机械优化设计习题及答案.doc

机械优化设计习题及参考答案

1-1. 简述优化设计问题数学模型的表达形式。

答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。 在明确设计变量、约束条件、目标函数之后， 优化设计问题就可以表示成一般数学 形式。求设计变量向量 x x 1 x 2 L x n T 使

f ( x) min

且满足约束条件

h k ( x) 0

(k 1,2,L l ) g j (x) 0

( j 1,2,L m)

2-1. 何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？

答：二元函数 f( x 1,x 2) 在 x 0 点处的方向导数的表达式可以改写成下面 的形式：

f

f cos 1 f cos 2 f f cos 1

d xo

x1 xo

x2 xo

x1 x2 xo cos 2

f f f

T ，

令 f ( x0)

[ x1 ]

f x1 x2 xo

x2

则称它为函数 f （ x 1，x 2）在 x 0 点处的梯度。

（1）梯度方向是函数值变化最快方向， 梯度模是函数变化率的最大值。（2）梯度与切线方向 d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度 f (x0) 方向为函数变化率最大方向， 也就是最速上升方向。 负梯度

- f ( x0) 方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。

2 2 -2x

x

[0,0]T

处函数变化率最

1 2

1 2

1

2

0 2-2. 求二元函数 f （x ，x ）=2x +x +x 在

大的方向和数值。

解：由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量 p 表示，函数变化率最大和数值时梯度的模 f (x0) 。求 f （x1， x2）在

x0 点处的梯度方向和数值，计算如下：

f 4x1 2

2 f x0

x1

f 2x2 1 x0

1

x2

f (x0)

f

2

f 2

5

x1 x2

=

2 2

p

f ( x0) 1 5 f ( x0)

5

1

5

2-3. 试求目标函数 f x 1 , x 2 3x 12 4x 1 x 2 x 22 在点 X 0=[1,0] T 处的最速下降 方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。

解：求目标函数的偏导数

f 4x 2 ,

f 2x 2

6x 1

4x 1

x 1

x 2

则函数在 X 0=[1,0] T 处的最速下降方向是

f

P

f ( X 0

x 1

6x 1 4x 2

)

4x 1 2x 2

f

x 1 1

x 2

x 1 1

x 2 0

x 2

6

4

这个方向上的单位向量是：

P

[ 6,4] T

[ 3,2] T e

6) 2

42

P

( 13 新点是

1 3

1

0 13 X X e

2

13

新点的目标函数值

f ( X 1 ) 94 2 13

13

2-4. 何谓凸集、凸函数、凸规划？（要求配图）

答：一个点集（或区域），如果连接其中任意两点 x1、x2 的线段都全部包含在该集合内，就称该点集为凸集，否则为非凸集。

函数 f(x ）为凸集定义域内的函数，若对任何的0 1及凸集域内的任意两点 x1、x2，存在如下不等式：

f x1 1x2 f x11x2

称 f （x）是定义在图集上的一个凸函数。

对于约束优化问题

若 f ( x)、 g（j x） j=1,2,...,m都是凸函数，则称此问题为凸规划。

3-1. 简述一维搜索区间消去法原理。（要配图）

答：搜索区间（ a，b）确定之后，采用区间逐步缩短搜索区间，从而找

到极小点的数值近似解。假设搜索区间（ a，b）内任取两点 a1，b1 ，a1《b1，并计算函数值 f （a1），f （b1）。将有下列三种可能情形；

1）f （a1）《f （b1）由于函数为单谷，所以极小点必在区间（a，b1）内2）f （a1）》f （b1），同理，极小点应在区间（a1，b）内

3）f （a1）=f （b1），这是极小点应在（ a1，b1）内

3-2. 简述黄金分割法搜索过程及程序框图。

1b(b a)2a(b a)

其中，为待定常数。

3-3. 对函数f ( )22，当给定搜索区间5 5 时，写出用黄金

分割法求极小点

的前三次搜索过程。（要列表）

序号

a

黄金分割法的搜索过程

比较

a 1

a 2

b 1

2

Y

Y

0 -5

5

< 1 -5 ？

> 2 ？

< 3

？

>

3-4. 使用二次插值法求 f ( x )=sin( x ) 在区间 [2,6] 的极小点，写出计算