勾股定理全章教案 人教版(优秀教案)

第十八章 勾股定理

． 勾股定理（一）

一、教学目标

．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 ．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点

．重点：勾股定理的内容及证明。 ．难点：勾股定理的证明。 三、例题的意图分析

例（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边为和的直角△，用刻度尺量出的长。 以上这个事实是我国古代多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是，长的直角边（股）的长是，那么斜边（弦）的长是。

再画一个两直角边为和的直角△，用刻度尺量的长。 你是否发现与的关系，和的关系，即，，那么就有勾股弦。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 五、例习题分析

例（补充）已知：在△中，∠°，∠、∠、∠的对边为、、。 求证：＋。

分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ⑵拼成如图所示，其等量关系为：△小正大正 ×2

1＋（－），化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑷ 勾股定理的证明方法，达余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例已知：在△中，∠°，∠、∠、∠的对边为、、。 求证：＋。

A

B

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。 左边×2

1＋

右边（）

左边和右边面积相等，即 ×2

1＋（）

化简可证。

六、课堂练习

．勾股定理的具体内容是：。

．如图，直角△的主要性质是：∠°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系：；

⑵若为斜边中点，则斜边中线；

⑶若∠°，则∠的对边和斜边：； ⑷三边之间的关系：。

．△的三边、、，若满足 ＋，则°； 若满足＞＋，则∠是角； 若满足

＜＋，则∠是角。

．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。

七、课后练习 ．已知在△中，∠°，、、是△的三边，则 ⑴。（已知、，求） ⑵。（已知、，求） ⑶。（已知、，求）

．如下表，表中所给的每行的三个数、、，有＜＜，试根据表中已有数的规律，写出当时，，的值，并把、用含的代数式表示出来。

．在△中，∠°，310，一动点从向以每秒2cm 的速度移动，问当点移动多少秒时，与腰垂直。

．已知：如图，在△中，，在的延长线上。 求证：⑴－·

⑵若在上，结论如何，试证明你的结论。

． 勾股定理（二）

一、教学目标

．会用勾股定理进行简单的计算。

b

b

b

A B

b E

B

．树立数形结合的思想、分类讨论思想。 二、重点、难点

．重点：勾股定理的简单计算。 ．难点：勾股定理的灵活运用。 三、例题的意图分析

例（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。

例（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。 例（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。 四、课堂引入

复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。 五、例习题分析

例（补充）在△，∠°

⑴已知,求。 ⑵已知, 求。 ⑶已知, 求。 ⑷已知：：, 求。 ⑸已知，∠°，求，。

分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。

例（补充）已知直角三角形的两边长分别为和，求第三边。

分析：已知两边中较大边可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例（补充）已知：如图，等边△的边长是。 ⑴求等边△的高。

⑵求△。

分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要

创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做

法。欲求高，可将其置身于△或△中， 但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求2

1

，则此题可解。

六、课堂练习 ．填空题

⑴在△，∠°，，，则。 ⑵在△，∠°，，，则。 ⑶在△，∠°，，：：，则，。

D B A