信号处理课设

目录

第一章：离散傅立叶变换

1.1 傅立叶变换的定义 (1)

1.2 离散FT(DFT)的用法 (3)

第二章：用DFT对信号进行频谱分析

2.1 频谱分析的概述 (4)

2.2 MATLAB程序 (6)

第三章：吉布斯效应

3.1 吉布斯效应的定义 (8)

3.2 吉布斯效应的实现 (8)

3.3 MATLAB程序 (11)

第四章：栅栏效应

4.1 栅栏效应的定义 (12)

4.2 栅栏效应的验证 (12)

4.3 MATLAB程序 (15)

第五章：学习心得 (17)

第一章离散傅立叶变换

1.1 傅立叶变换的定义

设有连续时间周期信号，它的周期为T，角频率，且满足狄里赫利条件，则该周期信号可以展开成傅里叶级数，即可表示为一系列不同频率的正弦或复指数信号之和。傅里叶级数有三角形式和指数形式两种。

1. 三角形式的傅里叶级数：

式中系数，称为傅里叶系数，可由下式求得：

2. 指数形式的傅里叶级数：

式中系数称为傅里叶复系数，可由下式求得：

满足狄里赫利条件的周期函数表示成的傅立叶级数都收敛。狄里赫利条件如下： （1）在任何周期内，x(t)必须绝对可积；

（2）在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值； （3）在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

傅立叶分析: 建立以时间为自变量的‘信号’和以频率为自变量的‘频谱函数’之间的某种关系,在1822年, 由法国科学家 Fourier(1, 2)提出,基本思想: 任意函数可分解为无穷多个不同频率正弦信号的和, 即频谱分析。

离散周期序列的傅里叶级数(DFS)，x(n)=x(n+N)，习惯上：

21()()0

N j

nk N

k n n X x e

π

--==∑

,k =-∞∞

21()

()

1N j

nk N

n k k x X

e

N

π-==∑

,n =-∞∞

以上两式称为离散周期序列的傅立叶级数（DFS ），在时域周期为NTs 、频域的周期Ωs = 2π/Ts=N Ω0，并离散。在DFS 的基础上, 只对时域和频域取一个周期, 构成离散傅立叶变换对，即DFT ：

21 0

21

()()0,1,2 (1)

1()() n 0,1,2 (1)

N j

nk N

n N j nk N k X k x n e

k N x n X k e N N π

π--=-===-==-∑∑

DFT 的另一种表示：

2110

21100

2N ()()() 0,1,...,1

11()() () 011W N N j

nk nk

N

N n n N N j nk nk

N N k k j

N

X k x n e

x n W k N x n X k e X k W n ,,...,N -N N e

πππ---==---==-===-====∑∑∑∑

1.2 离散FT(DFT)的用法

对常遇到的非周期序列, 有限长或无限, 只能作DTFT, 即连续频谱, X(jw

e

), 模

拟在计算机上做数值计算,实际中, 把N 点序列视为一周期序列的一个周期,再做DFT 。

⏹ 若x(n)有限, 长度N,

⏹ 若x(n)无限, 可用矩形窗截成长度N 的序列,

X(k)只是x(n)的FT 在某种程度上的近似, X(k)是x(n)频谱(DTFT)的抽样值

周期信号可以分解成一系列正弦（余弦）信号或虚指数信号之和，即

()N

jn t n n N

f t F e Ω=-=

∑

=

()()011

cos sin 2N

N

n n n n a a n t b n t ==+Ω+Ω∑∑ 其中，()11

22

n j n n n n F A e a jb ϕ=

=-

或2211||22arctan

n n n n n

n n F A a b b a ϕ⎫==+⎪⎪

⎬⎪=-⎪⎭

幅度和相位

为了直观地表示出信号所含各分量的振幅n A 或||n F ，随频率的变化情况，通常以角频率为横坐标，以各次谐波的振幅n A 或虚指数函数||n F 的幅度为纵坐标，画出如图2和图4所示的各谐波的振幅n A 或||n F 与角频率的关系图，称为周期信号的幅度（振幅）频谱，简称幅度谱。图中每条竖线代表该频率分量的幅度，称为谱线。各谱线顶点连线 的曲线（如图中原点所示）称为频谱包络线，它反映了各谐波分量幅度随频率变化的情况。

类似地，也可画出各谐波初相角n ϕ与角频率的关系图，如图3和5中各谐波初相角

n ϕ与角频率的关系图，称为相位频谱，简称相位谱。如果n F 为实数，那么可用n F 的正

负来表示n ϕ为0或π也可把幅度谱和相位谱画在一张图上

第二章 用DFT 对信号进行频谱分析

2.1 频谱分析的概述

所谓信号的频谱分析就是计算信号的傅里叶变换。连续信号与系统的傅里叶分析显然不能直接用计算机进行计算，使其应用受到限制。而DFT 是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值计算，成为分析离散信号和系统的有力工具。对连续信号和系统，可以通过时域采样，应用DFT 进行频谱分析。