自动控制原理第2章
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令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时，进行拉氏变换， 可得到s的代数方程
s n a1s n 1 an 1s an C s b0 s m b1s m 1 bm 1s bm R s
普通高等教育“十一五”国家级规划教 材
自动控制原理
第2章 控制系统数学模型的建立
机械工业出版社
第2章 控制系统数学模型的建立
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 概述 控制系统微分方程的建立 传递函数 控制系统的结构图 控制系统的信号流图 控制系统的传递函数
自动控制原理
2
2.1 概述
数学模型: 描述系统各变量之间关系的数学表达式叫做系统的数学模型。 动态模型： 描述系统动态过程的方程式称为动态模型。如微分方程、偏微 分方程、差分方程等。 建立系统数学模型时，应注意： （1）根据研究目的和精确性要求，忽略一些次要因素，使系 统数学模型简化，便于数学上的处理。 （2） 根据所采用的分析方法，建立相应形式的数学模型(微 分方程、传递函数等)，有时还要考虑便于计算机求解。 建立系统数学模型的途径： 理论推导法（演绎法）——通过系统本身机理(物理、化学规 律)分析确定模型结构和参数，推导出系统的数学模型。 实验测试法（归纳法）——根据对系统的观察，由测量得到的 大量输入、输出数据，推断出被研究系统的数学模型。
（2）Md和ia是中间变量。由于电动机转矩与电枢电流和气 隙磁通的乘积成正比，又因磁通恒定，有M d K m ia ， 联立求解，整理后得
L a J d 2w Ra J dw Ra La dM L 1 w ua ML K e K m dt 2 K e K m dt Ke Ke Km K e K m dt
bm 称为传递系数(或静态放大系数)。 an
(6)一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系。
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2.3.1 典型环节及其传递函数
（1）比例环节 G(s)= K
d 1 d 2 1 d n 0 ( ) 0 i f ( 2 ) 0 (i f ) 2 ( n ) 0 (i f ) n Rn1 di f 2! di f n! di f
与if是之间的非线性关系
忽略二次以上高次项，得： d d 0 ( ) 0 i f 0 L' f i f ( ) 0 tan L' f ， ， di f di f 写成偏量线性化方程式： L ' f i f
（三阶线性定常微分方程）
自动控制原理
8
举例4
磁场控制的直流电动机
设电枢电流Ia=常数,气隙磁通F(t) Kf if (t),激磁回路 电感Lf为常值。 d （1）激磁回路方程式： u f R f i f
dt
（2）转矩平衡方程式： J dw Bw M d dt Φ （3）消去中间变量, M ： L i ，M d Km Km K f i f Kii f
' f
所以激磁回路偏量线性化方程为：T
自动控制原理
di f dt
i f
1 u f Rf
13
2.2.2非线性微分方程的线性化（续）
同理，设各处信号(变量)均在工作点附近不大范围内变动， 它们的偏量方程式可求之如下：
电枢回路 电动机
La dia Ra ia K e' w 0 F K e'F0 w 0 dt dw ' J M L K M (F0 ia ia 0 F ) ， F C f i f dt
dt di La a Ra ia K eFw u（非线性方程） a dt dw ' J M L M D， M D K M F i（非线性方程） a dt
u f Ka e
ut Ktw
e ur ut
自动控制原理
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2.2.2 非线性微分方程的线性化（续）
设的工作点为0 ，if 的工作点为if0 ，在工作点的邻域内， 对if的各阶导数存在，它可展开成泰勒级数：
C (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm M (s) G( s ) n n 1 R( s ) s a1s an1s an D(s) (5) 传递函数只能表示输入与输出的函数关系，至于系统中 的中间变量无法反映出来。
自动控制原理
d 2 u c (t ) du c (t ) LC RC u c (t ) u r (t ) 2 dt dt 2 d u c (t ) du c (t ) T1T2 T2 u c (t ) u r (t ) 或 2 dt dt
（线性定常二阶微分方程式）
自动控制原理
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举例2
弹簧—质量—阻尼器系统
dt dt
ua Kae,
ut Ktw,
Ke
J
dt
J
e ur ut
（2）消去中间变量，得： K K K T T dM L Tm d 2w dw TaTm 2 Tm (1 K )w a ur a m M L，K a t dt dt Ke J dt J Ke
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举例6
输入量Qi（供水量） 输出量H （液面高度）
流体过程
（1）设流体是不可压缩的。根据物质守恒定律，可得
SdH (Qi Q0 )dt
（2）求出中间变量Qo与其他变量关系
Q0 H
（3）消去中间变量Qo ，就得输入输出关系式 dH 1 H Qi dt S S （一阶非线性微分方程式）
放大器
比较器
' f
u f K a e
测速发电机 ut Kt w
e=ur-ut ，因为Δur =0 ，故 e ut 消去中间变量，得扰动输入ΔML下的线性化方程：
2 d 3w dw ' d w TM TaT TM (Ta T f ) (T f' TM K t K a K mTa ) (1 K )w 3 2 dt dt dt 2 Ra C f ia 0 TM ' d M L ' dM L [TaT f (Ta T f ) M L ]， Km R K ' F 2 f a 0 J dt dt
线性定常系统的传递函数为
C (s) bm s m bm1 s m1 b1 s b0 M (s) G( s) n n 1 R(s) a n s a n1 s a1 s a0 D( s )
自动控制原理
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2.3.1 传递函数的性质
(1)传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶数m一 般低于或等于分母的阶数n， 即m≤n ，且所有系数均为 实数。 (2)传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用 及初始条件无关。 (3)一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因 此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。 (4) 若下式中s = 0，则G (0)
自动控制原理
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（续上页）
L a J d 2w Ra J dw Ra La dM L 1 w ua ML 2 K e K m dt K e K m dt Ke Ke Km K e K m dt
或
Ta Tm
d 2w dt 2
Tm
T T T dM L dw 1 w ua m M L a m dt Ke J J dt
自动控制原理
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2.2.2 非线性微分方程的线性化
直流电动机转速自动镇定系统图
设各处信号(变量)均在工作点附近不大范围内变动。列原始方程 d （1） 激磁回路 （与if是非线性关系） Rf if u f （2） 电枢回路 （3） 电动机 （4） 放大器 （5） 测速发电机 （6） 比较器
L f J d w L f J dw K ( ) w i uf R f B dt 2 R f B dt Rf B
2
d
f f
或
T f Tm
d 2w dt 2
(T f Tm )
dw w Kdu f dt
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自动控制原理
举例5
电动机转速控制系统
电动机转速控制系统原理图及结构图 w为输出，ur为参考输入，ML为扰动输入 （1）列各部件方程式： T T dM L Tm d 2w dw 1 TaTm 2 Tm w ua a m ML
自动控制原理
14
2.3
2.3.1 传递函数的概念
传递函数
RC电路如下：根据克希霍夫定律， 可列写微分方程
Ri(t ) uc (t ) ur (t )
1 uc (t ) i(t )dt C duc (t ) RC uc (t ) u r (t ) 消去中间变量i(t)，得 dt RCsUc (s) RCuc (0) U c (s) U r (s) 对上式进行拉氏变换 1 RC U c ( s) U r ( s) uc (0) 求出Uc(s)的表达式 RCs 1 RCs 1 1 U c ( s) U r ( s) 若uc(0)=0 RCs 1 U c ( s) 1 1 或 G( s) 式中 T=RC U r ( s) RCs 1 Ts 1
M d 2 y (t ) B dy(t ) 1 y (t ) f (t ) 2 K dt K dt K
（线性定常二阶微分方程式）
自动控制原理
6
举例3
电枢控制的直流电动机
电枢电压控制的直流电动机线路原理图和结构图 输入—电枢电压ua 输出—轴角位移q 或角速度w 扰动—负载转矩ML
dia （1）列写原始方程式。电枢回路方程式：La dt Ra i K ew ua dw J 根据刚体旋转定律，写出运动方程式： dt M L M d
Ra J Tm K eK m
Ta La Ra
——机电时间常数(秒) ——电动机电枢回路时间常数(秒) ，
一般比Tm小 若输出为电动机轴的转角q ，则有
Ta Tm d 3q dt 3 Tm d 2q dt 2 T T T dM L dq 1 ua m M L a m dt Ke J J dt
自动控制原理
3
2.2 控制系统微分方程的建立
建立系统(或部件)微分方程式的一般步骤：
(1)在条件许可下，适当简化，忽略一些次要因素； (2)根据物理或化学定律，列出部件的原始方程式； (3)列出原始方程式中中间变量与其它变量的关系式； (4)从所有方程式中消去中间变量，仅保留系统的输入变量和 输出变量； (5)最后，将微分方程表示成标准形式，即输出变量在左，输 入变量在右，导数阶次从高到低排列。
自动控制原理
4
2.2.1 典型控制系统举例
举例1 R-L-C电路
要求：列出uc(t)与ur(t)的关系方程式 （1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式 di 1 1 L Ri idt ur (t ) ， u c (t ) idt dt C C （2）消去中间变量i后，得输入输出微分方程式
要求：写出系统在外力f (t)作用下的运动方程式
（1）列出原始方程式。根据牛顿第二定律， 有 （2）消去中间变量
f1 (t ) B dy(t ) dt
d2 y f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) M 2 dt
B—— 阻尼系数 K—— 弹性系数
f2 (t) = Ky(t) 代入上式并整理
自动控制原理
15
2.3.1 传递函数的概念(续)
传递函数定义: 线性(或线性化)定常系统在零初始条件下，输出量 的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为传递函数。 若线性定常系统由下述n阶微分方程描述
dnc d n 1c dc dmr d m1r dr a1 n 1 an1 an c b0 m b1 m1 bm1 bm r n dt dt dt dt dt dt
s n a1s n 1 an 1s an C s b0 s m b1s m 1 bm 1s bm R s
普通高等教育“十一五”国家级规划教 材
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第2章 控制系统数学模型的建立
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 概述 控制系统微分方程的建立 传递函数 控制系统的结构图 控制系统的信号流图 控制系统的传递函数
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2.1 概述
数学模型: 描述系统各变量之间关系的数学表达式叫做系统的数学模型。 动态模型： 描述系统动态过程的方程式称为动态模型。如微分方程、偏微 分方程、差分方程等。 建立系统数学模型时，应注意： （1）根据研究目的和精确性要求，忽略一些次要因素，使系 统数学模型简化，便于数学上的处理。 （2） 根据所采用的分析方法，建立相应形式的数学模型(微 分方程、传递函数等)，有时还要考虑便于计算机求解。 建立系统数学模型的途径： 理论推导法（演绎法）——通过系统本身机理(物理、化学规 律)分析确定模型结构和参数，推导出系统的数学模型。 实验测试法（归纳法）——根据对系统的观察，由测量得到的 大量输入、输出数据，推断出被研究系统的数学模型。
（2）Md和ia是中间变量。由于电动机转矩与电枢电流和气 隙磁通的乘积成正比，又因磁通恒定，有M d K m ia ， 联立求解，整理后得
L a J d 2w Ra J dw Ra La dM L 1 w ua ML K e K m dt 2 K e K m dt Ke Ke Km K e K m dt
bm 称为传递系数(或静态放大系数)。 an
(6)一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系。
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2.3.1 典型环节及其传递函数
（1）比例环节 G(s)= K
d 1 d 2 1 d n 0 ( ) 0 i f ( 2 ) 0 (i f ) 2 ( n ) 0 (i f ) n Rn1 di f 2! di f n! di f
与if是之间的非线性关系
忽略二次以上高次项，得： d d 0 ( ) 0 i f 0 L' f i f ( ) 0 tan L' f ， ， di f di f 写成偏量线性化方程式： L ' f i f
（三阶线性定常微分方程）
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举例4
磁场控制的直流电动机
设电枢电流Ia=常数,气隙磁通F(t) Kf if (t),激磁回路 电感Lf为常值。 d （1）激磁回路方程式： u f R f i f
dt
（2）转矩平衡方程式： J dw Bw M d dt Φ （3）消去中间变量, M ： L i ，M d Km Km K f i f Kii f
' f
所以激磁回路偏量线性化方程为：T
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di f dt
i f
1 u f Rf
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2.2.2非线性微分方程的线性化（续）
同理，设各处信号(变量)均在工作点附近不大范围内变动， 它们的偏量方程式可求之如下：
电枢回路 电动机
La dia Ra ia K e' w 0 F K e'F0 w 0 dt dw ' J M L K M (F0 ia ia 0 F ) ， F C f i f dt
dt di La a Ra ia K eFw u（非线性方程） a dt dw ' J M L M D， M D K M F i（非线性方程） a dt
u f Ka e
ut Ktw
e ur ut
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2.2.2 非线性微分方程的线性化（续）
设的工作点为0 ，if 的工作点为if0 ，在工作点的邻域内， 对if的各阶导数存在，它可展开成泰勒级数：
C (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm M (s) G( s ) n n 1 R( s ) s a1s an1s an D(s) (5) 传递函数只能表示输入与输出的函数关系，至于系统中 的中间变量无法反映出来。
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d 2 u c (t ) du c (t ) LC RC u c (t ) u r (t ) 2 dt dt 2 d u c (t ) du c (t ) T1T2 T2 u c (t ) u r (t ) 或 2 dt dt
（线性定常二阶微分方程式）
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举例2
弹簧—质量—阻尼器系统
dt dt
ua Kae,
ut Ktw,
Ke
J
dt
J
e ur ut
（2）消去中间变量，得： K K K T T dM L Tm d 2w dw TaTm 2 Tm (1 K )w a ur a m M L，K a t dt dt Ke J dt J Ke
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举例6
输入量Qi（供水量） 输出量H （液面高度）
流体过程
（1）设流体是不可压缩的。根据物质守恒定律，可得
SdH (Qi Q0 )dt
（2）求出中间变量Qo与其他变量关系
Q0 H
（3）消去中间变量Qo ，就得输入输出关系式 dH 1 H Qi dt S S （一阶非线性微分方程式）
放大器
比较器
' f
u f K a e
测速发电机 ut Kt w
e=ur-ut ，因为Δur =0 ，故 e ut 消去中间变量，得扰动输入ΔML下的线性化方程：
2 d 3w dw ' d w TM TaT TM (Ta T f ) (T f' TM K t K a K mTa ) (1 K )w 3 2 dt dt dt 2 Ra C f ia 0 TM ' d M L ' dM L [TaT f (Ta T f ) M L ]， Km R K ' F 2 f a 0 J dt dt
线性定常系统的传递函数为
C (s) bm s m bm1 s m1 b1 s b0 M (s) G( s) n n 1 R(s) a n s a n1 s a1 s a0 D( s )
自动控制原理
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2.3.1 传递函数的性质
(1)传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶数m一 般低于或等于分母的阶数n， 即m≤n ，且所有系数均为 实数。 (2)传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用 及初始条件无关。 (3)一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因 此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。 (4) 若下式中s = 0，则G (0)
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（续上页）
L a J d 2w Ra J dw Ra La dM L 1 w ua ML 2 K e K m dt K e K m dt Ke Ke Km K e K m dt
或
Ta Tm
d 2w dt 2
Tm
T T T dM L dw 1 w ua m M L a m dt Ke J J dt
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2.2.2 非线性微分方程的线性化
直流电动机转速自动镇定系统图
设各处信号(变量)均在工作点附近不大范围内变动。列原始方程 d （1） 激磁回路 （与if是非线性关系） Rf if u f （2） 电枢回路 （3） 电动机 （4） 放大器 （5） 测速发电机 （6） 比较器
L f J d w L f J dw K ( ) w i uf R f B dt 2 R f B dt Rf B
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d
f f
或
T f Tm
d 2w dt 2
(T f Tm )
dw w Kdu f dt
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举例5
电动机转速控制系统
电动机转速控制系统原理图及结构图 w为输出，ur为参考输入，ML为扰动输入 （1）列各部件方程式： T T dM L Tm d 2w dw 1 TaTm 2 Tm w ua a m ML
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2.3
2.3.1 传递函数的概念
传递函数
RC电路如下：根据克希霍夫定律， 可列写微分方程
Ri(t ) uc (t ) ur (t )
1 uc (t ) i(t )dt C duc (t ) RC uc (t ) u r (t ) 消去中间变量i(t)，得 dt RCsUc (s) RCuc (0) U c (s) U r (s) 对上式进行拉氏变换 1 RC U c ( s) U r ( s) uc (0) 求出Uc(s)的表达式 RCs 1 RCs 1 1 U c ( s) U r ( s) 若uc(0)=0 RCs 1 U c ( s) 1 1 或 G( s) 式中 T=RC U r ( s) RCs 1 Ts 1
M d 2 y (t ) B dy(t ) 1 y (t ) f (t ) 2 K dt K dt K
（线性定常二阶微分方程式）
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举例3
电枢控制的直流电动机
电枢电压控制的直流电动机线路原理图和结构图 输入—电枢电压ua 输出—轴角位移q 或角速度w 扰动—负载转矩ML
dia （1）列写原始方程式。电枢回路方程式：La dt Ra i K ew ua dw J 根据刚体旋转定律，写出运动方程式： dt M L M d
Ra J Tm K eK m
Ta La Ra
——机电时间常数(秒) ——电动机电枢回路时间常数(秒) ，
一般比Tm小 若输出为电动机轴的转角q ，则有
Ta Tm d 3q dt 3 Tm d 2q dt 2 T T T dM L dq 1 ua m M L a m dt Ke J J dt
自动控制原理
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2.2 控制系统微分方程的建立
建立系统(或部件)微分方程式的一般步骤：
(1)在条件许可下，适当简化，忽略一些次要因素； (2)根据物理或化学定律，列出部件的原始方程式； (3)列出原始方程式中中间变量与其它变量的关系式； (4)从所有方程式中消去中间变量，仅保留系统的输入变量和 输出变量； (5)最后，将微分方程表示成标准形式，即输出变量在左，输 入变量在右，导数阶次从高到低排列。
自动控制原理
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2.2.1 典型控制系统举例
举例1 R-L-C电路
要求：列出uc(t)与ur(t)的关系方程式 （1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式 di 1 1 L Ri idt ur (t ) ， u c (t ) idt dt C C （2）消去中间变量i后，得输入输出微分方程式
要求：写出系统在外力f (t)作用下的运动方程式
（1）列出原始方程式。根据牛顿第二定律， 有 （2）消去中间变量
f1 (t ) B dy(t ) dt
d2 y f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) M 2 dt
B—— 阻尼系数 K—— 弹性系数
f2 (t) = Ky(t) 代入上式并整理
自动控制原理
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2.3.1 传递函数的概念(续)
传递函数定义: 线性(或线性化)定常系统在零初始条件下，输出量 的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为传递函数。 若线性定常系统由下述n阶微分方程描述
dnc d n 1c dc dmr d m1r dr a1 n 1 an1 an c b0 m b1 m1 bm1 bm r n dt dt dt dt dt dt