勾股定理知识点总结及练习

?勾股定理知识总结

一．基础知识点：

1：勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）

要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC

∆

中，90

C

∠=︒，

则c=

，b

，

a=）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求

直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2

＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角

三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确

定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝

a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角

形；若c2

（定理中a，b，c及222

a b c

+=只是一种表现形式，

不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足

222

a c b

+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角

三角形，但是b为斜边）

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其

逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相

反，都与直角三角形有关。

规律方法指导

1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等

式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，

可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角

边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

4. 勾股定理的逆定理：如果三

角形的三条边长a，b，c有下列

关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角

形是直角三角形；该逆定理给出

判定一个三角形是否是直角三

角形的判定方法．

5.•应用勾股定理的逆定理判

定一个三角形是不是直角三

角形的过程主要是进行代数

运算，通过学习加深对“数

形结合”的理解．

5：勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，

常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理

的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，

面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等

式，推导出勾股定理

常见方法如下：

方法一：4

EFGH

S S S

∆

+=

正方形正方形ABCD

，

22

1

4()

2

ab b a c

⨯+-=，化简可证．

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正

方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为

22

1

42

2

S ab c ab c

=⨯+=+

大正方形面积为222

()2

S a b a ab b

=+=++所

以222

a b c

+=

6：勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为

勾股数，即222

a b c

+=中，a，b，c为正整数时，称

a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；

6,8,10；5,12,13；7,24,25；8，15，17；9,40,41等

c

b a

H

G

F

E

D

C

B

A

c

b a

H

G

F

E

D

C

B

A

b

a

c

b

a

c

c

a

b

c

a

b

勾股定理

练习

一．填空题：

1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°

（1）若a=5，b=12，则c=________； （2）b=8，c=17，则S △ABC =________。

2.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，则这个三角

形是________（按角分类）。 3. 直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为

________。

4．传说,古埃及人曾用＂拉绳”的方法画直角,现有一

根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24

厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边

的长度分别为_______厘米,______厘米,________

厘米,其中的道理是______________________.

6．观察下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172

；

242+102=262

；……；你有没有发现其中的规律请用你发

现的规律写出接下来的式子：

____________________________。

7．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图

形，这个图形被称为弦图(最早由三国时期的数学家赵

爽给出的)．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方

形面积＋四个直角三角形面积．

＋ ,化简后即为c 2

＝ ．

8． 一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的

A 点沿纸箱爬到

B 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。 二．选择题：

10．三个正方形的面积如图，正方形A 的面积为

（ ）

A. 6

B.４

C. 64

D. 8

11.已知直角三角形的两条边长分别是5和12，则第三边为

（ ） Ａ． １３ Ｂ．

119 Ｃ．１３

或119 Ｄ． 不能确定

12.下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边必是13；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一

个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，（a>b=c ），那

么a 2∶b 2∶c 2

=2∶1∶1。其中正确的是（ ）

A 、①②

B 、①③

C 、①④

D 、②④

13.三角形的三边长为（a+b ）2=c 2

+2ab,则这个三角形

是( )

A. 等边三角形;

B. 钝角三角形;

C. 直角三角形;

D. 锐角三角形.

14.如图一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东

北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港

口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两

船相距 （ ） A 、25海里 B 、30海里 C 、35海里 D 、40海里

15. 已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，

则以底边为边长的正方形的面积为（ ）

A 、40

B 、80

C 、40或360

D 、80或360

16．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮（ ）

A C 、150a 元

三．解答题： 18.(1)在数轴上作出表示 2 的 点. 19．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的

门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺， 求竹竿高与门高。 20．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米

b c

第8题图 北 南 A 东 第14题

A

A ′ O 第