一元函数的极值与最值【精选】
一元函数的最值与最值问题
一元函数的最值与最值问题一、介绍在数学中，一元函数是指只有一个自变量的函数，即函数的输入仅为一个实数。
最值问题是指确定一元函数在给定定义域范围内的最大值和最小值。
本文将探讨一元函数的最值求解方法和最值问题的应用。
二、一元函数的最值求解方法在求解一元函数的最值问题之前，我们需要了解一些求导相关的基本概念和方法。
1. 导数一元函数的导数描述了函数在某一点上的变化率。
导数可以表示为函数 f(x) 在给定点 x 处的极限值，记作 f'(x) 或 df/dx。
导数有助于确定函数的局部极值点。
2. 求导法则求导法则是求解导数的基本规则，包括常数法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则、商法则和复合函数法则。
通过运用这些法则，我们可以计算函数的导数，从而找到函数的极值点。
3. 极值点一元函数的极值点是指函数取得最大值或最小值的点。
极大值点对应函数的最大值，极小值点对应函数的最小值。
极值点可以通过求导和解方程的方法找到，即令导数等于零并解方程。
三、最值问题的应用最值问题在实际生活中具有广泛的应用，尤其在优化和最优化领域中。
下面介绍一些常见的最值问题应用。
1. 最大收益问题在经济学和管理学中，最大收益问题是指在给定约束条件下最大化某种资源的利润或收益。
通过建立数学模型，可以将问题转化为一元函数的最大值问题，并运用最值求解方法找到最优解。
2. 最短路径问题在运输和网络领域中，寻找最短路径是一种常见的最值问题。
通过将道路或网络抽象为图论模型，可以利用一元函数的最值求解方法找到起点到终点的最短路径。
3. 优化设计问题在工程和设计领域中，优化设计问题是指寻找最优解以满足给定约束条件的问题。
例如，在建筑设计中，可以通过优化一元函数的最值来确定最佳材料用量、结构形式等。
四、总结一元函数的最值与最值问题是数学中的重要概念和应用。
本文介绍了一元函数的最值求解方法，包括导数、求导法则和极值点的求解。
同时，我们也探讨了最值问题在实际生活中的应用，如最大收益问题、最短路径问题和优化设计问题等。
最值和极值的区别和联系
最值和极值的区别和联系极值与最值的关系是局部与整体的关系。
极值是局部的最概念，而最值是整体的最概念。
也就是说极值是局部的最大或最小值，而最值是整体的最大或最小值。
一元函数中，我们求极值是通过求导数，使导数等于零的点就可能为极值。
这里的逻辑是什么呢？在经济学上有一个概念叫做边际，导数也就是每一个点的边际值。
通过学习定积分，我们知道了，如果要求一个函数的原函数值，那么我们可以求出在这个区间上每一个点所对应的导数值，把所有值相加，也就是原函数值了，图像上也就是导函数所对应区间的面积。
这样我们就可以发现，当边际值为正的时候，那么原函数的值始终是增长的。
当边际值一旦为负，那么原函数的值就开始下降。
因为一元函数是平面上的线，所以在这一条线上的极值是边际值为零所对应的函数取值。
由此我们扩充到二元函数领域。
二元函数相当于一个立体的单元。
我们可以将二元函数理解为等高地形图。
则极值点，也就是每一个峰值和低谷。
而最大值就是峰值最高的那一个点，最小值就是低谷最低的那一个点。
这些峰值和低谷有什么特征呢？垂直于地平面的任意截面，在这些截面平面上，（x0，y0）都是极值此我们可以得出，极值点的必要条件是。
对x的导函数我和y的导函数都存在。
且当这些导函数取（x0，y0）时，它们的值都是零。
那么，它的充要条件是什么呢？这个就要应用到二元函数的泰勒公式。
一元函数的泰勒公式表示的意思是，模拟出一条曲线，是这条曲线无限接近于原来的区县。
而二元函数模拟出来的是一个曲面，这个曲面无限接近于原来的前面。
那怎么求二元函数的极值呢？关于这个内容，我不做赘述，大家可以去查询资料，主要是关于二元函数的泰勒公式推导出来的。
先求出一阶偏导数等于零的方程组，得出（x0,y0）,再通过求二阶偏导数，FXX(x0,y0)=A,FXY(x0,y0)=B,FYY（x0,y0）=C,l 若AC-B2＞0，A＜0。
则有极大值l 若AC-B2＞0，A＞0。
则有极小值l 若AC-B2＜0，则没有极值l 若AC-B2＝0，则可能有极值，也可能没有极值。
一元函数的极值定义
一元函数的极值定义在数学中，一元函数的极值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
通过求导数，我们可以找到函数的极值点。
极值点可以是函数的局部最大值或局部最小值，也可以是函数的全局最大值或全局最小值。
下面我们将详细介绍一元函数的极值定义及其应用。
一元函数的极值定义对于一个一元函数f(x)，如果在某个点x=a处，f'(a)=0且f''(a)≠0，那么我们称点x=a为函数f(x)的极值点。
如果f''(a)>0，则称点x=a 为函数f(x)的局部最小值点；如果f''(a)<0，则称点x=a为函数f(x)的局部最大值点。
如果f(x)在定义域内的任意点处都比点x=a处的函数值大（或小），则称点x=a为函数f(x)的全局最小值点（或全局最大值点）。
应用一元函数的极值在数学和实际问题中具有重要意义。
在数学中，通过求函数的极值点，我们可以找到函数的最值，进而推导出函数的性质和特点。
在实际问题中，极值点可以用来解决最优化问题，比如在经济学中，找到成本函数或收益函数的最大值点可以帮助企业做出最佳决策；在物理学中，找到能量函数或路径函数的最小值点可以帮助预测物体的运动轨迹。
除了通过求导数的方法找到极值点外，我们还可以通过二分法、牛顿法等数值方法来寻找函数的极值点。
这些方法在实际问题中也有着重要的应用价值。
总结一元函数的极值定义为函数在某个点处取得的最大值或最小值。
通过求导数，我们可以找到函数的极值点，并进一步推导出函数的性质和特点。
极值点在数学和实际问题中都具有重要意义，可以帮助我们解决最优化问题，预测物体的运动轨迹等。
希望通过本文的介绍，读者能对一元函数的极值有一个更加深入的理解。
一元函数的极值定义
一元函数的极值定义一元函数的极值是指函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。
在数学中，极值是函数的重要性质之一，它可以帮助我们了解函数的特性以及解决实际问题。
我们来讨论一元函数的极大值。
对于一元函数f(x)，如果存在一个点x0，使得在x0的某个邻域内，对于任意的x，有f(x0) ≥ f(x)，那么称f(x0)为函数f(x)在x0处的极大值。
换句话说，极大值是函数在某一点上取得的最大值。
要确定函数的极大值，我们可以通过求导数来找到函数的驻点，然后通过二阶导数的符号来判断驻点是极大值还是极小值。
具体来说，如果二阶导数大于零，则该驻点是极小值；如果二阶导数小于零，则该驻点是极大值。
接下来，我们来讨论一元函数的极小值。
对于一元函数f(x)，如果存在一个点x0，使得在x0的某个邻域内，对于任意的x，有f(x0) ≤ f(x)，那么称f(x0)为函数f(x)在x0处的极小值。
换句话说，极小值是函数在某一点上取得的最小值。
和求极大值类似，我们也可以通过求导数和二阶导数的符号来确定函数的极小值。
在实际问题中，极值的应用非常广泛。
例如，在经济学中，我们可以利用一元函数的极值来研究企业的利润最大化问题。
假设一个企业的利润函数为P(x)，其中x表示生产的数量。
为了确定企业的最佳生产数量，我们可以通过求解P(x)的极大值来找到最大利润对应的生产数量。
同样地，在物理学中，我们可以利用一元函数的极值来研究物体在某一时刻的最大速度或最大加速度。
一元函数的极值也可以用于优化问题的求解。
例如，我们想要在一定的约束条件下，求解一个函数的最大值或最小值。
这类问题被称为约束优化问题，而求解这类问题的方法之一就是利用一元函数的极值。
我们可以将约束条件转化为等式或不等式，然后通过求解等式或不等式的极值来找到函数的最大值或最小值。
一元函数的极值是函数的重要性质之一，在数学和应用领域中都有广泛的应用。
通过求解极值，我们可以了解函数的特性，解决实际问题，并在优化问题中找到最优解。
极值问题详解【一元分析学经典讲义】
二、求下列函数的极值： 求下列函数的极值： 1 、 y = e x cos x ； 2、 y = x ； x2 y 3 、方程e + y = 0 所确定的函数 y = f ( x ) ； x12 4 、 y = e , x ≠ 0 . 0, x = 0 证明题： 三 、证明题： 1 、如果 y = ax 3 + bx 2 + cx + d 满 足条 b 2 − 3ac < 0 ， 则函数无极值. 则函数无极值. 2、 2 、设 f ( x ) 是有连续的二阶导数的偶函数 f ′′( x ) ≠ 0 ， 的极值点. 则 x = 0 为 f ( x ) 的极值点.
1 x
练习题答案
2、 2、 f ′( x 0 ) = 0 ； 3 1 1 e 3、(1,2),无 4、 3、(1,2),无； 4、 , ( ) ,0,1; e e π 2 4 + 2 kπ π e 二、1、极大值 y( + 2kπ ) = ,极小值 4 2 π 2 4 + ( 2 k +1) π π y( + ( 2k + 1)π ) = − e ( k = 0,±1,±2,L) ； 4 2 局部； 一、1、局部； 2、极大值 y(e ) = e ； 3、极小值 y(0) = −1； 4、极小值 y(0) = 0 .
但函数的驻点却不一定 是极值点.
y = x 3 , y ′ x = 0 = 0, 例如, 例如
但x = 0不是极值点. 不是极值点
定理2(第一充分条件) 定理2(第一充分条件) 2(第一充分条件
(1)如果x ∈( x0 − δ , x0 ),有f ′( x) > 0; 而x ∈( x0 , x0 + δ ) , (1)如果 处取得极大值. 有 f ′( x) < 0，则 f (x)在 x0 处取得极大值. (2)如果 (2)如果x ∈( x0 − δ , x0 ),有f ′( x) < 0; 而x ∈( x0 , x0 + δ ) 处取得极小值. 有 f ′( x) > 0，则 f (x)在x0 处取得极小值. (3)如果当 (3)如果当x ∈( x0 − δ , x0 )及x ∈( x0 , x0 + δ ) 时, f ′(x) 符号相同, 处无极值. 符号相同,则 f (x)在x0 处无极值.
函数的极值与最值的求解方法
函数的极值与最值的求解方法在数学中，函数的极值与最值是我们经常遇到的问题。
极值是指函数在某一区间内达到的最大值或最小值，而最值则是函数在整个定义域内的最大值或最小值。
正确地求解函数的极值与最值对于解决实际问题和优化算法具有重要意义。
本文将介绍一些常见的函数极值与最值的求解方法。
一、导数法求函数极值导数法是求解函数极值的常用方法之一。
对于一元函数，我们可以通过求取其导数来确定函数的极值点。
具体步骤如下：1. 求取函数的导数。
根据函数的表达式，求取其一阶导数。
对于高阶导数存在的情况，可以继续求取导数直到找到导数不存在的点。
2. 解方程求取导数为零的点。
导数为零的点对应着函数的极值点。
将导数等于零的方程进行求解，找到函数的极值点。
3. 判断极值类型。
在找到导数为零的点后，可以通过二阶导数或借助函数图像来判断该点处的极值类型。
若二阶导数大于零，则为极小值；若二阶导数小于零，则为极大值。
二、边界法求函数最值边界法是求解函数最值的一种有效方法。
当函数在闭区间上连续且有界时，最值一定是在该闭区间的端点处取得的。
具体步骤如下：1. 确定函数定义域的闭区间。
根据函数表达式或实际问题，找到函数定义域所对应的闭区间。
2. 计算函数在端点处的取值。
将函数在闭区间的端点处依次带入函数表达式，计算函数的取值。
3. 比较函数取值找到最值。
对于最大值，选取函数取值最大的端点；对于最小值，选取函数取值最小的端点。
三、拉格朗日乘数法求函数约束条件下的极值当函数需要满足一定的约束条件时，可以使用拉格朗日乘数法来求解函数的极值。
该方法适用于带有约束条件的最优化问题，具体步骤如下：1. 设置拉格朗日函数。
将原函数与约束条件构建为一个拉格朗日函数，其中拉格朗日乘子为未知数。
2. 求取拉格朗日函数的偏导数。
对拉格朗日函数进行偏导数运算，得到一组方程。
3. 解方程求取极值点。
将得到的偏导数方程组求解，找到满足约束条件的极值点。
4. 判断极值类型。
第八节极值与最值
• 使函数的各偏导数同时为0的点，称为驻点.
• 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，但驻点不
一定是极值点。例如,
有驻点( 0, 0 )
• 极值点也可能是偏导数不存在的点。
• 极值点只可能在驻点或使偏导数不存在的点中产生.
例： f ( x, y ) y 2 x 2 1 解： f x 2 x 0 , f y 2 y 0 ,
例3 求由方程 x2 y2 z2 2 x 2 y 4z 10 0
确定的函数z f ( x, y)的极值
解 将方程两边分别对 x, y 求偏导
2x 2z zx 2 4zx 0 2 y 2z zy 2 4zy 0
zx' 0, z'y 0, 代入上式，解得驻点为 P(1,1),
的极值.
解方程组
得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .
第二步 求二阶偏导数及判别.
B
C
f xx (x, y) 6x 6, f xy (x, y) 0, f yy (x, y) 6 y 6
A
在点(1,0) 处
AC B2 12 6 0, A 0,
zx
(x2 y2 1)2
0,
zy
(x2
y2 1) 2y(x (x2 y2 1)2
y)
0,
得驻点 (
1, 2
1 2
)
和
(
1 , 2
1 2
)
,
x y
因为
lim
x
x2
y2
1
0
y
即边界上的值为零. z( 1 , 1 ) 1 , z( 1 , 1 ) 1 ,
22 2
一元函数的最值与零点
一元函数的最值与零点一元函数是指只含有一个自变量的函数，其最值和零点是我们在数学中经常研究的重要概念。
在本文中，我们将探讨一元函数的最值以及零点的求解方法。
一、一元函数的最值一元函数的最值指的是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
求解一元函数的最值可以通过以下步骤进行：1. 确定函数的定义域：首先，我们需要确定函数的定义域，即自变量的取值范围。
在定义域内，函数才有意义并且可以求解最值。
2. 导数法求解：通过求解函数的导数，我们可以得到函数的临界点。
临界点是函数取得最值的可能位置。
我们需要求解出这些临界点，并将其与定义域的端点进行比较，找出最大值和最小值。
3. 二阶导数判别法：在确定了临界点后，我们可以通过求解函数的二阶导数来判定每个临界点对应的极值类型。
通过判断二阶导数的正负，可以确定临界点是极大值还是极小值。
4. 求解最值：最后，我们将求解得到的最值与函数的定义域的端点进行比较，确定最大值和最小值的位置。
二、一元函数的零点一元函数的零点指的是函数取值为零的自变量的取值。
求解一元函数的零点可以通过以下步骤进行：1. 方程法求解：将函数等于零转化为方程，通过求解方程，可以得到函数的零点。
我们可以使用一些常用的代数方法，如配方法、因式分解、二次方程公式等来求解方程。
2. 图像法求解：通过绘制函数的图像，在函数与x轴相交的点即为函数的零点。
可以使用计算机软件或者手绘的方式来绘制函数的图像，然后通过观察图像找出函数的零点。
3. 数值法求解：数值法是一种通过迭代计算来求解函数零点的方法，常用的有二分法、牛顿法、割线法等。
数值法适用于那些难以用方程法求解的函数零点的情况。
通过以上方法，我们可以求解一元函数的最值和零点。
这些概念和方法在数学和应用数学中具有广泛的应用，可以帮助我们了解函数的性质、优化问题以及解方程等。
综上所述，一元函数的最值和零点是数学中重要的概念。
通过合适的方法和步骤，我们可以求解一元函数的最值和零点，进而深入理解函数的性质与变化规律。
高考数学一轮总复习教学课件第三章 一元函数的导数及其应用第3节 导数与函数的极值、最值
(4)列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号.
(5)求出极值.
角度三
由函数极值(极值个数)求参数值(范围)
[例3] (1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a+b
等于(
A.-7
√
C.-7或0
零,所以1.5是f(x)的极小值点,所以C正确;而x=-2和x=3,左右两侧
附近的导数值同号,所以-2和3不是函数的极值点,所以B,D错误.故
选AC.
3.(选择性必修第二册P94练习T1改编)已知函数f(x)=2sin x+
sin 2x,则f(x)的最小值是
.
解析:f′(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1)=
当a>0时,令f′(x)=0,所以ex=a,x=ln a,
x
f′(x)
f(x)
(-∞,ln a)
↘
ln a
0
极小值
(ln a,+∞)
+
↗
f(x)在x=ln a处取得极小值f(ln a)=a-aln a-1,无极大值.
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求导数f′(x).
(3)解:①由已知,可得f′(x)=x2+ax-2.
因为函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y-1=0平行,
所以f′(1)=a-1=-2,解得a=-1.经验证,a=-1符合题意.
②求函数f(x)的极值.
§4.5 一元函数的极值
f ′( x0 ) = 0 .
第四章简单优化问题
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2010年6月26日星期六 年 月 日星期六
微积分
2
由此看出,要找极值点, 由此看出,要找极值点,只要找出导数等于零和导数不 存在的点,极值点一定在其中. 存在的点,极值点一定在其中.但究竟哪个是极值点哪个不 是极值点还需进一步判断.下面给出几种常用的条件. 是极值点还需进一步判断.下面给出几种常用的条件. 定理(极值点第一判别法 定理 极值点第一判别法) 极值点第一判别法
2
1
0
x
作函数图像 有时并不需 要精确求每 一点的函数 值,而是力 求获得尽量 多的性质. 这样不仅能 够得到明晰 的图像,而 且还获得通 过图像很难 准确确定的 有用信息. 有用信息.
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第四章简单优化问题
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�
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)求定义域,确定奇偶性 ,周期性; 求定义域, 周期性; (2 )求使一,二阶导数等于 零和不存在的点; 求使一, 零和不存在的点; (3)利用这些点划分区间, 讨论单调性,凹凸性, 利用这些点划分区间, 讨论单调性,凹凸性,
值点; 值点;
极
(4 )考察渐近线; 考察渐近线; (5)找出特殊点 (与坐标轴的交点,不连 与坐标轴的交点,
则称f(x 为 的极大(小 值 值点. 则称 0)为f(x)的极大 小)值,x0为f(x)的极大 小)值点.极大 的极大(小 值点 注 极值是局部性质,是在x0的某邻域内函数值最大 小) 极值是局部性质,是在 的某邻域内函数值最大(小 的,这个邻域只要存在就可以. 这个邻域只要存在就可以.
的某邻域可导, 的极值点, 定理 f ( x )在x 0的某邻域可导, x 0为f ( x )的极值点,则
一元函数的极值
一元函数的极值
一元函数的极值
一元函数的极值是指在函数的所有可能取值中，函数值获得最大或最小值的取值。
它是函数图像中拐点的值。
即在它点，函数值取最大或最小值，而函数的斜率勾股改变符号由正变为负或负变为正，其导数也变成 0。
一元函数有两类极值：最大值和最小值，分别乐称局部极大值和局部极小值，两者的求取方法实际上也是一样的，都可以用微分的求导方法求得。
一元函数求极值的过程有如下几个步骤：
1.t确定函数的微分式：直接利用定义求出，把函数按某一公式表示式；
2.t求解微分式的根：两边同乘以微分式的导数，使得微分式的导数两边同号，然后化简两边，使其变为一元二次方程，求出方程的根；
3.t替换函数中的变量：将求出的解替换到原函数中，求出函数值，然后比较函数值的大小，即可求出极大值或极小值；
4.t判断函数的极值：把函数求出的最大值或最小值替换到函数中，求出函数的导数，根据函数的导数正负判断函数是极大值还是极小值。
确定函数的极值要熟悉求导法，认真分析函数微分求出的根和极值，利用定义求出函数的极值，同时也要牢记解导数结果的几条公式，
对于极值的判定也要仔细观察函数导数的正负。
多元函数的极值与最值
z
该函数在原点处连续，但有
f xy (0,0) 1
f yx (0,0) 1
问题：曲面在点(0,0)附近 的形状是怎样的呢 ？
在Dxy: x y 1 上考虑
2 2
.
o
曲面过x轴 ，过y轴 曲面关于x轴对称，
.
x
y
曲面关于y轴对称 y x y x 曲面关于直线 对称,关于直线 对称 z0 z0
函数在D内只有唯一的驻点 3 2 , 3 2 ), ( 因此可断定当x 3 2 , y 3 2时，A取得最小值。
3 3
2 当水箱的长为 2m、宽为 2m、高为3 3 2m时，水箱 2 3 2 所用的材料最省。 (即体积一定的长方体中 立方体的表面积最小 )
例5
有一宽为24cm的长方形铁板，把它两 多元函数最值举例 边折起来做成一断面为 等腰梯形的水槽。问怎 样的折法才能使断面的 面积最大？
一、多元函数极值
2. 引例 引例1
z (0, y ) x0
z
z ( x,0) y0
o
δ
y
z
1 4 1 2
2
e
x2 y2 2
x
( 1、 2 0, 常数) (( x, y ) )
2
z (0,0) 1 /(2 1 2 ) z 故z (0,0)
设f ( x, y) x y 3x 3 y 9 x的极值。
3 3 2 2
3 x 2 6 x 9 0且f y 3 y 2 6 y 0 解：f x P ( 3,0), P2 (3,2), P3 (1,0), P4 (1,2)为驻点 1 A f xx 6 x 6, B f xy 0, C f yy 6 y 6
一元函数的最值与最值的求解
一元函数的最值与最值的求解在数学中，一元函数是指只有一个自变量的函数。
求解一元函数的最值，即找到函数在给定定义域上的最大值和最小值，是数学中的一项重要任务。
本文将介绍一元函数最值的求解方法，并列举一些常见的数学问题来加深理解。
一、最值的定义在给定的定义域上，对于函数f(x)，若存在x0使得对于任意的x∈D，都有f(x0)≥f(x)（或f(x0)≤f(x)），则f(x0)称为函数f(x)在定义域D上的最大值（或最小值）。
最大值和最小值统称为最值。
二、最值的求解方法1. 导数法导数是函数的一阶微商，可以帮助我们判断函数在某一点的斜率和变化趋势。
根据函数在区间内的导数变化情况，可以找出函数的最值点。
步骤：a. 求出函数的导数f'(x)。
b. 解方程f'(x)=0，得到函数的驻点。
c. 将驻点带入原函数f(x)中，得到函数的最值。
2. 极值法极值是函数在自变量的某个值处的最大值或最小值。
使用极值法求解一元函数最值时，需要先找到函数的极值点，然后将这些点代入函数中进行比较。
步骤：a. 求出函数的导数f'(x)。
b. 解方程f'(x)=0，得到函数的驻点。
c. 求出驻点处的函数值f(x)，得到极值点。
d. 将极值点与区间端点处的函数值进行比较，得到最值。
3. 函数图像法函数图像是函数在坐标系中的可视化表达，通过观察函数图像的变化趋势，可以直观地找到函数的最值。
步骤：a. 将函数图像绘制在坐标系中。
b. 观察函数图像的变化趋势，找到函数的最大值和最小值点。
三、实例分析下面列举几个数学问题，用不同的方法求解一元函数的最值。
1. 问题一：f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最值。
解答：a. 导数法：f'(x) = 2x - 4，令f'(x) = 0，得到x = 2。
将x = 2代入f(x)中，得到f(2) = -1，故f(x)的最小值为-1。
b. 极值法：同导数法，得到驻点x = 2。
一元函数的极值与最值
一元函数的极值与最值在数学中，一元函数是指只有一个自变量的函数。
而函数的极值和最值是一元函数中的重要概念。
在学习一元函数的时候，我们必须深入研究一个函数的极值和最值，以便更有效地理解和应用它们。
1. 极值和最值的定义对于一元函数$f(x)$，我们先来了解下极值和最值的具体定义：若函数$f(x)$在$x_0$处的左邻域和右邻域内的函数值大小关系如下：当$x<x_0$时，$f(x)>f(x_0)$；当$x>x_0$时，$f(x)<f(x_0)$。
那么，$f(x_0)$就是函数$f(x)$的一个极大值，而$x_0$就是$f(x)$的极大值点；若函数$f(x)$在$x_0$处的左邻域和右邻域内的函数值大小关系如下：当$x<x_0$时，$f(x)<f(x_0)$；当$x>x_0$时，$f(x)>f(x_0)$。
那么，$f(x_0)$就是函数$f(x)$的一个极小值，而$x_0$就是$f(x)$的极小值点。
而对于函数$f(x)$的最大值和最小值，是指在定义域内，其函数值最大和最小的两个点及其对应的函数值。
2. 求极值和最值的方法要想在一元函数中求出极值和最值，我们需要利用导数这个工具进行求解。
首先，我们需要求出函数的一阶导数$f'(x)$，然后找到其极值和稳定点：即当导数$f'(x)=0$或不存在时，其中$f'(x)$为0的位置就是函数的“潜在”极值点(即可能是函数的极值点，也可能不是)。
接下来，通过求出二阶导数$f''(x)$，来确定极值点的性质：(1)若$f''(x_0)>0$，则极小值点；(2)若$f''(x_0)<0$，则极大值点。
另外，如果二阶导数不存在，说明该点没有极大值也没有极小值。
需要注意的是，有些极值点可能不是函数的实际极值点，因此我们还需要通过“一阶导数测试”来确定到底是哪个点是函数的极值点：(1)在极大值点左边，函数单调递减。
一元函数最值的求法
一元函数最值的求法一元函数最值的求法是在高中数学中的重要内容，其涉及到单调性、导数、二次函数等多个知识点。
本文将详细介绍一元函数最值的求法。
一、单调性及奇偶性在求解一元函数最值之前，需要先了解单调性和奇偶性的概念。
单调性是指函数在定义域上的增减关系，可以分为递增和递减两种情况。
奇偶性是指函数的定义式中是否存在$x$的奇偶性，可以分为奇函数和偶函数两种情况。
1. 奇函数的定义区间必定包括原点；2. 函数在原点处对称；3. 如果$x$属于定义区间，则$-x$也属于定义区间；4. 对于任何$x$值，有$f(-x)=-f(x)$。
知道了单调性和奇偶性的概念，就可以通过函数的性质来判断其最值了。
二、利用导数求最值利用导数求解一元函数的最值是比较常用的方法。
在求解函数的最值时，需要先求出函数的导数，然后通过对导数进行分析得到函数的最值。
1. 求导数首先需要求出函数的导数。
对于一元函数$f(x)$，其导数为：$$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$如果函数$f(x)$在$x$处可导，则$f'(x)$表示函数在$x$处的切线斜率。
如果$f'(x)>0$，则函数在$x$处递增；如果$f'(x)<0$，则函数在$x$处递减；如果$f'(x)=0$，则函数在$x$处取得极值。
2. 求极值通过求导得到函数的导数后，需要对导数进行分析，从而确定函数的极值。
对于一元函数$f(x)$：1. 当$f'(x)>0$时，函数在$x$处递增；需要注意的是，$f'(x)=0$只能说明函数可能取得极值，而不能确定其是最大值还是最小值。
此时需要使用导数符号法或判别式法来求解。
导数符号法：对于一元函数$f(x)$，若在$x_0$处$f'(x_0)=0$，则有：判别式法：对于一元二次函数$y=ax^2+bx+c$，其判别式为$\Delta=b^2-4ac$。
一元函数极值与最值的求法
Ｙ － ． Ｎ ｆ “ 。 ） ０ ， 故 存 在 正 数 ， ‘ 当 ｕ 。 ） 时 ， 厂 ＿ 与
厂 ） － ｆ（ Ｘ 。 ） ＜ ｏ ， 即 厂在 。 取得极 大值． 同 样对 ， （ Ｘ ｏ ） ＞ ０ ， 可 得，在 。 取得极小 值．
＋
值点的集合是｛ Ｉ ＝ Ａ ＋ ｋ ｚ ｝ ． 当ｋ为偶数时函数厂 ） 取得最大值：８ ＋
√ ２ ， 当 ｋ为奇数时 ） 取得最小值 ：８ 一 √ ２ ．
２利 用 换 元 法 求 函 最 值
例６已 知 函 数 厂 ） ＝ ａ ｓ ｍ ｘ ＋ ÷ ｓ ｉ ｎ ３ ｘ 在 ＝ 处 取 得 极 值 ， 求 口 的 值
０ （ １ ） 同 号 ． 所以 ， 当 ， “ 。 ） ＜ ０ 时 ， 上 式 取 负 值 ， 从 而 对 任意 ∈ ｕ（ Ｘ ０ ； ’ ） 有
厂 ’ ） Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ — ｓ ｉ ｎ ｘ ， 令厂 。 ） ０ ，得 ｙ ｔ ＋ ｋ （ ｋ∈ ｚ ） ． 则函数 厂 ） 极
值与最值。 １利 用 单 调 性 求 函 数 极 值 与 最 值
．
．
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一
手 １ － ＜ ４ ＂ ２ ｓ ｉ ｎ Ｏ ｆ ＋ 三 卜 ２ ＜ 一
ａ
２
求函数极值与最值 的最直接 最明了的方法就是利用函数 的单调性， 或
者 再 以图 表 作 为 工 具 。 数 形 结合 ， 然 后 得 到 所 求 的极 值 与 最 值 结 果 ．
法， 每种 方 法给 出 了相 应 的例 题 。 关键词： 函数 极 值 ； 函数最值 ； 一 元 函数 ： 换 元 法
求 函数 极值与最值的方法有很 多， 我们重 点讨论一元函数极值 与最值
如何理解一元函数极值和最值的区别与联系
如何理解一元函数极值和最值的区别与联系摘要极值和最值在生活、生产实践和科学实验中有着广泛的应用，它们是两个不同的函数概念，没有必然的联系，在一定条件下又联系紧密，常被学生混淆。
彻底理解清楚一元函数极值和最值的区别与联系，对学习多元函数的极值和最值并能灵活应用无疑是很必要的。
关键词理解函数极值最值区别联系函数的极值（极大值和极小值的统称）和最值（最大值和最小值的统称）作为函数性质的一个重要分支和基本工具，在生活、生产实践和其它科技领域，诸如数学建模、优化问题、概率统计学科等都有广泛的应用。
函数的极值和最值是两个不同的数学概念，它们之间没有必然的联系，但在计算过程中，在一定条件下又联系紧密，不少学生对二者的区别与联系一直模糊不清。
笔者对一元函数的极值和最值从函数图像、存在条件和求法等方面并通过典型实例，谈谈如何理解二者的区别与联系。
1、充分利用图像直观性，从整体上认识极值和最值的区别与联系一元函数极值定义：若函数f（x）在x0的一个邻域内有定义，且除x0外，恒有f（x）＜f（x0）（或f（x）＞f（x0）），则称f（x0）为极大值（或极小值），x0称为极大值点（或极小值点）。
[1]一元函数最值定义：设f（x0）是函数f（x）在x0的函数值，若不等式f（x）≤f（x0）（或f（x）≥f（x0））对定义域内的任意x都成立，则称f（x0）为最大值（或最小值）。
函数极值和最值的定义都比较抽象，特别是对极值定义中的邻域一词不少学生难以理解，它实际上是一个以x0为中心，可以充分小的一个给定正数δ为半径的一个小开区间（x0-δ，x0+δ），函数的最值一般是对整个定义域或给定的一个定义区间而言的。
从定义可以看出，极值和最值是两个不同的数学概念：极值是“局部性”概念，是函数在定义域内一个或若干个子区间的性质，属于个别“微观”问题；而最值是“全局性”概念，是函数在整个定义域或定义区间上的性质，属于整体性的“宏观”问题。
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三、函数的最值
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三、函数的最值
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三、函数的最值
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三、函数的最值
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四、极值的应用
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四、极值的应用
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四、极值的应用
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四、极值的应用
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四、极值的应用
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四、极值的应用
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四、极值的应用
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小结 作业
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5 一元函数的极值与最值
目标 •明确极值点可能是哪些点；掌握极值存在的必要、充 分条件；会求函数的极值。 •弄清极值和最值的区别与联系，掌握最值的两种特殊 情况，会求函数的最值。
重点 •讨论函数的单调性 •求函数的极值和最值
难点 极值的应用
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5 一元函数的极值与最值
一、函数的单调性 二、函数的极值 三、函数的最值 四、极值的应用
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一、函数的单调性
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一、函数的单调性
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一、函数的单调性
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一、函数的单调性
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一、函数的单调性
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二、函数的极值
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二、函数的极值
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二、函数的极值
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二、函数的极值
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