医学统计学课件：直线回归分析(研究生)-推荐)

在一条直线上 例如：圆周长与半径的关系
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x
C 2R
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非确定性关系
y
变量间关系不能用函数关 系精确表达
一个变量的取值不能由另 一个变量唯一确定
当变量x取某个值时，变 量y的取值可能有几个
各观测点分布在直线周围
x
X：自变量（independent variable）如体重
Y：因变量（dependent variable）如体表面积
★两种检验方法之间的关系： t F
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表13-1 13名8岁健康男童的体重与心脏横径测量值
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编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
体重(kg) 25.5 19.5 24.0 20.5 25.0 22.0 21.5 23.5 26.5 23.5 22.0 20.0 28.0
(X X )2
lXX
➢对回归系数b 进行假设检验：
方差分析 t检验
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方差分析
• 因变量y 的取值大小不同，y 取值的这种波 动称为变异。变异来源于两个方面：
– 由于自变量x 的取值不同造成的 – 除x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测
量误差等)的影响
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y
y x0
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x0
x
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➢直线回归方程式
Yˆ b0 bX
上式中， Yˆ为Y 的估计值，读作‘Y的回归值’
b0 为截距（x等于0时相应y的估计值） b 为样本回归系数 (直线的斜率)
(其统计学意义是X 每增加/ 减小
1个单位，Y 平均改变b个单位)
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l XY l XX
其中，lXY 为X 和Y 的离均差积和 lXX 为X 的离均差平方和
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b0 Y bX
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lXX
X 2 ( X )2 n
l XYXY(X )(Y Nhomakorabea)n
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二、直线回归分析的基本步骤
➢绘制散点图
➢计算回归系数b
b
( X X )(Y Y ) lXY
直线回归分析
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变量之间的关系 ➢确定性关系 ➢非确定性关系
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确定性关系
设有两个变量x和y ，变量y随变量x一起变化，并完 全依赖于x ，当变量x取某个数值时， y依确定的关系 取相应的值，则称y是x的函数，记为y = f (x)，这种 关系是函数关系
y
•y和x 是一一对应的关系 •由（x，y）确定的散点
儿子的平均身高向男子身高的总体均数“回归 ”
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一、概述
➢ 直线回归的概念
又称简单回归，用于研究一个变量随另一个变 量变化而变化的依存关系（回归关系），从而预 测或控制未知变量的一种统计分析方法，通过拟 合线性方程来描述两变量间的回归关系
➢ 应用条件
要求因变量Y呈正态分布 自变量X是可以精确测量和控制的变量
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SS总 SS回 SS残
ν总 = ν回 + ν残
相应的自由度分别为：
ν总= n-1 ν回= 1（自变量的个数） ν残= n-2
❖ 统计量的构造：F SS回 回 MS回 SS残 残 MS 残
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❖ SS总、SS回和SS残的计算：
SS总 (Y Y )2 lyy
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y
y2
b
y1
x x1
x
y y2 y1 b0 bx 1 b0 bx
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b0 bx b b0 bx
b
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➢ 回归系数b和截距b0的计算 b是根据最小二乘法原理（各实测点至直
线的纵向距离的平方和最小 ）求得的
b
(X
X )(Y Y (X X )2
)
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• 分析两个变量间的不确定关系常用回归及 相关分析的统计方法。
– 回归分析 适用于分析变量间的因果关系；用一个自变量 的值来估计另一个应变量的值。
– 相关分析 用于分析两变量间相互联系的密切程度及相关 方向。
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在医学科学研究中常遇见如下问题：
➢ 年龄与血压(舒张压) ➢ 身高与体重 ➢ 药物剂量与动物死亡率 ➢ 环境介质中污染物浓度与污染源的距离
引起的 yˆ b0 之bx间的不同，它反映在y的总变
异中，可以用x与y的线性关系解释的那部分变异。
SS回越大，回归效果越好。
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SS残 (Y Yˆ)2
亦称剩余平方和(residual sum of squares), SS 剩。考虑回归之后y的随机误差，是x 对y 的线性 影响之外的一切因素对y的变异，即总变异中无法 用x解释的部分。 SS残即SS剩越小，回归效果越好。
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• 对一个具体的观测值来说，变异的大小可
以通过该实际观测值与其均值之差 y y
来表示
x和y的线性关系引起的变异 yˆ y
y的变异
yy
误差引起的变异 y yˆ
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y
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p
y y yˆ y y yˆ
y yˆ
y y yˆ y y y2 yˆ y2 y yˆ2
这些变量间的关系具有随机性的一种“趋势”， 即：自变量x在一定的范围内取不同的值，因变量y 随x的变化呈现一定的趋势,常用回归与相关分析
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最先提出“回归”一词的是英国生物统计学家S. F. Galton(1887)。
父高子亦高
但高个子父代所生儿子的平均身高低于父代的 平均身高
矮个子父代所生儿子的平均身高高于父代的平 均身高
SS回 (Yˆ Y )2 blxy lx2y / lxx
SS残 (Y Yˆ)2 SS总 SS回
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t 检验
b0 t
Sb
Sb
SY . X l XX
SY .X
(Y Yˆ )2
SS残
n2
n2
n2
其中，Sb 为回归系数b的标准误
SY.X 为剩余标准差
表示应变量y在扣除自变量x的线性影响后的离散程 度，反映实际观察值在回归直线周围的分散状况
y
SS总 SS回 SS残
x
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三个平方和的意义
SS总 (Y Y )2
y 的总离均差平方和(total sum of squares)， 表示未考虑x与y的回归关系时，一组y值之间的
总变异。
SS回 (Yˆ Y )2
回归平方和(regression sum of squares)，
指当自变量x引入回归方程后，由于x值的不同而