相似三角形性质与判定专项练习题有答案

相似三角形性质和判定专项练习30题（有答案）1．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠CDG=∠BAD．（1）求证：=；（2）当GC⊥BC时，求证：∠BAC=90°．2．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足．（1）求证：AC2=AF•AD；（2）联结EF，求证：AE•DB=AD•EF．3．如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC．（1）求证：△APC∽△ACB；（2）若AP=2，PC=6，求AC的长．4．如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．5．已知：如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．求证：AB•BC=AC•CD．6．已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S，说明AF•BE=2S 的理由．7．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；②若AE=2，试求AP•AF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．8．如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：=．9．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF．10．如图，△ABC、△DEF都是等边三角形，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H 两点，BC=2，问E在何处时CH的长度最大？11．如图，AB和CD交于点O，当∠A=∠C时，求证：OA•OB=OC•OD．12．如图，已知等边三角形△AEC，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）．连接EB，过E作EF⊥AB，交AB的延长线为F．（1）猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想．（2）证明：△BEF∽△ABC，并求出相似比．13．已知：如图，△ABC中，点D、E是边AB上的点，CD平分∠ECB，且BC2=BD•BA．（1）求证：△CED∽△ACD；（2）求证：．14．如图，△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且∠BAD=∠BGD=∠C，联结AG．（1）求证：BD•BC=BG•BE；（2）求证：∠BGA=∠BAC．15．已知：如图，在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD⊥BC，BE⊥AC，BE，AD相交于点G，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，DF=6．（1）求AE的长；（2）求的值．16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，M是CD中点，且∠AMD=∠BMD，AP∥CD交BC延长线于P点，延长BM交PA于N点，且PN=AN．（1）求证：MN=MA；（2）求证：∠CDA=2∠ACD．17．已知：如图，在△ABC中，已知点D在BC上，联结AD，使得∠CAD=∠B，DC=3且S△ACD：S△ADB﹦1﹕2．（1）求AC的值；（2）若将△ADC沿着直线AD翻折，使点C落点E处，AE交边BC于点F，且AB∥DE，求的值．18．在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．19．如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作∠ADE=60°，DE与△ABC的外角平分线CE 交于点E．（1）求证：∠BAD=∠FDE；（2）设DE与AC相交于点G，连接AE，若AB=6，AE=5时，求线段AG的长．20．如图所示，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△PCQ的面积等于12.6cm2？21．已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED 交AC于点F，连接DC、AE．（1）求证：△ADE≌△DFC；（2）过点E作EH∥DC交DB于点G，交BC于点H，连接AH．求∠AHE的度数；（3）若BG=，CH=2，求BC的长．22．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，BE∥BC交AC于点E．（1）求证：AE•BC=AC•CE；（2）若S△ADE：S△CDE=4：3.5，BC=15，求CE的长．23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．24．在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．25．如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F．（1）求证：BF=2FP；（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．26．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E、F分别是AC，BC边上一点，且CE=AC，BF=BC，（1）求证：；（2）求∠EDF的度数．27．如图，△ABC是等边三角形，且AB∥CE．（1）求证：△ABD∽△CED；（2）若AB=6，AD=2CD，①求E到BC的距离EH的长．②求BE的长．28．如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．（1）若AC=3，AB=4，求；（2）证明：△ACE∽△FBE；（3）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．29．如图，△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，求证：（1）△ABD∽△ECA；（2）BC2=DB•CE．30．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，且AC=CD=，又E，D为CB的三等分点．（1）证明：△ADE∽△BDA；（2）证明：∠ADC=∠AEC+∠B；（3）若点P为线段AB上一动点，连接PE，则使得线段PE的长度为整数的点P的个数有几个？请说明理由．相似三角形性质和判定专项练习30题参考答案：1．解：（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD，且∠CDG=∠BAD，∴∠ADG=∠B；∵∠BAC=∠DAG，∴△ABC∽△ADG，∴=．（2）∵∠BAC=∠DAG，∴∠BAD=∠CAG；又∵∠CDG=∠BAD，∴∠CDG=∠CAG，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠DAG+∠DCG=180°；∵GC⊥BC，∴∠DCG=90°，∴∠DAG=90°，∠BAC=∠DAG=90°．2．解：（1）如图，∵∠ACB=90°，CF⊥AD，∴∠ACD=∠AFC，而∠CAD=∠FAC，∴△ACD∽△AFC，∴，∴AC2=AF•AD．（2）如图，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC=∠AFC=90°，∴A、E、F、C四点共圆，∴∠AFE=∠ACE；而∠ACE+∠CAE=∠CAE+∠B，∴∠ACE=∠B，∠AFE=∠B；∵∠FAE=∠BAD，∴△AEF∽△ADB，∴AE：AD=BD：EF，∴AE•DB=AD•EF．3．解：（1）∵PB=PC，∴∠B=∠PCB；∵PC平分∠ACB，∴∠ACP=∠PCB，∠B=∠ACP，（2）∵△APC∽△ACB，∴，∵AP=2，PC=6，AB=8，∴AC=4．∵AP+AC=PC=6，这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾，∴该题无解．4．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠C+∠ADE=180°，∵∠BFE=∠C，∴∠AFB=∠EDA，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠AED，∴△ABF∽△EAD；（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，∴∠ABE=90°，∵AB=4，∠BAE=30°，∴AE=2BE，由勾股定理可求得AE=5．证明：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠C，∴BD=CD，在△ABD和△ACB中，，∴△ABD∽△ACB，∴=，即AB•BC=AC•BD，∴AB•BC=AC•CD．6．证明：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，∵∠ECF=45°，∴∠ECF=∠B=45°，∴∠ECF+∠1=∠B+∠1，∵∠BCE=∠ECF+∠1，∠2=∠B+∠1；∴∠BCE=∠2，∴，∴AC•BC=BE•AF，∴S△ABC=AC•BC=BE•AF，∴AF•BE=2S．7．（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴，即，所以AP•AF=12（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，∴∠AOB=120°，又∵AB=6，∴OA=，点P的路径是．②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P 的路径为：．所以，点P经过的路径长为或3．8．证明：∵AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，∴∠D=∠E=90°，∵∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴=．9．证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°．∴∠BDE=∠CED，∵∠EDF=∠ABE，∴△DEF∽△BDE；（2）由△DEF∽△BDE，得．∴DE2=DB•EF，由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE．∵∠GDE=∠EDF，∴△GDE∽△EDF．∴，∴DE2=DG•DF，∴DG•DF=DB•EF．10．解：设EC=x，CH=y，则BE=2﹣x，∵△ABC、△DEF都是等边三角形，∴∠B=∠DEF=60°，∵∠B+∠BDE=∠DEF+∠HEC，∴∠BDE=∠HEC，∴△BED∽△CHE，∴，∵AB=BC=2，点D为AB的中点，∴BD=1，∴，即：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1．∴当x=1时，y最大．此时，E在BC中点11．解：∵∠A=∠C，∠AOD=∠BOC，∴=，∴OA•OB=OC•OD．12．解：（1）猜测BE和直线AC垂直．证明：∵△AEC是等边三角形，∴AE=CE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∵BE=BE，∴△AEB≌△CEB（SSS）．∴∠AEB=∠CEB，∵AE=CE，∴BE⊥AC；（2）∵△AEC是等边三角形，∴∠EAC=∠AEC=60°，∵BE⊥AC，∴∠BEA=∠AEC=30°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°，∴∠BAE=15°，∴∠EBF=45°，∵EF⊥BF，∴∠F=90°，∴∠EBF=∠BAC，∠F=∠ABC，∴△BEF∽△ACB，延长EB交AC于G，设AC为2a，则BG=a，EB=a﹣a，∴相似比是：===13．证明：（1）∵BC2=BD•BA，∴BD：BC=BC：BA，∵∠B是公共角，∴△BCD∽△BAC，∴∠BCD=∠A，∵CD平分∠ECB，∴∠ECD=∠BCD，∴∠ECD=∠A，∵∠EDC=∠CDA，（2）∵△BCD∽△BAC，△CED∽△ACD，∴=，=，∴．14．证明：（1）∵∠DBG=∠EBC，∠BGD=∠C，∴△BDG∽△BEC，∴=，则BD•BC=BG•BE；（2）∵∠DBA=∠ABC，∠BAD=∠C，∴△DBA∽△ABC，∴=，即AB2=BD•BC，∵BD•BC=BG•BE，∴AB2=BG•BE，即=，∵∠GBA=∠ABE，∴△GBA∽△ABE，∴∠BGA=∠BAC．15．解：（1）∵在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD⊥BC，BE⊥AC，∴AC=AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，∵BF∥AC，∴∠CBF=∠C=60°，∵AD⊥BC，∴∠FDB=90°，∴∠F=30°，∵DF=6，∴BD=2，∵AE=EC=BD=DC，∴AE=2；（2）∵∠BDF=90°，∠F=30°，BD=2，∴BF=2DB=4，∵AC∥BF，∴△AEG∽△FBG，∴=（）2=．16．证明：（1）∵AP∥CD，∴∠AMD=∠MAN，∠BMD=∠MNA，∵∠AMD=∠BMD，∴∠MAN=∠MNA，∴MN=MA．（2）如图，连接NC，∵AP∥CD，且PN=AN．∴==，∴MC=MD，∴CN为直角△ACP斜边AP的中线，∴CN=NA，∠NCA=∠NAC，∵AP∥CD，∴∠NAC=∠ACD，∴∠NCM=2∠ACD，∵∠CMN=∠DMB，∠DMA=∠BMD，∴∠CMD=∠DMA，在△CMN和△DMA中，，∴△CMN≌△DMA（SAS），∠ADM=∠NCM=2∠ACD．即：∠CDA=2∠ACD．17．解：（1）∵S△ACD：S△ADB﹦1：2，∴BD=2CD，∵DC=3，∴BD=2×3=6，∴BC=BD+DC=6+3=9，∵∠CAD=∠B，∠C=∠C，∴△ABC∽△DAC，∴=，即=，解得AC=3；（2）由翻折的性质得，∠E=∠C，DE=CD=3，∵AB∥DE，∴∠B=∠EDF，∵∠CAD=∠B，∴∠EDF=∠CAD，∴△EFD∽△ADC，∴=（）2=（）2=18．（1）证明：∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴BE=CE，∴∠B=∠DCF，∵AD=AC，∴∠FDC=∠ACB，∴△ABC∽△FCD；（2）解：过A作AG⊥CD，垂足为G．∵AD=AC，∴DG=CG，∴BD：BG=2：3，∵ED⊥BC，∴ED∥AG，∴△BDE∽△BGA，∴ED：AG=BD：BG=2：3，∵DE=3，∴AG=，∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴=（）2=．∵S△ABC=×BC×AG=×8×=18，∴S△FCD=S△ABC=．19．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，由三角形的外角性质得，∠ADE+∠FDE=∠BAD+∠B，∵∠ADE=60°，∴∠BAD=∠FDE；（2）解：如图，过点D作DH∥AC交AB于H，∵△ABC为等边三角形，∴△BDH是等边三角形，∴∠BHD=60°，BD=BH，∴∠AHD=180°﹣60°=120°，∵CE是△ABC的外角平分线，∴∠ACE=（180°﹣60°）=60°，∴∠DCE=60°+60°=120°，∴∠AHD=∠DCE=120°，又∵AH=AB﹣BH，CD=BC﹣BD，∴AH=CD，在△AHD和△DCE中，，∴△AHD≌△DCE（ASA），∴AD=DE，∵∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠DAE=∠DEA=60°，AE=AD=5，∵∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=60°﹣∠CAD，∠EAG=∠DAE﹣∠CAD=60°﹣∠CAD，∴∠BAD=∠EAG，∴△ABD∽△AEG，∴=，即=，解得AG=．20．解：（1）设x秒时，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ面积为8cm2，由题意得（6﹣x）•2x=8，解之，得x1=2，x2=4，经过2秒时，点P到距离B点4cm处，点Q到距离B点4cm处；或经4秒，点P到距离B点2cm处，点Q到距离B点8cm处，△PBQ的面积为8cm2，综上所述，经过2秒或4秒，△PBQ的面积为8cm2；（2）当P在AB上时，经x秒，△PCQ的面积为：×PB×CQ=×（6﹣x）（8﹣2x）=12.6，解得：x1=（不合题意舍去），x2=，经x秒，点P移动到BC上，且有CP=（14﹣x）cm，点Q移动到CA上，且使CQ=（2x﹣8）cm，过Q作QD⊥CB，垂足为D，由△CQD∽△CAB得，即QD=，由题意得（14﹣x）•=12.6，解之得x1=7，x2=11．经7秒，点P在BC上距离C点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使△PCQ的面积等于12.6cm2．经11秒，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14cm处，14＞10，点Q已超出CA的范围，此解不存在．综上所述，经过7秒和秒时△PCQ的面积等于12.6cm221．（1）证明：如图，∵线段DB顺时针旋转60°得线段DE，∴∠EDB=60°，DE=DB．∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°．∴∠EDB=∠B．∴EF∥BC．∴DB=FC，∠ADF=∠AFD=60°．∴DE=DB=FC，∠ADE=∠DFC=120°，△ADF是等边三角形．∴AD=DF．∴△ADE≌△DFC．（2）解：由△ADE≌△DFC，得AE=DC，∠1=∠2．∵ED∥BC，EH∥DC，∴四边形EHCD是平行四边形．∴EH=DC，∠3=∠4．∴AE=EH．∴∠AEH=∠1+∠3=∠2+∠4=∠ACB=60°．∴△AEH是等边三角形．∴∠AHE=60°．（3）解：设BH=x，则AC=BC=BH+HC=x+2，由（2）四边形EHCD是平行四边形，∴ED=HC．∴DE=DB=HC=FC=2．∵EH∥DC，∴△BGH∽△BDC．∴．即．解得x=1．∴BC=3．22．（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AEC=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴=，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠DCE，∴∠DCE=∠EDC，∴DE=CE，∴=，即AE•BC=AC•CE；（2）∵S△ADE：S△CDE=4：3.5，∴AE：CE=4：3.5，∴=，∵由（1）知=，∴=，解得DE=6，∵DE=CE，∴CE=8．23．（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD；（3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3，∵AD=4，∴，∴．24．（1）证明：如图1，在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，∵点E为AB的中点，∴AB=2BE，∴AC=BE．在△ACD与△BEF中，，∴△ACD≌△BEF，∴CD=EF，即EF=CD；（2）解：如图2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四边形EQDH是矩形，∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG=EQ：EH．∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B=30°．在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴sinB==，∴EQ=BE．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH==，∴EH=AE．∵点E为AB的中点，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：=：3．25．（1）证明：如图1，连接PN，∵N、P分别为△ABC边BC、CA的中点，∴PN∥AB，且．∴△ABF∽△NPF，∴．∴BF=2FP．（2）解：如图2，取AF的中点G，连接MG，∴MG∥EF，AG=GF=FN．∴△NEF∽△NMG，∴S△NEF=S△MNG=×S△AMN=××S△ABC=S．26．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ADC∽△CDB，∴=；（2）解：∵CE=AC，BF=BC，∴===，又∵∠A=∠BCD，∴∠ACD=∠B，∴△CED∽△BFD，∴∠CDE=∠BDF，∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠BDF+∠CDF=∠CDB=90°．27．解；（1）∵AB∥CE，∴∠A=∠DCE，又∵∠ADB=∠EDC，∴△ABD∽△CED；（2）①过点E作EH⊥BF于点H，∵△ABC是等边三角形，△ABD∽△CED，AB=6，AD=2CD，∴==，∠A=∠ACB=60°，∴CE=3，∵AB∥CE，∴∠A=∠DCE=60°，∴∠ECH=180°﹣∠ACB﹣∠DCE=180°﹣60°﹣60°=60°，∴EH=CE•sin60°=3×=；②在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，CE=3，∴CH=CE•cos60°=3×=，∴BH=BC+CH=6+=，∴BE===3．28．（1）解：∵AC=AC′，AB=AB′，∴由旋转可知：∠CAB=∠C′AB′，∴∠CAB+∠EAC′=∠C′AB′+∠EAC′，即∠CAC′=∠BAB′，又∵∠ACB=∠AC′B′=90°，∴△ACC′∽△ABB′，∵AC=3，AB=4，∴==；（2）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，（1分）∴∠CAC′=∠BAB′，∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C，∴∠ACC′=∠ABB′，（3分）又∵∠AEC=∠FEB，∴△ACE∽△FBE．（4分）（3）解：当β=2α时，△ACE≌△FBE．理由：在△ACC′中，∵AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C====90°﹣α，（6分）在Rt△ABC中，∠ACC′+∠BCE=90°，即90°﹣α+∠BCE=90°，∴∠BCE=90°﹣90°+α=α，∵∠ABC=α，∴∠ABC=∠BCE，（8分）∴CE=BE，由（2）知：△ACE∽△FBE，∴△ACE≌△FBE．（9分）29．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，∴∠DAB+∠CAE=60°，∵∠ABC是△ABD的外角，∴∠DAB+∠D=∠ABC=60°，∴∠CAE=∠D，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACE=120°，∴△ABD∽△ECA；（2）∵△ABD∽△ECA，∴=，即AB•AC=BD•CE，∵AB=AC=BC，∴BC2=BD•CE30．（1）证明：∵AC=CD=DE=EB=，又∠C=90°，∴AD=2，∴=，==，∴=，又∵∠ADE=∠BDA，∴△ADE∽△BDA；（2）证明：∵△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠B，又∵∠ADC=∠AEC+∠DAE，∴∠ADC=∠AEC+∠B；（3）解：∵点P为线段AB上一动点，根据勾股定理得：AE==，BE=，∴PE的最大值为．作EF⊥AB，则EF=，则PE的最小值为∴≤EP≤，∵EP为整数，即EP=1，2，3，结合图形可知PE=1时有两个点，所以PE长为整数的点P个数为4个．。