相似三角形的判定+性质+经典例题分析98516

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相似三角形经典例题解析

一、如何证明三角形相似例1、如图：点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ，则△AGD ∽ ∽ 。

例2、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD例3：已知，如图，D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=∠BAD求证：△DBE ∽△ABC例4、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。

二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE ，求证：DF ∙AC=BC ∙FE例6：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。

求证：（1）MA 2=MD ∙ME ；（2）MD MEADAE =22 例7：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB 。

三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。

例8：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且31==AD AF AB EB 。

求证：∠AEF=∠FBD例9、在平行四边形ABCD 内，AR 、BR 、CP 、DP 各为四角的平分线，求证：SQ ∥AB ，RP ∥BC例10、已知A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两边上的点，且AB ∥ED ，BC ∥FE ，求证：AF ∥CD例11、直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BCDE 是正方形，AE 交BC 于F ，FG ∥AC 交AB 于G ，求证：FC=FG例12、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ，交斜边上的高AD 于O ，过O 引BC 的平行线交AB 于F ，求证：AE=BFABCDEFGAB CD E M 12A B C D E FG 1234ABC D AB C D E FK A B CD E FABCDS PRQOAB CD EFA BCDEF O 123ABCDFGE一、选择题1．（2009年滨州）如图所示，给出下列条件： ①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC AB CD BC=；④2AC AD AB = ．其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．42.（2009年上海市)如图，已知AB CD EF ∥∥，那么下列结论正确的是（） A ．AD BCDF CE= B ．BC DFCE AD= C ．CD BCEF BE= D ．CD ADEF AF=3.(2009成都)已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为 (A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：14. (2009年安顺)如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有： A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5.（2009重庆綦江）若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（）A ．1∶4B ．1∶2C ．2∶1D 6.（2009年杭州市）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个7.2009年宁波市）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形 C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形8.（2009年江苏省）如图，在55⨯方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（） A ．先向下平移3格，再向右平移1格 B ．先向下平移2格，再向右平移1格 C ．先向下平移2格，再向右平移2格 D ．先向下平移3格，再向右平移2格9.(2009年义乌)在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。

相似三角形的判定(解析版) (1)

4.4相似三角形的判定相似三角形的判定定理1.（一）相似三角形判定的预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

2．判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.3．判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定定理3：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.一、单选题1．如图，AD ，BC 相交于点O ，由下列条件仍不能判定△AOB 与△DOC 相似的是（）A ．AB ∥CD B ．∠C ＝∠B C ．OA OBOD OC= D ．OA ABOD CD= 【解答】D【提示】本题中已知∠AOB ＝∠DOC 是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．【详解】解：A 、由AB ∥CD 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意． B 、由∠AOB ＝∠DOC 、∠C ＝∠B 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意．C 、由OA OBOD OC = 、∠AOB ＝∠DOC 能判定△AOB ∽△DOC ，故本选项不符合题意． D 、已知两组对应边的比相等：OA ABOD CD = ，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB 与△DOC 相似，故本选项符合题意．故选：DAB CDED EACB【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．2．如图，D 是ABC 的边BC 上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC 与△DBA 相似的是（）A ．C BAD ∠=∠B ．BAC BDA ∠=∠ C ．AC ADBC AB = D ．2AB BD BC =⋅【解答】C【提示】由相似三角形的判定定理即可得到答案．【详解】解：C BAD ∠=∠，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项A 不符合题意；BAC BDA ∠=∠，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项B 不符合题意；AC ADBC AB =，但无法确定ACB ∠与BAD ∠是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项C 符合题意；2AB BD BC =⨯即AB BCBD AB =，B B ∠=∠，ABC ∽DBA ，故选项D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 3．下列各种图形中，有可能不相似的是（） A ．有一个角是45的两个等腰三角形 B ．有一个角是60的两个等腰三角形 C ．有一个角是110的两个等腰三角形 D ．两个等腰直角三角形【解答】A【提示】本题每一个选项都跟等腰三角形相似有关，注意的是一个角是一个角是45°，这个角可能是顶角或者底角，有一个角是60，这个三角形就是等边三角形，一个角是110，这个角一定是顶角，若是底角则不满足三角形内角和等于180°.等腰直角三角形的的底角是45°顶角是90°为固定值. 【详解】A ．各有一个角是45°的两个等腰三角形，有可能是一个为顶角，另一个为底角，此时不相似，故此选项符合题意；B ．各有一个角是60°的两个等腰三角形是等边三角形，两个等边三角形相似，故此选项不合题意；C ．各有一个角是110°的两个等腰三角形，此角必为顶角，则底角都为35°，则这两个三角形必相似，故此选项不合题意；D ．两个等腰直角三角形，底角是45°顶角是90°，为固定值，此三角形必相似，故此选项不合题意；故选A ．【点睛】本题解题关键在于，找准一个角是45，60，110的等腰三角形有几种情况，再就是等腰直角三角形的每个角的角度是固定的.4．下列条件，能使ABC 和111A B C △相似的是（）A ．1111112.5,2,3;3,4,6AB BC AC A B B C AC ======B ．11111192,3,4;3,6,2AB BC AC A B B C AC ======C．11111110,8;AB BC AC A B BCAC =====D．1111111,3;AB BC AC A B BCAC ====【解答】B【提示】根据相似三角形的判定定理进行判断．【详解】解：A 、11112.55213642AB BC A B B C ==≠==，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； B 、11111123242933632AB BC AC A B A C B C =======，能使ABC ∆和△111A B C 相似，正确；C、1111AB BC A B B C ≠=，不能使ABC ∆和△111A B C 相似，错误； D、1111AB BC A C B C =≠=ABC ∆和△111A B C 相似，错误；故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定．识别三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出三角形的对应边、对应角．5．下列能判定ABC DEF ∽△△的条件是( ) A ．AB AC DE DF = B ．AB ACDE DF =，A F ∠=∠ C ．AB AC DE DF =，B E ∠=∠ D ．AB ACDE DF =，A D ∠=∠ 【解答】D【提示】利用相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，逐项判断即可得出答案．【详解】解：A.AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项错误； B. AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项错误； C.AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项错误； D.AB ACDE DF =，A D ∠=∠，则ABC DEF ∽△△，故此选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，熟记定理内容是解此题的关键． 6．如图，要使ACD ABC △△∽，需要具备的条件是（）A ．AC ABAD BC = B ．CD BCAD AC = C ．2AC AD AB =⋅D ．2CD AD BD =⋅【解答】C【提示】题目中隐含条件∠A ＝∠A ，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件只能是AC ADAB AC =，根据比例性质即可推出答案．【详解】解：∵在△ACD 和△ABC 中，∠A ＝∠A ，∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：AC ADAB AC =， ∴2AC AD AB ⋅＝．故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似． 7．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，下列条件不能满足△ADE ∽△ACB 的条件是（）A ．∠AED=∠B B ．AD AEAC AB = C ．AD·BC= DE·AC D ．DE//BC【解答】C【提示】根据相似三角形的判定定理去判断分析即可．【详解】∵∠AED=∠B ，∠A=∠A ， ∴△ADE ∽△ACB ，故A 不符合题意； ∵AD AEAC AB =，∠A=∠A ， ∴△ADE ∽△ACB ，故B 不符合题意；∵AD·BC= DE·AC ，无夹角相等， ∴不能判定△ADE ∽△ACB ，故C 符合题意； ∵DE//BC ， ∴△ADE ∽△ACB ，故D 不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查了三角形相似的判定条件，熟练掌握判定三角形相似的基本方法是解题的关键． 8．如图，等边ABC 中，点E 是AB 的中点，点D 在AC 上，且2DC DA =，则（）A ．AED BED ∽△△ B ．AED CBD ∽△△ C ．AED ABD ∽△△ D ．BAD BCD ∽△△ 【解答】B【提示】由等边三角形的性质，中点的定义得到2BC AB AE ==，60A C ∠=∠=︒，结合2DC DA =，得到12AE AD CB CD ==，即可得到AED CBD ∽△△．【详解】解：∵ABC 是等边三角形， ∴BC AB =，60A C ∠=∠=︒， ∵点E 是AB 的中点， ∴2BC AB AE ==， ∵2DC DA =， ∴12AE AD CB CD ==，∵60A C ∠=∠=︒，∴AED CBD ∽△△．故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定进行判断．9．如图，在ACB △中，90,ACB AF ∠=︒是BAC ∠的平分线，过点F 作FE AF ⊥，交AB 于点E ，交AC 的延长线于点D ，则下列说法正确的是（）A ．CDF EBF ∽B ．ADF ABF ∽C ．ADF CFD ∽D ．ACF AFE ∽【解答】D【提示】根据相似三角形的判定方法AA 解题．【详解】解：EF AF ⊥90AFE ∴∠=︒90ACB AFE ∴∠=∠=︒AF 是BAC ∠的平分线，CAF FAE ∴∠=∠()ACFAFE AA ∴故选项D 符合题意，选项A 、B 、C 均不符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定方法，角平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．10．如图，四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且将这个四边形分成四个三角形，若::OA OC OB OD =，则下列结论中正确的是（）A ．△AOB ∽△AOD B ．△AOD ∽△BOC C ．△AOB ∽△BOCD ．△AOB ∽△COD 【解答】D【提示】根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等，即可判断△AOB ∽△COD ．【详解】解：∵四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ， ∴∠AOB=∠COD ，在△AOB 和△COD 中， =OA OBOC OD AOB COD ⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩∴△AOB ∽△COD ．故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握两边对应成比例且夹角相等则这两个三角形相似是解题的关键．二、填空题11．如图，在ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，请添加一个条件_________，使ADE ABC △△∽．【解答】∠ADE=∠B （答案不唯一）．【提示】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．【详解】解∶∵∠A=∠A ，∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B 或∠AED=∠C 证ADE ABC △△∽相似；根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件AD AEAB AC =证ADE ABC △△∽相似．故答案为∶∠ADE ＝∠B （答案不唯一）．【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 12．图，在ABC 中，AB AC >，点D 在AB 上（点D 与A ，B 不重合），若再增加一个条件就能使ACD ABC △∽△，则这个条件是________（写出一个条件即可）．【解答】ACD ABC ∠=∠（答案不唯一）【提示】两个三角形中如果有两组角对应相等，那么这两个三角形相似，据此添加条件即可．【详解】解：添加ACD ABC ∠=∠，可以使两个三角形相似． ∵CAD BAC ∠=∠，ACD ABC ∠=∠， ∴ACD ABC △∽△．故答案为：ACD ABC ∠=∠（答案不唯一）【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，两组角对应相等的两个三角形相似．理解和掌握三角形相似的判定是解题的关键．13．如图，∠1＝∠2，请补充一个条件：________________，使△ABC ∽△ADE ．【解答】∠C ＝∠E 或∠B ＝∠ADE(答案不唯一）【提示】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定．【详解】∵∠1＝∠2 ∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2 ∴∠BAC ＝∠DAE又∵∠C ＝∠E （或∠B ＝∠ADE ） ∴△ABC ∽△ADE ．故答案为：∠C ＝∠E 或∠B ＝∠ADE （答案不唯一）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的几个判定定理是关键． 14．如图，在ABC 中，点D 为边AC 上的一点，选择下列条件：①2A ∠=∠；②1CBA ∠=∠；③BC CDAC AB =；④BC CD DB AC BC AB ==中的一个，不能得出ABC 和BCD △相似的是：__________（填序号）．【解答】③【提示】根据相似三角形的判定定理可得结论．【详解】解：①2A ∠=∠，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故①不符合题意； ②1CBA ∠=∠，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故②不符合题意； ③BC CDAC AB =，C C ∠=∠时，不能推出ABC BDC ∆∆∽，故③符合题意； ④BC CD DBAC BC AB ==，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故④不符合题意，故答案为：③【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似．15．如图，在ABC 中，DE BC ∥，DE 分别交AB 、AC 于点D 、E ，DC 、BE 交于点O ，则相似三角形有______．【解答】ADE∽ABC，DOE∽COB△【提示】根据DE BC∥，找出相等的角，进而得到相似三角形.【详解】解：∵DE BC∥，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴ADE∽ABC，∵DE BC∥，∴∠EDO＝∠BCO，∠DEO＝∠CBO，∴DOE∽COB△，故答案为ADE∽ABC，DOE∽COB△.【点睛】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.16．如图，在△ABC中，AB=10，AC=5，AD是角平分线，CE是高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，若DF=83，则线段CE的长是______．【解答】4【提示】延长AC，作DG⊥AC，根据根据角平分线的性质得到FD=GD，再根据三角形的面积公式即可求解.【详解】解：延长AC，作DG⊥AC，∵AD平方∠BAC，∴FD=DG，∴S△ABC= S△ABD+ S△ADC=12AB FD⨯⨯+12AC GD⨯⨯=12AB EC⨯⨯即111105883310222EC⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯ 解得EC=4.【点睛】本题考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等与三角形的面积公式. 17．如图，在ABC 中，8AB cm =，16BC cm =，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2/cm s ；动点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4/cm s ；如果P 、Q 两动点同时运动，那么经过______秒时QBP △与ABC 相似．【解答】0.8或2##2或0.8【提示】设经过t 秒时，QBP △与ABC 相似，则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：BP BQBA BC =时，BPQ BAC ∽，即824816t t -=；当BP BQ BCBA =时，BPQ BCA △∽△，即824168t t -=，然后解方程即可求出答案．【详解】解：设经过t 秒时，QBP △与ABC 相似，则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =, ∵PBQ ABC ∠=∠，∴当BP BQBA BC =时，BPQ BAC ∽，即824816t t -=，解得：2t =；当BP BQ BC BA =时，BPQ BCA △∽△，即824168t t-=，解得：0.8t =；综上所述：经过0.8s 或2s 秒时，QBP △与ABC 相似，【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．18．如图，正方形ABCD 的边长为2，连接BD ，点P 是线段AD 延长线上的一个动点，45PBQ ∠=︒，点Q 是BQ 与线段CD 延长线的交点，当BD 平分PBQ ∠时，PD ______QD （填“>”“<”或“=”）：当BD 不平分PBQ ∠时，PD QD ⋅=__________.【解答】 = 8【提示】①先证明△ABP ≌△CBQ,再证明△QBD ≌△PBD,即可得出PD=QD;②证明△BQD ∽△PBD,即可利用对应边成比例求得PD·QD. 【详解】解:①当BD 平分∠PBQ 时， ∠PBQ=45°，∴∠QBD=∠PBD=22.5°， ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠A=∠C=90°，∠ABD=∠CBD=45°, ∴∠ABP=∠CBQ=22.5°+45°=67.5°，在△ABP 和△CBQ 中，A C AB BCABP CBQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABP ≌△CBQ （ASA ）, ∴BP=BQ ，在△QBD 和△PBD 中，BQ BP QBD PBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBD ≌△PBD （SAS ）, ∴PD=QD;②当BD 不平分∠PBQ 时， ∵AB ∥CQ ， ∴∠ABQ=∠CQB ，∵∠QBD+∠DBP=∠QBD+∠ABQ=45°， ∴∠DBP=∠ABQ=∠CQB ，∵∠BDQ=∠ADQ+∠ADB=90°+45°=135°,∠BDP=∠CDP+∠BDC=90°+45°=135°, ∴∠BDQ=∠BDP, ∴△BQD ∽△PBD ，∴BD QDPD BD =,∴PD·QD=BD2=22+22=8，故答案为:=，8.【点睛】本题考查三角形的全等和相似,关键在于熟悉基础知识,利用条件找到对应三角形.三、解答题19．已知：D 、E 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，AB ＝8，AD ＝3，AC ＝6，AE ＝4，求证：△ABC ∽△AED ．【解答】见解析【提示】根据已知线段长度求出AB ACAE AD =，再根据∠A=∠A 推出相似即可．【详解】证明：在△ABC 和△AED 中， ∵824AB AE ==，623AC AD ==，∴AB ACAE AD =，又∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△AED ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：有两边的对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．20．已知：在△ABC 和△A′B′C′中， AB BC ACA B B C A C '''='''=．求证：△ABC ∽△A′B′C′．【解答】证明见解析【提示】先在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′，然后证明△ABC ∽△ADE ，再△ADE ≌△A′B′C′即可．【详解】在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD=A′B′，AE=A′C′，连接DE ． ∵AB ACA B A C =''''，AD=A′B′，AE=A′C′， ∴AB ACAD AE = 而∠BAC=∠DAE ，∴△ABC ∽△ADE （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． ∴AB BCAD DE = 又AB BCA B B C =''''，AD= A′B′， ∴ AB BCAD B C ='' ∴BC BCDE B C =''∴DE=B′C′，∴△ADE ≌△A′B′C′， ∴△ABC ∽△A′B′C′．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的两个三角形相似，灵活运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，全等三角形的判定是解决本题的关键． 21．已知：如图，在ABC 和A B C '''中，,A A B B ∠=∠∠=∠''．求证：ABC A B C '''∽△△．【解答】见解析【提示】在ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD A B =''，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F ，容易得到ADE ABC △△∽，然后证明ADE A B C '''≌，从而即可得到ABC A B C '''∽△△．【详解】证明：在ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD A B =''，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，则,ADE B AED C ∠=∠∠=∠，AD AEAB AC =（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）．过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F ，则AD CFAB CB =（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）． ∴AE CFAC CB =． ∵//,//DE BC DF AC ， ∴四边形DFCE 是平行四边形． ∴DE CF =．∴AEDEAC CB =． ∴ADAE DEAB AC BC ==．而,,ADE B DAE BAC AED C ∠=∠∠=∠∠=∠， ∴ADE ABC △△∽．∵,,A A ADE B B AD A B ∠=∠∠=∠=∠=''''， ∴ADE A B C '''≌． ∴ABC A B C '''∽△△．【点睛】本题是教材上相似三角形的判定定理的证明，熟读教材是解题的关键． 22．如图，Rt ABC 中，CD 是斜边AB 上的高．求证：（1）ACD ABC △∽△；（2）CBD ABC ∽△△．【解答】（1）见解析；（2）见解析【提示】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．【详解】证明：（1）∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠ADC ＝90°，∴∠ADC ＝∠ACB ＝90°， ∵∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC ．（2）∵CD 是斜边AB 上的高， ∴∠BDC ＝90°，∴∠BDC ＝∠ACB ＝90°， ∵∠B ＝∠B ， ∴△CBD ∽△ABC ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理；熟记有两组角对应相等的两个三角形相似是解决问题的关键．23．如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠ABC ＝∠DBE ，∠3＝∠4．求证：（1）△ABD ∽△CBE ；（2）△ABC ∽△DBE ．【解答】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【提示】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△CBE；（2）先利用得到∠1=∠2得到∠ABC=∠DBE，再利用△ABD∽△CBE得AB BDBC BE=, 根据比例的性质得到AB BCBD BE=, 然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ABC与△DBE相似．【详解】（1）相似．理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4．∴△ABD∽△CBE；（2）相似．理由如下：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DBC=∠2+DBC，即∠ABC=∠DBE，∵△ABD∽△CBE，∴=，∴=，∴△ABC∽△DBE．【点睛】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题关键．24．已知如图所示，AF⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是F、E，试证明：（1）△BAF∽△BCE．（2）△BEF∽△BCA．【解答】（1）答案见解析；（2）答案见解析【提示】（1）根据两角相等，两个三角形相似即可得出结论；（2）根据（1）得到△BAF ∽△BCE ，再由相似三角形的对应边成比例，得到BF ：BE=BA ：BC ，由两边对应成比例，夹角相等两个三角形相似，即可得出结论．【详解】（1）∵AF ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴∠AFB=∠CEB=90°． ∵∠B=∠B ，∴△BAF ∽△BCE ；（2）∵△BAF ∽△BCE ，∴BF ：BE=BA ：BC ． ∵∠B=∠B ，∴△BEF ∽△BCA ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB BC ACAD DE AE ==，点B 、D 、E 在一条直线上，求证：△ABD ∽△ACE ．【解答】证明见解析；【提示】根据三边对应成比例的两个三角形相似可判定△ABC ∽△ADE ，根据相似三角形的性质可得∠BAC=∠DAE ，即可得∠BAD=∠CAE ，再由AB AC AD AE =可得AB ADAC AE =，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定△ABD ∽△ACE ．【详解】∵在△ABC 和△ADE 中，AB BC ACAD DE AE ==, ∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC=∠DAE ， ∴∠BAD=∠CAE ， ∵AB ACAD AE =， ∴AB ADAC AE =， ∴△ABD ∽△ACE ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定方法是解决本题的关键． 26．如图，△ABC 与 △ADE 中，∠ACB=∠AED=90°，连接BD 、CE ，∠EAC=∠DAB.（1）求证：△ABC ∽△ADE ；（2）求证：△BAD ∽△CAE ；（3）已知BC=4，AC=3，AE=32．将△AED 绕点A 旋转，当点E 落在线段CD 上时，求 BD 的长．【解答】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）BD=53．【提示】（1）由已知可得∠CAB=∠EAD ，∠ACB=∠AED=90°，则结论得证；（2）由（1）知AC AEAB AD ＝，∠EAC=∠DAB ，则结论得证；（3）先证△ABC ∽△ADE ，求出AE 、AD 的长，则BD 可求．【详解】证明：（1）∵∠EAC=∠DAB ， ∴∠CAB=∠EAD ， ∵∠ACB=∠AED=90°， ∴△ABC ∽△ADE ；（2）由（1）知△ABC ∽△ADE ， ∴AC AEAB AD ＝， ∵∠EAC=∠BAD ， ∴△BAD ∽△CAE ；（3）∵∠ACB=90°，BC=4，AC=3，∴2222=43BC AC ++，∵△ABC ∽△ADE ， ∴AC AB AE AD ＝， ∴AD=5=•2AB AE AC ，如图，将△AED 绕点A 旋转，当点E 落在线段CD 上时，∠AEC=∠ADB=90°，∴222255=()=3225AB AD--【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．。

相似三角形的判定与性质知识梳理及例题分析

相似三角形的判定与性质知识梳理及例题分析1．相似三角形的概念：在和中，如果，，，，我们就说和相似，记作∽，就是它们的相似比(注意：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上).思考：在中,点是边的中点,，交于点，与有什么关系？猜想：与相似. 证明：在与中，∴，.过点作，交于点在中，，，∴.又，∴∴，∴∽(对应角相等，对应边的比相等的两三角形相似)，相似比为.改变点在上的位置，可以进一步猜想以上两个三角形依然相似.2．相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.小结：判定三角形相似的方法：(1)相似三角形的定义；(2)由平行线得相似.思考：对比三角形全等判定的简单方法()，看是否也有简便的方法？已知：在和中，.求证：∽.证明：在线段(或它的延长线)上截取，过点作，交于点，根据前面的结论可得∽.∴又，∴∴同理：∴≌∴∽相似三角形的判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.思考：若，，与是否相似呢？相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.进一步引申：若，，与是否相似呢？不一定问：全等中的边边角不能用，那么边边角也不能证相似，反例同全等.例1.根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由：(1)，，；，，.(2)，，；，，.解：(1)，∴又∴∽问：这两个相似三角形的相似比是多少？(答：是)(2)，，∴与的三组对应边的比不等，它们不相似.问：要使两三角形相似，不改变的长，的长应当改为多少？(答：) 例2.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？注：此题没说2与哪条边是对应边，所以要进行分类讨论.可以是：，3；或，；或，.注：当两三角形相似而边不确定时，要注意分类讨论.相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等的，那么这两个三角形相似.简单说成：两角对应相等，两三角形相似.3．三角形相似的判定的应用例3.如图，弦和弦相交于内一点，求证：.证明：连接，.在∴∽∴.例4.已知：如图，在中，于点.(1)求证：∽∽；(2)求证：；；(此结论称之为射影定理)(3)若，求.(4)若，求.分析：(1)利用两角相等证相似；(2)把相似三角形的相似比的比例式改为乘积式即可；(3)利用射影定理和勾股定理直接求；(4)利用上面的定理和方程求.进一步引申：在中，于点，这个条件可以放在圆当中，是直径，是圆上任意一点，于点，则可得到双垂直图形.例.已知：∽，分别是两个三角形的角平分线.求证：.4．相似三角形的性质(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，都等于相似比.(2)相似三角形对应高的比，对应角的平分线的比，对应中线的比都等于相似比.(3)相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比.证明：如果∽，相似比为，那么.因此，，.从而，.同理可得相似多边形对应周长的比也等于相似比.如图，已知：∽，相似比为.分别作出与的高和和都是直角三角形，并且，∽相似多边形面积的比等于相似比的平方.对于两个相似多边形，可以把他们分成若干个相似三角形证明.例5.如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.解：在和中，，又∽，相似比为.的周长为，的面积是.例6.已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点.(1)如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：△CAO∽△BCO；(2)如果AP=m(m是常数，且)，BP=1，OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上运动时，求的值(结果用含m的式子表示)；(3)在(2)的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围.分析：此题第1问：利用两边的比相等，夹角相等证相似.即，第2问：设∵是的比例中项，∴是的比例中项即∴解得又∵第3问：∵，，即当时，两圆内切；当时，两圆内含；当时，两圆相交.例7.如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.(3)在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？要不存在，请说明理由；若存在，请求出的长.解：(1)，∽(2)∵的周长与四边形的周长相等∽(3)在线段上存在点，使得为等腰直角三角形.过作于，则，设交于若，则.∵∽若，同理可求.若，∽∴在线段上存在点，使得为等腰直角三角形，此时，或.三、总结归纳：1、相似三角形的判定：(1)相似三角形的定义；(2)平行得相似；(3)三边的比相等；(4)两边的比相等，夹角相等；(5)两角对应相等.三角形相似判定的方法较多，要根据已知条件适当选择.23、相似三角形的常见图形及其变换：4、证明四条线段成比例的常用方法：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系证明题常用方法归纳：(1)通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.(2)若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.(3)若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.。

相似三角形”A“字模型(含详细答案解析)~经典

教师辅导教案授课日期：年月日授课课时：课时ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）． 4．相似三角形周长的比等于相似比． ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C++====''''''''''''++． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．二、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．三、相似证明中的基本模型A 字形图①A 字型，DE//BC ;结论：AD AE DEAB AC BC==，【例1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（）已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，DF ∥AC ，求证：△ADE∽△DBF．证明：①又∵DF∥AC，②∵DE∥BC，③∴∠A=∠BDF，④∴∠ADE=∠B，∴△ADE∽△DBF．A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①【解答】证明：②∵DE∥BC，④∴∠ADE=∠B，①又∵DF∥AC，③∴∠A=∠BDF，∴△ADE∽△DBF．故选：B．【练1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t=秒时，△CPQ与△ABC相似．【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以，，即，解得t=4.8；CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以，，即，解得t=．时，△CPQ与△CBA相似．．图②反A字型，∠ADE=∠ B或∠1=∠B结论：AE AD DE==AC AB BC【例2】如同，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．=B．=C．∠ADE=∠C D．∠AED=∠B【解答】解：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；当=即=时，△ABC∽△AED．故选：A．【例3】如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当∠ACP=∠ B 时，△APC与△ABC是否相似；当AC、AP、AB满足时，△ACP与△ABC相似．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，∴△ACP∽△ABC；∵，∠A=∠A，∴△ACP与△ABC；故答案为：B；．【练习1】如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当∠ADE=∠B 时，△ADE∽△ABC．其中D、E分别对应B、C．（填一个条件）．【解答】解：当∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠CAB，相似三角形全章节教案和练习比例线段一，线段的比定义：在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。

第二讲相似三角形的性质和判定

第二讲相似三角形的性质和判定知识点1：相似三角形及性质1、相似三角形：如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似．① 相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；② 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；③ 相似三角形的面积的比等于相似比的平方．【全等是特殊的相似】2、平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；【基本图形“A”型和“X”型】例1：如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（）A．28°B．32°C．42°D．52°例2：如图，△ABC∽△ADE，且∠ADE=∠B，则下列比例式正确的是（）A．B．C．D．例3：下列命题中，是假命题的是（）A．全等三角形的对应边相等B．两角和一边分别对应相等的两个三角形全等C．对应角相等的两个三角形全等D．相似三角形的面积比等于相似比的平方例4：如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC、DE把它分成的四部分的面积分别为SS3S4，下面结论：1S2①只有一对相似三角形②EF：ED=1：2③S1：S2：S3：S4=1：2：4：5其中正确的结论是（）A．①③B．③C．①D．①②练习：1．下列各组图形有可能不相似的是（）A．各有一个角是50°的两个等腰三角形B．各有一个角是100°的两个等腰三角形C．各有一个角是50°的两个直角三角形D．两个等腰直角三角形2．若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（）A．30°B．50°C．40°D．70°4A．1：2B．2：1C．1：4D．4：16．把△ABC的各边分别扩大为原来的2倍，得到△A1B1C1，下列结论不能成立的是（）A．△ABC∽△A1B1C1B．△ABC与△A1B1C1的各对应角相等C．△ABC与△A1B1C1的相似比为D．△ABC与△A1B1C1的相似比为知识点2: 相似三角形的判定1、两个角对应相等的两个三角形相似；2、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；3、三条边对应成比例的两个三角形相似；直角边和斜边对应成比例的两个三角形相似；例1：如图，E为▱ABCD的DC边延长线上一点，连AE，交BC于点F，则图中与△ABF相似的三角形共有个．例2：如图，菱形ABCD中，点M、N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB．若NF=4，NM=8，ME=8，则AN 等于（）A．6B．8C．10D．12例3：如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）∠C=∠AED B．C．∠B=∠D D．A．例4：在△ABC中，AB=9，AC=6．点M在边AB上，且AM=3，点N在AC边上．当AN=时，△AMN与原三角形相似．练习：1．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．3．已知△ABC如图所示．则与△ABC相似的是下列图中的（）A．B．C．D．4．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△DEA相似，还需满足下列条件中的（）6．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论不正确的是（）A．BC=2DE B．△ADE∽△ABC C．=D．S△ABC=3S△ADE7．如同，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．=B．=C．∠ADE=∠C D．∠AED=∠B8．如图，已知△ABC，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（）A．∠ACP=∠B B．∠APC=∠ACB C．D．9．如图，将长为2.5米长的梯子AB斜靠在墙上，BE长0.7米．（1）求梯子上端到墙的底端E的距离（即AE的长）；（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米（即AC=0.4米），则梯脚B将外移（即BD长）多少米？10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D，E在AB边上，F，G分别在BC和AC上．（1）证明：△ADG∽△FEB．（2）若AD=4，BE=2，求：正方形DEFG的边长．11．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．（1）求证：△ABD∽△CBE；（2）若BD=3，BE=2，求AC的值．12．如图，在△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的两点，且AD•AB=AE•AC．求证：DE⊥AB．13．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．知识点4：射影定理射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

初三相似三角形知识点以及经典例题

相似三角形知识点以及典例知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）在四条线段,,,a b c d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，那么这四条线段,,,a b c d 叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b = ②在比例式(::)a ca b c d b d==中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项,如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有2b ad =。

知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1）基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=等。

（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c dcb d ba dbc a⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b db d a c=⇔=．（4）合、分比性质：a c a b c db d b d±±=⇔=．典型例题：例题1：已知线段a ＝6 cm ，b ＝2 cm ，则a 、b 、a ＋b 的第四比例项是________cm ，a ＋b 与a －b 的比例中项是_________cm ．例题2：若c b a +＝a c b +＝bca +＝－m 2，则m ＝______．知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.(相似)2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 知识点5 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1)相似三角形的等价关系：①反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．②对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．③传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆ (2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：BC DE // ， ∴ ADE ∆∽ABC ∆．知识点7 三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．（射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

相似三角形判定典型例题PPT课件

AC AB CD AC
AC2
AB
32
CD
A
2
6
D
∟
B
C
AB 3或3 2
如图 :∠ABC=∠CDB=90°,
AC=b, BC=a,
a2
当BD= b
或a
b2 b
a2
时
，
△ABAC与△CDbB相似C.
a
BD
如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，
BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，
A
D
⑵当t=5时，求的S值
G
P
B ECQ 3 4
Rl
⑵如图，当t=5时，CR=3,设PR与DC交于点G
∵PE∥DC
∴ ⊿RCG∽ ⊿REP
同理，得 S ⊿RGC = 27/8 （cm2） ∴S = S⊿RPQ－ S ⊿RGC
=1/2 ×8 ×3 －27/8 =69/8 （cm2）
A
D ⑶当5s≤t ≤ 8s时，求S
C
C
E
E
A
D BA
DB
6.如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC= ，AD＝6 2。问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？
A
D
∟
B
C
记得分类哟！
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有
AC AB AD AC
AC 2
AB
3
AD
（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有
复习课
1.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结CP．满足什么条件时△ ACP∽△ABC?
解:⑴∵∠A= ∠A，∴当∠1= ∠ACB

相似三角形的性质及应用(解析版)

4.5相似三角形的性质及应用一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABCA B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 二、三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段.OEFDABC即12OD OE OF OA OB OC === . 要点：H OEFDAB C过点E 作EH ∥BC 交AD 于H ，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2EH ，从而得到BD=2EH ，再根据△BDO 和△EHO 相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证1=2OE HE OB BD ，同理其他比例也可以得到．三、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC 、BD 、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB 的长.2．如乙图所示，可先测AC 、DC 及DE 的长，再根据相似三角形的性质计算AB 的长.要点：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．一、单选题1．两三角形的相似比是2：3，则其对应角的角平分线之比是（） A ．2:3 B ．2：3 C ．4：9 D ．8：27 【解答】B【提示】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可．【详解】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴相似三角形对应角平分线的比是2：3，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角平分线的比，对应高的比，对应中线的比都等于相似比的性质．2．已知ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2，若BC 边上的中线长为1，则EF 边上的中线长是（） A ．2 B ．2 C ．3D ．4【解答】A【提示】由ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2可知：相似比为1:2，则对应中线的比为1:2，即可求出答案．【详解】∵ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2 ∴相似比为1:2 ∴其对应中线的比为1:2 ∵BC 边上的中线长为1 ∴EF 边上的中线长是2 故选：A【点睛】本题主要考查了相似三角形的相似比的相关知识点，熟练掌握相似三角形面积比、相似比、对应边的高线、中线的比的关系是解题的关键，属于基础知识题．3．如图点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（）．A ．AD DEAB BC =； B ．AD AE AC AB =；C ．AD AB DE BC ⋅=⋅； D ．AD AC AB AE ⋅=⋅．【解答】D【提示】根据选项选出能推出ADE ABC ∆∆∽，推出D B ∠=∠或E C ∠=∠的即可判断．【详解】解：A 、∵AD DEAB BC =，EAD BAC ∠=∠，不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理. 无法判断ADE ∆与ABC ∆相似，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；B 、AD AE AC AB =EAD BAC ∠=∠， ADE ACB ∴∆∆∽，E B ∴∠=∠，D C ∠=∠，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；C 、由AD AB DE BC ⋅=⋅可知AB DEBC AD =，不能推出DAE BAC ∆∆∽，即不能推出D B ∠=∠，即不能推出两直线平行，故本选项错误；D 、∵AD AC AB AE ⋅=⋅，AD AEAB AC ∴=，EAD BAC ∠=∠， DAE BAC ∴∆∆∽，D B ∴∠=∠，//DE BC ∴，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似． 4．已知ABC 与DEF 相似，且A D ∠=∠，那么下列结论中，一定成立的是（） A ．B E ∠=∠ B ．AB ACDE DF =C ．相似比为AB DED ．相似比为BCEF【解答】D【提示】根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论．【详解】解：∵B 可以与E 对应，也可以与F 对应，∴∠B=∠E 或∠B=∠F ，A 不一定成立；同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴AB AC DE DF =或AB ACDF DE =，B 不一定成立；同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴相似比可能是AB DE ，也可能是ABDF ，C 不一定成立；∵∠A=∠D ，即∠A 与∠D 是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC 与EF 是对应比，∴相似比为BCEF ，∴D 一定成立，故选D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的． 5．如图，小明站在 C 处看甲、乙两楼楼顶上的点 A 和点 E ．C ，E ，A 三点在同一直线上，B ，C 相距 20 米，D ，C 相距 40 米，乙楼的高 BE 为 15 米，小明的身高忽略不计，则甲楼的高 AD 为（）A ．40 米B ．20 米C ．15 米D ．30 米【解答】D【提示】证明ADC EBC ∽△△，利用相似三角形的性质解答即可．【详解】解：由题意可知：90ADC ∠=︒，90EBC ∠=︒，C ∠是公共角，∴ADC EBC ∽△△， ∴AD DCEB BC =， ∵20m BC =，40m DC =，15m BE =， ∴40=15=30m 20DC AD EB BC =⨯⨯．故选：D【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及性质． 6．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥垂足为D ，那么下列结论错误的是（）A ．22AC BD BC AD ⋅=⋅B ．22BC BD CD AB ⋅=⋅C ．AD BC AC CD ⋅=⋅ D ．CD BC AC BD ⋅=⋅ 【解答】B【提示】根据直角三角形的性质与相似三角形的判定可知△ADC ∽△CDB ∽△ACB ，利用相似三角形的对应线段成比例即可求解. 【详解】∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ， ∴△ADC ∽△CDB ∽△ACB ∴AC2=AD·AB ，BC2=BD·AB ，故22AC BD BC AD ⋅=⋅，A 正确，B 错误；∵△ADC ∽△CDB∴AD AC CDCD BC BD == ∴AD BC AC CD ⋅=⋅，CD BC AC BD ⋅=⋅,C,D 选项正确；故选B.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质及相似三角形的判定.7．如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE=CF=14AC ．连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则ADG BGHS S △△的值为（）A ．12B ．23C ．34D ．1【解答】C【提示】首先证明AG ：AB=CH ：BC=1：3，推出GH ∥AC ，推出△BGH ∽△BAC ，可得223924ADC BAC BGHBGHS S BA SSBG （）（）====,13ADG ADCSS=，由此即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ，DC=AB ， ∵AC=CA ， ∴△ADC ≌△CBA ， ∴S △ADC=S △ABC ，∵AE=CF=14AC ，AG ∥CD ，CH ∥AD ，∴AG ：DC=AE ：CE=1：3，CH ：AD=CF ：AF=1：3， ∴AG ：AB=CH ：BC=1：3， ∴GH ∥AC ， ∴△BGH ∽△BAC ， ∴223924ADC BAC BGHBGHS S BA S SBG （）（）====，∵13ADG ADCS S=，∴913434ADG BGHS S=⨯=.故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．8．如图，在正方形ABCD 中，ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ，联结AC 、CP 、AC 与BF 相交于点H ，下列结论中错误的是（）A ．AE=2DEB ．CFP APHC ．CFP APCD ．2CP PH PB =⋅【解答】C【提示】A.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题． B.根据两角相等两个三角形相似即可判断．C.通过计算证明∠DPB≠∠DPF ，即可判断．D.利用相似三角形的性质即可证明．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D=∠DAB=90°， ∵△ABP 是等边三角形， ∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°， ∴∠DAE=30°， ∴AE=2DE ，故A 正确; ∵AB ∥CD ，∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°，又∵BC=BP ，∠PBC=30°， ∴∠BPC=∠BCP=75°， ∴∠CPF=105°，∴∠PHA=∠CPF ，又易得∠APB=∠CFP=60°， ∴△CFP ∽△APH ，故B 正确; ∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠DPF ， ∴△PFC 与△PCA 不相似，故C 错误; ∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°， ∴∠PCH=∠PBC ， ∵∠CPH=∠BPC ， ∴△PCH ∽△PBC ，∴PC PHPB PC =,∴PC2=PH•PB ，故D 正确，故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图所示，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点，且//DE AC ，AE 、CD 相交于点O ．若45::2DOE COA S S ∆∆=，则BDES ∆与CDE S ∆的比是（）A ．1：2B ．1： 3C ．2：3D ．2：5 【解答】C【提示】利用相似三角形的性质解决问题即可．【详解】解：∵//DE AC ， ∴DEO CAO ∆∆∽， ∵45::2DOE COA S S ∆∆=，∴2425DE AC ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴25DE AC =， ∵//DE AC ， ∴25BE DE BC AC ==， ∴23BE EC =，∴BDES ∆与CDE S ∆的比2:3=，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．10．如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点,,C D E 在同一条直线上，顶点, ,B C G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，EGC ∠的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH 交EC 于点N ．则BCCG 的值为（）A ．31-B ．3C ．21-D ．2【解答】C【详解】∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，,,BC DC CE CG BCE DCG ∴==∠=∠．在BCE和DCG △中，,,(),,BC DC BCE DCG BCE DCG SAS BEC BGH CE CG =⎧⎪∠=∠∴∴∠=∠⎨⎪=⎩≌．90BGH CDG ∠+∠=︒，,90CDG HDE BEC HDE ∠=∠∴∠+∠=︒．GH BE ∴⊥．GH 平分,EGC BGH EGH ∠∴∠=∠．()BGH EGH ASA ∴≌．BH EH ∴=．又O 是EG 的中点，//HO BG ∴．D C DHN G ∴∽△△．DN HN DC CG ∴=．设HN a =，正方形ECGF 的边长是2b ，则2BC a =，22,,22b a aCD a NC b a b -==∴=，即2220a ab b +-=，解得(12)a b =-+或(12)a b =--（舍去），则221,212a BCb CG =-∴=-．二、填空题11．若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为 _________．【解答】3：5【提示】根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比即可得出答案．【详解】∵两个相似三角形的面积比是9：25 ∴两个相似三角形的相似比是3：5 ∴对应边上的中线的比为3：5 故答案为：3：5．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 12．如图，△ABC ∽△CBD ，AB=9，BD=25，则BC=______．【解答】15【提示】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可求解．【详解】解：∵△ABC ∽△CBD ，∴AB CBCB BD =，即2BC AB BD =⨯， AB=9，BD=25，2292522515BC AB BD ∴=⨯=⨯==，15BC =∴，故答案为：15【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键． 13．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为_________．【解答】8【提示】首先设与它相似的三角形的最短边的长为x ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案．【详解】解：设与它相似的三角形的最短边的长为x ，则 2624x =，∴8x =；∴三角形的最短边为8．故答案为：8．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．14．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE ，过点E 作EF AE ⊥交DC 于点F ．若4AB =，6BC =，则DF 的长为______．【解答】74【提示】结合矩形的性质证明BAECEF ∆∆可求得CF 的长，再利用DF CD DF =-可求解．【详解】解：四边形ABCD 为矩形，90B C ∴∠=∠=︒，4CD AB ==，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，EF AE⊥，90AEF∴∠=︒，90AEB CEF∴∠+∠=︒，BAE CEF∴∠=∠，BAE CEF∴∆∆，::AB CE BE CF∴=，E是BC的中点，6BC=，3BE CE∴==，4AB=，4:33:CF∴=，解得94CF=，97444DF CD DF∴=-=-=．故选：7 4．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明BAE CEF∆∆是解题的关键．15．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_____cm．【解答】32【提示】首先根据题意画出图形，然后根据△APM∽△BPN有AP AMBP BN=，然后再利用动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1和8BN≥即可求出AM的最小值．【详解】解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；∴△APM∽△BPN；∴APBP＝AMBN，∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，∴AMBN＝41，即AM＝4BN；∴当BN≥8cm时，AM≥32cm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A 向下压32cm ．故答案为：32．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 16．如图，已知,20,60AB BC ACBAD DAE AD DE AE ︒︒==∠=∠=，则DAC ∠的度数为_________．【解答】40°【提示】由AB BC ACAD DE AE ==可判定△ABC ∽△ADE ，得到∠BAC=∠DAE ，再根据20BAD ︒∠=，60DAE ︒∠=，可得出∠DAC 的度数.【详解】解：∵AB BC ACAD DE AE ==， ∴~ABC ADE ， ∴60BAC DAE ︒∠=∠=，又∵20BAD ︒∠=， ∴40DAC ︒∠=．故答案为：40°.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是能根据AB BC ACAD DE AE ==判定出△ABC ∽△ADE.17．如图，已知在ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，1cot 2B =，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为_____．【解答】207【提示】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，由勾股定理可得出AB ，由面积法求出CM ，证明△CGF ∽△CAB ，再根据对应边成比例，即可得出答案．【详解】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，如图所示： ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，1cot B 2=，∴设BC ＝k ，则AC ＝2k ，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k ）2＋k2，解得：k ＝25， ∴BC ＝25，AC ＝45， ∴CM ＝AC BC AB ⋅＝452510⨯＝4，∵正方形DEFG 内接于△ABC ， ∴GF ＝EF ＝MN ，GF ∥AB ， ∴△CGF ∽△CAB ，∴CN GF =CM AB ，即4EF EF410-=，解得：EF ＝207；故答案为：207．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 是边AC 上一点，以BE 为斜边往BC 侧作等腰Rt BEF △，连接,CF AF ，若6AB =，四边形ABFC 的面积为12，则AE =_________，AF =_________．【解答】 234【提示】如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，由面积和差关系可求3BCF S ∆=，通过证明ABE CBF ∆∆∽，可得2()ABE BCF S AB S BC∆∆=，可求2EH =，由勾股定理可求AE ，BE ，EF 的长，通过证明BEH EFQ ∆∆∽，可得2BE EH BH EF QF EQ ===，可求22EQ =，2QF =，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，90ACB ∠=︒，AC BC =，2AB BC ∴，=6AB ，32AC BC ∴==四边形ABFC 的面积为12，12ABC BCF S S ∆∆∴+=， 3BCF S ∆∴=，等腰Rt BEF ∆，2BE BF ∴，45EBF∠=︒，=45ABC ∠︒，ABE CBF ∴∠=∠，2AB BE BC FB == ABE CBF ∴∆∆∽，∴2()ABE BCF S AB S BC ∆∆=， 326ABE S ∆∴=⨯=，∴162AB EH ⨯=，2EH ∴=，45CAB ∠=︒，EH AB ⊥，45CAB AEH ∴∠=∠=︒，2AH EH ∴==，222AE EH ==，4BH ∴=，2CE =，2221825BE CE BC ∴=+=+=，10EF ∴=，180AEH BEH FEB QEF ∠+∠+∠+∠=︒， 90BEH FEQ ∴∠+∠=︒，且90BEH EBH ∠+∠=︒EBH QEF ∴∠=∠，且90Q BHE ∠=∠=︒，BEH EFQ ∴∆∆∽， ∴2BE EH BHEF QF EQ ===， 22EQ ∴=，2QF =， 42AQ ∴=，2232234AF AQ QF ∴=+=+=，故答案为：22，34．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求出EH 的长是本题的关键．三、解答题19．如图，在ABP 中，C ，D 分别是,AP BP 上的点．若4,5,6,3CD CP DP AC BD =====．(1)求证：ABP DCP ∽△△； (2)求AB 的长．【解答】(1)见解析(2)AB＝8【提示】（1）△ABP与△DCP有公共角，分别计算PDPC与APBP的值，得到PD PCPA PB=，根据相似三角形的判定定理得出结论；（2）运用相似三角形的性质计算即可．（1）证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝6，BD＝3，∴AP＝AC+CP＝6+4＝10，BP＝BD+DP＝3+5＝8，∴54PDPC=，10584APBP==，∴PD APPC BP=，即PD PCPA PB=，∵∠DPC＝∠APB，∴△ABP∽△DCP；（2）解：∵△ABP∽△DCP，∴AB PBCD PC=，即844AB=，∴AB＝8．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题．解决问题的关键是掌握：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．20．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．(1)求证：△AEF∽△CBF；(2)若BE⊥AC，求AE：ED．【解答】(1)见解析(2)1：3【提示】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE=12x，则DE=32x，从而可计算出AE：DE．（1）解：证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，∵BE⊥AC，∴∠AFB=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABF=∠ACB，∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA，∴△ABE∽△BCA，∴AE ABAB BC=，即2AE xx x=，∴AE=12x，∴DE=AD-AE=32x，∴AE：DE=13:22x x=1：3．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．21．如图，为了测量平静的河面的宽度EP，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM PN=，两岸均高出水平面0.75米，即0.75DE FP==米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直与河面EP，求河宽EP是多少米？【解答】河宽为12米【提示】连接DF ，根据题意可得出四边形DEPF 为矩形，由ADB NDF ∽△△可求得DF ，便可解决问题．【详解】解：如图，连接DF ，∵点B 、D 、F 共线，DE 、MF 均垂直与河面EP ，且0.75DE FP ==， 4.5MF =， ∴四边形DEPF 为矩形， ∴DF EP =，∴ 4.50.75 5.25PN FM FP =+=+=， ∴ 5.250.756FN PN FP =+=+=， ∵AB 、DE 、MF 均垂直与河面EP ， ∴90ABD NFD ∠=∠=︒， ∵ADB NDF ∠=∠， ∴ADB NDF ∽△△； ∴AB NFBD DF =， ∵ 1.6AB =， 3.2BD =， ∴1.663.2DF =，∴12DF =， ∴12EP =（米）．答：河宽EP 是12米．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的判定和性质等知识．关键是构造和证明三角形相似．22．如图，已知AD ，BC 相交于点E ，且△AEB ∽△DEC ，CD ＝2AB ，延长DC 到点G ，使CG ＝12CD ，连接AG ．(1)求证：四边形ABCG 是平行四边形；(2)若∠GAD ＝90°，AE ＝2，CG ＝3，求AG 的长．【解答】(1)证明见解析； (2)35AG =【提示】（1）根据相似三角形的性质可得AB ∥CD ，再由CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，可得AB ＝CG ，即可证明；（2）由平行四边形的性质可得AG ∥BC ，可得∠AEB ＝90°，再由CG ＝3可得AB ＝3，利用勾股定理可得BE ，再由相似三角形的性质可得CE ，从而得出BC ，即可求解．（1）证明：∵△AEB ∽△DEC ， ∴∠B ＝∠BCD ， ∴AB ∥CD ，即AB ∥CG ，∵CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，∴AB ＝CG ，∴四边形ABCG 是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCG 是平行四边形，AE ＝2，CG ＝3， ∴AG ∥BC ，AG ＝BC ，AB ＝CG ＝3， ∵∠GAD ＝90°， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，由勾股定理可得：BE 22AB AE -即BE ＝22325-=，∵△AEB ∽△DEC ， ∴12BE AB CE CD ==， ∴CE ＝25，∴BC ＝BE+CE ＝35， ∴AG ＝BC ＝35．【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质．23．如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点E 是边AC 上一点，且满足ADE B ∠=∠．(1)证明：ADB AED ∆∆；(2)若3AE =，5AD =，求AB 的长．【解答】(1)见解析(2)253【提示】（1）证出∠BAD=∠EAD ．根据相似三角形的判定可得出结论；（2）由相似三角形的性质可得出AD ABAE AD =，则可得出答案．（1）∵AD 是∠BAC 的角平分线， ∴∠BAD=∠EAD ． ∵∠ADE=∠B ， ∴△ADB ∽△AED ．（2）∵△ADB ∽△AED ， ∴AD ABAE AD =，∵AE=3，AD=5， ∴535AB =， ∴253AB =．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．已知：平行四边形ABCD ，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ．求证：2CF GF EF =⋅．【解答】见解析【提示】根据平行四边形的性质得到AD BC ∥，AB CD ∥，得到△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，AB CD ∥，∴△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ∴GF DF CF BF =，CF DFEF BF =， ∴GF CFCF EF =，即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．如图，已知cm,cm,23,36,117AD a AC b BC AC B D ===∠∠=︒=︒，ABC DAC △∽△．（1）求AB 的长；（2）求DC 的长；（3）求BAD ∠的度数．【解答】（1）32cm a ；（2）2cm3b ；（3）153︒【提示】（1）由ABC DAC △∽△，可得：,AB BCAD AC =再代入数据可得答案；（2）由ABC DAC △∽△，可得：,AC BCDC AC =再代入数据可得答案；（3）由ABC DAC △∽△，可得：117,36,BAC D B DAC ∠=∠=︒∠=∠=︒再利用角的和差可得答案；【详解】解：（1）23,,BC AC AD a ==3,2BC AC ∴= ABC DAC △∽△，,AB BCAD AC ∴= 3,2AB a ∴= 3.2AB a ∴=（2） ABC DAC △∽△，,AC BCDC AC ∴= 而3,,2BC AC b AC == 3,2b DC ∴=2.3DC b ∴=（3） ABC DAC △∽△，36,117,B D ∠=︒∠=︒117,36,BAC D B DAC ∴∠=∠=︒∠=∠=︒11736153.BAD BAC DAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键.26．如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点F ．点E 在BD 上，且BAE CAD ∠=∠，AB ACAE AD =．(1)求证：ABC AED ∽△△． (2)若20BAE ∠=︒，求∠CBD 的度数．【解答】(1)证明见解析 (2)20︒【提示】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明．（2）根据（1）中ABC AED ∽△△，得出ADB ACB ∠=∠，再根据对顶角相等，AFD BFC ∠=∠，证得AFD BFC ∽△△，得出CBD CAD BAE ∠=∠=∠，即可求解．（1）∵BAE CAD ∠=∠∴BAE EAF CAD EAF ∠+∠=∠+∠， ∴BAC DAE ∠=∠， AB ACAE AD =，∵在ABC 和AED △中， AB ACAE AD BAC DAE ⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，∴ABC AED ∽△△．（2）∵ABC AED ∽△△， ∴ADB ACB ∠=∠，又∵AFD BFC ∠=∠，对顶角相等，∴AFD BFC ∽△△， ∴CBD CAD ∠=∠，∵BAE CAD ∠=∠，20BAE ∠=︒，∴20CAD ∠=︒，故答案为：20︒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 27．如图，四边形ABCD 为正方形，且E 是边BC 延长线上一点，过点B 作BF ⊥DE 于F 点，交AC 于H 点，交CD 于G 点．(1)求证：△BGC ∽△DGF ； (2)求证：GD AB DF BG ⋅=⋅； (3)若点G 是DC 中点，求GFCE 的值．【解答】(1)见解析 (2)见解析 (3)5GF CE=【提示】（1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到△BGC ∽△DCF ．（2）由第一问的结论可得到相似比，既有DG BC DF BG ⋅=⋅，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论．（3）通过ASA 判定出△BGC ≌△DEC ，进而根据第一问结论可得△BGC ∽△DGF ，然后通过相似比设未知数，赋值CG x =，即可求出GFCE 的值．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴90BCD ADC ∠=∠=︒ ∵BF DE ⊥ ∴90GFD ∠=︒ ∴BCD GFD ∠=∠，又∵BGC DGF ∠=∠， ∴△BGC ∽△DCF ．（2）证明：由（1）知△BGC ∽△DGF ， ∴BG BCDG DF =， ∴DG BC DF BG ⋅=⋅ ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB BC =∴DG AB DF BG ⋅=⋅．（3）解：由（1）知△BCC ∽△DGF ， ∴FDG CBG ∠=∠，在△BGC 与△DEC 中，,{,=,CBG CDE BCG DCE BC CD ∠=∠∠=∠ ∴△BGC ≌△DEC （ASA ） ∴CG EC = ∵G 是CD 中点 ∴CG DG = ∴::GF CE CF DC = ∵△BGC ∽△DGF ∴::GF DG CG BG =在Rt △BGC 中，设CG x =，则2BC x =，BC =∴CG BG =∴GF CE=【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键．28．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上一点（含端点A 、B ），过点B 作BE 垂直于射线CD ，垂足为E ，点F 在射线CD 上，且EF BE =，连接AF 、BF ．（1）求证：ABF CBE ∽；（2）如图2，连接AE ，点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点，连接PM 、MN 、PN ．求PMN ∠的度数及MNPM 的值；（3）在（2）的条件下，若2BC =PMN 面积的最大值．【解答】（1）证明见解析；（2）135PMN ∠=；=2MN PM 3）14 【提示】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可．（2）PMN ∠的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，MNPM 的比值转换为AFCE 的比值即可求得.（3）过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q ，12PMN S MN PQ =△，将相关线段关系转化为CE ，可得关系218PMN S CE =△，观察图象，当2CE BC == 【详解】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，AC BC = ∴2AB BC =,45ABC BAC ∠=∠= ∵BE 垂直于射线CD , ∴90,BEF ∠= 又∵EF BE =∴2FB EB =,45FBE EFB ∠=∠= ∵+ABC ABE ABE FBE ∠∠=∠+∠ 即：ABF CBE ∠=∠又∵2AB BFCB BE == ∴ABF CBE ∽（2）解：∵点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点∴//PM CN ，//MN AF ，11,22PM CE MN AF== ∴MPN CNP ∠=∠,CNM EFA ∠=∠∴+MPN MNP CNP MNP CNM EFA ∠∠=∠+∠=∠=∠ 又∵ABF CBE ∽ ∴90AFB CEB ∠=∠= 又∵45EFB ∠=∴904545EFA AFB BFE ∠=∠-∠=-= ∴+45MPN MNP ∠∠=又∵++180MPN MNP PMN ∠∠∠= ∴18045135PMN ∠=-=又∵12=12AFMN AFPM CECE = 又∵ABF CBE ∽ ∴=2AF AB CE CB = ∴=2MNPM（3）如下图：过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q , 135,PMN ∠=︒ 45,PMQ MPQ ∴∠=︒=∠,PQ ∴= 111221222228216PMNS MN PQ AF PM AF CE AF CE ==⨯⨯==△又∵BC =∴AF =∴221168PMN S CE ==△∴当CE 取得最大值时，PMN 取得最大值， ,BE CE ⊥E ∴在以BC 的中点为圆心，BC 为直径的圆上运动，∴当CE CB ==CE 最大，∴11=2=84S ⨯，【点睛】本题考查的是三角形相似和判定、以及三角形面积最大值的求法，根据题意找见相关的等量是解题关键．。

专题4.1 相似三角形的性质与判定(基础)(解析版)

专题4.1 相似三角形的性质与判定目录比例的性质........................................................................................................................................1成比例线段........................................................................................................................................3平行线分线段成比例........................................................................................................................5平行线分线段成比例（推论）........................................................................................................8平行线分线段成比例（辅助线）..................................................................................................10相似多边形的相关内容..................................................................................................................13相似多边形的计算..........................................................................................................................14相似三角形的判定..........................................................................................................................16相似三角形判定（动点问题）......................................................................................................18相似三角形综合运用......................................................................................................................21相似比与面积和周长的关系..........................................................................................................24图形的位似......................................................................................................................................26图形的位似（坐标轴） (28)比例的性质【例1】下列四组线段中，是成比例线段的一组是( )A ．3，6，4，7B ．5，6，7，8C ．2，4，6，8D ．10，15，8，12【解答】解：A 、3746´¹´Q ，\四条线段不成比例；B 、5867´¹´Q ，\四条线段不成比例；C 、8846´¹´Q ，\四条线段不成比例；D 、1581012´=´Q ，\四条线段成比例；故选：D ．【变式训练1】甲、乙两地相距60千米，在比例尺1:1000000的地图上，图上距离应是( )厘米．A ．6000000B ．600C ．60D ．6【解答】解：60千米6000000=厘米，1600000061000000´=（厘米）．答：图上距离应是6厘米．故选：D ．【变式训练2】下列各组中的四条线段成比例的是( )A ．2cm ，3cm ，4cm ，6cm B ．2cm ，3cm ，4cm ，5cm C ．1cm ，2cm ，3cm ，4cm D ．3cm ，4cm ，6cm ，9cm【解答】解：A 、2634´=´Q ，\四条线段成比例，故符合题意；B 、2543´¹´Q ，\四条线段不成比例，故不符合题意；C 、1423´¹´Q ，\四条线段不成比例，故不符合题意；D 、3946´¹´Q ，\四条线段不成比例，故不符合题意．故选：A ．【变式训练3】已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，其中3a =，0.6b =，2c =，则线段d 的长为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．4【解答】解：a Q 、b 、c 、d 四条线段是成比例的线段，\a cb d=，3a =Q ，0.6b =，2c =，\320.6d=解得：0.4d =．故选：A ．成比例线段ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒¹+++=== :)0(等比性质涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

相似三角形性质完整的题型+答案

相似三角形性质知识精要一、相似三角形的性质1、(定义):相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

2、性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

3、性质定理2:相似三角形的周长比等于相似比。

4、性质定理3:相似三角形的面积比等于相似比的平方。

二、相似三角形的应用例题讲解:例题:地图比例尺为1:2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000__m2。

变式:东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为( )。

A.1:5000000B.1:500000C.1:50000D.1:5000答案：B例题:(1)两个相似三角形的面积之比为9:16，它们的对应高之比为3:4 。

(2)两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9 。

变式:(1)两个相似三角形面积之比是1:3，则他们对应边上的高之比为( )。

(A).1:3 (B) 3:1 (C) 1:3(D) 1:9(2)两个相似三角形的相似比是2:3，面积相差30厘米2，则它们的面积之和是( )。

(A)150厘米2(B) 65厘米2(C) 45厘米2(D) 78厘米2答案：(1) C (2)D。

例题:如图，已知DE//BC，AD:DB=2:3，那么S△ADE:S△ECB= 4:15。

变式:如图，在ABCD 中，AC 与DE 交于点F ，AE:EB=1:2，S △AEF =6cm 2，则S △CDF 的值为( )。

A.12cm 2B.15cm 2C.24cm 2D.54cm 2 答案：D 。

例题:如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，AD:BC=3:5，求:(1)S △AOD :S △BOC 的值； (2)S △AOB :S △AOD 的值。

答案:(1)9:25 (2)5:3。

(word完整版)相似三角形知识点及典型例题(2),推荐文档

相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

（6）判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。

②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ，（3）（AC）2=CD·BC 。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

即（AB）2+（AC）2=（BC）2。

典型例题：例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE 2＝EF·EG证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2，即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CE EF∴EC 2＝EG· EF ，故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。

相似三角形的判定总结+题型分析(带答案)

相似三角形定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似(如正四边形、正五边形等等)；性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。

相似比为k。

判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．直角三角形相似判定定理:1)斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA(在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用).补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

ABCDDABCDABCEAB C D E推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。

6.5相似三角形的性质(解析版)

A B F DE 6.5相似三角形的性质【推本溯源】1.回顾相似三角形的判定两角对应相等，两边成比例及其夹角相等，三边成比例2.我们知道，当D 、E 、F 分别是三角形各边中点时，▲DEF~▲ABC ，相似比是21，这两个三角形的周长、面积分别有什么关系？由题意得AC FD BC EF AB DE 21,21,21===所以ABC DEF C C ∆∆=21，ABC DEF S S ∆∆=21,它们的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方。

3.验证猜想如果△ABC ∽△A ′B ′C ′相似比为k ，那么===''''''C A AC C B BC B A AB k ，于是''__k _B A AB =，''__k __C B BC =，''__k __A C CA =，所以__k__''''''''''''k ''''''=++++=++++A C C B B A A C C B B A A C C B B A CA BC AB ）（，如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是k ，AD 、A ′D ′是对应高．∵△ABC ∽△A'B'C'，∴∠B ＝∠_B ′___，∵AD ⊥BC ，A ′D ′⊥B ′C ′，∴∠ADB ＝∠_A ′D ′B ′_＝90°，∴△ABD ∽△_A ′D ′B ′______，∴＝__k__，D C B AD ’A′C′B′AD AB A D A B =''''=∙∙=∙∙=∆∆''''''''2121'''D A C B AD BC D A C B AD BC S S C B A ABC k*k=k ²所以相似三角形周长之比等于相似比，同理可得，相似多边形周长之比等于相似比；相似三角形面积之比等于相似比的平方，同理可得，相似多边形面积之比等于相似比的平方。

相似三角形判定及性质

AD DE EA AB BC CA
△ADE∽△ABC
∵ AD=AB
AD AB AB AB
DE BC , EA CA BC BC CA CA
DE BC, EA CA
AB BC CA ∴△ADE≌△ABC AB BC CA ∴△ABC∽△ABC
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B
C
A
D
E
B
C
如图,已知D、E、F分别是△ABC三边、BC、CA、AB的中点. 求证：△DEF∽△ABC
证明:在△DBE与△ABC中,
DBE EBC CBD,ABC ABD DBC. ABD EBC,
B
DBE ABC. (1) 又EBC ABD, ECB DAB.
ABD ∽ CBE.
BE BC .即 BE BD . (2) BD AB BC AB
D A
E
由(1)(2)及判定定理2知 DBE ∽ ABC.
O的周长 2 AD AD
2
O的周长 2 AD AD
2
O´
A B´
C´
D´
O
C B
D
O周长 O周长
AD AD
k.
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O面积 O面积
( AD)2
2
( AD )2
k 2.
2
问题2 两个相似三角形的内切圆的直径比，周长比，面积比与相似比有什么关系？
结论：两个相似三角形的内切圆的直径比，周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。
两边对应成比例及夹角相等
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等)能得直角三角形相似的另一个判定定理.

相似三角形典型模型及例题

1：相似三角形模型一：相似三角形判定的基本模型（一）A字型、反A字型(斜A字型）B(平行）（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（蝴蝶型）（平行)（不平行)(三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形(等腰梯形）或者等边三角形为背景,一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：（五）一线三直角型：三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下:当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

（六）双垂型：CAD二:相似三角形判定的变化模型旋转型：由A 字型旋转得到8字型拓展CB EDA共享性一线三等角的变形GA BC EF一线三直角的变形2:相似三角形典型例题(1)母子型相似三角形例1:如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ⋅=2．例2:已知:如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上， ABC DEB ∠=∠．求证:（1）DA DE DB ⋅=2；（2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知:如图,等腰△ABC 中，AB ＝AC ,AD ⊥BC 于D ,CG ∥AB ,BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证:EG EF BE ⋅=2．1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线,EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．AC DEB2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M,EF 、BC 的延长线交于一点N 。

求证：（1）△AME ∽△NMD ； (2)ND 2=NC·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。

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相似形（一）一、比例性质1.基本性质: bc ad d cb a =⇔=（两外项的积等于两内项积） 2.反比性质：cda b d c b a =⇔= (把比的前项、后项交换)3.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）．4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ．谈重点：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．5.黄金分割：○1内容 ○2尺规作图作一条线段的黄金分割点经典例题回顾：例题1．已知a 、b 、c 是非零实数，且k cb a dd a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.例题2．已知111x y x y+=+，求y x x y +的值。

概念：谈重点：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关． ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况．⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．知识点二、平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。

则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；知识点三、相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．符号语言：拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。

（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。

【重难点高效突破】例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC 可以推出AD AEBD CE=吗？请说明理由。

（用两种方法说明）例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D.求证：（1）2AB BD BC =⋅；（2）2AD BD CD =⋅；（3）CB CD AC ⋅=2例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BDBEAD AF =吗？说说你的理由.例题精讲AEDBCAB CD例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C（1）求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；（3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。

【即时训练】一、选择题1．如图，△ABC 经平移得到△DEF ，AC 、DE 交于点G ，则图中共有相似三角形（） A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对2．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（） A ．AC AE AB AD = B ． FB EA CF CE = C ． BDAD BC DE = D ． CB CF AB EF =.3.在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF=90°，则一定有（） A ．ΔADE ∽ΔAEF B.ΔECF ∽ΔAEF C.ΔADE ∽ΔECF D.ΔAEF ∽ΔABF4、如图，直线l 1∥l 2，AF ∶FB=2∶3，BC ∶CD=2∶1，则AE ∶EC 是（） A.5∶2 B.4∶1 C.2∶1 D.3∶2（1题图）（2题图）（3题图）（4题图）5.如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对(5题图) (6题图) (7题图) ( 8题图)6.ΔABC 中，DE ∥BC ，且AD ∶DB=2∶1，那么DE ∶BC 等于（） A.2∶1 B.1∶2 C.2∶3 D.3∶27.如图，P 是Rt ΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 做直线截ΔABC ，使截得的三角形与ΔABC 相似，满足这样条件的直线共有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条8.如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（）A.ACAE ABAD = B.FBEA CFCE = C.BDAD BCDE = D.CBCF ABEF =9.下列说法：其中正确的是( )①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似； ③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似. A.①② B.③④ C.①④ D.②③ADCB EFG F E D C B A二、解答题1、如图，ΔABC 中，BD 是角平分线，过D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，AB=5cm ，BE=3cm ，求EC 的长.2.如图，在梯形ABCD 中，AD ⊥BC ，∠BAD=90°，对角线BD ⊥DC. (1)ΔABC 与ΔDCB 相似吗？请说明理由. (2)如果AD=4，BC=9，求BD 的长.3.已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP=3PC ， Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似？为什么？4.如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，AD 的垂直平分线交BC 的延长线于点E ，交AB 与F ，试判定△BAE 与△ACE 是否相似，并说明理由。

5.如图，在矩形ABCD 中，AB=5cm ，BC=10cm ，动点P 在AB 边上由A 向B 作匀速运动，1分钟可到达B 点；动点Q 在BC 边上由B 向C 作匀速运动，1分钟可到达C 点，若P 、Q 两点同时出发，问经过多长时间，恰好有PQ ⊥BD ？6.已知：如图所示，D 是AC 上一点，BE ∥AC ，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ，∠1=∠2.则BF 是FG 、EF 的比例中项吗？请说明理由.7.如图，CD 是Rt ΔABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、 F.B F Q P DC B AABC DDABCDABCEA BCD E AC •AE=AF •AB 吗？说明理由.8.如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BDBEAD AF吗？说说你的理由.相似形（二）板块二、新课讲解知识点1．相似三角形的判定判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．知识点2．直角三角形相似的判定在直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．知识点3．相似三角形中的基本图形A 型，X 型交错型旋转型母子形【重难点高效突破】例题1．如图在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上．（1）填空：∠ABC=______，BC=_______．（2）判定△ABC 与△DEF 是否相似？并说明理由。

例题2. 如图，在△ABC 中，已知BD 、CE 是△ABC 的高，求证：△ADE ∽△ABC 。

例题精讲A D EA BC DE例题3．如图，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=6cm ，CD=4cm ，BD=14cm ，点P 在BD 上由B 点向D 点移动，当BP 等于多少时，△ABP 与△CPD 相似？例题4.已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，P 是AB 上一点，且点P 不与点A 重合，过点P 作PE ⊥AB 交AC 于E ，点E 不与点C 重合，若AB ＝10，AC ＝8，设AP ＝x ，四边形PECB 的周长为y ，求y 与x 的函数关系式．例题5．在三角形ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，M 为DE 的中点，AM 与BE 相交于点N ，延长AM 交BC 于点G ，AD 与BE 相交于点F ，求证：（1）DE AD =CECD;（2）△BCE ∽△ADM ；（3）AM ⊥BE.【随堂演练】 A 组1．下列命题中正确的是（）①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A 、①③ B 、①④ C 、①②④ D 、①③④2．如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是（）A. ∠B=∠CB. ∠ADC=∠AEBC. BE=CD ，AB=ACD. AD ∶AC=AE ∶AB3．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC ，②ΔBCD ，③ΔBDE ，④ΔBFG ，⑤ΔFGH ，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（）(A)②③④ (B)③④⑤ (C)④⑤⑥ (D)②③⑥ 4．如图，DE 与BC 不平行，当ACAB= 时，ΔABC 与ΔADE 相似。

5．如图，平行四边形 ABCD 中，AB=10，AD=6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF•∽△CDE ，则BF 的长是（）．A ．5B ．8.2C ．6.4D ．1.8（3题图）（4题图）（5题图）5．如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F.M N FABCDEGAB D CP(1)ΔABE 与ΔADF 相似吗？说明理由. (2)ΔAEF 与ΔABC 相似吗？说说你的理由.6．已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP=3PC ，Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似？为什么？7．如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连接FC (),AE AB >△AEF ∽△EFC 吗若相似，请证明；若不相似，请说明理由。