高中数学导数练习题答案

专题8：导数（文）

经典例题剖析

考点一：求导公式。

例1. f(x)是f(x)13x2x1的导函数，则f(1)的值是。3

解析：f’x x22，所以f’112 3

答案：3

考点二：导数的几何意义。

，f(1))处的切线方程是y例2. 已知函数y f(x)的图象在点M(1

f(1)f(1)。

解析：因为k1x2，则211，f(1))，可得点M的纵坐标为，所以f’1，由切线过点M(122

55，所以f1，所以f1f’1 3 22

答案：3

，3)处的切线方程是。例3.曲线y x32x24x2在点(1

，3)处切线的斜率为k3445，所以设切解析：y’3x24x4，点(1

，3)带入切线方程可得b2，，3)线方程为y5x b，将点(1所以，过曲线上点(1

处的切线方程为：5x y20

答案：5x y20

点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。

考点三：导数的几何意义的应用。

32例4.已知曲线C：y x3x2x，直线l:y kx，且直线l与曲线C相切于点

x0,y0x00，求直线l的方程及切点坐标。

解析：直线过原点，则k y0x00。由点x0,y0在曲线C上，则x0 y232y0x03x02x0，0x03x02。又y’3x26x2，在x0

x0,y0

处曲线C的切线斜率为k f’x03x06x02， 2

22整理得：解得：x02x03x00，x03x023x06x02，3或x002 （舍），此时，y0311，k。所以，直线l的方程为y x，切点坐标是844

33,。28

答案：直线l的方程为y133x，切点坐标是, 428

点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。

考点四：函数的单调性。

例5.已知f x ax33x2x1在R上是减函数，求a的取值范围。

解析：函数f x的导数为f’x3ax26x1。对于x R都有f’x0时，f x

a0为减函数。由3ax6x10x R可得，解得a3。所以，3612a0 2

当a3时，函数f x对x R为减函数。

18（1）当a3时，f x3x33x2x13x。39

3由函数y x在R上的单调性，可知当a3是，函数f x对x R为减函数。3

（2）当a3时，函数f x在R上存在增区间。所以，当a3时，函数f x在

R上不是单调递减函数。

综合（1）（2）（3）可知a3。

答案：a 3

点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。考点五：函数的极值。

例6. 设函数f(x)2x3ax3bx8c在x1及x2时取得极值。

（1）求a、b的值；32

3]，都有f(x)c成立，求c的取值范围。（2）若对于任意的x[0，

2解析：（1）f(x)6x6ax3b，因为函数f(x)在x1及x2取得极值，则有2

66a3b0，

，解得a3，b4。f(1)0，f(2)0．即

2412a3b0．

（2）由（Ⅰ）可知，f(x)2x39x212x8c，f(x)6x218x126(x1)(x2)。

1)时，f(x)0；当x(12)，时，f(x)0；当x(2，3)时，f(x)0。所以，当x(0，

当x1时，f(x)取得极大值f(1)58c，又f(0)8c，f(3)98c。则当x0，3时，f(x)的最大值为f(3)98c。因为对于任意的x0，3，有f(x)c2恒成立，

2

所以98c c，解得c1或c9，因此c的取值范围为(，1)(9，)。

1)(9，)。答案：（1）a3，b4；（2）(，

点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数f x的极值步骤：①求导数f’x；②求f’x0的根；③将f’x0的根在数轴上标出，得出单调区间，由f’x在各区间上取值的正负可确定并求出函数f x的极值。考点六：函数的最值。

例7. 已知a为实数，f x x24x a。求导数f’x；（2）若f’10，求f x在区间2,2上的最大值和最小值。

解析：（1）f x x ax4x4a，f’x3x2ax4。

2

2

12

。f’x3x x43x4x1 2

4

令f’x0，即3x4x10，解得x1或x，则f x和f’x在区间

2,2

3

（2）f’132a40，a

f1

9，2

504

。所以，f x在区间2,2上的最大值为f273504

，最f273

小值为f1

9。2

答案：（1）f’x3x22ax4；（2）最大值为f

4

3

950

，最小值为f1。

227

点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数f x在区间a,b上的最值，要先求出函数f x在区间a,b上的极值，然后与f a和f b进行比较，从而得出函数的最大最小值。

考点七：导数的综合性问题。

例8. 设函数f(x)ax3bx c(a0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线

x6y70垂直，导函数f’(x)的最小值为12。（1）求a，b，c的值；（2）求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[1,3]上的最大值和最小值。解析：（1）∵f(x)为奇函数，∴f(x)f(x)，即ax bx c ax bx c ∴c0，∵f’(x)3ax2b的最小值为12，∴b12，又直线x6y70的斜率为