高考理科数学总复习专题考点
湖南高考数学(理科)近5年考点分析
二项式定理
程序框图
三视图
分层抽样
14
双曲线离心率
程序框图
平面向量
抛物线
立体几何
型、条件概率
数列、推理
数列、推理
16
归纳推理
归纳推理（难）
归纳推理
三角函数
三角函数、平面向量、解三角形
解答题
17
三角函数
概率
三角函数、正弦定理
统计、概率
概率
18
概率
立体几何
概率
立体几何
立体几何
题号
年份
13
12
11
10
09
1
复数
集合
复数
集合
简单函数
2
统计（抽样）
命题
充要条件
命题
充要条件
3
解三角形
三视图
三视图
参数方程
三角函数
4
线性规划
统计（回归方程）
独立性检验
平面向量
函数图象
5
函数的图象（交点个数问题）
双曲线（简单）
双曲线
定积分
排列组合
6
平面向量
三角函数求值域
三角函数、定积分
解三角形
线性规划
7
三视图
解三角形
线性规划（含参）
排列组合
立体几何
8
解析几何
函数的图象（难）
函数最值（求导）
函数最值
函数最值
填空题
9
参数方程
参数方程
参数方程
优选法（0.618法）
集合
10
不等式选讲
不等式
高考数学复习备考总结
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2021届高三高考数学理科一轮复习知识点专题2-2 函数的单调性与最值【含答案】
2021届高三高考数学理科一轮复习知识点专题2.2 函数的单调性与最值【核心素养分析】1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。
【重点知识梳理】知识点一函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．知识点二函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论M 为最大值M 为最小值【特别提醒】1.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f （x ）的单调性相反. 2.“对勾函数”y ＝x ＋ax (a >0)的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].【典型题分析】高频考点一 确定不含参函数的单调性(区间)例1.（2020·新课标Ⅱ）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B. 是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D. 是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ； 当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，D 正确. 【举一反三】（2020·山东青岛二中模拟）函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为________，单调递减区间为________．【答案】[2，＋∞) (－∞，－3] 【解析】令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数， 所以y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)。
2021届高考数学总复习(人教A版,理科)配套题库： 直线、平面平行的判定及其性质(含答案解析)
第4讲直线、平面平行的判定及其性质一、选择题1．若直线m⊂平面α，则条件甲：“直线l∥α”是条件乙：“l∥m”的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 D2．若直线a∥直线b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是( )A．确定平行 B．不平行C．平行或相交 D．平行或在平面内解析直线在平面内的状况不能遗漏，所以正确选项为D.答案 D3．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()．A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α解析l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；l⊂α时，直线l上全部的点到α的距离都是0；l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．答案 D4．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()．A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2解析对于选项A，不合题意；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不愿定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B；对于选项C，由于m，n不愿定相交，故是必要非充分条件；对于选项D，由n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意，综上选B.答案 B5．已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2.直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析如图所示，由于α2∥α3，同时被第三个平面P1P3N所截，故有P2M∥P3N.再依据平行线截线段成比例易知选C.答案 C6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是()．A．①③B．②③C．①④D．②④解析对于图形①：平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP，对于图形④：AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP，图形②、③都不行以，故选C.答案 C二、填空题7．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．解析过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点。
高考数学(理科)二轮专题复习 ： 专题七 第1讲排列、组合与二项式定理
第1讲 排列、组合与二项式定理考情解读 (1)高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、基本方法(如“在”“不在”问题、相邻问题、相间问题)为主，主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问题、选取问题等；对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开式的特定项，利用二项式定理展开式的性质求有关系数问题．主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力．(2)排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查，一般以填空题的形式出现，难度中等，还经常与概率问题相结合，出现在解答题的第一或第二个小题中，难度也为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在填空题中，难度为易或中等．1．分类计数原理和分步计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步计数原理将各步的方法种数相乘． 2．排列与组合(1)排列：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数公式是A m n ＝n (n－1)(n －2)…(n －m ＋1)或写成A m n ＝n ！(n －m )！. (2)组合：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素组成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数公式是 C m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！或写成C m n＝n ！m ！(n －m )！. (3)组合数的性质①C m n ＝C n－mn；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n. 3．二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n b 0＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n a 0b n (r ＝0,1,2，…，n )．(2)二项展开式的通项T r ＋1＝C r n a n －r b r ，r ＝0,1,2，…，n ，其中C r n 叫做二项式系数．(3)二项式系数的性质①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C k n ＝C n －k n ，….②最大值：当n 为偶数时，中间的一项的二项式系数C nn 2取得最大值；当n 为奇数时，中间的两项的二项式系数C n n -12，C n n +12相等，且同时取得最大值． ③各二项式系数的和a ．C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C k n ＋…＋C n n ＝2n；b ．C 0n ＋C 2n ＋…＋C 2r n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＋C 2r ＋1n＋… ＝12·2n ＝2n －1.热点一 两个计数原理例1 (1)将1,2,3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大．当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法有________种．(2)如果一个三位正整数“a 1a 2a 3”满足a 1<a 2且a 3<a 2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为________．思维启迪 (1)先确定数字1,2,9的位置，再分步填写空格；(2)按中间数进行分类． 答案 (1)6 (2)240解析 (1)∵每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1,2,9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填后与之相邻的空格可填6,7,8任一个； 余下两个数字按从小到大只有一种方法． 共有2×3＝6(种)结果．(2)分8类，当中间数为2时，有1×2＝2种；当中间数为3时，有2×3＝6种；当中间数为4时，有3×4＝12种；当中间数为5时，有4×5＝20种；当中间数为6时，有5×6＝30种；当中间数为7时，有6×7＝42种；当中间数为8时，有7×8＝56种；当中间数为9时，有8×9＝72种．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(种)．思维升华(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．(1)(2014·大纲全国改编)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有________种．(2)(2014·东北三省模拟)已知函数f(x)＝ln(x2＋1)的值域为{0,1,2}，则满足这样条件的函数的个数为________．答案(1)75(2)9解析(1)由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C26C15＝75(种)．(2)因为值域为{0,1,2}即ln(x2＋1)＝0⇒x＝0，ln(x2＋1)＝1⇒x＝±e－1，ln(x2＋1)＝2⇒x＝±e2－1，所以定义域取值即在这5个元素中选取，①当定义域中有3个元素时，C11C12C12＝4，②当定义域中有4个元素时，C11C34＝4，③当定义域中有5个元素时，有一种情况．所以共有4＋4＋1＝9(个)这样的函数．热点二排列与组合例2(1)(2014·重庆改编)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________．(2)(2014·衡水模拟)数列{a n}共有12项，其中a1＝0，a5＝2，a12＝5，且|a k＋1－a k|＝1，k＝1,2,3，…，11，则满足这种条件的不同数列的个数为________．思维启迪(1)将不能相邻的节目插空安排；(2)考虑数列中项的增减变化次数．答案(1)120(2)84解析(1)先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A22C13A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A22A34＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．(2)∵|a k＋1－a k|＝1，k＝1,2,3，…，11，∴前一项总比后一项大1或小1，a1到a5中4个变化必然有3升1减，a5到a12中必然有5升2减，是组合的问题，∴C14×C27＝84.思维升华解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．(1)在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种．(2)(2014·淄博模拟)从0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数是________(用数字作答)．答案(1)96(2)60解析(1)首先安排A有2种方法；第二步在剩余的5个位置选取相邻的两个排B，C，有4种排法，而B，C位置互换有2种方法；第三步安排剩余的3个程序，有A33种排法，共有2×4×2×A33＝96(种)．(2)0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数，且为偶数，有两种情况：一是当0在个位的四位偶数有A34＝24(个)；二是当0不在个位时，先从2,4中选一个放在个位，再从余下的三个数选一个放在首位，应有A12A13A23＝36(个)，故共有四位偶数60个．热点三二项式定理例3(1)(3x－2x)8二项展开式中的常数项为________．(2)如果(1＋x＋x2)(x－a)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含x4项的系数为________．思维启迪(1)利用通项公式求常数项；(2)可用赋值法求二项展开式所有项的系数和．答案(1)112(2)－5解析(1)∵T r＋1＝C r8(3x)8－r(－2x)r＝C r8(－2)r x83－43r，∴令83－43r＝0，即r＝2，∴常数项为C28(－2)2＝112.(2)∵令x＝1得(1＋x＋x2)(x－a)5的展开式中所有项的系数和为(1＋1＋12)(1－a)5＝0，∴a＝1，∴(1＋x＋x2)(x－a)5＝(1＋x＋x2)(x－1)5＝(x3－1)(x－1)4＝x3(x－1)4－(x－1)4，其展开式中含x4项的系数为C34(－1)3－C04(－1)0＝－5.思维升华(1)在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； ②T r ＋1是展开式中的第r ＋1项，而不是第r 项；③公式中，a ，b 的指数和为n 且a ，b 不能随便颠倒位置； ④对二项式(a －b )n 展开式的通项公式要特别注意符号问题．(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．(1)(2014·湖北改编)若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝________.(2)(2014·浙江改编)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝________. 答案 (1)1 (2)120解析 (1)二项式(2x ＋ax)7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r ·(a x)r ＝C r 727－r a r x 7－2r， 令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. (2)因为f (m ，n )＝C m 6C n 4，所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.1．排列、组合应用题的解题策略(1)在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．(2)区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关． (3)排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法．2．二项式定理是一个恒等式，对待恒等式通常有两种思路一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值．这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解．另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，在运用公式时要注意以下几点：(1)C r n an －r b r是第r ＋1项，而不是第r 项． (2)运用通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r 解题，一般都需先转化为方程(组)求出n 、r ，然后代入通项公式求解．(3)求展开式的特殊项，通常都是由题意列方程求出r ，再求出所需的某项；有时需先求n ，计算时要注意n 和r 的取值范围及它们之间的大小关系.真题感悟1．(2014·浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)． 答案 60解析 把8张奖券分4组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A 44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C 23种分法，再分给4人有A 24种分法，所以不同获奖情况种数为A 44＋C 23A 24＝24＋36＝60.2．(2014·山东)若(ax 2＋b x )6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．答案 2解析 (ax 2＋bx)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ·(b x)r ＝C r 6a 6－r b r x 12－3r， 令12－3r ＝3，得r ＝3，由C 36a6－3b 3＝20得ab ＝1， 所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，故a 2＋b 2的最小值为2. 押题精练1．给一个正方体的六个面涂上4种不同的颜色(红、黄、绿、蓝)，要求相邻2个面涂不同的颜色，则所有涂色方法的种数为________． 答案 6解析 由于涂色过程中，要使用4种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的3组对面来说，必然有2组对面同色，1组对面不同色，而且3组对面具有“地位对等性”，因此，只需从4种颜色中选择2种涂在其中2组对面上，剩下的2种颜色分别涂在另外2个面上即可．因此共有C 24＝6(种)不同的涂法．2．上海卫视台《百里挑一》收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有________种． 答案 8解析 可分三步：第一步，最后一个排商业广告有A 12种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有A 12种；第三步，余下的两个排公益宣传广告有A 22种．根据分步计数原理，可得不同的播放方式共有A 12A 12A 22＝8(种)．3．(x ＋13x)2n 的展开式中第6项的二项式系数最大，则其常数项为________．答案 210解析 根据二项式系数的性质，得2n ＝10，故二项式(x ＋13x)2n 的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10(x )10－r·(13x)r＝C r 10x 5－r 2－r3.根据题意令5－r 2－r3＝0，解得r ＝6，故所求的常数项等于C 610＝210.4．若(1－2x )2 014＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 014x 2 014，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01422 014的值为________．答案 －1解析 因为(1－2x )2 014＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 014x 2 014， 令x ＝12，则(1－2×12)2 014＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01422 014＝0.令x ＝0，可得a 0＝1. 所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01422 014＝－1.(推荐时间：40分钟)1．(2014·安徽改编)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对． 答案 48 解析如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与面对角线AC 成60°角的面对角线有B 1C ，BC 1，A 1D ，AD 1，AB 1，A 1B ，D 1C ，DC 1，共8条，同理与DB 成60°角的面对角线也有8条．因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对．又正方体共有6个面，所以共有16×6＝96(对)．又因为每对被计算了2次，因此成60°角的面对角线有12×96＝48(对)．2．在(x －2x)5的二项展开式中，x 2的系数为________． 答案 40 解析 (x －2x)5的展开式的通项为 T r ＋1＝C r 5x5－r(－2x)r ＝(－2)r C r 5x 5－3r 2， 令5－3r2＝2，得r ＝2，故展开式中x 2的系数是(－2)2C 25＝40.3．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数为________． 答案 112解析 根据分层抽样，从8个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法是C 28C 14＝112.4．若(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 0＋a 1＋a 3＋a 5的值为________． 答案 123解析 在已知等式中分别取x ＝0、x ＝1与x ＝－1，得a 0＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1，因此有2(a 1＋a 3＋a 5)＝35＋1＝244，a 1＋a 3＋a 5＝122，a 0＋a 1＋a 3＋a 5＝123.5．(2014·四川改编)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为________． 答案 15解析 因为(1＋x )6的展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x r ，x (1＋x )6的展开式中含x 3的项为C 26x3＝15x 3，所以系数为15.6．计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的排列方式的种数有________． 答案 5 760解析 先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有A 22种放法，再考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列的方法有A 22A 44A 55＝5 760种．7．二项式(x －13x)n 的展开式中第4项为常数项，则常数项为________．答案 －10解析 由题意可知二项式(x －13x)n 的展开式的常数项为T 4＝C 3n (x )n －3(－13x)3＝(－1)3C 3nx 3n －156，令3n －15＝0，可得n ＝5.故所求常数项为T 4＝(－1)3C 35＝－10.8．有A 、B 、C 、D 、E 五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A 、B 两位学生去问成绩，老师对A 说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B 说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为________． 答案 18解析 由题意知，名次排列的种数为C 13A 33＝18.9．在二项式(x 2－1x )n 的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________． 答案 0解析 依题意得所有二项式系数的和为2n ＝32，解得n ＝5. 因此，令x ＝1，则该二项展开式中的各项系数的和等于(12－11)5＝0.10．用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，则所有涂色方法的种数为________． 答案 260 解析如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4.如果使用2种颜色，则只能是第1,4个小方格涂一种，第2,3个小方格涂一种，方法种数是C 25A 22＝20；如果使用3种颜色，若第1,2,3个小方格不同色，第4个小方格只能和第1个小方格相同，方法种数是C 35A 33＝60，若第1,2,3个小方格只用2种颜色，则第4个方格只能用第3种颜色，方法种数是C 35×3×2＝60；如果使用4种颜色，方法种数是C 45A 44＝120.根据分类计数原理，知总的涂法种数是20＋60＋60＋120＝260. 11．“雾霾治理”“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”成为2013年社会关注的五个焦点．小王想利用2014“五一”假期的时间调查一下社会对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“雾霾治理”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的调查顺序总数为________． 答案 72解析 先从“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”这4个热点选出3个，有C 34种不同的选法；在调查时，“雾霾治理”安排的调查顺序有A 13种可能情况，其余三个热点调查顺序有A 33种，故不同调查顺序的总数为C 34A 13A 33＝72.12．(x －1)(4x 2＋1x 2－4)3的展开式中的常数项为________．答案 160解析 (x －1)(4x 2＋1x 2－4)3＝(x －1)(2x －1x )6，其中(2x －1x)6展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r·(－1x)r ＝(－1)r ·C r 6·26－r ·x 6－2r ，令r ＝3，可得T 4＝(－1)3C 36·23＝－160，所以二项式(x －1)(4x 2＋1x 2－4)3的展开式中常数项为(－1)×(－160)＝160.13．(2014·北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种． 答案 36解析 将产品A 与B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A 22A 44种方法，将产品A ，B ，C 捆绑在一起，且A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A 22A 33种方法．于是符合题意的排法共有A 22A 44－A 22A 33＝36(种)．14．(2014·课标全国Ⅱ)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________. 答案 12解析 设通项为T r ＋1＝C r 10x10－r a r，令10－r ＝7， ∴r ＝3，∴x 7的系数为C 310a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12.15．某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为________． 答案 36解析若甲、乙分到的车间不再分人，则分法有C13×A22×C13＝18种；若甲、乙分到的车间再分一人，则分法有3×C13×A22＝18种．所以满足题意的分法共有18＋18＝36种．16．已知(x＋ax)6(a>0)的展开式中常数项为240，则(x＋a)(x－2a)2的展开式中x2项的系数为________．答案－6解析(x＋ax)6的二项展开式的通项为T r＋1＝C r6x6－r(ax)r＝C r6a r x6－3r2，令6－3r2＝0，得r＝4，则其常数项为C46a4＝15a4＝240，则a4＝16，由a>0，故a＝2.又(x＋a)(x－2a)2的展开式中，x2项为－3ax2.故x2项的系数为(－3)×2＝－6.。
大纲版数学理科高考总复习4-6三角函数的性质
• 题型三 三角函数的单调性 • 典例3 求函数f(x)＝2sinxcosx－2cos2x
• (2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)中A>0，ω<0， 可用诱导公式将函数变为y＝－Asin(－ ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间
为原函数的减区间，减区间为原函数 的增区间．
变式 3 求函数 y＝12sin(π4－23x)的单调递增区间． 解析：原函数变形为 y＝－12sin(23x－π4)，令 u＝23x－π4， 则只需求 y＝sinu 的单调递减区间即可． y＝sinu 在 2kπ＋π2≤u＝23x－π4≤2kπ＋32π(k∈Z)上，即 3kπ＋98π≤x≤3kπ＋281π(k∈Z)上单调递减， 故原函数的递增区间为[3kπ＋98π，3kπ＋218π](k∈Z)．
0<x≤4， 得kπ≤x<kπ＋π2k∈Z. ∴函数定义域是{x|0<x<π2或 π≤x≤4}．
• 【方法技巧】 (1)与三角函数有关的 函数的定义域
• ①与三角函数有关的函数的定义域仍 然是使函数解析式有意义的自变量的 取值范围．
• ②求此类函数的定义域最终归结为用 三角函数线或三角函数的图象解三角 不等式．
【错因分析】 第(1)题是复合函数，其内层函数 是单调递减的，故复合后，外层函数的单调递减区间 是整个函数的单调递增区间，外层函数的单调递增区 间是整个函数的单调递减区间，由于受思维定式影响， 本题容易出现仍然按照函数 y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的单
调区间的判断方法进行，如认为当 x 满足 2kπ－π2≤π4－
高考总复习二轮理科数学精品课件 专题5 解析几何 培优拓展9 圆锥曲线的常用二级结论及其应用
证明:如下图,设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0).
由点 A,B 在椭圆上,得
1 -2 2
= 1 - 2 2
12
2
22
2
12
+ 2
22
+ 2
= 1,
2 0 ( 1 - 2 )
20 (1 -2 )
两式相减得 2
b
=c
-a
=4,又
tan45°
= 5,则 c2=5a2,所以 a2=1,即
(2)已知椭圆
2
C: 2
+
2
=1(a>b>0)的左焦点是点
2
π
F,过原点倾斜角为 的直线
3
3 2- 10
2π
与椭圆 C 相交于 M,N 两点,若∠MFN= ,则椭圆 C 的离心率是
2
3
l
.
解析 设右焦点为 F',由题意可得直线 l 的方程为 y= 3x,设 M(x0,y0)在第一象
3
点 P 在 C 上且|OP|=2,则△PF1F2 的面积为( B )
7
A.2
5
C.2
B.3
解析 (方法一)由题意知a=1,b=
D.2
3 ,c=2.不妨设F1,F2分别为双曲线C的左、
右焦点,则F1(-2,0),F2(2,0).因为|OP|=2,所以点P在以O为圆心,F1F2为直径的
圆上,故PF1⊥PF2,则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16.由双曲线的定义可知||PF1||PF2||=2a=2,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·
高考数学重要考点_高考数学复习内容总结
高考数学重要考点_高考数学复习内容总结高考理科数学的考点1.【数列】【解三角形】数列与解三角形的知识点在解答题的第一题中，是非此即彼的状态，近些年的特征是大题第一题两年数列两年解三角形轮流来， 202x、2202x大题第一题考查的是数列，2202x大题第一题考查的是解三角形，故预计2202x大题第一题较大可能仍然考查解三角形。
数列主要考察数列的定义，等差数列、等比数列的性质，数列的通项公式及数列的求和。
解三角形在解答题中主要考查正、余弦定理在解三角形中的应用。
2.【立体几何】高考在解答题的第二或第三题位置考查一道立体几何题，主要考查空间线面平行、垂直的证明，求二面角等，出题比较稳定，第二问需合理建立空间直角坐标系，并正确计算。
3.【概率】高考在解答题的第二或第三题位置考查一道概率题，主要考查古典概型，几何概型，二项分布，超几何分布，回归分析与统计，近年来概率题每年考查的角度都不一样，并且题干长，是学生感到困难的一题，需正确理解题意。
4.【解析几何】高考在第20题的位置考查一道解析几何题。
主要考查圆锥曲线的定义和性质，轨迹方程问题、含参问题、定点定值问题、取值范围问题，通过点的坐标运算解决问题。
5.【导数】高考在第21题的位置考查一道导数题。
主要考查含参数的函数的切线、单调性、最值、零点、不等式证明等问题，并且含参问题一般较难，处于必做题的最后一题。
6.【选做题】今年高考几何证明选讲已经删除，选考题只剩两道，一道是坐标系与参数方程问题，另一道是不等式选讲问题。
坐标系与参数方程题主要考查曲线的极坐标方程、参数方程、直线参数方程的几何意义的应用以及范围的最值问题;不等式选讲题主要考查绝对值不等式的化简，求参数的范围及不等式的证明。
高考数学答题方法审题要点审题包括浏览全卷和细读试题两个方面。
开考前浏览。
开考前5分钟开始发卷，大家利用发卷至开始答题这段有限的时间，通过答前浏览对全卷有大致的了解，初步估算试卷难度和时间分配，据此统筹安排答题顺序，做到心中有数。
高考理科数学后的复习考试(所有题型归纳总结)
高考各题型知识点详细罗列一、集合● 子集、真子集等集合个数若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个● 绝对值不等式和一元二次不等式设集合{}22A x a x a =-<<+，{}2450B x x x =--<，若A B A =⋂，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,3B ．()1,3C ．[]3,1--D ．()3,1-- ●对数指数函数不等式设集合{}13x x P =+≤，()1Q ,2,13xy y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则Q P =I （ ）A ．14,9⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1,29⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭● 分式不等式已知集合，，则（ ） A ． B ． C ． D ．● 定义域和值域若集合}1,log |{}1,2|{2≥==-<==x x y y P x y y M x，，则=P M I （ ） A ．}210|{<<y y B ．}10|{<<y y C ．}121|{<<y y D ．}210|{<≤y y}013|{≥+-=x x x A }2log |{2<=x x B =B A C I )(R )3,0(]3,0(]4,1[-)4,1[-二、复数 ● 复数计算复数=（ ）A. B. C. D.● 共轭复数z 满足(3)(2)5z i --=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（ ） A ．2i + B ．2i - C ．5i + D ．5i -● 求模若复数满足，则的实部为 （A ） （B ） （C ） （D ）已知复数z 满足11zi z-=+ ，则1z += （ ） A 、1 B 、0 C 、2 D 、2● 象限已知复数，则z-|z|对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限● i 的多次方复数等于（ ）A ．iB ．1-C ．i -D ．1z 11z i i i -=-+（）z 212-21-1212+iz -=11三、向量● 数量积已知，，，则=（ ）A ．﹣8B ．﹣10C ．10D ．8设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==-r r 且a b ⊥r r ,则||a b +=r r（ ）A ．5B ．10C ．25D ．10● 夹角公式已知两个非零向量,a b r r 满足()0a a b ⋅-=r r r ，且2a b =r r ，则,a b <>=r r（ ）A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o ●平行与垂直已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-r r r，若()//a c b -r r r ，则向量a r 与向量c r 的夹角的余弦值是（ ） A ．55 B ．15 C ．55- D ．15- ● 投影已知点(1,1).(1,2).(2,1).(3,4)A B C D ---则向量AB uu u r 在CD uuu r方向上的投影为（ ）A ．322B ．3152C ．322-D ．3152-● 平面向量基本定理已知||=1，||=2，∠AOB=150°，点C 在∠AOB 的内部且∠AOC=30°，设=m+n，则=（ ） A ． B ．2C ．D ．1在△ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，若，点E 为线段AD 的中点，，则λ=（ ）A ．B ．C ．D ．四、三角函数平方和1、三角函数关系已知是第二象限角，8tan 15α=-，则sin α=（ ） A ．18 B ．18- C ．817- D ．817如果角θ满足sin cos 2θθ+=，那么1tan tan θθ+的值是（ ） A ．-1 B ．-2 C ．1 D ．2已知3tan 5α=-，则sin2=α（ ） A.1517 B.1517- C.817- D.817已知()7cos ,,025θθπ=-∈-，则sin cos 22θθ+=（ ） A ．125B ．15C ．15-D ．15±若，则sin2α的值为（ ）A ．B ．C ．D ．α● 诱导公式若1cos()63πα-=，则54cos()cos(2)63ππαα+--=（ ） A ．109- B ．109 C ．45 D ．45-● 齐次式已知ααααα2222cos sin 22cos sin ,2tan ++-=则等于（ ）A ．913B ．911C ．76D ．74● 三角函数图像已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，则f （）=（ ）A ．B ．C ．D ．● 平移伸缩变换将函数sin y x =的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平移个单位，得到的图象的函数解析式是 （ ） A ． B ．C ．1sin()26y x π=+ D ．sin(2)6y x π=+已知函数()()()sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位后所得图像对应的函数为偶函数，则实数ϕ=（ ） A ．56π B ．23π C ．3π D ．6π126πsin(2)3y x π=+1sin()212y x π=+已知函数()cos(2)(||)f x x ϕϕπ=+<的图象向右平移12π个单位后得到()sin(2)3g x x π=-的图象，则ϕ的值为（ ）A 、－23π B 、－3π C 、3π D 、23π ●对称轴、对称点性质已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A ≠，0ω>，22ππϕ-<<）在23x π=时取得最大值，且它的最小正周期为π，则（ ）A ．()f x 的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．()f x 的一个对称中心是5,012π⎛⎫⎪⎝⎭D ．()f x 的图象的一条对称轴是512x π=函数x x x f 32cos 32sin )(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为（ ） A ．π3 B ．34π C ．23π D ．67π若将函数y ＝tan（ω>0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y ＝tan的图象重合，则ω的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．设函数对任意的 ，都有，若函数，则的值是（ ）A ．1B ．-5或3C ．-2D ．● 单调区间与最值1()cos()2f x x ωϕ=+x R ∈()()66f x f x ππ-=+()3sin()2g x x ωϕ=+-()6g π12如图是函数()()⎪⎭⎫⎝⎛≤+=22sin πϕϕx A x f 图像的一部分，对不同的[]b a x x ,,21∈，若()()21x f x f =，有()321=+x x f ，则（ ）A ．()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-12,125ππ上是减函数 B ．()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛65,3ππ上是减函数 C ．()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-12,125ππ上是增函数 D ．()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛65,3ππ上是增函数 cos 26x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(x ππ-≤≤)的值域为 ( )A ． 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦函数 cos 22cos y x x =+的值域是（ ） A ．[1,3]- B ．3[,3]2- C ．3[,1]2-- D ．3[,3]2三角恒等变换与角之间的关系（互余、互补）若1sin()63πα-=，则22cos ()162πα+-=（ ） A. 31 B. 31- C. 97 D. 97-3110 170cos sin ︒︒－＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4若1sin()63πθ-=，则2cos(2)3πθ+的值为（ ）A ．13B ．13-C ．79D ．79-在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且满足643a b c ==，则sin 2sin sin AB C=+（ ） A ．1114- B ．127 C ．1124- D ．712-五、线性规划● 画可行域目标函数斜截式设x ，y 满足约束条件，则x+2y 的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．1D ．﹣1已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≥-32302y x y x y x ，则y x -的最大值为（ ）A ．1B ．3C ．1-D ．3-● 目标函数几何意义已知实数x 、y 满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．﹣3D ．设实数x ，y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则y x z x y =+的取值范围是（ ）A 、110[,]33B 、15[,]32C 、5[2,]2D 、10[2,]3已知,x y 满足满足约束条件+10,2,3x y x y x ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，那么22z x y =+的最大值为___．● 含参数设y x z +=，其中实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0002，若z 的最大值为6，则z 的最小值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，的最小值是（ ）A ．0B ．2C ．D ．6已知变量x ，y 满足条件若目标函数z ＝ax ＋y （其中a>0）仅在点（3,0）处取得最大值，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．1(,)2+∞● 含绝对值的若,x y 满足+20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2||z y x =-的最大值为A ．8-B ．4-C ．1D ．2若不等式组33(x 1)x y y k ⎧+≤⎪⎨+≤+⎪⎩表示的平面区域是三角形，则实数k 的取值范围是（ ）A ．3324k -<≤ B ．32k <-或34k ≥C ．302k -<<或34k ≥D ．32k <-或304k <≤(),P x y ()22000y x x a a ⎧-≤⎪⎨≤≤>⎪⎩2z x y =-22a 1[,)2+∞1[,)3+∞1(,)3+∞已知实数y x ，满足⎩⎨⎧≤--≥+-01.012y x y x 则z=2x+y 的最大值为A ．4B ．6C ．8D ．10六、二项式定理● 基本的通项公式求解在251()x x-的二项展开式中，第二项的系数为（ ）A.10B. －10C. 5D. －5在154)212(+x 的展开式中，系数是有理数的项共有（ ） A.4项 B.5项 C.6项 D.7项 在的展开式中，的幂指数是整数的共有（ ） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项● 多因式乘积的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）A ．-40B ．-20C ．20D ．4043(1)(1)x x --展开式中2x 的系数是（ ）A ．3B ．0C ．﹣3D ．﹣6● 括号里三式展开（x 2+x+y ）5的展开式中，x 7y 的系数为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．603031()x x+x 4567512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭● 系数之和与积分 已知nx x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+313展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7七、三视图与外接球● 三视图之求体积一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．403B ．203C ．20D ．40● 三视图之求表面积某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A ．2865+B ．3065+C ．56125+D ．60125+● 外接球之放在正方体或长方体一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A ．32πB ．92πC ．43πD ．83π● 外接球之直接找球心和球半径已知如图所示的三棱锥ABC D -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在的平面互相垂直，3=AB ，3=AC ，32===BD CD BC ，则球O 的表面积为A ．π4B ．π12C ．π16D ．π36● 球与球的切面过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的（ ）A ．316 B ．916C ．38D ．58 九、直线和圆● 直线里的一些公式（直线的方程、直线平行与垂直、点到直线距离公式、两点之间距离公式、）已知12:20,:(1)210,l mx y l m x my +-=+-+=若12l l ⊥ 则m ＝（ ）A ．m=0B ．m=1C ．m=0或m=1D ．m=0或m=1-B AC D若点（1，a ）到直线x －y ＋1＝0的距离是，则实数a 为（ ）．A ．－1B ．5C ．－1或5D ．－3或3已知点(,)P x y 在直线250x y ++=上，那么22x y +的最小值为（ ）A ．5B ．25C ．5D ．210不论k 为何值，直线0)4()2()12(=+----k y k x k 恒过的一个定点是（ ）A ．)0,0(B ．)3,2(C ．)2,3(D ．)3,2(-● 直线里的对称点)3,4(P 关于直线01=+-y x 的对称点Q 的坐标是A ．)4,2(B ．)4,3(C ．)5,2(D ．)5,3(● 直线与圆的位置关系 若直线:(2)l y k x =-与曲线221(0)x y x -=>相交于A B 、两点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．[)0,πB ．3,,4224U ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,,4224U ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x+ay-1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴．过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|= （ ）A 、2B 、42C 、6D 、210● 直线与圆的弦长（2010•江西）直线y=kx+3与圆（x ﹣3）2+（y ﹣2）2=4相交于M ，N 两点，若|MN|≥2，则k 的取值范围是（ ）A ．[﹣，0]B ．[﹣∞，﹣]∪[0，+∞]C ．[﹣，]D ．[﹣，0]● 圆的方程及三角形外接圆方程确定【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =（ ）A ．26B ．8C ．46D ．10● 圆与圆的位置关系圆1C ：2220x y x ++=与圆2C ：224840x y x y +-++=的位置关系是A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离● 直线与圆的模型圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（ ）A ．36B ．18C ．6D ．5若圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a ，b ）向圆C 所作切线长的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 ● 圆与圆的相交弦、弦长及交点坐标已知圆与圆，则两圆的公共弦长为（ ）A ．B ．C ．D ．1 十、解三角形● 边角互化型ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且a A b B A a 35cos sin sin 2=+． （1）求ab ； （2）若22258b a c +=，求角C ．● 两角互补正弦、余弦的关系型已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--=．（1）求A 的大小；（2）若7a =，求ABC ∆的周长的取值范围．● 平面图形型如图，平面四边形中，，，，，322，求（Ⅰ）； （Ⅱ）的面积．● 最值问题型在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为c ,b ,a ，其外接圆半径为6，241cos b B =-，4sin sin 3A C += （Ⅰ）求B cos ；（Ⅱ）求ABC ∆的面积的最大值．十一、数列● 做数列题的小技巧已知正数组成的等比数列，若，那么的最小值为（ ）A ．20B ．25C ．50D ．不存在已知{}n a 为等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ，则20a 等于（ ）A 、-1B 、1C 、3D 、7{}n a 120100a a ⋅=714a a +A B DC设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若359,30S S ==，则789a a a ++=（ ）A ．63B ．42C ．36D ．27等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3426235a a a +-=，则7S 等于（ ）A ．28B ．21C ．14D ．7已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则 A 、 B 、 C 、 D 、等比数列{}n a 中，4021=+a a ，6043=+a a ，=+87a a A ．135 B ．100 C ．95 D ．80求通项公式的一些方法① 累加法已知数列{n a }，满足11,a =1n n n a a --=，则10a =（ ）A ．45B ．50C ．55D ．60在数列{}n a 中，若12a =-，12n n n a a n +=+⋅，则n a =（ ）A ．(2)2n n -⋅B ．112n -C ．21(1)34n -D ．21(1)32n - ② 累乘法在数列{}a n 中，，)(*12N a a n n n n ∈•=+，求通项a n 。
2022年高考数学理科第一轮复习资料：1-1
识 梳 理
【例3】 设集合A＝{(x，y)|y≥ 1 |x－2|}，B＝{(x， 2
《 走 向 高
y)|y≤－|x|＋b}，A∩B≠∅.
考 》
课
高
堂 题 型 设 计
(1)b的取值范围是________；
考 总
(2)若(x，y)∈A∩B，且x＋2y的最大值为9，则b的值是
复 习
·
________．
数 学
学
规 律 方
{1,3,5,6,7}，∁U(A∪B)＝{2,4,8}．
法
提 炼
答案：{2,4,8}
课 后 强 化 作 业
2022/1/4
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13
知
识 梳 理
《 走 向
高
考
课
【例1】
(2006·江苏高考，7)若A、B、C为三个集合，
》 高
堂 题
A∪B＝B∩C，则一定有
型
设 计
A．A⊆C
B．C⊆A
识
梳 理
B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.
《 走 向 高
考
课
解析：本题主要考查考生对集合的表示方法与意义的 》 高
堂
考
题 型
理解、交集、并集及补集的含义．依题意得U＝
设
计 {1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，A∪B＝
·
总 复 习 数
高
考
课
(2)∵U＝R，B∩C＝{x|－1<x<6}，
》 高
堂
考
题 型 设
∴∁U(B∩C)＝{x|x≤－1或x≥6}，
理科数学高考复习必考点速记(小题)
理科数学高考复习必考点速记小题：1、集合（必考）2015年必考与不等式或方程结合的集合题型（注意数形结合的方法）交集、并集、补集、包含于、包含2、复数（必考）1）复数的简单四则运算（2015必考除法）2）复数的模、共轭复数3）复数的点在复平面内的哪个象限4）复数的实部、虚部3、函数的性质（必考）1）奇偶性（注意定义域是否关于原点对称）2）单调性（非导数，注意定义域）3）定义域（常考）（要用区间表示定义域）4）反函数（少考）4、解析几何（必考）（1）、直线和圆（常考）1）相切（圆心到直线的距离d=r）2）相交（弦长、考查黄金三角形）3）相离（圆上的点到直线的最大（小）距离）4)圆心、半径、圆的方程（一般方程与标准方程的互化）（2）、圆锥曲线（常考）1）离心率2）圆锥曲线方程3）圆锥曲线定义4）渐近线、等轴双曲线5）抛物线的准线方程、焦点5、线性规划（必考）求最大值、最小值（简单）6、立体几何（必考）1）三视图与体积（长方体提结点法、注意记忆公式）2）点线面的位置关系（平行、垂直、线在面内）（长方体验证法）7、向量（必考）1）加法、减法、数量积2）平行、垂直、模、夹角8、创新题（常考）注重新定义，找规律。
（特殊值法）9、解不等式（必考）1）含绝对值不等式（数形结合方法、分类讨论法）2）一元二次不等式（注意开口向上或下）10、导数（必考）1）切线方程（最常考）2）极值、单调性（少考）11、数列（必考）1）等差、等比数列定义、通项公式、前n项和公式2）等差中项公式、等比中项公式以及推广12、解三角形（常考）1）正弦定理2）余弦定理3）面积公式4）射影定理13、统计（必考）1）期望、方差、标准差2）线性回归直线方程（直线必过样本点中心）3）分层抽样、系统抽样（样本估计总体）4）二项式定理14、概率（常考）1）古典概型（排列组合）2）离散型随机变量分布列期望、方差3）正态分布15、程序框图（常考）学会列举、找规律16、极坐标与参数方程（必考）1）直线的方程（两类）2）圆的方程（两类）3）椭圆的参数方程4）点的极坐标与直角坐标互化5）抛物线方程（参数方程）17、几何证明选讲（必考）1）相似三角形2）切、割线定理3）相交弦定理4）弦长（黄金三角形）5）弦切角6）正弦定理。
新课标全国卷高考数学考点汇总(理科)
先用数列第n项与前n项和的关系求出数列{}的递推公式，可以判断数列{}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{}的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{}的通项公式，再用拆项消去法求其前n项和.
解三角形
18
立几（锥体、垂直、二面角）
分段函数、概率及分布列(分段函数解析式的求法；有限个值得离散型随机变量的概率分布和数学期望)
考察建立函数解析式及函数的图像，意在考察学生的识图、用图的能力
圆锥的体积公式及生活常识
由三视图求面积、体积
7
双曲线（离心率、与直线位置关系）
三视图、空间几何体体积
数列：等差数列
考察程序框图（循环结构），意在考察运算求解能力
平面向量的线性运算及共线的表示
函数的图象
8
二项式定理（两个乘积、特殊项）
双曲线、抛物线的性质(抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系)
立体几何：线线垂直证明线面角
考察频率分布直方图、平均数及方差的运算考察用样本估计总体、正态分布等知识，意在考察学生的应用能力
空间面面垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力
与二面角有关的立体几何综合题
19
统计概率（分布列）
立体几何线线垂直、二面角(空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；二面角的概念和计算)
统计与概率：独立重复试验概率、分布列
考察空间中的线面关系及其二面角的求解，意在考查空间想象能力及运算求解能力
由散点图所给的函数图像进行非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测
离散型随机变量及其分布列
20
解析几何与函数（轨迹、导数）
【精品】备战2020年高考理科数学之高频考点专题专题16 空间向量与立体几何(学生版)
专题16 空间向量与立体几何考点1 利用空间向量证明平行与垂直调研1 如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，O是AC的中点，E是线段1D O上一点，且1D E EOλ=⋅u u u u r u u u r.（1）求证：11DB CD O⊥平面；（2）若平面CDE ⊥平面1CD O ，求λ的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）2λ=.【解析】（1）不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则1111(0,0,0),(1,1,1),(,,0),(0,1,0),(0,0,1)22D B O C D ，于是1111(1,1,1),(,,0),(0,1,1)22DB OC CD ==-=-u u u u r u u u u r u u u r ，因为1110,0DB CD DB OC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u u u u ru r ，所以111,DB CD DB OC ⊥⊥， 故11DB CD O ⊥平面.（2）由（1）可知1CD O 平面的一个法向量为1(1,1,1)DB ==u u u u rm ， 由1D E EO λ=⋅u u u u r u u u r，则1(,,)2(1)2(1)(1)E λλλλλ+++，设平面CDE 的法向量为(,,)x y z =n ，由·0,0CD DE =⋅=u u u r u u u r n n ，得0,02(1)2(1)(1)y x y zλλλλλ=⎧⎪⎨++=⎪+++⎩∴可取(2,0,)λ=-n ，因为1CD O CED ⊥平面平面，所以·0,2λ=∴=m n .☆技巧点拨☆直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量判定方法设直线l 的方向向量为a =(a 1，b 1，c 1)，平面α，β的法向量分别为μ=(a 2，b 2，c 2)，v =(a 3，b 3，c 3)，则 （1）线面平行：l ∥α⇔a ⊥μ⇔a·μ=0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2=0； （2）线面垂直：l ⊥α⇔a ∥μ⇔a =k μ⇔a 1=ka 2，b 1=kb 2，c 1=kc 2； （3）面面平行：α∥β⇔μ∥v ⇔μ=λv ⇔a 2=λa 3，b 2=λb 3，c 2=λc 3； （4）面面垂直：α⊥β⇔μ⊥v ⇔μ·v =0⇔a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3=0.注意：用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a ∥b ，只需证明向量a =λb （λ∈R ）即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.考点2 求空间角题组一 求异面直线所成的角调研1 如图所示，在三棱锥P –ABC 中，P A ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，已知P A =BC =2，AB =4，CB ⊥AB ，则异面直线PC ，AD 所成角的余弦值为A ．−3010 B ．−305 C ．305D ．3010【答案】D【解析】因为P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥BC ．过点A 作AE ∥CB ，又CB ⊥AB ，则AP ，AB ，AE 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AE ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，P (0，0，2)，B (4，0，0)，C (4，−2，0)．因为D 为PB 的中点，所以D (2，0，1)．故CP uu r =(−4，2，2)，AD uuu r =(2，0，1)．所以cos 〈AD uuu r ，CP uu r 〉=||||AD CPAD CP ⋅⋅uuu r uu ruuur uu r =－65×26=−3010. 设异面直线PC ，AD 所成的角为θ，则cos θ=|cos 〈AD uuu r ，CP uu r〉|=3010.调研 2 在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是ABCD 【答案】D【解析】以点D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点P 坐标为(),1,x x x -，则()()11,,,1,0,1BP x x x BC =--=-u u u r u u u u r ，设1BP BC u u u ru u u u r、的夹角为α，则所以当13x =时，cos α取最大值当1x =时，cos α因为11BC AD ∥，所以BP 与1AD 所成角的取值范围是故选D. 【名师点睛】空间向量的引入为求空间角带来了方便，解题时只需通过代数运算便可达到解题的目的，由于两向量夹角的范围为[0,π]，因此向量的夹角不一定等于所求的空间角，因此在解题时求得两向量的夹角（或其余弦值）后还要分析向量的夹角和空间角大小间的关系．解题时要根据所求的角的类型得到空间角的范围，并在此范围下确定出所求角（或其三角函数值）．☆技巧点拨☆利用向量求异面直线所成的角一是几何法：作—证—算；二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键，一般地，异面直线AC ，BD 的夹角β的余弦值为cos β=||||AC BD AC BD ⋅⋅uuu r uu u ruuur uu u r . 注意：两条异面直线所成的角α不一定是两直线的方向向量的夹角β，即cos α=|cos β|.题组二 求线面角调研3 如图，四棱锥P –ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠DAB =90°，AD ∥BC ，AD ⊥侧面P AB ，△P AB 是等边三角形，DA =AB =2，BC =12AD ，E 是线段AB 的中点．（1）求证：PE ⊥CD ；（2）求PC 与平面PDE 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2） 35.【解析】（1）因为AD ⊥侧面P AB ，PE ⊂平面P AB ，所以AD ⊥PE . 又△P AB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点，所以PE ⊥AB ． 因为AD ∩AB =A ，所以PE ⊥平面ABCD ， 而CD ⊂平面ABCD ，所以PE ⊥CD ．（2）以E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系E −xyz . 则E (0，0，0)，C (1，−1，0)，D (2，1，0)，P (0，0，3)． 所以ED →=(2，1，0)，EP →=(0，0，3)，PC →=(1，−1，−3)． 设n =(x ，y ，z )为平面PDE 的法向量．由，得⎩⎨⎧2x ＋y ＝0，3z ＝0.令x =1，可得n =(1，−2，0)．设PC 与平面PDE 所成的角为θ，则sin θ=|cos 〈PC →，n 〉|=|||||PC PC ⋅⋅uu u ruu ur n n |=35. 所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35.调研4 如图，四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，底面ABCD 是梯形，AB ∥CD ，BC CD ⊥，AB=PD=4，CD=2，AD =M 为CD 的中点，N 为PB 上一点，且(01)PN PB λλ=<<u u u r u u u r.（1）若14λ=时，求证：MN ∥平面P AD ； （2）若直线AN 与平面PBCAD 与直线CN 所成角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2. 【解析】（114PN PB =u u u r u u u r ．在P A 上取点EEN ，DE ，Q 1444PN PB PE PA AB ===u u u r u u u r u u r ，，，∴EN ∥AB ，且14EN AB ==，Q M 为CD 的中点，CD=2，∴112DM CD ==，又AB ∥CD ，∴EN ∥DM ，EN =DM ，∴四边形DMNE 是平行四边形，∴MN ∥DE ，又DE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，∴MN ∥平面P AD ．（2）如图所示，过点D 作DH ⊥AB 于H ，则DH ⊥CD ．以D 为坐标原点建立空间直角坐标系D −xyz ． 则D （0，0，0），M （0，1，0），C （0，2，0），B （2，2，0），A （2，−2，0），P （0，0，4），∴()()2,0,0,0,2,4CB CP ==-u u u r u u u r ，()()2,2,42,2,4AN AP PN AP PB λλ=+=+=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()22,22,44λλλ=-+-．该平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则由20240CB x CP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u r u u u r n n ，得02x y z =⎧⎨=⎩，令z =1，得()0,2,1=n ．该直线AN 与平面PBC 所成的角为θ，则 ，解得1,3λ=∴()228248,,,,2,2,0333333N CN AD ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r ，，， 设直线AD 与直线CN 所成的角为α所以直线AD 与直线CN．☆技巧点拨☆利用向量求直线与平面所成的角①分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； ②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．注意：直线和平面所成的角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即注意函数名称的变化．直线与平面的夹角计算设直线l 的方向向量为a =(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为μ=(a 3，b 3，c 3)，直线l 与平面α的夹角为θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2，则sin θ=|a·μ||a ||μ|=|cos 〈a ，μ〉|.题组三 求二面角调研5 二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知2AB =，3AC =，4BD =，CD = A ．45︒ B ．60︒ C ．120︒D ．150︒【答案】B【解析】由已知可得：0,0AB AC AB BD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，CD CA AB BD =++u u u r u u u u r u u r u u u r，，∴cos CA 12，即CA ，∴二面角的大小为60°，故选B.【名师点睛】这个题目考查的是立体几何中空间角的求法；解决立体几何的小题，通常有以下几种方法：一是建系法，二是用传统的方法，利用定义直接在图中找到要求的角；还有就是利用空间向量法来解决问题.注意向量夹角必须是共起点的，还有就是异面直线夹角必须是锐角或直角.调研6 如图，在四棱锥P ABCD -中，AP ，AB ，AD 两两垂直，BC AD ∥，且4AP AB AD ===，2BC =.（1）求二面角P CD A --的余弦值；（2）已知点H 为线段PC 上异于C 的点，且DC DH =，求PHPC的值. 【答案】（1）23；（2【思路分析】（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得各平面法向量，利用向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求结果；（2）设PH PC λ=u u u v u u u v，根据向量坐标表示距离，再根据距离相等解得λ，即为PHPC的值. 【解析】以{},,A AB AP D u u u r u u u r u u u r为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.则()0,0,0A ，()4,0,0B ，()4,2,0C ，()0,4,0D ，()0,0,4P .（1）易知()0,4,4DP =-u u u r ，()4,2,0DC =-u u u r.设平面PCD 的法向量为()1,,x y z =n ，则1100DP DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u u u v n n ，即440420y z x y -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，则2y =，2z =.所以()11,2,2=n .易知平面ACD 的法向量为()20,0,1=n ，P CD A --的余弦值为23. （2）由题意可知，()4,2,4PC =-u u u r ，()4,2,0DC =-u u u r ，设()4,2,4PH PC λλλλ==-u u u r u u u r，则DH DP PH =+=u u u u r u u u r u u u r()4,24,44λλλ--， 因为DC DH ==，化简得23410λλ-+=，所以1λ=或13λ=.点H 异于点C ，所以13λ=调研7 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1CC ⊥底面ABC ，且122,CC AC BC AC BC ==⊥，D 是棱AB 的中点，点M 在侧棱1CC 上运动.（1）当M 是棱1CC 的中点时，求证：CD ∥平面1MAB ； （2）当直线AM 与平面ABC 所成的角的正切值为32时，求二面角11A MB C --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）14-. 【思路分析】（1）取线段1AB 的中点E ，连接,DE EM ，可得四边形CDEM 是平行四边形，CD EM ∥，即可证明CD ∥平面1MAB ；（2）以C 为原点，CA ，CB ，1CC 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角11A MB C --的余弦值. 【解析】（1）取线段1AB 的中点E ，连接,DE EM . ∵1,AD DB AE EB ==，∴1DE BB ∥，且112DE BB =. 又M 为1CC 的中点，∴1CM BB ∥，且112CM BB =， ∴CM DE ∥，且CM DE =，∴四边形CDEM 是平行四边形，∴CD EM ∥. 又EM ⊂平面1,AB M CD ⊄平面1AB M ，∴CD ∥平面1MAB .（2）∵1,,CA CB CC 两两垂直，∴以C 为原点，1,,CA CB CC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -，如图，∵三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，∴MAC ∠即为直线AM 与平面ABC 所成的角. 设1AC =，则由3tanMAC ∠=，得3CM =.设平面1AMB 的一个法向量为(),,x y z =n ，2z =，得3,1x y ==-，即()3,1,2=-n .又平面11BCC B 的一个法向量为()1,0,0CA =u u ur，∴，又二面角11A MB C --的平面角为钝角，∴二面角11A MB C --的余弦值为14-.☆技巧点拨☆利用向量求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．注意：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角．运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤（1）建立恰当的空间直角坐标系； （2）求出相关点的坐标； （3）写出向量坐标；（4）结合公式进行论证、计算；（5）转化为几何结论．平面与平面的夹角计算公式设平面α，β的法向量分别为μ=(a 3，b 3，c 3)，v =(a 4，b 4，c 4)，平面α，β的夹角为θ(0≤θ≤π)，则|cos θ|=|μ·v ||μ||v |=|cos 〈μ，v 〉|.题组四 解决探索性问题调研8 如图，在五面体ABCDPE 中，PD ⊥平面ABCD ，∠ADC =∠BAD =90°，F 为棱P A 的中点，PD =BC =2，AB =AD =1，且四边形CDPE 为平行四边形．（1）判断AC 与平面DEF 的位置关系，并给予证明；（2）在线段EF 上是否存在一点Q ，使得BQ 与平面PBC 所成角的正弦值为36？若存在，请求出QE 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1） AC ∥平面DEF ，证明见解析；（2） 在线段EF 上存在一点Q ⎝⎛⎭⎫14，1，324，使得BQ 与平面PBC 所成角的正弦值为36，此时QE =194. 【解析】（1）AC ∥平面DEF .理由如下： 设线段PC 交DE 于点N ，连接FN ，如图所示，因为四边形PDCE 为平行四边形，所以点N 为PC 的中点， 又点F 为P A 的中点，所以FN ∥AC ， 因为FN ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC ∥平面DEF .（2）假设在线段EF 上存在一点Q ，使得BQ 与平面PBC 所成角的正弦值为36，设FQ →=λFE →(0≤λ≤1)，如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系． 因为PD =BC =2，AB =AD =1，所以CD =2，所以P (0，0，2)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，A (1，0，0)，所以PB →=(1，1，−2)，BC →=(−1，1，0)． 设平面PBC 的法向量为m =(x ，y ，z )，则，即⎩⎨⎧ x ＋y －2z ＝0，－x ＋y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝y ，z ＝2x ，令x =1，得平面PBC 的一个法向量为m =(1，1，2)． 假设存在点Q 满足条件．由F ⎝⎛⎭⎫12，0，22，E (0，2，2)，可得FE →=⎝⎛⎭⎫－12，2，22.由FQ→=λFE →(0≤λ≤1)，整理得1)(,2,)22Q λλλ-+，则BQ →=1)(,21,)22λλλ-+--， 因为直线BQ 与平面PBC 所成角的正弦值为36，所以|cos 〈BQ →，m 〉|=|||||BQ BQ ⋅⋅uu u ruu ur m m |=|5λ－1|219λ2－10λ＋7=36， 化简可得14λ2－5λ－1=0， 又0≤λ≤1，所以λ=12，故在线段EF 上存在一点Q ⎝⎛⎭⎫14，1，324，使得BQ 与平面PBC 所成角的正弦值为36， 且QE=194.调研9 棱台1111ABCD A B C D -的三视图与直观图如图所示. （1）求证：平面11ACC A ⊥平面11BDD B ；（2）在线段1DD 上是否存在一点Q ，使CQ 与平面11BDDB ？若存在，指出点Q 的位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在，点Q 在1DD 的中点位置，理由见解析.【思路分析】（1）首先根据三视图特征可得1AA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥.再由1AA BD ⊥即可得线面垂直，从而得出面面垂直；（2）直接建立空间直角坐标系写出各点坐标求出法向量，再根据向量的夹角公式列等式求出12λ=. 【解析】（1）根据三视图可知1AA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥. 因为BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥， 又1AA AC A =I ，所以BD ⊥平面11ACC A .因为BD ⊂平面11BDD B ，所以平面11ACC A ⊥平面11BDD B .（2）以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，根据三视图可知四边形ABCD 为边长为2的正方形，四边形1111A B C D 为边长为1的正方形，1AA ⊥平面ABCD ，且11AA =.所以()11,0,1B ，()10,1,1D ，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()2,2,0C . 因为Q 在1DD 上，所以可设()101DQ DD λλ=≤≤u u u r u u u u r.因为()10,1,1DD =-u u u u r ，所以1AQ AD DQ AD DD λ=+=+u u u r u u u u u r u u r u u u r u u u r()()()0,2,00,1,10,2,λλλ=+-=-. 所以()0,2,Q λλ-，()2,,CQ λλ=--u u u r.设平面11BDD B 的法向量为(),,x y z =n ，根据()()()()1,,2,2,00,0,,0,1,10,0x y z BD x y z DD ⎧⎧⋅-=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅-=⋅=⎪⎪⎩⎩u u u r u u u ur n n令1x =，可得1y z ==，所以()1,1,1=n .设CQ 与平面11BDD B 所成的角为θ，9==. 所以12λ=，即点Q 在1DD 的中点位置. 调研10 如图（1），在边长为4的菱形ABCD 中，∠BAD =60°，DE ⊥AB 于点E ，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1D ⊥DC ，如图（2）．（1）求证：A 1E ⊥平面BCDE . （2）求二面角E −A 1B −C 的余弦值．（3）判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面A 1DP ⊥平面A 1BC ？若存在，求出EPPB 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析；（2） −77；（3）在线段EB 上不存在点P ，使得平面A 1DP ⊥平面A 1BC ． 【解析】（1）∵DE ⊥BE ，BE ∥DC ，∴DE ⊥DC ．又∵A 1D ⊥DC ，A 1D ∩DE =D ，∴DC ⊥平面A 1DE ，∴DC ⊥A 1E . 又∵A 1E ⊥DE ，DC ∩DE =D ，∴A 1E ⊥平面BCDE . （2）∵A 1E ⊥平面BCDE ，DE ⊥BE ，∴以EB ，ED ，EA 1所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系（如图）．易知DE =23，则A 1(0，0，2)，B (2，0，0)，C (4，23，0)，D (0，23，0)，∴1BA uuu r =(−2，0，2)，BC uu u r=(2，23，0)，易知平面A 1BE 的一个法向量为n =(0，1，0)．设平面A1BC的法向量为m =(x ，y ，z )，由1BA uuu r ·m =0，BC uu u r·m =0，得⎩⎨⎧－2x ＋2z ＝0，2x ＋23y ＝0.令y =1，得m =(−3，1，−3)，∴cos 〈m ，n 〉=m·n|m |·|n |=17×1=77.由图得二面角E −A 1B −C 为钝二面角， ∴二面角E −A 1B −C 的余弦值为−77.（3）假设在线段EB 上存在一点P ，使得平面A 1DP ⊥平面A 1BC ．设P (t ，0，0)(0≤t ≤2)，则1A P uuu r =(t ，0，−2)，1A D uuu r=(0，23，−2)，设平面A 1DP 的法向量为p =(x 1，y 1，z 1)，由得⎩⎨⎧23y 1－2z 1＝0，tx 1－2z 1＝0.令x 1=2，得p =⎝⎛⎭⎫2，t 3，t .∵平面A 1DP ⊥平面A 1BC ，∴m·p =0，即23−t3＋3t =0，解得t =−3. ∵0≤t ≤2，∴在线段EB 上不存在点P ，使得平面A 1DP ⊥平面A 1BC ．☆技巧点拨☆用向量解决探索性问题的方法1．确定点在线段上的位置时，通常利用向量共线来求．2．确定点在平面内的位置时，充分利用平面向量基本定理表示出有关向量的坐标而不是直接设出点的坐标． 3．解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题．1．（山东省泰安第二中学2019-2020学年高三上学期9月月考数学试题）已知(2,1,3)=-a ，(1,4,2)=--b ，(7,5,)x =c ，若a ，b ，c 三向量共面，则实数x =A ．627 B ．637C ．607D ．6572．（四川省成都市树德中学2019-2020学年高三11月阶段性检测数学试题）如图三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，2AB BC ==，SA =SC 与AB 所成角的大小为A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30°3．（甘肃省天水市第一中学2020年高三上学期12月月考数学试题）如图1四边形ABCD 与四边形ADEF分别为正方形和等腰梯形，,AD EF AF =∥4,2AD EF ==，沿AD 边将四边形ADEF 折起，使得平面ADEF ⊥平面ABCD ，如图2，动点M 在线段EF 上，,N G 分别是,AB BC 的中点，设异面直线MN 与AG 所成的角为α，则cos α的最大值为A BC D 4．（山东省泰安第二中学2019-2020学年高三上学期9月月考数学试题）在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是1AA 的中点，已知AB =u u u r a ，AD =u u u rb ，1AA =u u u r c ，用a ，b ，c 表示CM u u u u r ，则CM =u u u u r ______. 5．（河南省天一大联考2019-2020学年高三阶段性测试（三）数学试题）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=o ，1122AB AA ==，E 、F 分别是线段1AA 、11C D 的中点.（1）求证：BD CE ⊥；（2）求平面ABCD 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值.6．（四川省南充市高中2019-2020学年高三第一次高考适应性考试数学试题）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2AB =，BC a =，PA ABCD 底面⊥.（1）当a 为何值时，BD PAC ⊥平面？证明你的结论； （2）当122PA a ==时，求面PDC 与面PAB 所成二面角的正弦值.7．（河北省承德市第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学试题）如图，已知点H 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线11B D 上，∠HDA =60︒．（1）求DH 与1CC 所成角的大小；（2）求DH 与平面1A BD 所成角的正弦值．8．（湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019-2020学年高三上学期10月联考数学试题）已知在多面体ABCDE 中，DE AB ∥，AC BC ⊥，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =且平面DAC ⊥平面ABC .（1）设点F 为线段BC 的中点，试证明EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60o ，求二面角B AD C --的余弦值.9．（广东省广州市番禺区广东仲元中学2019-2020年高三上学期11月月考数学试题）如图1，PAD △是以AD 为斜边的直角三角形，1PA =，BC AD ∥，CD AD ⊥，22AD DC ==，12BC =，将PAD △沿着AD 折起，如图2，使得2PC =．（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A PB C --大小的余弦值．10．（天津市部分区2019-2020学年高三上学期期末数学试题）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 、O 分别为AC 、11A C 的中点，11PA PC ==1111A B B C =1PB ==114A C =.（1）求证：PO ⊥平面111A B C ； （2）求二面角111B PA C --的正弦值；（3）已知H 为棱11B C 上的点，若11113B H BC =u u u u r u u u u r，求线段PH 的长度.1．（2018新课标全国Ⅱ理科）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15 BC ．5D ．22．（2017新课标全国Ⅲ理科）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________________．(填写所有正确结论的编号)3．（2018新课标全国Ⅰ理科）如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.4．（2018新课标全国Ⅱ理科）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．5．（2018新课标全国Ⅲ理科）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧»CD 所在平面垂直，M 是»CD上异于C ，D 的点． （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．6．（2017新课标全国Ⅰ理科）如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o . （1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；C（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A −PB −C 的余弦值.7．（2017新课标全国Ⅱ理科）如图，四棱锥P −ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点． （1）证明：直线CE ∥平面P AB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值．8．（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，AB =BD ．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.9．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A−MA1−N的正弦值．10．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．11．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.。
总复习高考数学解题技巧(理科)
2013年高考解题技巧知识点汇总一、选择题和填空题： 1、 集合题：：表示交集（两个集合都有的元素或者是共同的元素） 例如：}{8,6,5,3=A ，}{8,7,5,4=B ，}{8,5=B A：表示并集（把两个集合的全部元素合在一起形成的集合）例如：}}{}{{8,6,5,3,1,8,6,5,3,1===B A B A Cu N ：表示全集的补集（在全集u 中找集合N 里没有的元素）例如：全集}}{{}{5,3,1,4,2,5,4,3,2,1===N C N M M 绝对值不等式的解法：)0(≥≥a a x 的解为：a x a x -≤≥或 例如：1532-≤≥≥-x x x 或的解为： )0(≥≤a a x 的解为：a x a ≤≤- 例如：3121≤≤-≤-x x 的解为： 一元二次不等式的解法：)(02121212x x x x x x x x c bx ax ≥≤≥≥++是方程的两个根，且其中或的解为，例如：120232≤≥≥+-x x x x 或的解为)(02121122x x x x x x x c bx ax ≥≤≤≤++是方程的两个根，且其中的解为， 例如：37-02142≤≤≤-+x x x 的解为2、复数：复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=. 复数：形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）； 实数：当b = 0时的复数a + b i ，即a ； 虚数：当0≠b 时的复数a + b i ；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i.复数a + b i 的实部与虚部：a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） 复数加、减、乘、除法的运算法则：设),,,(,21R d c b a di c z bi a z ∈+=+=，则i d b c a z z )()(21±+±=±；i bc ad bd ac z z )()(21++-=⋅；i d c ad bc d c bd ac z z 222221+-+++=。
超实用新高考理科数学重难点专题复习：专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 第六讲 函数的图像
2. 图像变换 （1）平移变换
（2）对称变换
y f (x) 关于x轴对称 y f (x) y f (x) 关于y轴对称 y f (x) y f (x) 关于直线x=a对称 y f (2a x) y f (x) 关于原点对称 y f (x)
（3）伸缩变换
01,横坐标伸长到原来的 1 倍
[解析]
由 f (x) 的图象可以看出，当 x 0 时，
函数 f (x) 有意义，排除 B；
f (x) 的图象关于原点对称，即函数为奇函数，
由
f
(x)
x ex
为非奇非偶函数，排除
C；
由 f (x) 的图象可知， x 时， f (x) 0 ，
对于 D； f (x) xe|x| ，当 x 时， f (x) ，
常用的数学思想方法有：
（1）函数思想方法： 根据问题的特点构建函数将所要研究的问题，转化为对构建函数的思想如定
义域、值域、单调、奇偶、周期、最值、对称、范围和图像的交点个数等的研 究；
（2）方程思想方法： 通过列方程（组）建立问题中的已知数和未知数的关系，通过解方程（组
高考总复习数学(理科)第八章 第五节第1课时椭圆的概念及其性质(基础课)
第五节 椭圆
最新考纲
1.了解椭圆的实际背景， 了解椭圆在刻画现实世界 和解决实际问题中的作 用． 2.掌握椭圆的定义、几何 图形、标准方程及简单几 何性质． 3.理解数形结合思想． 4.了解椭圆的简单应用.
考情索引
2018·全国卷Ⅰ，
T19 2018·全国卷Ⅱ，
T12 2018·全国卷Ⅲ，
4．已知F1，F2是椭圆C：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)的两个
焦点，P为椭圆C上的一点，且
P→F1⊥
→ PF2
.若△PF1F2的面
积为解9，析则：b＝由定__义__，___|P_F．1|＋|PF2|＝2a，且P→F1⊥P→F2， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， 所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， 所以2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2， 所以|PF1||PF2|＝2b2. 所以S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝12×2b2＝9，因此b＝3
A.x32＋y2＝1
B.x32＋y22＝1
C.x92＋y42＝1
D.x92＋y52＝1
(3)(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：
x2 a2
＋
y2 4
＝1的一个焦
点为(2，0)，则C的离心率为( )
1
1
2
22
A.3
B.2
C. 2
D. 3
解析：(1)F1(－ 3，0)，因为PF1⊥x轴，
所以P－
3，±12，所以|PF1|＝12，
P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入
x2 5