数学百炼- 恒成立问题——参变分离法
导数基础部参变分离变更主元
导数基础部 分离变量：例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”， 已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.
解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” ， 则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0)0302(3)09330g m g m <-??<--=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2()30g x x mx =--< 恒成立 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 22(2)023011(2)0230F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 2b a ∴-=
其他分离方法
《化工原理》任课教师：杨雪峰Prof. Dr. Yang Xuefeng Principles of Chemical Engineering
第十四章 其他传质分离方法
结晶( Crystallization ) 结晶是从蒸气、溶液或熔融物中析出晶体的过程。 由于晶体与气体、液体以及非晶体固体不同，所以晶体有其自身的共同规律和基本特性。 结晶操作的分类 溶液结晶、熔融结晶、升华结晶、反应沉淀及盐析等类型。结晶操作的特点 (1)能从杂质含量较多的溶液中获得高纯度的固体产品； (2)与蒸馏等单元操作相比，结晶操作过程的能耗较低（一 般来讲，结晶热仅为汽化热的1/3~1/7）； (3)结晶操作可用于高熔点混合物、共沸物以及热敏性物质 等难分离物系的分离。
基本概念和操作原理 溶液结晶过程是涉及溶质由液相转入固相的相际传质过程，而且由于影响晶体成长的因素较多，使问题变得更为复杂。晶核的生成（Nucleation ） 晶核的生成机理主要有三种：初级均相成核、初级非均相成核和二次成核。 晶体的成长（Crystal growth） 晶体的成长机理可分为两步： (1)溶质由溶液主体向晶体表面的扩散过程，其推动力为溶 液主体与晶体表面溶质的浓度差； (2)溶质在晶体表面以某种方式嵌入空间晶格而组成有规则 的结构，并放出结晶热。该过程也称为表面反应过程。
结晶只可能在过饱和溶 液中发生。 饱和溶液： 溶质与溶液共存并处于相平衡状态。其浓度即是该温度下固体溶质在溶剂中的溶解度(平衡浓度)。不饱和溶液： 浓度<饱和浓度的溶液。过饱和溶液： 浓度>饱和浓度的溶液。
分离参数法求解高考压轴题
分离参数法解高考压轴题 一 洛必达法则介绍 如果当0x x →(或∞→x )时，两个函数)(x f 与)(x g 都趋于零或都趋于无穷大，那么 极限)()(lim x g x f x x →或) () (lim x g x f x ∞→可能存在、也可能不存在，通常把这种极限叫做不定式，并分 别简记为 00或∞ ∞． 1．（洛必达法则1） 型不定式 设函数)(x f 与)(x g 满足条件 （1）0)(lim )(lim 0 ==→→x g x f x x x x （2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ； （3） A x g x f x x =''→) ()(lim （或为无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)() (lim )()(lim 00（或为无穷大）． 把0x x →换为∞→x 时，结论也成立． 2（洛必达法则2） ∞ ∞ 型不定式 设函数)(x f 与)(x g 满足条件 （1）∞=∞=→→)(lim ,)(lim 0 x g x f x x x x （2）)(x f 与)(x g 在点0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)(≠'x g ； （3）A x g x f x x =''→) ()(lim （或无穷大）．则A x g x f x g x f x x x x =''=→→)() (lim )()(lim 00（或为无穷大） 把0x x →换为∞→x 时，结论也成立．，结论也成立．
二 典型例题: （2006全国二）设函数)1ln()1()(++=x x x f ，若对所有的0≥x ，都有ax x f ≥)(成立，求实数a 的取值范围． 解：分离变量法 ①若0=x ，则R a ∈. ②若0>x ，则只需x x x a )1ln()1(++≤ ，则m in ]) 1ln()1([x x x a ++≤。 令x x x x g )1ln()1()(++=，2 ) 1ln()(x x x x g +-=' 令)1ln()(+-=x x x h ，则01 )(>+='x x x h ，故)(x h 为增函数，0)0()(=>h x h ， 从而0)(>'x g ，)(x g 为增函数，)0(g a ≤，)0(g 不存在，只能求极限， 由洛比达法则得，1))1ln(1(lim ])1ln(1[(lim )1ln()1(lim 000 =++=' ' ++=+++++ →→→x x x x x x x x x x ），故1≤a . 解法二： 令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ， 对函数g (x )求导数：g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1－a 令g ′(x )＝0，解得x ＝e a － 1－1， ……5分 (i )当a ≤1时，对所有x ＞0，g ′(x )＞0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增函数， 又g (0)＝0，所以对x ≥0，都有g (x )≥g (0)， 即当a ≤1时，对于所有x ≥0，都有 f (x )≥ax ． ……9分 (ii )当a ＞1时，对于0＜x ＜e a －1－1，g ′(x )＜0，所以g (x )在(0，e a － 1－1)是减函数， 又g (0)＝0，所以对0＜x ＜e a － 1－1，都有g (x )＜g (0)， 即当a ＞1时，不是对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立． 综上，a 的取值范围是（－∞，1]． ……12分 解法三：令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)－ax ， 于是不等式f (x )≥ax 成立即为g (x )≥g (0)成立． ……3分 对函数g (x )求导数：g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1－a 令g ′(x )＝0，解得x ＝e a － 1－1， ……6分 当x ＞ e a － 1－1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数， 当－1＜x ＜e a － 1－1，g ′(x )＜0，g (x )为减函数， ……9分 所以要对所有x ≥0都有g (x )≥g (0)充要条件为e a － 1－1≤0． 由此得a ≤1，即a 的取值范围是（－∞，1]． ……12分 （2007全国一）设函数x x e e x f --=)(． （Ⅰ）证明：)(x f 的导数2)(≥'x f ； （Ⅱ）若对所有0≥x 都有ax x f ≥)(，求a 的取值范围． 解一（Ⅰ）x x e e x f -+=')( 由于22=?≥+--x x x x e e e e ，故2)(≥'x f ，（当且仅当0=x 时，等号成立）．
22 恒成立问题-参变分离法
第22炼 恒成立问题——参变分离法 一、基础知识： 1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围 2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。 3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则： （1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。例如：()21log a x x -<，111ax x e x -+>-等 （2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目） 4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设x 为自变量，其范围设为D ，()f x 为函数；a 为参数，()g a 为其表达式） （1）若()f x 的值域为[],m M ①()(),x D g a f x ?∈≤，则只需要()()min g a f x m ≤= ()(),x D g x f x ?∈<，则只需要()()min g a f x m <= ②()(),x D g a f x ?∈≥，则只需要()()max =g a f x M ≥ ()(),x D g a f x ?∈>，则只需要()()max =g a f x M > ③()(),x D g a f x ?∈≤，则只需要()()max g a f x M ≤= ()(),x D g a f x ?∈<，则只需要()()max g a f x M <= ④()(),x D g a f x ?∈≥，则只需要()()min g a f x m ≥=
高考数学经典常考题型第22专题 恒成立问题——参变分离法
第22专题训练 恒成立问题——参变分离法 一、基础知识: 1、参变分离:顾名思义,就是在不等式中含有两个字母时(一个视为变量,另一个视为参数),可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧,即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围 2、如何确定变量与参数:一般情况下,那个字母的范围已知,就将其视为变量,构造关于它的函数,另一个字母(一般为所求)视为参数。 3、参变分离法的适用范围:判断恒成立问题是否可以采用参变分离法,可遵循以下两点原则: (1)已知不等式中两个字母是否便于进行分离,如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的,则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”,会出现无法分离的情形,此时要考虑其他方法。例如:()2 1log a x x -<, 111ax x e x -+>-等 (2)要看参变分离后,已知变量的函数解析式是否便于求出最值(或临界值),若解析式过于复杂而无法求出最值(或临界值),则也无法用参变分离法解决问题。(可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目) 4、参变分离后会出现的情况及处理方法:(假设x 为自变量,其范围设为D ,()f x 为函数；a 为参数,()g a 为其表达式) (1)若()f x 的值域为[],m M ①()(),x D g a f x ?∈≤,则只需要()()min g a f x m ≤= ()(),x D g x f x ?∈<,则只需要()()min g a f x m <= ②()(),x D g a f x ?∈≥,则只需要()()max =g a f x M ≥ ()(),x D g a f x ?∈>,则只需要()()max =g a f x M > ③()(),x D g a f x ?∈≤,则只需要()()max g a f x M ≤= ()(),x D g a f x ?∈<,则只需要()()max g a f x M <= ④()(),x D g a f x ?∈≥,则只需要()()min g a f x m ≥= ()(),x D g a f x ?∈>,则只需要()()min g a f x m >=
(分离常数法与分离参数法)
分离常数法与分离参数法 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d +=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ?+=?+，sin sin m x n y p x q ?+=?+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1.用分离常数法求分式函数的值域 例1 求函数31()(1)2 x f x x x +=≤-的值域. 解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322 x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<. 2.用分离常数法判断分式函数的单调性 例2 已知函数()()x a f x a b x b +=≠+，判断函数()f x 的单调性. 解 由已知有()1x b a b a b y x b x b ++--==+++，x b ≠-.所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数. 3.用分离常数法求分式函数的最值 例3 设1x >-，求函数2710()1 x x f x x ++=+的最小值. 解 ∵1x >-，∴10x +>.由已知有 2 [(1)1]7[(1)1]10()1x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51 x x =++++59≥=. 当且仅当411 x x += +，即1x =时，等号成立.∴当1x =时，()f x 取得最小值9. 分离参数法 分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题. 1.用分离参数法解决函数有零点问题 例4 已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围. 解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程2 40x ax -+=在[2,4]上有实根，即方程4a x x =+在[2,4]上有实根. 令4()f x x x =+ ，则a 的取值范围等于函数()f x 在[2,4]上的值域. 又224(2)(2)()10x x f x x x +-'=-=≥在[2,4]x ∈上恒成立，∴()f x 在[2,4]上是增函数. ∴(2)()(4)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤.∴45a ≤≤.
含参不等式分离变量法
含参不等式恒成立问题的求解策略 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、图像法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立? ???00a ; 2）0)(
高中参变分离和数列例题
老师，我看了昨天的录像，关于133)(2 3+++=x ax x x f ，当),2[+∞∈x 时，0)(≥x f 恒成立，求a 的范围. 这题有一种简单解法，不需要对)(x f 进行求导分析，这太复杂了。下面我给出一种简单的方法：由013323≥+++x ax x 在),2[+∞∈x 恒成立，则： 23313x x x a ---≥在),2[+∞∈x 恒成立，令=)(x g 2 3313x x x ---，由 03)2()1()(32' ≤-+-=x x x x g 在),2[+∞∈x 恒成立，故)(x g 在),2[+∞∈x 单调递减,45)2()(-=≤g x g 对任意的),2[+∞∈x 恒成立，从而4 5-≥a .
各项均为正数的数列}{n a ，b a a a ==21,且对满足q p n m +=+的正整数q p n m ,,,都有) 1)(1()1)(1(q p q p n m n m a a a a a a a a +++=+++. （1）当5 4,21==b a 时，求通项}{n a ； （2）证明：对任意a ，存在与a 有关的常数λ，使得对每一个正整数n ，都有 λλ≤≤n a 1. 设各项均为正数的数列}{n a 满足,21=a )(2231*++∈=N n a a a n n n （1）若4 12=a ，求43,a a ，并猜想2016a 的值（不需证明）； （2）记)(...21*∈=N n a a a b n n ，若22≥n b 对2≥n 恒成立，求2a 的值及数列}{n a 的通 项公式. 设m 个不全相等的正数m a a a ,...,,21)7(≥m 依次围成一个圆圈. （1）若
含参数的二次不等式恒成立问题(参变分离)解析
导数的分类讨论问题（含参数的二次不等式恒成立问题） 例１．定义在Ｒ上的连续()f x 为奇函数，且在[0,]+∞上时增函数，问是否存在这样的实数，使得 (cos 23)(42cos )(0)f f m m f θθ-+->对所有的实数R θ∈都成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明 理由。 解析：奇函数(0)0f =(cos 23)(42cos )0f f m m θθ∴-+-> (cos 23)(42cos )(2cos 4)f f m m f m m θθθ∴->--=-又奇函数是增函数 所以cos232cos 4m m θθ->-整理得2cos 2cos 2m m θθ->- 法一：（以m 为变量，参变分离，建议采用）2 cos 2(cos 2)m θθ->-因为cos 20θ-< 所以变形得22cos 2cos m θθ->-24cos 22cos θθ--=-2(2cos )2cos θθ=+--2 4[(2cos )]2cos θθ =--+- （≤4- cos 2θ= 4m >-法二：（以cos θ为变量，分类讨论）2 cos cos 220m m θθ-+->恒成立，令2()22f x x mx m =-+- 其中cos [1,1]x θ=∈-，由图像对称轴2m x = ，且(1)310(1)10 f m f m -=->??=->?即1m >，即1 22m >（要先代入-1和1求，否则分类讨论会麻烦）①211()0880222 m m f m m > >>?-+?≥2 综上，4m >- 例２．已知函数()y f x =在定义域[,1]-∞上是减函数，问：是否存在实数k ，使得不等式(sin )f k x -≥2 2 (sin )f k x -对于一切实数x 恒成立？ 解析：sin k x -≤22 sin k x -≤1，整理得22 22 sin sin sin 1 k x k x k x ?-≤-??-≤??恒成立 法一：（参变分离，推荐）即2222 sin sin 1sin k k x x k x ?-≥-??≤+??恒成立，其中对于一切实数x 都有14-≤2 sin sin x x -≤2，1≤2 1sin x +≤1k =-2，所以222211 k k k k k ?-≥?≥≤-? ?≤??或即1k =- 法二：（以sin x 为变量，分类讨论）22sin sin ()0x x k k ---≤，令22 ()()f x t t k k =---∴只需(1)0f -≤，即 22k k -≥即21k k ≥≤-或，又21k ≤∴1k =-
用“变量分离法”解几个含参问题
26上海中学数学2014年第4期 用“变量分离法"解几个含参问题 211700江苏省盱眙县实验中学姜登翠 211700江苏省盱眙中学李刚 l问题的提出 文[1]研究了几个有关函数不等式恒成立求参数值的范围问题，解决了“变量分离法”不易解决时的一般处理策略，笔者读后深受启发，并对文中涉及的三道例题作了进一步探究，在使用“变量分离法”之后，如果从高等数学角度来研究会更加方便． 7．如图10是一座建筑纪念物的底座(不能进入建筑物内)，工人师傅想测量一下在地面上形成的么A B C的度数，你能找到测量的办法吗? B 图10 (五)小结反思 本节课你有什么收获?还有什么疑惑? 设计意图：通过对所学知识进行回顾和梳理，学生提升了归纳总结能力． (六)作业布置 作业分为必做题和选做题．必做题是面向全体学生的题目，侧重于基础知识及其应用；选做题供学有余力的学生选做，侧重于拓展性和创新性．设计意图：布置习题分为必做题和选做题，为学生提供个性化发展的空间．通过动手做数学，学生开拓了思维空间，提高了自主探究能力，逐步养成反思总结的学习习惯． 三、思考与启示 (一)注重知识形成的“过程化” 通过创设合适的情境，学生经历了“具体一抽象一具体”的认知历程，感受到了知识的发生过程，体会了知识的形成过程，从中体悟了知识的“前世今生”，提高了学思维能力．本设计中，学生经历了对顶角的实际背景和形成过程，能够有效识别对顶角 文[1]的三道例题如下： 例1已知函数厂(z)一z2+2z+以l嗽，当￡≥1时，不等式厂(2f一1)≥2．厂(f)一3恒成立，求实数丑的取值范围． 例2设函数厂(z)一∥一1一z—nz2．(1)略； (2)若当．r≥o时，厂(．r)≥o，求n的取值范围． 例3已知函数厂(z)一z一1n(z+口)的最小值 的关键特征． (二)注重问题解决的“过程化” 学生经历了知识的发生发展过程后，需要进一步把新知识纳入自己的认知结构．本设计中，题组的有效创设为学生搭建了“观察一猜想一说理”的平台，这一过程深化了学生解决问题的过程．文字语言、图形语言、符号语言的相互转化渗透于问题解决中，加深了学生对对顶角的概念及其性质的理解．假以时日，学生的问题解决能力一定能够从“简单模仿”的初级阶段逐步飞跃到“图式应用”的高级阶段． (三)注重总结反思的“过程化” 一节课下来，学生的收获各有不同，但是优秀的教学设计下课程的目标达成应比较接近“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上有不同的发展”．探究发现数学理论(定义、性质、法则、定理等)的过程也是不断反思、不断提出问题的过程，这种反思应该始终伴随着教学活动的进行而开展．这样的教学设计帮助学生将反思孕于教学的始终，而不是课堂小结环节的五分钟．刘素梅老师在其编写的《教师反思与写作手册》中写道：“思之则活，思活则深，思深则透，思透则新，思新则进．”因此，应把总结反思贯穿于整个课堂的学习过程，使数学学习过程成为学生在已有经验基础上的主动建构过程，做到生本课堂，从而大幅度地提升教学效能． 参考文献 [1]胡瑁。初中数学教学中创设问题情境的策略研究[J]。上 海中学数学，2013，4． [2]姜晓翔．“问题串”引领下的“导学式生本课堂”——由一 堂“平行四边形性质与判定”复习课说起[J]．上海中学 学，2012，12．
分离常数法和分离参数法的应用
分离常数法与分离参数法的应用 娄底二中 康惠如 一）:分离常数法: 是研究分式函数的一种代数变形的常用方法：主要的分式函数有 22s i n ;;;s i n x x a x b a x b x c m a n m x n y y y y p a q c x d p x q m x n x p +++++====+++++等。 解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数. 1）用分离常数法求分式函数的值域 例1：求函数31 ()2 x f x x += -(1)x ≤的值域 解：由已知有()()3221 327 7 ()3.2 2 2 x x f x x x x ??? ? -++-+= = =+ ---。由1x ≤，得 21x -≤-。 所以1 102 x -≤ <-。故函数f(x)的值域为{}:43y x -≤<. 2)用分离常数法判断分式函数的单调性 例2：已知函数f(x)= (),x a a b x b +≠+,判断函数f(x)的单调性。 解：由已知有f(x) = ()1,x b a b a b x b x b x b ++--=+≠++.所以，当0a b ->时，函数f(x)在 (,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当a-b<0时，函数f(x)在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函 数。 3)用分离常数法求分式函数的最值 例3：设x>-1,求函数f(x)= 2 710 1 x x x +++的最小值。 解：因为x>-1,所以x+1>0.f(x)= ()()2 1171110 1 x x x +-++-+????????+ () ()2 15141 x x x ++++= +4(1)51 x x =++ ++4(1)51 x x =++ ++当且仅当, 411 x x +=+，即 x=1时，等号成立。所以当x=1时，f(x)取得最小值9. 二：分离参数法 分离参数法是求参数的最值范围的一种方法。通过分离参数，用函数的观点讨论主变元的变
函数零点问题研究(参变量分离)
函数的零点问题(小题)研究 函数与方程是高考中的热点问题，在小题的考查中尤为常见.因为小题考查中用到函数的相关图象，严格的来说，存在些许严谨的情况，比如说函数图象的渐近线问题，由于没有学习极限的思想，很难严谨的表述出来，如果放在大题中考查，要规范的叙述清楚，难度很大，而小题就没有这方面的困扰，本专题主要研究的是小题中的零点问题，大题中零点问题再后面的专题会介绍.而涉及到小题中的零点问题(非复合函数零点)的常见解法有：直接求解函数的零点、参变量分离、数形几何等，当然在实际解题过程中要根据题目条件选择合适的解题方法，不是一件易事，需要经过一定量的训练才行达成见题思解法的程度. 【典型例题】 例题1 （天一中学2020届高三上学期十二月份调研考试13★★★★）已知函数 32ln ,0(),0e x x f x x x x >?=?+?≤，若函数2()()g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的取值范围 是 ． 解 显然0x =是函数()g x 的零点，即()g x 还有2个非零的零点.当0x ≠，令(=0g x ） 得2 2ln ,01,0e x x x a x x x ?>??=??+，而3 2(12ln ) ()e x h x x -'= ，令()0h x '>，得 0x <<，令()0h x '< 得x > 所以()h x 在上单调增， 在)+∞上单调减；记1 (),0m x x x x =+<易知 ()m x 在(,1)-∞-上单调增，在(1,0)-上单调减，在同一坐标系中做出函数(),0y h x x =>和 (),0y m x x =<的示意图， 移动直线y =a 与两支函数图象的交点总个数即为函数g (x )的非零零点个数，故a 的取值范围为(0,1){2}-U 例题2（2020届江苏高考南通学科基地数学密卷13★★★★）设0,1a a >≠，函数 (),0x a f x a x x =->，若函数()f x 存在唯一零点，则a 的取值范围是 . 解 令()0f x =得x a a x =，由0,1,0,a a x >≠>两边取以e 为底的对数，得ln ln x a a x =，即 ln ln a x a x = .做出函数ln x y x =的函数图象，如图，直线ln a y a =与曲线的交点个数即为函数()f x 的零点个数，所以 ln 0a a <或ln 1a a e =，由ln x y x = 函数性质解得01a a e <<=或。
2020高考数学100个必考知识点详解22 恒成立问题——参变分离法
第22 恒成立问题——参变分离法 一、基础知识： 1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围 2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。 3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则： （1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。例如：()2 1log a x x -<， 111ax x e x -+>-等 （2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目） 4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设x 为自变量，其范围设为D ，()f x 为函数； a 为参数，()g a 为其表达式） （1）若()f x 的值域为[],m M ①()(),x D g a f x ?∈≤，则只需要()()min g a f x m ≤= ()(),x D g x f x ?∈<，则只需要()()min g a f x m <= ②()(),x D g a f x ?∈≥，则只需要()()max =g a f x M ≥ ()(),x D g a f x ?∈>，则只需要()()max =g a f x M > ③()(),x D g a f x ?∈≤，则只需要()()max g a f x M ≤= ()(),x D g a f x ?∈<，则只需要()()max g a f x M <=
(分离参数法4班讲义(教师用)
分离参数法解决函数中参数问题（4班训练）耿.10.8 函数中带参数的问题，解决的主流方法有两类：一为分类讨论法，包括简单分类讨论以及转化，化规后的分类讨论，其思维跳跃性较强，学生普遍反映较难掌握。二为分离参数法。两者比较，分离参数法逻辑明晰，步骤简洁，只是运算量较大，有些题目还要用到洛比达法则。同学们先熟透直接分离求参数范围的方法！以后我们慢慢学习常规分类讨论法！ 下面的题目大家认真练习，体会在何种情况下参数分离具有优势？ 例1[2014·新课标全国卷Ⅱ] 若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞- B ．(,1]-∞- C ．[2,)+∞ D ．[1,)+∞ 例2[2014·辽宁卷] 当[2,1]x ∈-时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[5,3]-- B.96,8??--???? C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 例32()x 3,x (0,)f x x =-∈+∞当时，不等式()1f x ax ≥-恒成立，求实数a 的取值范围。 例4 已知2()ax ln f x x x =-+-，若()f x 在(0,)+∞单调递增，求实数a 的取值范围。 例5 已知22()alnx f x x x =++ 在[1,4]是减函数，求实数a 的取值范围。
例7已知函数()ln f x x x =，若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围。 例8 若存在正数x 使2(x a)1x -<成立，则a 的取值范围是. 例9: 函数()ln 1f x x ax =-+在1,e e 轾犏犏臌 内有零点．求实数a 的取值范围． 例10. 已知2 ()ln ,() 3.f x x x g x x ax ==-+- （1）求函数f(x)的最小值； （2）对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围； 评析：本题第二问用分离参数法，显然步骤简洁，运算量也不大，省时省力！应该是最优做题方法！
分离参数法在恒成立问题中的应用
分离参数法在恒成立问题中的应用 孟建军 分离参数法就是把变元和参数通过等价变形分别写在等式或者不等式的两侧，进而只需研究不含参数的一个函数就可以解决问题，因为这样避免了令人头疼的分类讨论，所以这种方法十分受欢迎，今天，我们就简单介绍一下这种方法的使用。 例：不等式2210ax x -+>在[1,2]x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围. 讨论的解法会设函数2()21f x ax x =-+，进而求解函数在[1,2]x ∈时的最小值或值域，再利用其最小值大于零来求解参数取值范围。但是由于本题的函数是否二次、是二次时的开口方向、对称轴位置都需要讨论，因此讨论的解法会十分麻烦。 不过我们用分离的办法处理，就显得十分简单。 【解析】因为[1,2]x ∈，故不等式可化为222212121x ax x a x x x ->-?>=-，故此只需a 大于右侧函数在[1,2]x ∈时的最大值即可，即成功转化成为一个不含参数的函数的值域问题。我们设1t x =，则由[1,2]x ∈可知1[,1]2t ∈，设212([,1])2u t t t =-∈，容易解得3 [,1]4 u ∈，故当1a >时不等式2210ax x -+>在[1,2]x ∈时恒成立。 从上面的例子可以看到，分离参数法避免了讨论，的确拥有强大的优势。但分离是否都这么简单就能处理问题呢？当然不是，请看下面的例子。 变式1：不等式2210ax x -+>在[0,2]x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围. 细心的同学能发现变式和例题相比，只有x 的范围发生了变化，但在这个小小的变化下，我们是不是还能象刚才一样直接变形呢？答案是否定的，因为如果0x =的话，根本不能把2x 除到右侧去。所以，我们还是要适当的加入讨论。 【解析】当0x =时，不等式化为10>，显然对任意实数a 都能成立。（这代表着0x =不需对实数a 进行限制，那么我们就只需让(0,2]x ∈不等式恒成立即可。） 当(0,2]x ∈时，不等式仍可化为222212121x ax x a x x x ->-?> =-，故此只需a 大于右侧函数在(0,2]x ∈时的最大值即可，我们继续设1t x =，则由(0,2]x ∈可知1[,)2t ∈+∞，设212([,))2u t t t =-∈+∞，容易解得(,1]u ∈-∞，最大值与上题相比没有变换，故当1a >时不等式2210ax x -+>在(0,2]x ∈时恒成立。 “综上”时，我们注意0x =时没有限制，所以只需考虑(0,2]x ∈不等式恒成立即可，因此