2020年高考数学二轮复习重点及技巧

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2020年高考数学(理)二轮专题学与练 24 解答题解题方法与技巧(考点解读)(原卷版)

专题24 解答题解题方法与技巧解答题在高考数学试题中占据半壁江山，试题并不是单纯的知识叠加，而是知识、方法和能力的综合，且试题具有明显的区分度，前3题一般难度中等，最后两题一般难度较大、多为把关题．结合近几年的高考试题，题目的设计一般围绕三角函数或解三角形、立体几何、函数、解析几何、数列这几个方面展开．对于考生来说，想要得到高分，必须争取在前3个解答题上不丢分或少失分，这就需要考生在做题时计算准确、推理严谨、书写规范、步骤清晰，从根本上解决“会而不对，对而不全”的“老大难”问题．高频考点一三角函数或解三角形【命题角度】(1)三角函数式的求值与化简问题； (2)单纯三角函数知识的综合； (3)三角函数与平面向量交汇； (4)三角函数与解三角形的交汇； (5)单纯解三角形；(6)解三角形与平面向量的交汇. 例1、设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值．【增粉策略】解决此类问题还应注意： ①化简时，公式应用要准确； ②注意所给角或参数的范围；③在求单调区间、对称轴和对称中心时要注意不能忽略k 取整数； ④求最值或范围时，应满足在定义域内．【变式探究】在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A . (1)求cos A 的值；(2)求c 的值．【增粉策略】解决三角形问题还应注意：①不要忘记三角形中的隐含条件(A＋B＋C＝π，a＋b>c)；②注意边角互化，化为所求的问题；③利用正、余弦定理解决实际问题时应明确仰角、俯角和方向角等有关术语的含义．高频考点二立体几何【命题角度】(1)证明空间线、面平行或垂直；(2)利用综合法计算空间中的线、面夹角；(3)立体几何中的探索性问题.例2、如图，已知四棱锥PABCD，△P AD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点．(1)证明：CE∥平面P AB；(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【变式探究】如图，P-ABD和Q-BCD为两个全等的正棱锥，且A，B，C，D四点共面，其中AB＝1，∠APB＝90°.(1)求证：BD⊥平面APQ；(2)求直线PB与平面PDQ所成角的正弦值．【增粉策略】解决此类题目应注意：①证明线、面平行或垂直，应注意直线在平面内，两直线相交等情况；②找到或作出线面角后，要证明所找或作的线面角为所求角；③计算线面角的大小时一定要仔细．高频考点三函数、导数与不等式【命题角度】导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题，是高考的热点和难点．解答题的热点题型有：(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值； (2)利用导数证明不等式或探讨方程根； (3)利用导数求解参数的范围或值. (一)利用分类讨论思想探究函数性质例1、设函数f (x )＝x 22－a ln x .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间和极值．【感悟提升】 1．解答这类题的模板定义域―→求导数―→零点―→列表―→回答―→遇见参数要讨论哪一步遇见就在哪一步展开讨论2．解答这类题的难点(1)何时讨论参数？由于题目条件的不同，有的在求零点时讨论，有的在列表时讨论；(2)如何讨论参数？需要根据题目的条件确定，有时还需参考自变量的取值范围，讨论的关键是做到不重不漏．【变式探究】函数f (x )＝13x 3＋|x －a |(x ∈R ，a ∈R)．(1)若函数f (x )在R 上为增函数，求a 的取值范围；(2)若函数f (x )在R 上不单调时，记f (x )在[－1,1]上的最大值、最小值分别为M (a )，m (a )，求M (a )－m (a )． (二)利用数形结合思想探究函数的零点例2、函数f (x )＝ax ＋x ln x 在x ＝1处取得极值． (1)求f (x )的单调区间；(2)若y ＝f (x )－m －1在定义域内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．【感悟提升】利用导数探究函数零点的一般思路(1)转化为可用导数研究其函数的图象与x 轴(或直线y ＝k )在该区间上的交点问题．(2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象． (3)结合图象求解．【变式探究】设函数f (x )＝ln x ＋mx，m ∈R.(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数．(三)利用函数思想证明不等式例3、已知函数f (x )＝1－xax ＋ln x 在(1，＋∞)上是增函数，且a >0.(1)求a 的取值范围；(2)若b >0，试证明1a ＋b <ln a ＋b b <a b .【感悟提升】1．利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形． (2)构造新的函数h (x )．(3)利用导数研究h (x )的单调性及最值． (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 2．构造辅助函数的四种方法(1)移项法：证明不等式f (x )>g (x )(f (x )<g (x ))的问题转化为证明 f (x )－g (x )>0(f (x )－g (x )<0)，进而构造辅助函数h (x )＝f (x )－g (x )．(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数．(3)主元法：对于(或可化为)f (x 1，x 2)≥A 的不等式，可选x 1(或x 2)为主元，构造函数f (x ，x 2)(或f (x 1，x ))．(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数．【变式探究】已知函数f (x )＝e x＋m－x 3，g (x )＝ln(x ＋1)＋2.(1)若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为1，求实数m 的值； (2)当m ≥1时，证明：f (x )＞g (x )－x 3. (四)利用转化与化归思想求解恒成立问题例4、已知函数f (x )＝ln x .(1)求函数g (x )＝f (x ＋1)－x 的最大值；(2)若对任意x >0，不等式f (x )≤ax ≤x 2＋1恒成立，求实数a 的取值范围．【变式探究】已知函数f (x )＝ln x ＋a2x 2－(a ＋1)x .(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝－2，求f (x )的单调区间； (2)若x >0时，f x x <f ′x2恒成立，求实数a 的取值范围【感悟提升】函数与导数压轴题堪称“庞然大物”，所以征服它需要一定的胆量和勇气，可以参变量分离、把复杂函数分离为基本函数、可把题目分解成几个小题、也可把解题步骤分解为几个小步，也可从逻辑上重新换叙．注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到尽可能多拿步骤分．同时要注意分类思想、数形结合思想、化归与转化等数学思想的运用．高频考点四、圆锥曲线的综合问题【命题角度】解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．热点题型有：(1)直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解； (3)轨迹方程及探索性问题的求解. (一)巧妙消元证定值例4、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1，过A (2,0)，B (0,1)两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．【方法策略】解答圆锥曲线的定值问题的策略(1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)采用推理、计算、消元得定值．消元的常用方法为整体消元(如本例)、选择消元、对称消元等．【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为(－6，0)，e ＝22.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，设R (x 0，y 0)是椭圆C 上一动点，由原点O 向圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝4引两条切线，分别交椭圆于点P ，Q ，若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(3)在(2)的条件下，试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． (二)构造函数求最值如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝⎛⎭⎫－12，14，B ⎝⎛⎭⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝⎛⎭⎫－12<x <32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．【感悟提升】最值问题的基本解法有几何法和代数法(1)几何法是根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；(2)代数法是建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决的．【变式探究】已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝22，短轴长为2.求椭圆的方程；(三)寻找不等关系解范围已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．【感悟提升】解决有关范围问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系，其方法有：(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系； (3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．【变式探究】已知焦点在y 轴上的椭圆E 的中心是原点O ，离心率等于32，以椭圆E 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4 5.直线l ：y ＝kx ＋m 与y 轴交于点P ，与椭圆E 相交于A ，B 两个点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若AP ―→＝3PB ―→，求m 2的取值范围． (四)确定直线寻定点已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0，1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．【变式探究】已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点．(五)假设存在定结论(探索性问题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，点A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM ―→＝NQ ―→？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【方法策略】探索性问题的解题策略探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．【变式探究】已知椭圆x 2＋2y 2＝m (m >0)，以椭圆内一点M (2,1)为中点作弦AB ，设线段AB 的中垂线与椭圆相交于C ，D 两点．(1)求椭圆的离心率；(2)试判断是否存在这样的m ，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上，并说明理由．【方法策略】圆锥曲线解答题的常见类型是：第1小题通常是根据已知条件，求曲线方程或离心率，一般比较简单．第2小题往往是通过方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题综合性较强，可通过巧设“点”“线”，设而不求．在具体求解时，可将整个解题过程分成程序化的三步：第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出；第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关系；第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中．在求解时，要根据题目特征，恰当的设点、设线，以简化运算．【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且点P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围；(3)过椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2－53＝1上异于其顶点的任一点P ，作圆O ：x 2＋y 2＝43的两条切线，切点分别为M，N(M，N不在坐标轴上)，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m，n，证明：13m2＋1n2为定值．【方法技巧】解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；(3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．【变式探究】已知点F为椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x4＋y2＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线x4＋y2＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若λ|PM|2＝|P A|·|PB|，求实数λ的取值范围．。

2020高三数学二阶段复习安排

2020高三数学二阶段复习安排
目标
本阶段的复旨在巩固和提高学生的数学知识和技能，为高考做好准备。

复计划
以下是数学二阶段复的安排：
第一周
- 复高中数学基础知识，包括代数、几何和函数等内容。

- 解析几何的重点复，包括直线、圆、曲线和向量等知识点。

第二周
- 复三角函数的概念和性质，包括正弦、余弦和正切等函数的图像和特点。

- 复三角函数的运算，包括加减乘除和复合函数等。

第三周
- 复数列和数列的概念和性质，包括等差数列和等比数列等。

- 复数列的求和公式和通项公式，以及数列的应用题。

第四周
- 复概率和统计的基本概念和原理，包括概率计算和统计分析
等内容。

- 复概率和统计的应用题，包括抽样调查和数据分析等。

第五周
- 复函数的概念和性质，包括一次函数、二次函数和指数函数等。

- 复函数的图像和性质，包括函数的增减性和最值等。

第六周
- 复数和微分的概念和性质，包括导数的定义和计算等。

- 复数的应用题，包括函数的极值和曲线的切线等。

复方法
为了更好地复数学知识，建议学生采用以下方法：
1. 制定每日的计划，合理安排时间，保证复的连贯性和系统性。

2. 多做高考真题和模拟试卷，熟悉考试题型和解题思路。

3. 注重基础知识的巩固，重点复易错题和易忽略的知识点。

4. 和同学组队复，互相讨论和解答问题，加深理解和记忆。

5. 定期进行自测和总结，及时发现问题并进行调整和补充。

通过科学合理的复安排和方法，相信学生们能够提高数学水平，取得优异的高考成绩！。

2020届高三第二轮复习经验方法总结--数学篇

2020届高三第二轮复习经验方法总结数学篇专题一：函数与不等式以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点。

函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。

专题五：解析几何直线与圆锥曲线的位置关系，动点轨迹的探讨，求定值，定点，最值这些为近年来考的热点问题。

2020高考数学二三轮复习方法

2020高考数学二轮复习方法真抓实干实现飞跃高三数学备课组一、指导思想通过第一轮复习，学生大都已掌握了基本概念、性质、定理及其一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题。

第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，强化数学的学科特点，同时第二轮复习承上启下，是促进知识灵活运用的关键时期，是发展学生思维水平、提高综合能力发展的关键时期，因而对讲、练、检测要求较高。

我们的指导思想是：强化高中数学主干知识的复习，形成良好知识网络。

整理知识体系，总结解题规律，模拟高考情境，提高应试技巧，发展应试能力，掌握通性通法。

我们的的思路，目标和要求是：一是教师对《考试说明》、《题型示例》深入研究、透彻理解，把握到位，明确“考什么”、“怎么考”．二是教师讲解、学生练习体现阶段性、层次性和渐进性，做到减少重复，重点突出，让大部分学生学有新意，学有收获，学有发展．三是知识讲解、练习检测等内容增强科学性、针对性，使模糊的清晰起来，缺漏的填补起来，杂乱的条理起来，孤立的联系起来，让学生形成系统化、条理化的知识框架．四是练习检测与高考对路，不拔高，不降低，难度适宜，重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法．二、时间安排：1．第一阶段为重点主干知识的巩固加强与数学思想方法专项训练阶段，时间为4月20——5月20日。

2．第二阶段是进行各种题型的解题方法和技能专项训练，时间为5月21日——5月30日。

三、上好第二轮复习课的几点措施：（一）.明确“主体”，突出重点。

第二轮复习，教师必须明确重点，对高考“考什么”，“怎样考”，应了若指掌．只有这样，才能讲深讲透，讲练到位．因此,每位教师要研究2018-2019高考试题.第二轮复习的形式和内容形式及内容：分专题的形式，具体而言有以下八个专题。

（1）集合、函数与导数。

此专题函数和导数、应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。

主要解决：简单数集的运算、充要条件的判定、含参数的集合关系问题中参数范围的确定方法，函数本身的性质问题、反函数问题、定义法和导数解决函数的单调性问题、导数法求最值、与函数有关的应用问题。

2020年高三数学第二轮复习方案

2020年高三数学第二轮复习方案1. 目标本文档旨在提供2020年高三数学第二轮复的方案，帮助学生有效备考数学高考。

2. 复策略为了确保复过程简单明了，避免法律复杂性，我们将采取以下简洁策略：- 系统性复：按照高考数学知识点的重要性和难度，制定系统性的复计划，确保全面覆盖相关知识点。

系统性复习：按照高考数学知识点的重要性和难度，制定系统性的复习计划，确保全面覆盖相关知识点。

- 刷题训练：通过大量的题训练，提高解题速度和准确性，加深对知识点的理解和掌握。

刷题训练：通过大量的习题训练，提高解题速度和准确性，加深对知识点的理解和掌握。

- 错题集整理：将做错的题目整理成错题集，经常复并找出解题思路上的问题，加强弱点的掌握。

错题集整理：将做错的题目整理成错题集，经常复习并找出解题思路上的问题，加强弱点的掌握。

- 模拟考试：定期进行模拟考试，熟悉考试形式和节奏，提高应试能力和心理素质。

模拟考试：定期进行模拟考试，熟悉考试形式和节奏，提高应试能力和心理素质。

3. 复计划以下是一个简单的复计划，供参考：第一周- 复集合与函数、数列与数列极限、函数与导数等知识点。

- 刷题训练：完成相关章节的题，提高对知识点的理解和应用能力。

第二周- 复微分中值定理、不等式与极值、定积分等知识点。

- 刷题训练：完成相关章节的题，加深对知识点的掌握和应用能力。

第三周- 复曲线的切线与法线、常微分方程、向量与空间解析几何等知识点。

- 刷题训练：完成相关章节的题，提高解题速度和准确性。

第四周- 复立体几何、概率与统计、数理统计等知识点。

- 刷题训练：完成相关章节的题，加强对知识点的掌握和应用能力。

第五周- 复复数、数学归纳法、数学证明等知识点。

- 刷题训练：完成相关章节的题，提高解题能力和思维能力。

第六周- 复矩阵与变换、数列的极限与级数、空间向量等知识点。

- 刷题训练：完成相关章节的题，加深对知识点的理解和应用能力。

第七周- 复三角函数与解三角形、导数与微分、数列与级数等知识点。

高考数学第二轮复习方法和技巧

高考数学第二轮复习方法和技巧时下，高三数学进入第二轮复习阶段，考生应该如何在短短的时间内，科学安排复习，提高效率呢？一、研究考纲，把准方向为更好地把握高考复习的方向，教师应指导考生认真研读《课程标准》和《考试说明》，明确考试要求和命题要求，熟知考试重点和范围，以及高考数学试题的结构和特点。

以课本为依托，以考纲为依据，对于支撑学科知识体系的重点内容，复习时要花大力气，突出以能力立意，注重考查数学思想，促进数学理性思维能力发展的命题指导思想。

二、重视课本，强调基础近几年高考数学试题坚持新题不难，难题不怪的命题方向。

强调对通性通法的考查，并且一些高考试题能在课本中找到“原型”。

尽管剩下的复习时间不多，但仍要注意回归课本，只有透彻理解课本例题，习题所涵盖的数学知识和解题方法，才能以不变应万变。

例如，高二数学（下）中有这样一道例题：求椭圆中斜率为平行弦的中点的轨迹方程。

此题所涉及的知识点、方法在 2019 年春季高考、 2019 年秋季高考、2019 年秋季高考的压轴题中多次出现。

加强基础知识的考查，特别是对重点知识的重点考查；重视数学知识的多元联系，基础和能力并重，知识与能力并举，在知识的“交汇点”上命题；重视对知识的迁移，低起点、高定位、严要求，循序渐进。

有些题目规定了两个实数之间的一种关系，叫做“接近”，以递进式设问，逐步增加难度，又以学生熟悉的二元均值不等式及三角函数为素材，给学生亲近之感。

将绝对值不等式、均值不等式、三角函数的主要性质等恰如其分地涵盖。

注重对资料的积累和对各种题型、方法的归纳，以及可能引起失分原因的总结。

同时结合复习内容，引导学生自己对复习过程进行计划、调控、反思和评价，提高自主学习的能力。

三、突破难点，关注热点在全面系统掌握课本知识的基础上，第二轮复习应该做到重点突出。

需要强调的是猜题、押题是不可行的，但分析、琢磨、强化、变通重点却是完全必要的。

考生除了要留心历年考卷变化的内容外，更要关注不变的内容，因为不变的内容才是精髓，在考试中处于核心、主干地位，应该将其列为复习的重点，强调对主干的考察是保证考试公平的基本措施和手段。

高三数学二轮复习策略

高三数学二轮复习策略2020年高三数学二轮复策略一、复指导思想（1）细读考试说明，研究近三年全国二卷，研究高考命题规律。

（2）做好二轮复的整体布局和科学规划。

（3）注重学情分析，查清学生的薄弱环节，有针对性地对薄弱点进行专项训练、强化训练（4）二轮复一定要方法得当，讲求效率，对考点的复一定要落实到具体的可操作的环节上。

（5）提高审题能力，注重思维训练，做到规范答题。

（6）加强对复课的自我反思，切实提高复课的质量。

二、复基本措施（一）细读考试说明，研究近三年全国二卷，研究高考命题规律。

1．研究考试说明考纲是我们备战高考的信息向导，它规定了高考的能力要求、内容形式、试卷结构、考试角度等。

所以，研究考纲是高考复中的第一要素，要抓住考纲的前后变化，把握高考命题趋向，从而在高考备战中，明确方向，有意识地加强识记、理解、运用，让学生的知识储备丰富起来，在考场上做到游刃有余。

2．研究高考试题高三数学复最最重要的一点就是要研究三年内的高考考题。

一是研究试卷的总体设计，二要研究知识考查的目的、设题的角度，三要研究题型信息透露方式，四要研究解题思路。

在研究中发现哪些题型有稳定性，哪些试题具有变化性，真正把高考试题研究利用到极致。

3.研究高考命题规律高考命题规律是有规律的。

高考的潜意识里，有一个收缩了范围的命题指向。

因此高三数学教师要通过研究考纲和近三年高考题，分析出必考点、常考点、轮考点和未考点。

二轮复要化大为小、缩小范围，突出重点。

对必考点、常考点必须予以突破。

做到非考勿教，非考勿学。

（二）整体布局，科学规划为了确保后期温的高效率，需要对有限的时间做出科学规划。

以导数锻炼为例来说明：导数一共锻炼几道题？为何要锻炼这些？每道题都击打高考哪些要害？这一道与上一道题在锻炼价值上有何异同，它们锻炼的价值点各自都是什么？高考导数最核心的合作手段有哪些？基础雄厚、扎实的学生最后还需要有哪些拔高与晋升？基础差的学生如何进行个别指导？绝不要小看了这些问题的构建与思考，对于这些问题的理解与掌控，组成了一位“主帅”的高考导数思想。

高三数学第二轮复习的方法与重点

高三数学第二轮复习的方法与重点一、建立良好知识结构而这种能力是以整体的、完善的知识结构而建构既以本章为主线又广涉有关各章的知识网络系统，其次让学生进行客观性题目的练习，再讲练主观性题目。

在知识的深化过程中，切忌孤立对待知识、方法，而是自觉地将其前后联系，纵横比较、综合，自觉地将新知识及时纳入已有的知识系统中去，融汇代数、三角、立几、解几于一体，进而形成一个条理化、有序化的知识结构。

如面对代数中的“四个二次”：二次三项式，一元二次方程，一元二次不等式，二次函数时，以二次方程为基础、二次函数为主线，通过联系解析几何、三角函数、带参数的不等式等典型重要问题，建构知识，发展能力。

二、全面复习、突出重点、抓住典型、全面提高1.全面搞好基础知识的复习。

（1）函数的基础理论应用.（2）不等式的求解、证明和综合（3）. 应用三角函数和三角变换.（4）数列的基础知识和应用.（5）直线与平面的位置关系.（6）曲线方程的求解.（7）直线、圆锥曲线的性质和位置关系.（8）向量的基础知识和应用。

（9）概率与统计的基础知识和应用（10）初等函数的导数和应用2、对基础知识的复习应突出抓好两点：（1）深入理解数学概念，正确揭示数学概念的本质，属性和相互间的内在联系，发挥数学概念在分析问题和解决问题中的作用。

（2）熟练掌握数学公式、法则、定理、定律的使用范围，使用方法（正用逆用、变用），理解推导过程。

3、系统地对数学知识进行整理、归纳、沟通知识间的内在联系，形成纵向、横向知识链，构造知识网络，从知识的联系和整体上把握基础知识。

例如以函数为主线的知识链。

又如直线与平面的位置关系中“平行”与“垂直”的知识链。

4、认真领悟数学思想，熟练掌握数学方法，高考中涉及的有以下四种:（A）分类讨论思想：分类讨论思想是以概念的划分，集合的分类为基础的解题思想，是一种逻辑划分的思想方法。

分类讨论的实质是“化整为零、积零为整”。

——有疑问时分类解决！（B）函数与方程的思想：函数与方程是贯穿中学数学的主线，函数是变量与变量之间相互制约关系的反映，方程则是这种关系的具体形式。

2020年高考数学二轮复习重点专题冲刺复习指导专题1 数列

2020年高考数学二轮复习重点专题冲刺复习指导专题1 数列【高考考场实情】数列是高中数学的主干知识之一，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位．在高考考查中解答题17题一般是数列和三角函数交替出现．故数列在高考考查中一般有两种情形：其一，两道选择题或一道选择题和一道填空题，共2道小题，分值为10分；其二，一道选择或填空题和一道解答题，共2道题，分值为17分．【考查重点难点】高考对数列这一部分的考查以基础题、中档题为主，但解题方法灵活多样，技巧性较强些，讲究解题的通性通法，侧重考查等差数列、等比数列的基本概念、特殊性质及基本量的运算；突出考查等差、等比数列有关的通项公式、前n 项和公式、以及数列求和的常用方法等；重点考查数列n a 与n S 的关系的应用等．而学生在平时的复习中，往往对定义、概念理解不透，对公式、性质等应用不熟练导致错误．下面对学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的学习方法．【存在问题分析】1.概念模糊不清【指点迷津】概念模糊不清主要表现在等差、等比数列的概念及等差中项或等比中项的定义认识不到位等。

【例1】 “ac b 2”是“c b a ,,成等比数列”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件答案：B【名师点睛】学生对等比数列的首项及公比不为零模糊而错选C ．原因在于学生等比数列概念模糊思考不严密，漏掉了特例对结论的影响，忽略了等比数列是由后一项与前一项的比为定值来定义的，即等比数列的任一项都是非零值.比例式化为乘积式成立，反之乘积式化为比例式时，应注意取值为零时不能转化这一特例．【例2】设数列{}n a 中，11=S ，22=S ，)2(02311≥=+--+n S S S n n n ，判断{}n a 是不是等比数列.【解析】：∵)2(02311≥=+--+n S S S n n n ，∴)(211-+-=-n n n n S S S S ，即)2(21≥=+n a a n n ，又111==S a ，1122=-=S S a ，2112≠=a a ，所以{}n a 不是等比数列. 【名师点睛】学生常会忽视1a 与)2(≥n a n 关系，由)2(21≥=+n a a n n 直接判断{}n a 是等比数列，体现学生对等比数列的定义理解不透彻，从)2(21≥=+n a a n n 来看，反映的是数列{}n a 从第3项开始后一项与前一项的比是常数，而等比数列的定义是从第2项开始，后一项与前一项的比是常数，故需讨论1a 与)2(≥n a n 关系．2.运算能力不佳【指点迷津】在数列专题中，常常出现求数列某一项m a 、基本量()1,,,a n d q 、通项公式n a 及前n 项和n S 等计算问题．在计算过程中，整体代换意识薄弱，不能合理运用有关公式进行恒等变形，是导致失分的主要原因，主要包括：①用数列的有关公式和性质求解一些基本量的问题时用错公式，而在用n a 与n S 的关系时易漏掉1=n 时的情况；②对等比数列前n 项和n S 公式的结构特征认识不透，不能从整体的意识上（计算中常把11a q -作为整体代换）去分析和思考问题等．【例3】（2015高考新课标1，文7）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（）A ．172B ．192C ．10D ．12答案：B【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.这方面有了解到有学生因记不住相关公式或用错公式而导致丢分．【例4】等比数列的前项和为9632S S S S n =+，，求公比. 【解析】：当时，则，01≠a Θ，11929a a ⨯≠∴，1≠∴q .当1≠q 时，有q q a q q a q q a --⋅=--+--1)1(21)1(1)1(916131，0)12(363=--∴q q q ， 0≠q Θ，01236=--∴q q ，0)1)(12(33=-+∴q q ，1≠q Θ，0123=+∴q ，243-=∴q . 【名师点睛】此题在等比数列前n 项和公式使用时经常出现不合理情况，易忽略，在等比数列求和时要分公比两种情况进行讨论；另一种情况是当1q ≠时要把11a q-作为整体去运算。

2020年高考数学二轮复习系统热门考点快速解题-1(文理通用版)

2020年高考数学（文理通用版）二轮复习系统热门考点快速解题（1-23讲）第1讲巧用性质妙解函数[速解技法——学一招]函数性质主要指函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，要深刻理解并加以巧妙地运用．以对称性为例，若函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数图象关于直线x ＝a ＋b 2对称；若函数f (x )满足f (a ＋x )＋f (b －x )＝c ，则函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 2对称． [例1] 定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －2)＝－f (x )，且在[0,1]上是增函数，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32B ．f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫32 C ．f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫－14D ．f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14 [解析] 选B 由题设知f (x )＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由于奇函数f (x )在[0,1]上是增函数，故f (x )在[－1,0]上也是增函数，综上，函数f (x )在[－1,1]上是增函数，在[1,3]上是减函数．又f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12，所以f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32. [例2] 已知函数f (x )＝x 3＋sin x 的定义域为[－1，1]，若f (log 2m )<f (log 4(m ＋2))成立，则实数m 的取值范围为________．[解析] 由f (x )＝x 3＋sin x 的定义域为[－1,1]，易知f (x )在[－1,1]上单调递增，由f (log 2m )<f (log 4(m ＋2))，可得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤log 2m ≤1，－1≤log 4m ＋，log 2m <log 4m ＋，m >0，m ＋2>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 12≤m ≤2，－74≤m ≤2，0<m <2，m >0，m >－2，故12≤m <2. 综上可知，实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，2. [答案] ⎣⎡⎭⎫12，2 [经典好题——练一手]1．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2＋x )＝－f (2－x )，当x <2时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)·(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值为( ) A ．可正可负 B ．可能为0C ．恒大于0D ．恒小于0 解析：选D 由f (2＋x )＝－f (2－x )可知，函数图象关于点(2,0)中心对称．因为x <2时，f (x )单调递增，所以x >2时，f (x )单调递增．因为x 1＋x 2<4且(x 1－2)·(x 2－2)<0，设x 1<2<x 2，则x 2<4－x 1，所以f (x 2)<f (4－x 1)．又因为f (4－x 1)＝－f (x 1)，所以f (x 2)<－f (x 1)，即f (x 1)＋f (x 2)<0.2．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选C 由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数可知，m ＝0，故f (x )＝2|x |－1.当x >0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，∴log 25>|－log 0.53|>0.∴b ＝f (log 25)>a ＝f (log 0.53)>c ＝f (2m )．3．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.解析：由题意得g (－1)＝f (－1)＋2.又f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋12]＝－2，所以f (－1)＝－3.故f (－1)＋2＝－3＋2＝－1，即g (－1)＝－1.答案：－14．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x .若在区间[－2,3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x ＋2)＝f (x )，得函数的周期是2.由ax ＋2a －f (x )＝0，得f (x )＝ax ＋2A ．设y ＝f (x )，则y ＝ax ＋2a ，作出函数y ＝f (x )，y ＝ax ＋2a 的图象，如图．要使方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则直线y ＝ax ＋2a ＝a (x ＋2)的斜率满足k AH <a <k AG ，由题意可知，G (1,2)，H (3,2)，A (－2,0)，所以k AH ＝25，k AG ＝23，所以25<a <23. 答案：⎝⎛⎭⎫25，23[常用结论——记一番]1．函数的单调性在公共定义域内：(1)若函数f(x)是增函数，函数g(x)是增函数，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)若函数f(x)是减函数，函数g(x)是减函数，则f(x)＋g(x)是减函数；(3)若函数f(x)是增函数，函数g(x)是减函数，则f(x)－g(x)是增函数；(4)若函数f(x)是减函数，函数g(x)是增函数，则f(x)－g(x)是减函数．[提示]在利用函数单调性解不等式时，易忽略函数定义域这一限制条件．2．函数的奇偶性(1)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f(x)±f(－x)＝0，f xf－x＝±1；(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．3．有关函数f(x)周期性的常用结论：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数f(x)的周期为2|a|；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数f(x)的周期为2|a|；(3)若f(x＋a)＝1f x，则函数f(x)的周期为2|a|；(4)若f(x＋a)＝－1f x，则函数f(x)的周期为2|a|.。

高考数学二轮复习技巧总结

高考数学二轮复习技巧总结高考数学二轮复习技巧1、突出主干知识，加强薄弱环节在二轮复习中，对高中数学的重点内容：函数、不等式、数列、几何体中的线面关系、直线与圆锥曲线及新增加内容中的向量、概率统计、导数进行强化复习。

其中，函数是高中数学的核心内容，又是学习高等数学的基础，贯穿于高中数学的始终，运用函数的观点，可以从较高的角度去处理方程、不等式、数列、曲线和方程等问题。

打破知识之间的界限，加强各章节知识之间的横向联系。

在第二轮复习时，要求学生一是要认真分析自己一轮复习的感受及作业、试卷情况，针对第一轮的薄弱环节，加强研究。

二是要针对性地选择一些课本的典型习题、近年的高考题、模拟题，甚至是第一轮中做过的题，集中强化训练，提高一个档次。

2、提高思维能力解数学题要着重研究解题的思维过程，弄清基本数学知识和基本数学思想在解题中的意义和作用，研究运用不同的思维方法解决同一数学问题的多条途径。

要求学生重视审题和解体后的总结、反思，不断积累正、反两方面的经验。

3、注重心理训练学习实力与心理状态是高考成功的两大基本要素，良好的心态是高考制胜的法宝。

在测试或训练题中要在适当的位置设置障碍或有意识的引入新情景、新信息问题，有意识的锻炼学生心理素质，增强学生的应变能力和知识迁移能力，提高学生应试技巧。

但要把握好度，不能过于挫伤学生的自信心和积极性;4、提高计算能力数学高考历来重视运算能力，80%以上的分数都要通过运算而来。

部分运算能力差的学生至今仍然没有对此有足够重视，而是将运算能力差完全归结于粗心，认为平时运算是浪费时间。

我们必须清楚地认识到运算是一种能力和技能，必须从每一道题做起，坚持长期训练，要能够根据题设条件，合理运用概念、公式、法则、定理，提高运算的准确性。

高考数学备考注意点1、课上高度专注数学学习，主要是在课堂上，所以课内的学习效率非常重要。

正确的学习方法是：上课紧跟老师的思路，开动思维预测接下来的步骤，对比自己与老师在解题思路上的不同。

高三数学第二轮复习的重点和策略

临门一脚：高考数学临考如何再增十分问题1：临考前对于数学学科知识层面的复习怎样进行最为有效？时下，针对高考数学科知识层面的复习，可谓到了收口阶段。

相信经过了数轮复习，考生对于各章节的基本知识点以及对应常见的题型和应对策略都有了比较系统的认识。

笔者想要强调的是：考生在知识完备的前提下，对整个高考数学尤其是重点章节命题线索及考查方式的把握将决定了数学成绩的起点。

相对高考其他学科，数学学科命题呈现两大鲜明特点：第一，高考数学试题考查异常全面，必修部分所学的章节几乎都会在试题中得到体现，未开垦的章节凤毛麟角。

第二，高考数学试题对重点章节的考查又异常偏重偏难，从不回避。

在重点章节知识网络交汇处命制的试题，其考查分值就可撑起整个高考数学满分的半壁江山。

怎样营造数学的高分起点呢？其实，正是由于高考数学的不回避重点，所以从应试的角度来说，考生应重点了解几类最主要的命题线索，下面举出几个常见案例：1.《函数》：函数概念——导函数，函数性质，函数图象——特殊结论2.《数列》：数列概念——递推关系——数列通项——数列求和3.《解析几何》：曲线定义——轨迹方程——直线曲线综合——韦达定理——特殊结论考生若能做到对诸如此类重点章节的重点命题线索做到心领神会，就能够形成对数学试题的一种“亲切感觉”——即一种“踩题点”的本领——亦或一种条件反射，做到从试题条件的字里行间读出它的考点，从而快速找到突破口按图索骥使得问题迎刃而解。

从某种程度上说，这正是“特殊与一般”数学思想的体现，也是高考命题或者测试学的体现，也是数学学习带给人思维方式上的改变与进步。

问题2：几乎在每次数学考试中，都有因马虎，算错数，丢三落四等原因而导致数学成绩丢掉本不该丢掉的分值，请分析一下这样的现象。

诚然，这样的现象是令人唏嘘且惋惜的，由此所造成的结果往往是严重的，甚至对于高考的全盘大局是致命的！从理论上分析，这样的失误都可以归结为是计算能力的问题。

其实，谁也不能保证考试中所有的计算都不出现失误，所以因为计算所致的失误在高考数学中也可谓是偶然中的必然，只是或多或少的事。

2020浙江新高考数学二轮复习课件：第3部分 2 抢分攻略二考前必会的15个规律、结论及方法

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第3部分追梦高考高效抢分
21
13 数列求和的常用方法
(1)公式法：①等差数列的求和公式；②等比数列的求和公式；③常用公式，即 1＋2＋ 3＋…＋n＝12n(n＋1)，12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)，1＋3＋5＋…＋(2n－1) ＝n2，n∈N*.
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13
用向量法求最值常用到的结论
(1)由 a·b＝|a||b|cos θ 可知 a·b≤|a||b|，当 a 与 b 同向时取等号． |a·b|≤|a||b|，当 a 与 b 平行时等号成立． (a·b)2≤|a|2|b|2，当 a 与 b 平行时等号成立．
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8
函数图象伸缩变换的相关结论
(1)把 y＝f(x)的图象上各点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(0<a<1)到原来的 a 倍，而横坐标不变，得到函数 y＝af(x)(a>0)的图象． (2)把 y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长(0<b<1)或缩短(b>1)到原来的1b倍，而纵坐标不变，得到函数 y＝f(bx)(b>0)的图象．
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6
(5)复合函数 f(g(x))的奇偶性若 f(x)为偶函数，则 f(g(x))为偶函数．若 f(x)为奇函数，则当 g(x)为奇函数时，f(g(x))为奇函数；当 g(x)为偶函数时，f(g(x)) 为偶函数． (6)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有 f(0)＝0. (7)存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)＝0.

2020高考二轮数学复习秘诀

2020高考二轮数学复习秘诀数学第二轮复习，一般安排在2月中下旬到4月底(各地情况有所不同)。

第二轮复习承上启下，是知识系统化、条理化，促进灵活运用的关键时期，是促进学生素质、能力发展的关键时期，因而对讲练、检测等要求较高，故有“二轮看水平”之说。

那么我们在二轮复习时要怎么提高数学的成绩呢?搭建知识结构桥梁高考二轮复习将会加大横向关联内容的联系，其实就是前面所说的以专题形式来进行复习。

这就更加需要考生搭建自己的知识结构桥梁。

你不能照搬别人的经验，因为每个人的实际情况并不相同，别人的知识结构对你的帮助不大，所以这就需要自己一步一步地把基础夯实，在牢固的知识基础之上构建自己的知识脉络。

突出对课本基础知识的再挖掘近几年高考数学试题坚持新题不难，难题不怪的命题方向。

强调对通性通法的考查，并且一些高考试题能在课本中找到“原型”。

尽管剩下的复习时间不多，但仍要注意回归课本，只有透彻理解课本例题，习题所涵盖的数学知识和解题方法，才能以不变应万变。

当然回归课本不是死记硬背，而是抓纲悟本，对着课本目录回忆和梳理知识，对典型问题进行引申，推广发挥其应有的作用。

突破难点，关注热点在全面系统掌握课本知识的基础上，数学第二轮复习应该做到重点突出，需要强调的是猜题，押题是不可行的，但是分析、琢磨、强化、变通重点却是完全有必要的。

考生除了要留心历年考卷的变化内容，还要关注不变的内容，因为不变的内容才是精髓，才是重点。

这也是强调对主干的考察是保证考试公平的基本措施和手段。

同时，还要关注科研、生产、生活中与数学相关的热点问题，并能对所学的知识进行简单的分析，归纳，这对于考生提高活学活用知识的能力又很大裨益。

2020年高考数学(文科)二轮总复习考点知识及教材回扣

2．导数的四则运算法则 (1)(u±v)′＝u′±v′⇒[f1(x)＋f2(x)＋…＋fn(x)]′＝f′1(x)＋f′2(x)＋…＋f′n(x)． (2)(uv)′＝vu′＋v′u⇒(cv)′＝c′v＋cv′＝cv′(c 为常数)． (3)uv′＝vu′－v2 v′u(v≠0)．
考点三教材知识——熟悉基本理论 1．单调函数的定义
函数与基本初等函数
增函数
减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某
个区间 D 上的任意两个自变量 x1，x2 定义当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)，
那么就说函数 f(x)在区间 D 那么就说函数 f(x)在区间 D
1．基本初等函数的导数公式 (1)C′＝0(C 为常数)． (2)(xn)′＝nxn－1(n∈N*)． (3)(sin x)′＝cos x，(cos x)′＝－sin x. (4)(ln x)′＝1x(x>0)，(logax)′＝xln1 a(x>0，a>0，且 a≠1)． (5)(ex)′＝ex，(ax)′＝axln a(a>0，且 a≠1)．
已知集合 A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)，∁R(A∩B)，(∁RA)∩B，A ∪(∁RB)．自主解答 _______________________________ _______________________________
考点二命题与逻辑教材知识——熟悉基本理论 1．四种命题的相互关系
换底公式：logab＝llooggccba(a，c 均大于零且不等于 1，b>0)．公式推论：①logab＝log1ba；②loganbn＝logab；③loganbm＝mn logab

高考数学二轮复习答题技巧与规范答题方法

高考数学二轮复习答题技巧与规范答题方法为了关心考生更好的进行复习，查字典数学网整理了高考数学二轮复习答题技巧，请考生及时查看学习。

一、调整好状态，操纵好自我。

(1)保持清醒。

数学的考试时刻在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。

(2)提早进入角色，考前做好预备.按清单带齐一切用具，提早半小时到达考区，一方面能够排除紧张、稳固情绪、镇定进场，另一方面也留有时刻提早进入角色让大脑开始简单的数学活动，进入单一的数学情境。

如：1.清点一下用具是否带齐(笔、橡皮、作图工具、身份证、准考证等)。

2.把一些差不多数据、常用公式、重要定理在脑子里过过电影。

3.最后看一眼难记易忘的知识点。

4.互问互答一些不太复杂的问题。

5.注意上厕所。

(3)按时到位。

今年的答题卡不再单独发放，要求答在答题卷上，但发卷时刻应在开考前5分钟内。

建议同学们提早15~20分钟到达考场。

二、扫瞄试卷，确定考试策略一样提早5分钟发卷，涂卡、填密封线内部分和座号后扫瞄试卷：试卷发下后，先利用23分钟时刻迅速把试卷扫瞄一遍，检查试卷有无遗漏或差错，了解考题的难易程度、分值等概况以及试题的数目、类型、结构、占分比例、哪些是难题，同时依照考试时刻分配做题时刻，做到心中有数，把握全局，做题时心绪平定，得心应手。

三、巧妙制定答题顺序在扫瞄完试卷后，对答题顺序差不多上做到心中有数，然后尽快做出答题顺序，排序要注意以下几点：1.依照自己对考试内容所把握的程度和试题分值来确定答题顺序。

2.依照自己认为的难易程度，按先易后难先小后大先熟后生的原则排序。

四、提高解选择题的速度、填空题的准确度。

数学选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。

因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法尽显威力。

12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。

由于选择题的专门性，由此提出解选择题要求快、准、巧，忌讳小题大做。

高考数学第二轮复习各题型的复习技巧

高考数学第二轮复习各题型的复习技巧虽然为艺术品添加颜色并不难，但是要想颜色搭配好看，也是考需要积累经验和花费大量的时间和精力。

高考数学二轮复习也是一样，下面为各位同学分享高考数学二轮复习各题型复习技巧。

1.选择题(1)概念性强：数学中的每个术语、符号，乃至习惯用语，往往都有明确具体的含义，这个特点反映到选择题中，表现出来的就是试题的概念性强。

试题的陈述和信息的传递，都是以数学的学科规定与习惯为依据，绝不标新立异。

(2)量化突出：数量关系的研究是数学的一个重要的组成部分，也是数学考试中一项主要的内容。

在高考的数学选择题中，定量型的试题所占的比重很大。

而且，许多从形式上看为计算定量型选择题，其实不是简单或机械的计算问题，其中往往蕴涵了对概念、原理、性质和法则的考查，把这种考查与定量计算紧密地结合在一起，形成了量化突出的试题特点。

(3)充满思辨性：这个特点源于数学的高度抽象性、系统性和逻辑性。

作为数学选择题，尤其是用于选择性考试的高考数学试题，只凭简单计算或直观感知便能正确作答的试题不多，几乎可以说并不存在。

绝大多数的选择题，为了正确作答，或多或少总是要求考生具备一定的观察、分析和逻辑推断能力，思辨性的要求充满题目的字里行间。

(4)形数兼备：数学的研究对象不仅是数，还有图形，而且对数和图形的讨论与研究，不是孤立开来分割进行，而是有分有合，将它辨证统一起来。

这个特色在高中数学中已经得到充分的显露。

因此，在高考的数学选择题中，便反映出形数兼备这一特点，其表现是：几何选择题中常常隐藏着代数问题，而代数选择题中往往又寓有几何图形的问题。

因此，数形结合与形数分离的解题方法是高考数学选择题的一种重要且有效的思想方法与解题方法。

(5)解法多样化：与其他学科比较，“一题多解”的现象在数学中表现突出。

尤其是数学选择题，由于它有备选项，给试题的解答提供了丰富的有用信息，有相当大的提示性，为解题活动展现了广阔的天地，大大地增加了解答的途径和方法。

2020高考数学二轮专题复习解答题答题策略

解答题答题策略【考纲解读】1．解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程．2.解答题包含的知识容量大、解题方法多、综合能力要求高，突出了中学数学的主要思想和方法,考查学生的能力与意识.【考点预测】预测今年各省市高考数学解答题,有以下几个特点:1.和前几年一样，虽略有差别，但总体上高考五至六个解答题的模式基本不变，分别为三角函数与平面向量、概率统计、立体几何、数列与不等式、解析几何、函数与导数及不等式.2.一般来说,前三题属于中低档题,第四题属中档偏难题,后两题属难题.其中,三角函数与平面向量、概率统计、立体几何在前三题中出现的概率较高，掌握这几类题的解法是大多数学生成功的关键。

【要点梳理】1.解答题主要内容有:三角函数与平面向量、概率统计、立体几何、数列与不等式、解析几何、函数与导数及不等式.2.解答策略：(1)审题要慢，解答要快.审题时,必须充分搞清题意,综合所有条件,提炼全部线索,形成整体认识；(2)确保运算准确,立足一次成功；(3)讲究书写规范,力争既对又全,这就要求考生在面对试题时, 要会而对,对而全,全而规范.(4)面对难题,讲究策略,争取多得分.解题过程在其中某一环节上卡住时，可以承接这一结论，往下推，或直接利用前面的结论做下面的（2）（3）问.总之,对高三学子来说:准确、规范、速度，高考必胜；刻苦、坚韧、自信，势必成功！【考点在线】考点一三角函数与平面向量三角函数的解答题是每年的必考题目，主要通过三角恒等变换考查三角函数的求值、三角函数的性质及解三角形，可能与平面向量结合在一起命题。

试题呈现以下特点:(1)利用三角函数公式(同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数等)求值；（2）通过升、降幂等恒等变形，将所给三角函数化为只含一种函数名的三角函数，然后研究三角函数的性质，如：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等；（3）利用正、余弦定理及恒等变换解三角形；（4）与平面向量结合，利用向量的运算，将向量式转化为代数式，再进行有关的三角恒等变换。

2020大二轮高考总复习理数文档：攻略2 考前必会核心方法 Word版含解析.doc

攻略2：考前必会核心方法方法1 数形结合法数形结合法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，可使某些抽象的数学问题直观化、形象化，有助于把握数学问题的本质，发现解题思路，并且能避开复杂的推理与计算，大大简化解题过程．(2017·双鸭山二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x ＞0)|x |(x ≤0)，函数g (x )满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有g (x )＝12g (x ＋2)；③当x ∈[－1,1]时，g (x )＝1－x 2.则函数y ＝f (x )－g (x )在区间[－4,4]上零点的个数为阿凡题1083978( )A ．7B ．6C ．5D ．4[思路点拨] 当x ∈[－3，－1]时，g (x )＝21－(x ＋2)2；当x ∈[1,3]时，g (x )＝121－(x －2)2，在同一坐标系中，作出f (x )，g (x )的图象，两个图象有4个交点，可得结论．【解析】 ∵对任意x ∈R ，有g (x )＝12g (x ＋2)；当x ∈[－1,1]时，g (x )＝1－x 2，∴当x∈[－3，－1]时，g (x )＝21－(x ＋2)2；当x ∈[1,3]时，g (x )＝121－(x －2)2，在同一坐标系中，作出f (x )，g (x )的图象，两个图象有4个交点，∴函数y ＝f (x )－g (x )在区间[－4,4]上零点的个数为4，故选D ．【答案】 D[点评] 函数零点有关的问题解决常用数形结合的方法来破解，其关键：一是转化，即把函数零点的个数问题转化为方程的根的个数问题，再把方程的根的个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题；二是“草图不草”，画函数图象时，注意“以点控图”，虽画草图，但关键点要予以呈现，以便有效降低这类问题的错误率．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0x 2＋ax ＋1，x ＞0，F (x )＝f (x )－x －1，且函数F (x )有2个零点，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(0，＋∞)解析：由题意，x ≤0，F (x )＝e x －x －1，有一个零点0，x ＞0，F (x )＝x [x ＋(a －1)]，0是其中一个零点，∵函数F (x )有2个零点，∴1－a ＞0，∴a ＜1.故选C ．答案：C方法2 等价转化法利用等价转化法解题的关键：一是定目标转化，从已知条件入手，通过转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范，甚至模式化、简单的问题；二是利用相关知识解决所转化的问题．已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤13， 2上是增函数，则实数a 的取值范围为________.阿凡题1083979【解析】由题意知f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎡⎦⎤13， 2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13， 2上恒成立．又∵y ＝－x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤13， 2上单调递减，⎝⎛⎭⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43．【答案】 ⎣⎡⎭⎫43，＋∞[点评] 把可导函数f (x )在某个区间D 上的单调递增，等价转化为f ′(x )≥0在区间D 上恒成立，再把恒成立问题通过分离参数法转化为最值问题来解决．方法3 变量换元法变量换元法的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化. 变量换元法常用于求解复合函数的值域、三角函数的化简或求证等问题．(2017·长春模拟)函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1的值域为阿凡题1083980( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)【解析】令2x ＝t ，则函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1可化为y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2(t ＞0)． ∵函数y ＝(t ＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y ＞1． ∴所求值域为(1，＋∞)．故选B ．【答案】 B[点评] 破解此类问题的关键：一是利用已知条件建立关于参数的方程，解方程，求出参数的值；二是通过变量换元法将所给函数转化为值域容易确定的另一个函数，求得其值域，从而求得原函数的值域. 但在换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价转化．方法4 待定系数法待定系数法的理论依据是多项式恒等——两个多项式各同类项的系数对应相等. 待定系数法主要用来解决具有某种确定的数学表达式的数学问题，通过引入一些待定系数，转化为方程(组)来解决．例如求圆锥曲线的方程、圆的方程、直线的方程、函数解析式、复数、数列等．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.阿凡题1083981【解析】由已知条件，得192＝e b ，∴b ＝ln 192. 又∵48＝e 22k ＋b ＝e 22k＋ln 192＝192e 22k ＝192(e 11k )2，∴e 11k ＝⎝⎛⎭⎫4819212＝⎝⎛⎭⎫1412＝12. 设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝⎛⎭⎫123＝24．【答案】 24[点评] 破解此类问题的关键是依题设所给的函数模型，利用待定系数法求解，本题的突破口是将题设中的自变量的值与相应的函数值代入所给关系式，求出参数的值，再求解问题．方法5 分离参数法求解不等式有解或恒成立问题常用分离参数法，可避免对参数进行分类讨论的繁琐过程. 要注意该方法仅适用于分离参数后所得函数的最值或值域可求的问题．已知函数f (x )＝x ＋1ax在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值范围是阿凡题1083982( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0,1]C ．(0,1]D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)【解析】函数f (x )＝x ＋1ax 的导数为f ′(x )＝1－1ax 2，由于f (x )在(－∞，－1)上单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，－ 1)上恒成立，即1a ≤x 2在(－∞，－1)上恒成立．由于当x <－1时，x 2>1，则有1a≤1，解得a ≥1或a <0．【答案】 D[点评] 求解含参数不等式恒成立问题的关键是过好双关：第一关是转化关，即通过分类参数，先转化为f (a )≥g (x )(或f (a )≤g (x ))对任意x ∈D 恒成立，再转化为f (a )≥g (x )max (或f (a )≤g (x )min )；第二关是求最值关，即求函数g (x )在区间D 上最大值(或最小值)．方法6 构造法构造法应用的技巧：一是“定目标构造”，从已知条件入手，紧扣要解决的问题进行构造，把陌生问题构造为熟悉的问题；二是“解决构造的问题”，用相关的知识解决所构造的问题. 解题时常构造正方体或长方体、构造函数、构造方程、构造平面图形等．在图中，G ，N ，M ，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)阿凡题1083983【解析】图①中，直线GH ∥MN ；图②中，G ，H ，N 三点共面，但M ∉平面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连接MG ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G ，M ，N 共面，但H ∉平面GMN ，因此GH 与MN 异面．所以在图②④中，GH 与MN 异面．【答案】 ②④[点评]破解此类问题的关键：一是“取特殊模型”，即构造长方体或正方体模型，把不规则的空间几何体(空间线、面)放置其中去研究；二是“用公式(用定理)”，即利用柱体、锥体的表面积和体积公式(空间线、面平行与垂直的判定定理、性质定理)，即可求其表面积与体积(判断空间线、面平行与垂直关系)．方法7基本不等式法基本不等式法主要用来解决函数的值域或最值、代数式的取值范围等问题，此法适用于两式(或两式以上)的和为定值或积为定值，求最值问题．(2017·天津卷)若a，b∈R，ab>0，则a4＋4b4＋1ab的最小值为________.阿凡题1083984【解析】∵a，b∈R，ab>0，∴a4＋4b4＋1ab≥4a2b2＋1ab＝4ab＋1ab≥24ab·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a2＝2b2，4ab＝1ab，即⎩⎨⎧a2＝22，b2＝24时取得等号．故a4＋4b4＋1ab的最小值为4．【答案】 4[点评]运用基本不等式法求最值的关键：“一正”，即判断两个数为正数；“二定”，即和或积为定值；“三相等”，即检验是否满足等号成立的条件. 若连续两次使用基本不等式求最值，则两次等号成立的条件要一致，否则最值取不到．若两个正实数x，y满足1x＋4y＝1，且不等式x＋y4<m2－3m有解，则实数m的取值范围是()A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：由题可知，1＝1x＋4y≥24xy＝4xy，即xy≥4，于是有m2－3m>x＋y4≥xy≥4，故m2－3m>4，化简得(m＋1)(m－4)>0，即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．答案：B方法8类比推理法类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，是从特殊到特殊的推理．类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠.在解不等式“x 3＋1＞0”中，我们有如下解题思路：设f (x )＝x 3＋1，则f (x ) 在R 上单调递增，且f (－1)＝0，所以不等式x 3＋1＞0的解集是(－1，＋∞)．类比上述解题思路，则不等式e x ＋x －1＞0的解集为_____________.阿凡题1083985【解析】由解不等式“x 3＋1＞0”中，设f (x )＝x 3＋1，则f (x ) 在R 上单调递增，且f (－1)＝0，所以不等式x 3＋1＞0的解集是(－1，＋∞)．类比可得，在解答不等式e x ＋x －1＞0时，设f (x )＝e x ＋x －1，则f (x ) 在R 上单调递增，且f (0)＝0，所以不等式e x ＋x －1＞0的解集是(0，＋∞)．故答案为：(0，＋∞)【答案】 (0，＋∞)[点评] 运用类比推理法的要点：一是找出类比对象之间可以确切表述的相似特征；二是用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)，类比推理的关键是找到合适的类比对象，否则就失去了类比的意义．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE .把这个结论类比到空间：在三棱锥A -BCD 中(如图)，平面DEC 平分二面角A -CD -B 且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________．解析：由类比推理的概念可知，平面中线段的比可转化为空间中面积的比，由此可得：AE EB ＝S △ACDS △BCD．答案：AE EB ＝S △ACDS △BCD方法9 三角化简转化法在运用三角化简转化法解题的过程中，应熟练掌握三角公式的正用、逆用、变形用等，它可以提高思维的起点，缩短思维路线，从而使运算简便、快捷.(2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ωx －π6＋sin ωx －π2，其中0<ω<3，已知f π6＝0．(1)求ω；阿凡题1083986(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值．【解】 (1)因为f (x )＝sin ωx －π6＋sin ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝312sin ωx －32cos ωx ＝3sin ωx －π3．由题设知f π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝6k ＋2，k ∈Z ．又0<ω<3，所以ω＝2． (2)由(1)得f (x )＝3sin2x －π3，所以g (x )＝3sin x ＋π4－π3＝3sin x －π12．因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3．当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32．[点评] 破解此类交汇问题的关键：一是“代数化”，利用平面向量数量积的坐标运算进行转化，得到关于三角函数的解析式；二是“会化简”，常利用三角函数公式、辅助角公式进行化简；三是“用性质”，利用三角函数的图象与性质来解决问题；四是“得结论”，解相关方程或不等式，从而得到所求结论．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin2x (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝2，a ＝2，b ＝6，求c 的值．解：(1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin2x ＝32sin2x ＋12cos2x ＋12cos2x －32sin2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴令2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得：k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z ，可得：函数f (x )的单调递减区间为：⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z ．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫A 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝2，可得：sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝1， ∵A ∈(0，π)，可得：A ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4， ∴可得A ＋π4＝π2，解得：A ＝π4，∵a ＝2，b ＝6，∴由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得：22＝(6)2＋c 2－2×6×c ×22，整理可得：c 2－23c ＋2＝0， ∴解得：c ＝3±1．方法10 空间向量法空间向量法是指利用空间向量证明空间直线、平面的平行与垂直，以及求空间角与空间距离的方法．此法常用来求解空间异面直线所成角、线面角、二面角，以及空间距离等问题.(2017·太原二模)如图，在多面体ABCDPE 中，四边形ABCD 和CDPE 都是直角梯形，AB ∥DC ，PE ∥DC ，AD ⊥DC ，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝PD ＝DA ＝2PE ，CD ＝3PE ，F 是CE 的中点.阿凡题1083987(1)求证：BF ∥平面ADP ； (2)求二面角B -DF -P 的余弦值．[思路点拨] (1)取PD 中点G ，连接GF ，AG ，推导出四边形ABFG 是平行四边形，从而AG ∥BF ，进而能证明BF ∥平面ADP ．(2)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B -DF -P 的余弦值．(1)【证明】取PD 中点G ，连接GF ，AG ，∵AB ∥DC ，PE ∥DC ，AD ⊥DC ，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝PD ＝DA ＝2PE ，CD ＝3PE ，F 是CE 的中点，∴FG 綊AB ，∴四边形ABFG 是平行四边形， ∴AG ∥BF ，∵AG ⊂平面ADP ，BF ⊄平面ADP ， ∴BF ∥平面ADP ．(2)【解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，设PE ＝1，则B (2,2,0)，D (0,0,0)，P (0,0,2)，C (0,3,0)，E (0,1,2)，F (0,2,1)，A (2,0,0)， DB →＝(2,2,0)，DF →＝(0,2,1)，DP →＝(0,0,2)，DA →＝(2,0,0)．设平面BDF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝2x ＋2y ＝0n ·DF →＝2y ＋z ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，－1,2)，∵AD ⊥DC ，AD ⊥PD ， ∴AD ⊥平面PDF ，∴DA →＝(2,0,0)是平面PDF 的法向量．设二面角B -DF -P 的平面角为θ，则cos θ＝|DA →·n ||DA →||n |＝26×2＝33．∴二面角B -DF -P 的余弦值为33． [点评] 利用空间向量法求二面角的余弦值的步骤：第一步，建系设点；第二步，求两平面的法向量；第三步，求两法向量的夹角的余弦值；第四步，由图判断所求的二面角是锐角还是钝角，从而下结论．(2017·天津卷)如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2．(1)求证：MN ∥平面BDE ； (2)求二面角C -EM -N 的正弦值；(3)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长．解：如图，以A 为原点，分别以AB →，AC →，AP →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,4,0)，P (0,0,4)，D (0,0,2)，E (0,2,2)，M (0,0,1)，N (1,2,0)．(1)证明：DE →＝(0,2,0)，DB →＝(2,0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －2z ＝0.不妨设z ＝1，可得n ＝(1,0,1)．又MN →＝(1,2，－1)，可得MN →·n ＝0．因为MN ⊄平面BDE ，所以MN ∥平面BDE ．(2)解：易知n 1＝(1,0,0)为平面CEM 的一个法向量．设n 2＝(x 1，y 1，z 1)为平面EMN 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EM →＝0，n 2·MN →＝0.因为EM →＝(0，－2，－1)，MN →＝(1,2，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2y 1－z 1＝0，x 1＋2y 1－z 1＝0.不妨设y 1＝1，可得n 2＝(－4,1，－2)．因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－421，于是sin 〈n 1，n 2〉＝10521．所以二面角C -EM -N 的正弦值为10521．(3)解：依题意，设AH ＝h (0≤h ≤4)，则H (0,0，h )，进而可得NH →＝(－1，－2，h )，BE →＝(－2,2,2)．由已知，得|cos 〈NH →，BE →〉|＝|NH →·BE →|,|NH →||BE →|)＝|2h －2|h 2＋5×23＝721，整理得10h 2－21h ＋8＝0，解得h ＝85或h ＝12．所以线段AH 的长为85或12．方法11 割补法对于不规则或不易求解的空间几何体的体积问题常用割补法把它转化成几个简单的几何体的体积的和或差的问题，这种思路的核心是要弄清补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系.(2017·青岛模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5，则此几何体的体积为________．阿凡题1083988【解析】用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ×AA ′＝12×24×8＝96．【答案】 96[点评] 割补法是求一般多面体体积的常用方法，运用割补法处理一些比较复杂的几何体的体积计算问题，实际上是对转化与化归思想的灵活运用．(2017·石家庄一模)在三棱锥P -ABC 中，P A ＝BC ＝4，PB ＝AC ＝5，PC ＝AB ＝11，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为________．解析：将三棱锥P -ABC 放到长方体中，如图，设长方体的长、宽、高分别是a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝16b 2＋c 2＝25c 2＋a 2＝11，相加解得a 2＋b 2＋c 2＝26，因为三棱锥P -ABC 的外接球即该长方体的外接球，所以外接球的直径2R ＝a 2＋b 2＋c 2＝26，则三棱锥外接球的表面积为4πR 2＝26π．答案：26π方法12 分类讨论法分类讨论法研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，分类要注意“标准统一”，这样可避免“重”或“漏”.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x >012－⎪⎪⎪⎪12＋x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为________.阿凡题1083989【解析】由f (x )＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，得f (x )＝k (x －1)至少有两个不相等的实数根，设g (x )＝k (x －1)，则等价为f (x )与g (x )至少有两个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图：g (x )＝k (x －1)，过定点C (1,0)，当x ＞0时，f (x )＝x 2－x 的导数f ′(x )＝2x －1，在x ＝1处，f ′(1)＝2－1＝1，当k ＝1时，g (x )＝x －1与f (x )＝12＋12＋x ＝x ＋1平行，此时两个图象只有一个交点，不满足条件．当k ＞1时，两个函数有两个不相等的实数根，当0≤k ＜1时，两个函数有3个不相等的实数根，当k ＜0时，当直线经过点A ⎝⎛⎭⎫－12， 12时，两个图象有两个交点，此时k ⎝⎛⎭⎫－12－1＝12，即k ＝－13，当－13＜k ＜0时，两个图象有3个交点，综上要使方程f (x )＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则k ＞－13且k ≠1．【答案】 k ＞－13且k ≠1方法13 捆绑、插空法捆绑法与插空法主要用来解决排列组合中的“相邻”与“不相邻”问题. 解决相邻问题用捆绑法，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列；解决不相邻问题用插空法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为阿凡题1083990( )A ．16B ．18C ．24D ．32【解析】将四个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在三个车位上任意排列，有A 33＝6(种)排法，再将捆绑在一起的四个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．【答案】 C[点评] 捆绑法与插空法是解决排列组合问题的常用方法，但要注意两个问题：一是相邻问题捆绑的过程中应注意相邻元素自身也有顺序的差异性；二是对于不相邻问题中“空”的个数，不要漏掉两端的空档. 对于相邻或不相邻问题中隐含其他限制条件的排列组合问题，还可采用优先法、间接法等特殊方法．若A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同元素排成一列，要求A 不排在两端，且B ，C 相邻，则不同的排法有________种．(用数字作答)解析：由于B ， C 相邻，把B ，C 看作一个整体，有 2 种排法．这样，6个元素变成了 5 个．先排A ，由于A 不排在两端，则A 在中间的 3 个位子中，有A 13＝3(种)方法，其余的 4 个元素任意排，有A 44种不同方法，故不同的排法有 2×3×A 44＝144(种)．答案：144方法14 整体代入法整体代入法是根据式子的结构特征，在求值还是求解析式过程中，直接将代数式当成一个整体来处理，从而建立已知和所求的关系式进行求解的方法. 利用该方法求值时，可以避免繁琐的求解过程，减少计算量. 该法适用于求函数值、求函数的解析式等问题．已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________.阿凡题1083991【解析】 ∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，① 以1x 代替①式中的x (x ≠0)，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② ①×2－②，得3f (x )＝6x －3x ，∴f (x )＝2x －1x (x ≠0)．【答案】 2x －1x (x ≠0)方法15 公式应用法公式应用法适用于利用相关公式求解概率、数列通项公式与前n 项和、三角函数的值、空间几何体的表面积和体积等问题．(2017·临沂八校联考)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；阿凡题1083992(2)若{b n －(－1)n a n }是等比数列，且b 2＝7，b 5＝71，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解】 (1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，因为a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列，所以(3d ＋2)2＝(d ＋2)(7d ＋2)，解得d ＝2，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n ．(2)令c n ＝b n －(－1)n a n ，设数列{c n }的公比为q ，因为b 2＝7，b 5＝71，a n ＝2n ，所以c 2＝b 2－a 2＝7－4＝3，c 5＝b 5＋a 5＝71＋10＝81，所以q 3＝c 5c 2＝813＝27，故q ＝3，所以c n ＝c 2·q n －2＝3×3n －2＝3n －1，即b n －(－1)n a n ＝3n －1，所以b n ＝3n －1＋(－1)n ·2n ．故T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(30＋31＋…＋3n －1)＋[－2＋4－6＋…＋(－1)n ·2n ]．当n 为偶数时，T n ＝1－3n 1－3＋2×n 2＝3n ＋2n －12；当n 为奇数时，T n ＝1－3n 1－3＋2×n －12－2n ＝3n －2n －32．所以T n＝⎩⎨⎧3n ＋2n －12，n 为偶数，3n－2n －32，n 为奇数.[点评] 对于数列解答题，常利用等差(比)数列的定义、通项公式与前n 项和公式进行求解. 若是同一数列的递推关系式，常通过构造转化为等差数列或等比数列的形式求解；若是不同数列间的关系式，常通过已知条件寻求转化. 在解题中注意累加法、累乘法、错位相减法、裂项相消法等的应用．。