数值分析作业答案
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第2章 插值法
1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。
（2）用Lagrange 插值基底。 （3）用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底
设多项式为:2
210)(x a x a a x P ++=，
所以：64
211111
1111122
2
211
200
-=-==x x x x x x A 3
76144
211111114241
13110111)()
()(22
221120
022
2
22
11
120
00-=-=
---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2
3694211111114411
31101111)(1)(1
)(122
221120
02
2
22112
001=--=
--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6
5654
2
1
1111114
2
1
3
11011111)
(1)(1)(122
2
21120
022
11
00
2=--=
---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：26
52337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底
)21)(11()
2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l
)21)(11()
2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l
)
12)(12()
1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=
x x x x x x x x x x x l
Lagrange 插值多项式为：
3
72365)1)(1(3
1
4)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L
所以f(x)的二次插值多项式为：226
52337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：
Newton 3
72365)
1)(1(65
)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N
所以f(x)的二次插值多项式为：2
2
6
52337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
6、在44≤≤-x 上给出x
e x
f =)(的等距节点函数表，若用二次插值求e x 的近似
值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h 应取多少？ 解：以x i-1,x i ,x i+1为插值节点多项式的截断误差，则有
),(),)()()((!
31
)(11112+-+-∈---'''=i i i i i x x x x x x x x f x R ξξ
式中.,11h x x h x x i i +=-=+-
3
43411423
9313261))()((max 61)(11h e h e x x x x x x e x R i i i x x x i i =≤---=+-≤≤+-
令
634103
9-≤h e 得00658.0≤h
插值点个数
12178.12161
)
4(41≤=---+
N 是奇数，故实际可采用的函数值表步长
006579.01216
81)4(4≈=---=N h
8、13)(47+++=x x x x f ，求]2,,2,2[710 f 及]2,,2,2[810 f 。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系：
],[,!
)
(],,,[)
(10b a n f
x x x f n n ∈=
ξξ 所以有：1!
7!
7!7)(]2,,2,2[)7(7
1
===
ξf f 0!
80
!8)(]2,,2,2[)8(8
1
===ξf f
15、证明两点三次Hermite 插值余项是
),(,!4/)())(()(1212)
4(3++∈--=k k k k x x x x x x f
x R ξξ
并由此求出分段三次Hermite 插值的误差限。 证明：利用[x k ，x k+1]上两点三次Hermite 插值条件
)
()(),()()
()(),()(11331133++++'='
'='==k k k k k k k k x f x H x f x H x f x H x f x H 知)()()(33x H x f x R -=有二重零点x k 和k+1。设
2123)())(()(+--=k k x x x x x k x R
确定函数k(x):
当k x x =或x k+1时k(x)取任何有限值均可；
当1,+≠k k x x x 时，),(1+∈k k x x x ，构造关于变量t 的函数
2123)())(()()()(+----=k k x x x x x k t H t f t g