第一章晶体结构(一结晶学基础知识)
《结晶学基础》
.
2．鲍林第二规则---静电价规则
在一个稳定的晶体结构中，从所有相邻接的阳离 子到达一个阴离子的静电键的总强度，等于阴离子 的电荷数。
静电键强度
S＝ Z＋ CN＋
• 在离子晶体中，配位数指的是最紧邻的异号离子数，所以正、 负离子的配位数不一定是相等的。阳离子一般处于阴离子紧密堆 积阳的离空子隙还中可，能其出配现位其数 它一 的般 配为 位数4或。6. 。如果阴离子不作紧密堆积，
配位数
阴离子作正八 面体堆积，正、 负离子彼此都能 相互接触的必要
条件为r＋/r=0.414。
凸几何多面体倾向。
❖ 4．对称性－－晶体的物理化学性质能够在不同方
向或位置上有规律地出现，也称周期性 .
晶体的性质
❖ 5．均匀性（均一性）－－一个晶体的各个部分性
质都是一样的。 这里注意：均匀性与各向异性不同，前者是指晶
体的位置，后者是指观察晶体的方向。
❖ 6. 固定熔点 ❖ 7．晶面角守恒定律－－晶面（或晶棱）间的夹角
宏观晶体中对称性只有32种，根据对称型中是否存在 高次轴及数目对晶体分类
❖ 存在高次轴（n>2）且多于一个―――高级晶族 ――包括：等轴（立方）晶系
❖ 存在高次轴（n>2）且只有一个―――中级晶族 ――包括：三方、四方、六方晶系
❖ 不存在高次轴（n>2）―――低级晶族――包括： 三斜、单斜、正交晶系
第一章 结晶学基础
.
1-1 晶体的基本概念与性质
一、晶体的基本概念
➢ 人们对晶体的认识，是从石英开始的。 ➢ 人们把外形上具有规则的几何多面体形态的
结晶学基础
然两两反向平行而且相等。用它可以作为判 断晶体有无对称中心的依据。
4、旋转反伸轴（Lin）
旋转反伸轴是一根假想的直线，当晶体围 绕此直线旋转一定角度后，再对此直线上 的一个点进行反伸，才能使晶体上的相等 部分重复。 相应的对称操作是围绕一根直线的旋转和 对此直线上一个点反伸的复合操作。
只有晶体才能称为真正的固体。
5、准晶体
1985年在电子显微镜研究中，发现了一种新 的物态，其内部结构的具体形式虽然仍在探 索之中，但从其对称性可见，其质点的排列 应是长程有序，但不体现周期重复，不存在 格子构造，人们把它称为准晶体。
二、晶体的基本性质
一切晶体所共有的，并且是由晶体的格子构造所决定的性 质，称为晶体的基本性质。
晶体中对称轴举例
横截面形状
晶体对称定律：在晶体中不可能存在五次 及高于六次的对称轴。因为不符合空间格 子规律，其对应的网孔不能毫无间隙地布 满整个平面。
在一个晶体中，除L1外，可以无、也可有
一或多种对称轴，而每一种对称轴也可有一 或多个。
表示方法为3L4、4L3、6L2等。 对称轴在晶体中可能出露的位置： ⑴通过晶面的中心； ⑵通过晶棱的中点；
⑵行列：结点在直线上的排列即构成行列。
行列中相邻结点间的距离称为该行列的结点间距。 同一行列或彼此平行的行列上结点间距相等； 不同方向的行列，其结点间距一般不等。
行
列
⑶ 面网：结点在平面上的分布构成面网。 面网上单位面积内结点的数目称为网面密 度。 互相平行的面网，网面密度相同；不平行 的面网，网面密度一般不等。 相互平行的相邻两面网之间的垂直距离称 为面网间距。
第一章 晶体结构
1.点对称操作
点对称操作：对称操作前后空间中至少保持一个不动的点的操作.
（1）n度旋转对称 2 n度旋转对称轴：晶体绕旋转 后仍能复原的轴. n 晶体只具有1、2、3、4、6度对称轴. （2）中心反演 中心反演的对称元素是一个点，中心反演操作用i表示. i操作作用 于（x，y，z）使之变换为（-x，-y，-z）. 目录
（3）镜像(m，对称素为面) 镜像操作常用m表示，镜像的操作的对称元素是平面. 若选z＝0为对称面，该操作使点（x，y，z）变换为（x，y，-z） （4）n度旋转反演对称 该操作由n度旋转对称和中心反演两个操作组成.晶体先绕一固定轴 旋转 2 n后，再经过中心反演，晶体能与自身重合.该轴称为n度旋 转反演轴. 晶体n度旋转反演对称中n只能取1，2，3，4，6中的数值，通常用 n 表示n度旋转反演轴. 注： a.1度旋转反演对称与中心反演i实质是同一操作. b. 2度旋转反演对称与镜像m实质是同一操作.
a
ak
a1 a 2 a j
a3
目录
ai
a-Fe的晶体结构
固体物理学原胞的体积: 3.面心立方（fcc）结构
Ω a1 (a2 a3 ) a
3
2
每个晶胞包含4个 格点.基矢为：
a a1 ( j k ) 2 a a2 ( k i ) 2 a a3 (i j ) 2
abc
900
5.四角系： a b c 900 (正方晶系) 6.六角晶系： 900 1200
abc
7.立方晶系： 900
abc
简立方(12)，体心立方(13)， 面心立方(14) 目录
晶体结构.01
1.1 几种常见的晶体结构
一、晶体的定义
晶 体: 组成固体的原子（或离子）在微观上的 排列具有长程周期性结构
非晶体：组成固体的粒子只有短程序（在近邻或 次近邻原子间的键合：如配位数、键长 和键角等具有一定的规律性），无长程 周期性 准 晶: 有长程的取向序，沿取向序的对称轴方向 有准周期性，但无长程周期性
第一章 晶体结构(crystal structure)
1-1 几种常见的晶体结构 1-2 晶格的周期性 1-3 晶向、晶面和它们的标志 1-4 对称性和Brawais点阵
1-5 倒点阵及其基本性质
1-6 晶体衍射物理基础
1
1-1几种常见的晶体结构
主要内容
1.1简立方晶格结构(cubic)
1) NaCl晶体的结构 氯化钠由Na+和Cl－结合而成 —— 一种典型的离子晶体 Na+构成面心立方格子；Cl－也构成面心立方格子
20
2) CsCl晶体的结构 CsCl结构 —— 由两个简单立方子晶格彼此沿立方体空间对 角线位移1／2 的长度套构而成
21
CsCl晶体
22
3) ZnS晶体的结构 —— 闪锌矿结构 立方系的硫化锌 —— 具有金刚石类似的结构 化合物半导体 —— 锑化铟、砷化镓、磷化铟
六角密排晶格的原胞基矢选取 —— 一个原胞中包含A层 和B层原子各一个 —— 共两个原子 k
定义：
i
j
原胞基矢为：
a1 , a2 , a3
a1 a2 a3
（四）晶格周期性的描述 —— 布拉伐格子
Bravais lattices
由于组成晶体的组分和 组分的原子排列方式的 多样性，使得实际的晶 体结构非常复杂。
第一章晶体结构(一结晶学基础知识)
同一晶面族各1平1行1晶 (面11的1)面 (间11距1) 相 (等11。1)
(111)
晶向：点阵可在任何方向上分解为相互平行的直线组，结点 等距离地分布在直线上。位于一条直线上的结点构成一个晶 向。 同一直线组中的各直线，其结点分布完全相同，故其中任何 一直线，可作为直线组的代表。不同方向的直线组，其质点 分布不尽相同。 任一方向上所有平行晶向可包含晶体中所有结点，任一结点 也可以处于所有晶向上。
3.晶胞与晶胞参数
晶胞—晶体中的重复单元，平行堆积可充满三维空间， 形成空间点阵
晶胞类型 ： 固体物理学原胞：仅反映周期性最小的 结晶学原胞：反映周期性和对称性， 不一定是最小的。
不同晶体的差别：不同晶体的晶胞，其形状、大小 可能不同；围绕每个结点的原子种类、数量、分布 可能不同。
表1-2 不同晶系的晶面间距
晶系 晶面间距
立方
1 h2 k 2 l2
d2
a2
正方
1
h2 k 2
l2
d2
a2
c2
六方
( ) 1
4 h2 hk k 2
l2
d2
3
a2
c2
斜方
1
h2
k2
l2
d2
a2
b2
c2
晶面指数：结晶学中经常用（hkl）来表示一组平行晶面，称为晶 面指数。数字hkl是晶面在三个坐标轴（晶轴）上截距的倒数的互 质整数比。
晶面族：晶体结构中原子排列状况相同但不平行的两组以上的晶 面，构成一个晶面族。常存在对称性高的晶体（如立方晶系）中。
晶面族指数（符号）：通常用晶面族中某个最简便的晶面指数填 在大括号{ }内，称为晶面族指数，用符号{hkl}表示。 将{hkl}中的h、k、l，改变符号和顺序，进行任意排列组 合，就可构成这个晶面族所包括的所有晶面的指数。
材料化学 (第一章 晶体的特性与点阵结构)
m, n, p = 0, ±1, ±2, ...
3.点阵及其基本性质
（1）. 点阵: 连结任意两点所得向量进行平移后能够复原 的一组点称为点阵.
X X
不是点阵
不是点阵
点阵
（2）. 点阵的二个必要条件: (a)点数无限多 (b)各点所处环境完全相同
(3). 点阵与平移群的关系:
(a)连结任意两点阵点所得向量必属于平移群. (b)属于平移群的任一向量的一端落在任一点阵点时, 其另一端必落在此 点阵中另一点阵点上.
第一章 晶体的特性与点阵结构
第一部分 晶体学基础
一 晶体学发展的历史
二 晶体的特性
三 晶体结构 （一）晶体结构的周期性 （二）点阵结构与点阵 （三）晶体结构参数
第二部分 晶体中的对称
一 晶体的宏观对称性 二 晶体的微观对称性
第一部分 晶体学基础
一、晶体学发展的历史
西汉，《韩诗外传》“凡草木花多五出，雪花独六出”
六方素格子、正方素格子、矩形素格子、矩形带心格子和平行四边形格子。
空间点阵的七种类型、十四种型式
(1) 七种类型 — 7种对称类型对应7个晶系
•
•
一维平移群表示为：Tm ma
m = 0, ±1, ±2, ……
2.二维点阵结构与平面点阵 1)实例 (a) NaCl晶体中平行于某一晶面的一层离子 结构:
结构基元: 点阵:
(b)石墨晶体中一层C原子
结构： x
结构基元： 点阵：
2)平面格子 连结平面点阵中各点阵点所得平面网格.
2)平面格子 连结平面点阵中各点阵点所得平面网格.
4.晶胞参数与原子坐标参数
(1).晶胞(Unit cell)
空间格子将晶体结构截成的一个个大小、形状相等，包含等同 内容的基本单位。
第一章晶体结构
第一章晶体结构1 布喇菲点阵和初基矢量晶体结构的特点在于原子排列的周期性质。
布喇菲点阵是平移操作112233R n a n a n a =++所联系的诸点的列阵。
布喇菲点阵是晶体结构周期性的数学抽象。
点阵矢量112233R n a n a n a =++，其中，1n ，2n 和3n 均为整数，1a ，2a 和3a 是不在同一平面内的三个矢量，叫做布喇菲点阵的初基矢量，简称基矢。
初基矢量所构成的平行六面体是布喇菲点阵的最小重复单元。
布喇菲点阵是一个无限的分立点的列阵，无论从这个列阵中的哪个点去观察，周围点的分布和排列方位都是完全相同的。
对一个给定的布喇菲点阵，初级矢量可以有多种取法。
2 初基晶胞(原胞)初基晶胞是布喇菲点阵的最小重复单元。
初基晶胞必定正好包含布喇菲点阵的一个阵点。
对于一个给定的布喇菲点阵，初基晶胞的选取方式可以不只一种，但不论初基晶胞的形状如何，初基晶胞的体积是唯一的，()123c V a a a =⋅⨯。
3 惯用晶胞(单饱)惯用晶胞是为了反映点阵的对称性而选用的晶胞。
惯用晶胞可以是初基的或非初基的。
惯用晶胞的体积是初基晶胞体积的整数倍，c V nV =。
其中，n 是惯用晶胞所包含的阵点数。
确定惯用晶胞几何尺寸的数字叫做点阵常数。
4 维格纳—赛兹晶胞(W-S 晶胞)维格纳—赛兹晶胞是另一种能够反映晶体宏观对称性的晶胞，它是某一阵点与相邻阵点连线的中垂面(或中垂线)所围成的最小体积。
维格纳—赛兹晶胞是初基晶胞。
5 晶体结构当我们强调一个实际的晶体与布喇菲点阵的抽象几何图案的区别时，我们用“晶体结构”这个名词[1]。
理想的晶体结构是由相同的物理单元放置在布喇菲点阵的阵点上构成的。
这些物理单元称为基元，它可以是原子、分子或分子团(有时也可以指一组抽象的几何点)。
将基元平移布喇菲点阵的所有点阵矢量，就得到晶体结构，或等价地表示为基元十点阵＝晶体结构[2]当选用非初基的惯用晶胞时,一个布喇菲点阵可以用带有基元的点阵去描写。
第1章 晶体结构
第1章 晶体结构
根据布拉格定律，入射X光被晶面反射， 当波程差是X光波长整数倍时，相邻晶面 的反射线互相加强。
则面间距为
1.54 Å
=2.34 Å θ=19.2°
θ d111
第1章 晶体结构
P64 习题1.11
求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面 指数与衍射强度的关系。
【解】 出发点：结构因子的通用公式
S f e hhkl
m
i 2 n hu j kv j lwj
aj
（1）
j 1
第1章 晶体结构
金刚石的惯用原胞中，在以下位置有8个全同原子
代入结构因子的表达式（1）中
F
Shhkl fa (1+ei hk ei hl ei kl
金刚石结构的惯用原胞
结构因子的表达式变为
F =fa (1+eihk eihl eikl )
i hkl
Shhkl F e 2
F
衍射强度:
2
Ihhkl Shhkl
Shhkl
2
F2
|1
i hkl
e2
|2
2F 21 Fra bibliotekcos
布拉菲格子
第1章 晶体结构
习题1.1 画出下列晶体的惯用原胞和布拉菲格子，指明各
晶体的结构以及惯用原胞、 初基原胞中的原子个数和 配位数。 (1) 氯化钾；
表1-4 常见NaCl结构的晶体及其晶格常数
第1章 晶体结构
<解答>：
KCl的晶体结构:与NaCl一样,布拉菲格子是面心 结构(fcc).
惯用原胞中的原子
i
3 j ,
第一章晶体结构
第一章晶体结构1-1. 试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。
解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。
非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。
准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。
另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。
1-2. 晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？解：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。
当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。
晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：晶格点阵＋基元＝晶体结构1-3. 晶体结构可分为Bravais格子和复式格子吗？解：晶体结构可以分为Bravais格子和复式格子，当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais格子；当基元包含2个或2个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。
心四方解：（a）“面心＋体心”立方不是布喇菲格子。
从“面心＋体心”立方体的任一顶角上的格点看，与它最邻近的有12个格点；从面心任一点看来，与它最邻近的也是12个格点；但是从体心那点来看，与它最邻近的有6个格点，所以顶角、面心的格点与体心的格点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。
（b）“边心”立方不是布喇菲格子。
从“边心”立方体竖直边心任一点来看，与它最邻近的点子有8个；从“边心”立方体水平边心任一点来看，与它最邻近的点子也有8个。
虽然两者最邻近的点数相同，距离相等，但他们各自具有不同的排列。
第一章 晶体结构
第一章 晶体结构本章首先从晶体结构的周期性出发，来阐述完整晶体中离子、原子或分子的排列规律。
然后，简略的阐述一下晶体的对称性与晶面指数的特征，介绍一下倒格子的概念。
§1.1晶体的周期性一、晶体结构的周期性1．周期性的定义从X 射线研究的结果，我们知道晶体是由离子、原子或分子（统称为粒子）有规律地排列而成的。
晶体中微粒的排列按照一定的方式不断的做周期性重复，这样的性质成为晶体结构的周期性。
周期性：晶体中微粒的排列按照一定的方式不断的做周期性重复，这样的性质成为晶体结构的周期性。
晶体结构的周期性可由X-Ray 衍射直接证实，这种性质是晶体最基本或最本质的特征。
（非晶态固体不具备结构的周期性。
非晶态的定义等略），在其后的学习中可发现，这种基本性质对固体物理的学习具有重要的意义或是后续学习的重要基础。
2．晶格 格点和点阵晶格：晶体中微粒重心，做周期性的排列所组成的骨架，微粒重心所处的位置称为晶格的格点（或结点）。
格点的总体称为点阵。
整个晶体的结构，可看成是由格点沿空间三个不同方向， 各自按一定距离周期性平移而构成。
每个平移的距离称为周期。
在某一特定方向上有一定周期，在不同方向上周期不一定相同。
晶体通常被认为具有周期性和对称性，其中周期性最为本质。
对称性其实质是来源于周期性。
故周期性是最为基本的对称性，即“平移对称性”（当然，有更为复杂或多样的对称性，但周期性或平移对称性是共同的）。
3．平移矢量和晶胞据上所述，基本晶体的周期性，我们可以在晶体中选取一定的单元，只要将其不断地重复平移，其每次的位移为a 1，a 2，a 3，就可以得到整个晶格。
则→1a ，→2a ，→3a 就代表重复单元的三个棱边之长及其取向的矢量，称为平移矢量，这种重复单元称为晶胞，其基本特性为：⑴晶胞平行堆积在一起，可以充满整个晶体⑵任何两个晶胞的对应点上，晶体的物理性质相同，即：()⎪⎭⎫⎝⎛+++=→→→332211anananrQrQ其中→r为晶胞中任一点的位置矢量。
1_《材料科学基础》第一章_晶体学基础1
晶体结构
找 代 表
找等同点
空间格子(14种)
找 代 表
晶胞
形状、大小一致
单胞(14种)
晶 体 划 分 为 据 点 阵 参 数
晶系(7个)
本节重点掌握：
1、概念：空间点阵；晶胞；点阵常数
2、空间点阵及其要素
3、Bravais晶系的格子常数特点
§1.3 晶向指数和晶面指数（参考P13-16）
根据6个点阵参数间的相互关系，可将全部空间点阵归属7种晶系。
晶系
等轴晶系 四方晶系 六方晶系
三方(菱方)晶系
Bravais晶系的格子常数特点 单胞形状 格子常数特点
a = b=c a = b≠c a = b≠c α=β=γ=90° α=β=γ=90° α=β=90°γ=120°
a = b=c
α=β=γ ≠ 90°
食 盐
NaCl晶体结构
晶体★ ：晶体是内部质点（原子、离子或分子） 在三维空间呈周期性重复排列的固体。 有些固体如玻璃、琥珀、松香等，它们的内部质 点不作规则排列，称为非晶体。
比 较 图
古
液、准
液晶
液晶:介于固态和液态之间的各向异性的流体。 性质上：
既具有液体的可流动性、粘滞性， 又具有晶体的各向异性
结构上，
具有一维或二维近似有序晶，即分子按某一从优方向排列
平移无序或部分平移无序的
准晶
是一种介于晶体和非晶体之间的固体。准晶具有长程定向有
序，然而又不具有晶体所应有的平移对称性，因而可以具有
晶体所不允许的宏观对称性。
基本性质
以色列人达尼埃尔· 谢赫特曼以发现准晶体赢得2011年度诺贝尔化学奖。
大一晶体结构知识点总结
大一晶体结构知识点总结一、晶体结构的基本概念1. 晶体和非晶体晶体是指由具有一定周期性排列的原子、离子或分子所构成的固体。
晶体具有高度有序的排列结构和明显的晶格，因此具有明显的各向异性。
非晶体则是指由没有明显周期性排列的原子、离子或分子所构成的固体，它的原子结构没有规则的周期性，因此不具有晶格和各向异性。
2. 晶体结构的周期性晶体结构具有明显的周期性，晶体内的原子、离子或分子按照一定的规律排列，形成了具有周期性的结构单元，这种结构单元被称为晶胞。
晶体结构的周期性决定了晶体具有一些特殊的物理性质，如光学各向异性、磁学各向异性等。
二、常见的晶体结构类型1. 离子晶体结构离子晶体是由阳离子和阴离子通过静电力相互作用所构成的晶体。
常见的离子晶体结构包括简单离子晶体结构、复式离子晶体结构和过渡金属氧化物晶体结构等。
2. 共价晶体结构共价晶体是由原子通过共价键相互连接所构成的晶体。
共价晶体结构具有明显的共价键，在晶体中形成了三维的晶格结构。
典型的共价晶体结构包括金刚石结构、蛋白石结构等。
3. 金属晶体结构金属晶体是由金属原子通过金属键相互连接所构成的晶体。
金属晶体结构具有自由电子，并具有很好的导电性和热导性。
常见的金属晶体结构包括面心立方结构、体心立方结构和密堆积结构等。
4. 分子晶体结构分子晶体是由分子通过范德瓦尔斯力相互作用所构成的晶体。
分子晶体结构中的分子间相互作用比较弱，因此分子晶体通常具有较低的熔点和易挥发的性质。
典型的分子晶体结构包括葡萄糖晶体结构、苯晶体结构等。
三、晶体结构分析方法1. X射线衍射分析X射线衍射是一种常用的晶体结构分析方法，通过研究X射线在晶体中的衍射现象，可以确定晶体的晶格常数、晶体结构和原子位置等信息。
X射线衍射分析对于无机晶体和生物大分子的研究具有重要的意义。
2. 中子衍射分析中子衍射是另一种常用的晶体结构分析方法，它通常用来研究晶体中的轻原子和磁性物质。
与X射线相比，中子具有更大的散射截面，因此对于轻原子和磁性物质的研究更为适用。
第一章晶体结构
➢ 点阵：由等同点系所抽象出来的一系列在空间 中周期排列的几何点的集合体
➢格 ➢基
点：空间点阵中周期排列的几何点 元：一个格点所代表的物理实体
晶体是由结构基元（可以是原子、分子或 离子）在空间呈不随时间变化的规则的三 维周期排列而成，这是晶体的本质特征。 为了研究结构基元排列的规律，先撇开结 构基元，从每个结构基元的等同点抽象出 空间点阵，研究空间点阵的阵点排列规律 性。不同种类的结构基元有可能具有相同 的排列方式。因此晶体结构可视为
比较
固体物理学原胞往往不能直观的反映点 阵的宏观对称性，但能完全反映点阵的平 移对称性；
WS原胞既能完全反映点阵的平移对称 性，又能充分反映点阵的宏观对称性，但 是其图形复杂，不好直观想象；
晶胞能直观的反映点阵的宏观对称性， 但有时不能完全反映点阵的平移对称性。
常用的几种晶胞简介
➢简单立方（sc）
晶胞：
av
r ai
v v
基矢
b cv
aj v
ak
体积 V a3
原子个数 2
BCC Lattice
原胞：
av 1
基矢
av
2
a 2 a 2
r (i
r ( i
v j
v j
v k)
v k)
av
3
a 2
r (i
v j
v k)
体积
V
av1
av2
av3
a3 2
原子个 1 数
由一个顶点向三个体心引 基矢。
原胞是体积单元。
一个原胞只有一个基元
➢ Wigner-Seitz原胞（WS原胞）（对称原胞）：与基矢的选 择没有关系，且能反应晶体的宏观对称性。
第一章 晶体结构
19
1.3 对称性和布拉维格子的分类
二 基本对称操作
1 i,Cn,σ (m)
2 n度旋转 ─ 反演轴
绕μ轴旋转
2π后再进行中心反演：
n
1，2，3，,4, i, m 八种独立的对称操作。
宏观上看，晶体是有限的，描述晶体宏观对称性 不包含平移对称操作；但从微观上看，晶体是无 限的，为描述晶体结构的对称性，应加上平移对 称操作。
衍射斑点(峰) ↔ 晶格中的一族晶面 倒格子 ↔ 正格子 点子 ↔ 晶面
斑点分布 ↔ 晶格基矢 → 晶体结构
25
1.4 倒格子/倒易点阵
一 定义
设布拉维格子的基矢为：av1 ,av2 , av3
由
v Rl
=
l1av1
+
l2av2
+
l3av3 决定的格子称为正格子
（direct lattice)，
满足
2vπ Gh
4 两点阵位矢的关系
v Rn
•
v Gh
=
2πm
m为整数
利用
aavvii
• •
v bvj bj
= =
2π 0
i= j i≠ j
( ) Rv n •Gvh = (l1av1 + l2av2 + l3av3 )•
v h1b1
+
v h2b2
+
v h3b3
= l1h1 • 2π + l2h2 • 2π + l3h3 • 2π
按坐标系的性质，晶体可划分为七大晶 系，每一晶系有一种或数种特征性的布拉 维原胞，共有14种布拉维原胞：
三斜(简单三斜) 单斜(简单、底心) 正交(简单、底心、体心、面心) 四方(简单、体心) 三角 六角 立方(简单、体心、面心)
第一章晶体结构第一节几何结晶学基本概念-长春理工大学
第一章 晶体结构【教学目的】了解晶体结构，掌握晶体基本概念及性质，对称性，紧密堆积原理，典型结构类型等。
【教学内容】晶体的基本概念及性质、晶体的宏观对称性、布拉维点阵与晶系、点阵几何元素的表示法、微观对称和空间群、结晶化学原理、典型结构类型硅酸盐晶体结构。
【教学重点】晶体的对称性、布拉维点阵、晶体的配位及鲍林规则、硅酸盐晶体结构。
【教学方法及手段】多媒体课件展示图、表第一节 几何结晶学基本概念一、 晶体的定义1、定义晶体是内部质点在三维空间作有规则的周期性重复排列的固体，是具有格子构造的固体。
晶体的这一定义表明，不论晶体的组成如何不同，也不论其表观是否具有规则的几何外形，晶体的共同特征是内部质点在三维空间按周期性的重复排列。
不具备这一特征的物体就不是晶体。
2、空间点阵（空间格子）在三维空间按周期性重复排列的几何点的集合称为空间点阵（空间格子）。
空间点阵（空间格子）中的结点是抽象的几何点并非实际晶体中的质点。
阵点或结点：空间点阵中的几何点称为阵点或结点。
等同点：同一套空间格子中的结点叫等同点。
实际晶体是由组成晶体的离子或原子去占据一套或几套穿插在一起的空间格子的结点位置而构成。
实际晶体的内部质点是有实际内容的原子或离子。
实际晶体中化学组成相同、结晶化学环境相同的质点占据的结点构成一套等同点。
所谓结晶化学环境相同是指质点周围在相同方位上离开相同距离有相同的质点。
晶体中有几套空间格子就有几套等同点，判断晶体中有几套空间格子的方法是看晶体中有几套等同点。
NaCl晶体有2套空间格子，Na+ 离子和Cl-离子各构成一套空间格子。
CsCl晶体有2套空间格子，Cs+ 离子和Cl-离子各构成一套空间格子。
晶体有3套空间格子,Ca2+离子构成一套空间格子；F-离子 CaF2有两套空间格子。
3、晶体的性质：结晶均一性、各向异性、自限性、对称性、最小内能性。
二、晶系：根据晶体的对称性，将晶体分为三大晶族、七大晶系。
高级晶族：立方晶系（等轴晶系）中级晶族：六方晶系、三方晶系（菱方晶系）、四方晶系（正方晶系）低级晶族：斜方晶系（正交晶系）、单斜晶系、三斜晶系三、 晶胞晶胞是晶体中重复出现的最小结构单元，它包含了整个晶体的特点。
晶体结构
§1.1 晶格的周期性
一、布拉菲（Bravais）格子
布喇菲(A. Bravais)，法国学者，1850年提出。
定义:
各晶体是由一些基元（或格点）按一定规则, 周期重
复排列而成。任一格点的位矢均可以写成形式
Ra为n3 基 n矢1a1， n。2为Ra其2n 布中n拉3a，3菲、格子、的取n格1整矢n数2，，n或3 称、正、格矢a。1
3、金刚石结构（ diamond ）：
碳的同素异构体。 经琢磨后的金刚石又称钻石。 无色透明、有光泽、折光力极强，最硬的物质。
金刚石结构是复式晶格结构，基元中有两个碳原子A、B， 布拉菲格子是面心立方。
或可视为两个面心立方子晶格，沿体对角线平移1/4 体对角 线长度套构而成，如图所示．
金刚石晶体的配位数是4, 这4个碳原子构成一个 正四面体，碳-碳键角为109º28´。
基元是化学组成、空间结构、排列取向、周 围环境相同的原子、分子、离子或离子团的集 合。
可以是一个原子(如铜、金、银等)，可以是 两个或两个以上原子(如金刚石、氯化钠、磷化 镓等)，有些无机物晶体的一个基元可有多达 100个以上的原子，如金属间化合物NaCd2的基 元包含1000 多个原子，而蛋白质晶体的一个基 元包含多达10000 个以上的原子。
具有金刚石结构的晶体有： 金刚石、元素半导体Si、Ge ，灰锡等。
4、闪锌矿（立方ZnS）结构：（ cubic zinc sulfide ）
与金刚石结构类似，金刚石的基元是化学性质相同的两个 原子A、B ，而闪锌矿结构的基元是两个不相同的原子．
闪锌矿结构也可视为是两个不同原子的面心立方子晶格， 沿体对角线平移1/4 体对角线长度套构而成．
例如，简立方晶格的几个晶列如图所示。
1.晶体学基础
原子可在 顶角、线 、面、内 部。
晶胞参数：
平行六面体的三根棱长a、b、c及其夹角α、β、γ是表示它本 身的形状、大小的一组参数，称为点阵参数（晶胞参数）
依照晶胞参数之间的关系，所有晶体的空间点阵可以划分为7个晶系：
晶 系 立方晶系 四方晶系 a=b=c a=b≠c 格子常数特点 α=β=γ=90° α=β=γ=90°
晶面族指数：用晶面族中 某个最简便的晶面指数填 在大括号{ }内作为该晶面
族的指数。
晶面间距
一般是晶面指数数值越小，其面间距较大，并且其阵点密度较大
a
b
(100)
(110) (210) (4-10) (130)
晶面间距的计算
一组平行晶面的晶面间距dhkl与晶面指数和晶格常数a、b、c有下列关系：
（2）晶胞
ClNa+
空间格子+基元
●晶胞：是指晶体结构中的平行六面体单位，其形状大小与对应的 空间格子中的平行六面体一致。 ●晶胞：是描述晶体结构的基本组成单位。 ●晶胞：能够反映整个晶体结构特征的最小结构单元。
周期性、对称 性
晶胞的选取不是唯一的！
晶胞的选取原则： 1）充分表示出晶体的对称性 2）三条棱边尽量相等 3）夹角尽量为直角 4）单元体积尽可能小
晶体结构=空间点阵+结构基元
实际晶体——质点体积忽略——空间点阵——阵点连线——晶格（空间格子）
等同点： 各阵点的周围 环境完全相同， 周围阵点排布 及取向完全相 同。 A位臵
B位臵
空间格子有下列几种要素存在：
面网
平行六面体
晶面：可将晶体点阵在任意方向上分解 为相互平行的节点平面。 晶面族：对称性高的晶体中，不平行的 两组以上的晶面，它们的原子排列状况 是相同的，这些晶面构成一个晶面族。 晶向：也可将晶体点阵在任意方向上分 解为相互平行的节点直线组，质点等距 离的分布在直线上。 晶向族：晶体中原子排列周期相同的所 有晶向为一个晶向族。
结晶学基础知识PPT课件
1.1 结晶学基础知识 1.2 晶体中质点的结合力与结合能 1.3 决定离子晶体结构的基本因素 1.4 单质晶体结构 1.5 晶体的结构与性质—无机化合物结构 1.6 硅酸盐晶体结构 1.7 高分子结构
1.1 结晶学基础知识
晶体结构的定性描述 晶体结构的定量描述—晶面指数、晶向指数
晶面指数：结晶学中经常用（hkl）来表示一组平行晶面，称为晶 面指数。数字hkl是晶面在三个坐标轴（晶轴）上截距的倒数的互 质整数比。
晶面指数的确定步骤(图1-3):
1、在空间点阵中建立坐标系，选取任一结点为坐标原点O， 同时令坐标原点不在待标晶面上，以晶胞的基本矢量为坐 标轴X、Y、Z；
2、坐标轴以晶体在该轴上的周期为单位； 3、假设晶面在坐标轴上的截距分别为m、n、p；将它们的倒
目尽可能地多； 3. 单元的三棱边的夹角要尽可能地构成直角； 4. 单元的体积应尽可能地小。
图1-1 空间点阵及晶胞的不同取法
晶胞参数：晶胞的形状和大小可以用6个参数来表示，此 即晶格特征参数，简称晶胞参数。它们是3条棱边的长度a、 b、c和3条棱边的夹角、、，如图1-2所示。
图1-2 晶胞坐标及晶胞参数
[0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2 ,1/2] [0,0,0] [1/2,1/2 ,0] [0,1/2 ,1/2] [0,0,0]
[1/2,0,1/2] [1/2,0,1/2]
[0,0,0]
二、晶体结构的定量描述 —晶面指数、晶向指数
1.晶面、晶向及其表征 晶面：晶体点阵在任何方向上分解为相互平行的结点平 面称为晶面，即结晶多面体上的平面。
金刚石
方解石
晶体的特征 均一性：指晶体在任一部位上都具有相同 性质的特征。
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5)最小内能和最大稳定性
2. 晶体结构与空间点阵
（1）空间点阵：由几何点做周期性的规则排列所形成的三维阵 列。 特征：a 原子的理想排列；b 有14种。其中： 基元－晶体结构的最小单位，离子、原子或分子。在空间点阵 中抽象为质点。 阵点－空间点阵中的点。它是纯粹的几何点，各点周围环境同。 晶格－描述晶体中原子排列规律的空间格架。 （2）晶体结构：原子、离子或原子团按照空间点阵的实际排列。 特征：a 可能存在局部缺陷； b 可有无限多种。 理想晶体结构＝基元＋空间点阵
3.晶胞与晶胞参数
晶胞—晶体中的重复单元，平行堆积可充满三维空间，
形成空间点阵
晶胞类型 ：
固体物理学原胞：仅反映周期性最小的 结晶学原胞 ：反映周期性和对称性 ， 不一定是最小的。
不同晶体的差别：不同晶体的晶胞，其形状、大小
可能不同；围绕每个结点的原子种类、数量、分布 可能不同。
图1-1 晶体点阵及晶胞的不同取法
矢量在参考坐标系X、Y、Z轴上的矢量分量经等比例化简而 得出。
（1）晶向指数的标定 a 建立坐标系。确定原点（阵点）、坐标轴和度量单位（棱 边）。 b 求坐标。u’,v’,w’。 c 化整数。 u,v,w. d 加[ ]。[uvw]（最小整数）。
说明： a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。 b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。 c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空不同或正负号不 同的晶向属于同一晶向族。
选取结晶学晶胞的原则：
1. 单元应能充分表示出晶体的对称性；
2.
单元的三条相交棱边应尽量相等，或相等的数目
尽可能地多；
3.
4.
单元的三棱边的夹角要尽可能地构成直角；
单元的体积应尽可能地小。
EXM. Primitive Cell
For primitive cell, the volume is minimum
晶面间距与晶面指数的关系：
晶面间距是现代测试中一个重要的参数。在简单
点阵中，通过晶面指数（hkl）可以方便地计算出相 互平行的一组晶面之间的距离d。计算公式见表1-2。
表1-2 不同晶系的晶面间距
晶系 晶面间距 立方
1 h k l 2 d a2
2 2 2
正方
1 d2
六方
h2 k 2 a2 l c 2
Primitive cell Only includes one lattice point
EXM. Complex Lattice
The example of complex lattice
120o
120o
120o
c a
ba
晶胞参数：晶胞的形状和大小可以用 6个参数来表示，此
即晶格特征参数，简称晶胞参数。它们是3条棱边的长度a、 b、c和3条棱边的夹角、、，如图1-2所示。
2
斜方
2
1 d2
h 4 3(
hk k 2 a2
l ) c 2
2
1 d2
h2 a2
k2 b2
l c 2
2
[1/2,0,1/2]
二、晶体结构的定量描述 —晶面指数、晶向指数
1.晶面、晶向及其表征
2.六方晶系的晶面指数和晶向指数
3.晶带和晶面间距
1.晶面、晶向及其表征
晶面：晶体点阵在任何方向上可分解为相互平行的结点平面，这样
的结点平面称为晶面。
晶面上的结点，在空间构成一个二维点阵。 同一取向上的晶面，不仅相互平行、间距相等，而且结点的分
第一章晶体结构
1.1 结晶学基础知识 1.2 决定离子晶体结构的基本因素 1.3 单质晶体结构 1.4 晶体的结构与性质—无机化合物结构 1.5 硅酸盐晶体结构
1.1 结晶学基础知识
晶体结构的定性描述
晶体结构的定量描述—晶面指数、晶向指数
一、晶体结构的定性描述
1. 晶体及其特征
2. 晶体结构与空间点阵
图1-2 晶胞坐标及晶胞参数
4.晶系与点阵类型
晶格特征参数确定之后，晶胞和由它表示的晶格也随之确定，
方法是将该晶胞沿三维方向平行堆积即构成晶格。 空间点阵中所有阵点的周围环境都是相同的，或者说，所有阵
点都具有等同的晶体学位置。布拉菲（Bravais）依据晶格特征参数
之间关系的不同，把所有晶体的空间点阵划归为7类，即7个晶系， 见表1-1。按照阵点（结点）在空间排列方式不同，有的只在晶胞的
等距离地分布在直线上。位于一条直线上的结点构成一个晶 向。
同一直线组中的各直线，其结点分布完全相同，故其中任何
一直线，可作为直线组的代表。不同方向的直线组，其质点 分布不尽相同。 任一方向上所有平行晶向可包含晶体中所有结点，任一结点 也可以处于所有晶向上。
晶向指数：用 [uvw] 来表示。其中 u 、 v 、 w 三个数字是晶向
图1-3 晶向指数的确定
晶向指数的确定：将坐标原点选在OP的任一结点O点，把OP 的另一结点P的坐标经等比例化简后按X、Y、Z坐标轴的顺序 写在方括号[ ]内，则[uvw]即为OP的晶向指数。
（2）晶面指数的标定 a 建立坐标系：确定原点（非阵点）、坐标轴和度量单位。 b 量截距：x,y,z。 c 取倒数：h’,k’,l’。 d 化整数：h,k,k。 e 加圆括号：(hkl)。 （最小整数？）
3. 晶胞与晶胞参数
4. 晶系与点阵类型
1.晶体及其特征
晶体：构成物质的质点(分子、原子或
离子）在三维空间作有规律的周期性重复
排列所形成的固体。
胰岛素晶体 石英晶体
金属镓晶体
特征：
1)自范性:晶体具有自发地形成封闭的凸几何多面体外形 能力的性质,又称为自限性.具有规则外形。 2)均一性:指晶体在任一部位上都具有相同性质的特征. 3)各向异性:在晶体的不同方向上具有不同的性质. 4)对称性:指晶体的物理化学性质能够在不同方向或位置 上有规律地出现,也称周期性.
[1/2,0,1/2]
四方（正方） (tetragonal) 立方 (cubic) 三方（菱方） (rhombohedral) 六方 (hexagonal)
a=bc o ===90 a=b=c o ===90 a=b=c o ==90 a=b=dc (a=bc) o ==90 o =120
晶体中质点排列具有周期性和对称性 晶体的周期性：整个晶体可看作由结点沿三个不同 的方向按一定间距重复出现形成的，结点间的距离称为 该方向上晶体的周期。同一晶体不同方向的周期不一定 相同。可以从晶体中取出一个单元，表示晶体结构的特 征。取出的最小晶格单元称为晶胞。晶胞是从晶体结构
中取出来的反映晶体周期性和对称性的重复单元。
（hkil） i=－（h＋k） 图1-4 六方晶系的晶面指数和晶向指数
3.晶带和晶面间距
（1）晶带 a ――：平行于某一晶向直线所有晶面的组合。 晶带轴 晶带面 b 性质：晶带用晶带轴的晶向指数表示；晶带面//晶带轴； hu+kv+lw=0 c 晶带定律 凡满足上式的晶面都属于以[uvw]为晶带轴的晶带。 推论： （a） 由两晶面(h1k1l1) (h2k2l2)求其晶带轴[uvw]： u=k1l2-k2l1; v=l1h2-l2h1; w=h1k2-h2k1。 （b） 由两晶向[u1v1w1][u2v2w2]求其决定的晶面(hkl)。 H=v1w1-v2w2; k=w1u2-w2u1; l=u1v2-u2v1。
e 若晶面与晶向同面，则hu+kv+lw=0;
f 立方晶系若晶面与晶向垂直，则u=h, k=v, w=l。
平移坐标原点：为了标定方便。
2.六方晶系的晶面指数和晶向指数
六方晶系的晶胞如图1-4所示，是边长为a，高为c的 六方棱柱体。 四轴定向：晶面符号一般写为（ hkil ），指数的排 列顺序依次与a轴、b轴、d轴、c轴相对应，其中a、b、d 1 三轴间夹角为 120o ，c 轴与它们垂直。它们之间的关系为： i=－（h＋k）。 晶向指数和晶向族指数分别用[uvtw]和〈uvtw〉来 表示。其中t=－（u＋v）。 坐标换算法：[UVW]~[uvtw] u=(2U-V)/3, v=(2V-U)/3, t=-(U+V)/3, w=W
（2）晶面指数的标定
例：标定下列A,B,C面的指数。
(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning™
说明： a 指数意义：代表一组平行的晶面； b 0的意义：面与对应的轴平行；
c 平行晶面：指数相同，或数字相同但正负号相反；
d 晶面族：晶体中具有相同条件（原子排列和晶面间距完全相 同），空间位向不同的各组晶面。用{hkl}表示。
顶点，有的还占据上下底面的面心，各面的面心或晶胞的体心等位
置，7个晶系共包括14种点阵，称为布拉菲点阵（Bravais lattice ）。
表1-1 布拉菲点阵的结构特征 （table1-1 the structural feature of Bravais lattice ）
晶系 三斜 (triclinic) 单斜 (monoclinic) 斜方（正交） (orthorhombic) 晶胞参数关 系 abc o 90 abc o ==90 abc o ===90 点阵名称 简单三斜 简单单斜 底心单斜 简单斜方 体心斜方 底心斜方 面心斜方 简单四方 体心四方 简单立方 体心立方 面心立方 简单三方 简单六方 阵点坐标 [0,0,0] [0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2 ,0] [0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2 ,1/2] [0,0,0] [1/2,1/2 ,0] [0,0,0] [1/2,1/2,0] [0,1/2 ,1/2] [0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2,1/2] [0,0,0] [0,0,0] [1/2,1/2 ,1/2] [0,0,0] [1/2,1/2 ,0] [0,1/2 ,1/2] [0,0,0] [0,0,0]