高中数学导数单元测试试题(附答案)
高中数学函数与导数单元测试及参考答案
高中数学函数与导数单元测试及参考答案本测试共分为两部分，第一部分为选择题，共计70分；第二部分为解答题，共计30分。
请仔细阅读题目并按要求作答。
第一部分：选择题（共70分，每小题2分）1.若函数y=f(x)在其定义域上恒大于零，则f(x)的值域为（）A. 正实数集B. 正整数集C. 负整数集D. 自然数集2.设函数y=f(x)在区间[0,2π]上递减，且f(x)满足f(0)+f(2π)=0，则f(x)的一个解析式为（）A. f(x)=cosxB. f(x)=sinxC. f(x)=-cosxD. f(x)=-sinx3.已知函数f(x)=ax^2+bx+5经过点P(1,8)，点P为该函数的一个极值点，则a、b的值分别为（）A. a=1，b=2B. a=2，b=3C. a=3，b=2D. a=2，b=14.设函数y=f(x)的导函数为y'=5x^4-2x，则函数y=f(x)的解析式为（）A. f(x)=x^5-x^2B. f(x)=x^5-x+CC. f(x)=5x^5-2x^2+CD. f(x)=5x^5-2x+Cx5.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，点M(1,0)为该函数的一个极小值点，则该函数在区间[0,2]上的单调性为（）A. 递增B. 递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增6.已知函数f(x)=2x^2+bx+c的图像与x轴相交于点(-1,0)和(1,0)，则b、c的值分别为（）A. b=-4，c=1B. b=0，c=1C. b=-1，c=2D. b=2，c=-17.已知函数f(x)=3x^3-4x^2+5x-6，则f'(x)=0的一个实根为（）A. x=1B. x=2C. x=-1D. x=38.已知函数f(x)=x^2+bx+c的图像与x轴相切于点(1,0)，则b、c的值分别为（）A. b=2，c=1B. b=-2，c=1C. b=-1，c=2D. b=1，c=-29.已知函数f(x)=a^x+b的图像经过点(0,3)和(1,5)，则a、b的值分别为（）A. a=2，b=1B. a=3，b=2C. a=2，b=3D. a=3，b=110.已知函数f(x)=3^x的图像与y轴交于点(0,a)，则a的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 0第二部分：解答题（共30分）11.已知函数f(x)满足f'(x)=3x^2-4x+1，求f(x)的解析式。
高中导函数试题及答案
高中导函数试题及答案一、选择题1. 函数f(x)=x^2的导数是（）A. 2xB. x^2C. 2D. x答案：A2. 函数f(x)=3x^2+2x-5的导数是（）A. 6x+2B. 3x^2+2C. 2x+3D. 6x^2+2x答案：A3. 函数f(x)=sin(x)的导数是（）A. cos(x)B. sin(x)C. -sin(x)D. -cos(x)答案：A4. 函数f(x)=e^x的导数是（）A. e^xB. e^(-x)C. -e^xD. -e^(-x)答案：A5. 函数f(x)=ln(x)的导数是（）A. 1/xB. x/1C. ln(x)D. 1/ln(x)答案：A二、填空题6. 函数f(x)=x^3的导数是______。
答案：3x^27. 函数f(x)=1/x的导数是______。
答案：-1/x^28. 函数f(x)=sqrt(x)的导数是______。
答案：1/(2*sqrt(x))9. 函数f(x)=cos(x)的导数是______。
答案：-sin(x)10. 函数f(x)=tan(x)的导数是______。
答案：sec^2(x)三、解答题11. 求函数f(x)=x^4-3x^2+2的导数。
解：f'(x) = 4x^3 - 6x12. 求函数f(x)=ln(x^2+1)的导数。
解：f'(x) = 2x/(x^2+1)13. 求函数f(x)=e^(2x)的导数。
解：f'(x) = 2e^(2x)14. 求函数f(x)=sin(3x)的导数。
解：f'(x) = 3cos(3x)15. 求函数f(x)=x^2*ln(x)的导数。
解：f'(x) = 2x*ln(x) + x^2/x = 2x*ln(x) + x四、应用题16. 一辆汽车以60km/h的速度行驶，求其速度的瞬时变化率。
解：速度的瞬时变化率即为速度的导数。
由于速度恒定为60km/h，其导数为0，即瞬时变化率为0。
高二数学导数单元测试题(有答案)
高二数学导数单元测试题（有答案）（一）．选择题(1)曲线y = x 3 -3x 2+1在点(1,-1)处的切线方程为（）A . y = 3x —4 B。
y =—3x+2C。
y =-4x+3D。
y=4x-5a(2)函数y =ax2+I 的图象与直线y =x 相切，则a =（、＼｀丿1_8 ． A 1_4 ． B 1_2 ． cD. 1(3)函数f(x)= x 3-3x 2 +1是减函数的区间为（） A . (2,+oo) B . (-oo,2)C . (-oo ,O )D. CO, 2)(4)函数f(x)=x 3+ax 2+3x-9, 已知f(x)在X=-3时取得极值，则a =( )A. 2B. 3C. 4D. 5(5)在函数y= x 3-8x 的图象上，其切线的倾斜角小千产的点中，坐标为整数的点的个数4是A. 3B. 2C. 1D. 0(6)函数f(x)=ax 3+x+l 有极值的充要条件是（ ） A . a>OB . a �OC . a <OD. a :s;O(7)函数f(x)=3x-4x3C xE[0,1]的最大值是（）12(8)函数f(x)=x (x —1) (x—2)…(x —100)在x =O 处的导数值为（）A.B .—l C. 0D. 1A、0B、1002C、200D、100!1 4(9)曲线y=:3x'+x 在点(13)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）1-9． A 2-9 ． B 1_3 ． c2-3 ． D （二）．填空题(1). 垂直千直线2x+6y+1=0且与曲线y = x 3+3x —5相切的直线方程是(2). 设f (X) = X 二归-2x+5,当XE [—1,2]时，f (X) < ill 恒成立，则实数m 2的取值范围为(3). 函数y = f (x) = x 3+ax 2+bx+a 2, 在X = 1时，有极值10,则a =3 (4). 已知函数f(x)=4x 3 +bx 2+ax+5在X=—,X=-1处有极值，那么a =; b =2(5). 酰门函数f(x)=x 3+ax在R上有两个极值点，则实数a 的取值范围是．(6). 已知函数f (x) = x 3+3ax 2 + 3(a + 2)x+ 1既有极大值又有极小值，则实数a的取值'b =范围是(7). 若函数f(x)= x3 +x勹m:x+l是R是的单调函数，则实数m的取值范围是2(8). 设点P是曲线y= x3—✓3x+—上的任意一点，P点处切线倾斜角为a,则角a的取3值范围是。
高中数学试题导数及答案
高中数学试题导数及答案高中数学试题：导数一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^3-3x的导数f'(x)为（）。
A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2+3D. -3x^2+32. 函数g(x)=sin(x)的导数g'(x)为（）。
A. cos(x)B. -sin(x)C. sin(x)+xD. -sin(x)-x3. 函数h(x)=e^x的导数h'(x)为（）。
A. e^xB. -e^xC. e^(-x)D. -e^(-x)4. 函数p(x)=ln(x)的导数p'(x)为（）。
A. 1/xB. x/1C. ln(x)D. 1/ln(x)5. 函数q(x)=x^2+2x+1的导数q'(x)为（）。
A. 2x+2B. x^2+2C. 2x+1D. x^2+2x6. 函数r(x)=√x的导数r'(x)为（）。
B. 1/√xC. √x/2D. 2/√x7. 函数s(x)=x^4的导数s'(x)为（）。
A. 4x^3B. 4x^4C. x^3D. x^48. 函数t(x)=1/x的导数t'(x)为（）。
A. -1/x^2B. 1/x^2C. -1/xD. 1/x9. 函数u(x)=cos(x)的导数u'(x)为（）。
B. sin(x)C. cos(x)D. -cos(x)10. 函数v(x)=ln(1+x)的导数v'(x)为（）。
A. 1/(1+x)B. 1/(1-x)C. 1/xD. 1/(1+x^2)二、填空题（每题6分，共30分）11. 函数f(x)=x^2-4x+3的导数f'(x)为_________。
12. 函数g(x)=x^3-6x^2+9x-4的导数g'(x)为_________。
13. 函数h(x)=e^(2x)的导数h'(x)为_________。
14. 函数p(x)=ln(x^2)的导数p'(x)为_________。
导数高中试题及解析答案
导数高中试题及解析答案1. 计算函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
解析：首先，我们需要找到函数 \( f(x) \) 的导数。
根据导数的定义，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) \]对每一项分别求导，我们得到：\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]现在，将 \( x = 1 \) 代入 \( f'(x) \) 得到：\[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \]答案：函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数为 \( -1 \)。
2. 已知函数 \( g(x) = \sin(x) \)，求 \( g'(x) \)。
解析：根据三角函数的导数规则，我们知道 \( \sin(x) \) 的导数是\( \cos(x) \)。
因此，我们可以直接写出 \( g(x) \) 的导数：\[ g'(x) = \cos(x) \]答案：函数 \( g(x) \) 的导数是 \( \cos(x) \)。
3. 计算复合函数 \( h(x) = (x^2 - 1)^4 \) 的导数。
解析：这是一个复合函数，我们可以使用链式法则来求导。
首先，设\( u = x^2 - 1 \)，那么 \( h(x) = u^4 \)。
对 \( u \) 求导得到：\[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]然后，对 \( h(x) \) 求导：\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(u^4) = 4u^3 \cdot u' = 4(x^2 - 1)^3\cdot 2x \]答案：复合函数 \( h(x) \) 的导数是 \( 8x(x^2 - 1)^3 \)。
导数高中试题及解析答案
导数高中试题及解析答案一、选择题1. 若函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)等于（）。
A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. 3x^2-3xD. 3x^2+3x答案：A解析：根据导数的定义，f'(x)=3x^2-3。
2. 函数y=x^2-4x+c的导数是（）。
A. 2x-4B. 2x+4C. -2x-4D. -2x+4答案：A解析：对函数y=x^2-4x+c求导，得到y'=2x-4。
二、填空题3. 若f(x)=x^2+2x+1，则f'(1)=______。
答案：4解析：将x=1代入f'(x)=2x+2，得到f'(1)=2*1+2=4。
4. 函数y=ln(x)的导数是______。
答案：1/x解析：对函数y=ln(x)求导，得到y'=1/x。
三、解答题5. 求函数g(x)=x^3-2x^2+x-1的导数。
答案：g'(x)=3x^2-4x+1解析：根据导数的运算法则，对函数g(x)求导得到g'(x)=3x^2-4x+1。
6. 已知f(x)=x^2+3x+2，求f'(-1)。
答案：-2解析：首先求出f'(x)=2x+3，然后将x=-1代入，得到f'(-1)=2*(-1)+3=-2。
四、应用题7. 某物体在t秒时的速度为v(t)=t^2-t，求物体在t=2秒时的瞬时速度。
答案：3解析：首先求出速度函数的导数v'(t)=2t-1，然后将t=2代入，得到v'(2)=2*2-1=3。
8. 函数y=e^x-x^2在x=0处的切线斜率是多少？答案：1解析：求出函数y的导数y'=e^x-2x，然后将x=0代入，得到y'(0)=e^0-2*0=1。
五、证明题9. 证明：若f(x)=x^3+2x，则f'(x)=3x^2+2。
答案：证明如下：∵f(x)=x^3+2x∴f'(x)=3x^2+2证明完毕。
高二数学下册(必修三)导数 单元测试卷及答案解析
高二数学下册（必修三）导数 单元测试卷及答案解析一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）函数f(x)在x =4处的切线方程为y =3x +5，则f(4)+f ′(4)=( )A. 10B. 20C. 30D. 402.（5分）设a 为实数，函数f (x )=x 3+ax 2+(a −2)x 的导函数是f ′(x)，且f ′(x)是偶函数，则曲线y =f (x )在原点处的切线方程为( )A. y =−2xB. y =3xC. y =−3xD. y =−4x3.（5分）若函数f(x)=x 2+lnx 的图像在(a,f(a))处的切线与直线2x +6y −5=0垂直，则a 的值为( )A. 1B. 2或14C. 2D. 1或124.（5分）已知函数f (x )={&ln (x +1),−1<x ⩽14 x 2+14,x >14 ，且关于x 的方程f (x )−kx =0恰有2个实数解，则实数k 的取值范围是( )A. [1,54] B. [54,+∞)C. [4ln 54,1]D. [4ln 54,1]⋃[54,+∞)5.（5分）曲线y =13x 3 在x =1处切线的倾斜角为( )A. 1B. −π4C. π4D.5π46.（5分） 若曲线f(x)=x 4−4x 在点A 处的切线平行于x 轴，则点A 的坐标为( )A. (-1,2)B. (1,-3)C. (1,0)D. (1,5)7.（5分）曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A. e4B. e2C. eD. 2e8.（5分）曲线f(x)=x 2+3x 在点A(1,4)处的切线斜率为( )A. 2B. 5C. 6D. 11二 、多选题（本大题共5小题，共25分） 9.（5分）下列命题中是真命题有()A. 若f′(x0)=0，则x0是函数f(x)的极值点B. 函数y=f(x)的切线与函数可以有两个公共点C. 函数y=f(x)在x=1处的切线方程为2x−y=0，则f′(1)=2D. 若函数f(x)的导数f′(x)<1，且f(1)=2，则不等式f(x)>x+1的解集是(−∞,1)10.（5分）若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数y=f(x)具有“T性质”.则下列函数中具有“T性质”的是()A. y=xe x B. y=cosx+1 C. y=1x3D. y=ln2log2x11.（5分）已知函数f(x)=x+√2x图象上的一条切线与g(x)=x的图象交于点M，与直线x=0交于点N，则下列结论不正确的有()A. 函数f(x)的最小值为2√2B. 函数的值域为(−∞,−2√24]C. |MN|2的最小值为16−8√2D. 函数f(x)图象上任一点的切线倾斜角的所在范围为[0,π4]12.（5分）已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a可能的取值()A. 196B. 3 C. 103D. 9213.（5分）设函数f(x)=x−ln|x|x，则下列选项中正确的是()A. f(x)为奇函数B. 函数y=f(x)−1有两个零点C. 函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称D. 过原点与函数f(x)相切的直线有且只有一条三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知倾斜角为45°的直线l与曲线y=lnx−2x+1相切，则直线l的方程是 ______.15.（5分）已知曲线C：y=x3−3x2+2x，直线l过(0,0)与曲线C相切，则直线l的方程是______ ．16.（5分）函数f(x)={1−2x,x⩾012x2+2x,x<0，函数g(x)=k(x−2)，若方程f(x)=g(x)恰有三个实数解，则实数k的取值范围为__________.17.（5分）函数f(x)=√4x+1，则函数f(x)在x=2处切线的斜率为 ______.18.（5分）某物体作直线运动，其位移S与时间t的运动规律为S=t+2√t(t的单位为秒，S的单位为米)，则它在第4秒末的瞬时速度应该为______米/秒．四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知函数f(x)=x3+x−16．(1)求曲线y=f(x)在点(2,−6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．20.（12分）在抛物线C：y=ax2(a>0)上取两点A(m1,n1),B(m2,n2)，且m2−m1=4，过点A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点P(1,−3).(1)求抛物线C的方程；(2)设直线l交抛物线C于M，N两点，记直线OM，ON(其中O为坐标原点)的斜率分别为k OM,k ON，且k OM.k ON=−2，若ΔOMN的面积为2√3，求直线l的方程.21.（12分）已知函数f(x)=(x+a)lnx，g(x)=x 2e x.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x−y=0平行．(1)求a的值；(2)证明：方程f(x)=g(x)在(1,2)内有且只有一个实根．22.（12分）设f(x)=ae x+1ae x+b(a>0)(I)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))的切线方程为y=32x；求a，b的值．(II)求f(x)在[0,+∞)上的最小值．23.（12分）已知曲线y=13x3+43，(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．参考答案与解析1.【答案】B;【解析】解：∵函数f(x)在x=4处的切线方程为y=3x+5，∴f′(4)=3，又f(4)=3×4+5=17，∴f(4)+f′(4)=17+3=20.故选：B.由已知可得f′(4)，在切线方程中取x=4求得f(4)，则答案可求．此题主要考查对数的几何意义及其应用，是基础题．2.【答案】A;【解析】此题主要考查导数的几何意义，函数的奇偶性，直线的点斜式方程，属于基础题.求导函数f′(x)，由f′(x)是偶函数求出a的值，然后根据导数的几何意义求切线方程.解：由f(x)=x3+ax2+(a−2)x，得，f′(x)=3x2+2ax+(a−2)，又∵f′(x)是偶函数，∴2a=0，即a=0，∴f′(x)=3x2−2，∴曲线y=f(x)在原点处的切线斜率为−2，曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=−2x，故选A.3.【答案】D;【解析】解：函数f(x)=x2+lnx的导数为f′(x)=2x+1x，在(a,f(a))处的切线的斜率为2a+1a，由切线与直线2x+6y−5=0垂直，可得−13(2a+1a)=−1，解得a=1或12，故选：D．求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，解方程可得所求值．此题主要考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】C;【解析】此题主要考查了方程的根与函数的图象之间的关系应用及学生的作图能力，同时考查了导数的几何意义的应用，属于中档题．方程f(x)=kx恰有两个不同实数根，等价于y=f(x)与y=kx有2个交点，又k表示直线y= kx的斜率，求出k的取值范围．解：画出函数f(x)图象，可求得函数f(x)=ln(x+1)(−1<x⩽14)图象在点O(0,0)处的切线方程为y=x，过点O(0,0)且与函数f(x)=x2+14(x>14)图象相切的直线方程也为y=x，即得直线y=x为函数f(x)图象的切线，且有两个切点，切点为O(0,0)和A(12,12 )，关于x的方程f(x)−kx=0恰有2个实数解当且仅当直线y=kx函数f(x)图象有两个公共点，由图可知当且仅当k OB⩽k⩽k OA时符合题意，又k OA=1，k OB=ln(14+1)14=4ln54，则求得4ln54⩽k⩽1.故选C.5.【答案】C;【解析】解：∵y =13x 3，∴y ′=x 2，设曲线y =13x 3 在x =1处切线的倾斜角为α，根据导数的几何意义可知，切线的斜率k =y ′|x=1=12=1=tan α， ∴α=π4，即倾斜角为π4． 故选C ．欲求在x =1处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k =y ′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．该题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的性质可求倾斜角，本题属于容易题．6.【答案】B;【解析】解：f(x)=x 4−4x 的导数为f ′(x)=4x 3−4， 设切点为A(m,n)，则n =m 4−4m ， 可得切线的斜率为k =4m 3−4=0， 解得m =1，n =−3.即A(1,−3)． 故选：B ．求得函数的导数，设出切点A(m,n)，代入函数式，求得切线的斜率，令它为0，解得m ，n ，进而得到切点A 的坐标．该题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，设出切点和正确求导是解答该题的关键，属于基础题．7.【答案】B; 【解析】此题主要考查导数的几何意义及三角形面积公式，属于基础题，先求出曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线方程，再其求与坐标轴的交点即可求得三角形面积;解：f ′(x)=e xlnx +e x x，则f ′(1)=e ，f(1)=0，∴曲线f(x)=e x lnx 在x =1处的切线方程为y =e(x −1)，令x=0，得y=−e，令y=0，得x=1，∴切线与坐标轴围成的三角形面积为S=12×e×1=e2.故选B.8.【答案】B;【解析】解：函数的导数为f′(x)=2x+3，所以函数在A(1,4)处的切线斜率k=f′(1)=2+3=5．故选：B．求曲线在点处得切线的斜率，就是求曲线在该点处得导数值．该题考查了导数的几何意义．导数的几何意义是指函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y= f(x)在点P(x0,y0)处的切线的斜率．它把函数的导数与曲线的切线联系在一起，使导数成为函数知识与解析几何知识交汇的一个重要载体．9.【答案】BCD;【解析】此题主要考查极值的概念，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求解不等式，属于中档题．由题意结合知识点，逐个选项分析即可.解：选项A，若f′(x0)=0，x0不一定是函数f(x)的极值点，例如函数f(x)=x3，f′(0)=0，但x=0不是极值点，故错误；选项B，函数y=f(x)的切线与函数可以有两个公共点，例如函数f(x)=x3−3x，在x=1处的切线为y=−2与函数还有一个公共点为(−2,−2)，故正确；选项C，因为函数y=f(x)在x=1处的切线方程为2x−y=0，所以f′(1)=2，故正确. 选项D，令g(x)=f(x)−x−1，因为函数f(x)的导数f′(x)<1，则g′(x)=f′(x)−1<0，所以函数g(x)=f(x)−x−1在R上单调递减，又g(1)=f(1)−2=0，由不等式f(x) > x+1得g(x) > 0=g(1)，得x 1，所以不等式f(x) > x+1的解集是(−∞,1)，故正确．故选BCD.10.【答案】AB;【解析】解：由题意，可知若函数y =f(x)具有“T 性质”，则存在两点， 使得函数在这两点处的导数值的乘积为−1， 对于A ，(xe x )′=1−x e x，满足条件；对于B ，(cosx +1)′=−sinx ，满足条件；对于C ，(1x 3)′=−3x 4<0恒成立，负数乘以负数不可能得到−1，不满足条件；对于D ，(ln2log 2x)′=ln2.1xln2=1x >0恒成立，正数乘以正数不可能得到−1，不满足条件． 故选：AB.分别求出四个选项中函数的导函数，看是否满足存在两点，使得函数在这两点处的导数值的乘积为−1即可．此题主要考查导数的几何意义及应用，考查化归与转化思想，关键是熟记基本初等函数的导函数，是中档题．11.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查导数的运算和几何意义以及基本不等式求最值，属于中档题. 由题意和导数的运算结合基本不等式，逐个选项验证正误即可. 解：已知f(x)=x +√2x，当x >0时，f(x)=x +√2x⩾2√24，当x <0时，f(x)=x +√2x⩽−2√24，故选项A 、B 不正确;设直线l 与函数f(x)的图象相切于点(x 0,x 02+√2x 0)，函数f(x)的导函数为f ′(x)=1−√2x 2=x 2−√2x 2，则直线l 的方程为y −x 02+√2x 0=x 02−√2x 02(x −x 0)，即y =x 02−√2x 02x +2√2x 0，直线l 与g(x)=x 的交点为M(2x 0,2x 0)，与x =0的交点为N(0,2√2x 0)， 所以|MN|2=4x 02+(2x 0−2√2x 0)2=8x 02+8x 02−8√2⩾16−8√2，当且仅当x 02=1时取等号，故选项C 正确; f ′(x)=1−√2x 2=x 2−√2x 2⩽1，可知切线斜率可为负值，即倾斜角可以为钝角，故选项D 不正确.故选ABD.12.【答案】AC;【解析】此题主要考查导数的几何意义和二次方程的实根的分布，考查运算能力，属于中档题．求出导数，由题意可得2x2−2x+a=3有两个不相等的正根，由此列出不等式组即可得到a 的取值范围，进而可得a的可能取值．解：f(x)=23x3−x2+ax−1的导数为f′(x)=2x2−2x+a，由题意可得2x2−2x+a=3有两个不相等的正根，则{Δ=28−8a>0a−32>0，解得3<a<72，故选：AC.13.【答案】BCD;【解析】解：函数f(x)=x−ln|x|x的定义域为{ x|x≠0}，f(−x)+f(x)=1−ln|−x|−x +1−ln|x|x=2≠0，所以f(x)不为奇函数，故A错误；由f(x)=1，可得ln|x|x=0，解得x=±1，故y=f(x)−1有两个零点，故B正确；由f(−x)+f(−2x)+f(x)+f(2x)=[f(−x)+f(x)]+[f(−2x)+f(2x)]=2+2=4，则函数y=f(x)+f(2x)的图象关于点(0,2)对称，故C正确；当x>0时，f(x)=1−lnxx ，f′(x)=−1−lnxx2，设过原点与f(x)相切的切点为(m,n)，则切线的方程为y−n=lnm−1m2(x−m)，即y−1+lnmm =lnm−1m2(x−m)，代入(0,0)，可得1+m=2lnm，设g(m)=2lnm−1−m，g′(m)=2m−1，当0<m<2时，g(m)递增，m>2时，g(m)递减，则g(m)的最大值为g(2)=2ln2−3<0，所以x>0时，不存在过原点的切线；当x<0时，f(x)=1−ln(−x)x ，f′(x)=−1−ln(−x)x2，设过原点与f(x)相切的切点为(s,t)(s<0)，则切线的方程为y−t=ln(−s)−1s2(x−s)，即y−1+ln(−s)s =ln(−s)−1s2(x−s)，代入(0,0)，可得1+s=2ln(−s)，设g(s)=2ln(−s)−1−s，g′(m)=2s−1<0，所以g(s)递减，则g(s)只有一个零点，所以x<0时，只存在一条过原点的切线．综上可得存在一条过原点的切线，故D正确．故选：BCD.由函数的奇偶性和零点、对称性、导数的几何意义，可得结论．此题主要考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．14.【答案】x−y+ln2−2=0;【解析】由直线的倾斜角求得直线的斜率，求出原函数的导函数，由导函数值为1求解切点坐标，再由直线方程的点斜式得答案．此题主要考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．解：直线的倾斜角为45°，则直线的斜率为tan45°=1，由y=lnx−2x +1，得y′=1x+2x2，由y′=1x +2x2=1，解得x=−1(舍去)或x=2.∴切点坐标为(2,ln2)，则直线l的方程为y−ln2=1×(x−2)，即x−y+ln2−2=0.故答案为：x−y+ln2−2=0.15.【答案】y=−x或y=−14x或y=2x;【解析】求出函数的导数，结合直线关系即可得到结论．这道题主要考查函数的切线的求解，根据函数导数的几何意义是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．解：函数的导数为f ′(x)=3x 2−6x +2， 设切点为(a,b)，则k =f ′(a)=3a 2−6a +2，b =a 3−3a 2+2a ， 则切线的方程y −b =(3a 2−6a +2)(x −a)， 即y =(3a 2−6a +2)x −2a 3+9a 2−4a ， ∵直线l 过点(0,0)， ∴−2a 3+9a 2−4a =0， 即2a 3−9a 2+4a =0， 则a(a −4)(2a −1)=0， 解得a =0或a =4或a =12，当a =1时，对应的直线方程为y =−x ， 当a =12时，对应的直线方程为y =−14x ， 当a =0时，对应的直线方程为y =2x ， 故答案为：y =−x 或y =−14x 或y =2x16.【答案】(0,4-2√3) ; 【解析】此题主要考查函数的零点与方程的根之间的关系，函数的导数求解切线方程，考查数形结合以及计算能力，是难题．画f(x)={1−2x ,x ⩾012x 2+2x,x <0，的图象，结合直线g(x)=k(x −2)过定点(2,0)，函数g(x)的图象与f(x)=12x 2+2x ，x <0的图象相切时，函数f(x)，g(x)的图象恰有两个交点．设切点为P(x 0,y 0)，由f ˈ(x)=x +2，x <0，求出切线的斜率，利用函数的图象的交点个数与函数的零点个数，推出k 的范围即可．解：依题意，画出f(x)={1−2x,x⩾012x2+2x,x<0的图象如图：因为直线g(x)=k(x−2)过定点(2,0)，由图象可知，当函数g(x)的图象与f(x)=12x2+2x，x<0的图象相切时，函数f(x)，g(x)的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率．设切点为P(x0,y0)，由fˈ(x)=x+2，x<0，则k=f′(x0)=x0+2=12x02+2x0x0-2，解得x0=2+2√3(舍去)或x0=2-2√3，则k=4−2√3，要使方程f(x)=g(x)恰有三个实数解，则函数f(x)，g(x)的图象恰有三个交点，结合图象可的实数k的取值范围为(0,4-2√3)，故答案为(0,4-2√3).17.【答案】23;【解析】解：由f(x)=√4x+1，得f′(x)=2(4x+1)−1 2，所以函数f(x)在x=2处切线的斜率k=f′(2)=23.故答案为：23.对f(x)求导，根据导数的几何意义，得到f(x)在x=2处的切线斜率．此题主要考查了利用导数研究函数的切线方程和导数的几何意义，属基础题．18.【答案】32;【解析】解：S=t+2√t，∴S′=1+√t，∴它在4秒末的瞬时速度为1+√4=32，故答案为：32．物理中的瞬时速度常用导数来求，故求出S的导数，代入4求值．该题考查变化的快慢与变化率，解答本题关键是理解导数的物理意义，由此转化为求导数的问题．19.【答案】解：(1)∵f′(x)=(x3+x−16)′=3x2+1，∴在点(2,−6)处的切线的斜率k=f′(2)=3×22+1=13，∴切线的方程为y=13x−32．(2)设切点为(x0,y0)，则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1，∴直线l的方程为y=(3x02+1)(x−x0)+x03+x0−16．又∵直线l过点(0,0)，∴0=(3x02+1)(−x0)+x03+x0−16，整理，得x03=−8，∴x0=−2，∴y0=(−2)3+(−2)−16=−26，直线l的斜率k=3×(−2)2+1=13，∴直线l的方程为y=13x，切点坐标为(−2,−26)．;【解析】(1)先求出函数的导函数，再求出函数在(2,−6)处的导数即斜率，易求切线方程．(2)设切点为(x0,y0)，则直线l的斜率为f′(x0)=3x02+1，从而求得直线l的方程，有条件直线1过原点可求解切点坐标，进而可得直线1的方程．此题主要考查直线的点斜式方程，属基础题型，较为简单．20.【答案】解：(1)由y=ax2(a>0)得y′=2ax(a>0)，则曲线在点A处的切线斜率为2am1，曲线在点A处的切线方程为y−am12=2am1(x−m1)，曲线在点A处的切线过点P(1,−3)，故am12−2am1−3=0①，同理可得曲线y=ax2(a>0)在点B处的切线方程为y−am22=2am2(x−m2)，∴am12−2am1−3=0②，①−②得m1+m2=2，m2−m1=4，∵m2−m1=4，∴m1=−1,m2=3，将m1=−1代入①，可得a=1，故抛物线方程为x2=y;(2)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+b，与抛物线C的交点为M(x1,x12),N(x2,x22)，联立得{y=kx+bx2=y，得x2−kx−b=0，∴x1+x2=k,x1.x2=−b，∴k OM.k ON=x12x1.x22x2=x1x2=−2，可得b=2，∴直线l经过点(0,2)，∴SΔ=12×|OP|×|x1−x2|=2√3，∴|x1−x2|=2√3，∴k2=4，∴k=±2，经检验k=±2,b=2符合题意，∴直线l的方程为y=2x+2或y=2x−2.;【解析】此题主要考查了直线与抛物线涉及到利用导数求曲线的切线方程、抛物线的几何性质、直线方程的求法等知识，综合性较强.(1)利用导数，可以求出曲线在点A，B处的切线斜率为2am1，2am2，从而求出切线方程，得到关于m1,m2的关系式，可以求出m的值，从而求出切线方程；(2)设直线l的方程为y=kx+b，与抛物线C的交点为M(x1,x12),N(x2,x22)，联立得{y=kx+bx2=y，得x1+x2=k,x1.x2=−b，求出b=2，根据题意列方程求出k的值，从而求出直线方程.21.【答案】（本题满分为12分）解：（1）f′(x)=lnx+ax+1，由题意知，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则f'（1）=2，所以a+1=2，解得a=1．…（4分）（2）令ˈ(x)=f(x)−g(x)=(x+1)lnx−x 2e x，x∈（1，2），则ˈ(1)=−1e ＜0，ˈ(2)=3ln2−4e2＞0，所以h（1）h（2）＜0，所以函数h（x）在（1，2）内一定有零点，…（8分）可得ˈ′(x)=lnx+x+1x −2x−x2e x(e x)2=lnx+1x+1−−(x−1)2+1e x＞1−1e＞0，∴h（x）在（1，2）上单调递增，所以函数h（x）在（1，2）内有且只有一个零点，即方程f（x）=g（x）在（1，2）内有且只有一个实根．…（12分）;【解析】(1)求得f(x)的导数，可得x=1处切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程即可得到所求值．(2)令ˈ(x)=f(x)−g(x)=(x+1)lnx−x2e x ，x∈(1,2)，由ˈ(1)=−1e<0，ˈ(2)=3ln2−4e2>0，可得函数ˈ(x)在(1,2)内一定有零点，进而证明ˈ′(x)>0，可得ˈ(x)在(1,2)上单调递增，即可得证．此题主要考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查函数的零点判定定理，正确求导是解答该题的关键，属于中档题．22.【答案】解：（I ）由题意得，f(x)=ae x +1aex+b ，则f ′(x)=ae x −1ae x，因为在点（2，f （2））的切线方程为y=32x ，所以{(f(2)=3f ′(2)=32)， 即{(ae 2+1ae 2+b =3ae 2−1ae 2=32)，解得{(a =2e 2b =12)…（6分）（Ⅱ）设t=e x （t ≥1），则原函数化为：y =at +1at +b ， 所以y ′=a −1at 2=a 2t 2−1at 2，令y ′=0，解得t=±1a ，（1）当a ≥1时，则y ′＞0在[1，+∞）上成立， 所以函数y =at +1at +b 在[1，+∞）上是增函数， 则当t=1（x=0）时，函数f （x ）取到最小值是a +1a +b ； （2）当0＜a ＜1时，y =at +1at +b ≥2+b ，当且仅当at=1（t=e x =1a ＞1，则x=-lna ）时，取等号， 此时函数f （x ）取到最小值是b+2，综上可得，当a ≥1时，函数f （x ）的最小值是a +1a +b ； 当0＜a ＜1时，函数f （x ）的最小值是b+2．…（12分）; 【解析】(Ⅰ)由求导公式和法则求出f ′(x)，根据导数的几何意义和条件列出方程组，求出a 、b 的值； (Ⅱ)设t =e x (t ⩾1)，代入原函数化简并求出导数，根据临界点和区间对a 进行分类讨论，利用导数与单调性、基本不等式求出函数的最小值．此题主要考查求导公式和法则，导数的几何意义，以及导数与函数单调性、基本不等式求函数的最值问题，属于中档题．23.【答案】解：(1)∵P(2,4)在曲线y =13x 3+43上，且y ′=x 2 ∴在点P(2,4)处的切线的斜率k =y ′|x=2=4；∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y −4=4(x −2)，即4x −y −4=0．(2)设曲线y =13x 3+43与过点P(2,4)的切线相切于点A(x 0,13x 03+43)，则切线的斜率k=y′|x=x=x02，∴切线方程为y−(13x03+43)=x02(x−x0)，即y=x02.x−23x03+43∵点P(2,4)在切线上，∴4=2x02−23x03+43，即x03−3x02+4=0，∴x03+x02−4x02+4=0，∴(x0+1)(x0−2)2=0解得x0=−1或x0=2故所求的切线方程为4x−y−4=0或x−y+2=0．(3)设切点为(x0,y0)则切线的斜率为k=x02=4，x0=±2.切点为(2,4)，(−2,−43)∴切线方程为y−4=4(x−2)和y+43=4(x+2)即4x−y−4=0和12x−3y+20=0．;【解析】该题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．(1)根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；(2)设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到(1)求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可；(3)设出切点坐标，由切线的斜率为4，把切点的横坐标代入导函数中求出的函数值等于4列出关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点的横坐标，代入曲线方程即可求出相应的纵坐标，根据切点坐标和斜率分别写出切线方程即可．。
(完整版)导数测试题(含答案)
B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
解析：选 D.f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令 f′(x)>0，解得 x>2，故选 D. 8．“函数 y＝f(x)在一点的导数值为 0”是“函数 y＝f(x)在这点取极值”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选 B.对于 f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出 f(x)在 x＝0 处取极值，反之 成立．故选 B. 9．函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( )
B．(2,4)
11
11
C．(4，16) 故选 D.
1
D．(2，4)
6．已知函数 f(x)＝x，则 f′(－3)＝( ) 1
A．4 1
B.9 1
C．－4
D．－9
1
1
解析：选 D.∵f′(x)＝－x2，∴f′(－3)＝－9. 7．函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是( )
A．(－∞，2)
三、解答题 x
17．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋xcosx； (2)y＝1＋x； (3)y＝lgx－ex.
18．已知抛物线 y＝x2＋4 与直线 y＝x＋10，求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程．
1 19．已知函数 f(x)＝3x3－4x＋4.(1)求函数的极值； (2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．
解析：令 y′＝(x＋1)ex＝0，得 x＝－1. 当 x<－1 时，y′<0；当 x>－1 时，y′>0.
第一章导数及其应用单元测试_A———高中数学选修2-2
第一章导数及其应用单元测试(A)参考答案
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一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A D A C B
第 3 页 共 8 页
21． （本小题满分 12 分）已知函数 f ( x) = x - 3 x.
3
（1）求曲线 y = f ( x ) 在点 x = 2 处的切线方程； （2）若过点 A(1, m) ( m ¹ -2) 可作曲线 y = f ( x ) 的三条切线，求实数 m 的取值范围.
a2 ， g ( x ) = x + ln x ，其中 a > 0 ． 22． （本小题满分14分）已知函数 f ( x ) = x + x （1）若 x = 1 是函数 h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) 的极值点，求实数 a 的值；
第一章导数及其应用单元测试(A)
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. f ( x) = x , f '( x0 ) = 6 ，则 x0 = (
3
) D. ±1
b
A． 2 2．设连续函数
B. - 2
C. ± 2
f ( x) > 0 ，则当 a < b 时，定积分 òa f ( x )dx 的符号
2 3 21．解（1） f ¢( x ) = 3 x - 3, f ¢(2) = 9, f (2) = 2 - 3 ´ 2 = 2
………………………2 分
(完整版)导数单元测试题(含答案)
导数单元测试题〔实验班用〕一、选择题1．曲线323y x x =-+在点(1,2)处的切线方程为( )A .31y x =-B .35y x =-+C .35y x =+D .2y x = 2．函数21()e x f x x +=⋅,[]1,2-∈x 的最大值为( )．A .14e -B . 0C .2eD . 23e 3.假设函数3()3f x x x a 有3个不同的零点，那么实数a 的取值范围是〔 〕A.(2,2)B.2,2C.(,1)D.(1,)4.假设函数3()63f x x bxb 在(0,1)内有极小值，那么实数b 的取值范围是〔 〕A.1(0,)2B. (,1)C. (0,)D. (0,1)5.假设2a >，那么函数321()13f x x ax 在区间(0,2)上恰好有( )A ．0个零点B ．3个零点C ．2个零点D ．1个零点6．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为〔 〕Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e7．函数()f x 的图象如下图，以下数值排序正确的选项是( )．A .(3)(2)0(2)(3)32f f f f -''<<<-B .(3)(2)0(3)(2)32f f f f -''<<<-C . (3)(2)0(3)(2)32f f f f -''<<<-D .(3)(2)0(2)(3)32f f f f -''<<<-8设(),()f x g x 分别是R 上的奇函数和偶函数, 当0x时,''()()()()0f x g x f x g x ,且(3)0g ，那么不等式()()0f x g x 解集是( )A ．(3,0)(3,) B ．(3,0)(0,3) C ．(,3)(3,) D ．(,3)(0,3)9．函数ln ln ()a x f x x+=在1,上为减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．a eB ．0a eC ．a eD ．10ea <<10．假设函数)(x f 的导数是)1()(+-='x x x f ，那么函数()(1)g x f x =--的单调减区间是( )A ．(1,0)-B ．(,1),(0,)-∞-+∞C ．(2,1)--D ．(,2),(1,)-∞--+∞ 11．二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，那么(1)'(0)f f 的最小值为〔 〕 A ．3 B ．52 C ．2 D ．3212．函数2()ln 22a f x x x x =--存在单调递减区间，那么a 的取值范围是〔 〕(A)[1,)-+∞ (B) (1,)-+∞ (C) (,1)-∞- (D) (,1]-∞- 二、填空题13.假设函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数，那么实数k 的取值范围是 . 14．点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，那么α的取值范围是15．函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，那么M m -=_________16．函数()f x 的定义域为[]15,-，局部对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图象如下图. 以下关于()f x 的命题： ①函数()f x 的极大值点为0，4； ②函数()f x 在[]02,上是减函数；③如果当[]1x ,t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点； ⑤函数()y f x a =-的零点个数可能为0，1，2，3，4个． 其中正确命题的序号是 ． 三、解答题17．函数)0()(23≠++=a cx bx ax x f ，当1-=x 时()f x 取得极值5，且11)1(-=f ．〔1〕求()f x 的单调区间和极小值；〔2〕证明对任意12,x x )3,3(-∈，不等式32|)()(|21<-x f x f 恒成立． 18．函数)1ln(2)(2++=x ax x f ,其中a 为实数． 〔1〕假设()f x 在1=x 处有极值，求a 的值；(2) 假设()f x 在]32[，上是增函数，求a 的取值范围． 19．函数2()ln(1)()f x x ax a x a R =---∈． 〔1〕当1=a 时，求函数)(x f 的最值； 〔2〕求函数)(x f 的单调区间．20．某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的本钱20元，并且每公斤蘑菇的加工费为x －1 0 4 5 ()f x1221t 元〔t 为常数，且25)t ≤≤，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元〔2540x ≤≤〕，根据市场调查，日销售量q 与e x成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．〔1〕求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；〔2〕假设5=t ，当每公斤蘑菇的出厂价x 为多少元时，该工厂的利润y 最大，求最大值．21．函数1ln ()x f x x+=．〔1〕假设函数在区间1(,)2a a +(0)a >上存在极值，求实数a 的取值范围；〔2〕如果当1≥x 时，不等式()1≥k f x x +恒成立，求实数k 的取值范围．22．设函数2()(1)2ln(1).f x x x =+-+ 〔1〕求函数()f x 的单调区间；〔2〕当11,1xe e时,()f x m 不等式<恒成立，求实数m 的取值范围； 〔3〕假设关于x 的方程2()f x x x a =++在0,2上恰有两个相异实根，求实数a 的取值范围．导数单元测试题答案一、选择题 ACAAD DBDAA CB 二、填空题13.312k14.30,,2415.32 16. ①②⑤三、解答题17.解：〔1〕2()32(0)f x ax bx c a '=++≠，由题意得(1)11(1)5(1)0f f f =-⎧⎪-=⎨⎪'-=⎩ ，即115320a b c a b c a b c ++=-⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩ ，解得139a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，，.因此x x x x f 93)(23--=，2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-．当 ),3()1,(+∞--∞∈ x 时，'()0f x >；当)3,1(-∈x 时，'()0f x <． 所以函数()f x 的单调增区间为)1,(--∞和),3(+∞；单调减区间为)3,1(-. 故函数()f x 在3=x 处取得极小值，()(3)27f x f ==-极小值．〔2〕由〔Ⅰ〕知32()39f x x x x =--在)1,3(--上递增，在)3,1(-上递减， 所以max ()(1)5f x f =-=；min ()(3)27f x f =±=-．所以，对任意12,x x )3,3(-∈恒有 12|()()||5(27)|32f x f x -<--=．18．解：〔1〕由得()f x 的定义域为)1(∞+-，. 又2()2,1f x ax x '=++ 因为()f x 在1=x 处有极值，(1)210f a '∴=+=，解之得 1.2a =-〔2〕依题意得()0≥f x '对[23]x ∀∈，恒成立， 即 201≥ax x 2++对[23]x ∀∈，恒成立． 221111()24a x x x ∴>=---++ 对[23]x ∀∈，恒成立．211[23]()24x x ∈∴-++，， [12,6],∈-- 41)21(12++-∴x 11[,],612∈-- 112≥a ∴-．19．解：〔1〕函数2()ln(1)()f x x ax a x a =---∈R 的定义域是(1,)+∞．当1a =时，32()12()2111x x f x x x x -'=--=--， 所以()f x 在3(1,)2为减函数在3(,)2+∞为增函数，所以函数()f x 的最小值为33()ln 224f =+.〔2〕22()2()211a x x a f x x a x x +-'=--=--， ①假设0a ≤时，那么22()221,()21a x x a f x x +-+=-≤>0在(1,)+∞恒成立， 所以()f x 的增区间为(1,)+∞．②假设20,12a a +>>则，故当2(1)2a x +∈，，22()2()01a x x f x x +-'=-≤； 当2[,)2a x +∈+∞时，22()2()01a x x f x x +-=-≥． 所以当0a >时，()f x 的减区间为2(1,)2a +，()f x 的增区间为2(,)2a ++∞.20．解：〔1〕设日销量3030,100,100e e e则x k k q k ==∴=, ………………2分所以日销量30100e e xq =．30100e (20)(2540)e x x t y x --∴=≤≤．………………7分〔2〕当5=t 时，30100e (25)exx y -=． ………………8分30100e (26)e xx y -'∴=． ………………9分026由得y x '≥≤，026由得,y x '≤≥[2526][2640]在，上单调递增，在，上单调递减.y ∴4max 26,100e 当时x y ∴==．………………11分当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为4100e 元．……12分 21．解：〔Ⅰ〕因为1ln ()x f x x +=， x >0，那么2ln ()x f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<． 所以()f x 在〔0，1〕上单调递增；在(1,)+∞上单调递减， 所以函数()f x 在1x =处取得极大值． 因为函数()f x 在区间1(,)2a a +〔其中0a >〕上存在极值，所以1,11,2a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩ 解得112a <<． 〔Ⅱ〕不等式(),1k f x x +≥即为(1)(1ln ),x x k x ++≥记(1)(1ln )(),x x g x x ++=那么min (), 1.k g x x ≤≥所以2[(1)(1ln )](1)(1ln )()x x x x x g x x '++-++'=2ln x xx-=． 令()ln h x x x =-，那么1()1h x x'=-，1x ≥，()0,h x '∴≥[()h x ∴在[1,)+∞上单调递增，min ()(1)10h x h ∴==>，从而()(1)0h x h >≥，所以()0g x '>，故()g x 在[1,)+∞上也单调递增， 所以min ()(1)2g x g ==． 所以2k ≤．22．解：〔2〕函数的定义域为。
选修1-1第三章导数测试题(含详解)1
高中数学（文科）选修1-1第三章导数单元测试题一、选择题(本大题共10小题.每题只有一个正确答案,请把正确答案的选项填在括号内) 1.已知f (x )在x =x 0处可导,则0lim x x →[][]0202)()(x x x f x f --等于A.f ′(x 0)B.f (x 0)C.f (x 0)·f ′(x 0)D.2f (x 0)·f ′(x 0)2.物体运动的方程为s =41t 4－3,则t =5的瞬时速度为A.5B.25C.125D.6253. (2006.安徽高考.理7）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=4.对于函数f (x )=x 3－3x 2,给出命题:①f (x )是增函数；②f (x )为减函数,无极值；③f (x )是增函数的区间为(－∞,0)∪(2,+∞),是减函数的区间为(0,2)；④f (0)是极大值,f (2)=－4是极小值.其中正确的命题有 A.1个 B.2个 C.3个D.4个5.若曲线y =x 2－1与y =1－x 3在x =x 0处的切线互相垂直,则x 0等于A.6363B.－6363C.32D.32或06.已知函数f (x )=x 3－3x 2－9x ,x ∈(－2,2),则f (x ) A.极大值为5,极小值为－27 B.极大值为5,极小值为－11 C.极大值为5,无极小值D.极小值为－27,无极大值7. （2006.江西高考.理5）对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（）≥0，则必有（ ） A 、f （0）＋f （2）<2f （1） B. f （0）＋f （2）≤2f （1） C. f （0）＋f （2）≥2f （1） D. f （0）＋f （2）>2f （1） 8.函数f (x )=x (1－x 2)在［0,1］上的最大值为A.932 B.922C.923 D.839.已知f (x )=xx x cos sin sin +,则f ′(4π)等于A.21 B.221C.21 D.－2110.已知函数f (1)=x 2+2xf ′(1),则f (－1)与f (1)的大小关系是 A.f (－1)=f (1) B.f (－1)<f (1) C.f (－1)>f (1)D.无法确定二、填空题(本大题共4小题.把答案填在题中横线上)11.曲线y =x 3+3x 2+6x －10的切线中,斜率最小的切线方程为__________.12.已知函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1处有极大值,在x =3处有极小值,则a =__________,b =__________.13.函数f (x )=x 3－x 的单调增区间为__________.14. （2006·全国高考I ·理16）设函数())()cos 0f x ϕϕπ=+<<。
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高二数学选修1-1《导数及其应用》单元测试卷班级： 姓名： 座号： 成绩：一、选择题（共7个小题,每小题6分）1、一个物体的运动方程为21s t t =-+,其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是 ( )A ．5米/秒B ．6米/秒C ．7米/秒D ．8米/秒2、函数()3f x x x =+的单调递增区间是 ( )A ．()0,+∞B ．(),1-∞C ．(),-∞+∞D ．()1,+∞3、已知()3232f x ax x =++且()14f '-=,则实数a 的值等于 ( )A ．193B ．163C ．133D ．1034、函数()()22f x x π=的导数是 ( )A ．()4f x x π'=B ．()24f x x π'=C ．()28f x x π'=D ．()16f x x π'=5、“函数()00f x '=”是“可导函数()f x 在点0x x =处取到极值”的 条件。
( )A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要6、已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47、设()0sin f x x =,()()10f x f x '=,()()21f x f x '=,,()()1n n f x f x +'=,n ∈N ,则()2005f x = ( )A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -二、填空题（共3个小题,每小题6分）8、曲线31y x x =++在点()1,3处的切线方程是 ．9、已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切,则a = ．10、三次函数()3f x ax x =+在(),-∞+∞内是增函数,则a 的取值范围是 ．三、解答题（共2个小题,每题20分）11、已知函数()32f x x ax bx c =+++,当1x =-时,取得极大值7；当3x =时,取得极小值．试求a 、b 、c 的值及这个极小值．12、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+>.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,求,a b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点.高二数学选修1-1《导数及其应用》单元测试卷参考答案1-5 ACDCB 6-7 AC 8. 410x y --= 9. 1410. 0a > 11、解：()32f x x ax bx c =+++,∴()232f x x ax b '=++由题意知,1-和3是方程2320x ax b ++=的两个实数根 ∴2133133a b ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩,解得：39a b =-⎧⎨=-⎩()17f -=∴()()()()3211319157f c c -=--⨯--⨯-+=+=∴2c =∴极小值()32333393225f =-⨯-⨯+=-12、（Ⅰ）()'233f x x a =-,∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩（Ⅱ）∵3()3(0)f x x ax b a =-+>,由()'0f x x =⇒=当(,x ∈-∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,当(x ∈时,()'0f x <,函数()f x 单调递减,当)x ∈+∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,∴此时x =()f x 的极大值点,x =()f x 的极小值点.知识改变命运。
高中数学导数单元测试试题(附答案)
（数学选修2-2）第一章 导数及其应用 [基础训练A 组] 一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()lim h f xh f x h h→+--的值为（ ）A ．'()f x B ．'2()f x C ．'2()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。
三、解答题1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。
高中数学选修2第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试(含解析)
高中数学选修2第五章一、单选题1．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V （单位：L ）与直径d （单位：dm ）的关系式为V =πd 36，当d =2dm 时，气球体积的瞬时变化率为（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π42．若点P 是曲线y =lnx ―x 2上任意一点，则点P 到直线l ：x +y ―6=0的距离的最小值为( )A ．22B ．32C ．522D ．9223．函数f (x )=13a x 3+12a x 2―2ax +2a +1的图象经过四个象限的一个充分必要条件是( )A ．―43<a <―13B ．―1<a <―12C ．―2<a <0D ．―65<a <―3164．根据公式sin3α=3sin α―4sin 3α，sin10°的值所在的区间是（ ）A ．(17,16)B ．(16,15)C ．(15,14)D ．(14,13)5．已知函数f (x )=ax +ln a ，g (x )=x +e x ―ln x ，若关于x 的不等式f (x )>g (x )在区间(0，+∞)内有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(e ，e 2]B ．(e ，e 22]C ．(e 2，e 3]D ．(e 22，e 33]6．设函数 f (x )=e xx―t (ln x +x +2x ) 恰有两个极值点，则实数 t 的取值范围是（ ）A ．(―∞，12]B ．(12，+∞)C ．(12，e 3)∪(e3，+∞)D ．(―∞，12]∪(e3，+∞)7．已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数， f (―1)=0 ，当 x <0 时， x f ′(x )+f (x )<0 ，则使得 f (x)>0 成立的 x 的取值范围是（ ） A ．(―∞，―1)∪(0，1)B ．(―1，0)∪(1，+∞)C ．(―∞，―1)∪(―1，0)D ．(0，1)∪(1，+∞)8．函数 f (x )=|x |ex ，方程 [f (x )]2―(m +1)f (x )+1―m =0 有4个不相等实根，则 m 的取值范围是（ ）A ．(e 2―e e 2+e，1)B ．(e 2―e +1e 2+e ，+∞)C ．(e 2―e +1e 2+e ，1)D ．(e 2―e e 2+e，+∞)二、多选题9．对任意的x∈R，函数f(x)=x3＋ax2+7ax不存在极值点的充分不必要条件是（ ）A．0≤a≤21B．1≤a≤20C．a<0D．a=21 10．已知函数f(x)=e xx2―x+1，则下列结论正确的是（ ）A．函数f(x)存在极大值和极小值B．函数f(x)不存在最小值与最大值C．当x∈[0，3]时，函数f(x)最大值为eD．当x∈[12，e]时，函数f(x)最小值为e2311．已知函数f(x)=14x 4+12a x2+ax，则下面说法正确的是（ ）A．存在实数a，使f(x)有最小值且最小值小于0B．对任意实数a，f(x)有最小值且最小值不小于0C．存在正实数a和实数x0，使f(x)在(―∞，x0)上递减，在(x0，+∞)上递增D．对任意负实数a，存在实数x0，使f(x)在(―∞，x0)上递减，在(x0，+∞)上递增12．若f（x）图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对[A，B]称为函数f（x）的“友情点对”（点对[A，B]与[B，A]视为同一个“友情点对”）若f(x)={x3e x,x≥0ax2,x<0恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（ ）A．0B．―12018C．―1eD．―12021三、填空题13．函数f(x)=12x―x3在区间[―3，3]的最小值是 .14．设曲线y=e ax+sine在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= ．15．关于x的方程kx―lnxx =2在区间[1e,e]上有两个实根，则实数k的最小值是 .16．已知函数f(x)=x3―a e x，若函数f(x)有三个极值点x1,x2,x3(x1<x2<x3)，若x3≥3x2，则实数a的取值范围是 .四、解答题17．求下列函数的导数：（1）f(x)=(1+sin x)(1―4x)；（2）f(x)=xx+1―2x.18．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．（1）求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；（2）求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．19．已知函数f (x )=x 3+a x 2+x (a ∈R )（1）若函数f (x )存在两个极值点，求a 的取值范围；（2）若f (x )≥xlnx +x 在(0，+∞)恒成立，求a 的最小值.20．设f n （x ）=x+x 2+…+x n ﹣1，x≥0，n ∈N ，n≥2．（Ⅰ）求f n ′（2）；（Ⅱ）证明：f n （x ）在（0，23）内有且仅有一个零点（记为a n ），且0＜a n ﹣12＜13（23）n ．21．已知函数f （x ）=lnx+a （x 2﹣3x+2），其中a 为参数．（1）当a=0时，求函数f （x ）在x=1处的切线方程； （2）讨论函数f （x ）极值点的个数，并说明理由；（3）若对任意x ∈[1，+∞），f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围．22．设函数 f (x )=1x ―eex ,g (x )=a (x 2―1)―lnx （ a ∈R ， e 为自然对数的底数）.（1）证明：当 x >1 时， f (x )>0 ； （2）讨论 g (x ) 的单调性；（3）若不等式 f (x )<g (x ) 对 x ∈(1,+∞) 恒成立，求实数 a 的取值范围.参考答案1．A2．B解：已知函数y=lnx―x2，可得y′=1x―2x,(x>0)，直线l:x+y―6=0的斜率为-1，令y′=―1,即1x―2x=―1，可得(x―1)(2x+1)=0，因为x>0，可得x=1，则y=―1，即平行于直线l:x+y―6=0且与曲线y=lnx―x2相切的切点坐标为P(1,―1)，由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为d=|1―1―6|2=32.3．D。
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（数学选修2-2）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。
三、解答题1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。
2．求函数()()()y x a x b x c =---的导数。
3．求函数543()551f x x x x =+++在区间[]4,1-上的最大值与最小值。
4．已知函数23bx ax y +=，当1x =时，有极大值3； （1）求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值。
新课程高中数学测试题组（数学选修2-2）第一章 导数及其应用 [综合训练B 组] 一、选择题1．函数323922yx x x x 有（ ）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值2．若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ）A ．3-B ．6-C ．9-D ．12- 3．曲线3()2f x x x在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)--4．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A ．()f x =()g xB ．()f x -()g x 为常数函数C ．()f x =()0g x =D ．()f x +()g x 为常数函数 5．函数xx y 142+=单调递增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),21(+∞ D ．),1(+∞6．函数xxy ln =的最大值为（ ） A ．1-e B ．e C ．2e D ．310二、填空题1．函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是 。
2．函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________。
3．函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________。
4．若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数，则,,a b c 的关系式为是 。
5．函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为________。
三、解答题1． 已知曲线12-=x y 与31x y +=在0x x =处的切线互相垂直，求0x 的值。
2．如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去 四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，盒子容积最大？3． 已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =- （1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间。
4．平面向量13(3,1),(,22a b =-=，若存在不同时为0的实数k 和t ，使 2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+且x y ⊥，试确定函数()k f t =的单调区间。
新课程高中数学测试题组（数学选修2-2） 第一章 导数及其应用[提高训练C 组]一、选择题1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+D ．2sin α2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ）3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞B ．]3,3[-C ．),3()3,(+∞--∞D ．)3,3(-4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +>5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）abxy)(x f y =OA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题1．若函数2f xx x c 在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。
3．设函数()cos(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则ϕ=__________ 4．设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。
5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 三、解答题1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。
2．求函数243y x x =+-+的值域。
3．已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。
4．已知23()log x ax bf x x++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由.新课程高中数学训练题组参考答案（数学选修2-2）第一章 导数及其应用 [基础训练A 组]一、选择题1．B 000000()()()()lim lim 2[]2h h f x h f x h f x h f x h h h→→+--+--='0000()()2lim 2()2h f x h f x h f x h →+--==2．C ''()21,(3)2315s t t s =-=⨯-=3．C '2310yx 对于任何实数都恒成立 4．D '2'10()36,(1)364,3f x ax x f a a =+-=-==5．D 对于3'2'(),()3,(0)0,f x x f x x f ===不能推出()f x 在0x =取极值，反之成立6．D '3'3''44,0,440,1,1,0;1,0y x y x x x y x y =-=-==<<>>令当时当时 得1|0,x y y ===极小值而端点的函数值23|27,|72x x y y =-===，得min 0y =二、填空题1．1± '2000()33,1f x x x ===±2．34π '2'1334,|1,tan 1,4x y x k y ααπ==-==-=-= 3．2cos sin x x x x - '''22(sin )sin ()cos sin x x x x x x x y x x -⋅-==4．1,0x ey e -= ''1111,|,1(),x e y k y y x e y x x e e e====-=-=5．5(,),(1,)3-∞-+∞ '253250,,13y x x x x =+-><->令得或三、解答题1．解：设切点为(,)P a b ，函数3235y x x =+-的导数为'236y x x =+切线的斜率'2|363x a k y a a ===+=-，得1a =-，代入到3235y x x =+-得3b =-，即(1,3)P --，33(1),360y x x y +=-+++=。
2．解：''''()()()()()()()()()y x a x b x c x a x b x c x a x b x c =---+---+--- ()()()()()()x b x c x a x c x a x b =--+--+--3．解：)1)(3(515205)(2234++=++='x x x x x x x f ,当0)(='x f 得0x =，或1x =-，或3x =-， ∵0[1,4]∈-，1[1,4]-∈-，3[1,4]-∉- 列表:又(0)0,(1)0f f =-=；右端点处(4)2625f =；∴函数155345+++=x x x y 在区间[1,4]-上的最大值为2625，最小值为0。