误差理论实验

《误差理论与数据处理》

实验报告

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试验时间：2013年5月21日星期二第四讲

第二次试验

线性函数的最小二乘法处理、一元/多元回归数据处理

一、实验目的

1. 会用matlab编写最小二乘数据程序并对组合侧里数据进行处理，求出最佳估计值并进行精度分析。

2.掌握一元线性回归方程的求解和方差分析、显著性检验方法。

3.掌握一元非线性回归方程的求解和显著性检验方法，掌握多元线性回归方程的求解和方差分析、显著性检验方法，掌握回归数据处理的程序设计方法。

二、实验原理

一、线性函数的最小二乘法是解决有关组合测量最佳估计问题的典型的数据处理方法。

MATLAB里的基本算术运算有：

(1) ＋(加)、－(减)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、^(乘方)。

注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。

(2) 矩阵乘法

假定有两个矩阵A和B，若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则C=A*B为m ×p矩阵。

(3) 矩阵除法

在MATLAB中，有两种矩阵除法运算：\和/，分别表示左除和右除。如果A矩阵是非奇异方阵，则A\B和B/A运算可以实现。

A\B=inv(A)*B

B/A=B*inv(A)

对于矩阵运算，一般A\B≠B/A。

(4) 矩阵的乘方

一个矩阵的乘方运算可以表示成A^x，要求A为方阵，x为标量。

二、回归分析是研究随机现象中变量之间相关关系的一种统计方法。

Ⅰ.一元线性回归

1. 一元线性回归的数学模型：

i i i x b b y ε++=10 （i=1,2,3……n ）

其中i ε（i=1,2,3……n ）表示随机因素对i y 影响的总和，一般假设它们是一组相互独立，并服从同一正态分布N （0，2σ）的随机变量。

2. 一元线性回归方程： x b b y 10^

+= 利用最小二乘可求得1,0b b 。 3. 方差分析：

误差来源 平方和 自由度

方差 F 显著度 回归 U 1

2

2-=

n Q s

2

1

-=

n Q U F

0.01 0.05 0.1或其它

残差 Q n-2 总计 S n-1

Ⅱ. 多元线性回归

1. 多元线性回归的数学模型：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++⋯⋯+++=⋯⋯++⋯⋯+++=++⋯⋯+++=n

nm m n n n m m m m x b x b x b b y x b x b x b b y x b x b x b b y εεε221102

2222211021112211101

2. 多元线性回归方程：

Xb y =^

(矩阵形式)

其中：1

^n ^2^1^⨯⎥⎥

⎥

⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯=n y y y y ；()121212221

1211111+⨯⎥⎥

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=m n nm m m n n x x x x x x x x x X ；1

)1(10⨯+⎥⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯=m m b b b b 利用最小二乘法可求得：

Y X X X b T T 1)(-=

3.方差分析:

误差来源 平方和 自由度

方差 F 显著度 回归 U M

2

2--=

m n Q s

2

s

m U F =

0.01 0.05 0.1或其它

残差 Q n-m-1 总计 S

n-1

三、实验内容和结果

第一个小实验：线性函数的最小二乘法处理 ① 程序及其流程

L=[1.015;0.985;1.020;2.016;1.981;3.032]; A=[1 0 0;0 1 0;0 0 1;1 1 0;0 1 1 ;1 1 1]; C=A'*A;B=inv(C);

X=B*A'*L %最小二乘估计值 v=L-A*X;

o=sqrt(sum(v.*v)/(6-3)) %测得结果的标准差 d=diag(B,0);

o1=o*sqrt(d(1)) %估计量的精度 o2= o*sqrt(d(2)) o3= o*sqrt(d(3))

② 实验结果

图（一）

③ 结果分析

由图（一）可以看出1x 、2x 和3x 的最小二乘估计值分别为 1.0280mm 、0.9830mm 、1.0130mm 。

直接测量数据的精度σ=o=0.0134 。

1x 、2x 和3x 的最小二乘估计值的精度分别为1σ=o1=0.0095、2σ=o2=0.0095、

3σ=03=0.0095 。

第二个小实验：一元/多元回归数据处理

一、①程序及其流程

y1=[1 26.5;1 27.3;1 24.2;1 27.1;1 23.6;1 25.9;1 26.3;1 22.5;1 21.7;1 21.4;1 25.8;1 24.9];

X=[1 26.8;1 25.4;1 28.9;1 23.6;1 27.7;1 23.9;1 24.7;1 28.1;1 26.9;1 27.4;1 22.6;1 25.6];

y=y1(:,2);t=X(:,2);avy=mean(y);avx=mean(t);

Lxy=sum(t.*y)-(sum(t)*sum(y))/12;

Lxx=sum(t.^2)-(sum(t)^2)/12;

Lyy=sum(y.^2)-(sum(y)^2)/12;

b1=Lxy/Lxx;b0=avy-avx*b1;

U=b1*Lxy,Q=Lyy-b1*Lxy,S=Lyy,s2=Q/(12-2),F=U/s2, %求回归残差总计平方和。b=[b0;b1]

a=inv(y1'*y1)*y1'*t;

T=[22:0.1:30]';

Y1=[ones(size(T)) T]*b;

Y2=[ones(size(T)) T]*a;

plot(T,Y1,'--',T,Y2,t,y,'*')

legend('y对x','x对y','散点')

②实验结果