模糊数学的集合基础
第一节模糊数学基本知识 数学建模
第一节模糊数学基本知识一、模糊子集及其运算在经典集合论中,一个元素对于一个集合,要么属于,要么不属于,二者必居其一,绝不允许模棱两可。
这一要求就从根本上限定了以经典集合论为基础的常规数学方法的应用范围,它只能用来研究那些具有绝对明确的界限的事物和现象。
但是,在现实世界中,并非所有事物和现象都具有明确的界限。
譬如,“高与矮”,“好与坏”,“美与丑”,……,这样一些概念之间就没有绝对分明的界限。
严格说来,这些概念就是没有绝对的外延,这些概念被称之为模糊概念,它们不能用一般集合论来描述,而需要用模糊集合论去描述。
(一)模糊子集及其表示方法1.模糊子集(1)隶属函数:在经典集合论中,一个元素x和一个集合A之间的关系只能有Ax∉这两种情况。
集合可以通过其特征来刻划,每一个集合A都有x∈或者A一个特征函数C A(x),其定义如下:(1)式所表示的特征函数的图形,如图9-1所示。
由于经典集合论的特征函数只允许取0与1两个值,故与二逻辑值{0,1}相对应。
模糊数学是将二值逻辑{0,1}拓广到可取[0,1]闭区间上任意的无穷多个值的连续值逻辑。
因此,也必须把特征函数作适当的拓广,这就是隶属函数μ(x),它满足:0≤μ(x)≤1 (2)(1)式也可以记作μ(x)∈[0,1],一般情形下,其图形如图9-2所示。
(2)模糊子集的定义:1965年,查德首次给出了模糊子集的如下定义:设U 是一个给定的论域(即讨论对象的全体范围),μA:x→[0,1]是U到[0,1]闭区间上的一个映射,如果对于任何x∈U,都有唯一的μA(x)∈[0,1]与之对应,则该映射便给定了论域U上的一个模糊子集,μA称做的隶属函数,μA(x)称做x对的隶属度。
2.模糊子集的表示方法通过上述关于模糊子集的定义可以看出,一个模糊子集完全由其隶属函数所刻划。
因此,模糊子集通常有以下几种表示方法:=[μ1,μ2,…,μ(3)n]在(3)式中,μi∈[0,1](i=1,2,…,n)为第i个元素x i对的隶属度。
模糊数学 之 模糊集的基本概念
布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.
关系的合成
设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系.
满足下列运算性质: 幂等律: a∨a = a , a∧a = a ; 交换律: a∨b = b∨a , a∧b = b∧a ; 结合律:( a∨b )∨c = a∨( b∨c ), ( a∧b )∧c = a∧( b∧c ) ; 吸收律:a∨( a∧b ) = a, a∧( a∨b ) = a.
则称L是一个格,记为(L ,∨,∧).
(R1°R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y }
关系合成的矩阵表示法
设 X = {x1, x2, … , xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z = {z1, z2, … , zn},且X 到Y 的关系
R1 = (aik)m×s, Y 到 Z 的关系
∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} = rij .
综上所述 R2≤R.
设R2≤R,则对任意的 i , j , k,若有 rij =1, rjk = 1,
即(rij∧rjk) = 1,因此 ∨{(ris∧rsk) | 1≤s≤n}=1,
由R2≤R,得rik=1,所以R具有传递性.
集合上的等价关系
(3) 传递性:对于X上的任意三个元素x, y, z, 若x 与y 有关系R,y 与z 也有关系R 时,则x与z 也有关系R,即若R (x , y ) = 1,R ( y , z ) =1,则 R ( x , z ) = 1,那么称关系R具有传递性.
模糊集合基础
A = [ µ A ( x1 ) µ A ( x2 ) L µ A ( xn )]
模糊集合基础
在由整数1, , 组成的论域中, 在由整数 , 2, ……10组成的论域中 , 即 U={1, 组成的论域中 , 2,……,10},讨论”几个”这一模糊概念,用模糊集 , , ,讨论”几个”这一模糊概念,用模糊集A 可表示。根据经验,可以定量地给出它们的隶属函数, 可表示。根据经验,可以定量地给出它们的隶属函数,模糊 集A可表示为 可表示为
µ (u, w) = ∨ ( µ Q (u , v) ∧ µ R (v, w))
Qo R
v∈V
祖父母—父母相像关系
父 祖父 祖母 0.2 0.6 母 0 0
父母---子女相像关系
子 父 母 0.4 0.5 女 0.6 0.3
祖父母—子女相像关系
0.2 0 0.4 0.6 0.2 0.2 S = QoR = o 0.5 0.3 = 0.4 0.6 0.6 0
4.Sigmoid型隶 . 型隶 属函数
5.一般的钟型 . 隶属函数
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 a=2 a=1
1 a=2 a=-2
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
2
4
6
8
10
0
0
2
4
6
8
10
0
0
2
4
6
8
10
f ( x) = e
−
( x − c )2 a2
f ( x) =
模糊集合基础
模糊关系
是两个非空集合, 设X,Y是两个非空集合,则直集 , 是两个非空集合
模糊数学基本知识
一.模糊数学的基础知识1.模糊集、隶属函数及模糊集的运算。
普通集合A ,对x ∀,有A x ∈或A x ∉。
如果要进一步描述一个人属于年轻人的程度大小时,仅用特征函数就不够了。
模糊集理论将普通集合的特征函数的值域推广到[0,1]闭区间内,取值的函数以度量这种程度的大小,这个函数(记为)(x E )称为集合E 的隶属函数。
即对于每一个元素x ,有[0,1]内的一个数)(x E 与之对应。
(1)模糊子集的定义:射给定论域U ,U 到[0,1]上的任一映射:))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→都确定了U 上的一个模糊集合,简称为模糊子集。
)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度。
映射所表示的函数称为隶属函数。
例如:设论域U=[0,100],U 上的老年人这个集合就是模糊集合:⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤=--10050,))550(1(50,0)(12u u u u A若在集合U 上定义了一个隶属函数,则称E 为模糊集。
(2)模糊集合的表示:},.....,,{21n u u u U =,)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度;则模糊集可以表示为:nn u u A u u A u u A A )(....)()(2211+++=。
或 )}(),.....,(),({21n u A u A u A A =,))}(,()),.....,(,()),(,{(2211n n u A u u A u u A u A =, (3)模糊集合的运算:)}(),.....,(),({21n u A u A u A A =,)}(),.....,(),({21n u B u B u B B =,并集:)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∨∨∨=⋃,交集:)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∧∧∧=⋂, 补集:)}(1),.....,(1),(1{21n cu A u A u A A ---=,包含:B A u B u A U u ⊂≤∈∀,则有有若)()(,, 2.模糊集的截集已知U 上模糊子集))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→对]1,0[∈λ,则称})(,{λλ≥∈=u A U u u A 为模糊集A 的λ-截集;称})(,{λλ>∈=u A U u u A s为模糊集A 的λ-强截集;λ称为λA 、sA λ的置信水平或阀值。
第2章模糊数学基础
A A A a A , a A , , a , 12 r 1 1 2 2 rA r
由两个集合X和Y,各自的元素xX,yY构成序偶(x,y) 的集合称为集合X和Y的直积。 X Y
x 1 y X Y 1 x n
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பைடு நூலகம்
xy xy 11 1 2 xy 2 1 xy 2 2 y m xy n 1 xy n 2
[例2-2] 用序偶法在论域U=1,2,3,4,5,6,7,8, 9,10中讨论“几个”这一模糊概念。 [解]
F ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , 3 , 0 . 2 , 4 , 0 . 7 , 5 , 1 , 6 , 1 , 7 , 0 . 7 , 8 , 0 . 3 , 9 , 0 , ( 1 0 , 0 )
S 3 , 0 . 2 , 4 , 0 . 7 , 5 , 1 , 6 , 1 , 7 , 0 . 7 , 8 , 0 . 3
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3)向量表示法 将论域U中的隶属度F(ui)用来表示模糊集合F,则:
F F u , F u ,, F u 1 2 n
F u F u F u 1 2 n F u u u 1 2 n
用扎德法在论域U=1,2,3,4,5,6,7,8,9, [例2-1] 10中讨论“几个”这一模糊概念。
0 0 0 . 2 0 . 7 1 1 0 . 7 0 . 3 0 0 [解] F 1 23 45 67 89 1 0
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(3)关系矩阵 二元关系R可用二维关系矩阵表示 设X = x ,,, x , Y y ,,, y , 1 2 x n 1 2 y m R是由X到Y的关系,则关系矩阵R的第i行第j列上的元素 rij定义为
第2章 数学基础-模糊集合与模糊关系
2 模糊集合与模糊关系2.1 经典集合的特征函数定义:经典集合的特征函数记为f A (x ),定义为1()0()A x A f x x A x A ∈⎧⎨∉∉⎩当当或 2.2模糊集合与隶属函数定义:论域U 上的模糊集合A 是用一个从U 到实区间[0,1]上的函数Αμ 来刻画的,Αμ 叫做模糊集合A 的隶属函数,函数值Αμ (x )代表元素x 对集合A 的隶属度。
定义(严格的):论域U 到实区间[0,1]的任一映射 Αμ:U →[0,1] ∀x ∈U ,x →Αμ (x ) 都确定U 上的一个模糊集合A ,Αμ 叫做A 的隶属函数,Αμ (x )叫做x 对A 的隶属度。
2.3模糊关系:普通关系讨论的是每对元素是否存在关系R ,模糊关系讨论的是每对元素具有关系R 的程度。
定义:所谓从集合U 到集合V 的模糊关系R ,系指直积U*V 上的一个模糊集合R ,由隶属函数R μ 来刻画,函数值R μ (x ,y )代表有序偶(x ,y )具有关系R 的程度。
例 设V={v 1,v 2,v 3,v 4 } U={u 1,u 2,u 3 }Vμ v 1 v 2 v 3 v 4Uu 1 0.86 0.84 0 0u 20 0 0.95 0u 3 0.78 0 0 0.66则可用模糊矩阵表示如下:0.860.8400000.9500.78000.66R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2.4 模糊矩阵与布尔矩阵一般关系的关系矩阵是布尔矩阵只取1,0两个值,例如110000111001R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义:一个矩阵是模糊矩阵,当且仅当矩阵的所有元素r ij 都满足条件:0 ≤ r ij ≤ 1,i=1,2,……n ;j= 1,2,……m 。
特别的,当r ij 只取0和1两种数值时称为布尔矩阵。
2.5 模糊矩阵的运算2.5.1 相等:当且仅当两个模糊矩阵的一切元素两两相等时称两个模糊矩阵相等。
A =B 〈=〉 a ij =b ij i=1,2,……n ;j= 1,2,……m 。
模糊集合在社会科学研究中的应用分析
模糊集合在社会科学研究中的应用分析随着信息化领域的不断发展,社会科学研究对数据的量化和分析需求不断增大。
而模糊集合作为一种理论与方法,具有自身的优势,能够对处理模糊、不确定性、复杂性问题有更好的效果,并在社会科学领域得到广泛应用。
本文将从模糊集合的基础概念、模糊集合在社会科学领域的应用实例以及面临的挑战和发展方向三个方面进行全面阐述。
一、模糊集合的基础概念模糊集合是Zadeh于1965年提出来的,是集合论的一种扩展,是指由对象元素组成的集合,这些对象并没有在严格的意义下与集合的特征完全匹配。
因此,当元素存在模糊性时,将它们分类为集合中的成员或者非成员就存在难题。
正是根据这种情况,对集合的概念进行推广,得出了模糊集合的概念。
模糊集合可以用函数的形式来定义,例如:μA(x) = {0.8, x∈A; 0.2, x∉A}表示A集合中的元素归属于A的程度为0.8,而不归属于A的程度为0.2。
二、模糊集合在社会科学领域的应用实例1.市场调查在市场调查领域,通过对顾客的反应和直觉,形成模糊集合对商品的满意度、需求程度、市场反应等进行分析。
例如,通过模糊聚类方法,对不同顾客的购买行为进行分组,从而确定各组顾客的特征和需求。
2.风险评估风险评估是对某个事件发生后的可能损失的分析评估。
样本信息往往难以囊括全部的情况,因此模糊集合可以用来描述这种不确定性,通过对不同因素的评估,形成模糊概率分布函数,从而更准确地对风险进行评估。
3.社会稳定性评估作为基础的模糊数学方法,模糊集合可以应用于社会稳定性评估中,对社会稳定性进行量化分析。
通过分析社会混乱、游行示威、公共安全等因素,对社会稳定性进行预测和分析。
三、面临的挑战和发展方向尽管模糊集合具有广泛的应用前景,在理论和应用上都存在着难题和挑战。
面临的挑战主要包括:1.数据质量不高,模糊集合理论在实践应用中的准确度和稳定性有待提升。
2.未能充分发挥模糊集合在推理和决策分析上的优势。
模糊集的基本概念
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 或f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
也称f为一一的。 满射(surjection): f : X Y, 且对任意 y Y, 都有 x X , 使得 y f (x), 则称f为满射。
也称f 映X到Y上(映上)。
用数学的眼光看世界,可把我们身边的现象划分为:
确定性
数学 不确定性
经典(精确)数学
随机性 模糊性 随机数学 模糊数学
模糊理论的数学基础
普通集合与普通关系
一、集合
集合的有关概念 集合的运算 集合运算的性质 映射与扩张 集合的特征函数 直积 关系的概念 关系的运算 特征关系 等价关系与划分 偏序集 格
Ai {x | i I , x Ai }
分配律、对偶律等可推广
4. 集合中元素的计数
• 集合A={1,2,„,n},它含有n个元素,可以说这 个集合的基数是n,记作 card A=n
也可以记为|A|=n,
空集的基数是 即||=0.
有穷集、无穷集
• 定义: 设A为集合,若存在自然数n(0也是自然 数),使得|A|=card A=n,则称A为有穷集, 否则称A为无穷集。
• 例如,{a,b,c}是有穷集,而N,Z,Q,R都是无 穷集。
5. 映射与扩张
(1) 映射(mapping):实际是函数概念的推广
x X, 设 X, Y 都是集合,若存在对应关系 f, 使
都有唯一的 y Y 与之相对应,则称f 映X入Y的映射。 记号: f : X Y x a y f (x)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
模糊数学基础练习题
模糊数学基础练习题模糊数学基础练习题在现代数学中,模糊数学是一门研究不确定性和模糊性的数学分支。
它通过引入模糊集合和模糊逻辑,为处理现实世界中模糊和不确定的问题提供了一种有效的工具。
为了更好地理解和应用模糊数学,下面将给出一些模糊数学基础练习题。
1. 模糊集合:给定一个模糊集合A = {(x, μA(x))},其中x是集合的元素,μA(x)是元素x的隶属度。
请计算集合A的支持度和核。
2. 模糊逻辑运算:假设有两个模糊集合A = {(x, μA(x))}和B = {(x, μB(x))},请计算它们的模糊交、模糊并和模糊补运算。
3. 模糊关系:考虑一个模糊关系R = {(x, y, μR(x, y))},其中x和y是集合的元素,μR(x, y)是元素x和y之间的关系强度。
请计算关系R的模糊合成和模糊反关系。
4. 模糊推理:假设有一个模糊规则库,包含多个模糊规则,如“If x is A and y is B, then z is C”,其中A、B和C分别是模糊集合。
请利用模糊推理方法,根据给定的输入模糊集合,推导出输出模糊集合。
通过解答以上练习题,我们可以更好地理解和应用模糊数学。
模糊数学的应用领域广泛,包括模糊控制、模糊决策、模糊优化等。
它在处理不确定性和模糊性问题时具有很强的适应性和灵活性,能够更好地反映现实世界中的复杂性和模糊性。
总之,模糊数学是一门重要的数学分支,它为处理现实世界中模糊和不确定的问题提供了一种有效的工具。
通过不断练习和应用,我们能够更好地掌握模糊数学的基础知识和技巧,为解决实际问题提供更准确和可靠的方法。
模糊规划的理论方法及应用
模糊规划的理论方法及应用模糊规划是一种将模糊数学方法应用于决策问题的数学工具。
相比于传统的决策方法,模糊规划考虑到了决策者在面对不确定性和模糊性时的主观认知和感知能力,并利用模糊集合理论来解决这些问题。
本文将介绍模糊规划的理论方法及其在实际应用中的例子。
一、模糊规划的基本概念与原理1. 模糊集合理论模糊集合理论是模糊规划的理论基础,它是Lotfi Zadeh于1965年提出的。
在传统的集合论中,一个元素只能属于集合A或者不属于集合A,而在模糊集合论中,每个元素都有属于集合A的程度或者隶属度。
通过定义隶属函数来刻画元素对一个集合的隶属程度,该函数的取值范围通常是[0,1]。
2. 模糊规划的基本步骤模糊规划的基本步骤包括问题定义、模糊关系构建、决策矩阵建立、权重确定、模糊规则制定、规则评价、推理运算及解的评价等。
其中,模糊关系的建立和模糊规则的制定是模糊规划的核心。
通过对问题的抽象和建模,将模糊的问题转化为可计算和可处理的数学模型,从而能够得出合理的决策结果。
二、模糊规划的实际应用1. 市场营销决策在市场营销中,决策者往往需要面对很多模糊的信息,例如消费者的购买意愿、市场竞争环境等。
模糊规划可以帮助决策者进行市场细分、产品定价、促销策略等决策,从而提高市场的竞争力。
比如,通过模糊规划的方法,可以根据消费者的购买意愿和价格敏感度,确定合适的产品定价,并通过促销策略来满足不同消费者群体的需求。
2. 资源调度问题在资源调度问题中,决策者需要考虑多个因素,例如人力资源、物资配送等。
这些因素往往存在模糊性和随机性,传统的数学模型很难对其进行准确建模和求解。
而模糊规划可以通过考虑不确定性因素,使决策结果更加稳健和鲁棒。
比如,在人力资源调度中,通过模糊规划可以考虑员工的技能水平、工作经验等因素,使得调度结果更加符合实际情况。
3. 供应链管理问题供应链管理中涉及到多个环节和参与方,存在着各种不确定性和模糊性。
模糊规划可以帮助决策者在不确定的环境下进行供应链规划、库存管理、物流优化等决策,从而提高供应链的运作效率和灵活性。
模糊数学的集合基础
模糊数学在人工智能和认知科学中的应用
人工智能和认知科学是当前研究的热点领域,模糊数学有望在其中发挥更大的作用,如模 糊逻辑在情感计算、智能决策等方面的应用。
THANKS
集合的运算
1 2
并集
两个集合A和B的并集是由所有属于A或属于B的 元素所组成的集合。
交集
两个集合A和B的交集是由所有既属于A又属于B 的元素所组成的集合。
3
补集
对于任意一个集合A,由不属于A的所有元素组 成的集合称为A的补集。
集合的基数与子集
基数
集合中元素的个数称为集合的基数。
子集
如果一个集合A中的每一个元素都是另一个集合B中的元素,则称A是B的子集。
感谢观看
模糊集合的运算
并集
模糊集合的并集运算与经典集合类似,表示两个集合 中至少有一个元素属于这两个集合。
交集
模糊集合的交集运算与经典集合类似,表示两个集合 中同时属于这两个集合的元素。
补集
模糊集合的补集运算表示不属于原集合的元素组成的 集合。
模糊Hale Waihona Puke 合的隶属函数确定隶属函数的方法
确定隶属函数是模糊集合理论中的重要步骤,常用的方法有专家打分法、统计法、神经网络法等。
模糊数学的产生和发展是数学和科学技术发展的必然结果,也是对现实世 界中广泛存在的模糊现象进行数学描述和定量处理的需要。
集合论在模糊数学中的重要性
01
集合论是数学的基础理论之一,它为模糊数学提供了基本的数 学工具和语言。
02
在模糊数学中,集合的概念被扩展到了模糊集合,模糊集合是
模糊数学1第二讲-模糊集合与模糊关系
目录
• 引言 • 模糊集合的基本概念 • 模糊关系的定义和性质 • 模糊关系的应用 • 结论
01 引言
主题简介
模糊集合
模糊集合是传统集合的扩展,允许元 素具有不明确的隶属度。它能够更好 地描述现实世界中许多事物的模糊性 和不确定性。
模糊关系
模糊关系是描述模糊元素之间关联的 方式,可以用于描述事物之间的不确 定性和相似性。
3
模糊关系具有自反性,即任意一个模糊集合都与 自身有完全的关联。
模糊关系的运算
01
并运算
表示两个模糊集合之间的合并关系, 结果是一个新的模糊集合。
补运算
表示一个模糊集合的补集关系,结 果是一个新的模糊集合。
03
02
交运算
表示两个模糊集合之间的交集关系, 结果是一个新的模糊集合。
非运算
表示一个模糊集合的否定关系,结 果是一个新的模糊集合。
人工智能与机器学习
模糊数学在人工智能和机器学习领域有巨大的潜力,特别 是在处理不确定性和含糊性方面。未来可以进一步探索模 糊数学在人工智能和机器学习领域的应用。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
04
04 模糊关系的应用
在决策分析中的应用
模糊决策
利用模糊集合理论,可以将决策 问题中的不确定性和模糊性纳入 数学模型中,从而更准确地描述 和解决决策问题。
模糊多属性决策
在多属性决策中,模糊集理论可 以用于处理属性值的不确定性, 通过权重调整和属性值模糊化, 实现更准确的决策分析。
模糊综合评价
基于模糊集合理论的综合评价方 法,能够综合考虑多个因素和条 件,对复杂系统进行全面、客观 的评价。
模糊集合基础知识您需要知道的五个概念
模糊集合基础知识您需要知道的五个概念模糊集合是模糊数学的一个重要分支,广泛应用于信息处理、人工智能、控制科学等领域。
本文将介绍五个重要的概念,帮助读者更好地理解模糊集合。
概念一:模糊集合模糊集合是指具有模糊性质的集合,即其中的元素不是非黑即白,而是具有一定的灰色程度。
模糊集合用μ(x)表示,表示元素x属于该集合的程度,取值范围在[0,1]之间。
如果μ(x)等于0,表示元素x不属于该集合;如果μ(x)等于1,表示元素x完全属于该集合。
概念二:隶属函数隶属函数是指用来描述元素x隶属于模糊集合的程度的函数,也称为隶属度函数或者隶属度值函数。
通常用符号μ(x)表示,μ(x)的大小反映了元素x在模糊集合中的隶属程度。
概念三:模糊关系模糊关系是指一个元素与另一个元素之间存在的模糊连接,其定义可以用一个矩阵来表示。
该矩阵的每个元素都是一个隶属于[0,1]之间的值,描述了两个元素之间的某种程度上的相互作用关系。
概念四:模糊逻辑运算模糊逻辑运算是指在模糊集合上进行的逻辑运算。
常用的模糊逻辑运算包括取反、交集和并集等。
在模糊集合上进行逻辑运算时,需要对隶属度函数进行计算。
概念五:模糊系统模糊系统是指以模糊逻辑为基础的控制系统,其输入和输出可以是模糊集合,通过模糊逻辑的运算和推理,实现对过程的模糊控制。
模糊系统广泛应用于自动控制、模式识别等领域。
结语了解模糊集合的基本概念对于理解和研究模糊数学具有重要的意义。
在实际应用中,模糊集合可以用于处理具有模糊性质的信息,提高信息处理的精度和效率。
在模糊集合的基础上,人们还可以进一步研究模糊度量、模糊拓扑、模糊代数等方面的内容,从而推进模糊数学的不断发展和应用。
模糊数学 集合
1.幂等律 2. 交换律
3. 结合律
A A A,A A A
A BB A, A B B A
( A B) C A ( B C ),(A B) C A ( B C )
4. 分配律 A (B C) ( A A (B C) ( A B) B) (A (A C ), C)
5. 吸收律 (A B) A A, (A B) A A
幂集—— 由U的所有子集构成的集合称为U的幂集
记为P(U ) 例如:U {张,李} P U {, {张}{李}{张,李}} 例如:U={,, }, P(U ) {, { },{ },{ },{, },{, },{, },{,, }} 一般若U 有n个元素,则幂集P (U )有2n 个元素 A是U的子集有两种记法A U 或A P (U ).
1. 模糊数学的创立
● 模糊概念不能用经典集合加以描述,这是因为不能绝对
地区别“属于”或“不属于”,也就是说元素符合概念的 程度不是绝对的0或1,而是介于0和1之间的一个数。
● 控制论的创始人维纳在谈到人胜过任何完善的机器时说
“人具有运用模糊概念的能力”。人脑的重要特点之一,就 是能够对模糊事物进行判断和推理。
xD
u D1
g f
u g ( x ) g ( D)
则当 g ( D) D1 时, 由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复 合映射 , 记作 或 f g ( x), x D.
g ( D)
注意: 构成复合映射的条件 g ( D) D1 不可少. 以上定义也可推广到多个映射的情形.
1. 模糊数学的创立
下面例子说明随机性与模糊性之间的差异: “明天的最高气温是39°C的概率是0.9”: 其中0.9是描述 出现39°C的随机性; “明天高温的可能性是0.9”: 其中0.9是描述的是明天的气 温属于“高温”这个模糊概念的程度;
模糊数学第二讲--模糊集合及其运算
A(u)
[1
(
u
50 5
)2
]1
, 50 u 100
1
0 u 25
B(u)
[1
(
u
25 5
)2
]1
25 u 100
A
B A(u) B(u)
1
[1 (u 25)2 ]1
5
[1 (u 50)2 ]1 5
uU
u
u 0u25
25u u*
u
u* u100
u
A
B A(u) B(u)
2024/7/20
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五、模糊截集
1. -截集(-cut)
引例:
奴隶社会 1/ 夏 1/ 商 0.9 / 西周 0.7 / 春秋 0.5/战国 0.4 / 秦 0.3/ 西汉 0.1/东汉
若要求至少应达到0.5 水平,则有夏、商、西 周、春秋、战国
若要求至少应达到0.7 水平,则有夏、商、西周、 春秋
(A B) C (A C) (B C)
5、吸收律: (A B) A A, (A B) A A 6、复原律: (Ac )c A 7、对偶律: ( A B)c Ac Bc , ( A B)c Ac Bc 8、0 –1律: A U U , A A
AU A, A
k 1
uk
k 1
uk
u k 1
k
(2) 设论域U为无限集且A A(u), B B(u),
uU u
uU u
则A B A(u) B(u),A B A(u) B(u),AC 1 A(u)
uU
u
uU
u
uU
u
2024/7/20
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例2 设模糊集A和B的隶属函数为
模糊集的基本运算
A ={(x1, 0.4), (x2, 0.5), (x3, 0), (x4, 0.6)}.
四.模糊集的运算性质
1. 经典集合的运算性质 经典集合关于并、交、补运算具有以下性质: 设X为论域, A, B, C为X上的经典集合, 则
A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56). X上的模糊集B为:
帅哥
B=(0.35, 0.52, 0.65, 0.37). 则根据定义有BA.
超男
定义 论域X上的模糊集A与B称为是相等的, 如果AB 且BA, 即对任意xX有A(x)= B(x).
3. 模糊集的并 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 A∪B={xX| xA或xB}.
第二章 模糊集的基本运算
一. 模糊集的表示方法
模糊集合是论域X 到[0,1]的映射, 因此用隶属函 数来表示模糊集合是最基本的方法。除此以外, 还有 以下的表示方法: 1)序偶表示法
A={(x, A(x)|xX}. 例如: 用集合X={x1, x2, x3, x4}表示某学生宿舍中的四 位男同学, “帅哥”是一个模糊的概念。经某种方法 对这四位学生属于帅哥的程度(“帅度”)做的评价依 次为: 0.55, 0.78, 0.91, 0.56, 则以此评价构成的模糊集 合A记为:
A(x)
1 0
xa xa
1
xa
A(x) ek(xa) x a, k 0
A(x)
1 ek
( xa )2
xa x a, k 01A( x)源自11 b(x a)c
xa x a (b, c 0)
模糊集合的基本概念与模糊关系
(B ∩ C)(A ∪ B)(A ∪ C) = ∩ (8)(A ∪
(9)
A= A
A ∪ B = A∩ B ———— A ∩ B = A∪ B
————
(10)
(德莫尔甘定律)
(11)
A ∪ = ,A ∩ = A A ∪ = A,A ∩ =
6.4 模糊关系 模糊关系
在直积空间
X ×Y ={( x, y) x∈X, y∈Y}
中的模糊关系R, 中的模糊关系 ,就是在 来表示特征的模糊集R 来表示特征的模糊集 若 X =Y 则把 X × X
X ×Y
它以隶属度函数
R(x, y)
中的模糊关系称为X上的模糊关系 中的模糊关系称为 上的模糊关系. 上的模糊关系
更一般地在直积空间 就是用n元隶属度函数 其中: 其中:
X = X1 × X2 ×Xn
中的n元模糊集R 中的n元模糊集R
R(x1, x2,xn)
i =1,2,n
来表示的模糊集 来表示的模糊集R 模糊集
xi ∈Xi
为汽车, 例1 设x,y为汽车,则“x比y好”这种关系就是模糊关系 为汽车 比 好 x,y指人 指人, x和 相象” 例2 设x,y指人,则“x和y 相象”这种关系也是模糊关系 设:
0.5 0.8
而直积
0.5 0.3 0.8 0.5 A B = 0.3 0.7 0.4 0.8 0.5 ∧ 0.8 0.3 ∧ 0.5 0.5 0.3 = = 0.3 0.7 0.4 ∧ 0.3 0.8 ∧ 0.7
_
(5)余模糊矩阵: A 余模糊矩阵: 余模糊矩阵 模糊矩阵 例4 设
性质2 性质
I R=R I =R O R=R O=O E R=R E=E
第1章 模糊集合的基本概念
2 Supp Supp A Supp A, Ker Ker A Ker A ~ ~ ~ ~ 3 A B Supp A Supp B ~ ~ ~ ~ 定义1 10设 0,1 , A F U , 定义 A F U ,
若u U , A u 1,则称A为全集U.
设U 0, ,年老 O,年轻 Y 是两个模糊集 200
~ ~
例
0, 0u 50 O u 1 u 50 2 ~ 1 5 ,50u 200 1, 0 u 25 Y u 1 u 25 2 ~ 1 5 ,25u 200
A A u1 , u1 , A u2 , u2 ,, A un , un
~ ~ ~
(3)向量表示法
A A u1 , A u2 ,, A un
~ ~ ~ ~
4 Zadeh与向量式的结合表示法 A un A u1 A u2 ~ ~ ~
1.3.2
性质1
~
A B A B
~ ~
~
A B , A B
截集的性质
性质2 设、 0,,且 , 1 则A A 特别
性质3
A0 U
A A , A
C C ~
1
C
~
A1
~ ~
成立,则称 A与B相等,记作A B .
~ ~ ~ ~
模糊集的交、并、余运算
定义1-5 设 A、 C F U ,若对于u U , 有 B、
模糊集合
(6)0-1律:A∪Φ=A, A∩Φ=Φ; U∪A=U,U∩A=A; (7)还原律:(Ac)c=A; (8)对偶律:(A∪B)c= Ac∩Bc, (A∩B)c= Ac∪Bc. 注意 互余律不成立!! Ac∪A≠ U, A∩Ac ≠ Φ
注:
推广到有限个模糊集:
( Ai )( x) Ai ( x) ( Ai )( x) Ai ( x)
Y ( x ) Z ( x; 25,50).
∏函数(中间型隶属函数)
S ( x; b a, b), ( x; a, b) Z ( x; b, b a),
x b; x b.
图:π函数
对指定参数 a, b, ( x; a, b) 是 x 的连续函数。
且 (b; a, b) 1 ;当 x b 时单调递增;当
3、模糊集合与普通集合
普通集合由特征函数 A 刻画 模糊集合A由隶属函数μA刻画 什么时候模糊集合退化成普通集合?
• 普通集合是模糊集的特例,特征函数即为隶属函数
• 空集
的隶属函数为 ( x) 0
• 全集 X 的隶属函数为 X ( x) 1
注:
1 、 U 上的全体模糊子集构成的集合类,记为
1 Y x x[25,100] x[0,25] [1 ( x 25 2 1 ) ] 5 x
x 50 2 1 [1 ( ) ] 0 5 O x x[50,100] x x[0,50]
解:先求两曲线的交点,即解方程
x 25 1 5
B 对任何 u∈U,μA(u) ≤μB(u) A
模糊集合的并、交、补
2、举例
例1、论域U={x1 , x2 , x3 , x4 ,, x5} A, B是论域U的两个模糊子集,
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则
1, x [2,8], max{ A ( x), B ( x)} 0, x [2,8], 1, x [2,8] A B [2,8], A B ( x) 0, x [2,8]
则
A B ( x) max{ A ( x), B ( x)}
(6) 存在最大最小元
AU
(7) 还原律(involution) ( Ac )c A
(8) De Morgan 德.摩根律(对偶律)
( A B)c Ac B c ( A B)c Ac B c
(9) 补余律(complementation)
A Ac U (排中律)
例
X {1,2,3},Y {a, b, c, d }, Z {甲,乙}
R1 {(1, a), (1, c), (2, b), (3, a), (3, d )} P( X Y )
R2 {(a,甲), (c,甲), (b,乙), (d ,乙)} P(Y Z )
则R1 R2 {(1,甲), (3,甲), (2,乙), (3,乙)} P( X Z )
空集: 不含任何元素的集合,记为 子集: 若x A xB, 或B包含A.记为A B或B A
相等: A B 且 B A,则称 A与B 相等,且A=B 真子集: A B且A与B不相等,称A是B的真子集,
或A真包含于B, 记A B
2. 集合的运算
A, B P(U)
并 (union) A B {x | x A或x B} 表“或”
交 (int ersection) A B {x | x A且x B}
余(complement) Ac {x | x A}
差 A B x x A, x B 表“且” 表“非”
E
A A∩B= E A B A A∩B B B A B
E
A∪B E
A⊂B
3.集合运算的性质
(1) 幂等律(idempotence)
A A A A A
A B B A
(A B) C A (B C)
(2) 交换律(commutativity)
A B B A
推广:
iI
A Ac
(矛盾律)
Ai P(U) (i I)
iI
Ai {x | i I , x Ai },
Ai {x | i I , x Ai }
分配律、对偶律等可推广
4. 集合中元素的计数
集合A={1,2,…,n},它含有n个元素,可 以说这个集合的基数是n,记作 card A=n 也可以记为|A|=n, 空集的基数 即||=0.
从而 B ( x) 1,即x B
于是,A B
(v) A B x X , A ( x) B ( x)
二、关系(Relations)
1. 直积
定义:设A和B是任意两个集合,用A中的元素为第 一元素,B中的元素为第二元素构成的有序对,所有 这样的有序对组成的集合称为集合A和B的笛卡儿积, 也称集合A和B的直乘积,记做A×B 一种集合合成的方法,把集合A,B合成集合A×B, 规定A×B={(x,y)xA,yB} ,不能写作B×A。
n个
例3 设集合 A={a,b},B={1,2,3},C={d}, 求A×B×C, B×A。
解 : 先计算A×B= {{a,1}, {a,2},{a,3}, {{b,1}, {b,2},{b,3}} A×B×C= {{a,1}, {a,2},{a,3}, {{b,1}, {b,2},{b,3}}×{d} = {<{a,1},d>, <{a,2},d>,<{a,3},d>, <{b,1},d>, <{b,2},d>, <{b,3},d>} B×A={<1,a>,<2,a>,<3,a>,<1,b>,<2,b>,<3,b>}
(3) 结合律(associativity)
A (B C) (A B) C
(4) 吸收律(absorption laws)
A (A B) A
A (A B) A
(5) 分配律(distributivity)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
设X , Y是两个集合, R X Y,则称R是从X到Y的 一个二元关系,简称为 一个关系。若( x, y ) R,则 称x与y具有关系R, 记xRy。特别地,X Y时,R称为 X上的关系。
注1.关系就是集合, 即R P( X Y ); 注2.从X到Y的关系与从Y到X关系不同。 例
类似可得:
(ii ) x X , AB ( x) A ( x) B ( x)
取小运算, 如 2∧ 3 = 2
(iii) x X , Ac ( x) 1 A ( x)
(iv) A B x X , A ( x) B ( x)
证:
X {2, 3},Y {1, 2, 3,4}, 从X到Y的小于关系为: R1 {( x, y ) | x y, x X , y Y } {(2,3), (3,4), (2,4)}
从Y到X的小于关系为: R2 {( y, x) | y x, x X , y Y } {(1,2), (1,3), (2,3)}
n阶笛卡儿积 将两个集合的笛卡儿积推广到n个集合
A1 A2 K An {( x1 , x2 ,K , xn ) | xi Ai }
称为 A1 , A2 ,L , An的卡氏积 例1
Ai P( X i )
(i 1, 2, K , n)
设A {a, b}, B {1,2,3}
则A B {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}
B A {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)}
例2 R表示实数集,
则R R即为实平面, R R L R 14444 42 44444 3为n维欧氏空间
并:R1 R2 {( x, y) | ( x, y) R1或( x, y) R2 }
交:R1 R2 {( x, y) | ( x, y) R1且( x, y) R2 }
余:Rc {( x, y) | ( x, y) R}
逆:R1 {( y, x) | ( x, y) R} P(Y X )
第一章 模糊理论的数学基础
普通集合与普通关系
模糊理论的数学基础
普通集合与普通关系
一、集合
集合的有关概念 集合的运算 集合运算的性质 映射 集合的特征函数
二、关系
直积 关系的概念 关系的运算 特征关系 等价关系与划分
一、集合
1. 集合的有关概念
论域:讨论范围U称为论域(universe )或全集
若(x , y )R,则称 x 与 y 有关系,记为 R (x , y ) = 1; 若(x , y )R,则称 x 与 y 没有关系,记为 R (x , y ) = 0. 映射 R : X Y {0,1} 实际上是 X Y 的子集R上的特征函数.
3. 关系的运算
设R, R1 , R2 P( X Y ), 定义:
注:关系的矩阵表示法
设X = {x1, x2, … , xm},Y={ y1, y2, … , yn}, R为从 X 到 Y 的二元关系,记 rij =R(xi , yj ),R = (rij)m×n,
则R为布尔矩阵(Boole),称为R的关系矩阵.
布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.
关系合成的矩阵表示法
设 X = {x1, x2, … , xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z = {z1, z2, … , zn},且X 到Y 的关系 R1 = (aik)m×s, Y 到 Z 的关系 R2 = (bkj)s×n, 则X 到Z 的关系可表示为矩阵的合成: R1 ° R2 = (cij)m×n, 其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}.
在上例中,从X 到Y的小于关系为R1 , 则:
1 (R1) {(3, 2), (4, 3), (4, 2)}为从Y 到X 的大于关系
合成:设R1 P( X Y ), R2 P(Y Z ), 则R1与R2的合成 R1 R2 P( X Z )定义为:
R1 R2 {( x, z ) | y Y , ( x, y ) R1且( y, z ) R2}
注:有穷集、无穷集
定义: 设A为集合,若存在自然数n(0也是自然数), 使得|A|=card A=n,则称A为有穷集,否则称A 为无穷集。 例如,{a,b,c}是有穷集,而N,Z,Q,R都是无穷 集
5. 映射
设 X , Y 都是集合,若存在对应关系f, 使 x X, 都有唯一的 y Y 与之相对应,则称f 是映X入Y 的映射。 记号: f : X Y x a y f (x)
读作f映X入Y(映入),y称为x在影射f下的像,x称为原像。
例1:设A {1,2,3}, B {a, b, c}, 定义对应法则:
f1 :1 a a, 2 a b, 3 a c f 2 :1 a a, 2 a a, 3 a a
则f1, f 2均为从A到B的映射。
特殊映射:双射(bijection): 单射 满射 注1. 单射或满射的概念与集合有关. 例如: