误差理论实验

《误差理论与数据处理》实验报告班级：学号：姓名：试验时间：2013年5月21日星期二第四讲第二次试验线性函数的最小二乘法处理、一元/多元回归数据处理一、实验目的1. 会用matlab编写最小二乘数据程序并对组合侧里数据进行处理，求出最佳估计值并进行精度分析。

2.掌握一元线性回归方程的求解和方差分析、显著性检验方法。

3.掌握一元非线性回归方程的求解和显著性检验方法，掌握多元线性回归方程的求解和方差分析、显著性检验方法，掌握回归数据处理的程序设计方法。

二、实验原理一、线性函数的最小二乘法是解决有关组合测量最佳估计问题的典型的数据处理方法。

MATLAB里的基本算术运算有：(1) ＋(加)、－(减)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、^(乘方)。

注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。

(2) 矩阵乘法假定有两个矩阵A和B，若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则C=A*B为m ×p矩阵。

(3) 矩阵除法在MATLAB中，有两种矩阵除法运算：\和/，分别表示左除和右除。

如果A矩阵是非奇异方阵，则A\B和B/A运算可以实现。

A\B=inv(A)*BB/A=B*inv(A)对于矩阵运算，一般A\B≠B/A。

(4) 矩阵的乘方一个矩阵的乘方运算可以表示成A^x，要求A为方阵，x为标量。

二、回归分析是研究随机现象中变量之间相关关系的一种统计方法。

Ⅰ.一元线性回归1. 一元线性回归的数学模型：i i i x b b y ε++=10 （i=1,2,3……n ）其中i ε（i=1,2,3……n ）表示随机因素对i y 影响的总和，一般假设它们是一组相互独立，并服从同一正态分布N （0，2σ）的随机变量。

2. 一元线性回归方程： x b b y 10^+= 利用最小二乘可求得1,0b b 。

3. 方差分析：误差来源 平方和 自由度方差 F 显著度 回归 U 122-=n Q s21-=n Q U F0.01 0.05 0.1或其它残差 Q n-2 总计 S n-1Ⅱ. 多元线性回归1. 多元线性回归的数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++⋯⋯+++=⋯⋯++⋯⋯+++=++⋯⋯+++=nnm m n n n m m m m x b x b x b b y x b x b x b b y x b x b x b b y εεε22110222222110211122111012. 多元线性回归方程：Xb y =^(矩阵形式)其中：1^n ^2^1^⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯=n y y y y ；()1212122211211111+⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=m n nm m m n n x x x x x x x x x X ；1)1(10⨯+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯=m m b b b b 利用最小二乘法可求得：Y X X X b T T 1)(-=3.方差分析:误差来源 平方和 自由度方差 F 显著度 回归 U M22--=m n Q s2sm U F =0.01 0.05 0.1或其它残差 Q n-m-1 总计 Sn-1三、实验内容和结果第一个小实验：线性函数的最小二乘法处理 ① 程序及其流程L=[1.015;0.985;1.020;2.016;1.981;3.032]; A=[1 0 0;0 1 0;0 0 1;1 1 0;0 1 1 ;1 1 1]; C=A'*A;B=inv(C);X=B*A'*L %最小二乘估计值 v=L-A*X;o=sqrt(sum(v.*v)/(6-3)) %测得结果的标准差 d=diag(B,0);o1=o*sqrt(d(1)) %估计量的精度 o2= o*sqrt(d(2)) o3= o*sqrt(d(3))② 实验结果图（一）③ 结果分析由图（一）可以看出1x 、2x 和3x 的最小二乘估计值分别为 1.0280mm 、0.9830mm 、1.0130mm 。

直接测量数据的精度σ=o=0.0134 。

1x 、2x 和3x 的最小二乘估计值的精度分别为1σ=o1=0.0095、2σ=o2=0.0095、3σ=03=0.0095 。

第二个小实验：一元/多元回归数据处理一、①程序及其流程y1=[1 26.5;1 27.3;1 24.2;1 27.1;1 23.6;1 25.9;1 26.3;1 22.5;1 21.7;1 21.4;1 25.8;1 24.9];X=[1 26.8;1 25.4;1 28.9;1 23.6;1 27.7;1 23.9;1 24.7;1 28.1;1 26.9;1 27.4;1 22.6;1 25.6];y=y1(:,2);t=X(:,2);avy=mean(y);avx=mean(t);Lxy=sum(t.*y)-(sum(t)*sum(y))/12;Lxx=sum(t.^2)-(sum(t)^2)/12;Lyy=sum(y.^2)-(sum(y)^2)/12;b1=Lxy/Lxx;b0=avy-avx*b1;U=b1*Lxy,Q=Lyy-b1*Lxy,S=Lyy,s2=Q/(12-2),F=U/s2, %求回归残差总计平方和。

b=[b0;b1]a=inv(y1'*y1)*y1'*t;T=[22:0.1:30]';Y1=[ones(size(T)) T]*b;Y2=[ones(size(T)) T]*a;plot(T,Y1,'--',T,Y2,t,y,'*')legend('y对x','x对y','散点')②实验结果Y 对x 的回归方程的方差分析表误差来源 平方和 自由度 方差 F 显著度 回归 20.2621 1 2.68857.53670.10 0.05残差 26.884510 总计47.146711③ 结果分析查表可知28.3)10,1(5367.7,96.4)10,1(5367.710.005.0=>==>=F F F F 可知y 对x 的回归方程在05.0,10.0=α上显著。

二、①程序及其流程x=[1.585 2.512 3.979 6.310 9.988 15.85]';y=[0.03162 0.02291 0.02089 0.01950 0.01862 0.01513]'; Z1=log(y); Z2=log(x);X=[ones(size(Z2)) Z2];c=X\Z1;a=exp(c(1)),b=c(2) %求曲线方程的系数a、b t=[0:0.01:3]';Y=[ones(size(t)) t]*c;plot(t,Y,Z2,Z1,'K+')②实验结果画出原始数据的散点图和所拟合的曲线x=[1.585 2.512 3.979 6.310 9.988 15.85]';y=[0.03162 0.02291 0.02089 0.01950 0.01862 0.01513]';Z1=log(y); Z2=log(x);X=[ones(size(Z2)) Z2];c=X\Z1;a=exp(c(1))b=c(2)t=1:0.1:16;y1=a*t.^b;hold on;plot(x,y,'o',t,y1,'k');title('散点图和所拟合的曲线')结果：③结果分析⒈由上图可以看出本实验数据可以用曲线by=来表示；ax⒉由实验结果可知曲线方程为2716.0y；=x0324.0-三、①程序及其流程Y=[6.40 15.05 18.75 30.25 44.85 48.94 51.55 61.50 100.44 111.42]';X1=[1.32 2.69 3.56 4.41 5.35 6.20 7.12 8.87 9.80 10.65]';X2=[1.15 3.40 4.10 8.75 14.82 15.15 15.32 18.18 35.19 40.40]';x1=mean(X1); x2=mean(X2);X=[ones(size(X1)) X1 X2];C=inv(X'*X);B=X'*Y;b=C*B, %求系数的最小二乘估计值M=2;Vq=10-2-1;L1y=sum(X1.*Y)-sum(X1)*sum(Y)/10;L2y=sum(X2.*Y)-sum(X2)*sum(Y)/10;Lyy=sum(Y.^2)-sum(Y)^2/10U=b(2)*L1y+b(3)*L2y,Q=Lyy-U,S=Lyy, %求回归、残差、总计平方和F=(U/M)/(Q/Vq)P1=b(2)^2/C(5),F1=P1/(Q/Vq),P2=b(3)^2/C(9),F2=P2/(Q/Vq)②实验结果③ 结果分析 由上图可知：1.多元线性回归方程为 ：21^0497.27122.25800.0x x y ++= 2.可得方差分析表误差来源 平方和 自由度 方差 F 显著度 回归 10953 2 0.4316126890.01 0.05 0.1残差 3.0213 7 总计109569可知此回归方程在0.01、0.05、0.1上都是高度显著的。

由于25.12)7,1(3.1817,25.12)7,1(1279.18001.0201.01=>==>=F F F F 故1x 、2x 对y 均为主要因素。

思考题1.如何对非线性函数进行最小二乘处理？对于非线性的函数首先我们要确定函数的类型，其中就涉及对其选择和检验的过程。

然后通过变量代换把回归曲线转换为回归直线，继而可以用最小二乘处理。

2.在实验一中两条回归直线为什么不一样，在什么情况下这两直线重合？求y对x的回归方程时是把y看作是精确的，把误差都归结在x方向，而在求x对y的回归方程时则刚好相反。

从计算的式子来看，两个方程的回归系数是不一样的。

但是当两个变量x，y之间的线性关系的加强，当相关系数为1时，这两条直线将重合。

四、心得体会通过本实验的学习，我再次感受到了matlab的实用性，尤其是在误差理论这门需要花大量时间做大量复杂运算的学科上，而matlab 简单的几句语言就可以解决复杂的数学计算。

通过对最小二乘法和一元多元回归数据处理的学习，在实际问题中我们可以用最小二乘法得到更精确地结果，可以运用回归法找到变量之间的相互关系和变化规律。

可见误差理论与数据处理对我们的生产和科学发展有着很重要的作用。