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专题2.4 求二次函数解析式常考类型(六大题型)(解析版)
专题2.4 求二次函数解析式常考类型（六大题型）【题型1 开放型】【题型2 一般式】【题型3 顶点式】【题型4两根式】【题型5平移变换型】【题型6 对称变换型】【题型1 开放型】【典例1】（2023•上海）一个二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2+1（答案不唯一） ．【答案】y＝﹣x2+1（答案不唯一）．【解答】解：由题意得：b＝0，a＜0，c＞0，∴这个二次函数的解析式可以是：y＝﹣x2+1，故答案为：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．【变式1-1】（2023•锡山区校级模拟）写出一个顶点坐标是（1，2）且开口向下的抛物线的解析式 y＝﹣（x﹣1）2+2（答案不唯一） ．【答案】y＝﹣（x﹣1）2+2（答案不唯一）．【解答】解：∵抛物线开口向下，顶点坐标为（1，2），∴a＜0，设函数解析式为y＝a（x﹣1）2+2，只要a＜0取值即可；故答案为：y＝﹣（x﹣1）2+2（答案不唯一）．【变式1-2】（2023•静安区校级一模）请写出一个以直线x＝3为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是 y＝（x﹣3）2+2（答案不唯一） ．（只要写出一个符合条件的抛物线表达式）【答案】y＝（x﹣3）2+2（答案不唯一）．【解答】解：满足题意的抛物线解析式为：y＝（x﹣3）2+2．本题答案不唯一．故答案为：y＝（x﹣3）2+2（答案不唯一）．【题型2 一般式】【方法点拨】当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式2y ax bx c=++（a，b，c为常数，0a¹），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值；【典例2】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=a x2+bx+c的图像经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．【答案】解：由这个函数的图象经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3），得a+b+c=0c=−54a+2b+c=3解得a=−1 b=6 c=−5所以，所求函数的解析式为y=−x2+6x−5．y=−x2+6x−5=−(x−3)2+4．所以，这个函数图象的顶点坐标为（3，4），对称轴为直线x = 3．【变式2-1】已知二次雨数：y=x2+bx+c过点(1，0)，(0，-3)。
（完整版）二次函数综合题分类讨论带答案.doc
（完整版）二次函数综合题分类讨论带答案.doc二次函数综合题分类讨论一、直角三角形分类讨论：11、已知点 A(1 ，0),B（ -5,0），在直线y 2 x 2 上存在点C，使得 ABC 为直角三角形，这样的 C 点你能找到个2、如图 1，已知抛物线C1：y a x 2 2 5 的顶点为 P，与 x 轴相较于 A 、 B 两点（点A 在点B 的左边），点B 的横坐标是1.（1）求P 点坐标及a的值；（ 2）如图 1，抛物线C2与抛物线C1关于x 轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后得到抛物线C3， C,3的顶点为 M ，当点 P、 M 关于点 B 成中心对称时，求C,3的解析式；（ 3）如图 2，点 Q 是 x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q 旋转180 后得到抛物线C,4，抛物线 C,4的顶点为N，与 x 轴相交于 E、 F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、N、 F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标。
（2013 汇编 P56+P147）3、如图，矩形A’BC’O’是矩形 OABC( 边 OA 在 x 轴正半轴上，边 OC 在 y 轴正半轴上 )绕 B 点逆时针旋转得到的．O’点在 x 轴的正半轴上， B 点的坐标为 (1，3)．(1)如果二次函数 y＝ ax2＋ bx＋c(a≠0)的图象经过 O、O’两点且图象顶点 M 的纵坐标为—1．求这个二次函数的解析式；(2) 在 (1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得POM 为直角三角形若存在，请求出P 点的坐标和POM 的面积；若不存在，请说明理由；(3)求边C’O’所在直线的解析式．练习（ 09 成都 28）已知抛物线与x 轴交于 A 、 B 两点 (点 A 在点 B 的左侧 )，与 y 轴交于点C，其顶点为 M ，若直线 MC 的函数表达式为 y=kx-3 ，与 x 轴的交点为N，且cos∠BCO ＝(3 √ (10) /10)．（ 1）求此抛物线的解析式；（ 2）在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N 、 P、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；（ 3）过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q. 若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度5 ?4A 二、4321N2 B 2 4 6 8 10 12 14 16 18123P4M56等腰三角形分类讨论1、如图，已知 Rt Rt ABC , ACB 90 , BAC 30 , 在直线BC或直线AC上取一点P，使得 PAB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有个2 A的坐标为(12)，，点B的坐标为(31)，，二次函数 y x2、①，在平面直角坐标系中，点的图象记为抛物线l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）．（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l2，如图②，求抛物线l2 的函数表达式．（3）设抛物线l2 △△，求点 K 的坐标．的顶点为 C ， K 为 y 轴上一点．若S ABK SABC（ 4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线l 2上是否存在点P ，使△ ABP 为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．yyyl 2l 1l 2AAA1B1CBx1BO xOO 111图①图②图③解：（ 1 ）有多种答案，符合条件即可．例如yx 2 1， y x 2 x ， y( x 1)22 或y x 2 2x 3 ， y (x2 1)2 ， y (x 12) 2 ．（2）设抛物线 l 2 的函数表达式为 y x 2bxc ，yl 2Q 点 A(12)，， B(31)，在抛物线 l 2 上，KGA1 b c ，b9 ，2 29 3b c 解得111c.抛物线 l 2 的函数表达式为y x 2 9 x 11 ．2 29 x 119 27 ，9，7（3） yx 2 xC 点的坐标为．2 2 4 164 16 过 A ， B ， C 三点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 D ，E ，F ，则 AD 2 ， CF7 ， BE1， DE5 ， FE316 2 ， DF．44 S △ ABCS 梯形ADEBS梯形 ADFCS梯形 CFEB1(2 1) 2 1 2 75 1 1 73 15 ．2 2 164 2 164 16延长 BA 交 y 轴于点 G ，设直线 AB 的函数表达式为 y mx n ，2 m ，m1 ，Q 点 A(12)，， B(31)，在直线 AB 上， n21 3m 解得5n.n.2直线 AB 的函数表达式为 y1x 5 G 点的坐标为52 ．0，．22BCO D F E图②设 K 点坐标为(0，h)，分两种情况：若 K 点位于 G 点的上方，则KG h 5 ．连结AK ，BK ．2S△ABK S△BKG S△AKG 1 3 h 5 1 1 h 5 h 5 ．2 2 2 2 2Q S△ABK15 5 15，解得 h55K 点的坐标为55 S△ABC ，h16 16．0，．16 2 16若 K 点位于 G 点的下方，则KG 5h ．同理可得， h25．2 16 yK 点的坐标为25．l 2 0，16 A（4）作图痕迹如图③所示． B由图③可知，点P 共有3个可能的位置．O图③2、如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，y点 A 、 C 的坐标分别为A(10 ， 0)、 C（ 0,4），点 D 是 OA 的中点，点 P 在PCBC 边上运动，当是腰长为 5 的等腰三角形时，点P 的坐标为O D 3、在菱形 ABCD 中，对角线AC ， BD 相交于点 O，以 O 为坐标原点，以 BD 所在直线为 x 轴， CA 所在直线为 y 轴建立如图所示的坐标系，且AC=12 ，BD=16 ，E 为 AD 的中点，点 P 在线段 BD 上移动，若为等腰三角形，则所有符合条件的点P 的坐标为三、最值问题 B类型一：两点之间线段最短 C 1、请写出2m 3 2 1 8 2m 2 4 的最小值为 A2、如图，四边形ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，对角线BD 上60 ，得到BN，连EN任一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转EN、 AM 、CM ，求证：（ 1）AMB ENB ，(2)M点在何处时，AM+CM值最小，（3）AM+BM+CN 最小值为3 1 时，求正方形的边长（2012 汇编P52+P137） B xBxAyAExDDMC3、（ 2010 年天津 25）在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 、B 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，OA=3 ，OB=4 ，D 为边 OB 的中点。
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二次函数题型分类总结题型 1、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）1、下列函数中，是二次函数的是.① y=x2－ 4x+1；② y=2x 2；③ y=2x2+4x；④ y=－ 3x；⑤ y=－ 2x－ 1；⑥ y=mx2+nx+p；⑦ y =(4,x) ；⑧ y=－ 5x。
2+2t ，则 t ＝ 4 秒时，该物体所经过的路2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t （秒）的关系式为s=5t程为。
3、若函数 y=(m2+2m－ 7)x 2+4x+5 是关于 x 的二次函数，则m的取值范围为。
4、若函数 y=(m－ 2)x m－2 +5x+1 是关于x的二次函数，则m的值为。
5、已知函数 y=(m－ 1) x m2 1 +5x－ 3 是二次函数，求m的值。
题型 2、二次函数的对称轴、顶点、最值4ac-b 2（技法：如果解析式为顶点式y=a(x － h) 2+k，则最值为 k；如果解析式为一般式y=ax2+bx+c 则最值为4a1．抛物线 y=2x 2 +4x+m 2－ m 经过坐标原点，则m的值为。
2．抛物 y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（ 1，3），则 b＝， c＝ .3．抛物线 y＝ x2＋3x 的顶点在 ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4．若抛物线 y＝ ax2－ 6x 经过点 (2 ，0) ，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )A. 13B. 10C. 15D. 142＋ bx ＋c( )5．若直线 y＝ ax＋ b 不经过二、四象限，则抛物线y＝ axA. 开口向上，对称轴是y 轴B. 开口向下，对称轴是y 轴C. 开口向下，对称轴平行于y 轴D. 开口向上，对称轴平行于y 轴2 16．已知抛物线 y＝ x ＋ (m－1)x －4 的顶点的横坐标是2，则 m的值是 _.7．抛物线 y=x 2+2x－ 3 的对称轴是。
高中数学二次函数分类讨论经典例题
高中数学二次函数分类讨论经典例题一、二次函数的定义和基本性质二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c都是实数且a≠0。
二次函数的图像是抛物线，其开口方向取决于a的正负性。
下面将讨论二次函数的分类及其相关的经典例题。
二、二次函数的分类讨论1. a>0的情况：抛物线开口向上当a>0时，二次函数的图像是开口向上的抛物线。
此时，函数的最值为最小值，且最小值点的横坐标为-b/2b。
例如，考虑函数y=x²+2x+1，其图像为一条开口向上的抛物线，最小值点为(-1,0)。
2. a<0的情况：抛物线开口向下当a<0时，二次函数的图像是开口向下的抛物线。
此时，函数的最值为最大值，且最大值点的横坐标为-b/2b。
例如，考虑函数y=-x²+2x+1，其图像为一条开口向下的抛物线，最大值点为(1,0)。
3. a=0的情况：一次函数当a=0时，二次函数变为一次函数，即y=bx+c。
此时，函数的图像是一条直线，且不会有最值点。
例如，考虑函数y=2x+1，其图像为一条斜率为2的直线。
三、经典例题1. 求解二次函数的最值例如，求解函数y=x²-4x+3的最值。
首先，可以将该二次函数写成标准形式y=(x-2)²-1，从中可以得知最小值点为(2,-1)。
2. 求解二次函数与坐标轴的交点例如，求解函数y=2x²-5x+2与x轴和y轴的交点。
首先，将y=0代入函数方程得到2x²-5x+2=0，然后可以通过因式分解或者求解一元二次方程的方法求解得到x的值。
进而可以求得函数与x轴的交点。
类似地，可以将x=0代入函数方程得到y的值，从而求得函数与y轴的交点。
3. 求解二次函数的对称轴例如，求解函数y=-x²+4x-3的对称轴。
对称轴是过抛物线最高点（或最低点）的一条直线，其方程可以通过x=-b/2b得到。
对于该函数，对称轴方程为x=-2。
(完整版)高考二次函数
二次函数知识梳理知识点1 二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝___ ax2＋bx＋c (a≠0)___ ___.②顶点式：f(x)＝__ a(x－m)2＋n(a≠0)_____ __.③零点式：f(x)＝___ a(x－x1)(x－x2) (a≠0)_______________ _.点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.①已知三个点的坐标时，宜用一般式.②已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.③已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便.2.二次函数的图象和性质图象函数性质a>0 定义域x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)值域a>0 a<0y∈[4ac－b24a，＋∞)y∈(－∞，4ac－b24a]a<0奇偶性b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x∈(－∞，－b2a]时递减，x∈[－b2a，＋∞)时递增x∈(－∞，－b2a]时递增，x∈[－b2a，＋∞)时递减图象特点①对称轴：x＝－b2a；3.二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2－4ac >0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝Δ|a |. 知识点2 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当0∆<⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴无交点⇔20ax bx c ++=无实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆=⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴相切⇔20ax bx c ++=有两个相等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆>⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴有两个不同的交点⇔20ax bx c ++=有两个不等的实根⇔ 20(0)ax bx c ++><的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞U 。
13高考数学中二次函数题类型浅析
凌昌淑
‘“ 一Ｘ 、 ， 、 ‘ ￣ 一一 ￣ 并证明立 止、 ，ｒ ， ｏ１ ＋二 ． １ ＜ 个解 Ｉ ， ｘ ２ ， 求ｋ 的取值范围， ４ ． ＸＩ ｘ２
解析： 先看第一问， 令ｘ ” 一 １ ＞ ０ ， ｘ ２ 一 １ ＜０
分别去掉绝对值符号， 即可解 出， 注意前提限 制， 不难解得 ｘ＝
． 、
２ ＿２
６ ’ １ ７ ＋２ 了 ２ Ｓ Ｌ＝１
二 二＜、言二
结论获证． 法
求证： （ １ ） 方程ｆ （ ｘ ） ＝０ 有实根；
（ ２ ） 一 ２ ＜立＜一 １ ；
（ ３ ） 设Ｘ Ｉ 、 Ｘ ２ 是方程ｆ （ ｘ ） ＝ ０ 的两个实根，
解析： 首先易知函数 ｆ （ ｘ ） 必为二次函数， 这样第一问就有方向了， 只需证明判别式Ａ） ０ 即可， 但要先说清楚为什么 ａ 半０ ， 事实上， 若ａ 二０ ， 则ｂ ＋ｃ ＝０ ． 而ｆ （ ０ ） ｆ （ １ ） ＝ｃ （ ２ ｂ ＋ｃ ） 二ｃ ｂ ＝一 。 ２ （。 ， 与已知矛盾， 余下的事情就好办多
上没有零点 ， 然后就 ａ笋 ０时分三种情况讨论： （ １ ） 方程 ＿ ｆ （ ｘ ） ＝。 在区间卜 １ ， １ 〕 有重根， 此时 ￣ 沂 二卫二 理； 乙＝ ０ ， 解得 。 （ ２ ）函数 ＿ ｆ （ ｘ ） 在ｆ ｆ间
种 情 况 求 得 一 ７ ＜＊ ＜一 １ ， 而 第 二 种 情 况 无 解 ． ， ”曰Ｆ 一刁 一 ” ． ２ 、’ 一￣ 一 ” ． ， ‘ ． ’ 一 ””， “ “’ “ ”
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专题四 函数的周期性和二次函数的性质docx-【百强校】江苏省启东中学2020届高考数学一轮复习学
专题四：函数周期性和函数凹凸性研究第1节函数的周期性重点题型：（1）函数的周期性研究（2）函数周期应用（3）单调性、周期性、奇偶性综合问题研究一．课前预习自主热身1.已知是定义在R上的偶函数,并满足：,当,,则( )A. B. C. D.解：,,,即函数的一个周期为4．．是定义在R上的偶函数,．当,,．．故选D．2.已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称,,则的值为( )A. B. 0 C. 1 D. 2解：定义在R上的奇函数的图象关于直线对称,,,即,,故函数的周期为4,,,,,,则,故选A．3.（2016⋅四川）已知函数()f x是定义在R上的周期为2的奇函数，当01x<<时，()4xf x=，则5()(1)2f f-+=________．【解析】()f xQ是定义在R上的周期为2的奇函数，511()()()2 222f f f-=-=-=-，又(1)(1),(1)(1),f ff f-=⎧⎨-=-⎩(1)(1)f f∴=-，(1)0f∴=．4.(2018⋅新课标Ⅱ改编)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+． 若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L ．【解析】∵()f x 是奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，∴(1)(1)f x f x +=--，则(2)()f x f x +=-， (4)(2)()f x f x f x ∴+=-+=，∴函数()f x 是周期为4的周期函数． ∵(1)2f =，(0)0f =，(2)(0)0f f =-=，(3)(1)2f f =-=-，(4)(0)0f f ==， (1)(2)(3)(4)0f f f f ∴+++=，(1)(2)(3)(50)f f f f ∴++++L 12[(1)(2)(3)(4)](49)(50)(1)(2)2f f f f f f f f =+++++=+=．二．例题导思 提升能力例1.设是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x,恒有,当时,． 求证：是周期函数； 当,求的解析式；计算：．【答案】证明：,,为周期函数且4是它的一个周期； 解：上的奇函数,,,时,, 当时,,, 时,,又当时,,,即；,,,,,由函数的周期性可得,原式的值．即．变式训练：已知定义在R上的奇函数周期为4,当时．求在上的表达式；求的值．【答案】解：在R 上的奇函数,当时,即, 得当时,,设,则, ,而为奇函数,,故,．在R 上的奇函数周期为3,则,令得,则又,由奇函数性质有,．例2．设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[2,1)x ∈-时，1,20,()ln(),01mx x f x x n x ⎧+-≤<=⎨+≤<⎩，其中,m n R ∈，且(6)0f -=． （1）求n 的值；（2）若函数()f x 的值域为[0,2]，求m 的值． 解：（1）由()f x 是周期为3的函数，得(0)(6)0f f =-=，1,20,()ln(),01,mx x f x x n x ⎧+-≤<=⎨+≤<⎩Q ln 0n ∴=，1n =．（2）由（1）01x ≤<时，()ln(1)f x x =+， 01x ∴≤<时，()f x 的值域为[0,ln 2)．20x -≤<Q 时，()1f x mx =+，∴函数()f x 的值域为[0,2]的必要条件为(2)2f -=，即212m -+=，32m ∴=或12m =-． 当32m =时，31,20,()2ln(1),01x x f x x x ⎧+-≤<⎪=⎨⎪+≤<⎩的值域为[0,2][0,ln 2)[0,2]=U ，满足题意；当12m =-时，11,20,()2ln(1),01x x f x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨⎪+≤<⎩的值域为[1,2][0,ln 2)[0,2]≠U ，不满足题意；综上，32m =．变式训练：设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩a ∈R ．若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是________．【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=，因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-．三．课后检测 提优导练1.定义在R 上的奇函数满足,且在上,则( )A. B. C. D.解：由得,,所以函数的周期是4,因为是定义在R 上的奇函数,且,则,且在上,,所以．故选C ．2.若定义在上的函数满足,是奇函数,现给出下列4个论断：是周期为4的周期函数； 的图象关于点对称；是偶函数； 的图象经过点其中正确论断的序号是_______________请填上所有正确论断的序号． 【答案】解：由得,所以函数的周期为4,故正确； 由是奇函数,知的图象关于原点对称,所以函数的图象关于点对称,故正确；由是奇函数得,所以,所以函数是偶函数,故正确；,无法判断其值,故错误．综上,正确论断的序号是：．3.函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈，且在区间(2,2]-上，cos ,022()1||,202x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩，则((15))f f 的值为_______．【解析】因为(4)()f x f x +=,函数的周期为4，所以1(15)(1)2f f =-=， ∴1π((15))()cos 24f f f ===2．4.(2017⋅南京三模）已知函数()f x 是定义在R 上，且周期为4的偶函数．当[2,4]x ∈时，43()|log ()|2f x x =-，则1()2f 的值为 ．【解析】由()f x 为偶函数，得11()()22f f =-，结合()f x 是周期为4的函数得11()()22f f =-4171(4)()|log 2|222f f =-+===．5.定义：若函数的定义域为R,且存在非零常数T,对任意,恒成立,则称为线周期函数,T 为的线周期．Ⅰ下列函数,,,,其中表示不超过x 的最大整数,是线周期函数的是______ 直接填写序号； Ⅱ若为线周期函数,其线周期为 T,求证：函数为线周期函数；Ⅲ若为线周期函数,求k 的值．【答案】【解析】解：Ⅰ对于,故不是线周期函数对于,故不是线周期函数对于,故是线周期函数故答案为：Ⅱ证明：为线周期函数,其线周期为T,存在非零常数T,对任意,恒成立．,．为周期函数．Ⅲ为线周期函数,存在非零常数T,对任意,．．令,得；令,得；两式相加,得．,检验：当时,．存在非零常数,对任意,,为线周期函数．综上,．第2节函数的凹凸性及抽象函数性质研究重点题型：（1）抽象函数中奇偶性与单调性判断与证明（2）函数的凹凸性研究，通过专项研究提升学生能力一．课前预习自主热身1.若函数的定义域是,则函数的定义域为( )A. B. C. D.解：因为函数的定义域为,则,且,即,且,解得,所以函数的定义域为故选C．2.对任意的实数x,y,函数都满足恒成立,则( )A. B. 0 C. D. 2解：对任意的实数x,y,函数都满足恒成立,令,令．故选A ．3.(2017⋅浙江)已知a R ∈，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1,4]上的最大值是5，则实数a 的取值范围是________． 【解析】令4t x x=+，[1,4]x ∈，则()()||h t f x t a a ==-+，[4,5]t ∈，函数()y h t = 的图象关于直线t a =对称，因此①92a ≤时，max [()](5)55h t h a a ==-+=，92a ∴≤；②92a >时，max [()](4)4245h t h a a a ==-+=-=，92a ∴=（舍去）．综上，实数a 的取值范围是9(,]2-∞．4.对于任意的21,x x ），（∞+∈0，若函数f(x)=lgx,试比较2)()(21x f x f +与)2(f 21x x +的大小二．例题导思 提升能力例1. 凸函数、凹函数的定义：定义1：设f(x)是定义在区间D 上的函数，若对于区间D 上的任意两个点21,x x ，及任意正数12121=+λλλλ，，，都有)()()(f 22112211x f x f x x λλλλ+≤+,则称f(x)为区间D 上的凸函数.定义2：设f(x)是定义在区间D 上的函数，若对于区间D 上的任意两个点21,x x ，及任意正数12121=+λλλλ，，，都有)()()(f 22112211x f x f x x λλλλ+≥+,则称f(x)为区间D 上的凹函数.性质探究1：f(x)为区间D 上的凸函数，则对于D 上任意两个点21,x x ，有2)()()2x f(2121x f x f x +≤+. 性质探究2：f(x)为区间D 上的凹函数，则对于D 上任意两个点21,x x ，有2)()()2x f(2121x f x f x +≥+. 性质探究3：图像特征.应用探究：探究1：探究二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数、正切函数的凸凹性 探究2：对于函数f(x)定义域中的任意不相等21,x x ，有①)()()(2121x f x f x x f =+②)()()((2121x f x f x f x f =+）③0)()(2121>--x x x f x f ④2)()()2x f(2121x f x f x +<+,当f(x)=lgx 时，正确结论是探究3：在函数 x y x y x y x2cos ,,log ,2y 22====,这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2x f(2121x f x f x +>+恒成立的函数的个数是（） A 、0 B 、1个 C 、2个 D 3个探究4：已知函数f(x ）=tanx,x ），，（20π∈若21,x x ），（20π∈，且21x x ≠，求证：2)()()2x f(2121x f x f x +<+ 探究5(2015年福建理科高考第12题）已知函数f(x)在],[b a 上有定义，若对任意21,x x ],[b a ∈,有2)()()2x f(2121x f x f x +≤+，则称函数f （x ）在],[b a 上具有性质P 。
高中二次函数常见考题类型与解题方法
高中二次函数常见考题类型与解题方法常见题型1. 求函数的顶点、对称轴、焦点、直线方程和图像在解这类题目时，需要把二次函数的标准式转化成顶点式或者焦点式。
然后用函数图像的对称性质、交点、顶点等信息，求出函数的相关信息并画出图像。
2. 解方程二次方程求解，首先需要化标准式，然后根据b²-4ac的大小确定根的类型。
对于有理根，可以用因式分解法，求根公式等方法求解；对于无理根，则需要用配方法或求根公式。
3. 求两条直线或曲线的交点在解这类题目时，需要将两个方程式联立，然后通过求解联立的方程组，得出两个函数的交点坐标或交点坐标式。
4. 求实数解的范围二次函数的实数解范围可以通过求判别式b²-4ac的符号，来判断是否有实数根，并且可以通过求对称轴的截距来确定实数解的范围。
解题方法1. 预处理公式在解题前，需要预处理一些与二次函数相关的公式和基础知识，例如二次函数的顶点、对称轴、焦点、离心率等等。
2. 分类讨论对于不同的题目，需要根据已知条件和求解目标，将问题进行分类讨论。
对于不同的情况，需要采用不同的方法来解题。
3. 推导式子对于某些比较困难的题目，需要通过一些推导来简化问题。
例如，通过配方法来化简二次函数的标准式，或者通过勾股定理来求解两个不同方程的交点坐标。
4. 绘制函数图像在解题过程中，需要绘制出函数的图像，并用图像来验证计算结果。
同时，函数图像的形态也可以提供很多有用的信息，例如对称轴的位置、顶点的坐标、焦点的位置等等。
5. 思考问题本质在解题时，需要思考问题的本质，找到问题的关键点，并寻找最简单、最直接的方法来解决问题。
对于一些比较抽象或比较难理解的概念，也可以通过具体的问题来加深理解。
结论二次函数是高中数学中的重要内容，掌握好二次函数的基本知识和求解方法，对于应对高考和日常生活都非常有用。
在解题时，需要预处理公式、分类讨论、推导式子、绘制函数图像，并思考问题的本质。
通过反复练习和思考，相信大家都可以轻松掌握二次函数的相关知识和技巧。
高中数学黄金100题系列——专题12 二次函数(解析版) Word版(含解析)
I ．题源探究·黄金母题【例1】 已知函数)(x f =x x 22-，)(x g =x x 22-（]4,2[∈x ）.（1）求)(x f ，)(x g 的单调区间； （2）求)(x f ，)(x g 的最小值.【解析】(1)由题知，)(x f '=)1(2-x ，)(x g '=)1(2-x ，当x ＜1时，)(x f '＜0，当x ＞1时，)(x f '＞0， 当42<<x 时，)(x g '＞0，所以)(x f 的单调减区间为)1,(-∞，单调增区间为（1，+∞）；)(x g 的单调增区间为2,4].(2)由（1）知，当1=x 时，)(min x f =)1(f =-1； 当x =2时，)(min x g =)2(g =0.II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考新课标2文数】已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2-2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑（ ）(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 【答案】B【解析】因为2(),y |23|y f x x x ==--都关于1x =对称，所以它们交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22mm ⨯=，当m 为奇数时，其和为1212m m -⨯+=，故选B.精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1第39页B 组第1题【母题评析】本题主要考查利用二次函数的图象研究二次函数的单调性和最值.高考中的许多最值问题最值都可以转化为二次函数在某个区间上的最值问题，故本题是一个典型的二次函数问题.【思路方法】二次函数问题，常常借助其图像研究函数的单调性、对称性、在某个区间上的值域，借助图象解对应的一元二次不等式和根的分布问题.【命题意图】本类题通常主要考查以二次函数为载体考查函数图象、对称性、单调性及最值.. 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，往往与函数的定义域、值域、单调性、最值、方程解或函数零点的个数、解不等式性质等数学知识结合，难度为容易题题、中档题、也有有难题.【难点中心】若题目为关于某个函数的二次函数单调性、值域、最值或零点个数问题或可化为关某个函数的方程解得个数问题，通常用换元法，转化为一元二次函数或一元二次方程在某个范围上的问题，利用一元二次函数的图象与性质求解，注意新变量的取值范围，对含参数的一元二次函数的最值问题，注意分类讨论结合图像处理.III ．理论基础·解题原理考点一 二次函数的概念与表示1.概念：形如：2f(x)=ax +bx+c (0)a ≠函数叫二次函数；2.表达形式有：（1）一般式：2f(x)=ax +bx+c (0)a ≠.（2）顶点式：若(,)m n 为抛物线的顶点坐标.， 2()()f x a x m n =-+（3）截距式：设12,x x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，则12()()()f x a x x x x =--。
二次函数-2020年新课标高考备考数学题型全解密(解析版)
★课标卷高考（采分点） (12)★:二次函数的考查:①『解题策略』:二次函数解析式设法有三种:ⅰ.一般式:2y ax bx c =++; ⅱ.两根式:12()()y a x x x x =--; ⅲ.顶点式:2()y a x h k =-+. 秒杀方法：要根据题目条件确定设为哪一种形式，设法准确使问题简单化。
②【考题例析】:(高考题)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价a , 最高销售限价()b b a >以及常数()01x x <<确定实际销售价格()c a x b a =+-,这里x 被称为乐观系 数.经验表明,最佳乐观系数x 恰好使得c a -是()b c -和()b a -的等比中项,据此可得最佳乐观系数x 的值等于 .【解析】由已知条件可得：))(()(2a b c b a c --=-,))()(()(22a b x a b a b a b x ----=-,012=-+x x ,解得215-=x . ③「☆历年新课标全国卷同类试题汇总☆」1.(2016年新课标全国卷II 文)已知函数)(x f ()R x ∈满足)2()(x f x f -=,若函数322--=x x y 与)(x f y =的图象的交点为()()()m m y x y x y x ,,,,2211⋅⋅⋅,则∑=mi i x 1= ( )A.0B.mC.m 2D.m 4 【解析】322--=x x y 与)(x f y =均关于直线1=x 对称,m mx mi i =⨯=∴∑=221,选B. 秒杀方法:)(x f 为抽象函数，利用抽象函数特殊化思想，设0)(=x f ,由0322=--x x 解得3=x 或1-=x ,即2=m ,∑=mi i x 1=2=m .秒杀公式：①若两个函数均关于直线a x =对称，且两函数图象有n 个交点，则n 个交点的横坐标之和为：∑=mi i x 1=na 。
二次函数重难题型归类 (解析版)
二次函数重难题型归类【考向速览】【考向突破】考向1 二次函数含参问题1．若函数()221f x ax x =+-在区间(,6)-∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,06⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．1,16⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】讨论a 的取值，可知a =0符合题意，当0a ≠ 时，结合二次函数的性质可得不等式组，求得a 的范围,综合可得答案.【详解】当a =0时，函数()21f x x =-在R 上单调递增， 所以()f x 在(,6)-∞上单调递增，则a ＝0符合题意；当0a ≠ 时，函数()f x 是二次函数，又()f x 在(,6)-∞上单调递增， 由二次函数的性质知，160aa ⎧-≥⎪⎨⎪<⎩ ，解得106a -≤<. 综上，实数a 的取值范围是1,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,故选:A.2．若函数()221f x x ax a =-+-在[]0,2上的最小值为-1，则=a （ ）A ．2或65B ．1或65C ．2D ．1【答案】D【分析】先求出二次函数的对称轴，然后讨论对称轴与区间[]0,2的关系，求出其最小值，列方程可求出a 的值【详解】函数2()21f x x ax a =-+-图象的对称轴为x a =，图象开口向上，（1）当0a ≤时，函数()f x 在[]0,2上单调递增．则()(0)1min f x f a ==-，由11a -=-，得2a =，不符合0a ≤； （2）当02a <<时．则222()()211min f x f a a a a a a ==-+-=--+，由211a a --+=-，得2a =-或1a =，又02a <<，1a 符合；（3）当2a ≥时，函数2()21f x x ax a =-+-在[]0,2上单调递减，()()244155min f x f a a a ∴==-+-=-，由551a -=-，得65a =， 又2a ≥，∴65a =不符合， 综上可得1a =． 故选：D3．()224f x x x =--定义域为[]0,m ，值域为[]5,4--，则m 的取值范围是（ ）A ．{}1B ．[)1,+∞C ．[]1,2D ．[)1,2【答案】C【分析】由二次函数的性质知()f x 开口向上且顶点为(1,5)-，且(0)(2)4f f ==-，结合闭区间对应值域即可确定m 的范围.【详解】由2()(1)5f x x =--，其开口向上且顶点为(1,5)-， 当()4f x =-时，可得0x =或2x =，因为()f x 定义域为[]0,m 对应值域为[]5,4--， 所以12m ≤≤. 故选：C.4．已知函数2()4(0)f x ax ax b a =-+>在[0,3]上的最大值为3，最小值为1-． (1)求()f x 的解析式；(2)若(1,)∃∈+∞x ，使得()f x mx <，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()243f x x x =-+(2)234m >-【分析】（1）根据()f x 的最值列方程组，解方程组求得,a b ，进而求得()f x . （2）利用分离常数法，结合基本不等式求得m 的取值范围. （1）()f x 的开口向上，对称轴为2x =，所以在区间[]0,3上有：()()()()min max 2,0f x f f x f ==，即481133a a b a b b -+=-=⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，所以()243f x x x =-+.（2）依题意(1,)∃∈+∞x ，使得()f x mx <，即2343,4x x mx m x x-+<>+-， 由于1x >，33424234x x x x+-≥⋅-=-， 当且仅当33x x x=⇒=时等号成立. 所以234m >-.5．已知函数()2442f x x mx m =-++．(1)若()f x 的图象与x 轴的两个不同交点的横坐标分别为1x ，2x ，求2212x x +的取值范围；(2)若()2442f x x mx m =-++在(],1-∞上是减函数，且对任意的1x ，[]22,1x m ∈-+，总有()()1264f x f x -≤成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)【分析】（1）0∆>求得m 的范围，利用韦达定理代入()2221212122x x x x x x +=+-，然后配方求得答案； （2）()f x 在(],1-∞上是减函数求得m 的范围，转化为()()max min 64f x f x -≤，求出()max f x 、()min f x ，然后解不等式可得答案．(1)由题意可知方程24420x mx m -++=有两个不相等的实数根1x ，2x ， 由韦达定理得12x x m +=，1224m x x +=， 所以()()244420m m ∆=--⨯+>，解得2m >或1m <-，()22222121212211722416m x x x x x x m m +⎛⎫+=+-=-=-- ⎪⎝⎭，令()2117416m g m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，则当2m >时，()211722416g m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭>，当1m <-时，()2117114162g m ⎛⎫---= ⎪⎝⎭>，所以()12g m >，所以221212x x +>，即2212x x +的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． (2)函数()2442f x x mx m =-++图象的对称轴为直线2mx =，()f x 在(],1-∞上是减函数， 所以有12m≥，即2m ≥， 又因为对任意的1x ，[]22,1x m ∈-+，总有()()()()12max min f x f x f x f x -≤-， 要使()()1264f x f x -≤成立，则必有()()max min 64f x f x -≤，在区间[]2,1m -+上，()f x 在2,2m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12m m ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递增，又()1222m m m +-<--，所以()()max 2918f x f m =-=+，()2min 22m f x f m m ⎛⎫==-++ ⎪⎝⎭，所以有()2918264m m m +--++≤，即28480m m +-≤，解得124m -≤≤，综上，实数m 的取值范围是．考向2 二次函数与幂函数的复合问题1．函数322()(6)f x x x =--的单调递减区间为（ ） A ．1[,2]2-B ．1[3,]2--C ．1[,)2-+∞D ．1(,]2-∞-【答案】A 【分析】()32()6f x x x =--，由260x x --≥结合函数26y x x =--的递减区间可得结果.【详解】()()33222()66f x x x x x =--=--，由260x x --≥得32x -≤≤，又22125624x x x ⎛⎫--=-++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的单调递减区间为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A ．2．（多选）关于函数()241y x =-+ ） A ．在区间[]1,0-上单调递减 B ．单调递增区间为[]3,1-- C ．最大值为2 D ．没有最小值【答案】ABC【分析】先求出函数定义域，令()241t x =-+，根据二次函数的性质，由已知解析式，逐项判断，即可得出结果.【详解】由()2410x -+≥得31x -≤≤，即函数()241y x =-+的定义域为[]3,1-，令()241t x =-+，则()241t x =-+的图象是开口向下，对称轴为x ＝－1的抛物线， 所以函数()241t x =-+在[]3,1--上单调递增，在[]1,1-上单调递减，又y t =单调递增，所以()241y x =-+在[]3,1--上单调递增，在[]1,1-上单调递减，故A ，B 正确；()2max 4112y =--+=，当x ＝－3时，()24310y =--+=，当x ＝1时，()24110y =-+=，则min 0y =，故C 正确，D 错误. 故选：ABC.3．若函数241y ax x =++[)0,∞+，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,4 B ．()4,+∞C ．[]0,4D ．[)4,+∞【答案】C【分析】当0a =时易知满足题意；当0a ≠时，根据()f x 的值域包含[)0,∞+，结合二次函数性质可得结果.【详解】当0a =时，410y x =+≥，即值域为[)0,∞+，满足题意；若0a ≠，设()241f x ax x =++，则需()f x 的值域包含[)0,∞+，0Δ1640a a >⎧∴⎨=-≥⎩，解得：04a <≤； 综上所述：a 的取值范围为[]0,4. 故选：C.4．已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-[0，+∞），则实数m 的取值范围是__． 【答案】2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【分析】将m 分为000m m m =><，， 三种情况讨论：当0m =时，()210f x x =-≥ 满足条件；当0m <时，由二次函数知开口向下，不满足条件；当0m >时，只需二次函数的0∆≥即可，解出m 的取值范围，综上得m 的取值范围.【详解】解：当0m =时，()()22121f x mx m x m x =--+-=-，值域是[0，+∞），满足条件；令()()221g x mx m x m =--+- ，()()0g x ≥当m ＜0时，()g x 的图象开口向下，故f （x ）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；当m ＞0时，()g x 的图象开口向上，只需()2210mx m x m --+-=的0∆≥，即（m ﹣2）2﹣4m （m ﹣1）≥0， ∴232333m -≤≤，又0m > ，所以2303m <≤ 综上，2303m ≤≤， ∴实数m 的取值范围是：2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故答案为：2303⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.5．已知幂函数()()22317m f x m m x -=--的图像关于y 轴对称．(1)求()f x 的解析式；(2)求函数()()2243g x f x x =-+在[]1,2-上的值域．【答案】(1)()4f x x =(2)11,2434⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)根据幂函数的定义和性质求出m 的值即可；(2)由(1)求出函数()g x 的解析式，结合二次函数的性质即可得出结果. (1)因为()()22317m f x m m x -=--是幂函数，所以23171m m --=，解得6m =或3m =-． 又()f x 的图像关于y 轴对称，所以6m =，故()4f x x =．(2)由（1）可知，()()2242222111164316431684g x x x xx x ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭．因为[]1,2x ∈-，所以[]20,4x ∈，又函数21111684y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在1(,)8-∞上单调递减，在1(,)8+∞上单调递增，所以221111116,243844x ⎛⎫⎡⎤-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．故()g x 在[]1,2-上的值域为11,2434⎡⎤⎢⎥⎣⎦．考向3 二次函数与指数函数的复合问题1．函数2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为______．【答案】(]0,4【分析】先求得22x -的取值范围，再利用指数函数的性质即得.【详解】由于222x -≥-，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以222110422x --⎛⎫⎛⎫<≤= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(]0,4.故答案为：(]0,4.2．若函数()22312ax x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的最大值是2，则=a （ ） A ．14B ．14-C ．12D ．12-【答案】A【分析】根据()f x 有最大值及指数复合函数的单调性，可得223u ax x =-+在定义域上先减后增，再由二次函数性质求参数即可.【详解】由1()2uy =在定义域上递减，要使()f x 有最大值，则223u ax x =-+在定义域上先减后增， 当max ()2f x =，则223u ax x =-+的最小值为1-， 所以0131a a>⎧⎪⎨-=-⎪⎩，可得14a =.故选：A3．已知函数()11124x xf x a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()314f =，当[]3,2x ∈-时，函数()y f x m =+存在零点，则实数m的取值范围为（ ） A ．[]57,1-- B ．357,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．157,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．157,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】先根据条件算出参数a ，函数存在零点等价于方程有解，即()f x m =-有解，故只需要求()f x 在[]3,2-上的值域即可.【详解】由题意得，()1311244a f =++=，则1a =-，()11124x x f x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为[]3,2x ∈-，所以1,84t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因此()f x 可转化为()21h t t t =-+，1,84t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，其对称轴为12t =，()min 1324h t h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()max 857h t h ==，所以()f x 在[]3,2-上的值域为3,574⎡⎤⎢⎥⎣⎦．函数()y f x m =+存在零点，等价于方程()f x m =-有解，所以实数m 的取值范围是357,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．故选：B4．已知()212221x x xf x a +=+-+（其中a R ∈且a 为常数）有两个零点，则实数a 的取值范围是___________.【答案】()4,+∞【分析】设()20,x t =∈+∞，可转化为()2210t a t +-+=有两个正解，进而可得参数范围.【详解】设()20,xt =∈+∞，由()212221x x xf x a +=+-+有两个零点，即方程()2210t a t +-+=有两个正解，所以()21212Δ2402010a t t a t t ⎧=-->⎪+=->⎨⎪=>⎩，解得4a >，即()4,a ∈+∞， 故答案为：()4,+∞.5．要使函数124x x y a =++⋅在(],1x ∈-∞时恒大于0，则实数a 的取值范围是______. 【答案】3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】利用分离参数法得到124x x a +>-在(],1x ∈-∞时恒成立，令()124xx f x +=-，求出()f x 的值域，即可求出实数a 的取值范围.【详解】因为函数124x x y a =++⋅在(],1x ∈-∞时恒大于0， 所以124xx a +>-在(],1x ∈-∞时恒成立.令()124xx f x +=-，则()221412111142222x xx x x f x ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦+⎢⎣.因为(],1x ∈-∞，所以11,2 2x⎛⎫⎡⎫∈+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭.令21111,(), ,2242xt g t t t ⎛⎫⎛⎫⎡⎫==-++∈+∞ ⎪ ⎪⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭.因为()g t 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上为减函数，所以21111()()()222443g t g ≤=-++=-，即3(),4g t ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦因为()a g t >恒成立,所以3,4a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭6．已知函数()423x xf x a =+⋅+，a R ∈．(1)当4a =-，且[]0,2x ∈时，求函数()f x 的值域； (2)若函数()f x 在[]0,2的最小值为1，求实数a 的值； 【答案】(1)[]1,3- (2)22a =-【分析】（1）令[]21,4xt =∈，结合二次函数的性质可求得最值，由此可得()f x 值域；（2）令[]21,4x t =∈，可得()()23f x g t t at ==++，分别在12a -≤、142a <-<和42a-≥的情况下，根据二次函数单调性确定最小值点，由最小值可构造方程求得结果. (1)当4a =-时，()4423x xf x =-⋅+；令2x t =，则当[]0,2x ∈时，[]1,4t ∈，243y t t =-+在[]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增，()min 44231f x ∴=-⨯+=-，()max 161633f x =-+=，()f x ∴的值域为[]1,3-.(2)令2x t =，则当[]0,2x ∈时，[]1,4t ∈，()()23f x g t t at ==++，对称轴为2a t =-；当12a-≤，即2a ≥-时，()g t 在[]1,4上单调递增，()()min 141g t g a ∴==+=， 解得：3a =-（舍）； 当142a <-<，即82a -<<-时，()g t 在1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,42a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，()2min3124a a g t g ⎛⎫∴=-=-+= ⎪⎝⎭，解得：22a =（舍）或22a =-；当42a-≥，即8a ≤-时，()g t 在[]1,4上单调递减，()()min 41941g t g a ∴==+=， 解得：92a =-（舍）；综上所述：22a =-.7．已知函数()245x xf x a a =+-.(1)求()f x 的值域；(2)当[]1,2x ∈-时，()f x 的最大值为7，求a 的值. 【答案】(1)()5,-+∞ (2)12a =或2a =【分析】（1）利用换元法，设x t a =，则20,45t y t t >=+-，然后利用二次函数的性质可求得函数的值域， （2）分01a <<和1a >两种情况求解即可 (1)设x t a =，则220,45(2)9t y t t t >=+-=+-. 因为0t >，所以22t +>，所以2(2)4t +>， 所以495y >-=-， 即()f x 的值域为()5,-+∞. (2)函数245y t t =+-图象的对称轴为直线2t =-. 当01a <<时，21a t a -，所以245y t t =+-在21,a a -⎡⎤⎣⎦上单调递增，则()211457a a --+-=，解得12a -=或16a -=-（舍去）所以12a =； 当1a >时，12a t a -，所以245y t t =+-在12,a a -⎡⎤⎣⎦上单调递增，则()222457a a +-=，解得22a =或26a =-（舍去）， 因为1a >，所以2a =. 综上，12a =或2a =. 8．已知函数()33x x af x b+=+.(1)当5a =，3b =-时，求满足()3xf x =的x 的值；(2)当1b =时，若函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()g x 满足()()(31)3x x g x f x -=++ ①求()f x 及()g x 的表达式；②若对任意x ∈R 且0x ≠，不等式()()210g x m g x ≥⋅-恒成立，求实数m 的最大值. 【答案】(1)3log 5x =(2)①()3131-=+x x f x ，()331x xg x -=+-；②422+【分析】（1）代入5a =，3b =-得到()234350x x -⋅-=，再因式分解求解即可；（2）①由定义在R 上的奇函数满足()00f =可得1a =-，进而得到()f x 及()g x ；②化简可得()()233333110x x x x m --+-≥+--，令33x x t -=+，再参变分离根据基本不等式求解范围即可(1)因为5a =，3b =-时，()3533x x f x +=-，又因为()3xf x =，所以()234350x x -⋅-=（1x ≠）所以()()35310x x-+=，所以35x =，即3log 5x =；(2)①因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =， 10a ∴+=，1a =-，所以()3131-=+x x f x所以()331x xg x -=+-，②由①可得()()2222331333x x x x g x --=+-=+-，因为()()210g x m g x ≥⋅-对任意0x ≠恒成立，所以()()233333110x x x x m --+-≥+--对任意0x ≠恒成立，令33xxt -=+（()2,t ∈+∞），所以271t m t +≥-， 又因为()()()2212187812111t t t t t t t -+-++==-++--- 由对勾函数8y x x=+（1x >）的单调性可知，22x =时y 有最小值42， 所以)27422,1t t +⎡∈++∞⎣-，所以(,422m ⎤∈-∞+⎦，所以m 的最大值为422+. 9．已知函数()2x xa tf x a +=（0a >，1a ≠）是奇函数.(1)若()10f <，对任意[]0,1x ∈有()212f x kx k a a-->-恒成立，求实数k 的取值范围； (2)设()()22log x xm g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦（0m >，1m ≠），若()312f =，问是否存在实数m 使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)32k >； (2)不存在，理由见解析.【分析】（1）根据定义域为R 及奇函数性质(0)0f =求参数t ，可得()f x 的解析式并判断出单调性，根据1(1)f a a -=-，将不等式转化为2211x k x +<+在[0,1]x ∈恒成立，即可求k 范围；（2）先用()f x 表示函数()g x ，根据3(1)2f =求得()f x 的解析式，根据单调性利用换元法求得()f x 的值域，结合对数的定义域求m 的范围，根据对数型复合函数的单调性判断在m 的取值范围内能否取到最大值0. (1)由题设，(0)10f t =+=，解得1t =-，故21()x x x xa f x a a a--==-， 而1(1)0f a a=-<(0)a >，解得01a <<， 所以()x x f x a a -=-在R 上单调递减且1(1)f a a-=-，所以21(2)f x kx k a a-->-等价于()2(2)1f x kx k f -->-，即221x kx k --<-， 所以2211x k x +<+在[0,1]x ∈恒成立，整理可得()322121x k x ⎛⎫⎪++-< ⎪+⎪⎝⎭， 由对勾函数的性质知：()332212[2(62),]12x x ⎛⎫⎪++-∈- ⎪+⎪⎝⎭，所以32k >.(2)不存在实数m ，理由如下：22()log ()x xm g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦2log ()()2m f x mf x ⎡⎤=-+⎣⎦，因为3(1)2f =(0)a >，代入得132a a -=，解得2a =或12a =-(舍)， 所以()22x xf x -=-，易知()f x 在R 上为单调递增函数，令()22x x t f x -==-，当[]21,log 3x ∈时()131222f -=-=，()22log 3log 328log 3223f -=-=， 所以38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，对于()g t ，220t mt -+>在38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即在38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上2min2t m t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 令()2h t t t =+，38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以min 33417()2236h x h ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，即176m <，又0,1m m >≠，所以()170,11,6m ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭，对于二次函数()22d t t mt =-+：开口向上且对称轴为2m t =11170,,2212⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以对称轴位于38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦的左侧，即()d t 在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，所以()min 3317224d x d m ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，()max 8882339d x d m ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，假设存在满足条件的实数m 且max ()0g x =，则当()0,1m ∈时，()g t 为减函数，()()2min min 21d t t mt =-+=，即33171224d m ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，解得()130,16m =∉舍去，当171,6m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()g t 为增函数，()()2max max 21d t t mt =-+=，即88821339d m ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，解得73171,246m ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭舍去，综上，不存在实数m 满足条件成立. 【点睛】关键点点睛：（1）由奇函数性质求出参数t ，再由()2(2)1f x kx k f -->-，将问题转化为2211x k x +<+在[0,1]x ∈恒成立； （2）根据已知条件求出()f x 解析式并求出值域，结合对数函数的性质：在38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上2min2t m t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭求m的范围，最后讨论m 的范围，利用二次函数、对数复合函数的单调性判断m 的存在性.10．已知函数()2226f x x mx m =-++，()2xg x =.(1)求()()g f m 的值；(2)若方程()()128g f x =在区间[]1,2-上有唯一的实数解，求实数m 的取值范围；(3)对任意m R ∈，若关于x 的不等式()()()()()()f g x f g x t g x g x +-≥+-⎡⎤⎣⎦在R 上恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)64 (2)[)(]2,01,3-(3)(,25-∞⎤⎦【分析】（1）根据题意得()f m 的值，代入求解即可； （2）根据题意得222762=2xmx m -++，所以()()110x m x m ---+=，根据零点位置和区间端点位置判断即可求解； （3）根据题意得22222222+212220xxxx x xm m t ，化简得22(2)(2)22222x x x x t --++≤+，构造()22(2)(2)2222x x x xx ϕ--++=+求解即可.(1) 因为222266f m m m m ，所以()()()66264g f m g ===(2)由()()128g f x =，得222762=2x mx m -++，即22267x mx m -++=，即22210x mx m -+-=，因式分解得()()110x m x m ---+=， 解得1x m =+或1x m =-，因为方程()()128g f x =在区间[]1,2-上有唯一的实数解， 注意到11m m +>-，所以11212m m -≤-≤⎧⎨+>⎩或11112m m -<-⎧⎨-≤+≤⎩解得13m <≤，或20m -≤<.所以m 的取值范围是[)(]2,01,3-.(3)由()()()()()()f g x f g x t g x g x +-≥+-⎡⎤⎣⎦， 所以2222222+6+222+622xx x xx xm m m m t ，整理得22222222+212220xxxx x xm m t ①因为①式对任意m R ∈恒成立， 所以222222422+212220x xx x x xt 恒成立，所以()()()()2222222+212220x xxx x x t ---⎡⎤+-⨯+-+≤⎢⎥⎣⎦，整理得222222+222xxx x t ，即22(2)(2)22222x x x xt --++≤+ ② 记()22(2)(2)2222x x x xx ϕ--++=+， 因为②式在x ∈R 上恒成立，所以()2min t x ϕ≤恒成立， 令22x x u -=+，因为1122222222x x x xx x-+=+≥⨯=， 当且仅当0x =时，等号成立，所以2u ≥ 则()()22020+45u x h u u u uϕ+===≥， 当且仅当[)252,u =∈+∞时，等号成立，所以()45min x ϕ=. 所以245t ≤，即25t ≤，所以实数t 的取值范围是(,25-∞⎤⎦.11．已知函数()()2log 41xf x ax =++是偶函数，函数()()22222f x x xg x m -=++⋅的最小值为3-，则实数m 的值为（ ）A ．3B ．52-C ．2-D ．43【答案】B【分析】利用函数的奇偶性求出参数，在利用换元法把问题转化为含参的二次函数问题，再通过讨论参数来处理二次函数轴动区间定的问题进行求解.【详解】因为函数()()2log 41xf x ax =++是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()22log 41log 41x x ax ax -+-=++，所以()()222log 41log 410x x ax -++-+=，其中()()()()()22222241441441log 41log 41log log log log 424141414x x x x x xxx x x x xx ---+⋅+⋅++-+=====+++⋅，所以220ax x +=，解得1a =-，所以()()2log 41xf x x =+-，所以()()2log 414122222x x xf x x x x +--+===+，故函数()()222222x x x xg x m --=+++的最小值为3-．令22x x t -+=，则2t ≥，故函数()()222222x x x x g x m --=+++的最小值为3-等价于()()222h t t mt t =+-≥的最小值为3-，等价于()222223m h m ⎧-≤⎪⎨⎪=+=-⎩或2222324m m m h ⎧->⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得52m =-．故A ，C ，D 错误. 故选：B ．12．已知函数()()41log 412x f x x =+-，x ∈R .(1)证明：()f x 为偶函数；(2)若函数()()2421xf x xg x m +=+⋅-，[]20,log 3x ∈，是否存在m ，使()g x 最小值为0.若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)1m =-【分析】（1）根据偶函数的定义证明即可；（2）首先得到()2(2)2x xg x m =+⋅，令2x t =，则2y t mt =+，[]1,3t ∈，根据二次函数的性质分类讨论，分别计算可得； (1) 证明：41()log (41)2x f x x =+-定义域为R ，()()f x f x ∴--4411log (41)log (41)22x x x x -=++-++ 444111log log (41)422x x x x x +=+-++()44411log 41log 4log (41)22x x x x x =+-+-++ 44log (41)log (41)0x x x x =+--++=，即为()()f x f x -=， 则()f x 为偶函数； (2)解：4l ()(41)o 2g ()421421xxf x x xg x m m ++=+⋅-=+⋅-2(2)2x x m =+⋅，当[]20,log 3x ∈时，[]21,3x∈，令2x t =，则2y t mt =+，[]1,3t ∈， 当12m-≤时，即2m ≥-，2y t mt =+在[]1,3上单调递增， 所以1t =时，min 10y m =+=，解得1m =-，当132m <-<时即62m -<<-，2m t =-时，2min 04m y =-=， 解得：0m =不成立； 当32m-≥时，即6m -，2y t mt =+在[]1,3上单调递减，所以3t =时，min 390y m =+=， 解得3m =-不成立． 故存在满足条件的1m =-．考向4 二次函数与对数函数的复合问题1．（1）若函数()()22log 1f x ax ax =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是___________；（2）若函数()()22log 1f x ax ax =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是___________.【答案】 [)0,4 [4,)+∞【分析】（1）由题可得210ax ax ++>恒成立，分类讨论结合二次函数的性质即得； （2）由题可得210ax ax ++>的解包含所有的正数，分类讨论结合二次函数的性质即得. 【详解】（1）当0a =时，0f x符合题意；当0a ≠时，欲使210ax ax ++>在R 上恒成立，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩, 解得04a <<，综上，实数a 的取值范围是[)0,4； （2）当0a =时，0f x，不符合题意；当0a ≠时，欲使21ax ax ++取遍所有正数，只须使2040a a a >⎧⎨∆=-≥⎩， 解得4a ≥，综上，实数a 的取值范围是[4,)+∞. 故答案为：[)0,4；[4,)+∞.2．函数213log (68)y x x =-+的单调递增区间是（ ）A ．（3，+∞）B ．（－∞，3）C ．（4，+∞）D ．（－∞，2）【答案】D【分析】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数， 其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”. 【详解】先考虑定义域：2680x x -+>，解得4x >或2x <， 268u x x =-+是开口向上的抛物线，对称轴为x =3，在(),3-∞上单调递增，在()3,+∞上单调递减，函数()()213log 68f x x x =-+是由 13log y u=和268u x x =-+复合而成的，13log y u=是减函数，根据复合函数同增异减的原理，当(),2x ∈-∞ 时()f x 是增函数， 故选：D.3．（多选）若函数()()2ln 1=-+f x x ax 在区间[)2,+∞上单调递增，则下列实数可以作为a 值的是（ ）A ．4B ．52C ．2D ．0【答案】CD【分析】设()21g x x ax =-+，由复合函数单调性可确定()g x 单调性和()0g x >在[)2,+∞上恒成立，结合二次函数性质可构造不等式组求得a 的范围，结合选项可得结果.【详解】设()21g x x ax =-+，要使()()2ln 1f x x ax =-+在区间[)2,+∞上单调递增，则需()g x 在[)2,+∞上单调递增，且()0g x >在[)2,+∞上恒成立， ()222520ag a ⎧≤⎪∴⎨⎪=->⎩，解得：52a <，则选项中可以作为a 的值的是2和0.故选：CD.4．若函数212()log f x ax x =-在(2,3)单调递增，则实数a 的取值范围为________．【答案】[]3,4【分析】根据复合函数单调性性质将问题转化为二次函数单调性问题，注意真数大于0. 【详解】令2t ax x =-，则12log y t=，因为12log y t=为减函数，所以()f x 在2,3（）上单调递增等价于2t ax x =-在2,3（）上单调递减，且20ax x ->，即22390aa ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，解得34a ≤≤.故答案为：[]3,45．已知函数()()2log 24a f x ax x =-+（0a >，且1a ≠）在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则a 的取值范围______.【答案】[)21,2,93⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦【分析】分01a <<、1a >两种情况讨论即可.【详解】函数()()2log 24a f x ax x =-+是由log a y t =和224t ax x =-+复合而成，当1a >时log a y t =单调递增，若函数()()2log 24a f x ax x =-+（0a >，且1a ≠）在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则224t ax x =-+在1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且2240t ax x =-+>在1,32⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，224t ax x =-+的对称轴为1x a=所以11121404a a a⎧⎪>⎪⎪≤⎨⎪⎪-+≥⎪⎩解得：2a ≥， 当01a <<时log a y t =单调递减，若函数()()2log 24a f x ax x =-+（0a >，且1a ≠）在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则224t ax x =-+在1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且2240t ax x =-+>在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，224t ax x =-+的对称轴为1x a=所以01139640a a a <<⎧⎪⎪≥⎨⎪-+≥⎪⎩解得：2193a ≤≤， 综上所述：a 的取值范围是[)21,2,93⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦，故答案为：[)21,2,93⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦6．若函数()212log 2f x ax x =++的最大值为0，则实数a 的值为___________.【答案】14【分析】因为()f x 的最大值为0，所以()22h x ax x =++应有最小值1，利用二次函数的性质列式即可求解.【详解】因为()f x 的最大值为0，所以()22h x ax x =++应有最小值1，因此应有0811,4a a a>⎧⎪-⎨=⎪⎩解得14a =.故答案为：14. 7．函数()()()22log 2log 4f x x x =⋅的最小值为（ ） A ．1 B ．13C ．12-D ．14-【答案】D【分析】根据对数的运算法则，化简可得2231()log 24f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，分析即可得答案.【详解】由题意得()()()()222222231log 1log 2log 3log 2log 24f x x x x x x ⎛⎫=++=++=+- ⎪⎝⎭，当23log 2x =-时，()f x 的最小值为14-.故选：D8．已知函数33()log log 327x xf x =⋅，若()()12f x f x =（其中12x x ≠），则1219x x +的最小值为（ ）．A ．34B ．32C ．2D ．23【答案】D【分析】根据二次函数的性质及对数的运算可得1281x x ⋅=，利用均值不等式求最值即可. 【详解】()2333333log log (log 1)(log 3)log 4log 3327x x f x x x x x =⋅=--=-+, 由()()12f x f x =， 3132log log 4x x ∴+=，即1281x x ⋅=，1212199122233x x x x ∴+≥=⨯=，当且仅当1219x x =，即123,27x x ==时等号成立，故选：D.9．已知函数()22()log 2log 8a xf x x =(常数R a ∈)． (1)当1,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为−1，求a 的值；(2)当1a =时，设1m ，若对任意[)2,x ∞∈+，不等式()()()22441x x x xf m f ---<+-恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)－1； (2)241(1,)60.【分析】(1)依题意，令2log t x =，原函数转化为2()(3)3g t t a t a =+--，其对称轴方程为3322a at --=-=，根据[2t ∈-，3]，与对称轴的位置关系分类讨论，可求得a 的值；(2)当1a =时，22()(1log )(log 3)f x x x =+-，令2log t x =，由21x t ⇒，运用换元法，参数分离m ，得44122x x x xm --+-<-，再利用二次函数和对勾函数的单调性，可求得实数m 的范围． (1)()()()()()222222log 2log log log 8log log 3a f x x x x a x --＝＋＝＋，可令2log t x =，当1[4x ∈，8]时，[2t ∈-，3]，则2()()(3)(3)3y g t t a t t a t a ==+-=+--，其对称轴方程为32at -=， ①当322a --，即7a 时，()g t 在[2-，3]上递增，min ()(2)42(3)35101g t g a a a =-=---=-+=-，解得115a =，不符合题意； ②当332a-，即3a -时，()g t 在[2-，3]上递减，min ()g t g =(3)(3)(33)01a =+-=≠-，不符合题意；③当3232a --<<，即37a -<<时，min 333()()()(3)1222a a ag t g a ---==+-=-，解得1a =-． 综上，a ＝－1； (2)当1a =时，22()(log 1)(log 3)f x x x =+-， 令2log t x =，∵2x ，则1t ， ∵223y t t =--的对称轴为1t =，∴223y t t =--在[1，)∞+递增，即()f x 在[2，)∞+递增， ∵22x x y -=-和441x x y -=+-在2x 时均为增函数， ∴152224x x-->，4412x x -+->， ∵1m ，∴(22)2x x m -->，∵((22))(441)xxxxf m f ---<+-，∴(22)441xxxxm ---<+-，即44122x x x xm --+-<-，∵2441(22)1x x x x --+-=-+，∴12222x xx xm --<-+-，∵15224x x--，1y x x=+在x ＞1时为增函数， ∴根据复合函数的单调性知12222x x x xy --=-+-在x ≥2时为增函数，∴1154241222241560x x xx---++=-，故24160m <， ∵1m ，∴m 的取值范围是241(1,)60． 10．已知函数2()log 1f x x =-的定义域为[1，16]，函数()22()[()]2g x f x af x =++，a ∈R .(1)求函数g （x ）的定义域；(2)求函数g （x ）的最小值M （a ）的表达式. 【答案】(1)[1，4](2)()23,?12,1133,? 1a a M a a a a a a -≥⎧⎪=-++-<<⎨⎪+≤-⎩【分析】（1）列不等式组，即可求出定义域；（2）求出()g x 的解析式，利用换元法令2log t x =，得到2()(22)3F t t a t a =+--+，[0,2]t ∈.对a 分类讨论，分别利用单调性求出最小值，即可得到M （a ）的表达式. （1）因为2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，所以14x ≤≤， 所以函数g （x ）的定义域为[1，4]. （2）2()log 1f x x =-，[1,16]x ∈，则()()22222()[()]2log (22)log 3g x f x af x x a x a =++=+--+，[1,4]x ∈.令2log t x =，222()(22)3[(1)]2F t t a t a t a a a =+--+=---++，[0,2]t ∈. 当1a ≥时，F （t ）在[0，2]上是增函数，所以当t =0时，min ()3F t a =-；当-1<a <1时，F （t ）在[0，1-a ]上单调递减，在[1-a ，2]上单调递增，所以当t =1-a 时，2min ()2F t a a =-++；当1a ≤-时，F （t ）在[0，2]上是减函数，所以当t =2时，min ()33F t a =+.综上，()()2min3,?12,1133,? 1a a M a g x a a a a a -≥⎧⎪==-++-<<⎨⎪+≤-⎩11．已知函数()232log f x x =-，()2log g x x =．(1)求函数()()22y f x fx g x =⋅+在[]1,4上的零点；(2)若函数()()()1h x f x g x k =+⋅-⎡⎤⎣⎦在[]1,4上有零点，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)2x = (2)[]0,2．【分析】(1)通过换元法将复合函数转化为以t 为自变量的二次函数，整理之后求出令函数为0的t 值，求出对应x 值即为其零点；(2)求出()0h x =时k 的表达式，通过换元法用t 表示k ，根据t 的取值范围判断k 的取值范围即可. （1）由()()()220f x fx g x ⋅+=，得()()22234log3log 2log 0x x x --+=．令2log t x =，因为[]1,4x ∈，所以[]0,2t ∈，则原式可转化为()()34320t t t --+=，化简为241390t t -+=， 解得1t =或94t =（舍去），所以2log 1x =，所以2x =， 即函数()()()22y f x fx g x =⋅+在[]1,4上的零点为2x =．（2）()()()222242log log 2log 12h x x x k x k =-⋅-=--+-，令2log t x =，因为[]1,4x ∈，所以[]0,2t ∈， 令()0h x =，得()2212k t =--+，因为[]0,2t ∈，所以()[]22120,2t --+∈，即实数k 的取值范围为[]0,2．12．已知函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎥⎣⎦．(1)当2k =时，求函数()f x 在[0,)+∞的值域；(2)已知01k <<，若存在两个不同的正数a ，b ，当函数()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围．【答案】(1)27log ,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭(2)13,23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）换元法，结合复合函数单调性求解函数值域；（2）换元后，结合二次函数对称轴得到()f x 单调递增，从而得到方程组()()22log 21log 21a bh a h b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，从而得到2,2a b可看作方程()21102k t k t k ⋅-+++=的两个根，利用二次函数根的分布得到不等式组，求出实数k 的取值范围. (1)当2k =时，25()log 2422x xf x ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭，[0,)x ∈+∞令[)21,xt ∞=∈+，则22225119()log 2log 2248g t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，根据复合函数单调性可知，22119()log 248g t t ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦在[)1,t ∈+∞上单调递增，故()27()1log 2g t g ≥=，所以函数()f x 在[0,)+∞的值域为27log ,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭(2)因为函数()f x 的定义域为[],a b ，令2x t =，则22,2x a bt ⎡⎤=∈⎣⎦，则()()2112h t kt k t k =--++因为01k <<，所以对称轴102k t k-=<， 故()()2112h t kt k t k =--++在2,2a b ⎡⎤⎣⎦上单调递增，则()f x 单调递增， 因为()f x 的值域为[1,1]a b ++，所以()()22log 21log 21a b h a h b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即()()2121121222121222a a a b b b k k k k k k ++⎧⋅--++=⎪⎪⎨⎪⋅--++=⎪⎩，故2,2a b 可看作方程()21102k t k t k ⋅-+++=的两个根， 由于,a b 为正数，所以21,21a b >>，则要满足()Δ010h >⎧⎨>⎩，解得：1323k <<，故实数k 的取值范围是13,23⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭。
关于高考数学中二次函数考题类型研究.docx
关于高考数学中二次函数考题类型研究.docx关于髙考数学中二次函数考题类型研究在高中数学中，二次函数作为常见的但是又是非常重要的函数类型，在历来的高考数学试卷中都会涉及到该方面的内容，同时还会对一元二次方程和一元二次不等式等知识点进行考查.从近些年来的高考试卷中可以看出，在对二次函数的考查当中出现很多新的题型?这就需要我们加强对二次函数题型的研究，总结历年髙考中所涉及到该方面考查的内容，找到一些规律，总结出一些必考的题型，让学生加强该方面知识的掌握，确定重点和难点，为高考做好准备.1.对二次函数零点问题的讨论在新课程标准下对学生综合素质的考查越来越重视，函数的零点问题会涉及到基本初等函数的图象，同时渗透化归转化、数形结合、函数和方程等思想方法?函数的零点问题可以有效培养学生创造性和灵活性思维模式的形成，通过对函数零点问题的考查，在很大程度上可以体现出学生的综合素质，所以该体型作为重要的考题类型?从最近几年的数学高考试卷中可以看出，函数的零点问题可以说是必考的题型，虽然形式趋向多样化，但是基本上都和函数知识有关.例1设a是实数，函数f (x) =2ax2+2x-3-a,假如函数y=f (x)在区间［T,1］上存在零点，求a的取值范围.该题主要是对学生的分类讨论能力以及二次函数的零点问题进行考查，从本质上看，其实是对一元二次方程在指定的区间内根的分布问题的考查?下面对此题进行解析.解当a=0时，函数f(x)在区间［-1, 1］是不存在零点的.当aHO时应分三种情况进行讨论：①当f (x)=O在区间［T, 1］上存在重根，这时△=(), 求得a=-3_72,满足-lW~a2Wl.②当函数f (x)在区间［-1, 1］只有一个零点存在，而且不是函数f (x) =0的重根，这时 f (T) ? f (1) WO,解得lWaW5?③当函数 f (x) =0 在区间［T, 1］上存在两个相异的实根，此时函数f (x) =2a(x+12a) 2_12a_a_3,而其图象的对称轴解首先看第一个问题，假如x2-120,或x2-10,求证: ①方程f (x) =0有实根存在；②-20相矛盾，所以a是不等于0的，接下来就很简单了?对于第二个问题，我们所要证明的ba的范围是在(-2, -1)这个区间上的，这时我们只要以ba为元，将不等式找到即可.因为f (0) f (1) >0,即就是说c (3a+2b+c) >0,而c=_ (a+b),所以(a+b) (2a+b) 0,当-lWxWl时，g (x)的最大值为2,求f (x).解析该题在该试卷中作为压轴题，对于第一个问题，由f (0) =c 和TWxWl, |f (x) |W1,可得|f (0) | = |c|Wl. 在第二个问题中，因为g (x)是一次函数，当a>0时，其在区间［T, 1］上是单调递增的，而g (-1) Wg (x) Wg (1), 只需g (-1) 22, g (1) W2?而g (-1) =c-f (T), g (1) =f (1) -c,这时结合已知条件和已得到的条件很容易就可以得到所需的结果?对于第三个问题，因为g(X)是一次函数，当a>0时，其在区间［-1, 1］上是单调递增的，所以g(l)=a+b=f(l)-f(0)=2.因为-lWf(O)二f(l)-2Wl-2二-1 ,所以c=f (0)二T.又因为x=0为函数图象的对称轴，所以-b2a=0, b二0，所以a二2?所以函数f (x)二2x2T?结束语上文中主要对高考数学中二次函数的主要考题类型进行了分析，旨在为教师指明教学的重点，同时可供学生参考.。
2020年高考数学(理)函数与导数 专题05 二次函数及应用(解析版)
函数与导数05函数 二次函数及应用一、具体目标：1.掌握二次函数的图象与性质,2.会求二次函数的最值(值域)、单调区间.从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用． 二、知识概述：1.与二次函数有关的绝对值问题：解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质、绝对值不等式及式子变形的技巧，还要注意用某几个特定的函数值表示二次函数的系数. 2.二次函数与二次方程及二次不等式：解决这类问题应注意二次函数、二次方程及二次不等式之间的关系及相互转化. 3.二次函数求最值问题，一般先用配方法化为()k h x a y +-=2的形式，得顶点()k h ,和对称轴方程h x =，结合二次函数的图象求解，常见有三种类型：(1)顶点固定，区间也固定；(2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外； (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值．4.二次方程根的分布问题，通常转化为相应二次函数与x 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象通过对称轴，判别式Δ，相应区间端点函数值来考虑． 【优秀题型展示】1.已知二次函数)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(的两个实数根为1x 和2x .【考点讲解】（1） 如果4221<<<x x ，设函数的对称轴为0x x =，求证：10->x ； （2） 如果21<x ，212=-x x ，求b 的取值范围.【解析】（1）设2()()(1)1g x f x x ax b x =-=+-+，0a >Q ，∴由条件4221<<<x x ，得(2)0,(4)0.g g <>即4210,3142.1643042a b a b a a b +-<⎧⇒-<<-⎨+->⎩显然由314242a a -<-得1.8a >即有3121824b a a a->->-， 故01111 1.12448b x a a =->->-=-⨯（2）由2()(1)10g x ax b x =+-+=，知1210x x a=>，故1x 与2x 同号. ①若102,x <<则212x x -=（负根舍去），212 2.x x ∴=+>(2)0g ∴<，即4210.(*)a b +-<22212(1)4()4b x x a a-∴-=-=，221(1)1a b ∴+=-+ （0,a >负根舍去）， 代入（*）式，得22(1)132b b ∴-+<-，解出1.4b <②若120x -<<，则2122x x =-+<-（正根舍去），(2)0g ∴-<，即4230(**).a b -+<将221(1)1a b +=-+代入（**）式得22(1)121b b -+<-， 解得7.4b >综上，b 的取值范围为14b <或7.4b >2.已知二次函数.)(2c bx ax x f ++=（1）对于R x x ∈21,，且)()(,2121x f x f x x ≠<，求证：方程)]()([21)(21x f x f x f +=有不等的两实根，且必有一个实根属于),(21x x ； （2）若方程)]()([21)(21x f x f x f +=在),(21x x 内的根为m ，且21,21,x m x -成等差数列，设0x x =是)(x f 的对称轴方程，求证：.20m x <证明：（1）由)]()([21)(21x f x f x f +=得： 222121222()()0.ax bx a x x b x x +-+-+=222121222120,(2)42[()()]2(2)2(2)0.a b a a x x b x x ax b ax b ≠∴∆=-⋅⋅-+-+=+++≥Q又1212,22.0.x x ax b ax b <∴+≠+∴∆>∴方程)]()([21)(21x f x f x f +=有不等的两实根.令121()()[()()]2g x f x f x f x =-+，则()g x 是二次函数. 由12121212()()()()()()[()][()]22++⋅=--f x f x f x f x g x g x f x f x212121[()()]0,()()4=--≤≠f x f x f x f x得12()()0,()0g x g x g x ⋅<∴=的根必有一个属于12(,).x x 综上，方程)]()([21)(21x f x f x f +=有不等的两实根，且必有一个实根属于),(21x x . （2）由题设得122()()()f m f x f x =+，即有2221212(2)(2)0.a m x x b m x x --+--=121,,2x m x -Q 成等差数列，122 1.m x x ∴--=22212(2).b a m x x ∴=---故222120,22x x b x m a +=-=-22212120,0..x x x x x m <∴+>∴<Q1.【2017北京，文11】已知0x ≥，0y ≥，且1x y +=，则22x y +的取值范围是__________． 【解析】本题考点是二次函数的值域问题，但需要将二元转化为一元.()[]1,0,122122222∈+-=-+=+x x x x x y x ，对称轴为直线21=x ，所以函数在10或=x 时，取得最大值1，当21=x 时，取得最小值是21.所以22y x +的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【答案】1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.【2018年天津卷文】已知R a ∈，函数()⎩⎨⎧>-+-≤-++=0,220,2222x a x x x a x x x f ，若对任意[)+∞-∈,3x ，()x x f ≤恒成立，则a 的取值范围是__________．【解析】本题考点二次函数的性质及不等式恒成立的具体应用. 分类讨论：①当0>x时，()x x f ≤也就是x a x x ≤-+-222，整理可得：x x a 21212+-≥，由恒成立的条件可知：max 22121⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≥x x a ()0>x，结合二次函数的性质可知：当21=x 时，8141812121max 2=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-≥x x a ，则81≥a ； ②当03≤≤-x 时，()x x f ≤也就是x a x x -≤-++222，整理可得：232+-≤x x a ，【模拟考场】由恒成立的条件可知：()min 223+-≤x x a()03≤≤-x ，结合二次函数的性质可知：当03=-=x x或时，()223min 2=+-x x ，则2≤a ；综合①②可得a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡281，. 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡281，3.【2019优选题】已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4m (m >0)在区间[m ，2m ]上的最大值为4，则m 的值为________． 【解析】函数f (x )＝x 2－2x ＋4m (m >0)的对称轴为直线x ＝1，图像开口向上，所以自变量离对称轴越远，函数值越大．当|2m －1|≥|m －1|，即m ≥23时，函数f (x )在[m ，2m ]上的最大值为f (2m )＝4m 2－4m ＋4m ＝4，解得m ＝1；当|2m －1|<|m －1|，即0<m <23时，函数f (x )在[m ，2m ]上的最大值为f (m )＝m 2－2m ＋4m ＝m 2＋2m ＝4，解得m ＝－1±5，不满足条件．综上，m 的值为1. 【答案】14.a 为实数，函数f (x )＝|x 2－ax |在区间[0，1]上的最大值记为g (a )．当a ＝________时，g (a )的值最小． 【解析】当a ＝0时， f (x )＝x 2，则g (a )＝f (1)＝1；当a <0时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax （x ≤a 或x ≥0），－x 2＋ax （a <x <0），则g (a )＝f (1)＝1－a ；当a >0时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax （x <0或x >a ），－x 2＋ax （0≤x ≤a ），此时f2⎛⎫ ⎪⎝⎭a ＝－a ⎛⎫ ⎪⎝⎭22＋a 22＝a 24， 由x 2－ax ＝a 24(x >0)得x ＝2＋12a .当2＋12a ≤1，即0<a ≤2(2－1)时，g (a )＝f (1)＝1－a ； 当a 2<1<2＋12a ，即2(2－1)<a <2时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24；当a 2≥1，即a ≥2时，g (a )＝f (1)＝－1＋a .综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－a ，a ≤2（2－1），a24，2（2－1）<a <2a －1，a ≥2，，易得当a ＝2(2－1)时，g (a )取最小值．故答案为22－2.【答案】22－25．【2016年山东】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩，， 其中0m >，存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是_________.【解析】本题考点二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.【答案】(3,)+∞ 6.【2017优选题】已知()()4222+-+=x a x x f ，如果对错误!未找到引用源。
高中数学：二次函数知识点总结及相关典型题目解析.doc
二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分基础知识1.定义：一般地，如果y = ax2 +hx-^c(a,h,c是常数，。
工0),那么y叫做兀的二次函数.2.二次函数y = ax1的性质(1)抛物线y = 的顶点是坐标原点，对称轴是轴.(2)函数y = 的图像与。
的符号关系.①当a > 0时o抛物线开口向上o顶点为其最低点；②当a v 0时o抛物线开口向下o顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y = ax2(a^0).3.二次函数y = ax2 +bx + c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.4.二次函数y = ax2 +bx-^c用配方法可化成：y = a(x-h)2 ^-k的形式，其中7 b . 4ac-b2n = ---- , k = --------- .2a 4a5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：®y = ax2；®y = ax2+k；③y二皿尤一力尸；④y = a{x 一肝 + k ；⑤ y = ax1 +bx + c.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①。
的符号决定抛物线的开口方向：当Q>0时，开口向上；当GV0时，开口向下；⑷相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y轴(或重合)的直线记作x = h.特别地，y轴记作直线x = 0.7.顶点决定抛物线的位置.儿个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：y = ax2 +bx + c = a x + — + ~ ,二顶点是(一2, — ), 对称轴是“I 2a J 4ci 2a 4a直线x = .2a(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y = a(x-hf-hk的形式，得到顶点为(力，£),对称轴是直线x = h,(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y = ax2 +/zr + c中，a,b,c的作用(1)d决定开口方向及开口大小，这与y = cix2屮的d完全一样.(2)b和Q共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y = +bx + c的对称轴是直线x =―,故：①b = 0时，对称轴为y轴；②->0 (即b同号)时，对称轴在y轴左侧；2a a b③一<0 (即b异号)吋，对称轴在y轴右侧.a(3)c的大小决定抛物线y = ax1 +加+ c与y轴交点的位置.当x = 0时，y = c ,抛物线y - ax1 + bx + c与y轴有且只有一个交点(0, c )：①c = 0,抛物线经过原点；②c>0,与y轴交于正半轴；③c< 0,与y轴交于负半轴.以上三点屮，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则-<0.a 几种特殊的二次函数的图像特征如下:11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)-般式：y = 加+ C.已知图像上三点或三对兀、y的值，通常选择-•般式.(2)顶点式：y = a(x-h)2+k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3) 交点式：已知图像与兀轴的交点坐标兀]、x 2,通常选用交点式：y = a(x-X,)(x-x 2). 12. 直线与抛物线的交点(1) y 轴与抛物线y = ax 2+bx + c 得交点为(0, c).(2) 与y 轴平行的直线x = h 与抛物线y = ax 2+ + c 有_EL 只有一个交点(h, ah 2+ bh + c). (3) 抛物线与兀轴的交点二次函数y = ax 2-^-bx + c 的图像与尤轴的两个交点的横坐标西、x 2 ,是对应一元二次方程 ax 2-^-bx +c = 0的两个实数根.抛物线与兀轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判 别式判定：① 有两个交点o A>0 o 抛物线与兀轴相交；② 有一个交点(顶点在兀轴上)o △ = () u>抛物线与x 轴相切； ③ 没有交点o △ vO o 抛物线与兀轴相离.(4) 平行于兀轴的直线与抛物线的交点同(3) —样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设 纵坐标为比，则横坐标是ax 2+bx + c = k 的两个实数根.(5) 一次函数y 二尬+并(£ H0)的图像Z 与二次函数y = ax 2+bx + c(d 丰0)的图像G 的交点，由方y = kx + t{程组 . <的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时o /与G 有两个交点;y = ax~ +e + c②方程组只有一组解时o /与G 只有一个交点；③方程组无解时o /与G 没有交点.(6) 抛物线与兀轴两交点Z 间的距离：若抛物线y = aF +bx + c 与兀轴两交点为A (X[,0), B (X 2,0),由于X ［、兀2是方程axl^bx + c = 0的两个根，故bc %! + %2 = ----- X j • =—a ~ aAB = \x } -x 2| = 7（x i _x 2）2 =V （x i _x 2）2-4x^2 =（b\24c Jb 2—4ac V A第二部分典型习题1.抛物线y=x?+2x — 2的顶点坐标是( )A. (2, -2)B. (1, -2)C. (1, -3)D. (-1, -3)2.已知二次函数y = ax2+bx + c的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A. ab>0, c>0B. ab>0, c<0 C・ ab<0, c>0 D. ab<0, cVO第2, 3题图第4题图3.二次函数y=ax2+bx+c的图彖如图所示，则下列结论正确的是（）A. a>0, b<0, c>0B. a<0, b<0, c>0C. a<0, b>0, c<0D. a<0, b>0, c>04•如图，已知\ABC中，BC=8, BC ±的高/? = 4 , D为BC ± 一点，EF □ BC ,交AB于点E,交AC于点F（EF不过A、B）,设E到BC的距离为x ,则'DEF的面积y关于兀的函数的图象大致为（）5.抛物线丁 =兀2_2兀_3与x轴分別交于A、B两点，则AB的长为_____ .6.已知二次函数y=kx2+（2k~l）x一1与x轴交点的横坐标为西、吃（西<兀2）,则对于下列结论：① 当x = —2时，y = l；②当兀>兀2时，y>0；③方程kx2+（2k~\）x-\=0有两个不相等的实数根石、/i_i_4^2X.；④坷<一1, x7>-1:⑤x-x=------------------- ,其屮所有正确的结论是_ （只需填写序号）.k7.已知直线y = -2兀+ 50工0）与x轴交于点A,与y轴交于点B；一抛物线的解析式为y = x2 -（b + 10）x + c.（1）若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y = -2x + b上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B作直线BC丄AB交x轴交于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y = -2x-^-b的解析式.解:&有一个运算装置，当输入值为X时，其输出值为)，，且y是X的二次函数，已知输入值为-2,0, 1时, 相应的输出值分别为5, -3, -4.(1)求此二次函数的解析式；(2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象，并根据图象写出当输出值y为正数时输入值兀的取值范围.解：9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天屮每昼夜的体温变化情况相同.他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图.请根据图象冋答：⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需耍多少时间?⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少？⑶兴趣小组乂在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式.10•已知抛物线y = +(- + 367)X4-4与X轴交于A、B两点，与y轴交于点C.是否存在实数a,使得AABC为直角三角形.若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.11.已知抛物线y= —x'+mx—m+2.(1)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB=>/5，试求ni的值；(2)设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且AMNC的而积等于27,试求m的值.解：12.已知：抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A (-1, 0).(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；(2)D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线的解析式；(3)E是笫二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在(2)屮的抛物线上，且它与点八在此抛物线対称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P,使AAPE的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.13.己知二次函数的图象如图所示.（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标.（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q.当点N在线段BM上运动时（点N不与点B,点M重合），设NQ的长为1,四边形NQAC的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使APAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将AOAC补成矩形，使AOAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）.14.已知二次函数的图象经过点（1, -1）.求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数.15.卢浦人桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在人桥截面1 ： 11000的比例图上，跨度AB=5cm,拱高OC = 0.9cm,线段DE表示大桥拱内桥长，DE〃AB,如图(1).在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图(2).(1)求出图(2)上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域;(2)如果DE与AB的距离0M=0. 45 cm,求卢浦大桥拱内实际桥长(备用数据：V2 « 1.4 ,计算结果精确到1米).16.已知在平面直角坐标系内，0为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图.二次函数y=ax1 2+bx+c (Q HO)的图象经过点A、B,与y轴相交于点C.1 a. c的符号之间有何关系？2 如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例屮项，试证a、c互为倒数；(3)在(2)的条件下，如果b=-4, AB=4ji ,求a、c的值.第二部分典型习题1 .抛物线y = x' + 2x —2的顶点坐标是(D )A. (2, -2)B. (1, -2)C. (1, -3)2 .已知二次函数y = aX 2+bx + C 的图象如图所示，则下列结论正确的是（C ）A . ab>0, c>0B . ab>0, c<0C . ab<0, c>0D . ab<0, c<0第2, 3题图第4题图3 .二次函数y=cix 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（D ）EF 4-x 口口 。
二次函数与一元二次方程、不等式【八大题型】(解析版)-2025年新高考数学一轮复习
二次函数与一元二次不等式【八大题型】【新高考专用】【题型1不含参一元二次不等式的解法】【题型2含参一元二次不等式的解法】【题型3由一元二次不等式的解确定参数】【题型4其他不等式的解法】【题型5一元二次不等式根的分布问题】【题型6二次函数的单调性、最值问题】【题型7一元二次不等式恒成立问题】【题型8一元二次不等式有解问题】1、二次函数与一元二次方程、不等式考点要求真题统计考情分析(1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式(2)掌握三个“二次”的关系，会解一元二次不等式(3)了解分式、高次、绝对值不等式的解法2020年I 卷：第1题，5分2023年新高考I 卷：第1题，5分一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年高考情况来看，三个“二次”的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中；此外，“含参不等式恒成立与能成立问题”也是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.【知识点1一元二次不等式】1．一元二次不等式的解法(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．2．分式、高次、绝对值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步骤：①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步骤：高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集.(3)解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解.3．一元二次不等式恒成立、存在性问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2+bx+c>0，它的解集为R的条件为a>0，Δ=b2-4ac<0；一元二次不等式ax2+bx+c≥0，它的解集为R的条件为a>0，Δ=b2-4ac≤0；一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为∅的条件为a<0，Δ≤0.【方法技巧与总结】1．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R，则一定满足a>0Δ<0 ；2．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为φ，则一定满足a<0Δ≤0 ；3．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R，则一定满足a<0Δ<0 ；4．已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为φ，则一定满足a>0Δ≤0 ．【题型1不含参一元二次不等式的解法】1(2023·广东珠海·模拟预测)不等式x2+x-6<0的解集是()A.-6,1B.-1,6C.-2,3D.-3,2【解题思路】利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集.【解答过程】由x2+x-6<0得x-2x+3<0，解得-3<x<2，故原不等式的解集为-3,2.故选：D.2(2024·天津·一模)设x∈R，则“x<0”是“x2-x>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】解出不等式x 2-x >0后，结合充分条件与必要条件的定义即可得.【解答过程】由x 2-x >0，解得x >1或x <0，故“x <0”是“x 2-x >0”的充分不必要条件.故选：A .3(2023·湖南岳阳·模拟预测)不等式x 2-1<3x +1 的解集是()A.x ∣x <4B.x ∣-4<x <1C.x ∣-1<x <4D.x ∣x <-1 或x >4【解题思路】将不等式化简成一元二次不等式的标准形式，即可求得结果.【解答过程】由不等式x 2-1<3x +1 可得x 2-3x -4<0，即x -4 x +1 <0，可得-1<x <4，因此不等式x 2-1<3x +1 的解集是x ∣-1<x <4 .故选：C .4(2024·湖南衡阳·模拟预测)已知命题p ：集合A =x x 2+x -2>0 ，命题q ：集合B =x x 2+2x -3>0 ，则p 是q 的( )条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要【解题思路】解出集合A 、B ，利用集合的包含关系判断可得出结论.【解答过程】∵A =x x 2+x -2>0 =x x +2 x -1 >0 =x x <-2或x >1 ，B =x x 2+2x -3>0 =x x +3 x -1 >0 =x x <-3或x >1 ，∴B 是A 的真子集，因此，p 是q 的必要不充分条件.故选：B .【题型2含参一元二次不等式的解法】1(23-24高一上·海南海口·期中)若0<m <1，则不等式x -m x -1m<0的解集为()A.x 1m <x <mB.x x >1m 或x <mC.x x <1m或x >m D.x m <x <1m【解题思路】根据0<m <1得到1m >m ，从而写出x -m x -1m <0的解集.【解答过程】因为0<m <1，所以1m>m ，所以x -m x -1m <0的解集为x m <x <1m.故选：D .2(23-24高一上·山东·阶段练习)不等式ax 2-a +1 x +1≥0a <0 的解集为( ).A.x 1a ≤x ≤1B.x 1≤x ≤1aC.x x ≤1a 或x ≥1D.x x ≤1或x ≥1a【解题思路】由一元二次不等式的解法求解.【解答过程】原不等式可化为ax -1 x -1 ≥0即a x -1a (x -1)≥0，而a <0，故1a<1，y =ax 2-(a +1)x +1图象开口向下，故原不等式的解集为x 1a≤x ≤1 .故选：A .3(23-24高一上·河南开封·期中)关于x 的不等式ax 2-a +1 x +1<0的解集不可能是()A.∅B.x x >1C.x 1 <x <1aD.x |x <1 或x >1a【解题思路】将原不等式化为ax -1 x -1 <0，再分类讨论a 的取值情况进行求解.【解答过程】由题意，原不等式可化为ax -1 x -1 <0当a =0时，原不等式为-x +1<0，解得x >1，原不等式的解集为x x >1 ；当a >1时，0<1a <1，原不等式的解集为x 1a<x <1 ；当0<a <1时，1a >1，原不等式的解集为x 1<x <1a ；当a =1时，1a =1，原不等式的解集为∅；当a <0时，1a <1，原不等式的解集为x x <1a 或x >1 ；综上，当a =0时，原不等式的解集为x x >1 ；当a >1时，原不等式的解集为x 1a <x <1 ；当0<a <1时，原不等式的解集为x 1<x <1a；当a =1时，原不等式的解集为∅；当a <0时，原不等式的解集为x x <1a 或x >1 ；故不可能的解集为x |x <1 或x >1a .故选：D .4(23-24高一上·浙江台州·期中)不等式ax 2+bx +c >0的解集为x -3<x <2 ，则下列选项正确的为()A.a +b +c <0B.9a +3b +c >0C.不等式cx 2+ax +b >0的解集为x -13<x <12D.不等式cx 2+bx +a >0的解集为x x >12 或x <-13 【解题思路】赋值法可解AB ，消去参数可解CD .【解答过程】记f x =ax 2+bx +c ，因为1∈x -3<x <2 所以f 1 =a +b +c >0，故A 错误；因为3∉x -3<x <2所以f 3 =9a +3b +c ≤0，故B 错误；由题知-3和2是方程ax 2+bx +c =0的两个实根，所以-b a =-3+2=-1，ca=-3×2=-6且a <0解得b =a ,c =-6a故cx 2+ax +b =-a 6x 2-x -1 >0⇔6x 2-x -1>0⇔x >12或x <-13，C 错误；cx 2+bx +a =-a 6x 2-x -1 >0⇔6x 2-x -1>0⇔x >12或x <-13，D 正确；故选：D .【题型3由一元二次不等式的解确定参数】1(23-24高一下·云南·阶段练习)若关于x 的不等式x 2-m +1 x +m <0的解集中恰有三个整数，则实数m 的取值范围为()A.-3,-2 ∪4,5B.-2,-1 ∪4,5C.-3,1 ∪4,5D.-3,5【解题思路】分类讨论x 2-(m +1)x +m =0的两根大小，结合已知条件，通过求一元二次不等式即可求解.【解答过程】原不等式可化为(x -1)(x -m )<0，当m >1时，得1<x <m ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<m ≤5；当m <1时，得m <x <1，此时解集中的整数为-2，-1，0，则-3≤m <-2，综上所述，m 的取值范围是[-3,-2)∪(4,5].故选：A .2(2024·广东·一模)已知a ,b ,c ∈R 且a ≠0，则“ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ”是“a +b +c =0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解.【解答过程】由题意，二次不等式ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ，则等价于a >0-b2a =1Δ=b 2-4ac =0 ，即a =c >0,b =-2a ，即a +b +c =0，当a +b +c =0时，不能推出a =c >0,b =-2a ，所以“ax 2+bx +c >0的解集为x x ≠1 ”是“a +b +c =0”的充分不必要条件，故选：A .3(23-24高三上·云南德宏·期末)已知关于x 的不等式x 2-ax +b ≤0的解集为x 2≤x ≤3 ，则关于x 的不等式x 2-bx +a <0的解集为()A.x 2<x <3B.x 1<x <3C.x 2<x <5D.x 1<x <5【解题思路】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根之间的关系求出a 、b 的值，再解不等式.【解答过程】根据题意，方程x 2-ax +b =0的两根为2和3，则a =2+3=5,b =2×3=6，则x 2-bx +a <0为x 2-6x +5<0，其解集为x 1<x <5 .故选：D .4(23-24高一上·黑龙江大庆·期末)关于x 的不等式x 2-ax -6a <0的解集是{x |m <x <n }，且n -m ≤5，则实数a 的取值范围()A.-25,-24B.0，1C.-25,-24 ∪0，1D.-25,-24 ∪0，1【解题思路】先求出m =a -a 2+24a 2，n =a +a 2+24a2，再根据n -m ≤5，即可求出．【解答过程】关于x的不等式x2-ax-6a<0的解集是{x|m<x<n}，∴m,n是方程x2-ax-6a=0的两个根，∴Δ=a2+24a>0即a(a+24)>0，∴a<-24或a>0，∴m=a-a2+24a2，n=a+a2+24a2，∵n-m≤5，∴a+a2+24a2-a-a2+24a2≤5，即a2+24a-25≤0，即(a-1)(a+25)≤0，解得-25≤a≤1，综上所述-25≤a<-24，或0<a≤1，故选：D.【题型4其他不等式的解法】1(23-24高一上·湖南长沙·期末)解下列不等式：(1)2xx-1≥4；(2)2x-3+x-2≤3.【解题思路】(1)将分式不等式化为2x-2x-1≤0且x≠1，求出解集；(2)将绝对值不等式化为分段函数，零点分段法求解绝对值不等式.【解答过程】(1)不等式2xx-1≥4，移项得2xx-1-4≥0，通分得4-2xx-1≥0，可转化为2x-2x-1≤0且x≠1，解得1<x≤2，不等式解集为x 1<x≤2.(2)令y=2x-3+ x-2=3x-5,x≥2,x-1,32<x<2,-3x+5,x≤32,当x≥2时，3x-5≤3，解得x≤83，即x∈2,83；当32<x<2时，x-1≤3，解得x≤4，即x∈32,2；当x≤32时，-3x+5≤3，解得x≥23，即x∈23,32；综上所述：不等式解集为x 23≤x≤83.2(23-24高一上·江苏扬州·期中)求下列不等式的解集(1)3x-1x+1>4；(2)2x-3x+1<1(3)x+2<1【解题思路】(1)将原不等式3x-1x+1>4等价转换为x-13x+5>0，解一元二次不等式即可.(2)将原不等式2x-3x+1<1等价转换为x+1x-4<0，解一元二次不等式即可.(3)将原不等式x+2<1等价转换为x+1x+3<0，解一元二次不等式即可.【解答过程】(1)由题意3x -1 x +1 >4⇔3x 2+2x -1>4⇔3x 2+2x -5>0⇔x -1 3x +5 >0，解不等式得x <-53或x >1，从而不等式3x -1 x +1 >4的解集为-∞,-53∪1,+∞ .(2)由题意2x -3x +1<1⇔x -4x +1<0⇔x +1 x -4 <0，解不等式得-1<x <4，从而不等式2x -3x +1<1的解集为-1,4 .(3)由题意x +2 <1⇔x +2 2-12<0⇔x +1 x +3 <0，解不等式得-3<x <-1，从而不等式x +2 <1的解集为-3,-1 .3(22-23高一上·上海徐汇·阶段练习)解下列不等式：(1)5-x x 2-2x -3<-1；(2)(x -1)(x +2)2≥0.【解题思路】对不等式因式分解，由数轴标根法或分类讨论求解即可.【解答过程】(1)5-x x 2-2x -3<-1⇔x 2-3x +2x 2-2x -3<0⇔(x +1)(x -1)(x -2)(x -3)<0，由数轴标根法得，解集为(-1,1)∪(2,3)；(2)(x -1)(x +2)2≥0⇔x -1≥0x +2≠0 或x +2=0，易得解集为{-2}∪[1,+∞).4(2023高一·上海·专题练习)解下列关于x 的不等式．(1)x +4 x +5 22-x 3<0；(2)x 2-4x +13x 2-7x +2<1．【解题思路】(1)由题意不等式等价于x ≠-5x +4 x -2 3>0，由零点标根法画图即可求解.(2)由题意不等式等价于(2x -1)(x -1)(3x -1)(x -2)>0，由零点标根法画图即可求解.【解答过程】(1)原不等式等价于x +4 x +5 2x -2 3>0，所以x ≠-5x +4 x -2 3>0，如图所示：解得x <-4或x >2且x ≠-5，所以原不等式解集为x |x <-5 或-5<x <-4或x >2 .(2)由x 2-4x +13x 2-7x +2<1得，-2x 2+3x -13x 2-7x +2<0，∴原不等式等价于2x -1 x -13x -1 x -2 >0，即(2x -1)(x -1)(3x -1)(x -2)>0，如图所示：解得x <13或12<x <1或x >2，所以原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．【题型5一元二次不等式根的分布问题】1(2024高三·全国·专题练习)关于x 的方程ax 2+a +2 x +9a =0有两个不相等的实数根x 1,x 2，且x 1<1<x 2，那么a 的取值范围是()A.-27<a <25B.a >25 C.a <-27D.-211<a <0【解题思路】说明a =0时，不合题意，从而将ax 2+a +2 x +9a =0化为x 2+1+2ax +9=0，令y =x 2+1+2ax +9，结合其与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案.【解答过程】当a =0时，ax 2+a +2 x +9a =0即为2x =0，不符合题意；故a ≠0，ax 2+a +2 x +9a =0即为x 2+1+2ax +9=0，令y =x 2+1+2ax +9，由于关于x 的方程ax 2+a +2 x +9a =0有两个不相等的实数根x 1,x 2，且x 1<1<x 2，则y =ax 2+a +2 x +9a 与x 轴有两个交点，且分布在1的两侧，故x =1时，y <0，即1+1+2a ×1+9<0，解得2a <-11，故-211<a <0，故选：D .2(23-24高三上·四川·阶段练习)若关于x 的方程x 2-2ax +a +2=0在区间-2,1 上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是()A.-65,-1 B.-65,1 C.-∞,-65 ∪-1,+∞D.-∞,-65∪1,+∞【解题思路】令g x =x 2-2ax +a +2，依题意可得Δ>0-2<a <1g -2 >0g 1 >0，解得即可.【解答过程】令g x =x 2-2ax +a +2，因为方程x 2-2ax +a +2=0在区间-2,1 上有两个不相等的实数解，所以Δ>0-2<a <1g -2 >0g 1 >0，即Δ=4a 2-4a +2 >0-2<a <14+4a +a +2>01-2a +a +2>0，解得-65<a <-1，所以a 的取值范围是-65,-1 ．故选：A ．3(23-24高一上·上海浦东新·期中)已知实数a <b ，关于x 的不等式x 2-a +b x +ab +1<0的解集为x 1,x 2 ，则实数a 、b 、x 1、x 2从小到大的排列是()A.a <x 1<x 2<bB.x 1<a <b <x 2C.a <x 1<b <x 2D.x 1<a <x 2<b【解题思路】由题可知x 1+x 2=a +b ，再利用中间量m ，根据x 1+x 2与x 1x 2之间的关系求出的取值范围，即可判断a 、b 、x 1、x 2之间的关系.【解答过程】由题可得：x 1+x 2=a +b ，x 1x 2=ab +1.由a <b ，x 1<x 2，设x 1=a +m ，则x 2=b -m .所以x 1x 2=(a +m )(b -m )=ab +m (b -a )-m 2=ab +1，所以m (b -a )-m 2=1，m =1+m 2b -a .又a <b ，所以b -a >0，所以m >0.故x 1>a ，x 2<b .又x 1<x 2，故a <x 1<x 2<b .故选：A .4(23-24高三·全国·阶段练习)方程x 2+(m -2)x +5-m =0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，则m 的取值范围是()A.(-5,-4)B.-133,-2 C.-133,-4 D.(-5,-2)【解题思路】令f (x )=x 2+(m -2)x +5-m ，由二次函数根的分布性质有f (2)>0，f (3)<0)，f (4)>0，求得m 的取值范围.【解答过程】令f (x )=x 2+(m -2)x +5-m ，由二次函数根的分布性质，若一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3，4)内，只需f (2)>0f (3)<0f (4)>0 ，即4+2(m -2)+5-m >09+3(m -2)+5-m <016+4(m -2)+5-m >0，解不等式组可得-133<m <-4，即m 的取值范围为-133,-4 ，故选：C .【题型6二次函数的单调性、最值问题】1(23-24高一上·江苏南京·期末)若函数f x =x 2-mx +3在区间-∞,2 上单调递减，则实数m 的取值范围是()A.-∞,2B.2,+∞C.-∞,4D.4,+∞【解题思路】利用二次函数的对称轴及函数的单调性列出不等式求解.【解答过程】因为函数f x =x 2-mx +3在区间-∞,2 上单调递减，所以m 2≥2，解得m ≥4.故选：D .2(23-24高一上·湖北武汉·期中)已知函数f (x )=2x 2-kx -8在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是()A.k ≤-8B.k ≥4C.k ≤-8或k ≥4D.-8≤k ≤4【解题思路】根据二次函数的单调性和对称轴之间的关系，建立条件求解即可.【解答过程】函数f (x )=2x 2-kx -8对称轴为x =k4，要使f (x )在区间[-2，1]上具有单调性，则k 4≤-2或k4≥1，∴k ≤-8或k ≥4综上所述k 的范围是：k ≤-8或k ≥4.故选：C .3(23-24高一上·江苏镇江·阶段练习)若函数y =x 2-2x -3的定义域为[-1,t ]，值域为[-4,0]则实数t 的取值范围为()A.1≤t ≤3B.1<t <3C.-1<t <3D.-1<t ≤3【解题思路】利用分类讨论-1<t ≤1与t >1，求解t 范围.【解答过程】由y =x 2-2x -3的定义域为-1，t ，对称轴为x =1,y =x 2-2x -3当-1<t ≤1时，y =x 2-2x -3在-1，t 单调递减，则y min =t 2-2t -3，y max =(-1)2-2×-1 -3=0，而函数的值域为-4,0 ，则t 2-2t -3=-4，解得t =1，故t =1，当t >1时，y =x 2-2x -3在-1，1 单调递减，在1，t 单调递增，则y min =12-2×1-3=-4，y =-1 2-2×-1 -3=0，y =t 2-2t +3，故-4≤t 2-2t -3≤0，解得-1≤t ≤3，故1<t ≤3，综上所述，t 的取值范围为1≤t ≤3，故选：A .4(2024高三·全国·专题练习)已知函数f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 的最小值为0，若关于x 的不等式f x <c 的解集为m ,m +4 ，则实数c 的值为()A.9B.8C.6D.4【解题思路】先由f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 的最小值为0，得到Δ=0，再由f (x )<c 的解集为(m ,m +4)，得到f (x )-c =0的根为m ,m +4，从而利用韦达定理即可求解.【解答过程】因为f x =x 2+ax +b a ,b ∈R 开口向上，最小值为0，∴Δ=a 2-4b =0,∴b =a 24，则f (x )=x 2+ax +a 24=x +a 22，∵f (x )<c 的解集为(m ,m +4)，所以m ,m +4是f (x )-c =0的两个不等实根，即m ,m +4是x 2+ax +a 24-c =0的两个不等实根，所以m +m +4=-a ，则m =-a -42，∴c =f (m )=m +a 2 2=-a -42+a 22=4.故选：D .【题型7一元二次不等式恒成立问题】1(2023·福建厦门·二模)不等式ax 2-2x +1>0(a ∈R )恒成立的一个充分不必要条件是()A.a >2B.a ≥1C.a >1D.0<a <12【解题思路】分a =0和a ≠0两种情况讨论求出a 的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【解答过程】当a =0时，-2x +1>0，得x <12，与题意矛盾，当a ≠0时，则a >0Δ=4-4a <0 ，解得a >1，综上所述，a >1，所以不等式ax 2-2x +1>0(a ∈R )恒成立的一个充分不必要条件是A 选项.故选：A .2(2023·江西九江·模拟预测)无论x 取何值时，不等式x 2-2kx +4>0恒成立，则k 的取值范围是()A.-∞,-2B.-∞,-4C.-4,4D.-2,2【解题思路】由题知4k 2-16<0，再解不等式即可得答案.【解答过程】解：因为无论x 取何值时，不等式x 2-2kx +4>0恒成立，所以，4k 2-16<0，解得-2<k <2，所以，k 的取值范围是-2,2 故选：D .3(2023·辽宁鞍山·二模)若对任意的x ∈(0,+∞),x 2-mx +1>0恒成立，则m 的取值范围是()A.(-2,2)B.(2,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,2]【解题思路】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.【解答过程】∀x ∈(0,+∞),x 2-mx +1>0⇔m <x +1x ，而当x >0时，x +1x≥2x ⋅1x =2，当且仅当x =1x，即x =1时取等号，则m <2，所以m 的取值范围是(-∞,2).故选：C .4(23-24高一上·贵州铜仁·期末)当x ∈-1,1 时，不等式2kx 2-kx -38<0恒成立，则k 的取值范围是()A.-3,0B.-3,0C.-3,18D.-3,18【解题思路】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.【解答过程】当x ∈-1,1 时，不等式2kx 2-kx -38<0恒成立，当k =0时，满足不等式恒成立；当k ≠0时，令f x =2kx 2-kx -38，则f x <0在-1,1 上恒成立，函数f x 的图像抛物线对称轴为x =14，k >0时，f x 在-1,14 上单调递减，在14,1 上单调递增，则有f -1 =2k +k -38≤0f 1 =2k -k -38≤0，解得0<k ≤18；k <0时，f x 在-1,14 上单调递增，在14,1 上单调递减，则有f 14 =2k 16-k 4-38<0，解得-3<k <0.综上可知，k 的取值范围是-3,18.故选：D .【题型8一元二次不等式有解问题】1(2023·福建宁德·模拟预测)命题“∃x ∈[1,2],x 2≤a ”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a ≥1B.a ≥4C.a ≥-2D.a ≤4【解题思路】根据能成立问题求a 的取值范围，结合充分不必要条件理解判断.【解答过程】∵∃x ∈[1,2],x 2≤a ，则x 2 min ≤a ，即a ≥1，∴a 的取值范围1,+∞由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为1,+∞ 的真子集，结合选项可知B 对应的集合为4,+∞ 为1,+∞ 的真子集，其它都不符合，∴符合的只有B ，故选：B .2(2023高三·全国·专题练习)若关于x 的不等式x 2+mx -4>0在区间2,4 上有解，则实数m 的取值范围为()A.-3,+∞B.0,+∞C.-∞,0D.-∞,-3【解题思路】利用二次函数的图象及根的分布计算即可.【解答过程】易知Δ=m 2+16>0恒成立，即x 2+mx -4=0有两个不等实数根x 1,x 2，又x 1x 2=-4<0，即二次函数y =x 2+mx -4有两个异号零点，所以要满足不等式x 2+mx -4>0在区间2,4 上有解，所以只需42+4m -4>0，解得m >-3，所以实数m 的取值范围是-3,+∞ ．故选A ．3(2023·河南·模拟预测)已知命题“∃x 0∈-1,1 ，-x 20+3x 0+a >0”为真命题，则实数a 的取值范围是()A.-∞,-2B.-∞,4C.-2,+∞D.4,+∞【解题思路】由题知x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min ，再根据二次函数求最值即可得答案.【解答过程】解：因为命题“∃x 0∈-1,1 ，-x 20+3x 0+a >0”为真命题，所以，命题“∃x 0∈-1,1 ，a >x 20-3x 0”为真命题，所以，x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min ，因为，y =x 2-3x =x -32 2-94，所以，当x ∈-1,1 时，y min =-2，当且仅当x =1时取得等号.所以，x 0∈-1,1 时，a >x 20-3x 0 min =-2，即实数a 的取值范围是-2,+∞ 故选：C .4(23-24高一上·福建·期中)若至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3-3x -a >x 2+2x 成立，则实数a 的取值范围是()A.-374,3B.-3,134C.-374,134D.-3,3【解题思路】化简不等式3-3x -a >x 2+2x ，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得a 的取值范围.【解答过程】依题意，至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3-3x -a >x 2+2x 成立，即至少存在一个x<0，使得关于x的不等式-x2-2x+3>3x-a成立，画出y=-x2-2x+3x<0以及y=3x-a的图象如下图所示，其中-x2-2x+3>0.当y=3x-a与y=-x2-2x+3x<0相切时，由y=3x-ay=-x2-2x+3消去y并化简得x2+5x-a-3=0，Δ=25+4a+12=0,a=-374.当y=-3x+a与y=-x2-2x+3x<0相切时，由y=-3x+ay=-x2-2x+3消去y并化简得x2-x+a-3=0①，由Δ=1-4a+12=0解得a=134，代入①得x2-x+14=x-122=0，解得x=12，不符合题意.当y=-3x+a过0,3时，a=3.结合图象可知a的取值范围是-37 4 ,3.故选：A.一、单选题1(2023·山东泰安·模拟预测)“c∈-23,23”是“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】化简“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”，再结合充分条件和必要条件的定义判断.【解答过程】由∀x∈R,x2-cx+3≥0可得Δ=c2-4×3≤0，化简可得-23≤c≤23，所以“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”等价于“c∈-23,23”，“c∈-23,23”可推出“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”，“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”不能推出“c∈-23,23”所以“c∈-23,23”是“∀x∈R,x2-cx+3≥0成立”的充分不必要条件，故选：A.2(2023·湖南岳阳·模拟预测)不等式x-1x-2023≥0的解集为()A.{x∣x≥2023或x≥1}B.{x∣x≤1或x≥2023}C.x∣1≤x≤2023D.{x∣x<1或x>2023}【解题思路】解一元二次不等式即可得解.【解答过程】因为x-1x-2023≥0，所以x≥2023或x≤1，故不等式x -1 x -2023 ≥0的解集为{x ∣x ≤1或x ≥2023}.故选：B .3(2024·浙江·模拟预测)若不等式kx 2+k -6 x +2>0的解为全体实数，则实数k 的取值范围是()A.2≤k ≤18B.-18<k <-2C.2<k <18D.0<k <2【解题思路】分类讨论k =0与k ≠0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.【解答过程】当k =0时，不等式kx 2+k -6 x +2>0可化为-6x +2>0，显然不合题意；当k ≠0时，因为kx 2+k -6 x +2>0的解为全体实数，所以k >0Δ=k -6 2-4k ×2<0，解得2<k <18；综上：2<k <18.故选：C .4(2024·甘肃张掖·模拟预测)不等式x 2-3x <2-2x 的解集是()A.-1,12B.-12,12C.-1,5-172D.5-172,12【解题思路】按照x 2-3x 正负分类讨论取绝对值，运算得解.【解答过程】当x 2-3x ≥0，即x ≥3或x ≤0时，不等式x 2-3x <2-2x 等价于x 2-3x <2-2x ，即x 2-x -2<0，解得-1<x <2，所以-1<x ≤0；当x 2-3x <0，即0<x <3时，不等式x 2-3x <2-2x 等价于不等式3x -x 2<2-2x ，即x 2-5x +2>0，解得x >5+172或x <5-172，所以0<x <5-172.综上，不等式x 2-3x <2-2x 的解集是-1,5-172 .故选：C .5(2023·山东·模拟预测)若不等式2x 2+bx +c <0的解集是(0,4)，函数f (x )=2x 2+bx +c 的对称轴是()A.x =2B.x =4C.x =52D.x =32【解题思路】由一元二次不等式的解法与二次函数的性质求解．【解答过程】解：∵不等式2x 2+bx +c <0的解集是(0,4)，∴x =0和x =4是方程2x 2+bx +c =0的两个根，∴-b2=0+4，∴b =-8，∴函数f (x )=2x 2+bx +c 的对称轴是x =-b4=2．故选：A ．6(23-24高一上·四川成都·期中)一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解为x -2<x <3 ，那么ax 2-bx +c >0的解集为()A.x x >3或x <-2B.x x >2或x <-3C.x -2<x <3D.x -3<x <2【解题思路】根据题意得出a 、b 、c 的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.【解答过程】一元二次不等式ax 2+bx +c >0的解为x -2<x <3 ，所以ax 2+bx +c =0的解为x 1=-2,x 2=3，且a <0，由韦达定理得x 1+x 2=-ba =1x 1⋅x 2=c a =-6⇒b =-ac =-6a，代入得ax 2+ax -6a >0⇒x 2+x -6<0⇒-3<x <2，故选：D .7(2023·辽宁鞍山·二模)已知当x >0时，不等式：x 2-mx +16>0恒成立，则实数m 的取值范围是()A.-8,8B.-∞,8C.-∞,8D.8,+∞【解题思路】先由x 2-mx +16>0得m <x +16x ，由基本不等式得x +16x≥8，故m <8.【解答过程】当x >0时，由x 2-mx +16>0得m <x +16x，因x >0，故x +16x ≥2x ×16x =8，当且仅当x =16x 即x =4时等号成立，因当x >0时，m <x +16x恒成立，得m <8，故选：C .8(2023·河南·模拟预测)某同学解关于x 的不等式ax 2+bx +c <0(a ≠0)时，因弄错了常数c 的符号，解得其解集为(-∞,-3)∪(-2,+∞)，则不等式bx 2+cx +a >0的解集为()A.-1,-15B.(-∞,-1)∪-15,+∞ C.15,1D.-∞,15∪(1,+∞)【解题思路】利用根与系数关系、一元二次不等式的解求得a ,b ,c 的关系式，进而求得不等式bx 2+cx +a >0的解集.【解答过程】由题意可知a <0，且-3+(-2)=-b a ,-3×(-2)=-c a，所以b =5a ,c =-6a ，所以bx 2+cx +a >0化为5x 2-6x +1<0，5x -1 x -1 <0，解得15<x <1.故选：C .二、多选题9(2024·广东深圳·模拟预测)下列说法正确的是()A.不等式4x 2-5x +1>0的解集是x x >14或x <1 B.不等式2x 2-x -6≤0的解集是x x ≤-32或x ≥2 C.若不等式ax 2+8ax +21<0恒成立，则a 的取值范围是∅D.若关于x 的不等式2x 2+px -3<0的解集是q ,1 ，则p +q 的值为-12【解题思路】对于AB ，直接解一元二次不等式即可判断；对于C ，对a 分类讨论即可判断；对于D ，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得p ,q ，然后即可判断.【解答过程】对于A ，4x 2-5x +1>0⇔x -1 4x -1 >0⇔x <14或x >1，故A 错误；对于B ，2x 2-x -6≤0⇔x -2 2x +3 ≤0⇔-32≤x ≤2，故B 错误；若不等式ax 2+8ax +21<0恒成立，当a =0时，21<0是不可能成立的，所以只能a <0Δ=64a 2-84a <0 ，而该不等式组无解，综上，故C 正确；对于D ，由题意得q ,1是一元二次方程2x 2+px -3=0的两根，从而q ×1=-322+p -3=0，解得p =1,q =-32，而当p =1,q =-32时，一元二次不等式2x 2+x -3<0⇔x -1 2x +3 <0⇔-32<x <1满足题意，所以p +q 的值为-12，故D 正确.故选：CD .10(2023·江苏连云港·模拟预测)若对于任意实数x ，不等式a -1 x 2-2a -1 x -4<0恒成立，则实数a 可能是()A.-2B.0C.-4D.1【解题思路】首先当a =1，不等式为-4<0恒成立，故满足题意；其次a ≠1，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当a -1<0Δ<0 ，解不等式组即可.【解答过程】当a =1时，不等式为-4<0恒成立，故满足题意；当a ≠1时，要满足a -1<0Δ<0 ，而Δ=4a -1 2+16a -1 =4a -1 a +3 ，所以解得-3<a <1；综上，实数a 的取值范围是-3,1 ；所以对比选项得，实数a 可能是-2，0，1.故选：ABD .11(23-24高二上·山东威海·期末)已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0的解集为-∞,-2 ∪3,+∞ ，则下列选项中正确的是()A.a <0B.不等式bx +c >0的解集是x |x <-6C.a +b +c >0D.不等式cx 2-bx +a <0的解集为-∞,-13 ∪12,+∞ 【解题思路】根据给定的解集，用a 表示出b ,c ，再逐项判断作答.【解答过程】不等式ax 2+bx +c >0的解集为-∞,-2 ∪3,+∞ ，则-2,3是方程ax 2+bx +c =0的根，且a >0，则-b a =1,ca=-6,a >0，即b =-a ,c =-6a ,a >0，A 错误；不等式bx +c >0化为-ax -6a >0，解得x <-6，即不等式bx +c >0的解集是x |x <-6 ，B 正确；a +b +c =-6a <0，C 错误；不等式cx 2-bx +a <0化为-6ax 2+ax +a <0，即6x 2-x -1>0，解得x <-13或x >12，所以不等式cx 2-bx +a <0的解集为-∞,-13 ∪12,+∞ ，D 正确.故选：BD .三、填空题12(2023·江西鹰潭·模拟预测)若命题p ：“∃x ∈R ，k 2-1 x 2+41-k x +3≤0”是假命题，则k 的取值范围是[1,7).【解题思路】本题首先可根据题意得出命题“∀x ∈R ,k 2-1 x 2+4(1-k )x +3>0”是真命题，然后分为k =1,k =-1,k 2-1≠0三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【解答过程】因为命题p ：“∃x ∈R ，k 2-1 x 2+41-k x +3≤0”是假命题，所以命题“∀x ∈R ,k 2-1 x 2+4(1-k )x +3>0”是真命题，若k 2-1=0，即k =1或k =-1，当k =1时，不等式为3>0，恒成立，满足题意；当k =-1时，不等式为8x +3>0，不恒成立，不满足题意；当k 2-1≠0时，则需要满足k 2-1>0Δ=16(1-k )2-4×k 2-1 ×3<0 ，即(k -1)(k +1)>0(k -1)(k -7)<0，解得1<k <7，综上所述，k 的取值范围是[1,7).故答案为：[1,7).13(2023·河南·模拟预测)已知函数y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，则k 的取值范围是-∞,-1 ∪3,+∞.【解题思路】将两曲线表达式联立，得出一元二次方程，利用判别式即可求出k 的取值范围.【解答过程】由题意，函数y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，y =kx -ky =x 2-1x，则x -1 x 2+1-k x +1 =0，若直线y =kx -k 与曲线y =x 2-1x有三个交点，只需满足方程x 2+1-k x +1=0有两个不等于1和0的解.因为该方程的两个解之积x 1x 2=1，故只需满足Δ=1-k 2-4>0，所以k <-1或k >3，即k 的取值范围是-∞,-1 ∪3,+∞ .故答案为：-∞,-1 ∪3,+∞ .14(23-24高一上·江苏徐州·阶段练习)若关于x 的不等式0≤ax 2+bx +c ≤2a >0 的解集为x -1≤x ≤3 ，则3a +b +2c 的取值范围是32,4．【解题思路】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出a 的取值范围，最后3a +b +2c 都表示成a 的形式即可.【解答过程】因为不等式0≤ax 2+bx +c ≤2a >0 的解集为x -1≤x ≤3 ，所以二次函数f x =ax 2+bx +c 的对称轴为直线x =1，且需满足f -1 =2f 3 =2f 1 ≥0，即a -b +c =29a +3b +c =2a +b +c ≥0，解得b =-2ac =-3a +2 ，所以a+b+c=a-2a-3a+2≥0⇒a≤12，所以a∈0,12，所以3a+b+2c=3a -2a-6a+4=4-5a∈32,4.故答案为：3 2 ,4.四、解答题15(23-24高一下·四川成都·开学考试)已知函数f x =x2-2ax+3．(1)若关于x的不等式f x ≥0的解集为R，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式f x <0．【解题思路】(1)由题意可知Δ≤0，进而求出实数a的取值范围；(2)根据Δ≤0和Δ>0两种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可．【解答过程】(1)若不等式x2-2ax+3≥0的解集为R，则Δ=(-2a)2-12≤0，解得-3≤a≤3，即实数a的取值范围[-3,3]；(2)不等式x2-2ax+3<0，①当Δ≤0时，即-3≤a≤3时，不等式的解集为∅，②当Δ>0时，即a<-3或a>3时，由x2-2ax+3=0，解得x=a-a2-3或x=a+a2-3，所以不等式的解集为{x|a-a2-3<x<a+a2-3}，综上所述，当-3≤a≤3时，不等式的解集为∅；当a<-3或a>3时，不等式的解集为{x|a-a2-3<x<a+a2-3}．16(2024·山东·二模)已知f x 是二次函数，且f1 =4,f0 =1,f3 =4．(1)求f x 的解析式；(2)若x∈-1,5，求函数f x 的最小值和最大值．【解题思路】(1)设二次函数为f x =ax2+bx+c,a≠0，根据题意，列出方程组，求得a,b,c的值，即可求解；(2)根据二次函数的性质，求得函数f x 的单调区间，进而求得其最值.【解答过程】(1)解：设二次函数为f x =ax2+bx+c,a≠0，因为f1 =4,f0 =1,f3 =4，可得a+b+c=4c=19a+3b+c=4，解得a=-1,b=4,c=1，所以函数f x 的解析式f x =-x2+4x+1．(2)解：函数f x =-x2+4x+1，开口向下，对称轴方程为x=2，即函数f x =-x2+4x+1在-1,2单调递增，在2,5单调递减，所以f(x)min=f-1=f5 =-4，f(x)max=f2 =5．17(23-24高二上·江苏南通·期中)设m∈R，关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为∅.(1)求m的取值范围；(2)求关于x的不等式mx2+(m-2)x-2≥0的解集.【解题思路】(1)由一元二次不等式恒成立的性质运算即可得解；(2)转化条件为mx-2x+1≥0，按照m=0、0<m≤2、-1≤m<0讨论，运算即可得解.【解答过程】(1)因为关于x的不等式x2+2mx+m+2<0的解集为∅，。
高考二次函数试题及答案
高考二次函数试题及答案1. 已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），若其图像经过点（1，3），（2，-1），（3，-3），求a，b，c的值。
解：将点（1，3），（2，-1），（3，-3）代入二次函数f(x)=ax^2+bx+c，得到以下方程组：\begin{cases}a+b+c=3 \\4a+2b+c=-1 \\9a+3b+c=-3\end{cases}解此方程组，得到a=-2，b=4，c=-3。
因此，二次函数的解析式为f(x)=-2x^2+4x-3。
2. 某二次函数的图像开口向上，且经过点（-1，0），（2，0），求该二次函数的解析式。
解：由于二次函数的图像开口向上，可知a>0。
设二次函数的解析式为f(x)=a(x+1)(x-2)。
将点（-1，0）和（2，0）代入解析式，得到a=1。
因此，该二次函数的解析式为f(x)=(x+1)(x-2)=x^2-x-2。
3. 已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a>0）的图像与x轴有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为-1，求b的值。
解：根据题意，二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像与x轴有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为x1和x2。
根据根与系数的关系，有x1+x2=-b/a。
又因为x1+x2=-1，所以-b/a=-1，即b=a。
由于a>0，所以b>0。
4. 某二次函数的图像经过点（0，1），且其顶点坐标为（1，-4），求该二次函数的解析式。
解：设二次函数的解析式为f(x)=a(x-1)^2-4。
将点（0，1）代入解析式，得到a(0-1)^2-4=1，解得a=5。
因此，该二次函数的解析式为f(x)=5(x-1)^2-4=5x^2-10x+1。
5. 已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像经过点（-2，0），（4，0），且在x=2时取得最大值，求a，b，c的值。
解：由于二次函数f(x)=ax^2+bx+c的图像经过点（-2，0），（4，0），可知其对称轴为x=1。
关于高考数学中二次函数考题的类型分析
关于高考数学中二次函数考题的类型分析
张洁
【期刊名称】《理科考试研究（高中版）》
【年(卷),期】2013(000)003
【总页数】2页(P7-8)
【作者】张洁
【作者单位】浙江绍兴市高级中学 312000
【正文语种】中文
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关于髙考数学中二次函数考题类型研究
在高中数学中，二次函数作为常见的但是又是非常重要的函数类型，在历来的高考数学试卷中都会涉及到该方面的内容，同时还会对一元二次方程和一元二次不等式等知识点进行考查.从近些年来的高考试卷中可以看出，在对二次函数的考查当中出现很多新的题型•这就需要我们加强对二次函数题型的研究，总结历年髙考中所涉及到该方面考查的内容，找到一些规律，总结出一些必考的题型，让学生加强该方面知识的掌握，确定重点和难点，为高考做好准备.
1.对二次函数零点问题的讨论
在新课程标准下对学生综合素质的考查越来越重视，函数的零点问题会涉及到基本初等函数的图象，同时渗透化归转化、数形结合、函数和方程等思想方法•函数的零点问题可以有效培养学生创造性和灵活性思维模式的形成，通过对函数零点问题的考查，在很大程度上可以体现出学生的综合素质，所以该体型作为重要的考题类型•从最近几年的数学高考试卷中可以看出，函数的零点问题可以说是必考的题型，虽然形式趋向多样化，但是基本上都和函数知识有关.
例1设a是实数，函数
f (x) =2ax2+2x-3-a,假如函数y=f (x)在区间［T,
1］上存在零点，求a的取值范围.
该题主要是对学生的分类讨论能力以及二次函数的零点问题进行考查，从本质上看，其实是对一元二次方程在指定的区间内根的分布问题的考查•下面对此题进行解析.
解当a=0时，函数f(x)在区
间［-1, 1］是不存在零点的.当aHO时应分三种情况进行讨论：①当f (x)=O在区间［T, 1］上存在重根，这时△=(), 求得a=-3_72,满足-lW~a2Wl.②当函数f (x)在区间［-1, 1］只有一个零点存在，而且不是函数f (x) =0的重根，这时 f (T) • f (1) WO,解得lWaW5•③当函数 f (x) =0 在区间［T, 1］上存在两个相异的实根，此时函数f (x) =2a (x+12a) 2_12a_a_3,而其图象的对称轴
解首先看第一个问题，假如x2-120,或x2-10,求证: ①方程f (x) =0有实根存在；②-20相矛盾，所以a是不等于0的，接下来就很简单了•对于第二个问题，我们所要证明的ba的范围是在(-2, -1)这个区间上的，这时我们只要以ba为元，将不等式找到即可.因为f (0) f (1) >0,即就是说c (3a+2b+c) >0,而c=_ (a+b),所以(a+b) (2a+b) 0,当-lWxWl时，g (x)的最大值为2,求f (x).
解析该题在该试卷中作为压轴题，对于第一个问题，由f (0) =c 和 TWxWl, |f (x) |W1,可得|f (0) | = |c|Wl. 在第二个问题中，
因为g (x)是一次函数，当a>0时，其在区间［T, 1］上是单调递增的，而g (-1) Wg (x) Wg (1), 只需g (-1) 22, g (1) W2•而g (-1) =c-f (T), g (1) =f (1) -c,这时结合已知条件和已得到的条件很容易就可以得到所需的结果•对于第三个问题，因为g(X)是一次函数，当a>0时，其在区间［-1, 1］上是单调递增的，所以g
(l)=a+b=f(l)-f(0)=2.因为-lWf(O)二f(l)-2Wl-2二-1 ,
所以c=f (0)二T.又因为x=0为函数图象的对称轴，所以
-b2a=0, b二0，所以a二2•所以函数f (x)二2x2T・
结束语上文中主要对高考数学中二次函数的主要考题类型进
行了分析，旨在为教师指明教学的重点，同时可供学生参考.。