弹塑性力学第05章

x yx zx 0 x y z xy y zy 0 （c） x y z xz yz z 0 x y z
如体力分量FZ及下表面上的 面力不等于零，对簿板来说， 可以归入板上表面的面力， 这样处理只会影响次要应力 σ z，于是板上、下表面的 静力边界条件为：
zx zy
E 2 1 2


E 2 1 2

2 h2 2 z w 4 x 2 2 h 2 z w 4 y
2
（5-4）
z
Eh 1 z 1 2 6 1 - 2 h
w u -z x
w v -z y
（5-1）
由此可见，应变分量ε x,ε y,γ xy也是沿板厚呈线性分布， 在中面为零，在上、下板面处达极值。
二、薄板中的应力分量表示式 • 根据上述的第一个和第二个假设，物理方程简化为
E x y 2 1 E y x y 2 1 E xy xy 21
§5-3 薄板弯曲的微分方程
• 通过板内任一单元体的平衡，可进而建立挠度w所满 足和微分方 程。薄板弯 曲的小挠度 问题，是以 挠度w作为 基本未知函 数求解的， 属位移解法。
建立绕度w所需要满足的基本方程
• 先考察板中边长为dx和dy而高为h的矩形 微分单元体的平衡，为了便于表示，将 内力标在单元体中面的四条边上，其中， 弯矩及扭矩按右手法则用矩矢表示，横 剪力用力矢表示，如图5-5所示。上面作 用有横向分布荷载q。 • 对于图5-5所示的空间一般力系，六个平 衡条件中有三个方程ΣFx=0，ΣFy=0，
zx z h
这里q为薄板单位面积 内的横向荷载。
0 2 zy z h 0 2 z z h 0 2 z z h q 2

（d）
将式（5-3）代入方程（c），经积分后，利用边 界条件（d）的前三式，不难得到以下结果:
基尔霍夫假设
• （1）变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形 后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且其长度 不变，称为直法线假设，它与材料力学中梁弯曲问题 的平面假设相似。若 将板中面作为xOy坐 标面，z轴垂直向下， 则根据此假设，有 εz=0和γxz=γyz=0。
基尔霍夫假设
• （2）与σx，σy ， τxy等相比，σz很小，在计算变形时可 以略去不计。 • （3）薄板中面内各点只有垂直位移w而无x方向和y方 向的位移，即 • （u）z=0=0，（v）z=0=0，（w）z=0=w（x,y） • 根据这个假设，中面内的应变分量εx，εy和γxy均等于零， 即在中面内无应变发生。中面内的位移函数w（x,y） 称为挠度函数。 • 在上述假设基础上建立起来的弹性薄板的小挠度理论， 属于薄板弯曲的经典理论，它在许多工程问题的分析 计算中，已得到广泛的应用。
第五章 薄板的小挠度弯曲
• • • • • §5-1 基本概念与计算假定 §5-2 薄板内力 §5-3 薄板弯曲的基本方程 §5-4 边界条件 §5-5 四 边 简 支 矩 形 薄 板 的 重 三 角 级 数 解 (Navier解) • §5-6 矩形薄板的三角级数解(Levy解) • §5-7 圆形薄板的弯曲
Fsx Fs y q0 x y
（5-10）
对过板单元中心而与y轴及x轴平行的直线取力矩的平衡方 程，化简以后，略去微量，得到 M yx M x Fsx x y （5-11） M xy M y Fs y x y
式（5-10）和式（5-11）即为内力表示的平衡微分方程， 将式（5-11）代入式（5-10），又可得到用弯矩、扭矩及 荷载表示的平衡微分方程：
• 下面要建 立这些合 成内力与 挠度之间 的关系。
M x z x d z
M y z y dz
h 2 h 2
h 2 h 2
阴影微分面单位宽度上的正应力和 切应力的主矢量分别为σxdz，σydz 和τxy=τyxdz。由于σx ，σy ，沿板厚 按线性规律分布，以及分布的反对 称特性，所以，它们在板的全厚度 上的主矢量为零。 构成力偶，Mx，My，Mxy和Myx表 示它们在单位宽度内的力偶矩
3


z 2 2 w （5-5） h
式（5-4）就是切应力τ xz和τ yz与挠度w的关系 式，它们表明，剪应力τ xz和τ yz沿板厚方向呈抛物 线分布，在中面处达最大值，这也与梁弯曲时剪应 力沿梁高方向的变化规律相同。 σ z沿板厚呈三次抛物线规律分布（图5-2）。
三、薄板横截面上的内力表示式
§5-1 基本概念与计算假定
• 板 、板面、板边 、板厚 • 薄膜 • 薄板：当板厚与板面内 最小特征尺寸之比在 1/80～1/5之间时 • 厚板 • 挠度 • 小挠度问题：挠度与板 厚之比小于或等于1/5 • 大挠度问题
基尔霍夫假设
• （1）直法线假设 • （2）σz引起的变形略去不计 • （3）中面内各点只有垂直位移w
Fs y Fsx dx dy Fsx dy Fs y dy dx Fs y dx qdxdy 0 Fsx x y
ΣMz=0已经满足。现要从其余三个方程导得内力所必须满 足的平衡微分方程。由ΣFz=0，有
化简后约去dxdy，得
（5-3）
这是薄板小挠度弯曲时，主要应力σ x，σ y和τ xy与挠度w的关 系式。可见它们沿板的厚度也是呈线性分布，其在中面上为零， 在上、下板面处达到极值。
次要应力分量
• 按假设，σ z，τ xz和τ yz应为零，实际上， 它们只是远小于σ x，σ y和τ xy的次要的 应力分量，对于它们所引起的变形可略 去不计，但对于维持平衡，它们不能不 计。为了求得它们，现考虑不计体力的 平衡微分方程：
第五章 薄板的小挠度弯曲
• 板是工程中常用的构件，当外荷载作用方 向平行于板面且沿板厚均匀分布且不发生失稳 现象时，可以处理为平面应力问题；当外荷载 作用方向垂直于板面时，则属于弹性力学的空 间问题。由于数学上处理空间问题的复杂性， 要求得满足全部基本方程和边界条件的精确解 非常困难，这就需要引入简化计算的近似假设。 下面将通过引入这样的近似假设，建立薄板弯 曲问题的基本方程和基本关系式以及各种支承 情况下的边界条件，并讨论几种常用的薄板弯 曲问题。
x
2w 2 w 2 2 x y Ez 2 w 2 w 2 2 y 1 2 y x Ez 2 w xy 1 xy Ez x 1 2
• 与材料力学中梁的弯曲应 力和横向切应力公式相似。
12M x x z h3 12M y y z h3 12M xy xy yx z 3 h 6 Fsx h 2 2 xz 3 4 z h 2 6 Fsy h 2 yz 3 4 z h
M xy z xy dz
M yx z yx dz
h 2 h 2
h 2 h 2
2w 2w M y D 2 2 y x （5-6） 2w M xy M yx D1 xy 2w 2w M x D 2 2 x y
一、薄板中的位移分量和应变分量的表示式
u x 根据上述第一假设，由几何方程知（a）式 x 成立. v y y 由式（a）的第三式可知，在板内所有的点， w 位移分量w只是x和y的函数而与z无关，故 z 0 z 板内各点的位移分量w沿厚度方向是相同的。 v u 再由式（a）的第五、第六式，有 （a） xy x y u w v w z x z y w v yz 0 y z w w u -z f1 x, y v -z f 2 x, y x y u w xz 0 z x 由第三个假设：（u） =0和（v） =0
§5-2 薄板内力
• 根据§5-1中的三个基本假设，利用弹性力学的 平衡微分方程、几何方程和物理方程，可以将 薄板内任一点的位移分量、应变分量、应力分 量和板横截面上的内力，都用挠度w来表示。 下面就来建立这些基本关系式。 • 一、薄板中的位移分量和应变分量的表示式 • 二、薄板中的应力分量表示式 • 三、薄板横截面上的内力表示式
可知，f1(x,y)=f2(x,y)=0，于是有
z=0
z=0
u x x v 式（5-1）表示，薄板内坐标为（x,y,z） y y 的任一点，分别在x和y方向的位移沿板厚 方向呈线性分布，中面处位移为零，在上、 z w 0 z 下表面处位移最大。 v u (a) xy 利用式（a）的第一、第二和第四式， x y 得应变分量的表示式 w v yz 0 2w 2w 2w y z x 2 z y 2 z xy 2 z xy x y u w xz 0 （5-2） z x
h 2 h 2
h 2y 分 别 表 示 垂 直 于 x 轴 和y 轴 的 板的横截面单位 宽 度 上 的 弯矩 ， M x y ， M yz 分 别 表 示这两个截面单位宽度上的扭矩，而 和 为这两个 横 截面单位宽度上 的 横 剪 力 ，它 们 统 称 为 板 的 内 力 。 弯矩和扭矩的量 纲 为 [ 力 ]， 横 向 剪 力 的 量 纲 为 [ 力 ]·长 度 ] -1 。按 弹 性 力 学 关 于 应 力 分 量 指 向 的 规 定 ， [ 弯 矩M x ，M y 以使 板 横 截 面 上 z > 0的 一 侧 产 生 正 号 的 正 应力σ x ，σ y 时为 正 ； 扭 矩 M x y ， M yz 使 板 横 截 面 z > 0的 一侧产生 正 号 的 剪 应 力 时 为 正 ； 横 剪 力 ， 使 板截面产生正号 的 剪 应 力 时为 正 ， 如 图 5 - 4 。 由式（ 5- 3） 、 式 （ 5- 4 ）与 式 （5 - 6） 、 式 （ 58 ）比较后可以看 出 ， 应 力 分 量 又 可 通 过 相 应 的 内 力 表 示为