§6.2布里渊区

( 2 )2
a
6
3.第二布里渊区
由4个倒格点
(b1 b2 ) (b1 b2 ) (b1 b2 ) (b1 b2 )
垂直平分线和第一布里渊区边 界所围成第二布里渊区大小
( 2 )2
a
7
4.第三布里渊区 由4个倒格点
2b1, 2b2 2b1, 2b2
垂直平分线和第二布里渊区边界 边界所围成第三布里渊区大小
a 4 4 a 2 2 2 31
32
二维长方晶格的布里渊区
33
六角密积结构的第一和第二布里渊区
六角密积结构的第一布里渊区是上下底面为正六边形 的多面体。图(a)即是第一布里渊区； 图(b)是第二布里渊区的外表面。它与其内的第一布里 渊区边界之间的区域是第二布里渊区。
34
所有点的集合称为第二布里渊区……从原点出发跨过(n-1)个 垂直平分面的所有点的集合称为第n布里渊区。
第一布里渊区—倒格子空间中的WS原胞。
1
2.布里渊区的特点
(1)各布里渊区的体积相等，都等于倒格子原胞的体积。
＝b1
b2 b3
2 3
(2)波矢k的代表点是均匀分布的，每个代表点的体积为：
b3
2
a
i j－k
K n n1b1 n2b2 n3b3
2 a
- n1 n2 n3 i n1 - n2 n3 j n1 n2 - n3 k
26
4
a
27
3.离原点最近的倒格点 面心立方的倒格子是体心立方，离原点最近的倒格
点有八个。在直角坐标系中的坐标分别为:
2 1,1,1 2 1,1,1 2 1,1,1 2 1,1,1
n2 n3 i n1 n3 j n1 n2 k
20
b1
b2
b3
4
a
21
3.离原点最近的倒格点 体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的倒格
点有十二个。在直角坐标系中的坐标分别为:
2 1,1,0
a
2 1,0,1
a
2 0,1,1
a
2 1,1,0
a
2 1,0,1
a
2 0,1,1
a
2 1,1,0
13
7.二维斜格子的第一布里渊区
14
8.二维六角格子其它布里渊区的形成
15
9.二维六角格子其它布里渊区的形状
每个布里渊 区经过适当 的平移之后 和第一布里 渊区重合
16
10.二维格子布里渊区的特点 (1)尽管布里渊区在图中看起来好像被分割为不相连的若干小 区, 但是,实际上能量是连续的。属于一个布里渊区的能级构 成一个能带。不同的布里渊区对应不同的能带。 (2)每个布里渊区的形状尽管各异，但是面积都相等, 等于倒 格子原胞的面积。 (3)计入自旋，每个能带包含2N个量子态。 (4)每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合。
a
2 1,0,1
a
2 0,1,1
a
2 1,1,0
a
2 1,0,1
a
2 0,1,1
a
倒格矢的长度(基矢的长度)为:
Kn
2
2
a
22
4.体心立方第一布里渊区 离原点最近的十二个倒格点的中垂面围成一个菱形
十二面体。其体积等于倒格子原胞的体积。
23
24
5.对称点和对称轴
k
Δ
H
j
i
Γ
Η
Ρ
Ν
波矢k
2 0,0,0
( 2 )2
a
8
第一、第二和第三布里渊区
9
5.正方格子其它布里渊区的形状
10
每个布里渊区经过 适当的平移之后和 第一布里渊区重合
11
6.二维正方格子的能带交叠 第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k'方向上
能量最高点C。 C点的能量比第二布里渊区B点高。
12
二维(包括三维)和一维情形有一个 重要的区别—不同能带在能量上不 一定分隔开而可以发生能带之间的 交叠。第一布里渊区和第二布里渊 区能带的重叠。
18
第一布里渊区
19
四、体心立方格子的布里渊区
1.体心立方正格子基矢
a1
a (i 2
j
k )；a2
a (i 2
j
k )；a3
a (i 2
j
k)；
2.体心立方对应的倒格子基矢和倒格矢
b1
2
a
j
k
,
b2
2
a
k＋i ,
b3
2
a
i j
K n n1b1 n2b2 n3b3
2 a
2
a
j,
b3
Hale Waihona Puke Baidu
2
a
k;
倒格矢: Kh n1b1 n2b2
1.布里渊区的画法
(1)利用倒格矢画出倒格子空间中倒格点的分布图;
(2)分别找出近邻的倒格点、次近邻倒格点……做所有倒
格矢的垂直平分面;
(3)确定相应的布里渊区。
3
-
2
i
a
ky
2
j
a
O
b1 b2
2
i
a
kx
-
2
j
a
4
Ⅰ
Ⅱ
2 1,0,0
2
1
1 ,
1 ,
2 1 , 1 ,0
a
a
a 2 2 2 a 2 2 25
五、面心立方格子的布里渊区
1.面心立方正格子基矢
a1
a( 2
j
k); a2
a (k 2
i); a3
a (i 2
j)
2.面心立方对应的倒格子基矢和倒格矢
b1
2
a
－i
j
k
, b2
2
a
i－j k ,
17
三、简单立方格子的布里渊区
正格子基矢 a1 ai , a2 aj , a3 ak
倒格子基矢
b1
2
a
i,
b2
2
a
j,
b3
2
a
k
简单立方格子的倒格子也是简立方，其第一布里
渊区是边长为2/a的立方体。第一布里渊区为原点和6
个近邻格点的垂直平分面围成的立方体。
b1, b2 , b3
a
a
a
a
2 1,1,1 2 1,1,1 2 1,1,1 2 1,1,1
a
a
a
a
倒格矢的长度(基矢)为:
2 3
Kn a
离原点最近的八个倒格点中垂面所围成的八面体的体积大
于倒格子原胞得体积，必须考虑次近邻的六个倒格点。
28
4. 次近邻的倒格点
2 2,0,0 2 0， 2,0 2 0，0， 2
a
a
§6.2 布里渊区 一、布里渊区
1.布里渊区
在倒格子空间以某一倒格点为原点，从原点出发做所
有倒格矢的中垂面, 这些平面把倒格子空间划分成许多包围
原点的多面体,离原点最近的多面体称为第一布里渊区。离
原点次近的多面体与第一布里渊区之间的区域称为第二布里
渊区……。或者从原点出发不跨过任何垂直平分面的点的集 合称为第一布里渊区；从原点出发只跨过一个垂直平分面的
a
倒格矢的长度为:
K n
4
a
次近邻的六个倒格矢的中垂面将截去原正八面体的 六个角，形成一个截角八面体(实际是十四面体)
29
八个面是 正六边形, 六个面是 正四边形
30
2 3
Kn a
4
Kn a
Γ
Χ
Κ
L
波矢k
2 0,0,0
2 1,0,0
2 3 , 3 ,0
2 1 , 1 , 1
a
a
1 N1
b1
2 N2
b2
3 N3
b3
2 3
N
(3)第一布里渊区又称为简约布里渊区。简约布里渊区所
包含的波矢的数目(即状态数)为晶体中的原胞数N。
2 3 2 3＝N
N
2
二、二维正方格子的布里渊区分布
正格子基矢:
a1
ai , a2
aj,
a3
ak;
倒格子基矢: b1
2
a
i , b2
Ⅲ
：表示第一布里渊区简约布里渊区的中心；
：表示布里渊区边界线的中点； ：表示布里渊区角顶点； ：表示布里渊区中心到边界线的中点的连线； ：表示布里渊区中心到角顶点的连线。
5
2.第一布里渊区
倒格子空间离原点最近的四个倒格点 b1, b1, b2, b2
垂直平分线方程
kx a
ky
a
第一布里渊区大小