联结AD，使得∠CAD=∠B，DC=3且S△ACD：S△ADB﹦1﹕2．（1）求AC的值；（2）若将△ADC沿着直线AD翻折，使点C落点E处，AE交边BC于点F，且AB∥DE，求的值．18．在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．19．如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作∠ADE=60°，DE与△ABC的外角平分线CE交于点E．（1）求证：∠BAD=∠FDE；（2）设DE与AC相交于点G，连接AE，若AB=6，AE=5时，求线段AG的长．20．如图所示，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△PCQ的面积等于12.6cm2？21．已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED 交AC于点F，连接DC、AE．（1）求证：△ADE≌△DFC；（2）过点E作EH∥DC交DB于点G，交BC于点H，连接AH．求∠AHE的度数；（3）若BG=，CH=2，求BC的长．22．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，BE∥BC交AC于点E．（1）求证：AE•BC=AC•CE；（2）若S△ADE：S△CDE=4：3.5，BC=15，求CE的长．23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．24．在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．25．如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F．（1）求证：BF=2FP；（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．26．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E、F分别是AC，BC边上一点，且CE=AC，BF=BC，（1）求证：；（2）求∠EDF的度数．27．如图，△ABC是等边三角形，且AB∥CE．（1）求证：△ABD∽△CED；（2）若AB=6，AD=2CD，①求E到BC的距离EH的长．②求BE的长．28．如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．（1）若AC=3，AB=4，求；（2）证明：△ACE∽△FBE；（3）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．29．如图，△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，求证：（1）△ABD∽△ECA；（2）BC2=DB•CE．30．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，且AC=CD=，又E，D为CB的三等分点．（1）证明：△ADE∽△BDA；（2）证明：∠ADC=∠AEC+∠B；（3）若点P为线段AB上一动点，连接PE，则使得线段PE的长度为整数的点P的个数有几个？请说明理由．相似三角形性质和判定专项练习30题参考答案：1．解：（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD，且∠CDG=∠BAD，∴∠ADG=∠B；∵∠BAC=∠DAG，∴△ABC∽△ADG，∴=．（2）∵∠BAC=∠DAG，∴∠BAD=∠CAG；又∵∠CDG=∠BAD，∴∠CDG=∠CAG，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠DAG+∠DCG=°；∵GC⊥BC，∴∠DCG=90°，∴∠DAG=90°，∠BAC=∠DAG=90°．2．解：（1）如图，∵∠ACB=90°，CF⊥AD，∴∠ACD=∠AFC，而∠CAD=∠FAC，∴△ACD∽△AFC，∴，∴AC2=AF•AD．（2）如图，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC=∠AFC=90°，∴A、E、F、C四点共圆，∴∠AFE=∠ACE；而∠ACE+∠CAE=∠CAE+∠B，∴∠ACE=∠B，∠AFE=∠B；∵∠FAE=∠BAD，∴△AEF∽△ADB，∴AE：AD=BD：EF，∴AE•DB=AD•EF．3．解：（1）∵PB=PC，∴∠B=∠PCB；∵PC平分∠ACB，∴∠ACP=∠PCB，∠B=∠ACP，∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB．（2）∵△APC∽△ACB，∴，∵AP=2，PC=6，AB=8，∴AC=4．∵AP+AC=PC=6，这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾，∴该题无解．4．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠C+∠ADE=°，∵∠BFE=∠C，∴∠AFB=∠EDA，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠AED，∴△ABF∽△EAD；（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，∴∠ABE=90°，∵AB=4，∠BAE=30°，∴AE=2BE，由勾股定理可求得AE=5．证明：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠C，∴BD=CD，在△ABD和△ACB中，，∴△ABD∽△ACB，∴=，即AB•BC=AC•BD，∴AB•BC=AC•CD．6．证明：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，∵∠ECF=45°，∴∠ECF=∠B=45°，∴∠ECF+∠1=∠B+∠1，∵∠BCE=∠ECF+∠1，∠2=∠B+∠1；∴∠BCE=∠2，∵∠A=∠B，∴△ACF∽△BEC．∴，∴AC•BC=BE•AF，∴S△ABC=AC•BC=BE•AF，∴AF•BE=2S．7．（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．∴∠APB=°﹣∠APE=120°．②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴，即，所以AP•AF=12（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP 为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，∴∠AOB=120°，又∵AB=6，∴OA=，点P的路径是．②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为：．所以，点P经过的路径长为或3．8．证明：∵AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，∴∠D=∠E=90°，∵∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴=．9．证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ABC+∠BDE=°，∠ACB+∠CED=°．∴∠BDE=∠CED，∵∠EDF=∠ABE，∴△DEF∽△BDE；（2）由△DEF∽△BDE，得．∴DE2=DB•EF，由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE．∵∠GDE=∠EDF，∴△GDE∽△EDF．∴，∴DE2=DG•DF，∴DG•DF=DB•EF．10．解：设EC=x，CH=y，则BE=2﹣x，∵△ABC、△DEF都是等边三角形，∴∠B=∠DEF=60°，∵∠B+∠BDE=∠DEF+∠HEC，∴∠BDE=∠HEC，∴△BED∽△CHE，∴，∵AB=BC=2，点D为AB的中点，∴BD=1，∴，即：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1．∴当x=1时，y最大．此时，E在BC中点11．解：∵∠A=∠C，∠AOD=∠BOC，∴△OAD∽△OCB，∴=，∴OA•OB=OC•OD．12．解：（1）猜测BE和直线AC垂直．证明：∵△AEC是等边三角形，∴AE=CE，∵四边形ABCD是正形，∴AB=CB，∵BE=BE，∴△AEB≌△CEB（SSS）．∴∠AEB=∠CEB，∵AE=CE，∴BE⊥AC；（2）∵△AEC是等边三角形，∴∠EAC=∠AEC=60°，∵BE⊥AC，∴∠BEA=∠AEC=30°，∵四边形ABCD是正形，∴∠BAC=45°，∴∠BAE=15°，∴∠EBF=45°，∵EF⊥BF，∴∠F=90°，∴∠EBF=∠BAC，∠F=∠ABC，∴△BEF∽△ACB，延长EB交AC于G，设AC为2a，则BG=a，EB=a﹣a，∴相似比是：===13．证明：（1）∵BC2=BD•BA，∴BD：BC=BC：BA，∵∠B是公共角，∴△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A，∵CD平分∠ECB，∴∠ECD=∠BCD，∴∠ECD=∠A，∵∠EDC=∠CDA，∴△CED∽△ACD；（2）∵△BCD∽△BAC，△CED∽△ACD，∴=，=，∴．14．证明：（1）∵∠DBG=∠EBC，∠BGD=∠C，∴△BDG∽△BEC，∴=，则BD•BC=BG•BE；（2）∵∠DBA=∠ABC，∠BAD=∠C，∴△DBA∽△ABC，∴=，即AB2=BD•BC，∵BD•BC=BG•BE，∴AB2=BG•BE，即=，∵∠GBA=∠ABE，∴△GBA∽△ABE，∴∠BGA=∠BAC．15．解：（1）∵在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD⊥BC，BE⊥AC，∴AC=AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，∵BF∥AC，∴∠CBF=∠C=60°，∵AD⊥BC，∴∠FDB=90°，∴∠F=30°，∵DF=6，∴BD=2，∵AE=EC=BD=DC，∴AE=2；（2）∵∠BDF=90°，∠F=30°，BD=2，∴BF=2DB=4，∵AC∥BF，∴△AEG∽△FBG，∴=（）2=．16．证明：（1）∵AP∥CD，∴∠AMD=∠MAN，∠BMD=∠MNA，∵∠AMD=∠BMD，∴∠MAN=∠MNA，∴MN=MA．（2）如图，连接NC，∵AP∥CD，且PN=AN．∴==，∴MC=MD，∴CN为直角△ACP斜边AP的中线，∴CN=NA，∠NCA=∠NAC，∵AP∥CD，∴∠NAC=∠ACD，∴∠NCM=2∠ACD，∵∠CMN=∠DMB，∠DMA=∠BMD，∴∠CMD=∠DMA，在△CMN和△DMA中，，∴△CMN≌△DMA（SAS），∠ADM=∠NCM=2∠ACD．即：∠CDA=2∠ACD．17．解：（1）∵S△ACD：S△ADB﹦1：2，∴BD=2CD，∵DC=3，∴BD=2×3=6，∴BC=BD+DC=6+3=9，∵∠CAD=∠B，∠C=∠C，∴△ABC∽△DAC，∴=，即=，解得AC=3；（2）由翻折的性质得，∠E=∠C，DE=CD=3，∵AB∥DE，∴∠B=∠EDF，∵∠CAD=∠B，∴∠EDF=∠CAD，∴△EFD∽△ADC，∴=（）2=（）2=18．（1）证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴BE=CE，∴∠B=∠DCF，∵AD=AC，∴∠FDC=∠ACB，∴△ABC∽△FCD；（2）解：过A作AG⊥CD，垂足为G．∵AD=AC，∴DG=CG，∴BD：BG=2：3，∵ED⊥BC，∴ED∥AG，∴△BDE∽△BGA，∴ED：AG=BD：BG=2：3，∵DE=3，∴AG=，∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴=（）2=．∵S△ABC=×BC×AG=×8×=18，∴S△FCD=S△ABC=．19．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，由三角形的外角性质得，∠ADE+∠FDE=∠BAD+∠B，∵∠ADE=60°，∴∠BAD=∠FDE；（2）解：如图，过点D作DH∥AC交AB于H，∵△ABC为等边三角形，∴△BDH是等边三角形，∴∠BHD=60°，BD=BH，∴∠AHD=°﹣60°=120°，∵CE是△ABC的外角平分线，∴∠ACE=（°﹣60°）=60°，∴∠DCE=60°+60°=120°，∴∠AHD=∠DCE=120°，又∵AH=AB﹣BH，CD=BC﹣BD，∴AH=CD，在△AHD和△DCE中，，∴△AHD≌△DCE（ASA），∴AD=DE，∵∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE=∠DEA=60°，AE=AD=5，∵∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=60°﹣∠CAD，∠EAG=∠DAE﹣∠CAD=60°﹣∠CAD，∴∠BAD=∠EAG，∴△ABD∽△AEG，∴=，即=，解得AG=．20．解：（1）设x秒时，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ面积为8cm2，由题意得（6﹣x）•2x=8，解之，得x1=2，x2=4，经过2秒时，点P到距离B点4cm处，点Q到距离B点4cm处；或经4秒，点P到距离B点2cm处，点Q到距离B点8cm处，△PBQ的面积为8cm2，综上所述，经过2秒或4秒，△PBQ的面积为8cm2；（2）当P在AB上时，经x秒，△PCQ的面积为：×PB×CQ=×（6﹣x）（8﹣2x）=12.6，解得：x1=（不合题意舍去），x2=，经x秒，点P移动到BC上，且有CP=（14﹣x）cm，点Q移动到CA上，且使CQ=（2x﹣8）cm，过Q作QD⊥CB，垂足为D，由△CQD∽△CAB得，即QD=，由题意得（14﹣x）•=12.6，解之得x1=7，x2=11．经7秒，点P在BC上距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使△PCQ的面积等于12.6cm2．经11秒，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，14＞10，点Q已超出CA的围，此解不存在．综上所述，经过7秒和秒时△PCQ的面积等于12.6cm221．（1）证明：如图，∵线段DB顺时针旋转60°得线段DE，∴∠EDB=60°，DE=DB．∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°．∴∠EDB=∠B．∴EF∥BC．∴DB=FC，∠ADF=∠AFD=60°．∴DE=DB=FC，∠ADE=∠DFC=120°，△ADF是等边三角形．∴AD=DF．∴△ADE≌△DFC．（2）解：由△ADE≌△DFC，得AE=DC，∠1=∠2．∵ED∥BC，EH∥DC，∴四边形EHCD是平行四边形．∴EH=DC，∠3=∠4．∴AE=EH．∴∠AEH=∠1+∠3=∠2+∠4=∠ACB=60°．∴△AEH是等边三角形．∴∠AHE=60°．（3）解：设BH=x，则AC=BC=BH+HC=x+2，由（2）四边形EHCD是平行四边形，∴ED=HC．∴DE=DB=HC=FC=2．∵EH∥DC，∴△BGH∽△BDC．∴．即．解得x=1．∴BC=3．22．（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AEC=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴=，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠DCE，∴∠DCE=∠EDC，∴DE=CE，∴=，即AE•BC=AC•CE；（2）∵S△ADE：S△CDE=4：3.5，∴AE：CE=4：3.5，∴=，∵由（1）知=，∴=，解得DE=6，∵DE=CE，∴CE=8．23．（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．24．（1）证明：如图1，在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，∵点E为AB的中点，∴AB=2BE，∴AC=BE．在△ACD与△BEF中，，∴△ACD≌△BEF，∴CD=EF，即EF=CD；（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG=EQ：EH．∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B=30°．在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴sinB==，∴EQ=BE．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH==，∴EH=AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：=：3．25．（1）证明：如图1，连接PN，∵N、P分别为△ABC边BC、CA的中点，∴PN∥AB，且．∴△ABF∽△NPF，∴．∴BF=2FP．（2）解：如图2，取AF的中点G，连接MG，∴MG∥EF，AG=GF=FN．∴△NEF∽△NMG，∴S△NEF=S△MNG=×S△AMN=××S△ABC=S．26．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ADC∽△CDB，∴=；（2）解：∵CE=AC，BF=BC，∴===，又∵∠A=∠BCD，∴∠ACD=∠B，∴△CED∽△BFD，∴∠CDE=∠BDF，∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠BDF+∠CDF=∠CDB=90°．27．解；（1）∵AB∥CE，∴∠A=∠DCE，又∵∠ADB=∠EDC，∴△ABD∽△CED；（2）①过点E作EH⊥BF于点H，∵△ABC是等边三角形，△ABD∽△CED，AB=6，AD=2CD，∴==，∠A=∠ACB=60°，∴CE=3，∵AB∥CE，∴∠A=∠DCE=60°，∴∠ECH=°﹣∠ACB﹣∠DCE=°﹣60°﹣60°=60°，∴EH=CE•sin60°=3×=；②在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，CE=3，∴CH=CE•cos60°=3×=，∴BH=BC+CH=6+=，∴BE===3．28．（1）解：∵AC=AC′，AB=AB′，∴由旋转可知：∠CAB=∠C′AB′，∴∠CAB+∠EAC′=∠C′AB′+∠EAC′，即∠CAC′=∠BAB′，又∵∠ACB=∠AC′B′=90°，∴△ACC′∽△ABB′，∵AC=3，AB=4，∴==；（2）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，（1分）∴∠CAC′=∠BAB′，∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C，∴∠ACC′=∠ABB′，（3分）又∵∠AEC=∠FEB，∴△ACE∽△FBE．（4分）（3）解：当β=2α时，△ACE≌△FBE．理由：在△ACC′中，∵AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C====90°﹣α，（6分）在Rt△ABC中，∠ACC′+∠BCE=90°，即90°﹣α+∠BCE=90°，∴∠BCE=90°﹣90°+α=α，∵∠ABC=α，∴∠ABC=∠BCE，（8分）∴CE=BE，由（2）知：△ACE∽△FBE，∴△ACE≌△FBE．（9分）29．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，∴∠DAB+∠CAE=60°，∵∠ABC是△ABD的外角，∴∠DAB+∠D=∠ABC=60°，∴∠CAE=∠D，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACE=120°，∴△ABD∽△ECA；（2）∵△ABD∽△ECA，∴=，即AB•AC=BD•CE，∵AB=AC=BC，∴BC2=BD•CE30．（1）证明：∵AC=CD=DE=EB=，又∠C=90°，∴AD=2，∴=，==，∴=，又∵∠ADE=∠BDA，∴△ADE∽△BDA；（2）证明：∵△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠B，又∵∠ADC=∠AEC+∠DAE，∴∠ADC=∠AEC+∠B；（3）解：∵点P为线段AB上一动点，根据勾股定理得：AE==，BE=，∴PE的最大值为．作EF⊥AB，则EF=，则PE的最小值为∴≤EP≤，∵EP为整数，即EP=1，2，3，结合图形可知PE=1时有两个点，所以PE长为整数的点P个数为4个．。

相似三角形性质和判定的应用练习题(含答案)

专题8：相似三角形性质和判定的应用【典例引领】例：如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，E是AD上的一个动点．（1）如图1，连接BD，O是对角线BD的中点，连接OE．当OE=DE时，求AE的长；（2）如图2，连接BE，EC，过点E作EF⊥EC交AB于点F，连接CF，与BE交于点G．当BE平分∠ABC时，求BG的长；（3）如图3，连接EC，点H在CD上，将矩形ABCD沿直线EH折叠，折叠后点D落在EC上的点D'处，过点D′作D′N⊥AD于点N，与EH交于点M，且AE=1．的值；①求SΔED′MSΔEMN②连接BE，△D'MH与△CBE是否相似？请说明理由．【强化训练】1．如图1，以□ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G.（1）猜想BG与EG的数量关系.并说明理由；（2）延长DE,BA交于点H，其他条件不变，的值；①如图2，若∠ADC=60°，求DGBH的值.（用含α的三角函数表示）②如图3，若∠ADC=α（0°<α<90°）,直接写出DGBH2．已知：△ABC是等腰三角形，CA=CB，0°＜∠ACB≤90°．点M在边AC上，点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN=AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE=DE．（1）如图，当∠ACB=90°时①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数；（2）当∠ACB=α，其它多件不变时，∠BDE的度数是（用含α的代数式表示）（3）若△ABC是等边三角形，AB=3√3，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．3．如图，△ABC中，∠BAC为钝角，∠B=45°，点P是边BC延长线上一点，以点C为顶点，CP为边，在射线BP下方作∠PCF=∠B．（1）在射线CF上取点E，连接AE交线段BC于点D．①如图1，若AD=DE，请直接写出线段AB与CE的数量关系和位置关系；②如图2，若AD DE，判断线段AB与CE的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图3，反向延长射线CF，交射线BA于点C′，将∠PCF沿CC′方向平移，使顶点C落在点C′处，记平移后的∠PCF为∠P′C′F′，将∠P′C′F′绕点C′顺时针旋转角α（0°＜α＜45°），C′F′交线段BC于点M，C′P′交射线BP于点N，请直接写出线段BM，MN与CN之间的数量关系．4．（2016辽宁省大连市）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：B C=2AE．小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．（1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是A AS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图3，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 为BC 的中点，E 为DC 的中点，点F 在AC 的延长线上，且∠CDF =∠EAC ，若CF =2，求AB 的长；（3）如图4，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，且AD =kDB （其中0＜k ＜√33），∠AED =∠BCD ，求AE EC的值（用含k 的式子表示）．5．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF ，BE 是△ABC 的中线，AF ⊥BE ，垂足为P ，像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．特例探索（1）如图1，当∠ABE ＝45°，c ＝2√2时，a ＝，b ＝；如图2，当∠ABE ＝30°，c ＝4时，a ＝，b ＝；归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；拓展应用（3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝2√5，AB＝3．求AF的长．专题8：相似三角形性质和判定的应用【典例引领】例：如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，E 是AD 上的一个动点．（1）如图1，连接BD ，O 是对角线BD 的中点，连接OE ．当OE=DE 时，求AE 的长；（2）如图2，连接BE ，EC ，过点E 作EF ⊥EC 交AB 于点F ，连接CF ，与BE 交于点G ．当BE 平分∠ABC 时，求BG 的长；（3）如图3，连接EC ，点H 在CD 上，将矩形ABCD 沿直线EH 折叠，折叠后点D 落在EC 上的点D'处，过点D′作D′N ⊥AD 于点N ，与EH 交于点M ，且AE=1． ①求SΔED ′M S ΔEMN的值；②连接BE ，△D'MH 与△CBE 是否相似？请说明理由．【答案】（1）AE=3310；（2）BG=5√26；（3）①54；②相似，理由见解析. 【分析】（1）先求出BD ，进而求出OD=OB=OA ，再判断出△ODE ∽△ADO ，即可得出结论；（2）先判断出△AEF ≌△DCE ，进而求出BF=1，再判断出△CHG ∽△CBF ，进而求出BK=GK=56，最后用勾股定理即可得出结论；（3）①先求出EC=5，再求出D'C=1，根据勾股定理求出DH=43，CH=53，再判断出△EMN ∽△EHD ，得出MNHD＝EM EH ，△ED'M ∽△ECH ，得出D′M CH ＝EM EH ，进而得出D′M MN ＝CH HD ＝54，即可得出结论；②先判断出∠MD'H=∠NED'，进而判断出∠MD'H=∠ECB ，即可得出D′M CB＝D′H CE，即可．【解答】（1）如图1，连接OA ，在矩形ABCD 中，CD=AB=3，AD=BC=5，∠BAD=90° 在Rt △ABD 中，根据勾股定理得，BD=√34， ∵O 是BD 中点，∴OD=OB=OA=√342，∴∠OAD=∠ODA，∵OE=DE，∴∠EOD=∠ODE，∴∠EOD=∠ODE=∠OAD，∴△ODE∽△ADO，∴DOAD =DEDO，∴DO2=DE•DA，∴设AE=x，∴DE=5﹣x，∴（√342）2=5（5﹣x），∴x=3310，即：AE=3310；（2）如图2，在矩形ABCD中，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=45°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=3，∴AE=CD=3，∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°，∴∠AEF+∠CED=90°，∵∠A=90°，∴∠AEF+∠AFE=90°，∴∠CED=∠AFE，∴△AEF ≌△DCE ， ∴AF=DE=2， ∴BF=AB ﹣AF=1，过点G 作GK ⊥BC 于K ， ∴∠EBC=∠BGK=45°，∴BK=GK ，∠ABC=∠GKC=90°， ∵∠KCG=∠BCF ， ∴△CHG ∽△CBF ， ∴GK FB=CK CB，设BK=GK=y ， ∴CK=5﹣y ， ∴y=56， ∴BK=GK=56，在Rt △GKB 中，BG=5√26；（3）①在矩形ABCD 中，∠D=90°， ∵AE=1，AD=5， ∴DE=4， ∵DC=3， ∴EC=5，由折叠知，ED'=ED=4，D'H=DH ，∠ED'H=∠D=90°， ∴D'C=1，设D'H=DH=z ， ∴HC=3﹣z ，根据勾股定理得，（3﹣z ）2=1+z 2， ∴z=43，∴DH=43，CH=53，∵D'N ⊥AD ， ∴∠AND'=∠D=90°， ∴D'N ∥DC ， ∴△EMN ∽△EHD ， ∴MNHD =EMEH ， ∵D'N ∥DC ，∵∠MED'=∠HEC，∴△ED'M∽△ECH，∴D′MCH ＝EMEH，∴MNHD ＝D′MCH，∴D′MMN ＝CHHD＝54，∴S△ED′MS△EMN ＝54；②相似，理由：由折叠知，∠EHD'=∠EHD，∠ED'H=∠D=90°，∴∠MD'H+∠ED'N=90°，∵∠END'=90°，∴∠ED'N+∠NED'=90°，∴∠MD'H=∠NED'，∵D'N∥DC，∴∠EHD=∠D'MH，∴∠EHD'=∠D'MH，∴D'M=D'H，∵AD∥BC，∴∠NED'=∠ECB，∴∠MD'H=∠ECB，∵CE=CB=5，∴D′MCB ＝D′HCE∴△D'MH∽△CBE．【强化训练】1．如图1，以□ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G.（1）猜想BG与EG的数量关系.并说明理由；（2）延长DE,BA交于点H，其他条件不变，①如图2，若∠ADC=60°，求DGBH的值；②如图3，若∠ADC=α（0°<α<90°）,直接写出DGBH的值.（用含α的三角函数表示）【答案】（1）BG=EG，理由见解析；（2）12；（3）cosα.【分析】（1）BG=EG，根据已知条件易证△BAG≌△EFG，根据全等三角形的对应边相等即可得结论；（2）①方法一：过点G作GM∥BH，交DH于点M，证明ΔGME∽ΔBHE，即可得GMBH =GEBE=12，再证明ΔMGD是等边三角形，可得DG=MG，由此可得DGBH =MGBH=12；方法二：延长ED，BC交于点M，证明ΔHBM为等边三角形，再证明ΔEDG∽ΔEMB，即可得结论；②如图3，连接EC交DF于O根据三角函数定义得cosα=OEEF，则OF=bcosα，DG=a+2bcosα，同理表示AH的长，代入DGBH计算即可．【解答】（1）BG=EG，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD.∵四边形CDEF是菱形，∴CD∥EF，CD=EF.∴AB∥EF，AB=EF.∴∠ABG=∠FEG.又∵∠AGB=∠FGE，∴ΔABG≌ΔFEG(AAS).∴BG=EG.（2）方法1：过点G作GM∥BH，交DH于点M，∴∠EMG=∠EHA.∵∠GEM=∠BEH，∴ΔGME∽ΔBHE.∴GMBH =GEBE.由（1）结论知BG=EG.∴EG=12BE.∴GMBH =GEBE=12.∵四边形CDEF为菱形，∴∠ADC=∠EDF=60°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴∠CDF=∠HAD=60°.∵GM∥AH，∴∠MGD=∠HAD=60°.∴∠GMD=180°−∠MGD−∠MDG=60°，即∠GMD=∠MGD=∠MGD=60°.∴ΔMGD是等边三角形。

相似三角形的判定总结+题型分析(带答案)

相似三角形定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似(如正四边形、正五边形等等)；性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。

相似比为k。

判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．直角三角形相似判定定理:1)斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA(在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用).补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

ABCDDABCDABCEAB C D E推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

相似三角形(含练习有答案、例题和知识点)

第27章：相似一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：（2）合比定理：（3）等比定理：3.黄金分割：如图，若，则点P为线段AB的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等.（2）相似三角形的周长比等于相似比.（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。

如求河的宽度、求建筑物的高度等。

(三)位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。

这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似位似比二、经典例题例1.如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．（1）填空：∠ABC=______，BC=_______．（2）判定△ABC与△DEF是否相似？[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.[参考答案] ①135°，2 ②能判断△ABC与△DEF相似，∵∠ABC=∠DEF=135°，=【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断．例2. 如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．[考点透视]本例主要是考查相似的判定[参考答案] ∠1=∠B或∠2=∠C，或点评：结合判定方法补充条件．例3. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（）A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米[考点透视]本例主要是考查相似的应用[参考答案] B【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“”．例4. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？[考点透视]本例主要是考查相似的实际应用[参考答案] 48mm【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答．例5.如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由．[考点透视]本例主要是考查相似与函数的综合运用.[参考答案]解:在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°，∠ABC=∠ACB=75°，∠ABD=∠ACE=105°．又∠DAE=105°，∴∠DAB+∠CAE=75°．又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，∴∠CAE=∠ADB，∴△ADB∽△EAC，∴，∴y=．当α1β满足β- =90°，y=仍成立．此时∠DAB+∠CAE=β-α，∴∠DAB+∠ADB=β-α，∴∠CAE=∠ADB．又∵∠ABD=∠ACE，∴△ADB∽△EAC，∴y=．【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系．例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答．[考点透视]本例主要是考查位似的性质.[参考答案] m【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质．三．适时训练（一）精心选一选1．梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（）（A）　（B）　（C）　（D）2．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则（　）（A）△AED∽△BED（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD（D）△BAD∽△BCD题2 题4 题53．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条4．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）55．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（）（A）∠APB＝∠EPC　（B）∠APE＝90°（C）P是BC的中点（D）BP ︰BC＝2︰36．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）＝；（4）AB2＝BD·BC其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（）（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个题6 题7 题87．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（）（A）AE⊥AF　（B）EF︰AF＝︰1（C）AF2＝FH·FE　（D）FB ︰FC＝HB︰EC8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（）（A）△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长（B）△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积（C）△ABE∽△DEC（D）△ABE∽△EBC9．如图，在□ABCD中，E为AD上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于（）（A）4︰10︰25　（B）4︰9︰25　（C）2︰3︰5　（D）2︰5︰25题9 题10 题1110．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为（）．（A）5︰12 （B）9︰5 （C）12︰5 （D）3︰2 11．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC︰CD为（）（A）2︰1 （B）3︰2 （C）3︰1 （D）5︰212．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9 cm，宽AB＝3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（）（A）4 cm、cm　（B）5 cm、cm（C）4 cm、2 cm　（D）5 cm、2 cm题12（二）细心填一填13．已知线段a＝6 cm，b＝2 cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与a－b的比例中项是_____cm．14．若＝＝＝－m2，则m＝______．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______．16．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______．题16 题17 题1817．如图，AB∥CD，图中共有____对相似三角形．18．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF ＝4，则DE的长等于________．题19 题20 题2120．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE ＝15，则△ABC的面积是______．21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是_________．22．如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝8 cm，AD＝8 cm，BC＝14 cm，则S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝____________．(三)认真答一答23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．24.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，求证＝．25.如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使得CD＝BC，CE⊥BD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AF＝FC．26.已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．求证：＋＝1．27.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．28.如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB．求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．29.如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．30.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，CA＝8 cm，动点PC出发，以每秒2 cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使S△BCP＝S△ABC31. 如图，小华家（点A处）和公路（L）之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）．32. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，试问：△AOB和△DOC是否相似？某学生对上题作如下解答：答：△AOB∽△DOC．理由如下：在△AOB和△DOC中，∵AD∥BC，∴，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC．请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由．33. 如图：四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，①过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：；②如图：若过BD上另一点E作BD的垂线交BA、BC延长线于F、G，又有什么结论呢？你会证明吗？34.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.35. （1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。

相似三角形的性质与判定练习题含答案

和
相似．
，点 p 在 BD 上移动，
【答案】或 12cm 或 2cm
【解析】解：由
，
，
，
设
，则
，
若
∽
，
则
，
即
，
变形得：
，即
，
因式分解得：
，
解得：
，
，
所以
或 12cm 时，
∽
；
若
∽
，
则
，
即
，解得：
，
，
综上，
或 12cm 或时，
∽
．
故答案为：或 12cm 或 2cm．
设出
，由
表示出 PD 的长，若
．
综上所述，当
或时，
与
相似．
故答案为或．
19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为边 BC 上一点，AC
与 DE 相交于点 F，若
，
，则
等于_____．
20.
21.
【答案】11
【解析】【分析】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题首先利用平行四边形的构造相似三角形
的相似条件，然后利用其性质即可求解由于四边形 ABCD 是平行四边形，所以得到
根据对称性可知：
，
∽
，根据相似的性质可得出：
，又，
，所以，在
中，由勾股定理可求得 AC 的值，
，
【解答】
解：设 BE 的长为 x，则
、
在
中，
，将这些值代入该式求出 BE 的值．
，
∽
两对对应角相等的两三角形相似
，故选：C．
，
，

相似三角形的性质与判定典型题(30道题之后是分析、解答、点评)

相似三角形的判定与性质练习同学们：这份试题难度较大，希望能够通过大家的研究掌握相似三角形的一些基本图形及应用，并从中总结一些解题规律和方法。

一．选择题（共14小题）1．（2011•义乌市）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD•AE=EF•CG；一定正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2011•遵义）如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（）A．5 B．6 C．7 D．123．（2011•乌鲁木齐）如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若∠APD=60°，则CD的长为（）A．B．C．D．14．（2011•威海）在▱ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF=（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：55．（2011•潼南县）如图，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC 于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④6．（2011•铜仁地区）已知：如图，在△ABC中，∠AED=∠B，则下列等式成立的是（）A．B．C．D．7．（2011•台湾）如图为一△ABC，其中D、E两点分别在AB、AC上，且AD=31，DB=29，AE=30，EC=32．若∠A=50°，则图中∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系，下列何者正确？（）A．∠1＞∠3 B．∠2=∠4 C．∠1＞∠4 D．∠2=∠38．（2011•台湾）如图为梯形纸片ABCD，E点在BC上，且∠AEC=∠C=∠D=90°，AD=3，BC=9，CD=8．若以AE为折线，将C折至BE上，使得CD与AB交于F点，则BF长度为何（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．69．（2011•遂宁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列说法中正确的个数是（）①AC•BC=AB•CD②AC2=AD•DB③BC2=BD•BA④CD2=AD•DB．A．1个B．2个C．3个D．4个10．（2011•锦州）如图，四边形ABCD，M为BC边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则AD的长为（）A．3 B．4 C．5 D．611．（2011•河北）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（）A．B．2 C．3 D．412．（2011•大连）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于（）A．B．1 C．D．213．（2011•北京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的值为（）A．B．C．D．14．（2010•湘西州）如图，△ABC中，DE∥BC，=，DE=2cm，则BC=（）A．6cm B．4cm C．8cm D．7cm二．填空题（共12小题）15．（2011•牡丹江）在△ABC中，AB=6，AC=9，点D在边AB所在的直线上，且AD=2，过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E，则CE的长为_________．16．（2010•梧州）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线BD上的点，且EF∥AB，DE：EB=2：3，EF=4，则CD的长为_________．17．（2009•烟台）如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC=∠C；②DE=CF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD=∠CAF其中正确的结论是_________．18．（2009•黄石）在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE=_________．19．（2008•衢州）如图，点D、E分别在△ABC的边上AB、AC上，且∠AED=∠ABC，若DE=3，BC=6，AB=8，则AE的长为_________．20．（2008•南宁）如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB= _________．21．（2007•厦门）如图，在平行四边形ABCD中，AF交DC于E，交BC的延长线于F，∠DAE=20°，∠AED=90°，则∠B=_________度；若=，AD=4厘米，则CF=_________厘米．22．（2007•乌鲁木齐）如图，∠C=∠E=90°，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=_________．23．（2006•绵阳）如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F．若BG：GA=3：1，BC=10，则AE的长为_________．24．（2006•鄂州）如图，D为△ABC边AB上一点，要使AC2=AD•AB成立则需添加一个条件，这个条件可以是_________．25．（2006•长春）图中x=_________．26．（2004•芜湖）如图，已知CD是Rt△ABC的斜边上的高，其中AD=9cm，BD=4cm，那么CD等于_________ cm．三．解答题（共4小题）27．（2011•佛山）如图，D是△ABC的边AB上一点，连接CD，若AD=2，BD=4，∠ACD=∠B，求AC的长．28．（2011•眉山）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F．（1）求证：∠DCP=∠DAP；（2）若AB=2，DP：PB=1：2，且PA⊥BF，求对角线BD的长．29．（2011•济南）如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由；（3）求证：∠APC=∠BPC．30．（2011•岳阳）如图1，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．（1）操作：如图2，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．求证：BH•GD=BF2（2）操作：如图3，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．探究：FD+DG=_________．请予证明．答案与评分标准一．选择题（共14小题）1．（2011•义乌市）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD•AE=EF•CG；一定正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质。

相似三角形判定与性质-练习题(带答案)

【答案】 D
【解析】 ∵
，
∴
，
∴
，
∴
∵Hale Waihona Puke ，∴，即甲与乙与丙均相似．
【标注】【知识点】相似三角形的判定-两角对应相等
D. 甲与乙与丙
3
6. 给定条件能判断
A.
B.
，
C.
，
D.
和，
，，，
相似的是（）．，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
【答案】 D
【解析】．不相似：∵
∴
，
∴不相似；
．不相似：∵
，，
，
，
∴ 不是边， ∴不相似；
，交于，则
（
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 ∵
，
∴
，
又∵平行四边形
中，
，
，
∴
，
，
∴
．
【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合
14. 要测量一棵树的高度，发现同一时刻一根米长的竹竿在地面上的影长为米，此刻树的影子不全落在地上，有一部分落在了教学楼第一级的台阶水平面上，测得台阶水平面上的影长为米，一级台阶的垂直高度为米，若，此时落在地面上的影长为米，则树高（）．
∵
，
∴
．
【标注】【知识点】相似反A字型
1
3. 已知：如图，
，求证：
．
【答案】证明见解析．
【解析】 ∵ ∴ 又∵ ∴
，，
，．
【标注】【知识点】相似反8字型
4. 如图，在
中，点、分别在边、上，如果

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相似三角形的判定、性质及应用（习题）
➢例题示范
例1：如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？
F
E D
C
B
A
解：△ABE与△DEF相似．理由如下：
在正方形ABCD中，
∠A=∠D=90°，AB=AD=CD
设AB=AD=CD=4a
∵E为边AD的中点，CF=3FD
∴AE=DE=2a，DF=a
∴
4
2
2
AB a
DE a
==，
2
2
AE a
DF a
==
∴AB AE DE DF
=
又∵∠A=∠D
∴△ABE∽△DEF
例2：小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）．
F
E D C
B
A
解：由题意，AE=20，CE=2.5，DC=1.6，∠FEB=∠FED ∴∠BEA=∠DEC
∵∠BAE =∠DCE =90° ∴△BAE ∽△DCE ∴AB AE DC EC = ∴201.6 2.5AB = ∴AB =12.8
∴大楼AB 的高为12.8米．
➢ 巩固练习
1. 如图，在△ABC 中，点P 为边AB 上一点，则下列四个条件：①∠ACP =∠B ；
②∠APC =∠ACB ；③2AC AP AB =⋅；
④AB CP AP CB ⋅=⋅．其中能判定△ABC ∽△ACP 相似的是__________．
B
P
C
A
E
C
A
B
D
第1题图第2题图
2. 有（）
A .△AED ∽△BED
B .△AED ∽△CBD
C .△AE
D ∽△ABD
D .△BAD ∽△BCD
3. 在如图4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1
点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ A B C D
4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 交于点O ，
1
2
OD OC =，若OA =1，92OB =
，则OD =_____，
AD
BC
=______．
O
D
C
B
A 2
1
N M B A P
第4题图第5题图
5. 如图，∠APB =120°，点M ，N 在线段AB 上，△PMN 是等边三角形．若
1
9
AM NB ，AB =26，则NB 长为_______． 6.
7. 如图，在△ABC 中，CD =CE ，∠A =∠ECB ．求证：CD 2=AD ·BE ．
E
D C
B
A
8. 将△ABC 沿BC 方向平移得到△DEF ，△ABC 与△DEF 重叠部分记为△GEC ．已
知BC =14，BA =15，S △ABC =87，则当EG =BE 时，求△GEC 的面积．
G
F
E D
C B A
9. 如图，△ABC ∽△A′B′C′，AD ，A′D′分别是边BC ，B′C′上的中线，求证：△
ABD ∽△A′B′D ′.
B
C D A
D'C'
B'A'
10. 小刚身高1.7 m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m ，紧接着他把手臂
竖直举起，测得影子长为1.1 m ，那么小刚举起的手臂超出头顶（） A ．0.5 m
B ．0.55 m
C ．0.6 m
D ．2.2 m
11. 如图是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．
点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙
CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB =1.2 m ，BP =1.8 m ，PD =12 m ，那么该古城墙的高度是（） A ．8 m B ．10 m C ．15 m
D ．18 m
12. 如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，
已知OA =10 cm ，OA'=20 cm ，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是_________．
O
E'D'
C'B'
A'
E C D B
A
13. 如图，△ABC 与△DEF ，且直线AD ，CF ，BE 相交于点O ，
2
3
OA OB OC OD OE OF ===，已知AB =4，则DE 的长为_________． O
F E D C
B A
第13题图第14题图
14. 如图，在△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0)．以
点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A ′B ′C ．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是_________．
➢ 思考小结
1. 如图，四边形ABCD 的顶点坐标分别为A (4，2)，B (8，6)，C (6，10)，D (-2，
6)．
（1）将A，B，C，D的横坐标、纵坐标都乘1
2
，得到四个点，
以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？如果位似，指出位似中心并求出相似比．
（2）将A，B，C，D的横坐标、纵坐标都乘
1
2
-，得到四个
点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD位似吗？如
果位似，指出位似中心并求出相似比．
（3）在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、
纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形_____，
位似中心是______，它们的相似比为_______．
2.回顾相似三角形相关概念，并填空．
①相似三角形对应边成比例，对应角相等；②两角分别相等的两个三角形
相似；③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；④三边成比例的两个三角形相似．
以上概念都是围绕三角形相似，角度相等，线段成比例等信息进行的．不同处在于：利用性质时，三角形相似是条件，角度相等，线段成比例是结论；利用判定时，角度相等，线段成比例是______，三角形相似是
______．由此我们可以发现，当碰到线段成比例和角度相等等条件或结论时，要考虑相似三角形的应用．
3.实际生活中测量旗杆的高度，都是利用了相似三角形的原理进行的．下列
三种方法都利用了物体与地面垂直的特性，除此之外，这三种方法还分别用了哪些实际生活中的原理呢？请把选项填到对应的横线上．
①利用阳光下的影子：_________
②利用标杆：_________
③利用镜子的反射：_________
A．镜子的反射定律：借助入射角、反射角相等
B．视线与一组平行线相交，同位角相等
C．同一时刻，太阳光线（平行光线）与水平地面的夹角相等
【参考答案】
➢巩固练习
1.①②③
2. B
3. B
4.3
2
；
1
3
5.18
6.证明略
7.证明略
8.△GEC的面积为588 29
9.证明略
10.A
11.A
12.1:2
13.6
14.
3
2
a
+ -
➢思考小结
1.（1）位似，位似中心是原点，相似比是1 2
（2）位似，位似中心是原点，相似比是1 2
（3）位似，原点，k．
2.条件，结论
3.C，B，A。