模糊数学(基本定义)
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外延：概念的实例
油菜、空心菜、韭菜、葱、菠菜等等
4
概念、内涵、外延
概念要通过词语表现出来，概念的词语 表现叫做——“名称”
每一个概念都有一定的外延和内涵 概念的外延
适合这个概念的一切对象的范围
概念的内涵
这个概念所反映的对象的本质属性的总和
5
集合
集合与概念是什么关系？
6
论域
我们讨论具体问题时，要知道是在 什么范围上进行讨论
特征函数是论域X到{0,1}上的一个 映射：
A
(
x)
1, x A 0, x A
11
特征函数—隶属程度 XA(x)指明x对A的隶属程度
隶属程度只有两个值：0，1 经典集合只能表示什么样的概念？
“非此即彼” 确切概念
12
非此即彼？
“高个子” “年轻” 现实世界中的很多概念具有模糊性 模糊性：客观事物差异的中间过渡
模糊数学
1
教材
使用教材
杨纶标，高英仪. 《模糊数学原理及 应用》（第四版），华南理工大学出 版社，2006.
参考教材
罗承忠. 《模糊集引论》(上册)，北 京师范大学出版社，2005.
2
讨论
Why are we here?
3
概念、内涵、外延
概念：青菜 内涵：概念具有哪些特征
一种植物，绿色，一般叶子直立，可 食用
表示方法3：
A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.50, 0.60) 要求事先对论域中元素排序
30
模糊集合表示方法（无限论域）
当论域X为无限集时，上面的记法 失效
将查德记法推广到一般情况，即论 域是：无限的、连续的、或者其他 情况，论域X上的模糊集合A都可以 表示为
A = ∫x∈X μA(x) / x
1}推广到[0，1]
20
模糊子集与隶属函数的定义
定义：给出映射μA ：X [0, 1] ， x| μA(x) ， 我们说μA确定一个X的模糊子集A，
μA称为A的隶属函数， μA(x)表示 x隶属于模糊子集A的程度，
称为x对A的隶属度。
21
模糊集合vs.普通集合
模糊集合A由隶属函数μA刻画 普通集合A由特征函数XA刻画 Question. 什么时候模糊集合退化成
28
表示方法1的说明
A=∑i=1n μi / xi 不是分式求和，只是一个符号 “分母”是论域X的元素 “分子”是相应元素的隶属度 当隶属度为0时，该项可以不写入
29
表示方法2，3
表示方法2：
A = {(0.85, Bill), (0.75, Obama), (0.98, Einstein), (0.50, Jackson), (0.60, Spielberg)}
μA ， μi =μA(xi) 模糊子集A如何表示？
三种表示方法
25Baidu Nhomakorabea
表示方法1
“查德记法”：模糊子集A记作 A = ∑i=1n μi / xi
26
例子（有限论域）
例.论域 = { Bill Gates, Barack Hussein Obama II , Albert Einstein, Michael Joseph Jackson, Steven Allan Spielberg }
普通集合？
22
1-2 模糊子集的表示方法
23
模糊集合的表示方法
论域 论域——有限集
例如：X={x1 , x2 , x3 , x4 ,, x5} 论域——无限集
例如：X=[0, 100]
24
模糊集合表示方法（有限论域）
有限论域X={x1 , x2 , …, xn } 设X上的模糊子集A 的隶属函数为
1965年,美国控制论专家L.A.Zadeh 发表开创性论文“Fuzzy Sets”[1]， 标志模糊数学的诞生
16
什么是模糊数学？
用数学方法研究和处理具有模糊性 的现象
理论基础
模糊集合论
17
第一章 模糊集合的基本概念
18
1-1 模糊子集与隶属函数
19
经典集合与模糊集合
经典集合——特征函数刻画 模糊集合——隶属函数刻画 隶属函数是将特征函数的值域从{0，
31
表示方法说明
A = ∫x∈X μA(x) / x 这里的积分号不表示积分，也不表
示求和，而是表示各个元素与隶属 度对应关系的一个总括
32
例子（无限论域）
以年龄为论域，取X=[0, 200] 考虑两个模糊概念：年轻，年老
年龄段——肯定符合“年轻”的概念？ 年龄段——肯定不符合“年老”的概
要有论域（议题限制在一定范围内）
例如：
在论域“human”上，讨论概念 “male”
在论域“monkey”上，讨论概念
“male”
7
概念与集合
从论域“人”中挑出所有男子，构 成论域的一个子集A
A是概念“男子”的
外延 是概念“男子”的集合表现
概念可以用集合来表示
8
概念与集合
给定论域X，设a为X上一概念，则a的外 延是论域X的
模糊概念：“smart” smart程度：0.85，0.75，0.98，0.5，
0.60
27
模糊集合“smart”
论域中元素对“smart”这模糊概念 的符合程度可以用模糊子集A来表 示
A = 0.85/Gates + 0.75/ Obama + 0.98/Einstein+0.50/Jackson + 0.60/ Spielberg
一个子集A 对于X中任一元素x来说，
x符合概念a x A
9
经典集合论
经典集合论中，元素x与集合A的关 系是什么？
x属于集合A x不属于集合A
元素x与概念a的关系是什么？
x符合概念a x不符合概念a
10
集合与特征函数
经典集合论中，给定论域X，子集
A可由其特征函数XA(x)来唯一确定
中的不分明性，难以划定界限。非 此即彼？
亦此亦彼，模糊概念
13
模糊概念
源自于实践 模糊概念（现象）无处不在
薄、厚； 高、矮； 强、弱； 中雨、大雨、暴雨、大暴雨；
14
如何亦此亦彼？
经典子集的隶属程度
只能取0或1
如何亦此亦彼？
打破这个限制 表现“亦此亦彼”的模糊概念
15
开山之作
念？
33
“年轻”与“年老”的隶属函数曲 线
34
Y
1
[1 ( x 25)2 ]1 5
x x[0,25]
x[ 25,200 ]
x
O
0
[1 ( x 50)2 ]1 5
x x[0,50]
x[50,200]
油菜、空心菜、韭菜、葱、菠菜等等
4
概念、内涵、外延
概念要通过词语表现出来，概念的词语 表现叫做——“名称”
每一个概念都有一定的外延和内涵 概念的外延
适合这个概念的一切对象的范围
概念的内涵
这个概念所反映的对象的本质属性的总和
5
集合
集合与概念是什么关系？
6
论域
我们讨论具体问题时，要知道是在 什么范围上进行讨论
特征函数是论域X到{0,1}上的一个 映射：
A
(
x)
1, x A 0, x A
11
特征函数—隶属程度 XA(x)指明x对A的隶属程度
隶属程度只有两个值：0，1 经典集合只能表示什么样的概念？
“非此即彼” 确切概念
12
非此即彼？
“高个子” “年轻” 现实世界中的很多概念具有模糊性 模糊性：客观事物差异的中间过渡
模糊数学
1
教材
使用教材
杨纶标，高英仪. 《模糊数学原理及 应用》（第四版），华南理工大学出 版社，2006.
参考教材
罗承忠. 《模糊集引论》(上册)，北 京师范大学出版社，2005.
2
讨论
Why are we here?
3
概念、内涵、外延
概念：青菜 内涵：概念具有哪些特征
一种植物，绿色，一般叶子直立，可 食用
表示方法3：
A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.50, 0.60) 要求事先对论域中元素排序
30
模糊集合表示方法（无限论域）
当论域X为无限集时，上面的记法 失效
将查德记法推广到一般情况，即论 域是：无限的、连续的、或者其他 情况，论域X上的模糊集合A都可以 表示为
A = ∫x∈X μA(x) / x
1}推广到[0，1]
20
模糊子集与隶属函数的定义
定义：给出映射μA ：X [0, 1] ， x| μA(x) ， 我们说μA确定一个X的模糊子集A，
μA称为A的隶属函数， μA(x)表示 x隶属于模糊子集A的程度，
称为x对A的隶属度。
21
模糊集合vs.普通集合
模糊集合A由隶属函数μA刻画 普通集合A由特征函数XA刻画 Question. 什么时候模糊集合退化成
28
表示方法1的说明
A=∑i=1n μi / xi 不是分式求和，只是一个符号 “分母”是论域X的元素 “分子”是相应元素的隶属度 当隶属度为0时，该项可以不写入
29
表示方法2，3
表示方法2：
A = {(0.85, Bill), (0.75, Obama), (0.98, Einstein), (0.50, Jackson), (0.60, Spielberg)}
μA ， μi =μA(xi) 模糊子集A如何表示？
三种表示方法
25Baidu Nhomakorabea
表示方法1
“查德记法”：模糊子集A记作 A = ∑i=1n μi / xi
26
例子（有限论域）
例.论域 = { Bill Gates, Barack Hussein Obama II , Albert Einstein, Michael Joseph Jackson, Steven Allan Spielberg }
普通集合？
22
1-2 模糊子集的表示方法
23
模糊集合的表示方法
论域 论域——有限集
例如：X={x1 , x2 , x3 , x4 ,, x5} 论域——无限集
例如：X=[0, 100]
24
模糊集合表示方法（有限论域）
有限论域X={x1 , x2 , …, xn } 设X上的模糊子集A 的隶属函数为
1965年,美国控制论专家L.A.Zadeh 发表开创性论文“Fuzzy Sets”[1]， 标志模糊数学的诞生
16
什么是模糊数学？
用数学方法研究和处理具有模糊性 的现象
理论基础
模糊集合论
17
第一章 模糊集合的基本概念
18
1-1 模糊子集与隶属函数
19
经典集合与模糊集合
经典集合——特征函数刻画 模糊集合——隶属函数刻画 隶属函数是将特征函数的值域从{0，
31
表示方法说明
A = ∫x∈X μA(x) / x 这里的积分号不表示积分，也不表
示求和，而是表示各个元素与隶属 度对应关系的一个总括
32
例子（无限论域）
以年龄为论域，取X=[0, 200] 考虑两个模糊概念：年轻，年老
年龄段——肯定符合“年轻”的概念？ 年龄段——肯定不符合“年老”的概
要有论域（议题限制在一定范围内）
例如：
在论域“human”上，讨论概念 “male”
在论域“monkey”上，讨论概念
“male”
7
概念与集合
从论域“人”中挑出所有男子，构 成论域的一个子集A
A是概念“男子”的
外延 是概念“男子”的集合表现
概念可以用集合来表示
8
概念与集合
给定论域X，设a为X上一概念，则a的外 延是论域X的
模糊概念：“smart” smart程度：0.85，0.75，0.98，0.5，
0.60
27
模糊集合“smart”
论域中元素对“smart”这模糊概念 的符合程度可以用模糊子集A来表 示
A = 0.85/Gates + 0.75/ Obama + 0.98/Einstein+0.50/Jackson + 0.60/ Spielberg
一个子集A 对于X中任一元素x来说，
x符合概念a x A
9
经典集合论
经典集合论中，元素x与集合A的关 系是什么？
x属于集合A x不属于集合A
元素x与概念a的关系是什么？
x符合概念a x不符合概念a
10
集合与特征函数
经典集合论中，给定论域X，子集
A可由其特征函数XA(x)来唯一确定
中的不分明性，难以划定界限。非 此即彼？
亦此亦彼，模糊概念
13
模糊概念
源自于实践 模糊概念（现象）无处不在
薄、厚； 高、矮； 强、弱； 中雨、大雨、暴雨、大暴雨；
14
如何亦此亦彼？
经典子集的隶属程度
只能取0或1
如何亦此亦彼？
打破这个限制 表现“亦此亦彼”的模糊概念
15
开山之作
念？
33
“年轻”与“年老”的隶属函数曲 线
34
Y
1
[1 ( x 25)2 ]1 5
x x[0,25]
x[ 25,200 ]
x
O
0
[1 ( x 50)2 ]1 5
x x[0,50]
x[50,200]