1基本计数原理

3. 鸽巢原理
3.1 鸽巢原理（The pigeonhole principle）之一
若在n个盒子中放有n+1个物件，则至少有一个盒子中放有两
个或更多的物件。 证明 若每个盒子中至多存放1个物件，则n个盒子中至多存 放n个物件，但因最初已有n+1个物件，这是不可能的。 请注意，鸽巢原理没有能力指出究竟哪个盒子中放有两个或 更多的物件, 若要做到这一点，除非逐个检查n个盒子。即应用鸽 巢原理只能证明某种安排或某些现象的存在性，但却不能用来构 造这种安排或找出某些现象中的具体例子。
9}9个数字组成的4位数的个数（第一位不得出现0）。由乘法原
理，有8×9×9×9=5832个 又4位数共有9999-999=9000个。 因此, 含有数字1的4位数的个数为 9000-5832=3168。 注： 本例中用到了一种求补原理。提法是：由总数中去掉 不满足某些性质的物件数，则剩余者即为满足该性质的物件总 数。
识其余n-1位中的一位，则n位代表中至少有两位认识的人数
相等。
证明 n位代表认识的人数有1, 2, …, n-1， 由鸽巢原理知 至少两位代表认识的人数相等。
例 4
给定m个整数a1, a2, …, am 。则至少存在整数k和
m | ai
ik l
l(1≤k≤l≤m)， 使得
证明 构造序列
s1=a1, s2=a1+a2, …, sm=a1+a2+…+am
a
i0
n
i
或
0i n
a
i
若令Nn表示前n+1个自然数所成Leabharlann Baidu集，即Nn={0, 1, 2, …, n}， 则还可表示为
i N n
a
i
1.2 积式（Product formula）
与和式类似, 还可以并行的讨论积式 x 0 x 1 x 2 x n 或更一般地写为
0i n

xi
则有 s1＜ s2 ＜…＜sm
如下分两种情况讨论： (a) 若有一个sh, 使m|sh, 则命题已明（此时k=1, l=h）;
(b) 设若单调增序列（2.3.1）式中任何一个元素都不能被m 整除。
例 1 13个人中，至少有2个人的生日在同一个月。
例 2 从1到2n的正整数中任取n+1个数，则这n+1个数中至
少有一对数，其中一个数可整除另一个数。 证明 设所取的n+1个数是 a1, a2, …, an, an+1 将序列中每个数都写成一个奇数乘以2的次幂的形式，得到相 应序列
2
a1
b1 , 2
基本计数原理
1 2 3 4 5 6 7 8 和式与积式 加法原理和乘法原理 鸽巢原理 排列与组合 排列与组合的进一步讨论 二项式系数 多项式定理 集合的划分的计数
1. 和 式 与 积 式
1.1 和式(Sum formula）
定义 1 a0+a1+…+an称为a0, a1, …, an的和式，常简记为
a2
b2 , , 2
an
bn , 2
a n 1
bn 1
1≤b1, b2, …, bn, bn+1 ≤2n-1 n+1个数取n个值，所以必有两个是相同的。不妨设
bi=bj
a1
2
bi ,
2
a2
bj
这两个数中必有一个整除另一个。
例 3 某次会议有n位代表参加，已知每一位代表至少认

x , X {x 0 , x1 , , x n }
x X
注意到若附加条件xi＞0(1≤i≤n)， 则
1 i n

xi
1 i n

e
ln x i
exp(
1 i n
ln
xi )
即积式可转化为和式来处理。条件xi＞0并无实质性的限制，因 若某个xi=0，则整个积式为0，又恰有k项取负时，可先对两边 乘(-1)k，以确保xi＞0， 最后再将其恢复过来。
i 1
若有相交的情形出现， 则要用到后面讨论的包含排斥原理。
例 1 小于100的正偶数有49个，小于100的正奇数有50个，
则小于100的正整数有49+50=99个。
2.2 乘法原理(Multiplication Principle)
设A，B为二不同类事件，若事件A有m种产生方式，事件B
有n种产生方式，则“事件A与事件B”有mn种产生方式
推广的加法原理是：如果Ti为ni元集（i=1, 2, …, r），并且
r
π={T1, T2, …, Tr}形成 的一个划分， 则 Ti
i 1
为 元集。 Ti n i
i 1
r
r
加法原理的通俗说法是：部分之和等于全体。 约束条件是： (1) 讨论范围局限于有限集； (2) 任意两个部分都不相交。
i 1
r
这是乘法原理中取Ti=X(i=1, 2, …, r)均为n元集的特殊情形。 例 2 从u到v有3条不同的道路，从v到w有2条不同的道路， 则从u经v到w有3×2=6 条不同的道路。
例 3 某高级语言的标识符规定长度最多为6位，其中第一位 限取字母，其余各位可取字母， 也可取数字。 求所有可能出现 的标识符总数。
用集合论的术语，乘法原理也可描述如下：
设S，T为二集，若S为m元集，T为n元集，则S与T的叉积之
集合S×T为mn元集。
推广的乘法原理是：如果Ti为ni元集(i=1, 2, …, r)，则
i 1
T i 为 n i 元集。
i 1
r
r
推论 设X为n元集，则 X
r
是nr元集。
2. 加法原理和乘法原理
2.1 加法原理（Addition Principle）
设A，B为两个不同类事件，若事件A有m种产生方式，事件
B有n种产生方式，则“事件A或者事件B”有m+n种产生方式。
用集合论的术语， 加法原理也可描述如下： 设S为m元集，T为n元集，如果S∩T=￠, 则S∪T为m+n元集。
解 长为1的只有26个；长为2的由乘法原理有26(26+10)个；
……长为6的由乘法原理有26(26+10)5个。最后由加法原理，所有 可能出现的标识符总数为
26 (1 36 36 36 ) 26 36
2 5 k 0 5 k
例 4 求含有数字1的4位数的个数。 解 先求不含有1的4位数的个数，即求由{0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,