函数恒成立问题——参变分离法

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函数恒成立问题——参变分离法

在单调递减，在单调递增
，恒成立
即只需
当时，令
则，与矛盾
当时，解得
在单调递增，在单调递减
综上所述：
注意：（1）在例6，例7中对于多变量恒成立不等式，都是以其中一个函数作为突破口求得最值，进而消元变成而二元不等式，再用处理恒成立的解决方法解决。
（2）在本题处理恒成立的过程中，对令这个反例，是通过以下两点确定的：① 时估计函数值的变化，可发现当时，（平方比一次函数增长的快） ②在选取特殊值时，因为发现时，已然为正数，所以只需前面两项相消即可，所以解方程，刚好符合反例的要求。
，则只需要
④ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理
（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。
2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。
3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：
（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。例如：，等
例5：若不等式对恒成立，则实数的取值范围是．
思路：，令，对绝对值内部进行符号讨论，即，而在单调递增，在单调递减，可求出

微专题：恒成立问题

t 12
则 x2 2 = 2x 1
4 t
2
t2
2t 4t
9
1 4
t
9 t
2
1
（2） 2x 1 0 x 1 ，不等式对任意的 m 均成立 2
（3）
2x
1
0
x
1 2
，
m
x2 2x
2 1
max
(注意不等号变号！！）
t 12
令 t 2x 1, 1 t 0 ,则 x2 2 = 2x 1
为自变量构造函数。
（2）线段的图像特征：若两个端点均在坐标轴的一侧，则线段上的点与端点同侧。
（3）对点评（2）的推广：已知一个函数连续且单调，若两个端点在坐标轴的一侧，则曲线上所有点均与
端点同侧
三、最值分析法
例 1：设 f x x2 2mx 2 ，当 x 1, 时， f x m 恒成立，求 m 的取值范围
而 f (x) 是一个开口向上且恒过定点（0，1）的二次函数，要使对任一实数 x ，
1
g(x) 0
0
x
y
f (x) 8x 1
图1
f (x)
1
0
x
g(x) mx
图2 f x
y
f x 与 g x 的值至少有一个为正数则只需 f (x) 0 在 (, 0] 上恒成立。(如图 3) 1
则有
4 m
y ax2 x 开口向下，且 f x a 为 f x 向右平移 a 个单位，观
察可得只需 x
1,x 2
1 2
，
f
xa
f
x ，即可保证
x
1 2
,
1 2
，
f
x

高中数学讲义微专题22 恒成立问题——参变分离法

③ x D, g a f x ，则只需要 g a f x M max x D, g a f x ，则只需要 g a f x M max
④ x D, g a f x ，则只需要 g a f x m min x D, g a f x ，则只需要 g a f x m min
的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。
3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：
（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，
则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情
形，此时要考虑其他方法。例如：
k 1
，所以
kf k
x2
1
g
x1 max
，先求出
g x 的最大值， g' x e2 1 x ex ，可得 g x 在 0,1 单调递增，在 1, 单调递减。
故
gx max
g 1
e ，所以若原不等式恒成立，只需
kf x2
k 1
e ，不等式中只含 k, x1 ，可
以考虑再进行一
1
3 4x
1
3x
3 4x
2
2a 2 a 1 综上所述： 1 a 1
答案： 1 a 1
小炼有话说：（1）不等式含有绝对值时，可对绝对值内部的符号进行分类讨论，进而去掉绝
对值，在本题中对 x 进行符号讨论一举两得：一是去掉了绝对值，二是参变分离时确定不等号
的是否变号。
（2）在求 x 解析式最值时根据式子特点巧妙使用均值不等式，替代了原有的构造函数求导出
g ' ( x) 1 ln x 3x2 （导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将 ln x 变为 1 ，所以二阶导 x

高中数学恒成立汇总方法-教师版

恒成立问题——参变分离法一、基础知识：1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。

然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。

3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。

但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。

例如：()21log a x x -<，111axx e x-+>-等（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。

（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）4、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。

则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。

（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。

例1：已知函数()x x f x e ae -=-，若'()f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______思路：首先转化不等式，'()x xf x e ae -=+，即x xa e e +≥a 与xe便于分离，考虑利用参变分离法，使,a x 分居不等式两侧，()2x x a e ≥-+，若不等式恒成立，只需()()2maxx xa e≥-+，令()()(223x xxg x ee =-+=-+（解析式可看做关于x e 的二次函数，故配方求最值）()max 3g x =，所以3a ≥ 答案：3a ≥例2：已知函数()ln a f x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是_________思路：恒成立的不等式为2ln ax x x-<，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法解：233ln ln ln ax x x x a x a x x x x-<⇔-<⇔>-，其中()1,x ∈+∞ ∴只需要()3maxln a x x x >-，令()3ln g x x x x =-'2()1ln 3g x x x =+- （导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将ln x 变为1x，所以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定()'gx 的符号，不妨先验边界值）()'12g =-，()2''11660x g x x x x-=-=<，（判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简化判断的过程） ()'gx ∴在()1,+∞单调递减，()()''10()g x g g x ∴<<⇒在()1,+∞单调递减()()11g x g ∴<=- 1a ∴≥- 答案：1a ≥-小炼有话说：求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号。

含参数的二次不等式恒成立问题(参变分离)解析

导数的分类讨论问题（含参数的二次不等式恒成立问题）例１．定义在Ｒ上的连续()f x 为奇函数，且在[0,]+∞上时增函数，问是否存在这样的实数，使得(cos 23)(42cos )(0)f f m m f θθ-+->对所有的实数R θ∈都成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

解析：奇函数(0)0f =(cos 23)(42cos )0f f m m θθ∴-+->(cos 23)(42cos )(2cos 4)f f m m f m m θθθ∴->--=-又奇函数是增函数所以cos232cos 4m m θθ->-整理得2cos 2cos 2m m θθ->-法一：（以m 为变量，参变分离，建议采用）2cos 2(cos 2)m θθ->-因为cos 20θ-<所以变形得22cos 2cos m θθ->-24cos 22cos θθ--=-2(2cos )2cos θθ=+--24[(2cos )]2cos θθ=--+-（≤4-cos 2θ=4m >-法二：（以cos θ为变量，分类讨论）2coscos 220m m θθ-+->恒成立，令2()22f x x mx m =-+-其中cos [1,1]x θ=∈-，由图像对称轴2m x =，且(1)310(1)10f m f m -=->⎧⎨=->⎩即1m >，即122m >（要先代入-1和1求，否则分类讨论会麻烦）①211()0880222m mf m m >>>⇒-+<⇒当时，44m -<<+12m <<，因为142<-<，所以42m -<<②当2m≥1时，(1)10f m m =->⇒≥2综上，4m >-例２．已知函数()y f x =在定义域[,1]-∞上是减函数，问：是否存在实数k ，使得不等式(sin )f k x -≥22(sin )f k x -对于一切实数x 恒成立？解析：sin k x -≤22sin k x -≤1，整理得2222sin sin sin 1k x k xk x ⎧-≤-⎪⎨-≤⎪⎩恒成立法一：（参变分离，推荐）即2222sin sin 1sin k k x x k x⎧-≥-⎪⎨≤+⎪⎩恒成立，其中对于一切实数x 都有14-≤2sin sin x x -≤2，1≤21sin x +≤1k =-2，所以222211k k k k k ⎧-≥⇒≥≤-⎪⎨≤⎪⎩或即1k =-法二：（以sin x 为变量，分类讨论）22sin sin ()0x x k k ---≤，令22()()f x t t k k =---∴只需(1)0f -≤，即22k k -≥即21k k ≥≤-或，又21k ≤∴1k =-法三：（分类讨论不好不推荐）即(sin )(sin 1)011k x k x k -+-≥⎧⎨-≤≤⎩①，由①1sin [1,1]k x =∈-，21sin [0,2]k x =-∈所以21k k ≥≤-或，所以1k =-例３．是否存在m 使得不等式221(1)x m x ->-对满足||x ≤２的一切实数x 都成立？解析：法一：（m 为参数分类讨论，推荐）2210mx x m -+-<（0m =时显然不成立），对称轴1x m=且(2)350(2)330f m f m -=+<⎧⎨=-<⎩即53m <-即13(,0)5m ∈-（先代入特殊值※）显然1[2,2]x m =∈-，抛物线开口向下，所以只需最大值1()0f m <即可，即11m m +>，显然，10m m+<所以m 无解法二：（参变分离，分类讨论，非常麻烦强烈不推荐；特殊值法，简单易行强烈推荐，但仅限此题，局限性强）当1x =时，对于任意m 都有210x ->，令1[2,2]x =-∈-，左边=3-，右边=0显然不成立，所以m 无解例４．m 在什么范围内，函数22(sin )21y m m m θ=--+--(0≤θ≤)2π的最大值为负值。

破解恒成立,参变要分离

为函数；
为参数，
为其表达式）
（1）若
的值域为
①
，则只需要
，则只需要
②
，则只需要
，则只需要
③
，则只需要
，则只需要
④
，则只需要
，则只需要
-1-
（2）若
的值域为
①
，则只需要
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
②
，则只需要
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
③
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
（2）本题在求
的最大值时，还可以从表达式分子分母齐次的特点入手，同时除以
（或）：
，在通过换元
转化为一元表达式，再求最值即可。
例 9：已知函数取值范围. 思路：恒成立不等式为
，如果当
时，不等式
恒成立，求实数的
,只需不等号两侧同时乘以即可进行参变分离，且
由于
,
，也不存在不等号变号问题。则可得：
,只需
（2）在本题处理
恒成立的过程中，对令
这个反例，是通过以下两点确定
的：①
时估计
函数值的变化，可发现当
时，
（平方
比一次函数增长的快） ②在选取特殊值时，因为发现
时，已然为正数，所以只需前面
-6-
两项相消即可，所以解方程要求。例 8：若不等式
，刚好符合反例的对任意正数恒成立，则正数的最小值是（）
，则只需要
④
，则只需要
（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为 3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。二、典型例题：

含参数函数解题方法—参变分离法

含参数函数解题方法—参变分离法题型一：全分离【例1】函数2()ln f x x a x =-在[1,2]上为增函数，求a 的取值范围．【解析】函数2()ln f x x a x =-在[1,2]上为增函数，则()20af x x x'=-≥在[1,2]上恒成立，（问题转化）因为2()2022a af x x x a x x x'=-≥⇒≥⇒≤，（分离变量，把x 与a 放在式子的两边，一边只含有一个字母，叫做全分离）所以2min (2)a x ≤（这里把a 看成不变的量，不变的量小于变化的量，就小于变化量的最小值）当x ∈[1,2]时，2min (2)x =2，所以2a ≤．【例2】已知函数()ln f x ax x =-，若f (x )＞1在区间[1,)+∞内恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】因为1ln ()ln 11ln x f x ax x ax x a x +=->⇒>+⇒>，（分离变量）则有max 1ln x a x +⎛⎫> ⎪⎝⎭设1ln ()x g x x +=，x ∈[1,)+∞（由于1ln xx+的最值不能直接看出来，所以要构造函数来求，这种方法经常考查）由于2ln ()xg x x '=-，且1x >时，ln 0x >，20x >，所以x ∈[1,)+∞时，()0g x '<，所以1ln ()xg x x+=在[1,)+∞上单调递减，故max ()(1)1g x g ==，故1a >．【例3】若函数12()(0)()2ln (0)x x f x xx x a x ⎧+<⎪=⎨⎪->⎩恰有三个零点，则a 的取值范围为( D ) A ．1[,0]e- B ．1(0,)e）C ．1[0,]eD ． 1(,0)e-【解析】当0x <时，12()()2x f x x=+为减函数，且(1)0f -=，所以在(,0)-∞上()f x 只有一个根，所以只需有0x >时，()ln f x x x a =-有两个零点即可，由于()ln 0ln f x x x a a x x =-=⇒=，令()ln g x x x =，()h x a =，则问题转化为函数()g x 与()h x 的图象有两个交点．（()h x 的图像为平行于x 轴的一条直线，由于a 未定，所以可以上下平移，()g x 为非基本函数，故需要通过导函数来研究）()ln 1g x x '=+，令()0g x '=，则有1x =，在同一坐标系中作出函数()g x 与()h x 的简图如图所示，（在这里画的只是简图，只具备关键信息，并不是标准图像，标准图像只能通过画图软件来画）根据图可得10a e-<<，故选D ．【练习】已知函数()ln ()xxf x e x ae a R =-∈，若f (x )在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a 的取值范围．【解析】1()(ln )x f x a x e x'=-+（1）若f (x )为单调递减函数，则f ′(x )≤0，在x >0时恒成立．（问题转化1）即1x－a ＋ln x ≤0，在x >0时恒成立．（问题转化2）所以a ≥1x＋ln x ，在x >0时恒成立．（分离变量）（注意下面的解答格式）（2）若f (x )为单调递增函数，则f ′(x )≥0，在x >0时恒成立，即1x －a ＋ln x ≥0，在x >0时恒成立，所以a ≤1x ＋ln x ，在x >0时恒成立，由上述推理可知此时a ≤1．故实数a 的取值范围是(－∞，1]．题型二：半分离【例4】已知函数()()ln 224(0)f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数1x ，2x 使得()10f x >，且()20f x >，则a 的取值范围是（ C ）A ． ()ln3,2B ． [)2ln3,2-C ． (]0,2ln3- D ． ()0,2ln3-【解析】由题意可知， ()0f x >，即()()ln 2240,0x a x a a +--+>>，()()ln 224022ln 40x a x a ax a x x a +--+>⇒->-->，（这里如果把2x -除到右边，会面临两个问题，一是2x -不清楚正负要分类讨论，二是很显然，式子的结构会很复杂，到这里可以看出左边是一个一次函数，右边是一个简单的复合函数，所以我们就不进一步分离了，这种方式叫半分离变量．）设()()2ln 4,2g x x x h x ax a =--=-，由()121'2x g x x x -=-=，令可知()'0g x =，则12x =，所以，()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数，且1()ln 2302g =-<．（由于本题是关于整数的问题，所以对函数的关键点要做进一步计算(2)ln 20g =-<，(3)2ln30g =->，且有0x →时，()g x →+∞，x →+∞时，()g x →+∞）()2h x ax a =-的图象恒过点()2,0，在同一坐标系中作出()(),g x h x 的图象如下：若有且只有两个整数12,x x ，使得()10f x >，且()20f x >，（也就是说有且只有两个整数，使得()h x 的图像在()g x 的上方．）（因为x=2符合条件，下面就分两种情况：一是x=1符合，x=3不符合，由左图可知，矛盾；二是x=1不符合，x=3符合由左图可知成立）则()()()()01133a h g h g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即0223a a a ln >⎧⎪->-⎨⎪≤-⎩，解得02ln3a <≤-，故选C ．【例5】若对任意的[1,1]x ∈- 都有3310kx x -+≥成立，求实数k 的取值范围．【解析1】全分离3331031kx x kx x -+≥⇒≥-（这里很多同学会把3x 直接除到右边，为什么不能这样呢？是因为3x 的正负不确定，涉及到除过去要不要变号的问题，还有3x 可能等于0，此时就不能除了，所以要分类讨论）（1）当01x <≤时，3331310x kx x k x --+≥⇒≥；（x 正负不同，式子要变号，可以看到式子的形式是一样的，所以可以放在后面一起研究）（2）当0x =时，331010kx x -+≥⇒≥，成立；（3）当10x -≤<时，3331310x kx x k x --+≥⇒≤ 设331()(0)x f x x x -=≠（这里没有采用原来的区间范围，研究函数整体，再看部分） 43(21)()x f x x --'=，令()0f x '=，则12x =，所以，当12x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，当102x <<或0x <时，()0f x '>，()f x 单调递增．（这里的单调区间是两个，不能看成连续的，否则画图时就会出错．这里还有一个问题，在0x =附近函数的走向趋势问题）当0x >且0→时，()f x →-∞，当0x <且0→时，()f x →+∞，（这一步对学生来说难度不小，不采用一定的手段很难解释，可以告诉学生：当0x >且0→时，310()31()x f x x =→→--一直是正，所以()f x →-∞当0x <且0→时，，310()31()x f x x =→→--一直是负，所以()f x →+∞）当x →+∞时，()0f x →，当x →-∞时，()0f x →．（这一步可以告诉学生：当x →+∞时，33())1(x f x x =→+→+∞-∞速度比分子快，一直是正，所以()0f x →，反映在图像上是向右在x 轴上方，无限靠近x 轴当x →-∞时，33())1(x f x x =→-→-∞-∞速度比分子快，所以()0f x →，反映在图像上是向左在x 轴上方，无限靠近x 轴）又1()42f =，故可作出函数草图如下：所以，当01x <≤时，max331()4x k x -≥=，当10x -≤<时，min 331()4x k x -≤=，综上，4k =．【解析2】半分离（1）当0k =时，显然不成立；（2）当0k ≠时，333131031(31)kx x kx x x x k-+≥⇒≥-⇒≥-（左边3x 是一个三次函数，右边31x -是一个一次函数（前面一个可变的系数可以让直线绕着1(,0)3旋转），图像大家都可以搞定）设31(),()(31)f x x g x x k==-，在同一个坐标系内画出图像如下，考察[1,1]x ∈-时，()f x 的图像（红色）要在()g x （黑色）的上方：由图像可以看出，()f x 与()g x 在第一象限相切时，4k =，1()(31)4g x x =-，（为保证红线要在黑线的上方，()g x 应该顺时针旋转），此时，第三象限，()g x 恰好过（-1，-1）点，为与()f x 的公共点．（为保证红线要在黑线的上方，()g x 应该逆时针旋转，最好只能不旋转了）综上，4k =．说明：在3331031kx x kx x -+≥⇒≥-这一步，如果左边保留3x ，右边是31x -，也可以处理，一般直线的变化较为简单，所以大部分我们选择把参数留在一次函数这边．。

22 恒成立问题-参变分离法

第22炼恒成立问题——参变分离法一、基础知识：1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。

但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。

例如：()21log a x x -<，111ax x e x-+>-等（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。

（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设x 为自变量，其范围设为D ，()f x 为函数；a 为参数，()g a 为其表达式）（1）若()f x 的值域为[],m M①()(),x D g a f x ∀∈≤，则只需要()()min g a f x m ≤=()(),x D g x f x ∀∈<，则只需要()()min g a f x m <=②()(),x D g a f x ∀∈≥，则只需要()()max =g a f x M ≥()(),x D g a f x ∀∈>，则只需要()()max =g a f x M >③()(),x D g a f x ∃∈≤，则只需要()()max g a f x M ≤=()(),x D g a f x ∃∈<，则只需要()()max g a f x M <=④()(),x D g a f x ∃∈≥，则只需要()()min g a f x m ≥=()(),x D g a f x ∃∈>，则只需要()()min g a f x m >=（2）若()f x 的值域为(),m M① ()(),x D g a f x ∀∈≤，则只需要()g a m ≤()(),x D g a f x ∀∈<，则只需要()g a m ≤（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ()(),x D g a f x ∀∈≥，则只需要()g a M ≥()(),x D g a f x ∀∈>，则只需要()g a M ≥（注意与（1）中对应情况进行对比） ③ ()(),x D g a f x ∃∈≤，则只需要()g a M <（注意与（1）中对应情况进行对比） ()(),x D g a f x ∃∈<，则只需要()g a M <④ ()(),x D g a f x ∃∈≥，则只需要()g a m >（注意与（1）中对应情况进行对比） ()(),x D g a f x ∃∈>，则只需要()g a m >5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。

专题16 破解恒成立问题【原卷版】

专题16 破解恒成立问题【热点聚焦】从高考命题看，方程有解问题、无解问题以及不等式的恒成立问题，也是高考命题的热点.而此类问题的处理方法较为灵活，用导数解决不等式“恒成立”“存在性”问题的常用方法是分离参数，或构造新函数分类讨论，将不等式问题转化为函数的最值问题.也可以结合题目的条件、结论，采用数形结合法等.【重点知识回眸】（一）参变参数法1.参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2.一般地，若a ＞f (x )对x ∈D 恒成立，则只需a ＞f (x )max ；若a ＜f (x )对x ∈D 恒成立，则只需a ＜f (x )min .若存在x 0∈D ，使a ＞f (x 0)成立，则只需a ＞f (x )min ；若存在x 0∈D ，使a ＜f (x 0)成立，则只需a ＜f (x 0)max .由此构造不等式，求解参数的取值范围.3.参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：，等（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题.（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）（二）构造函数分类讨论法有两种常见情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数.1.构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参2.参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论（三）数形结合法1.函数的不等关系与图象特征：()21log a x x -<111ax x e x-+>-（1）若，均有的图象始终在的下方（2）若，均有的图象始终在的上方2.在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数3.作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）.作图要突出“信息点”.4.利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图（2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义（3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征【典型考题解析】热点一参变分离法解决不等式恒成立问题【典例1】（2019·天津·高考真题（理））已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为（）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e【典例2】（2020·全国·高考真题（理））已知函数2()e x f x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.【总结提升】利用分离参数法来确定不等式f (x ，λ)≥0(x ∈D ，λ为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，化为f 1(λ)≥f 2(x )或f 1(λ)≤f 2(x )的形式．(2)求f 2(x )在x ∈D 时的最大值或最小值．(3)解不等式f 1(λ)≥f 2(x )max 或f 1(λ)≤f 2(x )min ，得到λ的取值范围．热点二构造函数分类讨论法解决不等式恒成立问题【典例3】（2019·全国·高考真题（文））已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．【典例4】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()()ln 20f x a x x a =-≠.(1)讨论()f x 的单调性； x D ∀∈()()()f x g x f x <⇔()g x x D ∀∈()()()f x g x f x >⇔()g x(2)当0x >时，不等式()()22cos ea x x f x f x ⎡⎤-≥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围. 【规律方法】对于f (x )≥g (x )型的不等式恒成立问题，若无法分离参数，一般采用作差法构造函数h (x )＝f (x )－g (x )或h (x )＝g (x )－f (x )，进而只需满足h (x )min ≥0或h (x )max ≤0即可．热点三利用数形结合法解决不等式恒成立问题【典例5】（2013·全国·高考真题（文））已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-【典例6】（2015·全国·高考真题（理））设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【典例7】（2020·全国高二）若关于x 的不等式0x x e ax a ⋅-+<的解集为()m n ，(0n <)，且()m n ，中只有一个整数，则实数a 的取值范围是（）．A ．211[)e e ，B ．221[)32e e ，C ．212[)e e ，D ．221[)3e e，【精选精练】一、单选题1．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）对任意的(]12,1,3x x ∈，当12x x <时，1122ln 03x a x x x -->恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[)3,+∞B ．()3,+∞C ．[)9,+∞D ．()9,+∞2．（2021·青海·西宁市海湖中学高三开学考试（文））若函数()2ln f x x x =-，满足() f x a x ≥-恒成立，则a 的最大值为（）A ．3B ．4C ．3ln 2-D ．3ln 2+3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数12ln ,(e)ey a x x =-≤≤的图象上存在点M ，函数21y x =+的图象上存在点N ，且M ，N 关于x 轴对称，则a 的取值范围是（）A ．21e ,2⎡⎤--⎣⎦B ．213,e ∞⎡⎫--+⎪⎢⎣⎭C ．213,2e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦D ．2211e ,3e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦4．（2021·青海·大通回族土族自治县教学研究室高三开学考试（文））已知函数1()e 2x f x =，直线y kx =与函数()f x 的图象有两个交点，则实数k 的取值范围为（）A ．12⎛ ⎝B ．)+∞C ．(e,)+∞D ．1e,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 5．（2022·福建省福安市第一中学高三阶段练习）设函数()()()()1e e ,e 1x x f x x g x ax =--=--，其中R a ∈.若对[)20,x ∀∈+∞，都1R x ∃∈，使得不等式()()12f x g x ≤成立，则a 的最大值为（）A ．0B ．1eC ．1D ．e二、多选题6．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知定义在R 上函数()g x 满足：()()2g x g x =+，且()[)[)3,0,124,1,2x x x g x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩，设函数()()f x x g x =+，则下列正确的是（） A ．()f x 的单调递增区间为()()2,21,Z k k k +∈B ．()f x 在()2022,2024上的最大值为2025C ．()f x 有且只有2个零点D ．()f x x ≥恒成立.三、填空题7．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）函数2()2e x f x a bx =++，其中a ，b 为实数，且(0,1)a ∈.已知对任意24e b >，函数()f x 有两个不同零点，a 的取值范围为___________________. 8．（2023·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）若关于x 的不等式()()e e ln m x mx m x x mx x x +≤+-恒成立，则实数m 的最小值为________9．（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知不等式e ln x a a x x x +≥+对任意()1,x ∈+∞恒成立，则正实数a 的取值范围是___________.10．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数124e ,1()(2)2,1x ax a x f x x a x a x -⎧+->=⎨+--≤⎩，若关于x的不等式()0≤f x 的解集为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围是___________.四、解答题11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，()()e 1e x x f x a -=++．(1)若0是函数()2=-y f x 的零点，求a 的值；(2)若对任意,()0x ∈+∞，不等式()1f x a ≥+恒成立，求a 的取值范围．12．（2021·河南·高三开学考试（文））已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()3f x 在()1,+∞上恒成立，求证：2e a <.（注：3e 20≈）13．（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）已知函数()ln (1)f x x x a x a =-++．(1)求函数()f x 的极值；(2)若不等式(1)()(2)e x f x x a a -≤--+对任意[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．14．（2022·甘肃定西·高二开学考试（理））已知函数()ln f x x x =，()23g x x ax =-+-(1)求()f x 在()()e,e f 处的切线方程(2)若存在[]1,e x ∈时，使()()2f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．15．（2016·四川·高考真题（理））设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R.（I ）讨论f (x )的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得11()x f x e x->-在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．16．（2020·河南开封市·高三一模（理））已知函数()()ln 0a f x ax x a =>. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在x e =处的切线方程；（2）若()xf x xe ≤对于任意的1x >都成立，求a 的最大值. 17．（2022·广东·高三阶段练习）已知函数()ln(1)1,f x x =+-(1)求证：(1)3f x -≤；(2)设函数21()(1)()12=+-+g x x f x ax ，若()g x 在(0,)+∞上存在最大值，求实数a 的取值范围．18．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数．（注：是自然对数的底数）(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若只有一个极值点，求实数a 的取值范围；(3)若存在，对与任意的，使得恒成立，求的最小值． 2()e e,x f x ax a =+-∈R e 2.71828=1a =()y f x =(1,(1))f ()f x b ∈R x ∈R ()f x b ≥-a b。

备战2020年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题16 恒成立问题——参变分离法

专题16 恒成立问题——参变分离法【热点聚焦与扩展】无论是不等式的证明、解不等式,还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题,构造函数,运用函数的思想,利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的,是一成不变的思路,合理构思,善于从不同角度分析问题是解题的法宝.利用导数求解含参数的问题时，首先，要具备必要的基础知识(导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等);其次，要灵活掌握各种解题方法和运算技巧，比如参变分离法，分类讨论思想和数形结合思想等.1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：()21log a x x -<，111ax x e x-+>-等（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题.（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设x 为自变量，其范围设为D ，()f x 为函数；a 为参数，()g a 为其表达式）（1）若()f x 的值域为[],m M①()(),x D g a f x ∀∈≤，则只需要()()min g a f x m ≤=()(),x D g x f x ∀∈<，则只需要()()min g a f x m <=②()(),x D g a f x ∀∈≥，则只需要()()max =g a f x M ≥()(),x D g a f x ∀∈>，则只需要()()max =g a f x M >③()(),x D g a f x ∃∈≤，则只需要()()max g a f x M ≤=()(),x D g a f x ∃∈<，则只需要()()max g a f x M <=④()(),x D g a f x ∃∈≥，则只需要()()min g a f x m ≥=()(),x D g a f x ∃∈>，则只需要()()min g a f x m >=（2）若()f x 的值域为(),m M① ()(),x D g a f x ∀∈≤，则只需要()g a m ≤()(),x D g a f x ∀∈<，则只需要()g a m ≤（注意与（1）中对应情况进行对比）② ()(),x D g a f x ∀∈≥，则只需要()g a M ≥，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）③ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比），则只需要④ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比），则只需要x/k-+w5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离.则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了.（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可.【经典例题】例1．【2019年（衡水金卷调研卷）三】若存在，不等式成立，则实数的最大值为（）A. B. C. 4 D.【答案】A【解析】设，则故选例2.【2019届河北省邯郸市高三1月】已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】最大值,因为当时令因此,由因为为偶函数,所以最大值为, ,选C.例3．【2019届河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次考评】已知在上是增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在上是增函数，在上恒成立故选例4．【2019届湖南省张家界市高三三模】若函数（且）在上单调递增，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，不妨设，则，由时为减函数，即，又在上为单调递增，所以，所以，而此时函数为增函数，一减一增为减，故不合题意；同理由时为增函数，即，又在上为单调递增，所以，所以，而当时，函数为增函数，因此当时，同增为增，满足题意.故选D.例5.已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________【答案】【解析】恒成立的不等式为，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法解：，其中只需要，令（导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将变为，所以二阶导函【名师点睛】求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号.例6【2019届山西省孝义市高三下学期一模】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，曲线总在曲线的下方，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）.试题解析：（1）由可得的定义域为，且，若，则，函数在上单调递增；若，则当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）原命题等价于不等式在上恒成立，即，不等式恒成立.∵当时，，∴，即证当时，大于的最大值.又∵当时，，∴，综上所述，.【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法① 求得的范围.例7【2019届广东省肇庆市高三三模】已知函数，，.（Ⅰ）讨论的单调区间；（Ⅱ）若 ,且恒成立. 求的最大值.【答案】（1）见解析;（2）6.【解析】试题分析：（1）第（1）问，先求导，再对m分类讨论，求函数f(x)的单调区间. (2) 先分离参数，再求的最小值,即得k的最大值.（2）由得，令，，，，，，，点睛：分离参数是处理参数问题的一种重要方法.处理参数问题，常用的有分离参数和分类讨论，如果分离参数方便，就选分离参数.本题就是分离参数，大大地提高了解题效率，优化了解题.例8【2019届新疆乌鲁木齐市高三第三次诊断性测验】设函数，，其中为非零实数.（1）当时，求的极值；（2）是否存在使得恒成立？若存在，求的取值范围，若不存在请说明理由.【答案】(1)有极大值，无极小值；(2)见解析.试题解析：（1）∵，∴，当时，，，∴有极大值，无极小值；（2）当时，，，∴，设，则，∴，故恒成立，当时，，由于，，而，∴时，，故取，显然，由上知当时，，，∴，综上可知，当时，恒成立.例9【2019届黑龙江省大庆市高三第二次检测】已知函数.(I) 当时，求函数的单调区间;(II) 当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（Ⅰ) 单调递增区间为，单调递减区间为.（Ⅱ）.试题解析：（Ⅰ）∵，函数定义域为：∴令，由可知，从而有两个不同解.令，则当时，；当时，，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（Ⅱ）由题意得，当时，恒成立. 令，求导得，设，则，∵∴∴，∴在上单调递增，即在上单调递增，∴当时，单调递减；当时，，单调递增.∴有，∴恒成立矛盾∴实数的取值范围为点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可构造新函数，转化为.例10【2019届山东天成高三第二次大联考】已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若，对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).解析；（1），定义域所以.讨论：当时，对或，成立，所以函数在区间，上均是单调递增；当时，对或，成立，所以函数在区间，上均是单调递减；当时，函数是常函数，无单调性.（2）若，对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，则.讨论：①当，即时，且不恒为0，所以函数在区间单调递增. 又，所以对任意恒成立. 故符合题意综上实数的取值范围是.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）. 【精选精练】1．【2019年【衡水金卷】（三）】已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()32123f x x ax bx =+++， ()()24f x f x +='-'，若函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为（）A. [)64ln3,++∞B. [)5ln5,++∞C. [)66ln6,++∞D. [)4ln2,++∞【答案】C设()2136ln 3g x x x x =++，则()()()()2229182361892333x x x x x x g x x x x ----+-+-=='=，可知函数()g x 在区间()0,6内单调递增，在区间()6,+∞内单调递减，可知()()max 666ln6g x g ==+，故实数b 的取值范围为[)66ln6,++∞，故选C.点睛：本题主要考查利用导数求解不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题2．已知函数f(x)＝x 2＋4x ＋aln x ，若函数f(x)在(1,2)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A. (－6，＋∞)B. (－∞，－16)C. (－∞，－16]∪[－6，＋∞)D. (－∞，－16)∪(－6，＋∞)【答案】C 【解析】，因为函数在区间上具有单调性，所以或在上恒成立，则有或在上恒成立，所以或在上恒成立，令，当时，，所以或，所以的取值范围是.3．【2019届上海市浦东新区高三下学期（二模）】已知是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，如果对于任意，恒成立，则实数的取值范围是________【答案】点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.4．若函数f(x)＝sin x＋ax为R上的减函数，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，－1]【解析】因为是R上的减函数，所以恒成立，即，即恒成立，因为，所以，故答案为.5．【2019年（衡水金卷信息卷）三】已知函数，其中为实数.（1）若曲线在点处的切线方程为，试求函数的单调区间；（2）当，，且时，若恒有，试求实数的取值范围. 【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.【解析】试题分析：由题意点处的切线方程为，求出的值，继而求出函数的单调性利用单调性将问题中的绝对值去掉，构造新函数来证明结论.解析：（1）函数的定义域为，，，可知..当，即时，，单调递增；当时，，单调递减.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）函数.则变为，即，设函数，由，得在时为单调递减函数，即，即，也即对与恒成立.因为，可知时，取最大值，即 .对时恒成立，由，可知，即取值范围为.6．【2019届宁夏石嘴山市高三4月（一模）】已知函数（且）. （1）若函数在处取得极值，求实数的值；并求此时在上的最大值；（2）若函数不存在零点，求实数的取值范围.【答案】（1）.（2）.【试题解析】解：（1）函数的定义域为，，，∴在上，单调递减，在上，单调递增，所以时取极小值.所以在上单调递增，在上单调递减；又，，.当时，在的最大值为（2）由于所以函数存在零点②时，，.在上，单调递减，在上，单调递增，所以时取最小值.解得综上所述：所求的实数的取值范围是.7．函数的定义域为（为实数）.（1）若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；（2）若在定义域上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用单调性的定义，根据函数在定义域上是减函数，可得不等式恒成立，从而可求的取值范围；（2）利用分离参数思想原题意等价于恒成立，求出右边对应的函数在定义域内的最小值，即可求得的取值范围．试题解析：（1）任取，则有，即恒成立，所以（2）恒成立∵，∴函数在上单调减，∴时，函数取得最小值，即.8．【2019届江苏省无锡市高三第一学期期末】已知函数，，其中. （1）求过点和函数的图像相切的直线方程；（2）若对任意，有恒成立，求的取值范围；（3）若存在唯一的整数，使得，求的取值范围.【答案】（1），.（2）.（3）.，利用导数工具求得，故此时；②当时，恒成立，故此时；③当时，，利用导数工具求得，故此时.综上：.（3）因为，由（2）知，当，原命题等价于存在唯一的整数成立，利用导数工具求得；当，原命题等价于存在唯一的整数成立，利用导数工具求得.综上：.当时，切线方程为，当时，切线方程为.（2）由题意，对任意有恒成立，①当时，，令，则，令得，，故此时.②当时，恒成立，故此时.③当时，，令，当，存在唯一的整数使得，等价于存在唯一的整数成立，因为最大，，，所以当时，至少有两个整数成立，所以.当，存在唯一的整数使得，等价于存在唯一的整数成立，因为最小，且，，所以当时，至少有两个整数成立，所以当时，没有整数成立，所有.综上：.9．【2019届河南省焦作市高三第四次模拟】已知()()22xf x mx e m R =-∈.（Ⅰ）若()()'g x f x =，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）当()f x 在()()1,1f 处的切线与()223y e x =-+平行时，关于x 的不等式()0f x ax +<在()0,1上恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()g x 在()ln ,m +∞上单调递减，在(),ln m -∞上单调递增. （Ⅱ）(],21a e ∈-∞-.立，设()2xe F x x x=-，利用导数求得函数()F x 的单调性与最值，即可得到实数a 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）因为()()'22xg x f x mx e ==-，所以()()'2x g x m e =-，当0m ≤时， ()'0g x <，所以()g x 在R 上单调递减，当0m >时，令()'0g x <，得ln x m >，令()'0g x >，得ln x m <，所以()g x 在()ln ,m +∞上单调递减，在(),ln m -∞上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()'122f m e =-，由2222m e e -=-，得1m =，不等式()0f x ax +<即220xx e ax -+<，得2xe a x x<-在()0,1上恒成立. 设()2x e F x x x =-，则()2222'x x xe e x F x x --=. 设()222xxh x xe e x =--，则()()'222221x x x x h x xe e e x x e =+--=-，在区间()0,1上， ()'0h x >，则函数()h x 递增，所以()()11h x h <=-，所以在区间()0,1上， ()'0F x <，函数()F x 递减.当0x →时， ()F x →+∞，而()121F e =-，所以()()21,F x e ∈-+∞，因为()a F x <在()0,1上恒成立，所以(],21a e ∈-∞-.10．【2019届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】函数()xf x xe lnx ax =--.(1)若函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线()()211y e x =--平行,求实数a 的值； (2)若函数()f x 在[)1,∞+上单调递增,求实数a 的取值范围； (3)在(1)的条件下,求()f x 的最小值. 【答案】(1) 1a =；(2) 21a e ≤-；(3)1.单调性，即可求出()min g x ，从而可得实数a 的取值范围；（3）根据（1）的条件，利用导数研究函数的单调性，可推出()'0f x '>恒成立，从而()f x '在()0∞+，上递增，结合零点存在性定理，即可求得()f x 的最小值.试题解析：（1）∵函数()xf x xe lnx ax =--∴()()11,(0)x f x x e a x x'=+-->∵函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线()()211y e x =--平行 ∴()()12121f e a e =-='-- ∴1a =（2）由题意，需()()110x f x x e a x =--'+≥在[1∞+，）恒成立，即()11x a x e x≤+-在[1∞+，）恒成立. 令()()11x g x x e x =+-，则()()2120x g x x e x+'=+>.又∵()10,10f f e ⎛⎫⎪⎝⎭''∴01,1x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得()00f x '=，此时01x ex =∴()00,x x ∈时()()0,f x f x '<递减， ()0,x x ∈+∞时()()0,f x f x '>递增 ∴()()00000000min 011ln ln 1x x f x f x x e x x x x x e==--=--= 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x >，若()0f x <恒成立，转化为()max 0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为()()min max f x g x >.11．【2019届江西省高三监测】已知函数()ln f x x =.（1）若函数()()212g x f x ax x =-+有两个极值点，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的方程()()1f x m x =+， ()m Z ∈有实数解，求整数m 的最大值.【答案】(1) 2a >;(2)0.【解析】试题分析：（1）函数()()212g x f x ax x =-+有两个极值点等价于()21y x ax g x x -+='=有两个可变零点，即方程210x ax -+=有两个不等的正实数根,（2）方程()ln 1x m x =+,即ln 1x m x =+,记函数()ln 1x h x x =+,(0)x >，问题转化为直线y m =与()ln 1x h x x =+的交点情况.(2)方程()ln 1x m x =+,即ln 1x m x =+,记函数()ln 1x h x x =+,(0)x >， ()()21ln 1x x x h x x +-+'=, 令()1ln x x x x ϕ+=- (0)x >,()2110x x xϕ'=--<, ()x ϕ单调递减, ()()()()222222110,011e h e h e e e e e -=>=<++'',存在()20,x e e ∈,使得()00h x '=,即0001ln x x x +=, 当()00,x x ∈,()0h x '>, ()h x 递增, ()()0,,0x x h x ∈+∞<', ()h x 递减,()02max 00ln 111,1x h x x x e e ⎛⎫∴==∈ ⎪+⎝⎭,即()max m h x ≤,()m Z ∈, 故0m ≤,整数m 的最大值为0.12【2019届山东高三天成大联考第二次】已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若，对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2). 【解析】试题分析：（1）对函数求导研究函数的单调性，通过导函数的正负得到原函数的单调区间；（2）对任意恒成立，即对任意恒成立，令，对这个函数求导研究函数的单调性，使得最值大于0即可.解析；（1），定义域所以.讨论：当时，函数是常函数，无单调性.（2）若，对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，则.讨论：①当，即时，且不恒为0，所以函数在区间单调递增.又，所以对任意恒成立.故符合题意综上实数的取值范围是.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.。

参变分离的方法

参变分离的方法
哇塞，参变分离的方法啊，这可真是个超棒的解题利器呢！
参变分离，简单来说就是将参数和变量分离开来。

具体步骤呢，就是把含有参数的式子和含有变量的式子分别放在等式或不等式的两边。

这里可得注意啦，要仔细观察式子的结构，找到合适的分离点，可别分错啦！而且在分离的过程中要保持式子的等价性哦，不能改变原来式子的本质。

还有就是有时候可能会遇到一些特殊情况，比如分式的分母不能为零之类的，可别忽视了这些细节呀！
在这个过程中，安全性那是杠杠的呀！只要按照正确的方法去操作，就不会出现什么大问题。

稳定性也很高，因为它是一种很成熟的方法呀。

那参变分离的应用场景可多了去了！比如在解决不等式恒成立问题时，通过参变分离，把参数和变量分开，然后求出变量的最值，就能轻松解决啦！它的优势也很明显呀，能让复杂的问题变得简单化，让我们更容易找到解题的思路。

就拿一个实际例子来说吧，比如有个函数 f(x)=x^2+ax+1，要使
f(x)>0 在区间[1,2]上恒成立，这时候就可以用参变分离呀！把 a 分离出来，得到 a>-(x+1/x)，然后求出右边式子在区间[1,2]上的最大值，不就能解决问题了嘛！你看，这效果多好呀！
参变分离的方法真的是太好用啦！能帮我们解决很多难题呢，大家一定要好好掌握呀！。

函数的恒成立问题

函数的恒成立问题函数的恒成立问题是一个重要的数学概念，它涉及到函数的性质和不等式的解法。

这类问题在数学高考和数学竞赛中经常出现，是考察学生数学思维和解题能力的重要题型。

函数的恒成立问题是指对于某个区间内的所有x值，函数f(x)都满足某个条件或不等式，即f(x)恒成立。

解决这类问题通常需要运用函数的性质、导数、参数分离等多种方法。

具体来说，解决函数的恒成立问题可以通过以下几种方法：1. 函数性质法：利用函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等，来证明函数恒成立。

2. 导数法：通过求函数的导数，研究函数的单调性和最值，进而证明函数恒成立。

3. 参数分离法：将参数与变量分离，转化为求函数的最值问题，再证明该最值满足条件。

4. 数形结合法：将函数与图形结合，通过观察图形的性质来证明函数恒成立。

举个例子，假设我们要求证函数f(x) = x^2 - 2x在区间[0,3]上恒成立。

我们可以采用以下步骤：1. 首先求出函数f(x)的导数f'(x)，得到f'(x) = 2x - 2。

2. 然后通过分析f'(x)的符号，确定函数的单调性。

当f'(x) > 0时，f(x)单调递增；当f'(x) < 0时，f(x)单调递减。

由此可知，f(x)在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,3]上单调递增。

3. 接下来求出函数在区间端点的值，即f(0)、f(1)、f(3)。

计算得到f(0) = 0，f(1) = -1，f(3) = 3。

4. 最后比较这些值，发现f(0)、f(1)、f(3)都满足条件，因此可以证明函数f(x)在区间[0,3]上恒成立。

以上是解决函数恒成立问题的一种基本思路和方法，当然具体的解题过程可能因题目的不同而有所差异。

在解决这类问题时，需要灵活运用数学知识，注重思维方法的训练和解题技巧的提升。

高考数学恒成立问题

恒成立问题1．参变分离法例1：已知函数()ln a f x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是_________．【答案】1a ≥- 【解析】233ln ln ln a x x x x a x a x x x x -<⇔-<⇔>-，其中()1,x ∈+∞， ∴只需要()3max ln a x x x >-．令()3ln g x x x x =-，()'21ln 3g x x x =+-，()'12g =-，()2''11660x g x x x x -=-=<， ()'g x ∴在()1,+∞单调递减，()()()''10g x g g x ∴<<⇒在()1,+∞单调递减， ()()11g x g ∴<=-，1a ∴≥-．2．数形结合法例2：若不等式()log sin 20,1a x x a a >>≠对于任意的π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】π,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】本题选择数形结合，可先作出sin 2y x =在π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的图像，a 扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得01a <<，观察图像进一步可得只需π4x =时，log sin 2a x x >，即πππlog sin 21444aa >⋅=⇒>，所以π,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．3．最值分析法例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求a 的取值范围___________．【答案】e 1a ≥-【解析】()f x x >恒成立即不等式ln 10a x x -+>恒成立，令()ln 1g x a x x =-+， ∴只需()min 0g x >即可，()10g =，()'1a a x g x x x -=-=，令()'00a x g x x a x->⇒>⇒<（分析()g x 的单调性）当1a ≤时 ()g x 在()1,e 单调递减，则()()010g x g <=(思考：为什么以1a =作为分界点讨论？因为找到()10g =，若要不等式成立，那么一定从1x =处起()g x 要增（不一定在()1,e 上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以1a ≤时导致()g x 在1x =处开始单减，那么一定不符合条件．由此请体会零点对参数范围所起的作用）当1a >时，分x a =是否在()1,e 中讨论（最小值点的选取）若1e a <<，单调性如表所示()()10e 1e 0g a g ⎧≥⎪∴⇒≥-⎨≥⎪⎩，e 1e a ∴-≤<．（1）可以比较()1g ，()e g 的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦．由于最小值只会在1x =，e x =处取得，所以让它们均大于0即可．（2）由于1x =，e x =并不在()1,e 中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）若e a ≥，则()g x 在()1,e 上单调递增，()()10g x g ∴>=，符合题意，综上所述：e 1a ≥-．。

备战高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题16恒成立问题——参变分离法(2021年整理)

备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题16 恒成立问题——参变分离法编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题16 恒成立问题——参变分离法）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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专题16 恒成立问题——参变分离法【热点聚焦与扩展】无论是不等式的证明、解不等式，还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题，构造函数,运用函数的思想，利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思,善于从不同角度分析问题是解题的法宝.利用导数求解含参数的问题时,首先,要具备必要的基础知识（导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等)；其次，要灵活掌握各种解题方法和运算技巧，比如参变分离法，分类讨论思想和数形结合思想等。

1、参变分离:顾名思义,就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。

3、参变分离法的适用范围:判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：(1)已知不等式中两个字母是否便于进行分离,如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的,则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：()21log ax x-<，111axxex-+>-等（2)要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值)，则也无法用参变分离法解决问题.(可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）4、参变分离后会出现的情况及处理方法：(假设x为自变量，其范围设为D,()f x为函数；a为参数，()g a为其表达式）（1)若()f x的值域为[],m M①()(),x D g a f x ∀∈≤，则只需要()()min g a f x m ≤= ()(),x D g x f x ∀∈<,则只需要()()min g a f x m <= ②()(),x D g a f x ∀∈≥，则只需要()()max =g a f x M ≥ ()(),x D g a f x ∀∈>，则只需要()()max =g a f x M > ③()(),x D g a f x ∃∈≤，则只需要()()max g a f x M ≤= ()(),x D g a f x ∃∈<，则只需要()()max g a f x M <= ④()(),x D g a f x ∃∈≥，则只需要()()min g a f x m ≥= ()(),x D g a f x ∃∈>,则只需要()()min g a f x m >= （2）若()f x 的值域为(),m M① ()(),x D g a f x ∀∈≤，则只需要()g a m ≤()(),x D g a f x ∀∈<，则只需要()g a m ≤（注意与（1)中对应情况进行对比） ② ()(),x D g a f x ∀∈≥，则只需要()g a M ≥()(),x D g a f x ∀∈>,则只需要()g a M ≥(注意与（1）中对应情况进行对比） ③ ()(),x D g a f x ∃∈≤,则只需要()g a M <（注意与(1)中对应情况进行对比) ()(),x D g a f x ∃∈<,则只需要()g a M <④ ()(),x D g a f x ∃∈≥，则只需要()g a m >（注意与(1）中对应情况进行对比） ()(),x D g a f x ∃∈>，则只需要()g a m >x/k-+w5、多变量恒成立问题:对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知(作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。

导数压轴3-恒成立问题之参变分离法教师

一、方法初探【例1】若()ln 10f x x ax =-+<恒成立，求a 。

解一：求导得1'()f x a x=- 若0a ≤，则'()0f x ≥恒成立；则()f x 在(0,)+∞上单增，有1()0af e e =-≥ ，不成立；若0a >时，()f x 在1(0,a 上单增，在1(,)a+∞上单减；则max ()ln f x a =-，令ln 0a -<得(1,)a ∈+∞。

【思路解析】以上解法是我们所熟悉的分类讨论解法，本题较为简单，因此即使是分类讨论也不是很复杂，但如果遇到有些复杂些的题目，用分类讨论的方法就会异常繁琐，甚至无法顺利求得结果，接下来我们就来引入另一种方法——即参变分离法。

解二：将参数和未知数分离到不等号两边，即转化成ln 1x a x+>恒成立问题；令ln 1()x g x x +=，则问题即成为max ()a g x >，接下来就仅剩对()g x 性质分析；2ln '()xg x x=-，则()g x 在(0,1)上单增，在(1,)+∞上单减，max ()(1)1a g x g ∴>==；得到1a >。

【小结】相比于解法一，解法二避免了繁琐的讨论，只需要求得max ()g x 即可，【方法对话】参变分离方法的实质，就是将参数和未知数分离到等式两边，将问题转化为求含有未知数式子的最大或最小值，但需要注意的是，在进行参变分离的时候，要注意题干表达的是“恒成立”还是“能成立”，对于恒成立，是要使对任意的x ，该不等式都能成立，而对能成立，则只需要存在x 使式子成立即可。

因此，恒成立和能成立对应的参变分离后转化的需求问题也不同，简单来说恒成立：比它大，就比它的最大值都大，比它小，就比它的最小值都小。

能成立：比它大，就比它的最小值都大，比它小，就比它的最大值都小。

具体的部分推论如下：第三课：恒/能成立问题之参变分离法(1)若对x I ∀∈，()0f x >恒成立，则min ()0f x >. 若对x I ∀∈，()0f x <恒成立，则max ()0f x <. (2)若x I ∃∈，使得()0f x >成立，则max ()0f x >.若x I ∃∈，使得()0f x <成立，则min ()0f x <.(3)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D ，若x ∀∈D ()()f x g x >恒成立，则有[]min ()()0f x g x ->(4)若对11x I ∀∈、22x I ∈ ，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >.若对11x I ∀∈，22x I ∃∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ∀∈，22x I ∃∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <.此类问题中需要特别注意的是：能转移成这样问题的，一定得满足()f x 中的1x 与()g x 中的2x 是两个独立变量！即两者必须毫无关联才能转化成这样的问题。

专题04恒成立问题

培优点四恒成立问题1．参变分离法例1：已知函数()ln af x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是_________．【答案】1a ≥- 2．数形结合法例2：若不等式()log sin 20,1a x x a a >>≠对于任意的π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】π,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3．最值分析法例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求a 的取值范围___________．【答案】e 1a ≥-一、选择题1．已知函数()()2ln 1,03,0x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()()20f x m x -+≥，则实数m 的取值范围是（） A ．(],1-∞ B ．[]2,1-C ．[]0,3D ．[)3,+∞【答案】B2．已知函数()3224f x x x x =--+，当[]3,3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．()3,11- B ．()3,11C ．[]3,11D ．[]2,7【答案】C对点增分集训3．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．()2,-+∞C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D4．已知对任意21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦不等式2e xa x >恒成立（其中e 2.71828=，是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（） A ．e 0,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),2e -∞-D ．24,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A5．已知函数()2e x f x x =，当[]1,1x ∈-时，不等式()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)e,+∞D ．()e,+∞【答案】D6．当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[]5,3-- B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]6,2--D ．[]4,3--【答案】C7．函数()2e 1xf x x =-+，若存在(]00,2x ∈使得()00m f x ->成立，则实数m 的范围是（）A ．21e 5,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()1,+∞D ．1e,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】A8．设函数()ln f x x ax =+，若存在()00,x ∈+∞，使()00f x >，则a 的取值范围是（） A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D9．若对于任意实数0x ≥，函数()e x f x ax =+恒大于零，则实数a 的取值范围是（） A ．(),e -∞ B ．(],e -∞- C ．[)e,+∞ D ．()e,-+∞【答案】D10．已知函数()()()3f x a x a x a =-++，()22x g x =-，若对任意x ∈R ，总有()0f x <或()0g x <成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(),4-∞-B ．()4,0-C ．[)4,0-D ．()4,-+∞【答案】B11．已知函数()e xf x ax x =-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(],e -∞ B ．(),e -∞C ．e ,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D12．设函数()()e 31x f x x ax a =--+，其中1a <，若有且只有一个整数0x 使得()00f x ≤，则a 的取值范围是（） A ．23,e 4⎛⎫⎪⎝⎭B ．23,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 二、填空题13．设函数()f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的x ∈R ，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[)1,-+∞14．函数()ln 1f x x x ax =-+，其中a ∈R ，若对任意正数x 都有()0f x ≥，则实数a 的取值范围为____________．【答案】](,1 -∞15．已知函数()21ln 22f x x ax x =--，若函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(],1-∞-16．已知关于x 的不等式21log 02m mx x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭-在[]1,2上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【答案】153,,282⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭三、解答题17．设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a ∈R ，（1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）01a ≤≤．18．设函数()2e mx f x x mx =+-，（1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；（2）若对于任意1x ，[]21,1x ∈-，都有()()12e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[]1,1m ∈-．。

恒成立之分离参数法

不等式的恒成立之分离参数法分离参数法：即把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则.例1.对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。

例2.若对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。

例3.设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。

例4.已知1ax x )x (f 2+-=，求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。

解：分离参数]2,1[x ,x 1x a ]2,1[x ,01ax x 2∈+>⇐∈<+-。

设x 1x )x (g +=，注：此题直接用数形结合法解需要对a 进行分类讨论，运用此法最终归结为求函数)x (g 的最值，由于将参数a 与变量x 分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。

变式：本题若将“]2,1[x ∈”改为“)2,1(x ∈”可类似上述方法完成。

例5. 已知：1ax x )x (f 2+-=求使]1,1[x 0)x (f -∈>对任意恒成立的a 的取值范围。

例6．已知函数),1[,2)(2+∞∈++=x xa x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

例6.已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.解析本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(],2,2[min ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立⇔2)(],2,2[min ≥-∈∀x f x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-=-≤-237)2()(22min a f x f a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=-=≤-≤-243)2()(2222min a a a f x f a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+==>-27)2()(22min a f x f a ，即a 的取值范围为]222,5[+--. 点评对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用m x f >)(恒成立m x f >⇔min )(；m x f <)(恒成立m x f <⇔max )(.本题也可以用零点分布策略求解.例7.设函数是定义在(,)-∞+∞上的增函数，如果不等式2(1)(2)f ax x f a --<-对于任意[0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

破解恒成立问题高考数学【解析版】

专题16 破解恒成立问题从高考命题看，方程有解问题、无解问题以及不等式的恒成立问题，也是高考命题的热点.而此类问题的处理方法较为灵活，用导数解决不等式“恒成立”“存在性”问题的常用方法是分离参数，或构造新函数分类讨论，将不等式问题转化为函数的最值问题.也可以结合题目的条件、结论，采用数形结合法等.【重点知识回眸】（一）参变参数法1.参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2.一般地，若a ＞f (x )对x ∈D 恒成立，则只需a ＞f (x )max ；若a ＜f (x )对x ∈D 恒成立，则只需a ＜f (x )min .若存在x 0∈D ，使a ＞f (x 0)成立，则只需a ＞f (x )min ；若存在x 0∈D ，使a ＜f (x 0)成立，则只需a ＜f (x 0)max .由此构造不等式，求解参数的取值范围.3.参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：()21log a x x -<，111axx e x-+>-等（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题.（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）（二）构造函数分类讨论法有两种常见情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数.1.构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参2.参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论（三）数形结合法1.函数的不等关系与图象特征：（1）若，均有的图象始终在的下方（2）若，均有的图象始终在的上方2.在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数x D ∀∈()()()f x g x f x <⇔()g x x D ∀∈()()()f x g x f x >⇔()g x3.作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）.作图要突出“信息点”.4.利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图（2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义（3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征【典型考题解析】热点一参变分离法解决不等式恒成立问题【典例1】（2019·天津·高考真题（理））已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为（） A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,e D ．[]1,e【答案】C【解析】先判断0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，转化为ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立．【详解】∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->，当1a >时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立，令()ln xg x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故()()min g x g e e ==，所以a e ≤．当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；综上可知，a 的取值范围是[0,]e ，故选C ．【典例2】（2020·全国·高考真题（理））已知函数2()e x f x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.【答案】（1）当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增.（2）27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可. (2)方法一：首先讨论x =0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a 的取值范围.【详解】(1)当1a =时，()2e xf x x x =+-，()e 21x f x x ='+-，由于()''e 20xf x =+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增. (2) [方法一]【最优解】：分离参数由()3112f x x ≥+得，231e 12x ax x x +-+，其中0x ≥， ①.当x =0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②.当0x >时，分离参数a 得，321e 12x x x a x ----，记()321e 12x x x g x x ---=-，()()2312e 12x x x x g x x ⎛⎫---- ⎪⎝⎭'=-，令()()21e 102xh x x x x =---≥，则()e 1xh x x ='--，()''e 10x h x =-≥，故()'h x 单调递增，()()00h x h ''≥=，故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=，由()0h x ≥可得：21e 102xx x ---恒成立，故当()0,2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；因此，()()2max7e 24g x g -⎡⎤==⎣⎦, 综上可得，实数a 的取值范围是27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭. [方法二]：特值探路当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立27e (2)54-⇒⇒f a ．只需证当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．当274e a -≥时，227e ()e e 4-=+-≥+x xf x ax x 2⋅-x x ．只需证明2237e 1e 1(0)42-+-≥+≥xx x x x ⑤式成立．⑤式()223e74244e-+++⇔≤xx x x ，令()223e 7424()(0)e-+++=≥xx x x h x x ，则()()222313e 2e 92()e -+--=='xxx x h x ()()222213e 2e 9e⎡⎤-----⎣⎦=xx x x ()2(2)2e 9e⎡⎤--+-⎣⎦xx x x ，所以当29e 0,2⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦x 时，()0,()h x h x '<单调递减；当29e ,2,()0,()2⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭'x h x h x 单调递增；当(2,),()0,()∈+∞<'x h x h x 单调递减．从而max [()]max{(0),(2)}4==h x h h ，即()4h x ≤，⑤式成立．所以当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．综上274e a -≥．[方法三]：指数集中当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立323211e1(1)e 122x x x ax x x ax x -⇒+-+⇒-++≤，记()32(1(1)e 0)2xg x x ax x x -=-++≥，()2231(1)e 22123x g x x ax x x ax -'=--+++--()()()2112342e 212e 22xx x x a x a x x a x --⎡⎤=--+++=----⎣⎦，①.当210a +≤即12a ≤-时，()02g x x '=⇒=，则当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意；②.若0212a <+<即1122a -<<时，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(21,2)x a ∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以若满足()1g x ≤，只需()21g ≤，即()22(7e 14)g a --≤=27e 4a -⇒，所以当27e 142a -⇒≤<时，()1g x ≤成立；③当212a +≥即12a ≥时，()32311(1)e (1)e 22x xg x x ax x x x --=++≤-++，又由②可知27e 142a -≤<时，()1g x ≤成立，所以0a =时，31()(1)e 21xg x x x -=+≤+恒成立，所以12a ≥时，满足题意. 综上，27e 4a-. 【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！【总结提升】利用分离参数法来确定不等式f (x ，λ)≥0(x ∈D ，λ为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤： (1)将参数与变量分离，化为f 1(λ)≥f 2(x )或f 1(λ)≤f 2(x )的形式． (2)求f 2(x )在x ∈D 时的最大值或最小值．(3)解不等式f 1(λ)≥f 2(x )max 或f 1(λ)≤f 2(x )min ，得到λ的取值范围．热点二构造函数分类讨论法解决不等式恒成立问题【典例3】（2019·全国·高考真题（文））已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(],0a ∈-∞.【分析】（1）求导得到导函数后，设为()g x 进行再次求导，可判断出当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，从而得到()g x 单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数()()h x f x ax =-，通过二次求导可判断出()()min 2h x h a π''==--，()max 222h x h a ππ-⎛⎫''==- ⎪⎝⎭；分别在2a ≤-，20a -<≤，202a π-<<和22a π-≥的情况下根据导函数的符号判断()h x 单调性，从而确定()0h x ≥恒成立时a 的取值范围.【详解】（1）()2cos cos sin 1cos sin 1f x x x x x x x x '=-+-=+- 令()cos sin 1g x x x x =+-，则()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++= 当()0,x π∈时，令()0g x '=，解得：2x π=∴当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<()g x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()0110g =-=，1022g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()112g π=--=-即当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x >，此时()g x 无零点，即()f x '无零点()02g g ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭0,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =又()g x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 0x x ∴=为()g x ，即()f x '在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的唯一零点综上所述：()f x '在区间()0,π存在唯一零点（2）若[]0,x π∈时，()f x ax ≥，即()0f x ax -≥恒成立令()()()2sin cos 1h x f x ax x x x a x =-=--+ 则()cos sin 1h x x x x a '=+--，()()cos h x x x g x '''==由（1）可知，()h x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减且()0h a '=-，222h a ππ-⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()2h a π'=-- ()()min 2h x h a π''∴==--，()max 222h x h a ππ-⎛⎫''==- ⎪⎝⎭①当2a ≤-时，()()min 20h x h a π''==--≥，即()0h x '≥在[]0,π上恒成立()h x ∴在[]0,π上单调递增()()00h x h ∴≥=，即()0f x ax -≥，此时()f x ax ≥恒成立 ②当20a -<≤时，()00h '≥，02h π⎛⎫'> ⎪⎝⎭，()0h π'<1,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10h x '=()h x ∴在[)10,x 上单调递增，在(]1,x π上单调递减又()00h =，()()2sin cos 10h a a ππππππ=--+=-≥()0h x ∴≥在[]0,π上恒成立，即()f x ax ≥恒成立③当202a π-<<时，()00h '<，2022h a ππ-⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭20,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20h x '=()h x ∴在[)20,x 上单调递减，在2,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增()20,x x ∴∈时，()()00h x h <=，可知()f x ax ≥不恒成立④当22a π-≥时，()max 2022h x h a ππ-⎛⎫''==-≤ ⎪⎝⎭()h x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 00h xh可知()f x ax ≥不恒成立综上所述：(],0a ∈-∞【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.【典例4】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()()ln 20f x a x x a =-≠. (1)讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，不等式()()22cos eax x f x f x ⎡⎤-≥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)(]0,2e【分析】（1）求出函数()f x 的定义域，求得()2a xf x x-'=，分析导数的符号变化，由此可得出函数()f x 的单调递增区间和递减区间；（2）令()t f x =，()e 2cos tg t t t =--，利用导数分析函数()g t 的单调性，对实数a 的取值进行分类讨论，求出()t f x =的取值范围，结合函数()g t 的图象可得出关于实数a 的不等式，即可求得实数a 的取值范围. （1）解：函数()()ln 20f x a x x a =-≠的定义域为()0,∞+，且()22a a x f x x x-'=-=.当0a <时，因为0x >，则()0f x '<，此时函数()f x 的单调递减区间为()0,∞+；当0a >时，由()0f x '<可得2ax >，由()0f x '>可得02ax <<.此时，函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上所述，当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为()0,∞+；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）解：()()()()()()()ln 222cos e 2cos 0e 2cos 0eaf x a x x x x f x f x f x f x f x f x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤-≥⇔--≥⇔--≥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，设()e 2cos tg t t t =--，其中()t f x =，则()e 2sin t g t t '=-+，设()e sin 2th t t =+-，则()e cos th t t '=+，当0t ≤时，e 1t ≤，sin 1t ≤，且等号不同时成立，则()0g t '<恒成立，当0t >时，e 1t >，cos 1t ≥-，则()0h t '>恒成立，则()g t '在()0,∞+上单调递增，又因为()01g '=-，()1e 2sin10g '=-+>，所以，存在()00,1t ∈使得()00g t '=，当00t t <<时，()0g t '<；当0t t >时，()0g t '>.所以，函数()g t 在()0,t -∞上单调递减，在()0,t +∞上单调递增，且()00g =，作出函数()g t 的图象如下图所示：由（1）中函数()f x 的单调性可知，①当0a <时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当0x +→时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →-∞，所以，()t f x =∈R ，此时()00g t <，不合乎题意；②当0a >时，()max ln 22a a f x f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且当0x +→时，()f x →-∞，此时函数()f x 的值域为,ln 2a a a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，即,ln 2a t a a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦.（i ）当ln 02a a a -≤时，即当02e a <≤时，()0g t ≥恒成立，合乎题意；（ii ）当ln 02a a a ->时，即当2e a >时，取10min ln ,2a t a a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，结合图象可知()10g t <，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是(]0,2e . 【规律方法】对于f (x )≥g (x )型的不等式恒成立问题，若无法分离参数，一般采用作差法构造函数h (x )＝f (x )－g (x )或h (x )＝g (x )－f (x )，进而只需满足h (x )min ≥0或h (x )max ≤0即可．热点三利用数形结合法解决不等式恒成立问题【典例5】（2013·全国·高考真题（文））已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（） A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-【答案】D【解析】作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像，结合图像可知直线y ax =介于l 与x 轴之间，利用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解.【详解】由题意可作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像.由图像可知：函数y ax =的图像是过原点的直线，当直线介于l 与x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数()y f x =在第二象限的部分的解析式为 22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x ≤，故2y '≤-，故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a []2,0∈-. 故选：D【典例6】（2015·全国·高考真题（理））设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】设()()21xg x e x =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得满足()()01g x a x <-，求导可得出函数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且()312g a e-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】设()()21xg x e x =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当12x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.所以，函数()y g x =的最小值为12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ，故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故选D.【典例7】（2020·全国高二）若关于x 的不等式0x x e ax a ⋅-+<的解集为()m n ，(0n <)，且()m n ，中只有一个整数，则实数a 的取值范围是（）． A ．211[)e e， B ．221[)32e e， C ．212[)e e， D ．221[)3e e，【答案】B 【解析】不等式0x x e ax a ⋅-+<有唯一整数解，即不等式()1xx e a x ⋅<-有唯一整数解，设()xg x x e =⋅，y ax a =-，求出()g x 的单调区间，作出其大致图像，y ax a =-恒过定点()10，P ，数形结合可得答案.【详解】设()xg x x e =⋅，y ax a =-，()()1xg x x e '=+⋅，由()0g x '>，解得1x >-，由()0g x '<解得1x <-所以()xg x x e =⋅在(]1-∞-，上单调递减，在[)1-+∞，上单调递增. 又当x →-∞ ，()0g x <且()0g x →，又()00g =，则()xg x x e =⋅的大致图象如下由题意由不等式0x x e ax a ⋅-+<有唯一整数解，即不等式()1xx e a x ⋅<-有唯一整数解即()xg x x e =⋅在直线y ax a =-下方的部分，故min 1()(1)g x g e=-=-，y ax a =-恒过定点()10，P ，结合函数图像得PA PB k a k ≤<，即22132a e e≤<，故选：B ．【点睛】本题考查根不等式的解集中整数的个数求参数范围的问题，解答本题的关键的根据题意转化为不等式()1x x e a x ⋅<-有唯一整数解，即()x g x x e =⋅在直线y ax a =-下方的部分中唯一整数x ，讨论出()xg x x e =⋅的单调区间，得出其大致图象，属于中档题.【精选精练】一、单选题1．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）对任意的(]12,1,3x x ∈，当12x x <时，1122ln 03x a x x x -->恒成立，则实数a的取值范围是（） A ．[)3,+∞ B ．()3,+∞ C ．[)9,+∞ D ．()9,+∞【答案】C【分析】将不等式等价变形，构造函数()ln 3af x x x =-，再借助函数单调性、最值求解作答.【详解】依题意，11211222ln 0ln (ln )0333x a a ax x x x x x x -->⇔--->，令()ln 3a f x x x =-，(1,3]x ∈，则对任意的12,(1,3]x x ∈，当12x x <时，12()()f x f x >，即有函数()f x 在(1,3]上单调递减，因此，(1,3]x ∀∈，()1033af x a x x'=-≤⇔≥，而max (3)9x =，则9a ≥，所以实数a 的取值范围是[9,)+∞. 故选：C2．（2021·青海·西宁市海湖中学高三开学考试（文））若函数()2ln f x x x=-，满足() f x a x ≥-恒成立，则a 的最大值为（） A ．3 B ．4 C ．3ln 2- D ．3ln 2+【答案】C【分析】由题意，分离参数可得min 2ln a x x x ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭，令2()ln g x x x x=+-，然后利用导数求出()g x 的最小值即可求解.【详解】解：因为()2ln f x x x=-，满足() f x a x ≥-恒成立，所以min2ln a x x x ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭，令2()ln g x x x x =+-，则()()()222221212()10x x x x g x x x x x x -+--'=--==>，令()0g x '>，得2x >，令()0g x '<，得02x <<，所以()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，所以min ()(2)3ln 2g x g ==-，所以3ln 2a ≤-，所以a 的最大值为3ln 2-，故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数12ln ,(e)ey a x x =-≤≤的图象上存在点M ，函数21y x =+的图象上存在点N ，且M ，N 关于x 轴对称，则a 的取值范围是（）A ．21e ,2⎡⎤--⎣⎦B ．213,e ∞⎡⎫--+⎪⎢⎣⎭C ．213,2e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦D ．2211e ,3e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦【答案】A【详解】因为函数21y x =+与函数21y x =--的图象关于x 轴对称，根据已知得函数12ln ,(e)e y a x x =-≤≤的图象与函数21y x =--的图象有交点，即方程22ln 1a x x -=--在1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，即22ln 1a x x =--在1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解．令()22ln 1g x x x =--，1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()22212222xx g x x x x x--'=-==，可知()g x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,e 上单调递减，故当1x =时，()()max 12g x g ==-，由于21e e 13g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2e e 1g =-，且2211e 3e -->-，所以212e a -≤≤-．故选：A ．4．（2021·青海·大通回族土族自治县教学研究室高三开学考试（文））已知函数1()e 2xf x =，直线y kx =与函数()f x 的图象有两个交点，则实数k 的取值范围为（）A ．1e 2⎛ ⎝B ．(e,)+∞C ．(e,)+∞D ．1e,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】首先考查临界情况，利用导数求得切线的斜率，据此可求得实数k 的取值范围【详解】当过原点的直线y kx =与函数()f x 的图象相切时，设切点为1,e 2m P m ⎛⎫⎪⎝⎭，由()1e 2x f x '=，可得过点P 的切线方程为()11e e 22m my x m -=-，代入点()0,0可得11e e 22m mm -=-，解得1m =，此时切线的斜率为1e 2，由函数()f x 的图象可知，若直线y kx =与函数()f x 的图象有两个交点，直线的斜率k 的取值范围为1e,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故答案选：D5．（2022·福建省福安市第一中学高三阶段练习）设函数()()()()1e e ,e 1x x f x x g x ax =--=--，其中R a ∈.若对[)20,x ∀∈+∞，都1R x ∃∈，使得不等式()()12f x g x ≤成立，则a 的最大值为（） A ．0 B ．1eC ．1D ．e【答案】C【分析】由题意易知()0f x ≥恒成立，则可等价为对[)20,x ∀∈+∞，()20g x ≥恒成立，利用参变分离，可变形为e 1,(0)x a x x -≤>恒成立，易证e 11,(0)x x x->>，则可得1a ≤，即可选出答案.【详解】对[)20,x ∀∈+∞，都1R x ∃∈，使得不等式()()12f x g x ≤成立，等价于()()12min min f x g x ≤,当1x <时，10,e e<0x x -<-，所以()0f x >，当1≥x 时，10,e e 0x x -≥-≥，所以()0f x ≥，所以()0f x ≥恒成立，当且仅当1x =时，min ()0f x =，所以对[)20,x ∀∈+∞，()20g x ≥恒成立，即e 10x ax --≥，当0x =，e 100x ax --=≥成立，当0x >时，e 1e 10x xax a x---≥⇒≤恒成立.记()e 1,0x h x x x =-->, 因为()e 10x h x '=->恒成立，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，且(0)0h =，所以()e 10xh x x =-->恒成立，即e 1e 11,(0)x xx x x-->⇒>>所以1a ≤.所以a 的最大值为1. 故选：C.【点睛】本题考查导数在不等式的恒成立与有解问题的应用，属于难题，此类问题可按如下规则转化：一般地，已知函数[](),,=∈y f x x a b ，[](),,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，有12()()f x g x <成立，故max 12min ()()f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有12()()f x g x <成立，故1max 2max ()()f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有12()()f x g x <成立，故1min 2max ()()f x g x <；（4）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有12()()f x g x <成立，故1min 2min ()()f x g x <；（5）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有12()()f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．二、多选题6．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知定义在R 上函数()g x 满足：()()2g x g x =+，且()[)[)3,0,124,1,2x x x g x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩，设函数()()f x x g x =+，则下列正确的是（） A ．()f x 的单调递增区间为()()2,21,Z k k k +∈ B ．()f x 在()2022,2024上的最大值为2025 C ．()f x 有且只有2个零点 D ．()f x x ≥恒成立. 【答案】ABD【分析】由题可知函数()g x 为周期函数，根据导数判断函数的单调性，进而可得函数的值域可判断D ，结合条件可得函数()[)[)232,2,2144,21,22x kk x k k f x x k x k k -⎧+∈+⎪=⎨-++∈++⎪⎩可判断AB ，利用数形结合可判断C.【详解】由题可得函数()g x 为周期函数，当[)0,1x ∈时，()3x g x x =-，则()3ln31ln310xg x '=-≥->，函数单调递增，()[)31,2xg x x =-∈，当[)1,2x ∈时，()(]240,2g x x =-+∈，故可得函数()g x 的值域为(]0,2，因为()[)[)3,0,124,1,2x x x g x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩，()()2g x g x =+，所以()()[)[)232,2,212244,21,22x kx k x k k g x g x k x k x k k -⎧-+∈+⎪=-=⎨-++∈++⎪⎩(Z k ∈)，故()()f x x g x =+[)[)232,2,2144,21,22x k k x k k x k x k k -⎧+∈+⎪=⎨-++∈++⎪⎩，所以函数()f x 的单调递增区间为()()2,21,Z k k k +∈，单调减区间为()()21,22,Z k k k ++∈，故A 正确；所以函数()f x 在()2022,2023上单调递增，在()2023,2024上单调递减，故()f x 在()2022,2024上的最大值为()()()202320232023202312025f g g =+=+=，故B 正确；由()()0f x x g x =+=可得()g x x =-，所以函数()y g x =与函数y x =-交点的个数即为函数()f x 的零点数，作出函数()y g x =与函数y x =-的大致图象，由图可知函数()y g x =与函数y x =-有一个交点，即函数()f x 有且只有1个零点，故C 错误；由()f x x ≥，即()0g x ≥，因为()g x ∈(]0,2，故()f x x ≥恒成立，故D 正确. 故选：ABD. 三、填空题7．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）函数2()2e x f x a bx =++，其中a ，b 为实数，且(0,1)a ∈.已知对任意24e b >，函数()f x 有两个不同零点，a 的取值范围为___________________.【答案】)8e ,1-⎡⎣【分析】将函数有两个不同零点转化为方程有两个不等实根；再将方程变形构造新函数，求导并研究新函数的单调性，求其最小值，得到22ln ba-≥e ，再由已知条件求得)8,1a -⎡∈⎣e 即可. 【详解】因为()f x 有两个不同零点()0f x ⇔=有两个不相等的实根即220x a bx ++=e 有两个不相等的实根；所以ln 220x a bx ++=e e ，令ln t x a = ，则220ln tbta++=e e ，t 显然不为零，所以22ln t b a t+-=e e ，因为()0,1a ∈ ，24e b > ，所以20ln ba-> ，所以0t > ；令()()20t g t t t+=>e e ，则()()22t t t g t t-+'=e e e ；令()()()20t t h t t t =-+>e e e ，则()0t t t t h t t t '=+-=>e e e e ，所以()h t 在()0,∞+上单调递增，又()20h = ，所以当()0,2t ∈时，()0h t < ；当()2,t ∈+∞ 时，()0h t > ；所以当()0,2t ∈时，()0g t '< ；当()2,t ∈+∞ 时，()0g t '> ；故()g t 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增；所以()()2min 2g t g ==e ，所以22ln ba-≥e ；又24e b >，所以24b >e ，所以ln 42a -≤ 即ln 8a ≥- ，8a -≥e ，又()0,1a ∈ ，所以)8,1a -⎡∈⎣e ；故答案为：)8,1-⎡⎣e .8．（2023·江苏·南京市中华中学高三阶段练习）若关于x 的不等式()()ee ln mxmx m x x mx x x +≤+-恒成立，则实数m 的最小值为________ 【答案】e e 1- 【分析】将不等式两边同时除以m x ，进而转化为()()ln e eln m x x xx m x x -+≤+-，令()e x f x x =+，进而将原不等式转化为()()()ln f x f m x x ≤-恒成立，再根据单调性转化为ln xm x x≥-恒成立，进而构造函数()()0ln xg x x x x=>-，求导分析最大值即可. 【详解】∵0x >，∴不等式两边同时除以mx ，得：()e e ln mxxm x m x x x+≤+-∴()1lne eln mmx xx x m x x ++≤+- ∴()ln e eln x mx m xx m x x -+≤+- ∴()()ln e eln m x x xx m x x -+≤+- ①令()e xf x x =+，可知()f x 单调递增.①式等价于()()()ln f x f m x x ≤-恒成立 ∴()ln x m x x ≤-恒成立.构造()()ln 0x x x x ϕ=->，则()1x x xϕ-'=，故当()0,1x ∈时()0x ϕ'<，当()1,x ∈+∞时()0x ϕ'>，所以()()ln 0x x x x ϕ=->在1x =时取得最小值. 即()()ln 010x x x ϕϕ=-≥=>，∴ln 0x x -> ∴ln xm x x≥-恒成立令()()0ln xg x x x x=>- ∴()g x '()()221ln 11ln ln ln x x x x x x x x x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭==-- ∴当()0e x ∈，时，()0g x '>，∴()g x 单调递增；当()e x +∞，时，()0g x '< ∴()g x 单调递减； ∴()g x 的最大值为()e e e 1g =- ∴ee 1m ≥-，故实数m 的最小值为e e 1-. 故答案为：e e 1- 【点睛】关键点点睛：本题关键是将已知不等式转化为()()ln e eln m x x xx m x x -+≤+-，构造()e x f x x =+，进而将原不等式转化为()()()ln f x f m x x ≤-恒成立，再根据单调性即可得到.9．（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知不等式e ln x a a x x x +≥+对任意()1,x ∈+∞恒成立，则正实数a 的取值范围是___________. 【答案】(]0,e【分析】将题目所给不等式进行变形，然后利用构造函数法，结合导数来求得a 的取值范围. 【详解】不等式e ln x a a x x x +≥+可变形为ln e ln e ln x a a x x x a x a x --=-. 因为0a >且1x >，所以ln 0a x >.令()e (0)u f u u u =->，则()e 10uf u ='->.所以函数()f u 在()0,∞+上单调递增.不等式ln e e ln x a x x a x -≥-等价于()()ln f x f a x ≥，所以ln x a x ≥. 因为1x >，所以ln x a x≤. 设()(1)ln xg x x x=>，则()2ln 1(ln )x g x x -'=.当()1,e x ∈时，()0g x '<，函数()g x 在()1,e 上单调递减；当()e,x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 在()e,+∞上单调递增. 所以()min ()e e g x g ==，所以0e a <≤. 故正实数a 的取值范围是(]0,e .10．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数124e ,1()(2)2,1x ax a x f x x a x a x -⎧+->=⎨+--≤⎩，若关于x 的不等式()0≤f x 的解集为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[]1,2【分析】将不等式()0≤f x 的解集为[)2,-+∞转化为21(2)20x x a x a ≤⎧⎨+--≤⎩的解为[]2,1-及当1x >时，14e 0x ax a -+-≤恒成立，从而可求得12a ≤≤.【详解】不等式()0≤f x 等价于21(2)20x x a x a ≤⎧⎨+--≤⎩或114e 0x x ax a ->⎧⎨+-≤⎩，而()0≤f x 的解集为[)2,-+∞，故21(2)20x x a x a ≤⎧⎨+--≤⎩的解为[]2,1-且14e 0x ax a -+-≤对任意的1x >恒成立. 又21(2)20x x a x a ≤⎧⎨+--≤⎩即为()()120x x x a ≤⎧⎪⎨+-≤⎪⎩，若2a <-，则()()120x x x a ≤⎧⎪⎨+-≤⎪⎩即为12x a x ≤⎧⎨≤≤-⎩，这与解为[]2,1-矛盾；若2a =-，则()()120x x x a ≤⎧⎪⎨+-≤⎪⎩即为12x x ≤⎧⎨=-⎩，这与解为[]2,1-矛盾；若2a >-，则()()120x x x a ≤⎧⎪⎨+-≤⎪⎩即为12x x a ≤⎧⎨-≤≤⎩，因为21(2)20x x a x a ≤⎧⎨+--≤⎩的解为[]2,1-，故1a ≥.当1x >时，14e0x ax a -+-≤恒成立即为14e 1x a x -≤+恒成立，令()14e ,11x s x x x -=>+，则()()()()111224e 14e 4e 011x x x x x s x x x ---+-'==>++，故()s x 在()1,+∞为增函数，故()()02s x s >=，故2a ≤. 综上，12a ≤≤ 故答案为：[]1,2.【点睛】思路点睛：与分段函数有关的不等式解的问题，应该就不同解析式对应的范围分类讨论，讨论时注意结合解析式的形式确定分类讨论还是参变分离.四、解答题11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，()()e 1e x xf x a -=++．(1)若0是函数()2=-y f x 的零点，求a 的值；(2)若对任意,()0x ∈+∞，不等式()1f x a ≥+恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)0 (2)(,3]-∞【分析】（1）0是函数()2=-y f x 的零点代入可得a ；（2）由题意知e (1)e 1-++≥+xxa a 在(0,)+∞上恒成立，转化为2e e 1e 1x xxa -+≤-在(0,)+∞上恒成立，化简可得11≤++a t t，利用均值不等式求最值可得答案.（1）因为0是函数()2=-y f x 的零点，所以00e (1)e 20a -++-=，解得a ＝0；（2）由题意知e (1)e 1-++≥+x x a a 在(0,)+∞上恒成立，则()2e 1e e 1x x xa -≤-+，又因为,()0x ∈+∞，所以e 1x>，则2e e 1e 1x x xa -+≤-，令e 1(0)-=>x t t ，则e 1x t =+，可得22(1)(1)1111+-++++≤==++t t t t a t t t t，又因为111123t t t t ++≥+⋅=，当且仅当1t t =即1t =时，等号成立，所以3a ≤，即a 的取值范围是(],3-∞．12．（2021·河南·高三开学考试（文））已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()3f x 在()1,+∞上恒成立，求证：2e a <.（注：3e 20≈）【答案】（1）当0a 时，()f x 在()0,∞+上单调递；当0a >时，数()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）证明见解析.【分析】（1）对函数求导，讨论0a 和0a >两种情况，即可得出函数的单调性；（2）利用分类参数的方法，先得到23ln 1x a x +≤+，构造新的函数()()231ln 1x h x x x +=>+，用导数的方法求其最小值，即可证明结论成立.【详解】（1）由题知函数()f x 的定义域为()0,∞+，()22a a xf x x x-'=-= ①当0a ≤时，()0f x '<，此时函数()f x 在()0,∞+上单调递； ②当0a >时，令()0f x '>，得02ax <<；令()0f x '<，得2a x >，所以函数()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；综上，当0a 时，()f x 在()0,∞+上单调递；当0a >时，数()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）由题意，()()ln 123f x a x x =+-在()1,+∞上恒成立，可化为23ln 1x a x +≤+在()1,x ∈+∞上恒成立，设()()231ln 1x h x x x +=>+，则()()()()()22132ln 1232ln ln 1ln 1x x x x x h x x x +-+⨯-'==++设()()32ln 1x x x x ϕ=->，则()2230x x xϕ'=+>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，又()3ln16322ln 2022ϕ-=-=<，()3e 20eϕ=-> 所以方程()0h x '=有且只有一个实根0x ，且02e x <<，0032ln x x =，所以在()01,x 上，()0h x '<，()h x 单调递减，在()0,x +∞上，()0h x '>，()h x 单调递增，所以函数()h x 的最小值为()000000232322e 3ln 112x x h x x x x ++===<++，从而022e a x ≤<. 【点睛】思路点睛：求解不等式在给定区间内恒成立求参数的问题时，优先考虑分离参数的方法，分离出所求参数，构造新的函数，利用导数的方法求解函数的最值，进而即可求解.13．（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）已知函数()ln (1)f x x x a x a =-++． (1)求函数()f x 的极值；(2)若不等式(1)()(2)e x f x x a a -≤--+对任意[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)极小值为e a a -；无极大值 (2)a 的取值范围为(,0]-∞【分析】（1）先判断函数定义域，再求导结合函数单调性求出极值即可；（2）对函数进行同构变形，令()(1)e x g x x a =--，则(ln )(1)g x g x ≤-对任意[1,)x ∈+∞恒成立，首先可以证明0ln 1x x ≤≤-对[1,)x ∈+∞恒成立，原题转化为求()g x 在[0,)+∞上单调递增时a 的取值范围即可. （1）由题意得：()ln (1)f x x x a x a =-++，,()0x ∈+∞，所以()ln f x x a '=-，令()0f x '=，解得e (0,)a x =∈+∞，当0e a x <<时()0f x '<；当e a x >时，()0f x '>．所以()f x 在()0,e a 上单调递减，在()e ,a+∞上单调递增．所以()f x 有极小值，为()e e a af a =-；无极大值．（2）由已知得，(1)ln (1)(2)e x x x a x x a --+≤--对任意[1,)x ∈+∞恒成立，即ln (1)(ln 1)e [(1)1]e x x x a x a ---≤---对任意[1,)x ∈+∞恒成立，令()(1)e x g x x a =--，则(ln )(1)g x g x ≤-对任意[1,)x ∈+∞恒成立，下证：0ln 1x x ≤≤-对任意[1,)x ∈+∞恒成立，令()ln (1)h x x x =--，[1,)x ∈+∞．则()10xh x x-'=≤在[1,)+∞上恒成立，且仅当1x =时取"="．所以()h x 在[1,)+∞上单调递减，()(1)0h x h ≤=，即0ln 1x x ≤≤-，[1,)x ∈+∞所以(ln )(1)g x g x ≤-对任意[1,)x ∈+∞恒成立，只需()g x 在[0,)+∞上单调递增，即()()e 0xg x x a '=-≥在[0,)+∞上恒成立，即a x ≤在[0,)+∞上恒成立，所以0,a ≤即a 的取值范围为(,0]-∞.【点睛】导数求参问题要善于运用转化的手法，本题先运用同构方法对原不等式变形，最终转化为函数单调性问题，结合函数的单调性与导数的关系，即可解答.14．（2022·甘肃定西·高二开学考试（理））已知函数()ln f x x x =，()23g x x ax =-+-(1)求()f x 在()()e,e f 处的切线方程(2)若存在[]1,e x ∈时，使()()2f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)2e y x =- (2)32eea【分析】（1）求出函数()f x 的导函数，确定切线的斜率，即可求()f x 在()()e,e f 处的切线方程；（2）先把不等式()()2f x g x ≥成立转化为32ln a x x x≤++成立，设32ln x x xx，[]1,e x ∈，利用导函数求出()x ϕ在[]1,e x ∈上的最大值，即可求实数a 的取值范围．（1）由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+，所以切线的斜率()e 2k f '==，()e e f =．所以()f x 在()()e,e f 处的切线方程为()e 2e y x -=-，即2e y x =-；（2）令20l 223n h x xf xg x x ax x ，则max 32ln a x x x ⎡⎤≤++⎢⎥⎣⎦，令32ln x x xx ，[]1,e x ∈，在[]1,e x ∈上，2130x xxx ，()x ϕ∴在[]1,e 上单调递增，max3e 2e +ex ， 32eea． 15．（2016·四川·高考真题（理））设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R. （I ）讨论f (x )的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得11()xf x e x->-在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．【答案】（I ）见解析（II ） 1[,)2a ∈+∞.【详解】试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（Ⅰ）问，对()f x 求导，再对a 进行讨论，从而判断函数()f x 的单调性；第（Ⅱ）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论. 试题解析：（Ⅰ）2121()2(0).ax f x ax x x x --=>'=0a ≤当时，()'f x <0，()f x 在0+∞（，）内单调递减. 0a >当时，由()'f x =0，有12x a=. 此时，当x ∈10,)2a（时，()'f x <0，()f x 单调递减；当x ∈1+)2a（，∞时，()'f x >0，()f x 单调递增. （Ⅱ）令()g x =111ex x --，()s x =1e x x --.则()s x '=1e 1x --. 而当1x >时，()s x '>0，所以()s x 在区间1+)∞（，内单调递增. 又由(1)s =0，有()s x >0，从而当1x >时，()f x >0.当0a ≤，1x >时，()f x =2(1)ln 0a x x --<.故当()f x >()g x 在区间1+)∞（，内恒成立时，必有0a >. 当102a <<时，12a>1. 由（Ⅰ）有1()(1)02f f a <=,从而1()02g a>，所以此时()f x >()g x 在区间1+)∞（，内不恒成立. 当12a ≥时，令()()()(1)h x f x g x x =-≥，当1x >时，3212222111112121()20xx x x x h x ax e x x x x x x x x --+-+=-+->-+-=>>'，因此，()h x 在区间(1,)+∞单调递增.又因为(1)=0h ，所以当1x >时，()()()0h x f x g x =->，即()()f x g x >恒成立. 综上，1[,)2a ∈+∞.【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求'()f x ，解方程'()0f x =，再通过'()f x 的正负确定()f x 的单调性；要证明不等式()()f x g x >，一般证明()()f x g x -的最小值大于0，为此要研究函数()()()h x f x g x =-的单调性．本题中注意由于函数()h x 的极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到，有一定的难度．16．（2020·河南开封市·高三一模（理））已知函数()()ln 0af x ax x a =>.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在x e =处的切线方程；（2）若()xf x xe ≤对于任意的1x >都成立，求a 的最大值.【答案】（1）2y x e =-；（2）最大值为e . 【解析】（1）先由1a =，得到()ln f x x x =，对其求导，根据导数的几何意义，即可求出切线方程；（2）先由不等式恒成立，得到ln ln a a x x x x e e ≤⋅，构造函数()ln g x x x =，利用导数的方法判定其单调性，得到a x x e ≤对于任意的1x >都成立，分离参数，得到ln xa x≤对于任意的1x >都成立，再由导数的方法求出ln xx的最小值，即可得出结果. 【详解】（1）当1a =时，()ln f x x x =，得()ln 1f x x '=+，则()f e e =，()2f e '=，所以()y f x =在x e =处的切线方程为：2y x e =-. （2）当0a >且1x >时，由于()ln ln ln ln xaxaaxaaxxf x xe ax x xe x x xe x x e e ≤⇔≤⇔≤⇔≤⋅，构造函数()lng x x x =，得()ln 10g x x '=+>在1x >上恒成立，所以()ln g x x x =在()1,+∞上单调递增，()()()ln ln x a a x x a x f x xe x x e e g x g e ≤⇔≤⋅⇔≤，由于()xf x xe ≤对任意的1x >都成立，又1a x >，e 1x >，再结合()g x 的单调性知道：。

小论文1：恒成立问题——参变分离法

但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。

（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设x 为自变量，其范围设为D ，()f x 为函数；a 为参数，()g a 为其表达式）（1）若()f x 的值域为[],m M①()(),x D g a f x ∀∈≤，则只需要()()min g a f x m ≤= ()(),x D g x f x ∀∈<，则只需要()()min g a f x m <= ②()(),x D g a f x ∀∈≥，则只需要()()max =g a f x M ≥ ()(),x D g a f x ∀∈>，则只需要()()max =g a f x M > ③()(),x D g a f x ∃∈≤，则只需要()()max g a f x M ≤= ()(),x D g a f x ∃∈<，则只需要()()max g a f x M <= ④()(),x D g a f x ∃∈≥，则只需要()()min g a f x m ≥=()(),x D g a f x ∃∈>，则只需要()()min g a f x m >= （2）若()f x 的值域为(),m M① ()(),x D g a f x ∀∈≤，则只需要()g a m ≤()(),x D g a f x ∀∈<，则只需要()g a m ≤（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ()(),x D g a f x ∀∈≥，则只需要()g a M ≥()(),x D g a f x ∀∈>，则只需要()g a M ≥（注意与（1）中对应情况进行对比） ③ ()(),x D g a f x ∃∈≤，则只需要()g a M <（注意与（1）中对应情况进行对比） ()(),x D g a f x ∃∈<，则只需要()g a M <④ ()(),x D g a f x ∃∈≥，则只需要()g a m >（注意与（1）中对应情况进行对比） ()(),x D g a f x ∃∈>，则只需要()g a m >5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。

函数恒成立问题——参变分离法