简谐运动位移公式推导

简谐运动位移公式推导
问题：质量为m的系于一端固定的轻弹簧（弹簧质量可不计）的自由端。

如图（a）所示，
将物体略向右移，在弹簧力作用下，若接触面光滑，m物体将作往复运动，试求位移x与时间t的函数关系式。

图（a）
分析：m物体在弹力F的作用下运动，显然位移X与弹力F有关，进而由弹簧联想起胡克定律，但结果只有位移与时间，故要把弹力F替换成关于X与t的量，再求解该微分方程。

推导：取物体平衡位置O为坐标原点,物体运动轨迹为X轴，向右为正。

设弹力为F,
由胡克定律,K为劲度系数，负号表示力与位移方向相反。

根据牛顿第二定律，m物体加速度a====-x(1) 可令=(2)
代入（a）,得
=X或X=0(3)
显然，想求出位移X与时间t的函数关系式，须解出此微分方程
求解：对于X=0，即X’’+X=0 (4)
(4)式属可将阶的二阶微分方程，
若设X’=u，消去t,就要把把X”转化为关于X与t的函数，那么
X’’===u,
u+X=0, u X
下面分离变量再求解微分方程，然后两边积分，得
=
得=+C，即+C1(5)
u=x’,x’==
(6)
再次分离变量，=dt (7)
两边积分，右边=t，但左边较为复杂，
经过仔细思考，笔者给出一种求解方法：
运用三角代换，令X=
(7)式左边化为==-,
两边积分，得-–=t+C2
由此可得，X=t+),
即X=A t+) (8)
其中A, Ψ皆为常数
此方程即为简谐运动方程
若Ψ=0,X-t为余弦曲线，如图（b）所示
图（b）
验证：通过高频照相机拍摄后发现m的轨迹为周期摆动的简谐曲线，与X=A t+)图像基本吻合，故可判断X=A t+)即为所求,如图（c）所示。

图（c）。