天津南开中学2021高三数学上第三次月考(解析版)

2021届天津市南开中学高三上学期第三次月考数学试题一、单选题1．设集合{|||2}A x x =<，集合{|31}B x x =-≤≤，则AB =（ ） A ．{1,0,1}-B ．(2,1]-C ．[3,1]-D ．[3,2]- 【答案】B【分析】根据已知条件，直接求集合的交集即可.【详解】因为{|||2}{|22}A x x x x =<=-<<，{|31}B x x =-≤≤，(2,1]A B -∴=， 故选：B ．2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是（ ）A ．y ＝12xB ．y ＝2x -C ．y ＝12log xD ．y ＝1x【答案】A【分析】画出每个函数的图象，即得解.【详解】y ＝12x ＝x ，y ＝2x -＝1()2x，y ＝12log x ，y ＝1x，它们的图象如图所示:由图象知，只有y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增．故选：A.【点睛】本题主要考查函数的图象和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．函数sin 31cos x y x=+，(,)x ππ∈-图象大致为（ ） A ． B ． C ．D ． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】()()()sin 3sin 3,1cos 1cos x x f x f x f x x x=-=-=-++，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A 选项.由πsin π20π631cos 16f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭++排除B 选项.由5πsin 5π205π631cos 16f ⎛⎫==> ⎪⎝⎭+-，排除C 选项，故本小题选D.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题.4．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项13a =，若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 的前5项之和为（ ）A ．23-B ．25-C ．43-D ．45- 【答案】D【分析】首先根据题意得到2326()a a a =，解得6d =-，再计算5S 即可.【详解】根据题意，2a ，3a ，6a 成等比数列，即2326()a a a =，则有2(32)(3)(35)d d d +=++，解可得6d =-或0d =（舍)，则{}n a 的前5项之和51545(6)452S a ⨯=+⨯-=-. 故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的前n 项和，同时考查了等比中项，属于简单题.5．设3log 52a =，5log 23b =，2log 35c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b << 【答案】B【分析】分别判断31log 52<<，21log 32<<和51log 22<，再代入计算，可得b a c <<. 【详解】因为31log 52<<，所以3log 512222a <=<；又因为21log 32<<，所以2log 312555c <=<；又551log 2log 2<=51log 2233b =<=b a c <<. 故选：B.【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确；当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小． 6．椭圆221162x y m m +=--的焦距为4，则m 的值为（ ） A ．1B ．7C ．1或17D ．7或11【答案】D【分析】对椭圆的焦点位置进行分类讨论，结合已知条件可得出关于m 的等式，进而可求得m 的值. 【详解】在椭圆221162x y m m +=--中，由已知可得24c =，解得2c =. 若椭圆的焦点在x 轴上，可得()()2160201624m m m m c ⎧->⎪->⎨⎪---==⎩，解得7m =；若椭圆的焦点在y 轴上，可得()()2160202164m m m m c ⎧->⎪->⎨⎪---==⎩，解得11m =.因此，7m =或11.故选：D.7．以下命题正确的是（ ）A ．命题“任意0x >，sin x x >”的否定为“存在0x ≤，sin x x ≤”B ．设等比数列的前n 项和为n S ，则“10n n S S +<”是“公比0q <”的充要条件C ．若对于任意实数λ，有λ≠a b ，则向量a ，b 不共线D ．“直线30kx y ++=与2(1)60x k y +++=平行”是直线(1)230k x y -++=与(1)60kx k y +-+=垂直”的充分非必要条件【答案】D【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断A 选项；举反例判断B 选项；若对于任意实数λ，非零向量,a b 满足λ≠a b ，则向量a ，b 不共线，C 错误；分别根据两直线的平行、垂直关系求出k 的值，然后判断两命题之间的关系.【详解】命题“任意0x >，sin x x >”的否定为“存在0x >，sin x x ≤”，A 错误；()211n n n n S S S q +=+，当10q =-<，n 为奇数时有10n n S S +=，B 错误； 若0a ≠，b 为零向量，对于任意实数λ，有λ≠a b ，但,a b 共线，C 错误；两直线平行则()12k k +=，解得2k =-或1，当1k =时两直线重合不满足条件，所以2k =-；由两直线垂直可得()()1210k k k -+-=，解得2k =-或1. 所以“直线30kx y ++=与2(1)60x k y +++=平行”是直线(1)230k x y -++=与(1)60kx k y +-+=垂直”的充分非必要条件，D 正确.故选：D 8．已知函数()cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π；②点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是曲线()y f x =的对称中心； ③把函数sin y x =的图像上所有点向左平移6π个单位长度，得到函数()y f x =的图像. 其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B 【分析】本题首先可通过周期计算公式得出①正确，然后求出曲线()y f x =的对称中心即可判断出②错误，最后通过三角函数的图像变换以及诱导公式判断出③正确.【详解】①：函数()cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期221T ππ==，①正确； ②：πππ32x k ，即5ππ6x k k Z ， 则曲线()y f x =的对称中心为5ππ,06k k Z ，点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭不是曲线()y f x =的对称中心，②错误； ③：函数sin y x =的图像上所有点向左平移6π个单位长度， 得到函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像， 因为sin sin cos 6233x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以③正确， 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的周期性、对称性、图像变换以及诱导公式的应用，函数sin y x =向左平移ϕ个单位，得到()sin y x ϕ=+，然后横坐标缩小ω倍，得到()()sin sin y x x ωϕωωϕ=+=+⎡⎤⎣⎦，再然后向上平移B 个单位，可以得到sin ωωφy x B ，考查推理能力，是中档题. 9．已知函数3()()f x x a a a R x =--+∈，若方程()2f x =有且只有三个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．(1B ．(1,1(1)--⋃++∞C ．(,1-∞-D ．(,1(1-∞⋃【答案】D【分析】先将()2f x =有且只有三个不同的实数根转化为两函数有三个交点的问题，结合函数图像，即可求出结果.【详解】由()2f x =得32x a a x --+=，即32x a a x-+=+，设()h x x a a =-+，()3g x 2x=+,()h x x a a =-+的顶点()a,a 在直线y x =上，而y x =与()h x 的交点坐标为()2,2,()1,1--,联立232y x a y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩,可得()2x 2230a x +-+=,由()222120a =-==，得a 1=， 结合函数()h x x a a =-+，()3g x 2x=+的图像可得，要使()2f x =有且只有三个不同的实数根，只需((),11a ∈-∞⋃+.故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，通常情况下，需要构造函数，结合函数的单调性和图像来处理，属于中档试题.二、填空题10．i 是虚数单位，纯虚数z 满足(1i)2i z m -=+，则实数m 的值为________.【答案】2【分析】利用复数的除法运算将复数z 整理为a bi +的形式，再根据z 为纯虚数则实部为零求解m . 【详解】()()()()()2i 122i 21i 1122m i m i m m z i i ++++-===+--+ z 为纯虚数，202m -∴=，，解得2m =. 故答案为：211．在622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是________. 【答案】60【分析】由二项式定理可得二项式展开式的通项公式，令630r -=，运算即可得解. 【详解】二项式622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为666136222r r r r r r r T C x C x x +--⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令630r -=，解得2r ，所以222x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项为2262=60C . 故答案为：6012．已知向量a 和b 的夹角为60︒，13(,22a =，()2a a b ⋅+=，则a b +的值为________.【分析】由已知求得1a =，又由()2+2a a b b a a ⋅⋅=+=，求得1a b ⋅=， 2b =，从而利用222+a b a a b b ⋅+=+，代入可求得答案． 【详解】因为13(,2a =，所以2112a ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎝，又()2+2a a b b a a ⋅⋅=+=，所以1a b ⋅=， 又向量a 和b 的夹角为60︒，所以1cos601b ⨯⨯=，得2b =，所以2221+2+a a b b a b +=+=⋅=13．已知0a >，0b >，且22a b +=，则2121a b +++的最小值为________. 【答案】43 【分析】利用换元法，设2x a =+，1y b =+，所以26x y +=，再根据基本不等式中“1”的代换，即可求出．【详解】设22x a =+>，11y b =+>，所以26x y +=．故212121a b x y+=+++ ()(12114142446663y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当33,2x y ==时取等号，即11,2a b ==时取等号． 故答案为：43． 【点睛】本题解题关键是通过换元法设2x a =+，1y b =+，转化为常见基本不等式模型，在26x y +=的条件下求21x y+的最小值，从而顺利求解． 14．已知a ∈R .设函数1,11,()ln , 1.a ax x f x x a x x +--≤≤⎧=⎨->⎩若关于x 的不等式(())0f f x ≥恒成立，则a 的取值范围为________.【答案】2a e -≤≤ 【分析】欲利用()f x 单调性求()f x 值域，确定将0a =，0a >，0a <分成三类讨论，又根据具体情况，在每一类情况下又细分，讨论出符合(())0f f x ≥恒成立的a 的取值范围.【详解】（1）当0a =时，1,11(),1x f x x x -≤≤⎧=⎨>⎩，()f x 的值域为[)1,+∞，则(())0f f x ≥恒成立， 故0a =成立（2）当0a >时，1,11()ln ,1a ax x f x x a x x +--≤≤⎧=⎨->⎩当11x -≤≤，()1f x ax a =-++单调递减，故此时[]()1,21f x a ∈+.当1x >时，()1a x a f x x x-'=-=，当x a >时，()f x 单调递增；当1x a <<时，()f x 单调递减 ①当01a <≤时，()f x 在1,上单调递增. 此时()f x 的值域为[)1,+∞，(())0f f x ≥恒成立②当1a >时，()f x 在x a =时，()f x 取得最小值 ()min ()()ln 1ln f x f a a a a a a ==-=-当1a e <≤时，()0f a ≥，则(())0f f x ≥恒成立当a e >时，()0f a <.此时若()1f x ax a a =-++=即1x a=时，(())0f f x <，此时不符合题意 故 0a e ≤≤，(())0f f x ≥恒成立，（3）当0a <时，11x -≤≤时，()f x 为单调递增的一次函数，[]()12,1f x a ∈+.1≥x 时()10a x a f x x x-'=-=> ()f x 在[)1,-+∞上为增函数，值域为[)12,a ++∞(())f f x 要有意义，则121a +≥-此时1a ≥-，()22min (())2112120f f x f a a a a a =+=+--=-≥.∴22a -≤≤,故02a -≤≤因此02a -≤≤，(())0f f x ≥恒成立综上所述，a e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为：a e ≤≤ 【点睛】（1）分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑，注意小分类要求交，大综合要求并.（2）求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．（3）分段函数的最值的求法：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值.三、双空题15．已知点(2,2)P -和圆C ：22(1)(2)16x y ++-=，则P 在圆C ________(填内､外或上)，以P 为圆心且和圆C 内切的圆的方程为________________.【答案】外 22(2)(2)81x y -++=【分析】根据点P 距圆心的距离可判断点与圆的位置关系，两圆内切则大圆半径为圆心距加小圆半径.【详解】PC =，∴P 在圆C 外，设以P 为圆心且和圆C 内切的圆的方程为222(2)(2),0x y r r -++=>，4PC r +=即49r ==，∴以P 为圆心且和圆C 内切的圆的方程为22(2)(2)81x y -++=.故答案为：外；22(2)(2)81x y -++=四、解答题16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a =5b =，c =（1）求角C 的大小；（2）求sin A 的值；（3）求sin(2)6A π+的值.【答案】（1）30︒；（2）7；（3）1314. 【分析】（1）利用余弦定理求解即可.（2）利用正弦定理求解即可.（3）首先计算cosA =，从而得到sin2A =，1cos27A =，再计算sin(2)6A π+的值即可.【详解】（1）由余弦定理，得222cos2a b c C ab +-=== 又因为0180C <<，所以30C =︒.（2）由（1），有1sin 2C =，由正弦定理，得1sinsin7c A a c =⋅==.（3）解：由a b <，知A 为锐角，故cosA ===，进而sin22sin cos 27A A A ===241cos22cos 12177A A =-=⋅-=，所以1113sin 2sin 2cos cos2sin 666727214A A A πππ⎛⎫+=+=⋅+⋅= ⎪⎝⎭. 17．如图，在四棱锥S ABCD -中，侧棱SA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，2SA AD CD ===，1AB =.（1）设点M 为棱SD 的中点，求证：//AM 平面SBC ；（2）求异面直线SD 和BC 所成角的余弦值；（3）棱SB 上是否存在点N ，使得平面ANC ⊥平面SBC ？若存在，求出AN 的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）存在，AN 的长为2107. 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，利用向量证明//BP AM 从而证明线面平行；（2）求出向量SD 、BC 的坐标，代入cos ,SD BCSD BC SD BC ⋅=⋅即可求解；（3）设SN SB λ=，用λ表示出点N 的坐标，求出平面SBC 、平面ANC 的法向量，由题意知m n ⊥则0m n ⋅=，即可带入坐标求得λ从而求得AN .【详解】（1）证明：以点A 为坐标原点，向量AB ，AD ，AS 的方向分别为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系.易知，(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)S ，(0,1,1)M .设点P 为SC 中点，则有(1,1,1)P ，(0,1,1)BP AM ==，//BP AM ∴，又因为BP ⊄平面SBC ，AM ⊄平面SBC ，所以//AM 平面SBC .（2）由(0,2,2)SD =-，(1,2,0)BC =，得cos ,0SD BCSD BC SD BC ⋅===⋅所以，异面直线SD 和BC （3）由（1）中知，(1,0,2)SB =-.设平面SBC 的法向量为(,,)n x y z =，有n SB n BC⎧⊥⎨⊥⎩，进而2020x z x y -=⎧⎨+=⎩，不妨设1z =，得(2,1,1)n =-， 易知()()0,0,2,0,2,0AS AD ==分别为平面ABCD 、平面ABS 的法向量，2AS n ⋅=，∴平面ABCD 与平面SBC 不垂直，2AD n ⋅=-，∴平面ABS 与平面SBC 不垂直，所以点N 不在棱SB 的端点处， 依题意，设SN SB λ=，(01λ<<)，可得(,0,22)N λλ-.设平面ANC 的法向量为(,,)m x y z =，有m AN m AC ⎧⊥⎨⊥⎩，进而(22)0220x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩， 不妨设1x=，得(1,1,)22m λλ=--. 由题意知，m n ⊥，则12(1)(1)1022m n λλ⋅=⨯+-⨯-+⨯=-，解得67λ=.此时，2||AN AN ⎛=== 18．设数列{}n a 是公比为正整数的等比数列，满足1310a a +=，2238a a -=.设数列{}n b 满足11b =，113n n n b b b +-=+. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求证：数列11n b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求{}n b 的通项公式； （3）记1n n n a b c n =-，2n ≥.求证：1224n n k k c n +==-∑. 【答案】（1）2n n a =；（2）证明见解析，21n b n=-；（3）证明见解析. 【分析】（1）由1310a a +=，2238a a -=解得首项和公比可得答案；（2）由132********n n n n b b b b ++--==+++，可得1112n b =+进而求得答案； （3）12222(1)1n n n n n c n n n n+-=⋅=---，用裂项相消可得证明. 【详解】（1）设数列{}n a 的公比为q ，有2112221110,8,a a q a q a q ⎧+=⎨-=⎩解得12,2,a q =⎧⎨=⎩所以2n n a =. （2）证明： 1332111111111122122213n n n n n nn n n n b b b b b b b b b b +++--=-=-==-++++++++， 又因为11112b =+，所以数列11n b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列， 其通项公式为1112n b =+，进而，21n b n=-. （3）由（1）、（2）知2n n a =，21n b n=-，所以 12222(1)1n n n n n c n n n n+-=⋅=---， 所以23341122222222412231n n n n k k c n n n++==-+-++-=--∑. 【点睛】方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列的通项公式、由递推数列求证等差数列、利用裂项相消求和，考查了推理与运算能力.19．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的离心率2e =，且点P 在椭圆上. （1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆位于x 轴上方的部分，直线AB 与y 轴交于点D ，点E 是y 轴上一点，满足EF DF ⊥，直线AE 与椭圆C 交于点G .若ABG的面积为AB 的方程.【答案】（1）22142x y +=；（2）20x +-=. 【分析】（1）由离心率及过的点和,,a b c 之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）由（1）得,A F 的坐标，设直线AB 的方程，与椭圆联立得B 的坐标，由题意得点D 的坐标，再由题意得G 的坐标，表示出面积，求得k 的值，得到直线AB 的方程.【详解】（1）由已知，有222222211c e a a b c a b⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22142x y +=； （2）由（1）知，)F ，(2,0)A . 设直线AB 的方程为(2)y k x =-(0k <)，其与椭圆C 的交点(,)B B B x y 满足方程组221,42(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得到2222(12)8840k x k x k +-+-=， 解得224221B k x k -=+.在直线AB 的方程中， 令0x =，解得2y k =-，即得(0,2)D k -.设()0,E E x ，由题意， 有())2,220E E EF DF x k kx ⋅=-⋅=-=，解得1E x k =. 进而得到直线AE 的方程为12x ky +=， 其与椭圆C 的交点(,)G G G x y 满足方程组221,421,2x y x ky ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去x 得到22(21)40k y ky +-=， 解得2421G k y k =+，进而222421G k x k -=+. 由上述过程可得，|||B A AB x x=-=， 点G 到直线AB=. 因此，12ABG S ==△化简得2210k ++=，解得k =， 所以直线AB 的方程为20x +-=.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，解题思路如下：（1）根据题意，结合椭圆的性质，结合,,a b c 之间的关系求得椭圆方程；（2）根据题意，设出直线的方程，将其与椭圆方程联立消元，根据题中所给的条件，建立相应的等量关系，求得结果.20．已知函数()ln 1f x ax x =++，()e x g x x =.（1）若1a=-，求函数()f x 的最大值；（2）若0a =，（i ）求过原点且与曲线()()=-y g x f x 相切的直线方程；（ii ）设1x ，2x 为方程()()g x f x t -=(t ∈R )的解，求证：12||x x t -<.【答案】（1）0；（2）（i ）y x =；（ii ）证明见解析.【分析】（1）当1a=-时，()ln 1f x x x =-++，求导11()1x f x x x-'=-+=.分析导函数的正负，得出原函数的单调性，从而求函数()f x 的最大值.（2）（i ）记()()()e ln 1x h x g x f x x x =-=--.设切点00(,())P x h x ，求得过点P 处的切线方程为000()()()y h x x x h x ='-+.由已知解得0200e ln x x x =-，代入可得其切线方程；（ii ）构造函数()()H x h x x =-，求导1()(1)e 1x H x x x '=+--，令1()(1)e 1x G x x x=+--，求导'21()(2)e x G x x x=++得'()0G x >，可得()H x '单调递增.又由0()0H x '=，得出()H x 单调性，从而可得证. 【详解】解：（1）当1a=-时，()ln 1f x x x =-++，11()1x f x x x -'=-+=. 当01x <<时，有()0f x '>，则()f x 单调递增；当1x >时，有()0f x '<，则()f x 单调递减.因此，存在极大值(1)0f =，也即函数的最大值，所以函数()f x 的最大值为0.（2）（i ）记()()()e ln 1xh x g x f x x x =-=--.取曲线()y h x =上一点00(,())P x h x ，则P 处的切线方程为000()()()y h x x x h x ='-+.由题意，有0000()()()h x x h x ='-+，即0200e ln x x x =-，变形后得到方程001ln 0000ln 1e ln e x x x x x x =-=⋅. 记函数e (0)x y x x =>，由(1)e 0x y x '=+>，知e (0)x y x x =>为增函数，故001ln x x =.将其代入切线方程， 故所求切线方程为y x =.（ii ）构造函数()()H x h x x =-，则1()(1)e 1x H x x x '=+--， 令1()(1)e 1x G x x x =+--，则'21()(2)e x G x x x=++.有'()0G x >，故()H x '单调递增.又0()0H x '=， 因此当00x x <<时，()0H x '<，()H x 单调递减；当0x x >时，()0H x '>，()H x 单调递增.所以，0()()0H x H x ≥=.由题意，12()()h x h x t ==.不妨设12x x <，由前述知，2()0H x ≥，即22()x h x t ≤=.所以12||0x x t t -<-=.【点睛】方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.。