模糊数学的集合基础

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第一节模糊数学基本知识 数学建模

第一节模糊数学基本知识 数学建模

第一节模糊数学基本知识一、模糊子集及其运算在经典集合论中,一个元素对于一个集合,要么属于,要么不属于,二者必居其一,绝不允许模棱两可。

这一要求就从根本上限定了以经典集合论为基础的常规数学方法的应用范围,它只能用来研究那些具有绝对明确的界限的事物和现象。

但是,在现实世界中,并非所有事物和现象都具有明确的界限。

譬如,“高与矮”,“好与坏”,“美与丑”,……,这样一些概念之间就没有绝对分明的界限。

严格说来,这些概念就是没有绝对的外延,这些概念被称之为模糊概念,它们不能用一般集合论来描述,而需要用模糊集合论去描述。

(一)模糊子集及其表示方法1.模糊子集(1)隶属函数:在经典集合论中,一个元素x和一个集合A之间的关系只能有Ax∉这两种情况。

集合可以通过其特征来刻划,每一个集合A都有x∈或者A一个特征函数C A(x),其定义如下:(1)式所表示的特征函数的图形,如图9-1所示。

由于经典集合论的特征函数只允许取0与1两个值,故与二逻辑值{0,1}相对应。

模糊数学是将二值逻辑{0,1}拓广到可取[0,1]闭区间上任意的无穷多个值的连续值逻辑。

因此,也必须把特征函数作适当的拓广,这就是隶属函数μ(x),它满足:0≤μ(x)≤1 (2)(1)式也可以记作μ(x)∈[0,1],一般情形下,其图形如图9-2所示。

(2)模糊子集的定义:1965年,查德首次给出了模糊子集的如下定义:设U 是一个给定的论域(即讨论对象的全体范围),μA:x→[0,1]是U到[0,1]闭区间上的一个映射,如果对于任何x∈U,都有唯一的μA(x)∈[0,1]与之对应,则该映射便给定了论域U上的一个模糊子集,μA称做的隶属函数,μA(x)称做x对的隶属度。

2.模糊子集的表示方法通过上述关于模糊子集的定义可以看出,一个模糊子集完全由其隶属函数所刻划。

因此,模糊子集通常有以下几种表示方法:=[μ1,μ2,…,μ(3)n]在(3)式中,μi∈[0,1](i=1,2,…,n)为第i个元素x i对的隶属度。

模糊数学 之 模糊集的基本概念

模糊数学 之 模糊集的基本概念
rij =R(xi , yj ),R = (rij)m×n, 则R为布尔矩阵(Boole),称为R的关系矩阵.
布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.
关系的合成
设 R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是 Y 到 Z 的关系, 则R1与 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一个关系.
满足下列运算性质: 幂等律: a∨a = a , a∧a = a ; 交换律: a∨b = b∨a , a∧b = b∧a ; 结合律:( a∨b )∨c = a∨( b∨c ), ( a∧b )∧c = a∧( b∧c ) ; 吸收律:a∨( a∧b ) = a, a∧( a∨b ) = a.
则称L是一个格,记为(L ,∨,∧).
(R1°R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y }
关系合成的矩阵表示法
设 X = {x1, x2, … , xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z = {z1, z2, … , zn},且X 到Y 的关系
R1 = (aik)m×s, Y 到 Z 的关系
∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} = rij .
综上所述 R2≤R.
设R2≤R,则对任意的 i , j , k,若有 rij =1, rjk = 1,
即(rij∧rjk) = 1,因此 ∨{(ris∧rsk) | 1≤s≤n}=1,
由R2≤R,得rik=1,所以R具有传递性.
集合上的等价关系
(3) 传递性:对于X上的任意三个元素x, y, z, 若x 与y 有关系R,y 与z 也有关系R 时,则x与z 也有关系R,即若R (x , y ) = 1,R ( y , z ) =1,则 R ( x , z ) = 1,那么称关系R具有传递性.

模糊集合基础

模糊集合基础

A = [ µ A ( x1 ) µ A ( x2 ) L µ A ( xn )]
模糊集合基础
在由整数1, , 组成的论域中, 在由整数 , 2, ……10组成的论域中 , 即 U={1, 组成的论域中 , 2,……,10},讨论”几个”这一模糊概念,用模糊集 , , ,讨论”几个”这一模糊概念,用模糊集A 可表示。根据经验,可以定量地给出它们的隶属函数, 可表示。根据经验,可以定量地给出它们的隶属函数,模糊 集A可表示为 可表示为
µ (u, w) = ∨ ( µ Q (u , v) ∧ µ R (v, w))
Qo R
v∈V
祖父母—父母相像关系
父 祖父 祖母 0.2 0.6 母 0 0
父母---子女相像关系
子 父 母 0.4 0.5 女 0.6 0.3
祖父母—子女相像关系
0.2 0 0.4 0.6 0.2 0.2 S = QoR = o 0.5 0.3 = 0.4 0.6 0.6 0
4.Sigmoid型隶 . 型隶 属函数
5.一般的钟型 . 隶属函数
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 a=2 a=1
1 a=2 a=-2
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
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0.2
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6
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f ( x) = e

( x − c )2 a2
f ( x) =
模糊集合基础
模糊关系
是两个非空集合, 设X,Y是两个非空集合,则直集 , 是两个非空集合

模糊数学基本知识

模糊数学基本知识

一.模糊数学的基础知识1.模糊集、隶属函数及模糊集的运算。

普通集合A ,对x ∀,有A x ∈或A x ∉。

如果要进一步描述一个人属于年轻人的程度大小时,仅用特征函数就不够了。

模糊集理论将普通集合的特征函数的值域推广到[0,1]闭区间内,取值的函数以度量这种程度的大小,这个函数(记为)(x E )称为集合E 的隶属函数。

即对于每一个元素x ,有[0,1]内的一个数)(x E 与之对应。

(1)模糊子集的定义:射给定论域U ,U 到[0,1]上的任一映射:))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→都确定了U 上的一个模糊集合,简称为模糊子集。

)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度。

映射所表示的函数称为隶属函数。

例如:设论域U=[0,100],U 上的老年人这个集合就是模糊集合:⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤=--10050,))550(1(50,0)(12u u u u A若在集合U 上定义了一个隶属函数,则称E 为模糊集。

(2)模糊集合的表示:},.....,,{21n u u u U =,)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度;则模糊集可以表示为:nn u u A u u A u u A A )(....)()(2211+++=。

或 )}(),.....,(),({21n u A u A u A A =,))}(,()),.....,(,()),(,{(2211n n u A u u A u u A u A =, (3)模糊集合的运算:)}(),.....,(),({21n u A u A u A A =,)}(),.....,(),({21n u B u B u B B =,并集:)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∨∨∨=⋃,交集:)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∧∧∧=⋂, 补集:)}(1),.....,(1),(1{21n cu A u A u A A ---=,包含:B A u B u A U u ⊂≤∈∀,则有有若)()(,, 2.模糊集的截集已知U 上模糊子集))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→对]1,0[∈λ,则称})(,{λλ≥∈=u A U u u A 为模糊集A 的λ-截集;称})(,{λλ>∈=u A U u u A s为模糊集A 的λ-强截集;λ称为λA 、sA λ的置信水平或阀值。

第2章模糊数学基础

第2章模糊数学基础

A A A a A , a A , , a , 12 r 1 1 2 2 rA r
由两个集合X和Y,各自的元素xX,yY构成序偶(x,y) 的集合称为集合X和Y的直积。 X Y
x 1 y X Y 1 x n
2019/2/16
பைடு நூலகம்
xy xy 11 1 2 xy 2 1 xy 2 2 y m xy n 1 xy n 2
[例2-2] 用序偶法在论域U=1,2,3,4,5,6,7,8, 9,10中讨论“几个”这一模糊概念。 [解]
F ( 1 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , 3 , 0 . 2 , 4 , 0 . 7 , 5 , 1 , 6 , 1 , 7 , 0 . 7 , 8 , 0 . 3 , 9 , 0 , ( 1 0 , 0 )
S 3 , 0 . 2 , 4 , 0 . 7 , 5 , 1 , 6 , 1 , 7 , 0 . 7 , 8 , 0 . 3
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3)向量表示法 将论域U中的隶属度F(ui)用来表示模糊集合F,则:
F F u , F u ,, F u 1 2 n
F u F u F u 1 2 n F u u u 1 2 n
用扎德法在论域U=1,2,3,4,5,6,7,8,9, [例2-1] 10中讨论“几个”这一模糊概念。
0 0 0 . 2 0 . 7 1 1 0 . 7 0 . 3 0 0 [解] F 1 23 45 67 89 1 0
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(3)关系矩阵 二元关系R可用二维关系矩阵表示 设X = x ,,, x , Y y ,,, y , 1 2 x n 1 2 y m R是由X到Y的关系,则关系矩阵R的第i行第j列上的元素 rij定义为

第2章 数学基础-模糊集合与模糊关系

第2章  数学基础-模糊集合与模糊关系

2 模糊集合与模糊关系2.1 经典集合的特征函数定义:经典集合的特征函数记为f A (x ),定义为1()0()A x A f x x A x A ∈⎧⎨∉∉⎩当当或 2.2模糊集合与隶属函数定义:论域U 上的模糊集合A 是用一个从U 到实区间[0,1]上的函数Αμ 来刻画的,Αμ 叫做模糊集合A 的隶属函数,函数值Αμ (x )代表元素x 对集合A 的隶属度。

定义(严格的):论域U 到实区间[0,1]的任一映射 Αμ:U →[0,1] ∀x ∈U ,x →Αμ (x ) 都确定U 上的一个模糊集合A ,Αμ 叫做A 的隶属函数,Αμ (x )叫做x 对A 的隶属度。

2.3模糊关系:普通关系讨论的是每对元素是否存在关系R ,模糊关系讨论的是每对元素具有关系R 的程度。

定义:所谓从集合U 到集合V 的模糊关系R ,系指直积U*V 上的一个模糊集合R ,由隶属函数R μ 来刻画,函数值R μ (x ,y )代表有序偶(x ,y )具有关系R 的程度。

例 设V={v 1,v 2,v 3,v 4 } U={u 1,u 2,u 3 }Vμ v 1 v 2 v 3 v 4Uu 1 0.86 0.84 0 0u 20 0 0.95 0u 3 0.78 0 0 0.66则可用模糊矩阵表示如下:0.860.8400000.9500.78000.66R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2.4 模糊矩阵与布尔矩阵一般关系的关系矩阵是布尔矩阵只取1,0两个值,例如110000111001R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义:一个矩阵是模糊矩阵,当且仅当矩阵的所有元素r ij 都满足条件:0 ≤ r ij ≤ 1,i=1,2,……n ;j= 1,2,……m 。

特别的,当r ij 只取0和1两种数值时称为布尔矩阵。

2.5 模糊矩阵的运算2.5.1 相等:当且仅当两个模糊矩阵的一切元素两两相等时称两个模糊矩阵相等。

A =B 〈=〉 a ij =b ij i=1,2,……n ;j= 1,2,……m 。

模糊集合在社会科学研究中的应用分析

模糊集合在社会科学研究中的应用分析

模糊集合在社会科学研究中的应用分析随着信息化领域的不断发展,社会科学研究对数据的量化和分析需求不断增大。

而模糊集合作为一种理论与方法,具有自身的优势,能够对处理模糊、不确定性、复杂性问题有更好的效果,并在社会科学领域得到广泛应用。

本文将从模糊集合的基础概念、模糊集合在社会科学领域的应用实例以及面临的挑战和发展方向三个方面进行全面阐述。

一、模糊集合的基础概念模糊集合是Zadeh于1965年提出来的,是集合论的一种扩展,是指由对象元素组成的集合,这些对象并没有在严格的意义下与集合的特征完全匹配。

因此,当元素存在模糊性时,将它们分类为集合中的成员或者非成员就存在难题。

正是根据这种情况,对集合的概念进行推广,得出了模糊集合的概念。

模糊集合可以用函数的形式来定义,例如:μA(x) = {0.8, x∈A; 0.2, x∉A}表示A集合中的元素归属于A的程度为0.8,而不归属于A的程度为0.2。

二、模糊集合在社会科学领域的应用实例1.市场调查在市场调查领域,通过对顾客的反应和直觉,形成模糊集合对商品的满意度、需求程度、市场反应等进行分析。

例如,通过模糊聚类方法,对不同顾客的购买行为进行分组,从而确定各组顾客的特征和需求。

2.风险评估风险评估是对某个事件发生后的可能损失的分析评估。

样本信息往往难以囊括全部的情况,因此模糊集合可以用来描述这种不确定性,通过对不同因素的评估,形成模糊概率分布函数,从而更准确地对风险进行评估。

3.社会稳定性评估作为基础的模糊数学方法,模糊集合可以应用于社会稳定性评估中,对社会稳定性进行量化分析。

通过分析社会混乱、游行示威、公共安全等因素,对社会稳定性进行预测和分析。

三、面临的挑战和发展方向尽管模糊集合具有广泛的应用前景,在理论和应用上都存在着难题和挑战。

面临的挑战主要包括:1.数据质量不高,模糊集合理论在实践应用中的准确度和稳定性有待提升。

2.未能充分发挥模糊集合在推理和决策分析上的优势。

模糊集的基本概念

模糊集的基本概念

x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) 或f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
也称f为一一的。 满射(surjection): f : X Y, 且对任意 y Y, 都有 x X , 使得 y f (x), 则称f为满射。
也称f 映X到Y上(映上)。
用数学的眼光看世界,可把我们身边的现象划分为:
确定性
数学 不确定性
经典(精确)数学
随机性 模糊性 随机数学 模糊数学
模糊理论的数学基础
普通集合与普通关系
一、集合
集合的有关概念 集合的运算 集合运算的性质 映射与扩张 集合的特征函数 直积 关系的概念 关系的运算 特征关系 等价关系与划分 偏序集 格
Ai {x | i I , x Ai }
分配律、对偶律等可推广
4. 集合中元素的计数
• 集合A={1,2,„,n},它含有n个元素,可以说这 个集合的基数是n,记作 card A=n
也可以记为|A|=n,
空集的基数是 即||=0.
有穷集、无穷集
• 定义: 设A为集合,若存在自然数n(0也是自然 数),使得|A|=card A=n,则称A为有穷集, 否则称A为无穷集。
• 例如,{a,b,c}是有穷集,而N,Z,Q,R都是无 穷集。
5. 映射与扩张
(1) 映射(mapping):实际是函数概念的推广
x X, 设 X, Y 都是集合,若存在对应关系 f, 使
都有唯一的 y Y 与之相对应,则称f 映X入Y的映射。 记号: f : X Y x a y f (x)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
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1, x [2,8], max{ A ( x), B ( x)} 0, x [2,8], 1, x [2,8] A B [2,8], A B ( x) 0, x [2,8]

A B ( x) max{ A ( x), B ( x)}
(6) 存在最大最小元
AU
(7) 还原律(involution) ( Ac )c A
(8) De Morgan 德.摩根律(对偶律)
( A B)c Ac B c ( A B)c Ac B c
(9) 补余律(complementation)
A Ac U (排中律)

X {1,2,3},Y {a, b, c, d }, Z {甲,乙}
R1 {(1, a), (1, c), (2, b), (3, a), (3, d )} P( X Y )
R2 {(a,甲), (c,甲), (b,乙), (d ,乙)} P(Y Z )
则R1 R2 {(1,甲), (3,甲), (2,乙), (3,乙)} P( X Z )
空集: 不含任何元素的集合,记为 子集: 若x A xB, 或B包含A.记为A B或B A
相等: A B 且 B A,则称 A与B 相等,且A=B 真子集: A B且A与B不相等,称A是B的真子集,
或A真包含于B, 记A B
2. 集合的运算
A, B P(U)
并 (union) A B {x | x A或x B} 表“或”
交 (int ersection) A B {x | x A且x B}
余(complement) Ac {x | x A}
差 A B x x A, x B 表“且” 表“非”

E
A A∩B= E A B A A∩B B B A B
E
A∪B E
A⊂B
3.集合运算的性质
(1) 幂等律(idempotence)
A A A A A
A B B A
(A B) C A (B C)
(2) 交换律(commutativity)
A B B A
推广:
iI
A Ac
(矛盾律)
Ai P(U) (i I)
iI
Ai {x | i I , x Ai },
Ai {x | i I , x Ai }
分配律、对偶律等可推广
4. 集合中元素的计数
集合A={1,2,…,n},它含有n个元素,可 以说这个集合的基数是n,记作 card A=n 也可以记为|A|=n, 空集的基数 即||=0.
从而 B ( x) 1,即x B
于是,A B
(v) A B x X , A ( x) B ( x)
二、关系(Relations)
1. 直积
定义:设A和B是任意两个集合,用A中的元素为第 一元素,B中的元素为第二元素构成的有序对,所有 这样的有序对组成的集合称为集合A和B的笛卡儿积, 也称集合A和B的直乘积,记做A×B 一种集合合成的方法,把集合A,B合成集合A×B, 规定A×B={(x,y)xA,yB} ,不能写作B×A。
n个
例3 设集合 A={a,b},B={1,2,3},C={d}, 求A×B×C, B×A。
解 : 先计算A×B= {{a,1}, {a,2},{a,3}, {{b,1}, {b,2},{b,3}} A×B×C= {{a,1}, {a,2},{a,3}, {{b,1}, {b,2},{b,3}}×{d} = {<{a,1},d>, <{a,2},d>,<{a,3},d>, <{b,1},d>, <{b,2},d>, <{b,3},d>} B×A={<1,a>,<2,a>,<3,a>,<1,b>,<2,b>,<3,b>}
(3) 结合律(associativity)
A (B C) (A B) C
(4) 吸收律(absorption laws)
A (A B) A
A (A B) A
(5) 分配律(distributivity)
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
设X , Y是两个集合, R X Y,则称R是从X到Y的 一个二元关系,简称为 一个关系。若( x, y ) R,则 称x与y具有关系R, 记xRy。特别地,X Y时,R称为 X上的关系。
注1.关系就是集合, 即R P( X Y ); 注2.从X到Y的关系与从Y到X关系不同。 例
类似可得:
(ii ) x X , AB ( x) A ( x) B ( x)
取小运算, 如 2∧ 3 = 2
(iii) x X , Ac ( x) 1 A ( x)
(iv) A B x X , A ( x) B ( x)
证:
X {2, 3},Y {1, 2, 3,4}, 从X到Y的小于关系为: R1 {( x, y ) | x y, x X , y Y } {(2,3), (3,4), (2,4)}
从Y到X的小于关系为: R2 {( y, x) | y x, x X , y Y } {(1,2), (1,3), (2,3)}
n阶笛卡儿积 将两个集合的笛卡儿积推广到n个集合
A1 A2 K An {( x1 , x2 ,K , xn ) | xi Ai }
称为 A1 , A2 ,L , An的卡氏积 例1
Ai P( X i )
(i 1, 2, K , n)
设A {a, b}, B {1,2,3}
则A B {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}
B A {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)}
例2 R表示实数集,
则R R即为实平面, R R L R 14444 42 44444 3为n维欧氏空间
并:R1 R2 {( x, y) | ( x, y) R1或( x, y) R2 }
交:R1 R2 {( x, y) | ( x, y) R1且( x, y) R2 }
余:Rc {( x, y) | ( x, y) R}
逆:R1 {( y, x) | ( x, y) R} P(Y X )
第一章 模糊理论的数学基础
普通集合与普通关系
模糊理论的数学基础
普通集合与普通关系
一、集合
集合的有关概念 集合的运算 集合运算的性质 映射 集合的特征函数
二、关系
直积 关系的概念 关系的运算 特征关系 等价关系与划分
一、集合
1. 集合的有关概念
论域:讨论范围U称为论域(universe )或全集
若(x , y )R,则称 x 与 y 有关系,记为 R (x , y ) = 1; 若(x , y )R,则称 x 与 y 没有关系,记为 R (x , y ) = 0. 映射 R : X Y {0,1} 实际上是 X Y 的子集R上的特征函数.
3. 关系的运算
设R, R1 , R2 P( X Y ), 定义:
注:关系的矩阵表示法
设X = {x1, x2, … , xm},Y={ y1, y2, … , yn}, R为从 X 到 Y 的二元关系,记 rij =R(xi , yj ),R = (rij)m×n,
则R为布尔矩阵(Boole),称为R的关系矩阵.
布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.
关系合成的矩阵表示法
设 X = {x1, x2, … , xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys}, Z = {z1, z2, … , zn},且X 到Y 的关系 R1 = (aik)m×s, Y 到 Z 的关系 R2 = (bkj)s×n, 则X 到Z 的关系可表示为矩阵的合成: R1 ° R2 = (cij)m×n, 其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}.
在上例中,从X 到Y的小于关系为R1 , 则:
1 (R1) {(3, 2), (4, 3), (4, 2)}为从Y 到X 的大于关系
合成:设R1 P( X Y ), R2 P(Y Z ), 则R1与R2的合成 R1 R2 P( X Z )定义为:
R1 R2 {( x, z ) | y Y , ( x, y ) R1且( y, z ) R2}
注:有穷集、无穷集
定义: 设A为集合,若存在自然数n(0也是自然数), 使得|A|=card A=n,则称A为有穷集,否则称A 为无穷集。 例如,{a,b,c}是有穷集,而N,Z,Q,R都是无穷 集
5. 映射
设 X , Y 都是集合,若存在对应关系f, 使 x X, 都有唯一的 y Y 与之相对应,则称f 是映X入Y 的映射。 记号: f : X Y x a y f (x)
读作f映X入Y(映入),y称为x在影射f下的像,x称为原像。
例1:设A {1,2,3}, B {a, b, c}, 定义对应法则:
f1 :1 a a, 2 a b, 3 a c f 2 :1 a a, 2 a a, 3 a a
则f1, f 2均为从A到B的映射。
特殊映射:双射(bijection): 单射 满射 注1. 单射或满射的概念与集合有关. 例如:
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